Cote n° 19 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Topos : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958-1973]
Édition de démonstration

Remarques — SGA 4 XII (pages 41 et 42)

41feuille au crayon, très pâle ; la lecture reste lacunaire d'un bout à l'autre

XII

Dans 6.5.

Remarque (les hypothèses de quasi-compacité et quasi-séparation ne servent que bien […] pour prouver l'équivalence de la condition a) avec les conditions […], en supposant plus faible b), b\('\)) etc.

L'équivalence de ces conditions entre elles, et les implications de a) […] dans b) […] des 6.5. (i), […] utilise […] cette hypothèse et mérite d'être […] aux bonnes fins […]. Dans 6.6. également, on n'a […] besoin de la quasi-compacité et quasi-séparation, […] de plus, la catégorie de tous les faisceaux […]. Comme on l'a prouvé […] d) l'existence s'y complique […] une telle sous-catégorie — manifestement on n'a pas d'ennui […] tout abstrait. Dans le lemme 6.7. de démonstration également, on n'utilise pas […] quasi-compacité et quasi-séparation, sauf, soi-disant, bien pour : la limite […] des faisceaux en \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)-Modules, — ou c'est sans doute inutile […] — et on le verra, de la même, en utilisant XIV 5.2., […] déduit que l'[…] de changement de […] injectif — mais […] directement.

42feuillet dactylographié de l'exposé ; deux traits diagonaux en biffent la partie (iii), et l'auteur porte au bas de la page la note qui suit

Adapter la démonstration de XII 8.3. (iii) ; ou se ramener si l'on veut au cas \(\uncertain{\pi_{0}}\) surjectif, en remplaçant \(\overline{X}\) par \(\overline{X} \amalg Y\) !

Foncteurs localisant et catégories de fractions (pages 43 à 53)

43Titre porté sur la chemise : « Foncteurs localisant et catégories de fractions ». une main d'archiviste a pointé « 4 p + 5 p » en marge

443)

LaTeX source
\begin{tikzcd}
A \arrow[r, bend left=20, "T"] & B \arrow[l, bend left=20, "S"]
\end{tikzcd}
\(\mathrm{Hom}(x, Sy) \simeq \mathrm{Hom}(Tx, y)\)

\(x \in \mathrm{Ob}\, A\), conditions équivalentes si \(S\) pleinement fidèle :

  1. a)\(x\) est isomorphe à un objet de la forme \(Sy\) ;
  2. b)\(x \xrightarrow{\ \sim\ } STx\) ;
  3. c)\(\forall\, x' \in A\), \(\mathrm{Hom}(x', x) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}(Tx', Tx)\).

(b \(\Rightarrow\) a sans hyp. sur \(S\), a \(\Rightarrow\) b si on suppose \(S\) pleinement fidèle).

4)

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\begin{tikzcd}
A \arrow[r, bend left=20, "T"] & B \arrow[l, bend left=20, "S"]
\end{tikzcd}
\(\mathrm{Hom}(x, Sy) \simeq \mathrm{Hom}(Tx, y)\).

Conditions équivalentes :

  1. a)\(S\) pleinement fidèle ;
  2. b)\(TS \simeq \mathrm{id}_{B}\) isomorphisme ;
  3. c)\(T\) est un foncteur de passage au quotient, i.e. si on considère l'ens. \(M\) des \(m \in \mathrm{Fl}\, A\) tels que \(Tm \in \mathrm{Isom}(B)\), et le foncteur \(A/M \to B\), ceci est une équivalence de catégories.

452) \(A \xrightarrow{\ T\ } A/C = B\)

Conditions équivalentes sur \(T\) i.e. sur \(C\) :

  1. a)\(T\) admet un foncteur adjoint \(S\) : \(\mathrm{Hom}(Tx, y) \simeq \mathrm{Hom}(x, Sy)\) ;
  2. b)\(\forall\, x \in A\), il existe un plus grand sous-objet \(x'\) de \(x\) qui est \(\in C\), et si ce dernier est nul, il existe un monomorphisme de \(x\) dans un objet \(C\)-fermé ;
  3. c)\(\forall\, x \in \mathrm{Ob}\, A\), il existe un hom. \(x \to \widetilde{x}\) qui est un \(C\)-isom., avec \(\widetilde{x}\) \(C\)-fermé.

