Fonds Grothendieck, cote n° 19, pages 21–40

Cohomologie relative (suite, pages 21 à 27)

~~A \in C. La construction~~

Dans le cas où C est une catégorie abélienne ayant dit-on suffisamment d'injectifs, la question se pose de savoir quand les foncteurs dérivés du usuels au foncteur \Gamma : C \to D coïncident avec les foncteurs dérivés usuels. ~~Voici des~~ Voici les conditions suffisantes raisonnables.

On veut donc en avoir que R_S^{\bullet}\Gamma soit un foncteur cohomologique. ~~Il faut que \varphi soit injectif, i.e. A \to TS(A)~~ une demi-page est ici récrite trois fois et biffée d'un seul trait ; seul le résultat, R_S^{0}\Gamma = \Gamma = R^{0}\Gamma, se lit

Je veux dire à partir de la d'effacer la des R_S^{p}\Gamma l'opérateur cobord \delta défini par en suite courte 0 \to A' \to A \to A'' \to 0. C'est donc le cas si \Gamma\bigl( C^{\bullet}(A) \bigr) est un foncteur exact .

(i)A \to C^{0}(A) est injectif ; (ii)S et T donc C^{0}, donc \Gamma C^{\bullet} sont des foncteurs exacts ; (iii)si 0 \to A' \to A \to A'' \to 0 est une suite courte de C, alors la suite 0 \longrightarrow \Gamma\bigl( C^{0}(A') \bigr) \longrightarrow \Gamma\bigl( C^{0}(A) \bigr) \longrightarrow \Gamma\bigl( C^{0}(A'') \bigr) \longrightarrow 0 est exacte.

[Il suffit que le foncteur \Gamma T soit exact.] Alors R_S^{\bullet}\Gamma est bien un foncteur cohomologique ; en particulier, en degré 0, il coïncide avec R^{0}\Gamma, on va supposer que ~~A \to C^{0}(A) injectif~~ \Gamma est exact à gauche.

Exemples. (i) M = T(N), car alors la suite (6) s'identifie à 0 \longrightarrow \mathrm{Hom}(\widetilde{A''}, \widetilde{N}) \longrightarrow \mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{N}) \longrightarrow \mathrm{Hom}(\widetilde{A'}, \widetilde{N}) \longrightarrow 0 . D'ailleurs, si (6) est telle que, pour ~~tout~~ M = T(N), la suite (7) soit exacte, alors (6) est \sim-exacte.

~~Si M est injectif, alors~~ ~~M \to T(M) \to M^{*} \to 0, M^{*} = \mathrm{coker}\, i_M~~ Supposons le foncteur \sim exact et « fidèle »

(ii) Soit X \in C ; la suite \begin{equation*} S_X : \quad 0 \longrightarrow X \xrightarrow{\ i_X\ } T(X) \longrightarrow X^{*} \longrightarrow 0 \tag{8} \end{equation*} (X^{*} = \mathrm{coker}\, i_X) est \sim-exacte. En effet, elle est transformée en la suite exacte S(S_X) : \quad 0 \longrightarrow \widetilde{X} \longrightarrow \widetilde{T(X)} \longrightarrow \widetilde{X^{*}} \longrightarrow 0 , qui est ~~scindée~~ canoniquement scindée en vertu de (4).

Supposons alors que ~~pour toute~~ M \in C soit tel que, pour toute suite \sim-exacte de cette forme, la suite (7) soit exacte ; je dis que M est \sim-injectif. Cela sera vrai en particulier si X = M pour 0 \to M \to T(M) \to M^{*} \to 0, donc M est facteur direct de T(M) ; ce dernier étant \sim-injectif, il en est donc de même de M. Ceci montre ceci : les objets injectifs sont exactement les facteurs directs des objets T(M).

le haut de la page — la reprise de l'argument précédent — est biffé en croix ; il se lit encore et il est donné ici

