Fonds Grothendieck, cote n° 19, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-08-22)Opus 5 (claude-opus-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
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le seul enregistrement.[à partir de 1958-1973]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/19.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
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conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
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Tapis cartésiens (pages 1 à 11)
Titre porté à l'encre sur la chemise : « Résolutions standards et foncteurs
adjoints » ; au-dessous, « Tapis cartésiens ».
les deux titres correspondent aux deux textes du lot : « Tapis
cartésiens » occupe les pages 3 à 11, l'autre commence page 13
1) Le foncteur \varphi = fg et la catégorie K(\varphi,\alpha,\lambda)
Tapis cartésiens
1)
\begin{tikzcd}
A \arrow[r, bend left=20, "f"] & B \arrow[l, bend left=20, "g"]
\end{tikzcd}g adjoint : droite de f, d'où morphismes d'adjonction
le mot « droite » est écrit par-dessus un premier mot raturé\mathrm{id}_{A} \xrightarrow{\ \beta\ } gf , \qquad
fg \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{id}_{B}
\tag{1.1}
On pose
\varphi = fg : B \longrightarrow B
\tag{1.2}
On a donc
\varphi \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{id}_{B} , \qquad
\varphi \xrightarrow{\ \lambda\ } \varphi^{2}
\tag{1.3}
i.e.
\lambda : fg \longrightarrow fgfg , \qquad \lambda = f * \beta * g
\tag{1.4}
Alors \varphi satisfait aux conditions de Godement :
(1.5) (unitarité)
\begin{tikzcd}
\varphi \arrow[r, "\lambda"] \arrow[rr, bend right=35, "\mathrm{id}_{\varphi}"'] & \varphi^{2} \arrow[r, bend left=18, "\varphi*\alpha"] \arrow[r, bend right=18, "\alpha*\varphi"'] & \varphi
\end{tikzcd}
On définit la catégorie
K = K(\varphi, \alpha, \lambda)
\tag{1.7}
comme formée des couples
(X, u) \qquad X \in \mathrm{Ob}\, B, \quad u : X \longrightarrow \varphi(X)
\tag{1.8}
satisfaisant les conditions de commutativité
(1.10)
\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "u"] & \varphi(X) \arrow[r, bend left=18, "\varphi(u)"] \arrow[r, bend right=18, "\lambda(X)"'] & \varphi^{2}(X)
\end{tikzcd}\lambda \circ u = \varphi(u) \circ u (associativité)
(1.9)
\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "u"] & \varphi(X) \arrow[r, "\alpha(X)"] & X
\end{tikzcd}\alpha(X) \circ u = \mathrm{id}_{X} (unitarité)
l'auteur porte (1.10) en tête et (1.9) au-dessous, les chiffres surchargés ;
c'est bien à (1.10) que renvoie la page 5
On obtient un foncteur naturel
h : A \longrightarrow K(\varphi, \alpha, \lambda)
\tag{1.11}
par Y \mapsto \bigl( f(Y),\ f(Y) \xrightarrow{\ f*\beta\ } \varphi f(Y) = fgf(Y) \bigr).
vérifier compatibilités (1.9)
Théorème 1.12 (Beck).
Supposons que a) Si dans A les \mathrm{Ker} de doubles flèches
existent, et poursif y commute (\dagger), alors 1.11 est
essentiellement surjectif. b) Pour que h soit une équivalence
[i.e. soit de plus fidèlepleinement fidèle], il faut et il
suffit que f soit conservatif, et que pour toute double flèche (u,v)
de A telle que \mathrm{Ker}(f(u), f(v)) existe, \mathrm{Ker}(u,v) existe
et f y commute.