Alors le hom. en c) est unique ; […] puisque c'est aussi \(x \to STx = Lx\).

1) \(A \xrightarrow{\ T\ } A/C = B\), \(x \in \mathrm{Ob}\, A\).

Conditions équivalentes sur \(x\) (pour \(C\) i.e. \(T\) donnée) :

  1. a)\(\forall\, x' \in A\), \(\mathrm{Hom}(x', x) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}(Tx', Tx)\) ;
  2. b)\(x' \to x''\) un \(C\)-isom. […], on a \(\mathrm{Hom}(x'', x) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}(x', x)\) ;
  3. c)tout sous-objet de \(x\) qui est \(\in C\) […], et […] \(x \subset x'\) tel que \(x'/x \in C\) […] \(x\) […] facteur direct.

[…] une insertion de l'auteur, écrite en diagonale, se rattache à b) ; elle est illisible

46\(C\) catégorie abélienne avec \(\varinjlim\) exactes et générateurs. \(C'' \subset C'\) deux sous-catégories abéliennes localisantes, i.e.

  1. 1o)épaisses ;
  2. 2o)stables par \(\varinjlim\).

Foncteurs \[\begin{align*} \Gamma'(F) &= \text{plus grand sous-objet de } F \in \mathrm{Ob}\, C' \\ \Gamma''(F) &= \text{idem} \in \mathrm{Ob}\, C'' \end{align*}\] la seconde ligne est portée sur la page par un trait de rappel, et non récrite définir comme adjoints de \(i'_{*}\), \(i''_{*}\) ; noter \(i'^{!}\), \(i''^{!}\)

\[ \Gamma'/\Gamma''(F) = \Gamma'(F)/\Gamma''(F) \]

Foncteur

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\begin{tikzcd}
C' \arrow[r, bend left=20, "T"] & C'/C'' \arrow[l, bend left=20, "S"]
\end{tikzcd}
et foncteur section,

d'où foncteur \(\Lambda = ST : C' \to C'\), avec \(\mathrm{id}_{C'} \to \Lambda\), caractérisé par

  1. 1o)\(x' \to \Lambda(x')\) est un \(C''\)-isom. ;
  2. 2o)\(\Lambda(x')\) est « \(C''\)-fermé », i.e. pour tout hom. \(y' \to z'\) dans \(C'\), \(\mathrm{Hom}_{C'/C''}(z', \Lambda x') \to \mathrm{Hom}_{C'/C''}(y', \Lambda x')\) est bijectif.

distinguer bien […] \(\Gamma'/\Gamma''\) […] foncteur […] \(C\)

Lemme 1. \(\Gamma'\), \(\Gamma''\), \(\Lambda\) existent ; […], \(\Gamma'/\Gamma''\) hom. […] \[ \Gamma'(F) \longrightarrow \Lambda\,\Gamma'(F) \] […] Pour \(\Lambda\), […]. Pour \(\Gamma'\) on note […] \(\mathrm{Hom}_{C}\bigl( i'_{*}(x'), x \bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( x', \Gamma'(x) \bigr)\), OK.

47Soit \(x \to y\) un mono, considérons \(x''\), \(y''\) les plus grands sous-objets de \(x\), \(y \in \mathrm{Ob}\, C''\). Il faut prouver que

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\begin{tikzcd}
x \arrow[r, hook] & y \\
x'' \arrow[r, hook] \arrow[u, hook] & y'' \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

\(x'' = x \cap y''\), or c'est trivial.

Cor. \(\Gamma'(x)/\Gamma''(x) \hookrightarrow R^{0}(\Gamma'/\Gamma'')(x)\).

Considérons pour \(x \in \mathrm{Ob}\, C\) variable \[ \Gamma'x \longrightarrow \Lambda\,\Gamma'x \] d'où un hom. \(\Gamma'/\Gamma''(x) \longrightarrow \Lambda\,\Gamma'(x)\), et comme \(\Lambda\Gamma'\) est exact à gauche :

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\begin{tikzcd}
\Gamma'x \arrow[r] \arrow[d] & \Lambda\Gamma' \\
R^{0}(\Gamma'/\Gamma'') \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

Prop. C'est là un isom. (?) Faux en général ! OK si les injectifs de \(C''\) sont injectifs dans \(C\)

équivalent :

Cor. Pour tout \(x \in \mathrm{Ob}\, C\) :

  1. a)\(R^{0}(\Gamma'/\Gamma'')(x)\) est \(C''\)-fermé [dans \(C'\), ou dans \(C\), c'est pareil […]] ;
  2. b)\(\Gamma'x/\Gamma''(x) \to R^{0}(\Gamma'/\Gamma'')(x)\) est un \(C''\)-isom.

