Fonds Grothendieck, cote n° 19, pages 41–60

Remarques — SGA 4 XII (pages 41 et 42)

feuille au crayon, très pâle ; la lecture reste lacunaire d'un bout à l'autre

XII

Dans 6.5.

Remarque (les hypothèses de quasi-compacité et quasi-séparation ne servent que bien pour prouver l'équivalence de la condition a) avec les conditions , en supposant plus faible b), b') etc.

L'équivalence de ces conditions entre elles, et les implications de a) dans b) des 6.5. (i), utilise cette hypothèse et mérite d'être aux bonnes fins . Dans 6.6. également, on n'a besoin de la quasi-compacité et quasi-séparation, de plus, la catégorie de tous les faisceaux . Comme on l'a prouvé d) l'existence s'y complique une telle sous-catégorie — manifestement on n'a pas d'ennui tout abstrait. Dans le lemme 6.7. de démonstration également, on n'utilise pas quasi-compacité et quasi-séparation, sauf, ~~soi-disant~~, bien pour : la limite des faisceaux en \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}-Modules, — ou c'est sans doute inutile — et on le ~~verra~~, de la même, en utilisant XIV 5.2., déduit que l' de changement de injectif — mais directement.

feuillet dactylographié de l'exposé ; deux traits diagonaux en biffent la partie (iii), et l'auteur porte au bas de la page la note qui suit

Adapter la démonstration de XII 8.3. (iii) ; ou se ramener si l'on veut au cas \uncertain{\pi_{0}} surjectif, en remplaçant \overline{X} par \overline{X} \amalg Y !

Foncteurs localisant et catégories de fractions (pages 43 à 53)

Titre porté sur la chemise : « Foncteurs localisant et catégories de fractions ». une main d'archiviste a pointé « 4 p + 5 p » en marge

\begin{tikzcd} A \arrow[r, bend left=20, "T"] & B \arrow[l, bend left=20, "S"] \end{tikzcd} \mathrm{Hom}(x, Sy) \simeq \mathrm{Hom}(Tx, y)

x \in \mathrm{Ob}\, A, conditions équivalentes si S pleinement fidèle :

a)x est isomorphe à un objet de la forme Sy ; b)x \xrightarrow{\ \sim\ } STx ; c)\forall\, x' \in A, \mathrm{Hom}(x', x) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}(Tx', Tx).

(b \Rightarrow a sans hyp. sur S, a \Rightarrow b si on suppose S pleinement fidèle).

\begin{tikzcd} A \arrow[r, bend left=20, "T"] & B \arrow[l, bend left=20, "S"] \end{tikzcd} \mathrm{Hom}(x, Sy) \simeq \mathrm{Hom}(Tx, y).

Conditions équivalentes :

a)S pleinement fidèle ; b)TS \simeq \mathrm{id}_{B} isomorphisme ; c)T est un foncteur de passage au quotient, i.e. si on considère l'ens. M des m \in \mathrm{Fl}\, A tels que Tm \in \mathrm{Isom}(B), et le foncteur A/M \to B, ceci est une équivalence de catégories.

2) A \xrightarrow{\ T\ } A/C = B

Conditions équivalentes sur T i.e. sur C :

a)T admet un foncteur adjoint S : \mathrm{Hom}(Tx, y) \simeq \mathrm{Hom}(x, Sy) ; b)\forall\, x \in A, il existe un plus grand sous-objet x' de x qui est \in C, et si ce dernier est nul, il existe un monomorphisme de x dans un objet C-fermé ; c)\forall\, x \in \mathrm{Ob}\, A, il existe un hom. x \to \widetilde{x} qui est un C-isom., avec \widetilde{x} C-fermé.

Alors le hom. en c) est unique ; puisque c'est aussi x \to STx = Lx.

1) A \xrightarrow{\ T\ } A/C = B, x \in \mathrm{Ob}\, A.

Conditions équivalentes sur x (pour C i.e. T donnée) :

a)\forall\, x' \in A, \mathrm{Hom}(x', x) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}(Tx', Tx) ; b)x' \to x'' un C-isom. , on a \mathrm{Hom}(x'', x) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}(x', x) ; c)tout sous-objet de x qui est \in C , et x \subset x' tel que x'/x \in C x facteur direct.

une insertion de l'auteur, écrite en diagonale, se rattache à b) ; elle est illisible

C catégorie abélienne avec \varinjlim exactes et générateurs. C'' \subset C' deux sous-catégories abéliennes localisantes, i.e.

