Cote n° 19 · batch 5 · pages 81–95 · Transcription · Topos : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958-1973]
Édition de démonstration

Questions sur les topos (fin, page 81)

81les six lignes de cette page achèvent la phrase interrompue au bas de la page 80

types […] formés des couples d'un ens. \(A\) […] muni d'une involution bijectif \(w\), et d'une rétraction de \(A/w\) sur une partie de \(A^{w} \subset A/w\). Le foncteur \(f\) est le foncteur qui associe à un […] le […] (\(E\) muni de \(\mathrm{id}_{E}\), \(E\), \(\mathrm{id}_{E}\))

Catégories fibrées (pages 82 à 95)

82Titre porté sur la chemise : « Catégories fibrées ». Un pointage d'archiviste, « 22 p », est écrit au crayon en regard.les feuillets qui suivent, 83 à 95, n'en comptent que treize, dont deux versos vierges

Sites fibrés

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\(E \to B\) catégorie fibrée, avec les foncteurs catégories fibres des sites, les foncteurs \(f^{*}\) des morphismes de sites [conditions suffisantes pour […] autres choses]. On met sur \(E\) la top. la moins fine de celles qui rend continus les foncteurs \(E_{b} \to E\). Les familles couvrantes sont décrites par IV 3.2.

Supposons \(B\), \(E \in \mathcal{U}\), […] (que signifie ?) les top. sur \(E_{b}\) Abondant. Plongeons […] \(E_{b}\) en \(\widetilde{E}_{b}\), i.e. trouver une nouvelle catégorie fibrée \(\overline{E}\) : fibres les \(\widetilde{E}_{b}\) ; un f. […], un morphisme de \(F \in \overline{E}_{x}\) et \(G \in \widetilde{E}_{y}\) est un morphisme dans \(\widetilde{E}_{x}\)

\[ F \longrightarrow f^{*}(G) \]

\(x \longrightarrow y\) [l'on désignant aussi par \(f^{*}\) l'ext. de \(f^{*}\) aux \(\widetilde{E}_{b}\)].

Déterminons le type \(\widetilde{E}\), dans un […] […] \(\widetilde{E} \simeq \varprojlim_{X} (E_{p(X)})_{/X} = \varprojlim_{x \in \mathrm{Ob}\,B} E_{x}\)la formule est encadrée, puis barrée mais étant entendu que \(E\) est la catégorie fibrée dont […] aux sections sur \(X \in \mathrm{Ob}\,E\), […] la fibre, […] associé au « point […] » défini par \(X\) en \(E\), savoir

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\((\widetilde{E}_{p(x)})_{/X}\) \(\simeq \widetilde{E}_{x}\), […] qui a se […] cartésienne quand \(X\) parcourt une […] (« […] \(\geq x\) ») \(E_{x}\). De façon précise

\[ \widetilde{E}^{\circ} \simeq \underline{\Gamma}^{\,\text{vert-cart}}\bigl(B,\; X \mapsto (\overline{E})^{\circ}_{p(x)/X}\bigr) \]

où l'exposant « vert-cart » signifie qu'on se borne aux sections qui sont cartésiennes au-dessus des flèches verticales. Utilisant une formule d'associativité évidente, le deuxième membre s'interprète comme

\[ \underline{\Gamma}\Bigl(B,\; x \mapsto \underline{\Gamma}^{\,\mathrm{cart}}\bigl(E_{x},\; X \mapsto \underbrace{(\overline{E}_{x})^{\circ}_{/X}} _{\textstyle \widetilde{E}^{\circ}_{x} = (\overline{E})^{\circ}_{x}} \bigr)\Bigr) \]

Donc

\[ \widetilde{E} \simeq \underline{\Gamma}(B, \overline{E}^{\Delta})^{\circ} \]

où \(\overline{E}^{\Delta}\) désigne la catégorie fibrée déduite de \(\overline{E}\) en prenant […] groupoïdes les fibres de \(\overline{E}\).