[…]

Cor. Si \(x\) est injectif, alors \(\Gamma'(x)/\Gamma''(x) \xrightarrow{\ \sim\ } \Lambda\,\Gamma'(x)\), i.e. \(\Gamma'(x)/\Gamma''(x)\) est […] \(C''\)-fermé. En effet, \(x/\Gamma''(x)\) est \(C''\)-fermé, et en effet, il est injectif par loc. cit. cor. 2 et cor. 3.

48Conditions à envisager :

  1. (i)\(C \xrightarrow{\ i_{*}\ } A\) transforme injectifs en injectifs ;
  2. (ii)pour tout objet injectif \(x\) de \(A\), le plus grand sous-objet \(x'\) de \(x\) qui est \(\in \mathrm{Ob}\, C\) est encore injectif dans \(A\) ;
  3. (iii)pour tout objet de \(C\), une enveloppe injective dans \(A\) est dans \(C\) [i.e. \(C\) stable par enveloppes injectives] — donc a. c. injectifs dans \(C\) ;
  4. (iv)pour tout \(x\) l'homomorphisme naturel \[ R^{0}\bigl( \mathrm{id} / i_{*} i^{!} \bigr) \longrightarrow ST \] est un isomorphisme, i.e. pour \(x\) objet injectif de \(A\), si si \(x' = i_{*} i^{!}(x)\) le plus grand sous-objet \(\in \mathrm{Ob}\, C\), alors \(x/x'\) est \(C''\)-fermé la page n'a introduit que \(C\) ; le double prime est celui des pages précédentes ;
  5. (v)\(T : A \to A/C\) transforme injectifs en injectifs.

cf. Gabriel, cor. 3

(i) \(\Longrightarrow\) (ii) : car […] pour tout \(x\), \(x' = i_{*} i^{!}(x)\), or \(i^{!}(x)\) [étant adjoint de \(i_{*}\), […] conditions […]] transforme injectifs en injectifs.

(ii) \(\Longrightarrow\) (iii) : car si \(x \in C\), soit \(\overline{x}\) une enveloppe injective de \(x\) dans \(A\), et considérons \(i_{*}\bigl( i^{!}(\overline{x}) \bigr)\), c'est un objet injectif de \(C\) contenant \(x\), et une extension essentielle, donc [car […]] donc c'est une enveloppe injective de \(x\) dans \(C\). Si \(\overline{x}\) est injectif, il […] égal à \(i_{*} i^{!}(\overline{x})\). Si (ii) est vérifié, \(i_{*} i^{!}(\overline{x})\) est injectif, d. c. \(i(x)\) injectif.

50Lemme. Soit \(x \in \mathrm{Ob}\, C\), et soit \(\overline{x}\) une enveloppe injective dans \(A\), alors \(i^{!}(\overline{x})\) est une enveloppe injective de \(x\) dans \(C\), [donc en particulier […] \(x\) est […] injectif dans \(C\)].

Cor. Tout objet injectif de \(C\), aux isom. près, […] est de la forme \(i^{!}(y)\), \(y\) un objet injectif de \(A\).

Cor. (i) \(\Longleftrightarrow\) (ii) \(\Longleftrightarrow\) (iii).

(ii) \(\Longrightarrow\) (iv) : car si \(x\) est injectif, on a […], car \(i_{*} i^{!}(x)\) dans \(x\) est injectif \(C\)-fermé par loc. cit. cor. 2.

52\(\mathrm{Hom}(x, Sy) \simeq \mathrm{Hom}(Tx, y)\)

Prop.

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\begin{tikzcd}
A \arrow[r, bend left=20, "T"] & B \arrow[l, bend left=20, dashed, "S"]
\end{tikzcd}
\(T\) foncteur « passage au quotient » pour une catégorie de fractions.

