Cote n° 19, pages 21–40

Cote n° 19 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Topos : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958-1973]
Édition de démonstration

Cohomologie relative (suite, pages 21 à 27)

21[…] $A \in C$. La construction

Dans le cas où $C$ est une catégorie abélienne ayant dit-on suffisamment d'injectifs, la question se pose de savoir quand les foncteurs dérivés du [usuels] au foncteur $\Gamma : C \to D$ coïncident avec les foncteurs dérivés usuels. Voici des [Voici les] conditions suffisantes raisonnables.

On veut donc en avoir que $R_S^{\bullet}\Gamma$ soit un foncteur cohomologique. Il faut que $\varphi$ soit injectif, i.e. $A \to TS(A)$ […] une demi-page est ici récrite trois fois et biffée d'un seul trait ; seul le résultat, $R_S^{0}\Gamma = \Gamma = R^{0}\Gamma$, se lit

Je veux dire […] à partir de la […] d'effacer la […] des $R_S^{p}\Gamma$ […] l'opérateur cobord $\delta$ défini par […] en suite courte $0 \to A' \to A \to A'' \to 0$. C'est donc le cas si $\Gamma\bigl( C^{\bullet}(A) \bigr)$ est un foncteur exact […].

(i)$A \to C^{0}(A)$ est injectif ;
(ii)$S$ et $T$ [donc $C^{0}$, donc $\Gamma C^{\bullet}$] sont des foncteurs exacts ;
(iii)si $0 \to A' \to A \to A'' \to 0$ est une suite courte de $C$, alors la suite \[ 0 \longrightarrow \Gamma\bigl( C^{0}(A') \bigr) \longrightarrow \Gamma\bigl( C^{0}(A) \bigr) \longrightarrow \Gamma\bigl( C^{0}(A'') \bigr) \longrightarrow 0 \] est exacte.

[Il suffit que le foncteur $\Gamma T$ soit exact.] Alors $R_S^{\bullet}\Gamma$ est bien un foncteur cohomologique ; en particulier, en degré $0$, il coïncide avec $R^{0}\Gamma$, […] on va supposer que $A \to C^{0}(A)$ injectif $\Gamma$ est exact à gauche.

22Exemples. (i) […] $M = T(N)$, car alors la suite (6) s'identifie à \[ 0 \longrightarrow \mathrm{Hom}(\widetilde{A''}, \widetilde{N}) \longrightarrow \mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{N}) \longrightarrow \mathrm{Hom}(\widetilde{A'}, \widetilde{N}) \longrightarrow 0 . \] D'ailleurs, si (6) est telle que, pour tout $M = T(N)$, la suite (7) soit exacte, alors (6) est $\sim$-exacte.

Si $M$ est injectif, alors […] $M \to T(M) \to M^{*} \to 0$, $M^{*} = \mathrm{coker}\, i_M$ [Supposons le foncteur $\sim$ exact et « fidèle »]

(ii) Soit $X \in C$ ; la suite \[\begin{equation*} S_X : \quad 0 \longrightarrow X \xrightarrow{\ i_X\ } T(X) \longrightarrow X^{*} \longrightarrow 0 \tag{8} \end{equation*}\] ($X^{*} = \mathrm{coker}\, i_X$) est $\sim$-exacte. En effet, elle est transformée en la suite exacte \[ S(S_X) : \quad 0 \longrightarrow \widetilde{X} \longrightarrow \widetilde{T(X)} \longrightarrow \widetilde{X^{*}} \longrightarrow 0 , \] qui est scindée [canoniquement scindée] en vertu de (4).

Supposons alors que pour toute [$M \in C$ soit tel que, pour toute] suite $\sim$-exacte de cette forme, la suite (7) soit exacte ; je dis que $M$ est $\sim$-injectif. Cela sera vrai en particulier si $X = M$ pour $0 \to M \to T(M) \to M^{*} \to 0$, donc $M$ est facteur direct de $T(M)$ ; ce dernier étant $\sim$-injectif, il en est donc de même de $M$. Ceci montre ceci : les objets injectifs sont exactement les facteurs directs des objets $T(M)$.

