Fonds Grothendieck, cote n° 19, pages 61–80

Théorèmes de descente de M. Artin – P. Cartier (suite, pages 61 à 68)

l'auteur numérote cette page 5, dans la suite commencée page 56

Cor. 2 Sous les conditions de la prop. 1, conditions équivalentes : une phrase insérée entre les lignes, « néc. », n'a pas pu être lue

a)j^{*} existe et est exact, essentiellement « néc. pl. fid. » est inséré au-dessous ; b)i_{!} existe, et a une image épaisse ; b')i_{!} existe, et i_{!} i^{*} F \to F est injectif pour tout F.

Dans ce cas, i_{!} = \mathrm{Ker}\, j^{*}, j^{*} = \mathrm{Coker}\, i_{!}, foncteur i_{!} exact. [N.B. Mais il ne suffit pas que j^{*}, i_{!} existent, i_{!} exact ]

La prop. 1 et le corollaire prouvent que pour b), b').

l'auteur numérote cette page « 5 bis » ; toute la page est barrée de longs traits diagonaux

C \longrightarrow D

\begin{tikzcd}[column sep=huge] C'' \arrow[r, bend left=25, "j_{*}"] & C \arrow[l, bend left=25, "j^{*}"] \arrow[r, "i^{*}"] & C' \end{tikzcd}

a)i_{!} exists, and has thick image [i.e. i_{!} i^{*} F \to F injective] ; b)j^{*} exists and is exact. [N.B. even if i_{!} exists and is exact, so that j^{*} exists, we don't see that j^{*} be exact]

~~If so, i_{!} = \mathrm{Ker}\, j^{*}, j^{*} \simeq \mathrm{Coker}\, i_{!}.~~

We have seen already a) \Longrightarrow b), let us prove b) \Longrightarrow a). Therefore, let us define the functor \tau(F) = \mathrm{Ker}\bigl(F \longrightarrow j_{*} j^{*} F\bigr) , we see that \tau is an exact functor [thanks to the fact that j_{*} j^{*} F is exact] zero on of the type j_{*}F, hence we have \tau(F) \simeq i_{!} i^{*} F with a well-defined ~~exact~~ functor i_{!} : C'' \to C.sic : sur cette page comme sur les suivantes i_{!} va de C' dans C More \mathrm{Hom}(i_{!}G, F) \simeq \mathrm{Hom}(G, i^{*}F) , and we need to obtain only \mathrm{Hom}(i_{!} i^{*}F', F) \simeq \mathrm{Hom}(i^{*}F', i^{*}F) i.e. \mathrm{Hom}(\tau F', F) \simeq \mathrm{Hom}(i^{*}F', i^{*}F).

But as j_{*} j^{*} F is the biggest quotient of F , \mathrm{Im}\, j_{*} = \mathrm{Ker}\, i^{*}, this comes immediately, by the construction of the quotient category C/C''.

Question. ~~Does~~ The existence of j^{*} (exact or not) does imply the existence of i_{!} ?

page barrée de longs traits diagonaux

\begin{array}{lll} j^{*} i_{!} = 0 & i_{!} = \mathrm{Ker}\, j^{*} & j^{*} = \mathrm{Coker}\, i_{!} \\ i^{*} j_{*} = 0 & j_{*} = \mathrm{Ker}\, i^{*} & i^{*} = \mathrm{Coker}\, j_{*} \end{array} \begin{array}{ccccccc} 0 & \to & N & \to & i_{!} i^{*} F & \to & F \\ 0 & \to & i^{*}N & \to & i^{*} i_{!} i^{*} F & \to & i^{*}F \\ 0 & \to & i_{!} i^{*} N & \to & i_{!} i^{*} i_{!} i^{*} F & \to & i_{!} i^{*} F \end{array}

\begin{tikzcd}[column sep=huge] C'' \arrow[r, "j_{*} = j_{!}" description] & C \arrow[l, bend right=30, "j^{*}"] \arrow[l, bend left=30, "j^{!}"'] \arrow[r, "i^{*} = i^{!}" description] & C' \arrow[l, bend right=30, "i_{!}"'] \arrow[l, bend left=30, "i_{*}"] \end{tikzcd}