~~celles pour lesquelles il existe une suite \sim-exacte de suites du type S(X). Pour le voir, on écrit, si 0 \to A' \to A \to A'' \to 0 est \sim-exacte,~~

Dorénavant \sim est exact et « fidèle »

Une S-résolution d'un A \in C est une résolution X de A, munie d'une opération d'homotopie dans le complexe augmenté 0 \longrightarrow \widetilde{A} \longrightarrow \widetilde{X}^{0} \longrightarrow \widetilde{X}^{1} \longrightarrow \widetilde{X}^{2} \longrightarrow \cdots i.e. de projections splittings dans les suites exactes 0 \longrightarrow \widetilde{Z}^{i}(X^{\bullet}) \longrightarrow \widetilde{X}^{i} \longrightarrow \widetilde{Z}^{i+1}(X^{\bullet}) \longrightarrow 0 \qquad (i \geqslant 0).

~~Proposition. X projectifs~~

Un ~~épimorphisme~~ morphisme \eta : X \to Y de C est dit effaçant si, pour tout A \in C, l'image de \mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{X}) dans \mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{Y}) par u \mapsto \widetilde{\eta}\,\widetilde{u} est contenue dans l'image de \mathrm{Hom}(A, Y), i.e. si l'on a un diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=large] \mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{X}) \arrow[r, "u \mapsto \widetilde{\eta}\widetilde{u}"] & \mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{Y}) \\ \mathrm{Hom}(A, T(X)) \arrow[u, "\approx"] \arrow[r, "u \mapsto T(\eta)u"] \arrow[dr, "\rho_A"'] & \mathrm{Hom}(A, T(Y)) \arrow[u, "\approx"'] \\ & \mathrm{Hom}(A, Y) \arrow[u] \end{tikzcd}

où \rho_A est unique. Cela revient à dire que l'application T(\eta) : T(X) \to T(Y) se factorise en T(X) \to Y \xrightarrow{\ i_Y\ } T(Y).

~~On voit que \eta efface le foncteur T(X)/\varepsilon_X(X).~~ ~~Démonstration, que~~ ~~Exemple~~ Si \eta est un morphisme quelconque, il en est de même de \lambda\eta pour tout \lambda \in \mathrm{Hom}(Y, \ill{}). Un morphisme i_M : M \to T(M) est toujours effaçant.

complexe droit sur un objet A \in C : un complexe X sur A, A \to X, muni de morphismes t : T(A) \to X^{0}, T(X^{i}) \to X^{i+1} (i \geqslant 0) rendant commutatifs les diagrammes

\begin{tikzcd} A \arrow[r, "i"] \arrow[dr, "\varepsilon"'] & T(A) \arrow[d, "t"] \\ & X^{0} \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} X^{i} \arrow[r, "i_{X^{i}}"] \arrow[dr, "d^{i}"'] & T(X^{i}) \arrow[d, "t"] \\ & X^{i+1} \end{tikzcd}

~~Soit plus~~ Soit donc A \to X une S-résolution de A, B \to Y un t-complexe droit sur B, et u : A \to B

un morphisme ; on de façon canonique un homomorphisme \bar{u} de X dans Y compatible avec les augmentations. Si on a déjà défini \bar{u}^{n} : X^{n} \to Y^{n} pour n \leqslant m (n \geqslant -1), on comme suit : on a s^{n+1} \in \mathrm{Hom}(X^{n+1}, \widetilde{X}^{n}), il définit s'^{n+1} \in \mathrm{Hom}\bigl( X^{n+1}, T(Y^{n}) \bigr), donc un morphisme T(\bar{u}^{n}) \circ s'^{n+1} : X^{n+1} \to T(Y^{n}), d'où, ~~en vertu de la~~ par composition avec t^{n} : T(Y^{n}) \to Y^{n+1}, un morphisme t^{n}\, T(\bar{u}^{n})\, s'^{n+1} : X^{n+1} \to Y^{n+1}. On pose \bar{u}^{n+1} \;=\; t^{n}\, T(\bar{u}^{n})\, s'^{n+1} ,

\begin{tikzcd} X^{n} \arrow[r, "d^{n}"] \arrow[d, "\bar{u}^{n}"'] & X^{n+1} \arrow[d, "\bar{u}^{n+1}"] \\ Y^{n} \arrow[r, "d^{n}"] & Y^{n+1} \end{tikzcd}

~~On a \bar{u}^{n+1} d^{n} = t^{n} T(\bar{u}^{n}) s'^{n+1} d^{n}~~ On vérifie que ça marche .