23le haut de la page — la reprise de l'argument précédent — est biffé en croix ; il se lit encore et il est donné ici

celles pour lesquelles il existe une suite $\sim$-exacte de suites du type $S(X)$. Pour le voir, on écrit, si $0 \to A' \to A \to A'' \to 0$ est $\sim$-exacte,

Dorénavant $\sim$ est exact et « fidèle »

Une $S$-résolution d'un $A \in C$ est une résolution $X$ de $A$, munie d'une opération d'homotopie […] dans le complexe augmenté \[ 0 \longrightarrow \widetilde{A} \longrightarrow \widetilde{X}^{0} \longrightarrow \widetilde{X}^{1} \longrightarrow \widetilde{X}^{2} \longrightarrow \cdots \] i.e. de projections [splittings] dans les suites exactes \[ 0 \longrightarrow \widetilde{Z}^{i}(X^{\bullet}) \longrightarrow \widetilde{X}^{i} \longrightarrow \widetilde{Z}^{i+1}(X^{\bullet}) \longrightarrow 0 \qquad (i \geqslant 0). \]

Proposition. […] $X$ […] projectifs

Un épimorphisme morphisme $\eta : X \to Y$ de $C$ est dit effaçant si, pour tout $A \in C$, l'image de $\mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{X})$ dans $\mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{Y})$ par $u \mapsto \widetilde{\eta}\,\widetilde{u}$ est contenue dans l'image de $\mathrm{Hom}(A, Y)$, i.e. si l'on a un diagramme commutatif

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{X}) \arrow[r, "u \mapsto \widetilde{\eta}\widetilde{u}"] & \mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{Y}) \\
\mathrm{Hom}(A, T(X)) \arrow[u, "\approx"] \arrow[r, "u \mapsto T(\eta)u"] \arrow[dr, "\rho_A"'] & \mathrm{Hom}(A, T(Y)) \arrow[u, "\approx"'] \\
 & \mathrm{Hom}(A, Y) \arrow[u]
\end{tikzcd}

où $\rho_A$ est […] unique. Cela revient à dire que l'application $T(\eta) : T(X) \to T(Y)$ se factorise en $T(X) \to Y \xrightarrow{\ i_Y\ } T(Y)$.

On voit que $\eta$ efface le foncteur $T(X)/\varepsilon_X(X)$. Démonstration, que Exemple Si $\eta$ est un morphisme quelconque, il en est de même de $\lambda\eta$ pour tout $\lambda \in \mathrm{Hom}(Y, \ill{})$. Un morphisme $i_M : M \to T(M)$ est toujours effaçant.

[…] complexe droit sur un objet $A \in C$ : un complexe […] $X$ sur $A$, $A \to X$, muni de morphismes $t : T(A) \to X^{0}$, $T(X^{i}) \to X^{i+1}$ ($i \geqslant 0$) rendant commutatifs les diagrammes

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\begin{tikzcd}
A \arrow[r, "i"] \arrow[dr, "\varepsilon"'] & T(A) \arrow[d, "t"] \\
 & X^{0}
\end{tikzcd}

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\begin{tikzcd}
X^{i} \arrow[r, "i_{X^{i}}"] \arrow[dr, "d^{i}"'] & T(X^{i}) \arrow[d, "t"] \\
 & X^{i+1}
\end{tikzcd}

Soit plus Soit donc $A \to X$ une $S$-résolution de $A$, $B \to Y$ un $t$-complexe droit sur $B$, et $u : A \to B$