2e généralisation : conditions on pairs i^{*}, i_{!}

a)i_{!} is fully faithful, thick image, and i_{!} i^{*} F \to F injective ; b)i^{*} passage to the quotient that is exact, and one of the following conditions hold (N.B. by the previous assumptions, j_{*} is defined said assumptions, and j^{*} must exist we checked, and is exact previously ) \alpha)i_{!} has thick image ; \beta)i_{!} i^{*} F \to F injective for every F ; \delta)i_{!} = \mathrm{Ker}\, j^{*}.

[N.B. Many conditions which are formally distinct)

This situation is essentially contained in the exact sequence 0 \longrightarrow i_{!} i^{*} F \longrightarrow F \longrightarrow j_{*} j^{*} F \longrightarrow 0 .

Under these conditions, is it true that these conditions are equivalent to the existence of j_{!} ? If i_{*} is it says j_{*} j^{!} F = \mathrm{Ker}\bigl(F \longrightarrow i_{*} i^{*} F\bigr) .

l'auteur numérote cette page « 5 ter »

Below

[Assume moreover that i^{*} exists equally. Then situation becomes interesting. Moreover, in this case, equivalent conditions

a)j^{!} exact \Longrightarrow b)i_{*} exact \Longrightarrow c)\varphi = j^{*} i_{*} is exact.

avec, sous b), \Downarrow j_{*} Ker épaisse \Downarrow F \to i_{*} i^{*} F surjectif.

page barrée de longs traits diagonaux ; le raisonnement est récrit trois fois par-dessus lui-même et n'est transcrit qu'en partie

Question: is it enough that j^{*} or that i_{!} ~~be exact~~ i_{!} i^{*}F \to F have a kernel N such that i^{*}N = 0 Then j^{*} being exact, we have 0 \to N \to i_{!} i^{*} F \to F , \qquad j^{*}N \to j^{*} i_{!} i^{*} F \to j^{*}F . Yet j^{*} i_{!} = 0, hence j^{*}N = 0 then N = 0. ~~i_{!} i^{*} N = N~~

Question. Is it enough i_{!} exact ?? No, as we see in the case dual to :

\begin{tikzcd}[column sep=huge, nodes={font=\scriptsize}] C'' \arrow[r, bend left=25, "j^{*}"] & C \arrow[l, bend left=25, "j_{!}"] \arrow[r, bend left=25, "i^{*}"] & C' \arrow[l, bend left=25, "i_{*}"] \end{tikzcd}

où C'' = A-modules killed by some t \in S, C = C_{A}, C' = C_{S^{-1}A}, i^{*} la localisation et i_{*} la restriction des scalaires. i_{*} is exact, but not j_{!} in general. [A discrète , S = \{\pi\}, \pi uniformisante)

l'auteur numérote cette page 6 ; elle est barrée de longs traits diagonaux

foncteur (exact, surjectif et = un passage au quotient) i^{*} qui a ~~deux~~ adjoints i_{!}, i_{*} dont l'un exact, et = pleinement fid. (image épaisse) ; foncteur (exact, pleinement fid. et = image épaisse) j_{*} qui a deux adjoints j^{*}, j^{!} dont l'un j^{*} est exact, ~~surjectif~~, et = un passage au quotient) ; situations mixtes i^{*}, i_{*}, j^{*}, j_{*} et autres éventuellement ; foncteurs exacts à gauche.

Start with situation

\begin{tikzcd}[column sep=huge] C \arrow[r, bend left=25, "i^{*}"] & C' \arrow[l, bend left=25, "i_{*}"] \end{tikzcd}

~~exact~~, i_{*} fully faithful , i^{*} ~~exact~~ passage to quotient . Then the following conditions are equivalent

a)i^{*} ~~exact~~ has another adjoint i_{!}, i_{!} ~~is exact~~ has thick image [N.B. i_{!} i^{*}F \to F and i_{*} i_{!} pl. fid.] ; b)i^{*} is exact [then of the type C \to C/j_{*}C', where j_{*} is the imbedding of a thick subcategory C'' of C], j^{*} exist and is exact ; c)equivalent with the "standard" situation defined by an exact functor \varphi.