1o)épaisses ; 2o)stables par \varinjlim.

Foncteurs \begin{align*} \Gamma'(F) &= \text{plus grand sous-objet de } F \in \mathrm{Ob}\, C' \\ \Gamma''(F) &= \text{idem} \in \mathrm{Ob}\, C'' \end{align*} la seconde ligne est portée sur la page par un trait de rappel, et non récrite définir comme adjoints de i'_{*}, i''_{*} ; noter i'^{!}, i''^{!}

\Gamma'/\Gamma''(F) = \Gamma'(F)/\Gamma''(F)

Foncteur

\begin{tikzcd} C' \arrow[r, bend left=20, "T"] & C'/C'' \arrow[l, bend left=20, "S"] \end{tikzcd} et foncteur section,

d'où foncteur \Lambda = ST : C' \to C', avec \mathrm{id}_{C'} \to \Lambda, caractérisé par

1o)x' \to \Lambda(x') est un C''-isom. ; 2o)\Lambda(x') est « C''-fermé », i.e. pour tout hom. y' \to z' dans C', \mathrm{Hom}_{C'/C''}(z', \Lambda x') \to \mathrm{Hom}_{C'/C''}(y', \Lambda x') est bijectif.

distinguer bien \Gamma'/\Gamma'' foncteur C

Lemme 1. \Gamma', \Gamma'', \Lambda existent ; , \Gamma'/\Gamma'' hom. \Gamma'(F) \longrightarrow \Lambda\,\Gamma'(F) Pour \Lambda, . Pour \Gamma' on note \mathrm{Hom}_{C}\bigl( i'_{*}(x'), x \bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( x', \Gamma'(x) \bigr), OK.

Soit x \to y un mono, considérons x'', y'' les plus grands sous-objets de x, y \in \mathrm{Ob}\, C''. Il faut prouver que

\begin{tikzcd} x \arrow[r, hook] & y \\ x'' \arrow[r, hook] \arrow[u, hook] & y'' \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

x'' = x \cap y'', or c'est trivial.

Cor. \Gamma'(x)/\Gamma''(x) \hookrightarrow R^{0}(\Gamma'/\Gamma'')(x).

Considérons pour x \in \mathrm{Ob}\, C variable \Gamma'x \longrightarrow \Lambda\,\Gamma'x d'où un hom. \Gamma'/\Gamma''(x) \longrightarrow \Lambda\,\Gamma'(x), et comme \Lambda\Gamma' est exact à gauche :

\begin{tikzcd} \Gamma'x \arrow[r] \arrow[d] & \Lambda\Gamma' \\ R^{0}(\Gamma'/\Gamma'') \arrow[ur] & \end{tikzcd}

Prop. C'est là un isom. (?) Faux en général ! OK si les injectifs de C'' sont injectifs dans C

équivalent :

Cor. Pour tout x \in \mathrm{Ob}\, C :

a)R^{0}(\Gamma'/\Gamma'')(x) est C''-fermé [dans C', ou dans C, c'est pareil ] ; b)\Gamma'x/\Gamma''(x) \to R^{0}(\Gamma'/\Gamma'')(x) est un C''-isom.

Cor. Si x est injectif, alors \Gamma'(x)/\Gamma''(x) \xrightarrow{\ \sim\ } \Lambda\,\Gamma'(x), i.e. \Gamma'(x)/\Gamma''(x) est C''-fermé. En effet, x/\Gamma''(x) est C''-fermé, et en effet, il est injectif par loc. cit. cor. 2 et cor. 3.