Soit \(x \in \mathrm{Ob}\, A\), \(y = T(x)\). Propriétés équivalentes :

  1. a)\(x\) est libre au dessus de \(y\), i.e. \(\forall\, x' \in \mathrm{Ob}\, A\), \[ \mathrm{Hom}_{A}(x', x) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{B}(Tx', Tx) ; \]
  2. b)si \(x' \to x''\) dans \(A\) est un « \(C\)-isomorphisme » (i.e. \(Tx' \to Tx''\) un isomorphisme) alors \(\mathrm{Hom}_{A}(x'', x) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A}(x', x)\) est une bijection ;
  3. c)[si \(B = A/C\), \(A\) catégorie abélienne, \(C\) sous-catégorie abélienne épaisse] tout sous-objet de \(x\) « […] » : \(\in \mathrm{Ob}\, C\) est nul, et \(x\) est facteur direct dans tout \(y \supset x\) tel que \(y/x \in \mathrm{Ob}\, C\) ;
  4. d)[si l'adjoint \(S\) de \(T\) existe] \(x \xrightarrow{\ \sim\ } STx\) est un isomorphisme ;
  5. e)[si l'adjoint \(S\) de \(T\) existe] \(x\) est dans l'image essentielle de \(S\), i.e. isomorphe à un objet de la forme \(Tz\) [\(z \in \mathrm{Ob}\, C\)] la forme attendue serait plutôt \(Sz\) ; la page porte \(Tz\).

53Corollaire. Soit \(x \in \mathrm{Ob}\, A\), […] et \(x \to x'\) une flèche de \(A\). Conditions équivalentes : a) \(Tx \xrightarrow{\ \sim\ } Tx'\), et \(x'\) est libre sur \(Tx'\). Cf. prop. préc. la proposition entière est encadrée puis biffée en croix

Corollaire 1. Pour que le foncteur adjoint \(S\) existe, il f. et s. que pour tout \(x \in \mathrm{Ob}\, A\) existe une flèche \(x \to x'\) telle que

  1. (i)\(Tx \to Tx'\) soit un isom. ;
  2. (ii)\(x'\) est libre sur \(Tx'\), i.e. satisfait aux conditions de la prop.

D'ailleurs, Gabriel prouve

Corollaire 2. Si \(C\) Dans le cas \(A\) abélienne, \(B = A/C\) (\(C\) sous-catégorie épaisse), pour que \(ST\) \(S\) existe, il f. et s. que

  1. a)\(\forall\, x \in \mathrm{Ob}\, C\), existe un plus grand sous-objet \(x''\) de \(x\) qui soit \(\in \mathrm{Ob}\, C\) la page porte \(\mathrm{Ob}\, C\) ; c'est \(\mathrm{Ob}\, A\) qui est en jeu ;
  2. b)[si \(x'' = 0\),] il existe un monomorphisme de \(x\) […] dans un objet « \(C\)-fermé ».

Il […] la première de ces conditions […] conditions […] l'existence de \(STx\), \(x \to \widetilde{x}\)

Si \(C\) est à \(\varinjlim\) exactes et […] d'intersections, la condition a) est […], et signifie […] que \(C\) est stable par \(\varinjlim\). Alors \(T\) transforme injectifs en injectifs.

Théorèmes de descente de M. Artin – P. Cartier (pages 54 à 60)

54Titre porté sur la chemise : « Théorèmes de descente de M. Artin – Cartier ». une main d'archiviste a pointé « 11 p » en marge, ce qui est exactement le compte des pages 56 à 66 ; le texte déborde donc ce lot