Symmetric point of view : start with C'' \to C, j_{*} fully faithful , j^{*} passage au quotient C' = C/C'' a) j^{*} adjoint i^{*} : C \to C'

We have already ~~checked~~ c) \Longrightarrow a), we have checked already c) \Longrightarrow b) and b) \Longrightarrow c), now let us check a) \Longrightarrow b). Of course if we assume b), then i^{*} is exact having two adjoints. I C'' = \mathrm{Im} . We want to define j^{*}F : j^{*}F = \mathrm{Coker}\bigl(i_{!} i^{*} F \longrightarrow F\bigr) .

\begin{tikzcd}[column sep=huge] C'' \arrow[r, bend left=25, "j_{*}"] & C \arrow[l, bend left=25, "j^{*}"] \arrow[r, bend left=25, "i^{*}"] & C' \arrow[l, bend left=25, "i_{!}"] \end{tikzcd}

0 \to F_{U} \to F \to F^{Y} \to 0 , \qquad f_{!} f^{*} , \qquad f = i, j 0 \to \Gamma_{Y} F \to F \to \Gamma_{U} F , \qquad f_{*} f^{!} , \qquad f = i, j

altogether 12 foncteurs :

j_{*}, j^{*}, j^{!} ; i^{*}, i_{!}, i_{*} ; i_{!} i^{*}, i_{*} i^{*} C \to C ; j_{*} j^{*}, j_{*} j^{!} C \to C ; \varphi = j^{*} i_{*} C' \to C'' ; j_{*} \varphi C' \to C.

Notons (i^{*}, j^{*}) commutent aux \varprojlim (quelconques), et : pour que \varprojlim_{i} (G_{i}, H_{i}, \lambda_{i}) existe, il suffit que \varprojlim_{i} G_{i} et \varprojlim_{i} H_{i} existent, et alors « quelconques » porte au-dessus l'insertion : si elles existent dans C', C''

Pour les propriétés d'existence ~~à gauche~~, (i^{*}, j^{*}) est ~~extrêmement~~ « aussi bon que » \varphi : C' \to C'', p.ex. si \varphi commute aux \varprojlim finies (resp. quelconques) et si la \varprojlim existe dans C', C'', alors il existe dans C et les foncteurs (i^{*}, j^{*}) y commutent …

Adjonction et objets co-semi-simpliciaux (page 70)

feuille numérotée 1 dans un cercle

\begin{tikzcd}[column sep=huge] A \arrow[r, bend left=25, "f"] & B \arrow[l, bend left=25, "g"] \end{tikzcd}

g adjoint à gauche de f, donc on a « gauche » est récrit par-dessus un autre mot \mathrm{id}_{A} \overset{\alpha}{\longrightarrow} gf , \qquad fg \overset{\beta}{\longrightarrow} \mathrm{id}_{B} . On pose \varphi = fg. On a aussi \varphi \overset{\lambda}{\longrightarrow} \varphi^{2} , \quad\text{i.e.}\quad fg \longrightarrow f\,\underbrace{gf}_{\alpha}\,g , \qquad \lambda = f * \alpha * g , en plus de \varphi \overset{\beta}{\longrightarrow} \mathrm{id}_{B}.