L'inclusion \(\varprojlim\bigl(E,\; X \mapsto (\overline{E})_{p(x)/X}\bigr) \to \underline{\Gamma}^{\,\mathrm{vert}} (\widetilde{E}, \ldots)\) vient alors […] que l'inclusion

\[ \underline{\Gamma}\,\varprojlim(B, \overline{E}^{\Delta})^{\circ} \simeq \varprojlim(B, \overline{E})^{\Delta} \subset \underline{\Gamma}(B, \overline{E})^{\Delta} \]

Catégories \(\underline{\Gamma}\) et \(\varprojlim\)

86le titre est encadré en haut de la page

\(E \to B\) catégorie fibrée.

\begin{tikzcd}
& \varprojlim E/B \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "F^{*}_{c}"']
  & \underline{\Gamma}(E/B) \arrow[d, "F^{*}"] \\
X' \in B & \varprojlim E'/B' \arrow[r, hook, "i'"]
  & \underline{\Gamma}(E'/B')
\end{tikzcd}

\[\begin{align} \mathrm{Hom}\bigl(X', F^{*}_{c}(Y)\bigr) &= \mathrm{Hom}\bigl(i'(X'), F^{*}(i(Y))\bigr) \notag \\ &= \mathrm{Hom}\bigl(F_{*}\,i'(X'), i(Y)\bigr) \notag \\ &= \mathrm{Hom}\bigl(\underbrace{i_{*}F_{*}\,i'(X')} _{\textstyle F^{c}_{*}(X')}, Y\bigr) \notag \end{align}\]

① Si \(\exists\) adjoint à g. \(i_{*}\) de \(i\), et si \(\exists\) \(F_{*}\) adjoint à g. de \(F^{*}\) (p.ex. si \(E\) est assez cofibrée sur \(B\), et les « petites » \(\varprojlim\) existent dans les fibres) alors \(\exists\) adjoint à gauche \(F^{c}_{*}\) de \(F^{*}_{c}\).

\[\begin{align} \mathrm{Hom}\bigl(F^{*}_{c}(Y), X'\bigr) &= \mathrm{Hom}\bigl(F^{*}(i(Y)), i'(X')\bigr) \notag \\ &= \mathrm{Hom}\bigl(i(Y), F_{+}\,i'(X')\bigr) \notag \\ &= \mathrm{Hom}\bigl(Y, \underbrace{i_{+}F_{+}\,i'(X')} _{\textstyle F^{c}_{+}}\bigr) \notag \end{align}\]

l'auteur écrit ici l'indice « \(+\) » là où le calcul précédent portait un « \(*\) » : dans toute cette page \((-)_{*}\) désigne un adjoint à gauche et \((-)_{+}\) un adjoint à droite

② Si \(\exists\) adjoint à dr. \(i_{+}\) du de \(i\), et si \(\exists\) adj. à dr. \(f_{+}\) de \(F^{*}\) (p.ex. si les petites \(\varprojlim\) existent en

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les fibres de \(E/B\)), alors \(\exists\) adjoint à droite \(F^{c}_{+}\) de \(F^{*}_{c}\).

③ Prop. Supposons que pour tout \(b \in \mathrm{Ob}\,B\), la limite inductive \(\varinjlim_{c \in \mathrm{Ob}\,{}^{b}\!/B} f^{*}(X(c))\) dans \(E_{b}\) existe, et supposons que cette \(\varinjlim\) commute à tous les changements de base \(u^{*}\) \((a : b' \to b)\). Alors le foncteur adjoint à gauche \(\dot{F}^{\varepsilon}_{*}\) de \(E\) : \(\varprojlim E/B \longrightarrow \underline{\Gamma}(B/E)\) existe\(\underline{\Gamma}(B/E)\) est bien ce qui est écrit ; partout ailleurs l'auteur note \(\underline{\Gamma}(E/B)\), et est donné par

\[ \dot{F}^{\varepsilon}_{*}(X)(b) = \varinjlim_{x \in \mathrm{Ob}\,{}^{b}\!/B} f^{*}(X(x)) \]

[Le morphisme d'adjonction

\[ \dot{F}^{\varepsilon}_{*}\,\dot{F}^{\varepsilon}_{*}(X) \longrightarrow X \]

[…] les vérifications évidentes]

[…] si de plus \(E \to X\) est cofibrant, […] \(b^{*}_{c} : \varprojlim E/B \to E_{b}\) […] des adjoints […]le dernier tiers de la page — une dizaine de lignes, plus une note marginale portant l'encadré \((\varprojlim E/B)^{\circ} \to \underline{\Gamma}(E/B)^{\circ}\) et un « N.B. » — est barré d'un long trait diagonal et reste illisible

[…] à droite des \(b^{*}_{c} : \varprojlim E/B \to E_{b}\) existant également et se construisent explicitement, s'il en va ainsi des \(f^{*}\).