Résolution canonique C^{\bullet}(A), on va C^{n+1}(A) \;=\; T\bigl( C^{n}(A) / \mathrm{Im}\, C^{n-1}(A) \bigr) \qquad \text{(avec par convention } C^{-1}(M) = A\text{)} . ~~C^{\bullet}~~ C(A) : le foncteur est une t-résolution. C'est un foncteur en A ; l'homomorphisme C^{\bullet}(A) \to C^{\bullet}(B) associé à un homomorphisme A \to B est en fait celui défini par et la t-structure de C^{\bullet}(B).

~~Structure multiplicative~~

Exemples. 1) Soient U un anneau, V un sous-anneau ; considérons le foncteur C = C^{U} \longrightarrow \widetilde{C} = C^{V} \qquad \text{restriction des scalaires.} C'est un foncteur exact, et les applications \mathrm{Hom}(A,B) \to \mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{B}) sont injectives. De plus, on a \mathrm{Hom}_{V}(\widetilde{A}, \widetilde{B}) \;=\; \mathrm{Hom}_{V}(A, B) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \struck{\mathrm{Hom}_{U}(U \otimes_{V} A, B)}\; \mathrm{Hom}_{U}\bigl( A, \mathrm{Hom}_{V}(U, B) \bigr) , qui est ~~un isomorphisme~~ un de V-homomorphismes naturel.

~~B \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{U}(U,B) \to \mathrm{Hom}_{V}(U,B)~~ e_B : \mathrm{Hom}_{V}(U, B) \longrightarrow B défini par e_B(f) = f(1). L'homomorphisme (de U) naturel correspondant i_B : B \longrightarrow \mathrm{Hom}_{V}(U, B) est celui qui résulte de B \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{U}(U,B) \to \mathrm{Hom}_{V}(U,B).

Les suites \sim-exactes sont celles qui splittent sur V. Les U-modules \sim-injectifs sont les facteurs directs des modules \mathrm{Hom}_{V}(U, B).

2) On a aussi \mathrm{Hom}_{V}(A, B) \;=\; \mathrm{Hom}_{U}(U \otimes_{V} A, B) , ce qui nous ramène à la situation ~~duale~~ de celle envisagée dans les paragraphes précédents. Ainsi les objets \sim-projectifs sont les facteurs directs d'objets U \otimes_{V} A. La résolution canonique

~~U \otimes_{V} A \to A~~ e^{*}_{A} : A \longrightarrow U \otimes_{V} A \qquad \text{($V$-linéaire, donné par } a \mapsto 1 \otimes a \text{)} i^{+}_{A} : U \otimes_{V} A \longrightarrow A \qquad \text{($U$-linéaire surjectif, } u \otimes_{V} a \mapsto ua \text{)}

3) Soit C la catégorie des faisceaux de \mathcal{O}-modules sur X, et \widetilde{C} la catégorie produit \prod_{x \in X} C^{\mathcal{O}_x}. On a la restriction qui au foncteur de Godement F \mapsto C^{0}(F).

Remarques — SGA 4 IX (pages 28 à 40)

Titre porté sur la chemise : « Remarques » ; au-dessous, « SGA 4 IX ». une main d'archiviste a pointé « 11 p » en marge, ce qui est exactement le compte des pages 30 à 40

~~VII~~ IX

Sorite des faisceaux de torsion. Faisceaux loc. constants. Faisceaux constructibles.