\lambda et \beta permettent de définir, pour tout objet X de B, une structure ~~cosimpliciale~~ co-semi-simpliciale \Phi^{*}(X) :

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \varphi(X) \arrow[r, bend left=18, "\varphi * \beta"] \arrow[r, bend right=18, "\beta * \varphi"'] \arrow[d, no head] & \varphi^{2}(X) \arrow[r, bend left=25] \arrow[r] \arrow[r, bend right=25] \arrow[d, no head] & \varphi^{3}(X) \arrow[d, no head] \\ \Phi^{0}(X) & \Phi^{1}(X) & \Phi^{2}(X) \end{tikzcd}

i.e. on a un foncteur co-semi-simplicial

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \varphi \arrow[r, bend left=18] \arrow[r, bend right=18] \arrow[d, no head] & \varphi^{2} \arrow[r, bend left=25] \arrow[r] \arrow[r, bend right=25] \arrow[d, no head] & \varphi^{3} \arrow[d, no head] \\ \Phi^{0} & \Phi^{1} & \Phi^{2} \end{tikzcd}

NB Les opérations de dégénérescence n'utilisent que \beta, \lambda.

Pour tout Y dans A, on a une co-augmentation f(Y) \longrightarrow \Phi^{*}\bigl(f(Y)\bigr) qui est une équivalence d'homotopie, i.e. f \xrightarrow{\ \approx\ } \Phi^{*} \circ f ; l'homotopie est donnée par f \xrightarrow{\ f * \alpha\ } \Phi \circ f = \varphi f = fgf .

Pour tout X (~~sous-entendu~~ : une donnée d'une , X \simeq f(Y)), on considère les hom. possibles d'objets co-semi-simpliciaux X \longrightarrow \Phi^{*}(X) i.e.

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small] X \arrow[d, "u"'] & \\ \varphi(X) \arrow[r, bend left=18, "\varphi(u)"] \arrow[r, bend right=18, "\lambda"'] & \varphi^{2}(X) \end{tikzcd}

Fidélité (pages 71 à 75)

Titre porté sur la chemise : « Fidélité ».

Foncteurs fidèles transportables comme foncteurs oubli de structures.

le premier tiers de la page est récrit deux fois et presque entièrement biffé ; seuls les énoncés qui subsistent sont transcrits

Soit p : E \to B un foncteur. les propriétés on dit que :

(i)p est fibrant ; (i bis) exacte de f^{*} ; (ii) pour toute flèche x \overset{u}{\to} y de B et tout \xi \in \mathrm{Ob}\, E_{x}, il existe \xi \to \eta dont l'image par p est u ; (ii')pour toute flèche x \to y de B, les flèches ~~cocartésiennes~~ cartésiennes sont des isomorphismes.

Soit p : E \to B un foncteur. On dit que p est transportable si E \times_{B} B^{is} \to B^{is} est fibrant (ce qui revient au ). Donc p est ~~fibrant~~ transp. et p^{0} l'est. Les flèches cartésiennes de E \times_{B} B^{is} sont les flèches cocartésiennes et les flèches de E.

Soit p un foncteur ; alors p est isom. à un foncteur transportable.

Soient p : E \to B et p' : E \to B deux foncteurs transportables isomorphes. Alors il existe isomorphe à \mathrm{id}_{E} une auto-équivalence \Phi de E telle que \Phi soit une B-équivalence (E, p) \to (E, p'),

conservatif / fidèle = filtre des propriétés. les deux mots sont réunis par une accolade

près.

Soit p un foncteur transportable. Alors p est fidèle \Longleftrightarrow les catégories fibres E_{b} sont des catégories ordonnées [donc si p est fibrant, E est une catégorie fibrée en cat. ordonnées].

Pour que p soit conservatif, il f. et s. que les catégories fibres soient des groupoïdes ~~E \times_{B} B^{is} soit~~ . Donc pour que p soit fidèle et conservatif, il f. et s. que les E_{b} soient discrètes.

Soit p un foncteur ~~fibrant~~. ~~Conditions équivalentes~~

a)p fibrant, fidèle, conservatif ; b)p fibrant et p est fidèle à fibres discrètes ; c)~~p fibrant et fidèle~~ pour tout X \in \mathrm{Ob}\, E, E_{/X} \to B_{/p(X)} est une équivalence ; d)il existe F \in \widehat{B} et une B-équivalence E \approx B_{/F}.