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Cor. Si de plus les \(b_{*}\) existent \((b \in \mathrm{Ob}\,B)\) [p.ex. si \(p\) est aussi cofibrant, et les « petites » sommes dans les \(E_{b}\) existent), alors les […] « foncteurs fibres » \(\varprojlim E/B \xrightarrow{\;b^{*}_{c}\;} E_{b}\) ont un adj. à gauche \(b^{c}_{*}\).

Cor. Supposons que \(\underline{\Gamma}\) ait une famille de générateurs [stricts] \((X_{\lambda})\), alors les \(i(X_{\lambda})\) forment une famille de générateurs (stricts) de \(\varprojlim\). En particulier, si \(p\) cofibrant, et si les \(E_{b}\) ont des [petites] sommes et de petites familles de générateurs stricts, il en est […] de \(\underline{\Gamma}\)), alors ces conditions sont vérifiées pour \(\varprojlim\), et on trouve un syst. de générateurs (stricts) (en prenant pour la […] \(E_{b}\) des gén. stricts de \(E_{b}\), \(b \in \mathrm{Ob}\,B\), et prenant

\[ \bigcup_{b \in \mathrm{Ob}\,B} b^{c}_{*}(E_{b}). \]

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[ Si \(\varinjlim\) [petites] […] de \(E_{b}\), et les \(f^{*}\) y commutent : \(\varprojlim(E/B)^{\circ}\) […] adjoint […]

Si petites \(\varprojlim\) […] dans \(E_{b}\), et les \(f^{*}\) y commutent :

\[ \varprojlim{}^{\circ}(E^{\circ}/B) \xrightarrow{\;d^{\circ}\;} \underline{\Gamma}(E^{\circ}/B) \]

a un adjoint à gauche, donc

\[ \varprojlim(E/B) \xrightarrow{\;j\;} \underline{\Gamma}(E^{\circ}/B)^{\circ} \]

a un adjoint à droite \(j_{+}\).

Si on demande des générateurs de \(L\), il y a lieu d'utiliser \(i_{*}\), car pour des générateurs \(X_{\lambda}\) de \(\underline{\Gamma}(E/B)\), comme

\[ \mathrm{Hom}_{\underline{\Gamma}}\bigl(X_{\lambda}, i(Y)\bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{L}\bigl(i_{*}(X_{\lambda}), Y\bigr), \]

[…] celles des \(i_{*}(X_{\lambda})\) […] dans \(L\). Or, il n'y a pas de relation […] dans \(\underline{\Gamma}\), le cor. […] […] si […] \(\varinjlim\) […] \(B^{\circ}\) des […] dit qu'il existe […] \(p\) cofibrant et […] \(E_{b}\), et que […] gén. petits ens. gén. […] existe dans les \(E_{b}\), les \(f^{*}\) […] de générateurs dans les \(E_{b}\)

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Si on demande des cogénérateurs de \(L\), i.e. des générateurs de \(L^{\circ}\), il y a lieu d'utiliser \(j^{\circ}\) […] à \(\varphi^{\Delta}\), et on trouve comme condition suff. que \(j^{\circ}_{*}\) existe et qu'il y ait petit syst. de gén. dans \(\underline{\Gamma}(E^{\Delta}/B)\), (p.ex. que les petites \(\varprojlim\) existent dans les \(E_{b}\), que les foncteurs \(f^{*}\) y commutent, que les \(E_{b}\) aient des petits ens. de cogénérateurs]

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§ […]

Si dans les catégories fibres, certaines [types de] \(\varprojlim\) ou \(\varinjlim\) sont représentables, et si les \(f^{*}\) y commutent, alors les mêmes types de \(\varprojlim\) sont représentables dans \(\varprojlim E/B\), et les foncteurs fibres (plus […] les foncteurs changements de base, \(B' \to B\)) y commutent.

Ainsi, si les \(E_{b}\) sont préadditives ([…] additives, [abéliennes]) [et si les \(f^{*}\) […] respectent ces struct.], il en est de même de \(\varprojlim E/B\), si \(E_{b}\) […] : \(\varprojlim\) filtrantes[…] \(= \ldots \varprojlim(B)\), ex. […] et si les \(H_{i}\), \(\varprojlim\) […] y sont représentables ([…]) […] dans \(\varprojlim E/B\). De […], si […] les \(E_{b}\) […] conditions a), b), c) de […] et les \(f^{*}\) des […] […] \(\mathcal{U}\)-topos […] \(= \ldots\) \(\varprojlim E/B\).

