Cote n° 19 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Topos : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958-1973]
Édition de démonstration

Théorèmes de descente de M. Artin – P. Cartier (suite, pages 61 à 68)

61l'auteur numérote cette page 5, dans la suite commencée page 56

Cor. 2 Sous les conditions de la prop. 1, conditions équivalentes : une phrase insérée entre les lignes, « néc. […] », n'a pas pu être lue

1. a)\(j^{*}\) existe [et est exact], essentiellement « néc. pl. fid. » est inséré au-dessous ;
2. b)\(i_{!}\) existe, et a une image épaisse ;
3. b\('\))\(i_{!}\) existe, et \(i_{!} i^{*} F \to F\) est injectif pour tout \(F\).

Dans ce cas, \(i_{!} = \mathrm{Ker}\, j^{*}\), \(j^{*} = \mathrm{Coker}\, i_{!}\), […] foncteur \(i_{!}\) exact. [N.B. Mais il ne suffit pas que \(j^{*}\), \(i_{!}\) existent, \(i_{!}\) exact […]]

La prop. 1 et le corollaire prouvent que […] […] pour b), b\('\)).

62l'auteur numérote cette page « 5 bis » ; toute la page est barrée de longs traits diagonaux

\(C \longrightarrow D\)

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
C'' \arrow[r, bend left=25, "j_{*}"] &
C \arrow[l, bend left=25, "j^{*}"] \arrow[r, "i^{*}"] &
C'
\end{tikzcd}

1. a)\(i_{!}\) exists, and has thick image [i.e. \(i_{!} i^{*} F \to F\) injective] ;
2. b)\(j^{*}\) exists and is exact. [N.B. even if \(i_{!}\) exists and is exact, so that \(j^{*}\) exists, we don't see that \(j^{*}\) […] be exact]

If so, \(i_{!} = \mathrm{Ker}\, j^{*}\), \(j^{*} \simeq \mathrm{Coker}\, i_{!}\).

We have seen already a) \(\Longrightarrow\) b), let us prove b) \(\Longrightarrow\) a). Therefore, let us define the functor \[ \tau(F) = \mathrm{Ker}\bigl(F \longrightarrow j_{*} j^{*} F\bigr) , \] we see that \(\tau\) is an […] exact functor [thanks to the fact that \(j_{*} j^{*} F\) is exact] zero on […] of the type \(j_{*}F\), […] hence we have \[ \tau(F) \simeq i_{!} i^{*} F \] with a well-defined exact functor \(i_{!} : C'' \to C\).sic : sur cette page comme sur les suivantes \(i_{!}\) va de \(C'\) dans \(C\) More […] […] \[ \mathrm{Hom}(i_{!}G, F) \simeq \mathrm{Hom}(G, i^{*}F) , \] and we need to obtain only \[ \mathrm{Hom}(i_{!} i^{*}F', F) \simeq \mathrm{Hom}(i^{*}F', i^{*}F) \] i.e. \(\mathrm{Hom}(\tau F', F) \simeq \mathrm{Hom}(i^{*}F', i^{*}F)\).

But as \(j_{*} j^{*} F\) is the biggest […] quotient of \(F\) […], \(\mathrm{Im}\, j_{*} = \mathrm{Ker}\, i^{*}\), this comes […] immediately, by the construction of the quotient category \(C/C''\).

Question. Does The existence of \(j^{*}\) (exact or not) does […] imply the existence of \(i_{!}\) ?