Conditions à envisager :

(i)C \xrightarrow{\ i_{*}\ } A transforme injectifs en injectifs ; (ii)pour tout objet injectif x de A, le plus grand sous-objet x' de x qui est \in \mathrm{Ob}\, C est encore injectif dans A ; (iii)pour tout objet de C, une enveloppe injective dans A est dans C [i.e. C stable par enveloppes injectives] — donc a. c. injectifs dans C ; (iv)~~pour tout x~~ l'homomorphisme naturel R^{0}\bigl( \mathrm{id} / i_{*} i^{!} \bigr) \longrightarrow ST est un isomorphisme, i.e. pour x objet injectif de A, si si x' = i_{*} i^{!}(x) le plus grand sous-objet \in \mathrm{Ob}\, C, alors x/x' est C''-fermé la page n'a introduit que C ; le double prime est celui des pages précédentes ; (v)T : A \to A/C transforme injectifs en injectifs.

cf. Gabriel, cor. 3

(i) \Longrightarrow (ii) : car pour tout x, x' = i_{*} i^{!}(x), or i^{!}(x) [étant adjoint de i_{*}, conditions ] transforme injectifs en injectifs.

(ii) \Longrightarrow (iii) : car si x \in C, soit \overline{x} une enveloppe injective de x dans A, et considérons i_{*}\bigl( i^{!}(\overline{x}) \bigr), c'est un objet injectif de C contenant x, et une extension essentielle, donc [car ] donc c'est une enveloppe injective de x dans C. Si \overline{x} est injectif, il égal à i_{*} i^{!}(\overline{x}). Si (ii) est vérifié, i_{*} i^{!}(\overline{x}) est injectif, d. c. i(x) injectif.

Lemme. Soit x \in \mathrm{Ob}\, C, et soit \overline{x} une enveloppe injective dans A, alors i^{!}(\overline{x}) est une enveloppe injective de x dans C, [donc en particulier x est injectif dans C].

Cor. Tout objet injectif de C, aux isom. près, est de la forme i^{!}(y), y un objet injectif de A.

Cor. (i) \Longleftrightarrow (ii) \Longleftrightarrow (iii).

(ii) \Longrightarrow (iv) : car si x est injectif, on a , car i_{*} i^{!}(x) dans x est ~~injectif~~ C-fermé par loc. cit. cor. 2.

\mathrm{Hom}(x, Sy) \simeq \mathrm{Hom}(Tx, y)

Prop.

\begin{tikzcd} A \arrow[r, bend left=20, "T"] & B \arrow[l, bend left=20, dashed, "S"] \end{tikzcd} T foncteur « passage au quotient » pour une catégorie de fractions.

Soit x \in \mathrm{Ob}\, A, y = T(x). Propriétés équivalentes :

a)x est libre au dessus de y, i.e. \forall\, x' \in \mathrm{Ob}\, A, \mathrm{Hom}_{A}(x', x) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{B}(Tx', Tx) ; b)si x' \to x'' dans A est un « C-isomorphisme » (i.e. Tx' \to Tx'' un isomorphisme) alors \mathrm{Hom}_{A}(x'', x) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A}(x', x) est une bijection ; c)[si B = A/C, A catégorie abélienne, C sous-catégorie abélienne épaisse] tout sous-objet de x « » : \in \mathrm{Ob}\, C est nul, et x est facteur direct dans tout y \supset x tel que y/x \in \mathrm{Ob}\, C ; d)[si l'adjoint S de T existe] x \xrightarrow{\ \sim\ } STx est un isomorphisme ; e)~~[si l'adjoint S de T existe]~~ x est dans l'image essentielle de S, i.e. isomorphe à un objet de la forme Tz [z \in \mathrm{Ob}\, C] la forme attendue serait plutôt Sz ; la page porte Tz.

~~Corollaire. Soit x \in \mathrm{Ob}\, A, et x \to x' une flèche de A. Conditions équivalentes : a) Tx \xrightarrow{\ \sim\ } Tx', et x' est libre sur Tx'. Cf. prop. préc.~~ la proposition entière est encadrée puis biffée en croix

Corollaire 1. Pour que le foncteur adjoint S existe, il f. et s. que pour tout x \in \mathrm{Ob}\, A existe une flèche x \to x' telle que

(i)Tx \to Tx' soit un isom. ; (ii)x' est libre sur Tx', i.e. satisfait aux conditions de la prop.