25un morphisme ; on […] de façon canonique un homomorphisme $\bar{u}$ de $X$ dans $Y$ compatible avec les augmentations. Si on a déjà défini $\bar{u}^{n} : X^{n} \to Y^{n}$ pour $n \leqslant m$ ($n \geqslant -1$), on […] comme suit : on a $s^{n+1} \in \mathrm{Hom}(X^{n+1}, \widetilde{X}^{n})$, il définit $s'^{n+1} \in \mathrm{Hom}\bigl( X^{n+1}, T(Y^{n}) \bigr)$, donc un morphisme $T(\bar{u}^{n}) \circ s'^{n+1} : X^{n+1} \to T(Y^{n})$, d'où, en vertu de la [par composition avec] $t^{n} : T(Y^{n}) \to Y^{n+1}$, un morphisme $t^{n}\, T(\bar{u}^{n})\, s'^{n+1} : X^{n+1} \to Y^{n+1}$. On pose \[ \bar{u}^{n+1} \;=\; t^{n}\, T(\bar{u}^{n})\, s'^{n+1} , \]

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\begin{tikzcd}
X^{n} \arrow[r, "d^{n}"] \arrow[d, "\bar{u}^{n}"'] & X^{n+1} \arrow[d, "\bar{u}^{n+1}"] \\
Y^{n} \arrow[r, "d^{n}"] & Y^{n+1}
\end{tikzcd}

On a $\bar{u}^{n+1} d^{n} = t^{n} T(\bar{u}^{n}) s'^{n+1} d^{n}$ On vérifie que ça marche […].

Résolution canonique $C^{\bullet}(A)$, […] on va […] \[ C^{n+1}(A) \;=\; T\bigl( C^{n}(A) / \mathrm{Im}\, C^{n-1}(A) \bigr) \qquad \text{(avec par convention } C^{-1}(M) = A\text{)} . \] $C^{\bullet}$ $C(A)$ : le foncteur […] est une $t$-résolution. C'est un foncteur en $A$ ; l'homomorphisme $C^{\bullet}(A) \to C^{\bullet}(B)$ associé à un homomorphisme $A \to B$ est en fait celui défini par […] et la $t$-structure de $C^{\bullet}(B)$.

26Structure multiplicative

Exemples. 1) Soient $U$ un anneau, $V$ un sous-anneau ; considérons le foncteur \[ C = C^{U} \longrightarrow \widetilde{C} = C^{V} \qquad \text{restriction des scalaires.} \] C'est un foncteur exact, et les applications $\mathrm{Hom}(A,B) \to \mathrm{Hom}(\widetilde{A}, \widetilde{B})$ sont injectives. De plus, on a \[ \mathrm{Hom}_{V}(\widetilde{A}, \widetilde{B}) \;=\; \mathrm{Hom}_{V}(A, B) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \struck{\mathrm{Hom}_{U}(U \otimes_{V} A, B)}\; \mathrm{Hom}_{U}\bigl( A, \mathrm{Hom}_{V}(U, B) \bigr) , \] qui est un isomorphisme un […] de $V$-homomorphismes naturel.

$B \xrightarrow{\sim} \mathrm{Hom}_{U}(U,B) \to \mathrm{Hom}_{V}(U,B)$ \[ e_B : \mathrm{Hom}_{V}(U, B) \longrightarrow B \] défini par $e_B(f) = f(1)$. L'homomorphisme (de $U$) naturel correspondant \[ i_B : B \longrightarrow \mathrm{Hom}_{V}(U, B) \] est celui qui résulte de $B \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{U}(U,B) \to \mathrm{Hom}_{V}(U,B)$.

Les suites $\sim$-exactes sont celles qui splittent sur $V$. Les $U$-modules $\sim$-injectifs sont les facteurs directs des modules $\mathrm{Hom}_{V}(U, B)$.