63page barrée de longs traits diagonaux

\[ \begin{array}{lll} j^{*} i_{!} = 0 & i_{!} = \mathrm{Ker}\, j^{*} & j^{*} = \mathrm{Coker}\, i_{!} \\ i^{*} j_{*} = 0 & j_{*} = \mathrm{Ker}\, i^{*} & i^{*} = \mathrm{Coker}\, j_{*} \end{array} \] \[ \begin{array}{ccccccc} 0 & \to & N & \to & i_{!} i^{*} F & \to & F \\ 0 & \to & i^{*}N & \to & i^{*} i_{!} i^{*} F & \to & i^{*}F \\ 0 & \to & i_{!} i^{*} N & \to & i_{!} i^{*} i_{!} i^{*} F & \to & i_{!} i^{*} F \end{array} \]

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
C'' \arrow[r, "j_{*} = j_{!}" description] &
C \arrow[l, bend right=30, "j^{*}"] \arrow[l, bend left=30, "j^{!}"']
  \arrow[r, "i^{*} = i^{!}" description] &
C' \arrow[l, bend right=30, "i_{!}"'] \arrow[l, bend left=30, "i_{*}"]
\end{tikzcd}

2^e généralisation : conditions on pairs \(i^{*}, i_{!}\)

1. a)\(i_{!}\) is fully faithful, thick image, and \(i_{!} i^{*} F \to F\) injective ;
2. b)\(i^{*}\) passage to the quotient that is exact, and one of the following conditions hold (N.B. […] by the previous assumptions, \(j_{*}\) is defined […] said assumptions, and \(j^{*}\) […] must exist […] we checked, and is exact previously […]) \begin{enumerate}
3. \(\alpha\))\(i_{!}\) […] has thick image ;
4. \(\beta\))\(i_{!} i^{*} F \to F\) injective for every \(F\) ;
5. \(\delta\))\(i_{!} = \mathrm{Ker}\, j^{*}\).

\end{enumerate}

[N.B. Many […] conditions which are formally distinct)

This situation is essentially contained in the exact sequence \[ 0 \longrightarrow i_{!} i^{*} F \longrightarrow F \longrightarrow j_{*} j^{*} F \longrightarrow 0 . \]

Under these conditions, is it true that these conditions […] are equivalent to the existence of \(j_{!}\) […] ? If \(i_{*}\) is […] […] it says \[ j_{*} j^{!} F = \mathrm{Ker}\bigl(F \longrightarrow i_{*} i^{*} F\bigr) . \] […]

64l'auteur numérote cette page « 5 ter »

Below

[Assume moreover that \(i^{*}\) exists equally. Then […] situation becomes interesting. Moreover, in this case, […] equivalent conditions

1. a)\(j^{!}\) exact \(\Longrightarrow\)
2. b)\(i_{*}\) exact \(\Longrightarrow\)
3. c)\(\varphi = j^{*} i_{*}\) is exact.

avec, sous b), \(\Downarrow\) \(j_{*}\) Ker épaisse \(\Downarrow\) \(F \to i_{*} i^{*} F\) surjectif.

65page barrée de longs traits diagonaux ; le raisonnement est récrit trois fois par-dessus lui-même et n'est transcrit qu'en partie

Question: is it enough that \(j^{*}\) […] or that \(i_{!}\) be exact \(i_{!} i^{*}F \to F\) have a kernel \(N\) such [that] \(i^{*}N = 0\) […] Then \(j^{*}\) being exact, we have \[ 0 \to N \to i_{!} i^{*} F \to F , \qquad j^{*}N \to j^{*} i_{!} i^{*} F \to j^{*}F . \] Yet \(j^{*} i_{!} = 0\), hence […] \(j^{*}N = 0\) then \(N = 0\). \(i_{!} i^{*} N = N\)

Question. Is it enough \(i_{!}\) exact ?? No, as we see in the case dual to :

\begin{tikzcd}[column sep=huge, nodes={font=\scriptsize}]
C'' \arrow[r, bend left=25, "j^{*}"] &
C \arrow[l, bend left=25, "j_{!}"] \arrow[r, bend left=25, "i^{*}"] &
C' \arrow[l, bend left=25, "i_{*}"]
\end{tikzcd}

où \(C'' = \) \(A\)-modules […] killed by some \(t \in S\), \(C = C_{A}\), \(C' = C_{S^{-1}A}\), \(i^{*}\) la localisation et \(i_{*}\) la restriction des scalaires. \(i_{*}\) is exact, but not \(j_{!}\) in general. [\(A\) […] discrète […], \(S = \{\pi\}\), \(\pi\) uniformisante)