D'ailleurs, Gabriel prouve

Corollaire 2. ~~Si C~~ Dans le cas A abélienne, B = A/C (C sous-catégorie épaisse), pour que ST S existe, il f. et s. que

a)\forall\, x \in \mathrm{Ob}\, C, existe un plus grand sous-objet x'' de x qui soit \in \mathrm{Ob}\, C la page porte \mathrm{Ob}\, C ; c'est \mathrm{Ob}\, A qui est en jeu ; b)[si x'' = 0,] il existe un monomorphisme de x dans un objet « C-fermé ».

Il la première de ces conditions conditions l'existence de STx, x \to \widetilde{x}

Si C est à \varinjlim exactes et d'intersections, la condition a) est , et signifie que C est stable par \varinjlim. Alors T transforme injectifs en injectifs.

Théorèmes de descente de M. Artin – P. Cartier (pages 54 à 60)

Titre porté sur la chemise : « Théorèmes de descente de M. Artin – Cartier ». une main d'archiviste a pointé « 11 p » en marge, ce qui est exactement le compte des pages 56 à 66 ; le texte déborde donc ce lot

l'auteur numérote lui-même cette page 1, et les suivantes 2, 3, 4

Th. de M. Artin et P. Cartier

Soient C, C', C'' des catégories, f^{*} = (i^{*}, j^{*}) : C \longrightarrow C' \times C'' = D un foncteur. On suppose que i^{*}, j^{*} ont des adjoints i_{*}, j_{*} : \mathrm{Hom}(F, i_{*}G) = \mathrm{Hom}(i^{*}F, G), \qquad \mathrm{Hom}(F, j_{*}H) = \mathrm{Hom}(j^{*}F, H) donc que f^{*} a un adjoint f_{*} f_{*}(G, H) \simeq i_{*}(G) \times j_{*}(H) \begin{align*} \bigl[\ \mathrm{Hom}\bigl( F, f_{*}(G,H) \bigr) &\simeq \mathrm{Hom}\bigl( F, i_{*}(G) \bigr) \times \mathrm{Hom}(F, j_{*}H) \\ &\simeq \mathrm{Hom}(i^{*}F, G) \times \mathrm{Hom}(j^{*}F, H) \\ &\simeq \mathrm{Hom}\bigl( f^{*}F, (G,H) \bigr)\ \bigr] \end{align*}

On suppose de plus

(a)i^{*} i_{*} G \simeq G i.e. i_{*} est pleinement fidèle ; j^{*} j_{*} H \simeq H i.e. j_{*} est pleinement fidèle ; (b)

i^{*} j_{*}(H) est objet final de C' pour tout H \in \mathrm{Ob}\, C''.

[Alors f^{*} f_{*}(G, H) \simeq \bigl( G, \varphi(G) \times H \bigr), et les « données de recollement » sur (G, H) f^{*} dans \bigl( G, \varphi(G) \times H \bigr) \longleftarrow (G, H) de la forme \bigl( \mathrm{id}_{G}, (u, \mathrm{id}_{H}) \bigr), i.e. u : H \to \varphi(G) est arbitraire] ;

(c)les noyaux et co-noyaux existent dans C, et f^{*} commute aux noyaux et co-noyaux [i.e. i^{*}, j^{*} y commutent].

N.B. on pose \varphi = j^{*} i_{*}

(d)f^{*} est conservatif, i.e. si \lambda \in \mathrm{Fl}\, C est tel que i^{*}\lambda et j^{*}\lambda soient des isom., alors \lambda est un isom.

Sous ces conditions, le foncteur naturel C \xrightarrow{\ \theta\ } K [où K est la catégorie des triples (G, H, u), G \in \mathrm{Ob}\, C', H \in \mathrm{Ob}\, C'', u \in \mathrm{Hom}\bigl( H, \varphi(G) \bigr)] est une équivalence de catégories.

Ex. C = faisceaux sur X ; C' = faisceaux sur U \subset X (U ouvert) ; C'' = faisceaux sur Y \subset X (Y = X - U).

équivalent

d')pour tout F \in \mathrm{Ob}\, C, le diagramme

\begin{tikzcd} F \arrow[r] \arrow[d] & i_{*} i^{*} F \arrow[d] \\ j_{*} j^{*} F \arrow[r] & j_{*} j^{*} i_{*} i^{*} F \end{tikzcd}

(i.e.

\begin{tikzcd} F \arrow[r] \arrow[d] & i_{*}(G) \arrow[d] \\ j_{*}(H) \arrow[r] & j_{*}\bigl( \varphi(G) \bigr) \end{tikzcd}

) est cartésien.