Théorie non commutative : ce n'est qui donne loc. cst. à fibres finies sur X^{\mathrm{cons}}. Le reste du no 2 donne les propriétés d'exactitude de la notion.

(a) Conditions équivalentes :

(i)L'image inverse sur X^{\mathrm{red}} est loc. cst. à fibres finies. (ii)Il existe f : X' \to X localement de présentation finie surjectif, avec f^{*}(F) loc. cst. à fibres finies. (iii)Si X quasi-compact quasi-séparé : il existe une partition de X en X_i localement fermés constructibles, en nombre fini, telle que F|X_i soit loc. cst. à fibres finies. (iv)si X quasi-compact quasi-séparé F est le noyau d'une double flèche F_1 \rightrightarrows F_0, où F_0 et F_1 sont des (v)(X quasi-compact quasi-séparé) des faisceaux représentables par des schémas étales de présentation finie sur X ; ~~F est le des constructibles de type fini~~, et d'un faisceau G de F, G représentable, de plus (vi)(X quasi-compact quasi-séparé) qui admet : F admet une filtration par des i_{!}(G), i : Y \to X immersion constructible, G sur Y. (vii)(X , quasi-compact ) : F admet par abélien, A ; : F deux p_{*}\bigl( G_{X'} \bigr), X' fini de présentation sur X_i, aussi. (viii)Si A = \mathbf{Z}, faisceaux de torsion, X quasi-compact quasi-séparé F est réunion de facteurs directs d'un faisceau qui, , est réunion des par des faisceaux de la forme p_{*}\bigl( i_{!} (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{U} \bigr), où p : X' \to X est finie et de fini, U un ouvert de X' et i : U \to X' l'immersion.

On peut songer aussi aux faisceaux de A-Modules et à la A-constructibilité. Pour de vue rédaction, il bien de commencer par la \mathbf{Q}- et la \Delta-constructibilité.

(b) Déf. Constructibles de type fini, constructibles ~~et constructible~~

Cas (c) : stabilités par \varinjlim et \varprojlim (dans le cas de la ). Il faut que A soit noethérien. (cas noethérien) par facteurs directs.

Cas (d) : constructible (cas noethérien) plus image directe par

Cas (e) : stabilité par morphisme fini quasi- fini

Pureté

Proposition. Soit X un préschéma localement noethérien régulier. Conditions équivalentes :

(i)Pour ~~tout~~ tout sous-préschéma régulier Y de X, et tout sous-préschéma régulier fermé Z de Y, purement de codimension d, on a H^{i}_{Z}(A_Y) = 0 \quad \text{pour } i \neq 2d ~~H^{2d}_{Z}(A_Y) loc. isomorphe à A_Y~~ (ii)Comme ~~dessus~~, avec d = 1. (iii)~~Comme p. Y, Z comme en (i), et~~ Comme (i), Z est un diviseur de ; on a H^{i}_{Z}(A_Y) = 0 \quad \text{si } i \neq 2d .

de X

Dém. (i) \Rightarrow (ii) trivial. (i) \Rightarrow (iii).

(ii) \Rightarrow (i) : par dévissage, on est ramené à , pour d = 1, H^{2}_{Z}(A_Y) est loc. isomorphe à A_Z.

(iii) \Rightarrow (ii) : on est ramené au strict X \struck{\subset} Y (loc. 2, Z = 1). À quelconque (iii), que H^{i}_{Z}(A_X) = 0 si i \neq 2. Réciproquement

Prop. e 1o) Faisceaux quelconques comme \varinjlim de ; 2o) idem d'un constructible dans une \varinjlim de constructibles ; 3o) comparaison des constructibles sur une \varprojlim de préschémas.

~~Cor. f Stabilité par image directe par un faisceau fini~~

On terminera par les propriétés spéciales aux courbes.