66l'auteur numérote cette page 6 ; elle est barrée de longs traits diagonaux

• foncteur (exact, surjectif et \(=\) un passage au quotient) \(i^{*}\) qui a deux adjoints \(i_{!}\), \(i_{*}\) [dont l'un] exact, et \(=\) pleinement fid. […] (image épaisse) ;
• foncteur (exact, pleinement fid. et \(=\) […] image épaisse) \(j_{*}\) qui a deux adjoints [\(j^{*}\), \(j^{!}\)] dont l'un [\(j^{*}\)] est exact, surjectif, et \(=\) un passage au quotient) ;
• situations mixtes \(i^{*}, i_{*}, j^{*}, j_{*}\) et autres éventuellement ;
• foncteurs exacts à gauche.

Start with situation

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
C \arrow[r, bend left=25, "i^{*}"] & C' \arrow[l, bend left=25, "i_{*}"]
\end{tikzcd}

exact, \(i_{*}\) fully faithful […], \(i^{*}\) exact passage to quotient […]. Then the following conditions are equivalent

1. a)\(i^{*}\) exact has another adjoint \(i_{!}\), \(i_{!}\) is exact has thick image [N.B. \(i_{!} i^{*}F \to F\) […] and \(i_{*}\) […] \(i_{!}\) pl. fid.] ;
2. b)\(i^{*}\) is […] exact [then of the type \(C \to C/j_{*}C'\), where \(j_{*}\) is the imbedding of a thick subcategory \(C''\) of \(C\)], \(j^{*}\) exist and is exact ;
3. c)equivalent with the "standard" situation defined by [an exact] functor \(\varphi\).

Symmetric point of view : start with \(C'' \to C\), \(j_{*}\) fully faithful […], \(j^{*}\) passage au quotient \(C' = C/C''\) […] a) \(j^{*}\) […] adjoint \(i^{*} : C \to C'\) […]

We have already checked c) \(\Longrightarrow\) a), we have checked already c) \(\Longrightarrow\) b) and b) \(\Longrightarrow\) c), now let us check a) \(\Longrightarrow\) b). Of course if we assume b), then \(i^{*}\) is exact [having two] adjoints. […] I […] \(C'' = \mathrm{Im}\) […]. We want to define \(j^{*}F\) : \[ j^{*}F = \mathrm{Coker}\bigl(i_{!} i^{*} F \longrightarrow F\bigr) . \]

67

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
C'' \arrow[r, bend left=25, "j_{*}"] &
C \arrow[l, bend left=25, "j^{*}"] \arrow[r, bend left=25, "i^{*}"] &
C' \arrow[l, bend left=25, "i_{!}"]
\end{tikzcd}

\[ 0 \to F_{U} \to F \to F^{Y} \to 0 , \qquad f_{!} f^{*} , \qquad f = i, j \] \[ 0 \to \Gamma_{Y} F \to F \to \Gamma_{U} F , \qquad f_{*} f^{!} , \qquad f = i, j \]

altogether 12 foncteurs […] :

1. \(j_{*}\), \(j^{*}\), \(j^{!}\) ; \(i^{*}\), \(i_{!}\), \(i_{*}\) ;
2. \(i_{!} i^{*}\), \(i_{*} i^{*}\) \(C \to C\) ;
3. \(j_{*} j^{*}\), \(j_{*} j^{!}\) \(C \to C\) ;
4. \(\varphi = j^{*} i_{*}\) \(C' \to C''\) ;
5. \(j_{*} \varphi\) \(C' \to C\).