NB. la deuxième cond. de c) signifie que p est fibrant à fibres discrètes ?

Les foncteurs « oubli de structure » sont les ~~transportables~~ transp. fidèles ~~conservatifs~~. Il y a un autre fait : les catégories fibres sont en général ordonnées, i.e. pré-ordonnées, réduites, ce qui s'exprime en disant que l'on des relations dans la définition de la transportabilité.

Si p : E \to B ne satisfait pas cette condition, une modification triviale de E (avec équivalence) la rend satisfaite. Partant d'un foncteur fidèle transportable, on définit ~~une B^{is}-catégorie~~ un foncteur sur B^{is} b \longmapsto \text{classes d'isom.\ de } E_{b} = \text{« structures d'espèce } p \text{ sur } b \text{ »} à valeurs dans les ~~ensembles~~ (cf. « transport de structure »). E se reconstitue à isom. près objet de B muni d'une structure d'espèce p. De façon précise, ceci provient des

Le foncteur E^{is} \overset{p^{is}}{\longrightarrow} B^{is} ne reconstitue pas la catégorie E elle-même. Pour pouvoir la reconstituer, il faudrait que E soit fibrant , et on définit sur B, de façon précise, la notion des « structures image inverse » d'une structure d'espèce p sur un c \in \mathrm{Ob}\, B, par une flèche b \to c, de façon à obtenir un foncteur \Sigma : B^{\circ} \longrightarrow (\text{ens.\ ordonnés}) ou B^{is} \to (\text{ens.\ ordonnés}). ainsi E à équivalence près par la connaissance de \Sigma, et à isom. près si E \to identité.

Ainsi, une B-équivalence (B-isom.) comp. et réduits les catégories fibrées sur B, à projection fidèle), foncteurs B^{\circ} \to (\text{ens.\ ord.}), parlant en termes de foncteurs et pour l'expression des 2-catégories, ~~structures~~ est assez suggestif.

Morphismes et comorphismes — questions sur les topos (pages 76 à 80)

Titre porté sur la chemise : « Morphismes et comorphismes — Liste Problèmes ».

Questions sur les topos. (Pour Mlle ?)

Définition et étude des « immersions » de topos. ~~Théorie de~~ Caractérisation ? Par la condition f_{*} pleinement fidèle, i.e. f^{*} f_{*} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{id} (i.e. f^{*} voisin du passage au quotient ?). Théorie de f_{!} et f^{!}

Dans quelle mesure les ~~N.B.~~ f : U \to V déterminent-elles la « » ou le fermé « lui donnant naissance » ? Plus et immersions fermées ? Si U' \to V' les topos qui sont : « lieu » [i.e. il existe une équivalence V \overset{g}{\to} V' rendant commutatif, à isomorphisme près, le diagramme des f^{*}, f'^{*}], alors g est-elle déterminée à isom. unique près ? [Métamath. « de topos » ??] O.K. pour immersions ouvertes

de « monomorphisme » Caractérisation des immersions ouvertes [par f^{*} commutant aux limites quelconques, en plus de f_{*} pl. fid. ?]. Caractérisation des immersions fermées [par la condition F \to f_{*} f^{*} F un épi pour H faisceau abélien — , autre condition, en plus de f_{*} pl. fid.]? Application aux F = \emptyset « H^{i} aux \varinjlim » f^{*} commute aux quelconques.

2)Étude des f tels que f . Alors f^{*} admet-il un adjoint à gauche f_{!} ? Dans quelle mesure le f^{*} : U \to U_{/S} ces deux foncteurs est-il typique ?? Il n'est ni l'un ni l'autre, cf. pte essentiel. Regarder la commutation aux limites plutôt … 3)Étude du cas où f^{*} pl. fidèle. Étude du cas où f^{*} commute aux \varprojlim finies. [et aussi, à on transfère ] 4)Étude du cas où f_{*} pl. fidèle (cf. 1°)) 5)Notion de morphisme dominant de topos (f_{*}(\emptyset) = \emptyset). ~~Plus~~ Lien avec le fait f^{*} conservatif. f_{*} conservatif ? (Peut-on dire chose sur le cas f_{*} conservatif ?) 6)Donner une caractérisation des foncteurs exacts U \to V provenant i.e. Cartier-Artin. (Cf. Deligne.) 7)Les ~~morphismes~~ de \underline{U}-topos forment une U-catégorie (i.e. les \mathrm{Hom} sont « petits »). L'ens. des classes, à isom. près, de tels morphismes est-il petit ? non 8)

a) Théorie de : topos noethériens ?

