Fonds Grothendieck, cote n° 19, pages 81–95

Questions sur les topos (fin, page 81)

les six lignes de cette page achèvent la phrase interrompue au bas de la page 80

types formés des couples d'un ens. A muni d'une involution bijectif w, et d'une rétraction de A/w sur une partie de A^{w} \subset A/w. Le foncteur f est le foncteur qui associe à un le (E muni de \mathrm{id}_{E}, E, \mathrm{id}_{E})

Catégories fibrées (pages 82 à 95)

Titre porté sur la chemise : « Catégories fibrées ». Un pointage d'archiviste, « 22 p », est écrit au crayon en regard.les feuillets qui suivent, 83 à 95, n'en comptent que treize, dont deux versos vierges

Sites fibrés

E \to B catégorie fibrée, avec les ~~foncteurs~~ catégories fibres des sites, les ~~foncteurs~~ f^{*} des morphismes de sites [conditions suffisantes pour autres choses]. On met sur E la top. la moins fine de celles qui rend continus les foncteurs E_{b} \to E. Les familles couvrantes sont décrites par IV 3.2.

Supposons B, E \in \mathcal{U}, (que signifie ?) les top. sur E_{b} Abondant. Plongeons E_{b} en \widetilde{E}_{b}, i.e. trouver une nouvelle catégorie fibrée \overline{E} : fibres les \widetilde{E}_{b} ; un f. , un morphisme de F \in \overline{E}_{x} et G \in \widetilde{E}_{y} est un morphisme dans \widetilde{E}_{x}

F \longrightarrow f^{*}(G)

x \longrightarrow y [l'on désignant aussi par f^{*} l'ext. de f^{*} aux \widetilde{E}_{b}].

Déterminons le type \widetilde{E}, dans un ~~\widetilde{E} \simeq \varprojlim_{X} (E_{p(X)})_{/X} = \varprojlim_{x \in \mathrm{Ob}\,B} E_{x}~~la formule est encadrée, puis barrée mais étant entendu que E est la catégorie fibrée dont aux sections sur X \in \mathrm{Ob}\,E, la fibre, associé au « point » défini par X en E, savoir

(\widetilde{E}_{p(x)})_{/X} ~~\simeq \widetilde{E}_{x}~~, qui a se cartésienne quand X parcourt une (« \geq x ») E_{x}. De façon précise

\widetilde{E}^{\circ} \simeq \underline{\Gamma}^{\,\text{vert-cart}}\bigl(B,\; X \mapsto (\overline{E})^{\circ}_{p(x)/X}\bigr)

où l'exposant « vert-cart » signifie qu'on se borne aux sections qui sont cartésiennes au-dessus des flèches verticales. Utilisant une formule d'associativité évidente, le deuxième membre s'interprète comme

\underline{\Gamma}\Bigl(B,\; x \mapsto \underline{\Gamma}^{\,\mathrm{cart}}\bigl(E_{x},\; X \mapsto \underbrace{(\overline{E}_{x})^{\circ}_{/X}} _{\textstyle \widetilde{E}^{\circ}_{x} = (\overline{E})^{\circ}_{x}} \bigr)\Bigr)

Donc

\widetilde{E} \simeq \underline{\Gamma}(B, \overline{E}^{\Delta})^{\circ}

où \overline{E}^{\Delta} désigne la catégorie fibrée déduite de \overline{E} en prenant groupoïdes les fibres de \overline{E}.

L'inclusion \varprojlim\bigl(E,\; X \mapsto (\overline{E})_{p(x)/X}\bigr) \to \underline{\Gamma}^{\,\mathrm{vert}} (\widetilde{E}, \ldots) vient alors que l'inclusion

\underline{\Gamma}\,\varprojlim(B, \overline{E}^{\Delta})^{\circ} \simeq \varprojlim(B, \overline{E})^{\Delta} \subset \underline{\Gamma}(B, \overline{E})^{\Delta}

Catégories \underline{\Gamma} et \varprojlim

le titre est encadré en haut de la page

E \to B catégorie fibrée.

\begin{tikzcd} & \varprojlim E/B \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "F^{*}_{c}"'] & \underline{\Gamma}(E/B) \arrow[d, "F^{*}"] \\ X' \in B & \varprojlim E'/B' \arrow[r, hook, "i'"] & \underline{\Gamma}(E'/B') \end{tikzcd}

\begin{align} \mathrm{Hom}\bigl(X', F^{*}_{c}(Y)\bigr) &= \mathrm{Hom}\bigl(i'(X'), F^{*}(i(Y))\bigr) \notag \\ &= \mathrm{Hom}\bigl(F_{*}\,i'(X'), i(Y)\bigr) \notag \\ &= \mathrm{Hom}\bigl(\underbrace{i_{*}F_{*}\,i'(X')} _{\textstyle F^{c}_{*}(X')}, Y\bigr) \notag \end{align}