68

Notons \((i^{*}, j^{*})\) commutent aux \(\varprojlim\) (quelconques), et : pour que \(\varprojlim_{i} (G_{i}, H_{i}, \lambda_{i})\) existe, il suffit que \(\varprojlim_{i} G_{i}\) et \(\varprojlim_{i} H_{i}\) existent, et alors […] « quelconques » porte au-dessus l'insertion : si elles existent dans \(C'\), \(C''\)

Pour les propriétés d'existence à gauche, \((i^{*}, j^{*})\) est extrêmement « aussi bon que » \(\varphi : C' \to C''\), p.ex. si \(\varphi\) commute aux \(\varprojlim\) finies (resp. quelconques) et si […] […] la \(\varprojlim\) existe dans \(C'\), \(C''\), alors il existe dans \(C\) et les foncteurs \((i^{*}, j^{*})\) y commutent …

Adjonction et objets co-semi-simpliciaux (page 70)

70feuille numérotée 1 dans un cercle

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
A \arrow[r, bend left=25, "f"] & B \arrow[l, bend left=25, "g"]
\end{tikzcd}

\(g\) adjoint à gauche de \(f\), donc on a « gauche » est récrit par-dessus un autre mot \[ \mathrm{id}_{A} \overset{\alpha}{\longrightarrow} gf , \qquad fg \overset{\beta}{\longrightarrow} \mathrm{id}_{B} . \] On pose \(\varphi = fg\). On a aussi \[ \varphi \overset{\lambda}{\longrightarrow} \varphi^{2} , \quad\text{i.e.}\quad fg \longrightarrow f\,\underbrace{gf}_{\alpha}\,g , \qquad \lambda = f * \alpha * g , \] en plus de \(\varphi \overset{\beta}{\longrightarrow} \mathrm{id}_{B}\).

\(\lambda\) et \(\beta\) permettent de définir, pour tout objet \(X\) de \(B\), une structure cosimpliciale co-semi-simpliciale \(\Phi^{*}(X)\) :

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\varphi(X) \arrow[r, bend left=18, "\varphi * \beta"]
           \arrow[r, bend right=18, "\beta * \varphi"'] \arrow[d, no head] &
\varphi^{2}(X) \arrow[r, bend left=25] \arrow[r] \arrow[r, bend right=25]
           \arrow[d, no head] &
\varphi^{3}(X) \arrow[d, no head] \\
\Phi^{0}(X) & \Phi^{1}(X) & \Phi^{2}(X)
\end{tikzcd}

i.e. on a un foncteur co-semi-simplicial

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\varphi \arrow[r, bend left=18] \arrow[r, bend right=18] \arrow[d, no head] &
\varphi^{2} \arrow[r, bend left=25] \arrow[r] \arrow[r, bend right=25]
  \arrow[d, no head] &
\varphi^{3} \arrow[d, no head] \\
\Phi^{0} & \Phi^{1} & \Phi^{2}
\end{tikzcd}

NB Les opérations de dégén[érescence] n'utilisent que \(\beta\), […] \(\lambda\).

Pour tout \(Y\) dans \(A\), on a une co-augmentation \[ f(Y) \longrightarrow \Phi^{*}\bigl(f(Y)\bigr) \] qui est une équivalence d'homotopie, i.e. \(f \xrightarrow{\ \approx\ } \Phi^{*} \circ f\) ; l'homotopie est donnée par \[ f \xrightarrow{\ f * \alpha\ } \Phi \circ f = \varphi f = fgf . \]

Pour tout \(X\) (sous-entendu : […] une donnée d'une […], […] \(X \simeq f(Y)\)), on considère les hom. possibles d'objets co-semi-simpliciaux \[ X \longrightarrow \Phi^{*}(X) \] i.e.

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
X \arrow[d, "u"'] & \\
\varphi(X) \arrow[r, bend left=18, "\varphi(u)"]
           \arrow[r, bend right=18, "\lambda"'] & \varphi^{2}(X)
\end{tikzcd}

Fidélité (pages 71 à 75)

71Titre porté sur la chemise : « Fidélité ».

72

Foncteurs fidèles transportables comme foncteurs oubli de structures.

le premier tiers de la page est récrit deux fois et presque entièrement biffé ; seuls les énoncés qui subsistent sont transcrits

Soit \(p : E \to B\) un foncteur. […] les propriétés [on dit que] :

1. (i)\(p\) est fibrant […] ;
2. (i bis)[…] exacte de \(f^{*}\) […] ;
3. (ii)[…] pour toute flèche \(x \overset{u}{\to} y\) de \(B\) et tout \(\xi \in \mathrm{Ob}\, E_{x}\), il existe \(\xi \to \eta\) dont l'image par \(p\) est \(u\) ;
4. (ii\('\))pour toute flèche \(x \to y\) de \(B\), les flèches cocartésiennes cartésiennes […] sont des isomorphismes.