56l'auteur numérote lui-même cette page 1, et les suivantes 2, 3, 4

Th. de M. Artin et P. Cartier

Soient \(C\), \(C'\), \(C''\) des catégories, \[ f^{*} = (i^{*}, j^{*}) : C \longrightarrow C' \times C'' = D \] un foncteur. On suppose que \(i^{*}\), \(j^{*}\) ont des adjoints \(i_{*}\), \(j_{*}\) : \[ \mathrm{Hom}(F, i_{*}G) = \mathrm{Hom}(i^{*}F, G), \qquad \mathrm{Hom}(F, j_{*}H) = \mathrm{Hom}(j^{*}F, H) \] donc que \(f^{*}\) a un adjoint \(f_{*}\) \[ f_{*}(G, H) \simeq i_{*}(G) \times j_{*}(H) \] \[\begin{align*} \bigl[\ \mathrm{Hom}\bigl( F, f_{*}(G,H) \bigr) &\simeq \mathrm{Hom}\bigl( F, i_{*}(G) \bigr) \times \mathrm{Hom}(F, j_{*}H) \\ &\simeq \mathrm{Hom}(i^{*}F, G) \times \mathrm{Hom}(j^{*}F, H) \\ &\simeq \mathrm{Hom}\bigl( f^{*}F, (G,H) \bigr)\ \bigr] \end{align*}\]

On suppose de plus

  1. (a)\(i^{*} i_{*} G \simeq G\) i.e. \(i_{*}\) est pleinement fidèle ; \(j^{*} j_{*} H \simeq H\) i.e. \(j_{*}\) est pleinement fidèle ;
  2. (b)\(i^{*} j_{*}(H)\) est objet final de \(C'\) pour tout \(H \in \mathrm{Ob}\, C''\). [Alors \(f^{*} f_{*}(G, H) \simeq \bigl( G, \varphi(G) \times H \bigr)\), et […] les « données de recollement » sur \((G, H)\) […] \(f^{*}\) […] dans […] \(\bigl( G, \varphi(G) \times H \bigr) \longleftarrow (G, H)\) de la forme \(\bigl( \mathrm{id}_{G}, (u, \mathrm{id}_{H}) \bigr)\), i.e. \(u : H \to \varphi(G)\) est arbitraire] ;
  3. (c)les noyaux et co-noyaux existent dans \(C\), et \(f^{*}\) commute aux noyaux et co-noyaux [i.e. \(i^{*}\), \(j^{*}\) y commutent].

N.B. on pose \(\varphi = j^{*} i_{*}\) […]

57

  1. (d)\(f^{*}\) est conservatif, i.e. si \(\lambda \in \mathrm{Fl}\, C\) est tel que \(i^{*}\lambda\) et \(j^{*}\lambda\) soient des isom., alors \(\lambda\) est un isom.

Sous ces conditions, le foncteur naturel \[ C \xrightarrow{\ \theta\ } K \] [où \(K\) est la […] catégorie des triples \((G, H, u)\), \(G \in \mathrm{Ob}\, C'\), \(H \in \mathrm{Ob}\, C''\), \(u \in \mathrm{Hom}\bigl( H, \varphi(G) \bigr)\)] est une équivalence de catégories.

Ex. […] \(C = \) faisceaux sur \(X\) ; \(C' = \) faisceaux sur \(U \subset X\) (\(U\) ouvert) ; \(C'' = \) faisceaux sur \(Y \subset X\) (\(Y = X - U\)).

équivalent […] […]

  1. d\('\))pour tout \(F \in \mathrm{Ob}\, C\), le diagramme

LaTeX source
\begin{tikzcd}
F \arrow[r] \arrow[d] & i_{*} i^{*} F \arrow[d] \\
j_{*} j^{*} F \arrow[r] & j_{*} j^{*} i_{*} i^{*} F
\end{tikzcd}

(i.e.

LaTeX source
\begin{tikzcd}
F \arrow[r] \arrow[d] & i_{*}(G) \arrow[d] \\
j_{*}(H) \arrow[r] & j_{*}\bigl( \varphi(G) \bigr)
\end{tikzcd}

) est cartésien.

58La situation

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=huge]
C'' \arrow[r, "j_{*}" description] &
C \arrow[l, bend right=45, "j^{*}"'] \arrow[l, bend left=45, "j^{!}"]
  \arrow[r, "i^{*}" description] &
C' \arrow[l, bend right=45, "i_{!}"'] \arrow[l, bend left=45, "i_{*}"]
\end{tikzcd}

les trois objets sont notés \(H\), \(F\), \(G\) au-dessous de \(C''\), \(C\), \(C'\) (catégories abéliennes, foncteurs additifs)

\[\begin{align*} \mathrm{Hom}(F, j_{*}H) &= \mathrm{Hom}(j^{*}F, H) \\ \mathrm{Hom}(j_{*}H, F) &\simeq \mathrm{Hom}(H, j^{!}F) \\ \mathrm{Hom}(F, i_{*}G) &\simeq \mathrm{Hom}(i^{*}F, G) \\ \mathrm{Hom}(i_{!}G, F) &\simeq \mathrm{Hom}(G, i^{*}F) \end{align*}\]

\(j_{!} = j_{*}\), \(j^{*}\), \(i^{*} = i^{!}\), \(i_{!}\) exacts ; \(j^{!}\), \(i_{*}\) exacts à gauche.