\begin{tikzcd}[column sep=huge] (\mathrm{Top}) \arrow[r] & (\mathrm{Cat}) \arrow[l, bend left=30, "C \mapsto \widehat{C}"] \end{tikzcd}

b) Topos H^{i} finies on y a lieu de considérer une catégorie

9)Définir les catégories fibrées de topos dans certains cas, la situation. (Cas dont obtenir de nouvelles catégories discrètes). ne serait-ce pas plus explicite que (Cat) ? 10)Topos . Catégories fibrées resp. champs essentiellement représentables … 11)

\begin{tikzcd}[column sep=huge] (\mathrm{Ens.}) \arrow[r] & (\mathrm{Esp.}) \arrow[r] & (\mathrm{Top}) \arrow[ll, bend left=30] \end{tikzcd} le qualificatif qui suit « Esp. » n'a pas pu être lu

2-adjoint à des foncteurs fibres

page barrée de longs traits diagonaux

deux adjoints de f coïncident et sont isom.

Il suffirait de l'avoir pour ~~deux~~ catégories C, C', telles que f, g pl. fid. soient par des ~~foncteurs~~ : \widehat{C}, \widehat{C'}). Peut-on prendre C = C', f = g, ? Peut-on donner une catégorie C, et f : C \to C qui soit par une pl. fid. , et qui soient isom. adjoint (à droite et à gauche)) ? O.K.

Prendre C une catégorie ayant un objet e, mais telle que le foncteur f : C \to C défini par f(x) = e constant C \to C ne soit pas pl. fidèle, i.e. C une catégorie discrète, dans C ayant deux x \neq e.

[Ex. minimal :

\begin{tikzcd}[column sep=huge] e \arrow[r, bend left=25, "u"] & a \arrow[l, bend left=25, "v"] \end{tikzcd}

et w : a \to a : deux objets e, a, trois flèches u, v, vu = w, flèches identiques composition déterminées uniquement les relations [uv = \mathrm{id}_{e}, uw = u, wv = v], sauf w^{2} = \mathrm{id}_{a} : pour il faut dire ce qu'est w^{2} : on peut prendre w^{2} = w ou deux]. On trouve le

adjoint à droite , en les itérées

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] f_{!} & f^{*} \arrow[d, no head] & f_{*} \arrow[d, no head] & f^{!} \arrow[d, no head] & f_{?} \arrow[d, no head] \\ & g_{!} & g^{*} \arrow[d, no head] & g_{*} \arrow[d, no head] & g^{!} \arrow[d, no head] \\ & & h_{!} & h^{*} & h_{*} \end{tikzcd}

etc. On trouve ainsi les résultats de

Proposition. Soit U un univers, contenant un ensemble infini. Pour toute catégorie il existe deux U-topos E, F [de la forme \widehat{C}, \widehat{C'}] avec (C, C' des petites catégories) et une dont aucun n'est pl. fid.) des n foncteurs (f_{1}, f_{2}, f_{3}, \ldots, f_{n} ) alternativement de E dans F et de F dans E, chacun étant l'adjoint à droite du ( vaut les f_{i}) qui précède g = f_{1} \cdots f_{n}, et un morphisme un morphisme direct].

Question. Peut-on trouver une suite infinie dans les deux directions ? Il suffirait de trouver f et g tels que g soit à la fois adjoint à droite de f, i.e. tels que les la page s'arrête au milieu de la phrase ; la suite est au lot 5