Soit \(p : E \to B\) un foncteur. On dit que \(p\) est transportable si […] \(E \times_{B} B^{is} \to B^{is}\) est fibrant (ce qui revient au […]). Donc \(p\) est fibrant transp. et \(p^{0}\) l'est. Les flèches cartésiennes de \(E \times_{B} B^{is}\) sont les flèches cocartésiennes et […] les flèches […] de \(E\).

Soit \(p\) un foncteur ; alors \(p\) est isom. à un foncteur transportable.

Soient \(p : E \to B\) et \(p' : E \to B\) deux foncteurs transportables isomorphes. Alors il existe [isomorphe à \(\mathrm{id}_{E}\)] une auto-équivalence \(\Phi\) de \(E\) telle que \(\Phi\) soit une \(B\)-équivalence \((E, p) \to (E, p')\), […]

73conservatif / fidèle \(=\) filtre des propriétés. les deux mots sont réunis par une accolade

74

[…] près.

Soit \(p\) un foncteur transportable. Alors \(p\) est fidèle \(\Longleftrightarrow\) les catégories fibres \(E_{b}\) sont des catégories ordonnées [donc si \(p\) est fibrant, \(E\) est une catégorie fibrée en cat. ordonnées].

Pour que \(p\) soit conservatif, il f. et s. que les catégories fibres soient des groupoïdes […] \(E \times_{B} B^{is}\) soit […]. Donc pour que \(p\) soit fidèle et conservatif, il f. et s. que les \(E_{b}\) soient discrètes.

Soit \(p\) un foncteur fibrant. Conditions équivalentes

1. a)\(p\) fibrant, fidèle, conservatif ;
2. b)\(p\) fibrant [et \(p\) est fidèle] à fibres discrètes ;
3. c)\(p\) fibrant et fidèle pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\, E\), \(E_{/X} \to B_{/p(X)}\) est une équivalence ;
4. d)il existe \(F \in \widehat{B}\) et une \(B\)-équivalence \(E \approx B_{/F}\).

NB. la deuxième cond. de c) signifie que \(p\) est fibrant à fibres discrètes ?

Les foncteurs « oubli de structure » sont les transportables transp. fidèles conservatifs. Il y a un autre fait : les catégories fibres sont en général […] […] ordonnées, i.e. […] pré-ordonnées, […] réduites, ce qui s'exprime en disant […] que l'on […] des relations dans la définition de la transporta[bilité].

75

Si \(p : E \to B\) ne satisfait pas cette condition, une modification triviale de \(E\) (avec équivalence) la rend satisfaite. Partant d'un foncteur fidèle transportable, on définit une \(B^{is}\)-catégorie un foncteur sur \(B^{is}\) \[ b \longmapsto \text{classes d'isom.\ de } E_{b} = \text{« structures d'espèce } p \text{ sur } b \text{ »} \] [à valeurs dans les ensembles […]] (cf. « transport de structure »). \(E\) se reconstitue à isom. […] près […] objet de \(B\) […] muni d'une structure d'espèce \(p\). De façon précise, ceci provient des […]

Le foncteur \(E^{is} \overset{p^{is}}{\longrightarrow} B^{is}\) ne reconstitue pas la catégorie \(E\) elle-même. Pour pouvoir la reconstituer, il faudrait que \(E\) soit fibrant […], et on définit sur \(B\), de façon précise, la notion des « structures image inverse » d'une structure d'espèce \(p\) sur un \(c \in \mathrm{Ob}\, B\), par une flèche \(b \to c\), de façon à obtenir un foncteur \[ \Sigma : B^{\circ} \longrightarrow (\text{ens.\ ordonnés}) \] [ou \(B^{is} \to (\text{ens.\ ordonnés})\)]. […] ainsi \(E\) à équivalence près par la connaissance de \(\Sigma\), et […] à isom. près si \(E \to\) […] identité.