272) On a aussi \[ \mathrm{Hom}_{V}(A, B) \;=\; \mathrm{Hom}_{U}(U \otimes_{V} A, B) , \] ce qui nous ramène à la situation duale de celle envisagée dans les paragraphes précédents. Ainsi les objets $\sim$-projectifs sont les facteurs directs d'objets $U \otimes_{V} A$. La résolution canonique […]

$U \otimes_{V} A \to A$ \[ e^{*}_{A} : A \longrightarrow U \otimes_{V} A \qquad \text{($V$-linéaire, donné par } a \mapsto 1 \otimes a \text{)} \] \[ i^{+}_{A} : U \otimes_{V} A \longrightarrow A \qquad \text{($U$-linéaire surjectif, } u \otimes_{V} a \mapsto ua \text{)} \]

3) Soit $C$ la catégorie des faisceaux de $\mathcal{O}$-modules sur $X$, et $\widetilde{C}$ la catégorie produit $\prod_{x \in X} C^{\mathcal{O}_x}$. On a la restriction […] qui […] au foncteur de Godement $F \mapsto C^{0}(F)$.

Remarques — SGA 4 IX (pages 28 à 40)

28Titre porté sur la chemise : « Remarques » ; au-dessous, « SGA 4 IX ». une main d'archiviste a pointé « 11 p » en marge, ce qui est exactement le compte des pages 30 à 40

30VII IX

Sorite des faisceaux de torsion.
Faisceaux loc. constants.
Faisceaux constructibles.

Théorie non commutative : ce n'est […] qui donne loc. cst. à fibres finies sur $X^{\mathrm{cons}}$. Le reste du n^o 2 donne les propriétés d'exactitude de la notion.

(a) Conditions équivalentes :

(i)L'image inverse sur $X^{\mathrm{red}}$ est loc. cst. à fibres finies.
(ii)Il existe $f : X' \to X$ localement de présentation finie surjectif, avec $f^{*}(F)$ loc. cst. à fibres finies.
(iii)Si $X$ quasi-compact quasi-séparé : il existe une partition de $X$ en $X_i$ localement fermés constructibles, en nombre fini, telle que $F|X_i$ soit loc. cst. à fibres finies.
(iv)[si $X$ quasi-compact quasi-séparé] $F$ est le noyau d'une double flèche $F_1 \rightrightarrows F_0$, où $F_0$ et $F_1$ sont des […]
(v)($X$ quasi-compact quasi-séparé) […] des faisceaux représentables par des schémas étales de présentation finie sur $X$ ; $F$ est le […] des constructibles de type fini, et […] d'un faisceau […] $G$ de $F$, […] $G$ […] représentable, […] de plus […]
(vi)($X$ quasi-compact quasi-séparé) qui admet […] : $F$ admet une filtration […] par des $i_{!}(G)$, $i : Y \to X$ immersion […] constructible, $G$ […] sur $Y$.
(vii)($X$ […], quasi-compact […]) : $F$ admet […] par […] abélien, $A$ […] ; […] : $F$ […] deux […] $p_{*}\bigl( G_{X'} \bigr)$, $X'$ fini de présentation […] sur $X_i$, […] aussi.
(viii)[Si $A = \mathbf{Z}$, faisceaux de torsion, $X$ quasi-compact quasi-séparé] […] $F$ est réunion […] de facteurs directs […] d'un faisceau qui, […], est réunion des […] par des faisceaux de la forme $p_{*}\bigl( i_{!} (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{U} \bigr)$, où $p : X' \to X$ est […] finie et de […] fini, $U$ un ouvert de $X'$ et $i : U \to X'$ l'immersion.

On peut songer aussi aux faisceaux de $A$-Modules et à la $A$-constructibilité. Pour […] de vue rédaction, il […] bien de commencer par la $\mathbf{Q}$- et la $\Delta$-constructibilité.

(b) Déf. Constructibles de type fini, […] constructibles et constructible […]

Cas (c) : stabilités par $\varinjlim$ et $\varprojlim$ […] (dans le cas de la […]). Il faut […] que $A$ soit noethérien. […] (cas noethérien) […] par facteurs directs.