Prop. f 1o) Caractérisation de la constructibilité par la propriété d'être loc. constant ; 2o) caractérisation loc. de la clôture des faisceaux ; 3o) et caractérisation des constructibles comme objets

Prop. g Caractérisation des faisceaux loc. constants en A-Modules constructible

5.Variétés les complexes de ~~faisceaux~~ 4. Tors et faisceaux de torsion constructibles. 6.Kummer et Artin–Schreier. 7.Dim. coh. des courbes algébriques.

une accolade portée à gauche des deux premières lignes, avec une flèche, intervertit les nos 5 et 4

Leitfaden.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & 1 \arrow[d, no head] & \\ & 2 \arrow[dl, no head] \arrow[d, no head] \arrow[dr, no head] & \\ 5 & 3 \arrow[d, no head] & 6 \arrow[d, no head] \\ & 4 & 7 \end{tikzcd}

la page porte deux croquis de ce Leitfaden ; le premier, surchargé et biffé, ne se lit pas — le diagramme ci-dessus est celui du second

~~Théorème.~~ Soit F un faisceau de \ell-torsion sur Y, et soit \xi \in H^{n}\bigl( X, f^{*}(F) \bigr). Pour que \xi \in \mathrm{Im}\, H^{n}(Y, F), il faut et suffit que, pour tout y \in Y, la classe \xi_{\bar{y}} \in H^{n}(X_{\bar{y}}, F_{\bar{y}}) induite sur la fibre géométrique en X_{\bar{y}} soit nulle.

Y loc. noeth.

Corollaire. Supposons f propre et acyclique par le . Pour qu'il soit globalement acyclique par \ell, il faut et suffit que les fibres géométriques soient acycliques par \ell.

Dém. du no 2. Par hypothèse r = 0 : \begin{cases} R^{q} f_{*}\bigl( f^{*}(F) \bigr) = 0 & \text{pour } 0 < q \leqslant n-1 \\ R^{0} f_{*}\bigl( f^{*}(G) \bigr) \simeq G & \end{cases} donc la suite spectrale donne une suite exacte \cdots \longrightarrow H^{n}(Y, F) \longrightarrow H^{n}(X, F) \longrightarrow H^{0}\bigl( Y, R^{n} f_{*}(f^{*}F) \bigr) \mathrm{NB.} on suppose n \geqslant 0 (ou n \geqslant 1 ; si n = 0, cet énoncé est un énoncé séparé avec le ) donc on est ramené à prouver qu'une section de R^{n} f_{*}\bigl( f^{*}(F) \bigr) qui induit 0 sur chaque fibre géométrique est nulle. On est ramené

XII : 6.2. … \varphi^{i} : T^{i}(X) \to T'^{i}(X), pour i \leqslant n, pour i = n+1.

\longrightarrow A \to B \to C \to 0

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] T^{i-1}(B) \arrow[r] \arrow[d] & T^{i-1}(C) \arrow[r] \arrow[d] & T^{i}(A) \arrow[r] \arrow[d] & T^{i}(B) \arrow[r] \arrow[d] & T^{i}(C) \arrow[d] \\ T'^{i-1}(B) \arrow[r] & T'^{i-1}(C) \arrow[r] & T'^{i}(A) \arrow[r] & T'^{i}(B) \arrow[r] & T'^{i}(C) \end{tikzcd} le diagramme est celui que la page numérote (I) ; le quatrième terme de la ligne du haut est d'une lecture douteuse — T^{i}(B) est ce qu'exige la suite, mais la page porte plutôt \varphi^{i}(B)

a) Supposons qu'on sache que \varphi^{i} est un isomorphisme pour i \leqslant n-1, pour i = n, et si l'on a un système de cogénérateurs pour lesquels \varphi^{i} est un . Alors le diagramme (I) pour i = n montre que \varphi^{n+1} un isomorphisme pour tous les arguments. Plus précisément, si A est tel qu'il existe A \to B mono et que c'est vrai pour \varphi^{n}(B), c'est vrai pour \varphi^{n}(A).