Pour pouvoir conclure que si les \(E_{b}\) sont des \(\mathcal{U}\)-topos [et les \(f^{*}\) des morphismes de tels], il en est de même de \(\varprojlim E/B\), il reste à donner des conditions […] que cette catégorie […] une [petite] famille de gén. […] \(\mathcal{U}\)-catégorie, et […]. Le premier est immédiat […] que \(B\) […] « ens. petits ». Pour le dernier, il en est […]

92feuillet au crayon, très surchargé d'interlignes ; la transcription en est très lacunaire

[…] à supposer que les […] soient cofibrées, i.e. que les adjoints à gauche des \(f^{*}\) existent, [qu'il n'y a pas lieu […] de notre […], mais plutôt \(f_{!}\)] [i.e. les \(f^{*}\) […] associés à des compléments \(f_{!}\)], ([…] sont […] qu'il vient […] [petites] […] que les \(f^{*}\) commutent aux \(\varprojlim\)) […] qui exige […] que […] […] en calculant fibre par fibre. […] exact […] […] […] \(f^{*}\) […] commutent […] Donc […] […] [« ens. petits »] général, […] \(B\) […] […] il […] cependant […] […] […] et générateurs […] qu'il y a […] détail …. Donc […] à rédiger […] \(\mathcal{U}\)-topos […] \(\mathcal{U}\)-ob-topos. […] bien des \(\varprojlim\), mais les […] \(\mathcal{U}\) y a des […] faisant […] calcul […] générale, […] un peu fastidieux.

Dualité pour catégories fibrées et cofibrées

94le titre est encadré en haut de la page

Catégorie \(E \xrightarrow{\;p\;} B\) sur une autre.

1) La catégorie est fibrée sur \(p\) fibrant, […] […] \(f : x \to y\) dans \(B\), i.e. pour définir \(f^{*} : E_{y} \to E_{x}\), avec transitivité essentielle :

\[ \mathrm{Hom}_{f}(X, Y) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{id}_{x}} \bigl(X, f^{*}(Y)\bigr) \]

[…] […] […] aux pseudo-foncteurs \(F : B^{\circ} \to (\mathrm{Cat})\).

2) La catégorie est cofibrée, ou \(p\) cofibrante, si \(p^{\circ}\) est fibrante, i.e. si pour tout \(f : x \to y\) dans \(B\), existe un foncteur \(f_{*} : E_{x} \to E_{y}\), avec transitivité essentielle :

\[ \mathrm{Hom}_{f}(X, Y) \simeq \mathrm{Hom}\,\varphi_{p}(X', Y) \}. \]

lecture douteuse du second membre ; la symétrie avec 1) demanderait \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{id}_{y}}(f_{*}(X), Y)\)

Ils donnent naissance […] un pseudo-foncteur

\[ F : B \longrightarrow (\mathrm{Cat}) \]

Lien : Si \(p\) est fibrant, pour que (pour \(f : x \to y\) donnée) \(f_{*}\) existe, il f. et s. que \(f^{*}\) ait un adjoint à g. Pour que \(p\) soit cofibrant, il f. et s. que les \(f^{*}\) aient tous des adjoints à g.

b) Si \(p\) est cofibrant, […] que \(f^{*}\) existe, il f. et s. pour que \(f_{*}\) ait un adjoint à droite. Pour que \(p\) soit fibrant, il f. et s. que […] adjoints à droite.

La catégorie opposée relative d'une catégorie fibrée \(p : E \to B\) n'est définie seulement à équivalence près, c'est une autre catégorie fibrée, associée au pseudo-foncteur

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\[ F^{\mathrm{opp}} : B \longrightarrow (\mathrm{Cat}) \]

défini par

\[\begin{align} F^{\mathrm{opp}}(a) &= F(a)^{\circ} \notag \\ F^{\mathrm{opp}}(f) &= F(f)^{\circ} \notag \end{align}\]

[…] formule […] pour […] les […] de transitivité :

Il n'est pas évident qu'il en existe une description intrinsèque à […] près, en évitant […] recours aux pseudo-foncteurs.

Pour que \((E/B)^{\mathrm{opp}}\) soit aussi cofibrée, il f. et s. que les foncteurs \(f^{*} : E_{y} \to E_{x}\) aient des adjoints à droite (condition apparaît : celle pour que \(E/B\) soit cofibrée).

À retenir que ce pseudo-foncteur définit deux catégories (fibrées) bien distinctes sur \(B\).