Cas (d) : constructible […] (cas noethérien) […] plus image directe par […]

Cas (e) : stabilité par […] morphisme fini […] quasi-[…] fini […]

31Pureté

Proposition. Soit $X$ un préschéma localement noethérien régulier. Conditions équivalentes :

(i)Pour tout tout sous-préschéma régulier $Y$ de $X$, et tout sous-préschéma régulier fermé $Z$ de $Y$, purement de codimension $d$, on a \[ H^{i}_{Z}(A_Y) = 0 \quad \text{pour } i \neq 2d \] $H^{2d}_{Z}(A_Y)$ loc. isomorphe à $A_Y$
(ii)Comme dessus, avec $d = 1$.
(iii)Comme p. $Y$, $Z$ comme en (i), et Comme (i), […] $Z$ est un diviseur de […] ; on a \[ H^{i}_{Z}(A_Y) = 0 \quad \text{si } i \neq 2d . \]

[…] de $X$

Dém. (i) $\Rightarrow$ (ii) trivial. (i) $\Rightarrow$ (iii).

(ii) $\Rightarrow$ (i) : par dévissage, on est ramené à […], pour $d = 1$, $H^{2}_{Z}(A_Y)$ est loc. isomorphe à $A_Z$.

(iii) $\Rightarrow$ (ii) : on est ramené au […] strict $X \struck{\subset} Y$ (loc. $2$, […] $Z$ […] $= 1$). À […] quelconque […] (iii), que $H^{i}_{Z}(A_X) = 0$ si $i \neq 2$. Réciproquement

32Prop. e 1^o) Faisceaux quelconques comme $\varinjlim$ de […] ; 2^o) idem d'un constructible dans une $\varinjlim$ de constructibles ; 3^o) comparaison des constructibles sur une $\varprojlim$ de préschémas.

Cor. f Stabilité par image directe par un faisceau fini

On terminera par les propriétés spéciales aux courbes.

Prop. f 1^o) Caractérisation de la constructibilité par la propriété d'être loc. constant […] ; 2^o) caractérisation loc. […] de la clôture des faisceaux […] ; 3^o) et caractérisation des constructibles comme objets […]

Prop. g Caractérisation des faisceaux loc. constants [en $A$-Modules] [[…] constructible]

5.Variétés […] les complexes de faisceaux
4.[…] Tors et faisceaux de torsion constructibles.
6.Kummer et Artin–Schreier.
7.Dim. coh. des courbes algébriques.

une accolade portée à gauche des deux premières lignes, avec une flèche, intervertit les n^os 5 et 4

Leitfaden.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & 1 \arrow[d, no head] & \\
 & 2 \arrow[dl, no head] \arrow[d, no head] \arrow[dr, no head] & \\
5 & 3 \arrow[d, no head] & 6 \arrow[d, no head] \\
 & 4 & 7
\end{tikzcd}

la page porte deux croquis de ce Leitfaden ; le premier, surchargé et biffé, ne se lit pas — le diagramme ci-dessus est celui du second

33Théorème. Soit $F$ un faisceau de $\ell$-torsion sur $Y$, et soit $\xi \in H^{n}\bigl( X, f^{*}(F) \bigr)$. Pour que $\xi \in \mathrm{Im}\, H^{n}(Y, F)$, il faut et suffit que, pour tout $y \in Y$, la classe $\xi_{\bar{y}} \in H^{n}(X_{\bar{y}}, F_{\bar{y}})$ induite sur la fibre géométrique en $X_{\bar{y}}$ soit nulle.

$Y$ loc. noeth.

Corollaire. Supposons $f$ propre [[…]] et […] acyclique par le […]. Pour qu'il soit globalement acyclique par $\ell$, il faut et suffit que les fibres géométriques soient acycliques par $\ell$.