Ainsi, une \(B\)-équivalence (\(B\)-isom.) [comp. et réduits] les catégories fibrées sur \(B\), à projection fidèle), […] foncteurs \(B^{\circ} \to (\text{ens.\ ord.})\), […] parlant en termes de foncteurs […] et pour l'expression des 2-catégories, […] structures est assez suggestif.

Morphismes et comorphismes — questions sur les topos (pages 76 à 80)

76Titre porté sur la chemise : « Morphismes et comor[phismes] — Liste Problèmes ».

77

Questions sur les topos. (Pour M^lle […] ?)

1. 1)Définition et étude des « immersions » de topos. Théorie de Caractérisation ? Par la condition \(f_{*}\) pleinement fidèle, i.e. \(f^{*} f_{*} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{id}\) (i.e. \(f^{*}\) voisin du passage au quotient ?). Théorie de \(f_{!}\) et \(f^{!}\) Dans quelle mesure les N.B. […] \(f : U \to V\) déterminent-elles la « […] » ou le fermé « lui donnant naissance » ? Plus […] et immersions fermées ? Si \(U' \to V'\) […] les topos […] qui sont […] : […] « lieu » [i.e. il existe une équivalence \(V \overset{g}{\to} V'\) rendant commutatif, à isomorphisme près, le diagramme des \(f^{*}\), \(f'^{*}\)], alors \(g\) est-elle déterminée à isom. unique près ? [Métamath. « […] de topos » ??] O.K. pour immersions ouvertes […] de « monomorphisme » […] Caractérisation des immersions ouvertes [par \(f^{*}\) commutant aux limites quelconques, en plus de \(f_{*}\) pl. fid. ?]. Caractérisation des immersions fermées [par la condition \(F \to f_{*} f^{*} F\) un épi pour \(H\) faisceau abélien […] — […], autre condition, en plus de \(f_{*}\) pl. fid.]? Application aux […] \(F = \emptyset\) […] « […] \(H^{i}\) aux \(\varinjlim\) » […] \(f^{*}\) commute aux […] quelconques.
2. 2)Étude des \(f\) tels que \(f\) […]. Alors \(f^{*}\) […] admet-il un adjoint à gauche \(f_{!}\) ? Dans quelle mesure le […] \(f^{*} : U \to U_{/S}\) […] ces deux foncteurs […] est-il typique ?? Il n'est ni l'un ni l'autre, cf. p^te essentiel. Regarder […] la commutation aux limites plutôt …

78

1. 3)Étude du cas où \(f^{*}\) pl. fidèle. Étude du cas où \(f^{*}\) commute aux \(\varprojlim\) finies. [et aussi, à […] on transfère […]]
2. 4)Étude du cas où \(f_{*}\) pl. fidèle (cf. 1°)) […]
3. 5)Notion de morphisme dominant de topos (\(f_{*}(\emptyset) = \emptyset\)). Plus Lien avec le fait \(f^{*}\) conservatif. […] \(f_{*}\) conservatif ? (Peut-on dire […] chose sur le cas \(f_{*}\) conservatif ?)
4. 6)Donner une caractérisation des foncteurs exacts \(U \to V\) provenant […] i.e. […] Cartier-Artin. (Cf. Deligne.)
5. 7)Les morphismes de \(\underline{U}\)-topos forment une \(U\)-cat[égorie] […] (i.e. les \(\mathrm{Hom}\) sont « petits »). L'ens. des classes, à isom. près, de tels morphismes est-il petit ? non
6. 8)a) Théorie de […] : topos noethériens ?
   LaTeX source

   \begin{tikzcd}[column sep=huge]
         (\mathrm{Top}) \arrow[r] &
         (\mathrm{Cat}) \arrow[l, bend left=30, "C \mapsto \widehat{C}"]
         \end{tikzcd}