b) Supposons qu'on sache que \varphi^{i} est un isomorphisme pour i \leqslant n, et \varphi^{n+1} un mono. pour un système de cogénérateurs. Alors le diagramme (I) avec i = n+1 montre que \varphi^{n+1} est un pour tous les arguments. Plus précisément, si \exists\, A \to B mono, et si c'est vrai pour B, c'est vrai pour A.

a') Même hypothèse préliminaire sur les \varphi^{i} que dans a) (isom. si i \leqslant n-1, mono si i = n). On sait de plus si \varphi^{n}(B) est un isomorphisme (i.e. une section) pour B donné. Si on a une suite exacte 0 \to A \to B \to C \to 0, il de le vérifier pour \varphi^{n}(A) et \varphi^{n+1}(C) ? Oui, ~~parce que~~ \varphi^{n+1}(A) sont injectifs, non en général.

b') Même hypothèse préliminaire que b) (\varphi^{i} un isomorphisme si i \leqslant n). On veut savoir si \varphi^{n+1}(B) est un mono. Suffit-il de le vérifier pour \varphi^{n+1}(A) et \varphi^{n+1}(C) ? Oui.

Enfin on conclut que tout morphisme projectif simple est \in M, cqfd.

Corollaire. Supposons en de plus c) la condition suivante satisfaite :

c') Soit X' \xrightarrow{\ f\ } X \xrightarrow{\ g\ } Y morphismes propres, X_0 un sous-préschéma fermé de X, U = X - X_0, U' = f^{-1}(U). Et Supposons que U' \to U soit un isomorphisme, et que X_0 \xrightarrow{\ g_0\ } Y ~~soit~~ et gf : X' \to Y soient \in M. Alors f \in M.

Alors tout morphisme propre f : X \to Y ~~est~~ \in M.

En effet, il est trivial que c') implique c), donc tout morphisme projectif est \in M. On obtient le cas d'un morphisme ~~quelconque~~ propre quelconque en utilisant c), qui provient du le dévissage c' et d'utiliser noethérienne. Le lemme de Chow donne alors le résultat voulu.

c) Supposons les \varphi^{i} ~~des isomorphismes~~ ~~fonctoriels~~ un épimorphisme surjectif. Quand peut-on conclure que \varphi^{n+1} est un mono ? Réponse : il suffit que T'^{n+1} soit effaçable. Donc si les T'^{i} sont effaçables pour i > i_0, et bien qu'il en donne \leqslant i_0, on

c') ~~Supposons les \varphi^{i} des isomorphismes ; on n'a pas T'^{i-1} sont effaçables~~ pour i > i_0, et \varphi^{i} un épi. i \leqslant n (ou n \geqslant i_0). Alors \varphi^{i} est un ~~épi~~ isom pour i \leqslant n, un épi en degré n+1.

Revenons aux a), b). On a des propriétés I_n, J_n d'un argument A \in \uncertain{\mathrm{Ob}\, C} :

I_n(A) : \varphi^{i}(A) isom. si i \leqslant n ; J_n(A) : \varphi^{i}(A) isom. si i < n, mono si i = n+1. I_n \Rightarrow J_n \Rightarrow J_m \cdots I_n pour tout A, + J_n pour \Rightarrow J_n pour tout A J_n pour tout A, + I_{n+1} pour tout \Rightarrow I_{n+1} pour tout A

Concl. Pour vérifier I_n (ou J_n) pour tout A, sachant que c'est vrai pour fixés, il suffit de vérifier I_m(B) (ou J_m(B)) pour m \leqslant n et tout B.