Dém. du n^o 2. Par hypothèse $r = 0$ : \[ \begin{cases} R^{q} f_{*}\bigl( f^{*}(F) \bigr) = 0 & \text{pour } 0 < q \leqslant n-1 \\ R^{0} f_{*}\bigl( f^{*}(G) \bigr) \simeq G & \end{cases} \] donc la suite spectrale donne une suite exacte \[ \cdots \longrightarrow H^{n}(Y, F) \longrightarrow H^{n}(X, F) \longrightarrow H^{0}\bigl( Y, R^{n} f_{*}(f^{*}F) \bigr) \] $\mathrm{NB.}$ on suppose $n \geqslant 0$ (ou $n \geqslant 1$ ; si $n = 0$, cet énoncé est […] un énoncé séparé avec le […]) donc on est ramené à prouver qu'une section de $R^{n} f_{*}\bigl( f^{*}(F) \bigr)$ qui induit $0$ sur chaque fibre géométrique est nulle. On est ramené

35XII : 6.2. … $\varphi^{i} : T^{i}(X) \to T'^{i}(X)$, […] […] pour $i \leqslant n$, […] pour $i = n+1$.

$\longrightarrow A \to B \to C \to 0$

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
T^{i-1}(B) \arrow[r] \arrow[d] & T^{i-1}(C) \arrow[r] \arrow[d] & T^{i}(A) \arrow[r] \arrow[d] & T^{i}(B) \arrow[r] \arrow[d] & T^{i}(C) \arrow[d] \\
T'^{i-1}(B) \arrow[r] & T'^{i-1}(C) \arrow[r] & T'^{i}(A) \arrow[r] & T'^{i}(B) \arrow[r] & T'^{i}(C)
\end{tikzcd}

le diagramme est celui que la page numérote (I) ; le quatrième terme de la ligne du haut est d'une lecture douteuse — $T^{i}(B)$ est ce qu'exige la suite, mais la page porte plutôt $\varphi^{i}(B)$

a) Supposons qu'on sache que $\varphi^{i}$ est un isomorphisme pour $i \leqslant n-1$, […] pour $i = n$, et si l'on a un système de cogénérateurs pour lesquels […] $\varphi^{i}$ est un […]. Alors le diagramme (I) pour $i = n$ montre que $\varphi^{n+1}$ […] un isomorphisme pour tous les arguments. Plus précisément, si $A$ est tel qu'il existe $A \to B$ mono et que c'est vrai pour $\varphi^{n}(B)$, c'est vrai pour $\varphi^{n}(A)$.

b) Supposons qu'on sache que $\varphi^{i}$ est un isomorphisme pour $i \leqslant n$, et $\varphi^{n+1}$ un mono. pour un système de cogénérateurs. Alors le diagramme (I) avec $i = n+1$ montre que $\varphi^{n+1}$ est un […] pour tous les arguments. Plus précisément, si $\exists\, A \to B$ mono, et si c'est vrai pour $B$, c'est vrai pour $A$.

a$'$) Même hypothèse préliminaire sur les $\varphi^{i}$ que dans a) (isom. si $i \leqslant n-1$, mono si $i = n$). On sait de plus si $\varphi^{n}(B)$ est un isomorphisme (i.e. une section) pour $B$ donné. Si on a une suite exacte $0 \to A \to B \to C \to 0$, il […] de le vérifier pour $\varphi^{n}(A)$ et $\varphi^{n+1}(C)$ ? Oui, parce que $\varphi^{n+1}(A)$ sont injectifs, non en général.

b$'$) Même hypothèse préliminaire que b) ($\varphi^{i}$ un isomorphisme si $i \leqslant n$). On veut savoir si $\varphi^{n+1}(B)$ est un mono. Suffit-il de le vérifier pour $\varphi^{n+1}(A)$ et $\varphi^{n+1}(C)$ ? Oui.