\(\varphi = j^{*} i_{*} : C'' \longleftarrow C'\), \(\varphi\) exact à gauche.

\[\begin{align*} j_{*} j^{!} F &= \Gamma_{Y} F & j_{*} j^{*} F &= F^{Y} \\ i_{*} i^{*} F &= \Gamma_{U} F & i_{!} i^{*} F &= F^{U} \end{align*}\]

\[ i^{*} j_{*} = 0, \qquad j^{!} i_{*} = 0, \qquad j^{*} i_{!} = 0, \qquad j^{!} i_{!} = 0 \] les trois premières portent une croix en marge

\[ j^{*} \longrightarrow \varphi\, i^{*} \]

Prop. 1. Partons de \(C'' \xrightarrow{\ j_{*}\ } C \xrightarrow{\ i^{*}\ } C'\), où \(j_{*}\) est pleinement fidèle, \(i^{*}\) est un passage au quotient exact [donc \(i^{*} j_{*} = 0\)], et \(j_{*} \simeq \mathrm{Ker}\, i^{*}\). Alors

  1. (i)si \(i_{!}\) existe [i.e. pl. fid.], alors \(j^{*}\) existe, et on a la suite ex. \[ i_{!} i^{*} F \longrightarrow F \longrightarrow j_{*} j^{*} F \longrightarrow 0 \] De plus \(j^{*} j_{*} \simeq \mathrm{id}_{C''}\), \(i^{*} i_{!} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{id}_{C'}\), \(j^{*} i_{!} \simeq 0_{C''}\) ;
  2. (i bis)si \(i_{*}\) existe, alors \(j^{!}\) existe, et on a \[ i_{*} i^{*} F \longleftarrow F \longleftarrow j_{*} j^{!} F \longleftarrow 0 \] De plus \(j^{!} j_{*} \simeq \mathrm{id}_{C''}\), \(i^{*} i_{*} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{id}_{C'}\), \(j^{!} i_{*} \simeq 0_{C'}\).

Question : si \(j^{*}\) existe, est-il vrai que \(i_{!}\) existe ?

(N.B. En général, on ne peut y ajouter les zéros …)

59L'énoncé (i bis) est dual à (i).

Corollaire 1. [Sous les cond. de prop. 1] Supposons que \(i_{!}\) existe (condition (i) de la proposition 1). Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. a)\(j^{*}\) exact, \(i_{!} \simeq \mathrm{Ker}\, j^{*}\) [a fortiori, \(i_{!}\) est […] exact] ;
  2. b)\(i_{!}\) a une image essentielle épaisse [épaisse à g. suffit] ;
  3. c)\(i_{!} i^{*}(F) \longrightarrow F\) est injectif pour tout \(F\), i.e. la suite \[ 0 \longrightarrow i_{!} i^{*} F \longrightarrow F \longrightarrow j_{*} j^{*} F \longrightarrow 0 \] est exacte ; les deux termes extrêmes sont annotés « \(F^{U}\) » et « \(F^{Y}\) »
  4. d)\(j^{*}\) est exact.