① Si \exists adjoint à g. i_{*} de i, et si \exists F_{*} adjoint à g. de F^{*} (p.ex. si E est assez cofibrée sur B, et les « petites » \varprojlim existent dans les fibres) alors \exists adjoint à gauche F^{c}_{*} de F^{*}_{c}.

\begin{align} \mathrm{Hom}\bigl(F^{*}_{c}(Y), X'\bigr) &= \mathrm{Hom}\bigl(F^{*}(i(Y)), i'(X')\bigr) \notag \\ &= \mathrm{Hom}\bigl(i(Y), F_{+}\,i'(X')\bigr) \notag \\ &= \mathrm{Hom}\bigl(Y, \underbrace{i_{+}F_{+}\,i'(X')} _{\textstyle F^{c}_{+}}\bigr) \notag \end{align}

l'auteur écrit ici l'indice « + » là où le calcul précédent portait un « * » : dans toute cette page (-)_{*} désigne un adjoint à gauche et (-)_{+} un adjoint à droite

② Si \exists adjoint à dr. i_{+} du de i, et si \exists adj. à dr. f_{+} de F^{*} (p.ex. si les petites \varprojlim existent en

les fibres de E/B), alors \exists adjoint à droite F^{c}_{+} de F^{*}_{c}.

③ Prop. Supposons que pour tout b \in \mathrm{Ob}\,B, la limite inductive \varinjlim_{c \in \mathrm{Ob}\,{}^{b}\!/B} f^{*}(X(c)) dans E_{b} existe, et supposons que cette \varinjlim commute à tous les changements de base u^{*} (a : b' \to b). Alors le foncteur adjoint à gauche \dot{F}^{\varepsilon}_{*} de E : \varprojlim E/B \longrightarrow \underline{\Gamma}(B/E) existe\underline{\Gamma}(B/E) est bien ce qui est écrit ; partout ailleurs l'auteur note \underline{\Gamma}(E/B), et est donné par

\dot{F}^{\varepsilon}_{*}(X)(b) = \varinjlim_{x \in \mathrm{Ob}\,{}^{b}\!/B} f^{*}(X(x))

[Le morphisme d'adjonction

\dot{F}^{\varepsilon}_{*}\,\dot{F}^{\varepsilon}_{*}(X) \longrightarrow X

les vérifications évidentes]

si de plus E \to X est cofibrant, b^{*}_{c} : \varprojlim E/B \to E_{b} des adjoints le dernier tiers de la page — une dizaine de lignes, plus une note marginale portant l'encadré (\varprojlim E/B)^{\circ} \to \underline{\Gamma}(E/B)^{\circ} et un « N.B. » — est barré d'un long trait diagonal et reste illisible

à droite des b^{*}_{c} : \varprojlim E/B \to E_{b} existant également et se construisent explicitement, s'il en va ainsi des f^{*}.

Cor. Si de plus les b_{*} existent (b \in \mathrm{Ob}\,B) [p.ex. si p est aussi cofibrant, et les « petites » sommes dans les E_{b} existent), alors les « foncteurs fibres » \varprojlim E/B \xrightarrow{\;b^{*}_{c}\;} E_{b} ont un adj. à gauche b^{c}_{*}.

Cor. Supposons que \underline{\Gamma} ait une famille de générateurs stricts (X_{\lambda}), alors les i(X_{\lambda}) forment une famille de générateurs (stricts) de \varprojlim. En particulier, si p cofibrant, et si les E_{b} ont des petites sommes et de petites familles de générateurs stricts, ~~il en est de \underline{\Gamma}~~), alors ces conditions sont vérifiées pour \varprojlim, et on trouve un syst. de générateurs (stricts) (en prenant pour la E_{b} des gén. stricts de E_{b}, b \in \mathrm{Ob}\,B, et prenant

\bigcup_{b \in \mathrm{Ob}\,B} b^{c}_{*}(E_{b}).

[ Si \varinjlim petites de E_{b}, et les f^{*} y commutent : \varprojlim(E/B)^{\circ} adjoint

Si petites \varprojlim dans E_{b}, et les f^{*} y commutent :

\varprojlim{}^{\circ}(E^{\circ}/B) \xrightarrow{\;d^{\circ}\;} \underline{\Gamma}(E^{\circ}/B)

a un adjoint à gauche, donc

\varprojlim(E/B) \xrightarrow{\;j\;} \underline{\Gamma}(E^{\circ}/B)^{\circ}

a un adjoint à droite j_{+}.