36Enfin on conclut que tout morphisme projectif [simple] est $\in M$, cqfd.

Corollaire. Supposons en […] de plus […] c) la condition suivante satisfaite :

c$'$) Soit $X' \xrightarrow{\ f\ } X \xrightarrow{\ g\ } Y$ […] morphismes […] propres, $X_0$ un sous-préschéma fermé de $X$, $U = X - X_0$, $U' = f^{-1}(U)$. Et Supposons que $U' \to U$ soit un isomorphisme, et que $X_0 \xrightarrow{\ g_0\ } Y$ soit et $gf : X' \to Y$ soient $\in M$. Alors $f \in M$.

Alors tout morphisme propre $f : X \to Y$ est $\in M$.

En effet, il est trivial que c$'$) implique c), donc tout morphisme projectif est $\in M$. On obtient le cas d'un morphisme quelconque propre quelconque en utilisant c), […] qui provient du […] le dévissage […] […] c$'$ et d'utiliser […] noethérienne. Le lemme […] de Chow […] donne alors le résultat voulu.

37c) Supposons les $\varphi^{i}$ des isomorphismes fonctoriels [un épimorphisme surjectif]. Quand peut-on conclure que $\varphi^{n+1}$ est un mono ? Réponse : il suffit que $T'^{n+1}$ soit effaçable. Donc si les $T'^{i}$ sont effaçables pour $i > i_0$, et bien qu'il en donne […] $\leqslant i_0$, on […]

c$'$) Supposons les $\varphi^{i}$ des isomorphismes […] ; on n'a pas […] $T'^{i-1}$ […] sont effaçables […] pour $i > i_0$, et $\varphi^{i}$ un épi. […] $i \leqslant n$ (ou $n \geqslant i_0$). Alors $\varphi^{i}$ est un épi isom pour $i \leqslant n$, un épi en degré $n+1$.

Revenons aux a), b). On a des propriétés […] $I_n$, $J_n$ d'un argument $A \in \uncertain{\mathrm{Ob}\, C}$ :

$I_n(A)$ : $\varphi^{i}(A)$ isom. si $i \leqslant n$ ;\\ $J_n(A)$ : $\varphi^{i}(A)$ isom. si $i < n$, mono si $i = n+1$.

$I_n \Rightarrow J_n \Rightarrow J_m \cdots$\\ $I_n$ pour tout $A$, $+$ $J_n$ pour […] $\Rightarrow$ $J_n$ pour tout $A$\\ $J_n$ pour tout $A$, $+$ $I_{n+1}$ pour tout […] $\Rightarrow$ $I_{n+1}$ pour tout $A$

Concl. Pour vérifier $I_n$ (ou $J_n$) pour tout $A$, sachant que c'est vrai pour […] fixés, il suffit de vérifier $I_m(B)$ (ou $J_m(B)$) pour $m \leqslant n$ et tout […] $B$.

On avait ici des arguments […] […]. Dans les questions de dim. coh., […] il faut « démouler » la question et des […] des conditions pour que l'un $T^{i}$ soit nul (pour tout argument). Ceci en […] utiliser les faits suivants (savoir aussi dans […] que $T^{i}$ est la suite de cette page se lit page 39

38Lemme 1 Proposition. Soit $M$ un ensemble de morphismes de préschémas loc. noethériens. On suppose que

a)pour un morphisme $f : X \to Y$, l'[…]-$M$ […] : $M$ est local sur $Y$ ;
d)si $X \xrightarrow{\ f\ } Y \xrightarrow{\ g\ } Z$ sont tels que $f$ soit une immersion fermée et $gf \in M$ [et $gf$ simple], alors $gf \in M$ ; [$f : \mathbf{P}^{i}_{Y} \to Y$ est […] ; et $\mathrm{id}_Y : Y \to Y$ est $\in M$] ;
b)si $X \xrightarrow{\ f\ } Y \xrightarrow{\ g\ } Z$ avec $f, g \in M$, alors $gf \in M$ ;
c)si $X = \mathbf{P}^{r}_{Y} \xrightarrow{\ g\ } Y$ est le morphisme structural canonique, et si $X' = \mathbf{P}^{1}_{Y} \times \mathbf{P}^{r-1}_{Y}$ est muni du morphisme birationnel bien connu $X' \xrightarrow{\ f\ } X$, et si $gf \in M$, alors $g \in M$.