Alors \(i_{!} \simeq \mathrm{Ker}\, j^{*}\), en particulier \(i_{!}\) est exact.

a) \(\Longrightarrow\) b) trivial.

b) \(\Longrightarrow\) c) : car \(0 \to N \to i_{!} i^{*} F \to F\) \(\Longrightarrow\) \(0 \to i^{*}N \to i^{*} i_{!} i^{*} F \xrightarrow{\ \sim\ } i^{*}F\) [\(i^{*}\) exact] donc […], donc \(i^{*}(N) = 0\) […], or \(N = i_{!}(M)\) par b), \(i^{*} i_{!}(M) = 0 \Rightarrow M = 0 \Rightarrow N = 0\) [\(i^{*}\) passage au quotient].

c) \(\Longrightarrow\) a) : […] supposons \(0 \to F \to F' \to F'' \to 0\) […]

a) \(\Longrightarrow\) d) trivial

d) \(\Longrightarrow\) b) :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
0 \arrow[r] & i_{!} i^{*} F \arrow[r] \arrow[d] & F \arrow[r] \arrow[d] &
  j_{*} j^{*} F \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & i_{!} i^{*} F' \arrow[r] \arrow[d] & F' \arrow[r] \arrow[d] &
  j_{*} j^{*} F' \arrow[r] & 0 \\
0 \arrow[r] & i_{!} i^{*} F'' \arrow[r] & F'' & &
\end{tikzcd}

en utilisant l'injectivité de \(i_{!} i^{*} F'' \to F''\), on trouve \(j_{*} j^{*} F \to j_{*} j^{*} F'\) est injectif, donc \(j^{*}F \to j^{*}F'\) aussi, et \(j^{*}\) ex. (car il est déjà exact à droite).

Soit \(F = i_{!}G\), alors \(i_{!} i^{*} F \longrightarrow F\) est un isom. [\(i^{*}\) passage au quotient] donc \(j_{*} j^{*} F = 0\) […] par la suite exacte (i), donc \(j^{*}F = 0\). Réciproquement, si \(j^{*}F = 0\), alors par (i), on trouve \(i_{!} i^{*} F \xrightarrow{\ \sim\ } F\), i.e. \(F \in\) […] \(\mathrm{Im}\, i_{!}\). […] prop. 1

60a) \(\Longrightarrow\) d) trivial

d) \(\Longrightarrow\) c) : car […] \(0 \to N \to i_{!} i^{*} F \to F\) […] \(\Longrightarrow\) \(j^{*}N \to j^{*} i_{!} i^{*} F\) […] [par d)], \(= 0\), d'où \(j^{*}N = 0\), or […] \(i^{*}N = 0\) \(\bigl[ 0 \to i^{*}N \to i^{*} i_{!} i^{*} F \xrightarrow{\ \sim\ } i^{*}F \bigr]\) donc \(N = j_{*}M\), \(M \in \mathrm{Ob}\, C''\), et comme \(H = j^{*} j_{*} H \simeq j^{*}N = 0\), on aura \(N = 0\), cqfd.

Cor. 2

Corollaire 1 bis. dual. (Les conditions ci-dessus ne sont pas vérifiées dans les situations en vue, en particulier \(j^{!}\) ne sera pas exact, \(\mathrm{Im}\, i_{*}\) ne sera pas épaisse à droite, \(F \to i_{*} i^{*} F\) ne sera pas en général surjectif].

Remarque 1. […] Les conditions du cor. 1 ne résultent pas du fait que \(i_{!}\) est exact, comme on voit dans la situation décrite par la localisation des modules …

Remarque 2. Sous les conditions équiv. du cor. 1, […] la situation

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=huge]
C'' \arrow[r, "j_{*}" description] &
C \arrow[l, bend right=35, "j^{*}"'] \arrow[r, "i^{*}" description] &
C' \arrow[l, bend right=35, "i_{!}"']
\end{tikzcd}

[…] […] symétrique en \(C'\), \(C''^{\circ}\) :

  1. \(i^{*}\) passage au […] exact de noyau \(i_{!}\) la symétrie annoncée demanderait plutôt \(j_{*}\) ici ;
  2. \(j^{*}\) passage au quotient exact de noyau \(i_{!}\) ;
  3. \(j_{*}\) et \(j^{*}\) adjoints, \(i^{*}\) et \(i_{!}\) adjoints.

De façon précise, la situation

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=huge]
C'^{\circ} \arrow[r, "i_{!}^{\circ}" description] &
C^{\circ} \arrow[l, bend right=35, "i^{*\circ}"'] \arrow[r, "j^{*\circ}" description] &
C''^{\circ} \arrow[l, bend right=35, "j_{*}^{\circ}"']
\end{tikzcd}

satisfait […] aux hyp. pour la situation au départ. Cette symétrie va être détruite dans ce qui suit.