La situation

\begin{tikzcd}[column sep=huge] C'' \arrow[r, "j_{*}" description] & C \arrow[l, bend right=45, "j^{*}"'] \arrow[l, bend left=45, "j^{!}"] \arrow[r, "i^{*}" description] & C' \arrow[l, bend right=45, "i_{!}"'] \arrow[l, bend left=45, "i_{*}"] \end{tikzcd}

les trois objets sont notés H, F, G au-dessous de C'', C, C' (catégories abéliennes, foncteurs additifs)

\begin{align*} \mathrm{Hom}(F, j_{*}H) &= \mathrm{Hom}(j^{*}F, H) \\ \mathrm{Hom}(j_{*}H, F) &\simeq \mathrm{Hom}(H, j^{!}F) \\ \mathrm{Hom}(F, i_{*}G) &\simeq \mathrm{Hom}(i^{*}F, G) \\ \mathrm{Hom}(i_{!}G, F) &\simeq \mathrm{Hom}(G, i^{*}F) \end{align*}

j_{!} = j_{*}, j^{*}, i^{*} = i^{!}, i_{!} exacts ; j^{!}, i_{*} exacts à gauche.

\varphi = j^{*} i_{*} : C'' \longleftarrow C', \varphi exact à gauche.

\begin{align*} j_{*} j^{!} F &= \Gamma_{Y} F & j_{*} j^{*} F &= F^{Y} \\ i_{*} i^{*} F &= \Gamma_{U} F & i_{!} i^{*} F &= F^{U} \end{align*}

i^{*} j_{*} = 0, \qquad j^{!} i_{*} = 0, \qquad j^{*} i_{!} = 0, \qquad j^{!} i_{!} = 0 les trois premières portent une croix en marge

j^{*} \longrightarrow \varphi\, i^{*}

Prop. 1. Partons de C'' \xrightarrow{\ j_{*}\ } C \xrightarrow{\ i^{*}\ } C', où j_{*} est pleinement fidèle, i^{*} est un passage au quotient exact [donc i^{*} j_{*} = 0], et j_{*} \simeq \mathrm{Ker}\, i^{*}. Alors

(i)si i_{!} existe [i.e. pl. fid.], alors j^{*} existe, et on a la suite ex. i_{!} i^{*} F \longrightarrow F \longrightarrow j_{*} j^{*} F \longrightarrow 0 De plus j^{*} j_{*} \simeq \mathrm{id}_{C''}, i^{*} i_{!} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{id}_{C'}, j^{*} i_{!} \simeq 0_{C''} ; (i bis)si i_{*} existe, alors j^{!} existe, et on a i_{*} i^{*} F \longleftarrow F \longleftarrow j_{*} j^{!} F \longleftarrow 0 De plus j^{!} j_{*} \simeq \mathrm{id}_{C''}, i^{*} i_{*} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{id}_{C'}, j^{!} i_{*} \simeq 0_{C'}.

Question : si j^{*} existe, est-il vrai que i_{!} existe ?

(N.B. En général, on ne peut y ajouter les zéros …)

L'énoncé (i bis) est dual à (i).

Corollaire 1. [Sous les cond. de prop. 1] Supposons que i_{!} existe (condition (i) de la proposition 1). Les conditions suivantes sont équivalentes :

a)j^{*} exact, i_{!} \simeq \mathrm{Ker}\, j^{*} [a fortiori, i_{!} est exact] ; b)i_{!} a une image essentielle épaisse [épaisse à g. suffit] ; c)i_{!} i^{*}(F) \longrightarrow F est injectif pour tout F, i.e. la suite 0 \longrightarrow i_{!} i^{*} F \longrightarrow F \longrightarrow j_{*} j^{*} F \longrightarrow 0 est exacte ; les deux termes extrêmes sont annotés « F^{U} » et « F^{Y} » d)j^{*} est exact.