Sous ces conditions, tout morphisme [simple] projectif $f : X \to Y$ est $\in M$.

En effet, on voit par récurrence sur $r$, utilisant a), b), c), que les $\mathbf{P}^{r}_{Y} \xrightarrow{\ f\ } Y$ sont $\in M$. Utilisant d), il s'ensuit que pour tout sous-préschéma fermé $X$ de $\mathbf{P}^{r}_{Y}$ [simple$/Y$] la projection sur $Y$ est $\in M$.

39Deux énoncés :

si $T^{i}(B) = 0$, alors $T^{i}(A) = 0$ pour tout facteur direct $A$ de $B$ ;\\ si $A$ a une filtration par […] facteurs $A_{\alpha}$ telle que $T^{i}(A_{\alpha}) = 0$ pour tout $\alpha$, alors $T^{i}(A) = 0$.

Pour les foncteurs cohomologiques de faisceaux de $\ell$-torsion constructibles sur $X$ ([…]), […] remarquer déjà […] que, pour avoir $T^{i}(F) = 0$ pour tout tel $F$, il suffit de le prouver pour un $F$ de la forme \[ i_{!}\Bigl( p_{*}\bigl( (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{Y'} \bigr) \Bigr) \;=\; q_{*}\, j_{!}\bigl( (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{Y'} \bigr) , \] $Y$ étant un sous-préschéma constructible de $X$, $Y'$ un revêtement étale fini de $Y$ de degré constant, et $p : Y' \to Y$, $i : Y \to X$ les morphismes canoniques. On les prend d'un […] immédiatement des $X'$ fini sur $X$.

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\begin{tikzcd}
Y' \arrow[r, hook] \arrow[d, "p"'] & X' \arrow[d, "q"] \\
Y \arrow[r, hook, "i"'] & X
\end{tikzcd}

Toute sous-catégorie pleine de la catégorie des faisceaux de $\ell$-torsion constructibles sur $X$, stable par facteurs directs, par extension, et contenant les faisceaux $q_{*}\, j_{!}\bigl( (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{Y'} \bigr)$, […], est […]. Si l'on veut une sous-catégorie […] telle que, pour toute suite exacte $0 \to A \to B \to C \to 0$, si $B$ et $C$ y sont, alors $A$ y est — je crois si c'est une sous-catégorie épaisse — alors il suffit de vérifier que les $q_{*}\bigl( (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{X'} \bigr)$ y sont, $X'$ fini sur $X$.

Car $X$ […], on peut [de plus] prendre $X'$ intègre. Si $X$ est […] [de plus] […] noeth. séparé, on peut prendre $X'$ intègre normalisé.

40la page entière est biffée en croix

sont les […] de $S$, i.e. dans $X_0$. Donc, pour voir que c'est un isomorphisme […] de $X_0$, il suffit de voir que l'[…] […] $R\, j^{!}$, où $g : X_0 \to Y$, […] […] un isomorphisme en $2$. On […]

\[ R\, g^{!}\bigl( R\, i^{!}(\mu_{\alpha}) \bigr) \longrightarrow R\, j^{!}\bigl( A_Y[-2] \bigr) \] la page suspend chacun des deux termes, par un signe $\wr$, à une seconde ligne qui ne se lit pas

$X_0 \xrightarrow{\ g\ } Y \xrightarrow{\ j\ } X$, la composée notée $h$

$R\, h^{!}(\mu_{\alpha})$