(\dagger) il suffit de regarder les doubles flèches u, v de A
telles que \mathrm{Ker}(f(u), f(v)) existe (condition C)
auxiliaires a), on établissant que h est une
équivalenceseconde note marginale, écrite en biais et en grande partie illisible
2) La réciproque : de (\varphi,\alpha,\lambda) au couple adjoint
2) Partons d'une catégorie B, avec un foncteur
\varphi : B \longrightarrow B
\tag{2.1}satisfaisant les conditions (1.5), et des liaisons
\varphi \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{id}_{B} , \qquad
\varphi \xrightarrow{\ \lambda\ } \varphi^{2}
\tag{2.2}
satisfaisant les conditions (1.5), (1.6). On peut alors (= sans ces
restrictions (1.5) et (1.6) !) définir une catégorie
A = K(\varphi, \alpha, \lambda)
\tag{2.3}
comme ci-dessus. Soit
A \xrightarrow{\ f\ } B
\tag{2.4}
le foncteur d'oubli canonique (X, u) \mapsto X.
Question. Quand f admet-il un adjoint à droite g, de telle façon
que que fg
On définit un foncteur
g : B \longrightarrow A
\tag{2.5}
par
g(X) = \bigl( \varphi(X),\ \varphi(X) \xrightarrow{\ \lambda(X)\ } \varphi^{2}(X) \bigr)
\tag{2.6}
[la condition (1.6) assurant qu'on tombe bien dans K(\varphi,\alpha,\lambda) !].
la commutativité étant assurée par la condition (1.10) ; on a donc bien un
morphisme de K. On a aussi un homomorphisme d'adjonction en sens inverse
\beta' : \mathrm{Hom}_{B}(f(X), Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A}(X, g(Y)) ,
\qquad w \mapsto g(w) \circ \beta(X)
\tag{2.11}
On vérifie que ces homomorphismes sont inverses l'un de l'autre. En effet
\beta' \alpha' = \mathrm{id} résulte formellement de (1.5), et
\alpha' \beta' = \mathrm{id} résulte de (1.9).
suit un calcul de six lignes entièrement biffé
Donc f et g sont adjoints l'un de l'autre, et retrouvant bien sûr
(\varphi, \alpha, \lambda) via le procédé du no 1.
Conclusion. La donnée (pour B fixé) d'une catégorie A, et d'un
couple de foncteurs adjoints f, g, A \rightleftarrows B, avec f
conservatif et commutant aux noyaux de doubles flèches satisfaisant à
la condition C de 1.12, est essentiellement équivalente à la donnée d'un
foncteur g dans B, avec les données de Godement \alpha, \lambda.
Corollaire. f pleinement fidèle \Leftrightarrow\alpha * \varphi\Leftrightarrow\lambda isom.
Compléments sur propriétés d'exactitude.
a) Pour tout type de \varprojlim qui sont représentables dans B, les
\varprojlim de ce type sont représentables dans A, et le foncteur f y
commute ; si et seulement si f y commute.
b) Pour tout type de \varprojlim qui est représentable dans B, est
représentable dans A, et f y commute.
c) Pour toute propriété d'exactitude de B, faisant intervenir des
types de commutation de \varprojlim_{J}de type I avec des types de
\varinjlim ou quelconques dans B, la même propriété d'exactitude est
vraie dans A.
ligne très surchargée ; la lecture des indices reste incertaine
d) Supposons que B soit une catégorie
Théorème. Supposons B un topos. Alors A est un topos et f est de
la forme f_{0}^{*} pour un morphisme de topos f_{0} : B \to Aaccessible
(i.e. conservatif) sss \varphicommute aux est exact à gauche.
Pour que f_{0} soit essentiel, il faut et il suffit que \varphi
commute aux \varprojlim quelconques, i.e. aux produits infinis. (On suppose
que \varphi a un adjoint à gauche \psi.)
3) Le cas B = \prod_{i} B_{i}
3) Supposons
B = \prod_{i \in I} B_{i}
\tag{3.1}
Donc f est donné par une famille de
f_{i} : A \longrightarrow B_{i}
\tag{3.2}
et g par une famille de
g_{i} : B_{i} \longrightarrow A ,
\tag{3.3}g\bigl( (X_{i})_{i \in I} \bigr) = \prod_{i \in I} g_{i}(X_{i})
\tag{3.4}
Le composé \varphi = fg est alors un foncteur
\varphi : \prod_{i} B_{i} \to \prod_{i} B_{i}, et est connu quand on connaît
les \mathrm{pr}_{j}\, \varphi : \prod_{i} B_{i} \to B_{j}. On trouve
\mathrm{pr}_{j}\, \varphi\bigl( (X_{i}) \bigr)
= f_{j}\Bigl( \prod_{i \in I} g_{i}(X_{i}) \Bigr) .