~~Alors i_{!} \simeq \mathrm{Ker}\, j^{*}, en particulier i_{!} est exact.~~

a) \Longrightarrow b) trivial.

b) \Longrightarrow c) : car 0 \to N \to i_{!} i^{*} F \to F \Longrightarrow 0 \to i^{*}N \to i^{*} i_{!} i^{*} F \xrightarrow{\ \sim\ } i^{*}F [i^{*} exact] donc , donc i^{*}(N) = 0 , or N = i_{!}(M) par b), i^{*} i_{!}(M) = 0 \Rightarrow M = 0 \Rightarrow N = 0 [i^{*} passage au quotient].

c) \Longrightarrow a) : supposons 0 \to F \to F' \to F'' \to 0

~~a) \Longrightarrow d) trivial~~

d) \Longrightarrow b) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 0 \arrow[r] & i_{!} i^{*} F \arrow[r] \arrow[d] & F \arrow[r] \arrow[d] & j_{*} j^{*} F \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\ 0 \arrow[r] & i_{!} i^{*} F' \arrow[r] \arrow[d] & F' \arrow[r] \arrow[d] & j_{*} j^{*} F' \arrow[r] & 0 \\ 0 \arrow[r] & i_{!} i^{*} F'' \arrow[r] & F'' & & \end{tikzcd}

en utilisant l'injectivité de i_{!} i^{*} F'' \to F'', on trouve j_{*} j^{*} F \to j_{*} j^{*} F' est injectif, donc j^{*}F \to j^{*}F' aussi, et j^{*} ex. (car il est déjà exact à droite).

Soit F = i_{!}G, alors i_{!} i^{*} F \longrightarrow F est un isom. [i^{*} passage au quotient] donc j_{*} j^{*} F = 0 par la suite exacte (i), ~~donc j^{*}F = 0.~~ Réciproquement, si j^{*}F = 0, alors par (i), on trouve i_{!} i^{*} F \xrightarrow{\ \sim\ } F, i.e. F \in \mathrm{Im}\, i_{!}. prop. 1

~~a) \Longrightarrow d) trivial~~

d) \Longrightarrow c) : car 0 \to N \to i_{!} i^{*} F \to F \Longrightarrow j^{*}N \to j^{*} i_{!} i^{*} F [par d)], = 0, d'où j^{*}N = 0, or i^{*}N = 0 \bigl[ 0 \to i^{*}N \to i^{*} i_{!} i^{*} F \xrightarrow{\ \sim\ } i^{*}F \bigr] donc N = j_{*}M, M \in \mathrm{Ob}\, C'', et comme H = j^{*} j_{*} H \simeq j^{*}N = 0, on aura N = 0, cqfd.

~~Cor. 2~~

Corollaire 1 bis. dual. (Les conditions ci-dessus ne sont pas vérifiées dans les situations en vue, en particulier j^{!} ne sera pas exact, \mathrm{Im}\, i_{*} ne sera pas épaisse à droite, F \to i_{*} i^{*} F ne sera pas en général surjectif].

Remarque 1. Les conditions du cor. 1 ne résultent pas du fait que i_{!} est exact, comme on voit dans la situation décrite par la localisation des modules …

Remarque 2. Sous les conditions équiv. du cor. 1, la situation

\begin{tikzcd}[column sep=huge] C'' \arrow[r, "j_{*}" description] & C \arrow[l, bend right=35, "j^{*}"'] \arrow[r, "i^{*}" description] & C' \arrow[l, bend right=35, "i_{!}"'] \end{tikzcd}

symétrique en C', C''^{\circ} :

i^{*} passage au exact de noyau i_{!} la symétrie annoncée demanderait plutôt j_{*} ici ; j^{*} passage au quotient exact de noyau i_{!} ; j_{*} et j^{*} adjoints, i^{*} et i_{!} adjoints.

De façon précise, la situation

\begin{tikzcd}[column sep=huge] C'^{\circ} \arrow[r, "i_{!}^{\circ}" description] & C^{\circ} \arrow[l, bend right=35, "i^{*\circ}"'] \arrow[r, "j^{*\circ}" description] & C''^{\circ} \arrow[l, bend right=35, "j_{*}^{\circ}"'] \end{tikzcd}

satisfait aux hyp. pour la situation au départ. Cette symétrie va être détruite dans ce qui suit.