   b) Topos […] \(H^{i}\) […] […] finies […] on y a[…] lieu de considérer […] une catégorie […]
7. 9)Définir […] les catégories fibrées de topos […] dans certains cas, la situation. (Cas dont obtenir de nouvelles catégories […] discrètes). ne serait-ce pas plus explicite que (Cat) ?
8. 10)Topos […]. Catégories fibrées resp. champs […] essentiellement représentables …
9. 11)
   LaTeX source

   \begin{tikzcd}[column sep=huge]
         (\mathrm{Ens.}) \arrow[r] &
         (\mathrm{Esp.}) \arrow[r] &
         (\mathrm{Top}) \arrow[ll, bend left=30]
         \end{tikzcd}

   le qualificatif qui suit « Esp. » n'a pas pu être lu 2-adjoint à […] des foncteurs fibres

79page barrée de longs traits diagonaux

[…] deux adjoints de \(f\) coïncident et sont isom.

Il suffirait de l'avoir pour deux catégories […] \(C\), \(C'\), telles que \(f\), \(g\) […] pl. fid. […] soient […] par des foncteurs […] : \(\widehat{C}\), \(\widehat{C'}\)). Peut-on […] prendre \(C = C'\), \(f = g\), […] ? Peut-on […] donner une catégorie \(C\), et […] \(f : C \to C\) qui […] soit […] par une […] pl. fid. […], et qui soient isom. […] adjoint (à droite et à gauche)) ? O.K.

Prendre \(C\) une catégorie ayant un objet \(e\), mais telle que le foncteur \(f : C \to C\) défini par \(f(x) = e\) […] constant […] \(C \to C\) ne soit pas pl. fidèle, i.e. \(C\) […] une catégorie discrète, dans \(C\) ayant deux […] \(x \neq e\).

[Ex. minimal :

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
e \arrow[r, bend left=25, "u"] & a \arrow[l, bend left=25, "v"]
\end{tikzcd}

et \(w : a \to a\) : deux objets \(e\), \(a\), trois flèches \(u\), \(v\), \(vu = w\), […] flèches identiques […] composition […] déterminées uniquement […] les relations \([uv = \mathrm{id}_{e}\), \(uw = u\), \(wv = v]\), sauf […] \(w^{2} = \mathrm{id}_{a}\) […] : pour […] il faut dire ce qu'est \(w^{2}\) : on peut prendre \(w^{2} = w\) […] ou deux]. On trouve le […]

80

[…] adjoint à droite […], […] en […] les […] itérées

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
f_{!} & f^{*} \arrow[d, no head] & f_{*} \arrow[d, no head] &
  f^{!} \arrow[d, no head] & f_{?} \arrow[d, no head] \\
& g_{!} & g^{*} \arrow[d, no head] & g_{*} \arrow[d, no head] &
  g^{!} \arrow[d, no head] \\
& & h_{!} & h^{*} & h_{*}
\end{tikzcd}

etc. On trouve ainsi les résultats [de] […]

Proposition. Soit \(U\) un univers, […] contenant un ensemble infini. Pour toute catégorie […] il existe deux \(U\)-topos \(E\), \(F\) [de la forme \(\widehat{C}\), \(\widehat{C'}\)] […] avec […] (\(C\), \(C'\) des petites catégories) et une […] [dont aucun n'est pl. fid.]) […] des \(n\) foncteurs (\(f_{1}, f_{2}, f_{3}, \ldots, f_{n}\) […]) alternativement de \(E\) dans \(F\) et de \(F\) dans \(E\), chacun étant l'adjoint à droite du […] ([…] vaut […] les \(f_{i}\)) qui précède […] \(g\) […] \(= f_{1} \cdots f_{n}\), et […] un morphisme […] […] un morphisme direct].

Question. Peut-on trouver une suite infinie dans les deux directions ? Il suffirait de trouver […] \(f\) et \(g\) tels que \(g\) soit à la fois adjoint […] […] à droite de \(f\), i.e. tels que les la page s'arrête au milieu de la phrase ; la suite est au lot 5