Si on demande des générateurs de L, il y a lieu d'utiliser i_{*}, car pour des générateurs X_{\lambda} de \underline{\Gamma}(E/B), comme

\mathrm{Hom}_{\underline{\Gamma}}\bigl(X_{\lambda}, i(Y)\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{L}\bigl(i_{*}(X_{\lambda}), Y\bigr),

celles des i_{*}(X_{\lambda}) dans L. Or, il n'y a pas de relation dans \underline{\Gamma}, le cor. si \varinjlim B^{\circ} des dit qu'il existe p cofibrant et E_{b}, et que gén. petits ens. gén. existe dans les E_{b}, les f^{*} de générateurs dans les E_{b}

Si on demande des cogénérateurs de L, i.e. des générateurs de L^{\circ}, il y a lieu d'utiliser j^{\circ} à \varphi^{\Delta}, et on trouve comme condition suff. que j^{\circ}_{*} existe et qu'il y ait petit syst. de gén. dans \underline{\Gamma}(E^{\Delta}/B), (p.ex. que les petites \varprojlim existent dans les E_{b}, que les foncteurs f^{*} y commutent, que les E_{b} aient des petits ens. de cogénérateurs]

Si dans les catégories fibres, certaines types de \varprojlim ou \varinjlim sont représentables, et si les f^{*} y commutent, alors les mêmes types de \varprojlim sont représentables dans \varprojlim E/B, et les foncteurs fibres (plus les foncteurs changements de base, B' \to B) y commutent.

Ainsi, si les E_{b} sont préadditives ( additives, abéliennes) et si les f^{*} respectent ces struct., il en est de même de \varprojlim E/B, si E_{b} : \varprojlim filtrantes = \ldots \varprojlim(B), ex. et si les H_{i}, \varprojlim y sont représentables () dans \varprojlim E/B. De , si les E_{b} conditions a), b), c) de et les f^{*} des \mathcal{U}-topos = \ldots \varprojlim E/B.

Pour pouvoir conclure que si les E_{b} sont des \mathcal{U}-topos et les f^{*} des morphismes de tels, il en est de même de \varprojlim E/B, il reste à donner des conditions que cette catégorie une petite famille de gén. \mathcal{U}-catégorie, et . Le premier est immédiat que B « ens. petits ». Pour le dernier, il en est

feuillet au crayon, très surchargé d'interlignes ; la transcription en est très lacunaire

à supposer que les soient cofibrées, i.e. que les adjoints à gauche des f^{*} existent, [qu'il n'y a pas lieu de notre , mais plutôt f_{!}] i.e. les f^{*} associés à des compléments f_{!}, ( sont qu'il vient petites que les f^{*} commutent aux \varprojlim) qui exige que en calculant fibre par fibre. exact f^{*} commutent Donc « ens. petits » général, B il cependant et générateurs qu'il y a détail …. Donc à rédiger \mathcal{U}-topos \mathcal{U}-ob-topos. bien des \varprojlim, mais les \mathcal{U} y a des faisant calcul générale, un peu fastidieux.

Dualité pour catégories fibrées et cofibrées

le titre est encadré en haut de la page

Catégorie E \xrightarrow{\;p\;} B sur une autre.

1) La catégorie est fibrée sur p fibrant, f : x \to y dans B, i.e. pour définir f^{*} : E_{y} \to E_{x}, avec transitivité essentielle :

\mathrm{Hom}_{f}(X, Y) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{id}_{x}} \bigl(X, f^{*}(Y)\bigr)

aux pseudo-foncteurs F : B^{\circ} \to (\mathrm{Cat}).

2) La catégorie est cofibrée, ou p cofibrante, si p^{\circ} est fibrante, i.e. si pour tout f : x \to y dans B, existe un foncteur f_{*} : E_{x} \to E_{y}, avec transitivité essentielle :

\mathrm{Hom}_{f}(X, Y) \simeq \mathrm{Hom}\,\varphi_{p}(X', Y) \}.

lecture douteuse du second membre ; la symétrie avec 1) demanderait \mathrm{Hom}_{\mathrm{id}_{y}}(f_{*}(X), Y)

Ils donnent naissance un pseudo-foncteur

F : B \longrightarrow (\mathrm{Cat})

Lien : Si p est fibrant, pour que (pour f : x \to y donnée) f_{*} existe, il f. et s. que f^{*} ait un adjoint à g. Pour que p soit cofibrant, il f. et s. que les f^{*} aient tous des adjoints à g.

b) Si p est cofibrant, que f^{*} existe, il f. et s. pour que f_{*} ait un adjoint à droite. Pour que p soit fibrant, il f. et s. que adjoints à droite.

La catégorie opposée relative d'une catégorie fibrée p : E \to B n'est définie seulement à équivalence près, c'est une autre catégorie fibrée, associée au pseudo-foncteur

F^{\mathrm{opp}} : B \longrightarrow (\mathrm{Cat})

défini par

\begin{align} F^{\mathrm{opp}}(a) &= F(a)^{\circ} \notag \\ F^{\mathrm{opp}}(f) &= F(f)^{\circ} \notag \end{align}

formule pour les de transitivité :

Il n'est pas évident qu'il en existe une description intrinsèque à près, en évitant recours aux pseudo-foncteurs.

Pour que (E/B)^{\mathrm{opp}} soit aussi cofibrée, il f. et s. que les foncteurs f^{*} : E_{y} \to E_{x} aient des adjoints à droite (condition apparaît : celle pour que E/B soit cofibrée).

À retenir que ce pseudo-foncteur définit deux catégories (fibrées) bien distinctes sur B.