On avait ici des arguments . Dans les questions de dim. coh., il faut « démouler » la question et des des conditions pour que l'un T^{i} soit nul (pour tout argument). Ceci en utiliser les faits suivants (savoir aussi dans que T^{i} est la suite de cette page se lit page 39

~~Lemme 1~~ Proposition. Soit M un ensemble de morphismes de préschémas loc. noethériens. On suppose que

a)pour un morphisme f : X \to Y, l'-M : M est local sur Y ; d)si X \xrightarrow{\ f\ } Y \xrightarrow{\ g\ } Z sont tels que f soit une immersion fermée et gf \in M et gf simple, alors gf \in M ; f : \mathbf{P}^{i}_{Y} \to Y est ; et \mathrm{id}_Y : Y \to Y est \in M ; b)si X \xrightarrow{\ f\ } Y \xrightarrow{\ g\ } Z avec f, g \in M, alors gf \in M ; c)si X = \mathbf{P}^{r}_{Y} \xrightarrow{\ g\ } Y est le morphisme structural canonique, ~~et si~~ X' = \mathbf{P}^{1}_{Y} \times \mathbf{P}^{r-1}_{Y} est muni du morphisme birationnel bien connu X' \xrightarrow{\ f\ } X, et si gf \in M, alors g \in M.

Sous ces conditions, tout morphisme simple projectif f : X \to Y est \in M.

En effet, on voit par récurrence sur r, utilisant a), b), c), que les \mathbf{P}^{r}_{Y} \xrightarrow{\ f\ } Y sont \in M. Utilisant d), il s'ensuit que pour tout sous-préschéma fermé X de \mathbf{P}^{r}_{Y} simple/Y la projection sur Y est \in M.

Deux énoncés :

si T^{i}(B) = 0, alors T^{i}(A) = 0 pour tout facteur direct A de B ; si A a une filtration par facteurs A_{\alpha} telle que T^{i}(A_{\alpha}) = 0 pour tout \alpha, alors T^{i}(A) = 0.

Pour les foncteurs cohomologiques de faisceaux de \ell-torsion constructibles sur X (), remarquer ~~déjà~~ que, pour avoir T^{i}(F) = 0 pour tout tel F, il suffit de le prouver pour un F de la forme i_{!}\Bigl( p_{*}\bigl( (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{Y'} \bigr) \Bigr) \;=\; q_{*}\, j_{!}\bigl( (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{Y'} \bigr) , Y étant un sous-préschéma constructible de X, Y' un revêtement étale fini de Y de degré constant, et p : Y' \to Y, i : Y \to X les morphismes canoniques. On les prend d'un immédiatement des X' fini sur X.

\begin{tikzcd} Y' \arrow[r, hook] \arrow[d, "p"'] & X' \arrow[d, "q"] \\ Y \arrow[r, hook, "i"'] & X \end{tikzcd}

Toute sous-catégorie pleine de la catégorie des faisceaux de \ell-torsion constructibles sur X, stable par facteurs directs, par extension, et contenant les faisceaux q_{*}\, j_{!}\bigl( (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{Y'} \bigr), , est . Si l'on veut une sous-catégorie telle que, pour toute suite exacte 0 \to A \to B \to C \to 0, si B et C y sont, alors A y est — je crois si c'est une sous-catégorie épaisse — alors il suffit de vérifier que les q_{*}\bigl( (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{X'} \bigr) y sont, X' fini sur X.

Car X , on peut de plus prendre X' intègre. Si X est de plus noeth. séparé, on peut prendre X' intègre normalisé.

la page entière est biffée en croix

~~sont~~ les de S, i.e. dans X_0. Donc, pour voir que c'est un isomorphisme de X_0, il suffit de voir que l' R\, j^{!}, où g : X_0 \to Y, un isomorphisme en 2. On

R\, g^{!}\bigl( R\, i^{!}(\mu_{\alpha}) \bigr) \longrightarrow R\, j^{!}\bigl( A_Y[-2] \bigr) la page suspend chacun des deux termes, par un signe \wr, à une seconde ligne qui ne se lit pas

X_0 \xrightarrow{\ g\ } Y \xrightarrow{\ j\ } X, la composée notée h

~~R\, h^{!}(\mu_{\alpha})~~