\tag{3.5}
Soit
\varphi_{ji} \overset{\text{déf}}{=} f_{j} g_{i} : B_{i} \longrightarrow B_{j}
\tag{3.6}
et supposons que les f_{j} commutent aux produits de type I (p. ex. f_{j}
exacts ; ou I fini). On a alors
\mathrm{pr}_{j}\, \varphi\bigl( (X_{i}) \bigr)
= \prod_{i \in I} \varphi_{ji}(X_{i})
\tag{3.6}l'auteur écrit deux fois (3.6)
et les données de \alpha, \lambda deviennent celles de
\prod_{i} \varphi_{ki}(X_{i}) \xrightarrow{\ \bar{\alpha}_{k}\ } X_{k}
\tag{3.7}\prod_{i} \varphi_{ki}(X_{i}) \xrightarrow{\ \bar{\lambda}_{k}\ }
\prod_{i,j} \varphi_{kj} \varphi_{ji}(X_{i})
\tag{3.8}
i.e.
\prod_{\alpha} \varphi_{k\alpha}(X_{\alpha})
\xrightarrow{\ \bar{\lambda}_{k,j,i}\ } \varphi_{kj} \varphi_{ji}(X_{i})
qui s'expliciteront en termes des \varphi_{ji} = f_{j} g_{i}, et des
\bar{\alpha}_{i}, \bar{\lambda}_{i} correspondants, ainsi
\left\{
\begin{array}{l}
\bar{\alpha}_{k} = \alpha_{k}(X_{k}) \circ \mathrm{pr}_{k} \\[2pt]
\bar{\lambda}_{k,j,i} = \lambda_{kji}(X_{i}) \circ \mathrm{pr}_{i}
\end{array}
\right.
\tag{3.9}\lambda_{kji} : \varphi_{ki} \longrightarrow \varphi_{kj} \circ \varphi_{ji}
\tag{3.10}
la flèche provient du morphisme d'adjonction \mathrm{id} \to g_{j} f_{j},
que l'auteur indique par une flèche verticale sous g_{j} f_{j}
Les (\varphi_{ji}, \lambda_{kji}) sont reliées par des conditions exprimant
(1.5), (1.6), que nous n'expliciterons pas.
pour i = j = k, \lambda_{kji} n'est autre que \lambda_{i}
[Le cas le plus intéressant est celui où les \varphi\alpha_{i} sont des isomorphismes (i.e. les g_{i} pleinement
fidèles). Dans ce cas, on peut supposer
\varphi_{i} = \mathrm{id}_{B_{i}},
\alpha_{i} = \mathrm{id}_{\mathrm{id}_{B_{i}}}, \lambda_{i} = \mathrm{id}.]
Les conditions (1.) les dans les cas où deux des i, j, k sont égaux,
avec i = j ou j = k, ne montrent que l'un des \lambda_{kji}
est l'identité, de \varphi_{kj} \varphi_{ji}.
ligne très surchargée ; le verbe reste douteux
Il reste donc à examiner les cas (3.11) : a) i, j, k deux à deux
différents ; b) i = k \neq j, d'où
\mathrm{id}_{B_{i}} \longrightarrow \varphi_{ij} \circ \varphi_{ji}
\qquad (i \neq j)
Prenons le cas
B = B' \times B'' , \quad f = (f', f'') , \quad
g(X', X'') = g'(X') \times g''(X'')
\tag{3.12}
Supposons f' g' \simeq \mathrm{id}_{B'}, f'' g'' \simeq \mathrm{id}_{B''}
(i.e. g', g'' pleinement fidèles), donc \varphi est connueconnu quand on connaît
\varphi'' : B' \longrightarrow B'' , \qquad
\varphi' : B'' \longrightarrow B'
\tag{3.13}
et la donnée des \alpha\lambda_{kji} devient celle de
deux blocs numérotés puis biffés en croix ; l'auteur y compte les cas
(i,j,k) — « dont sept 6 sont triviaux » — avant de retenir
les seuls cas non triviaux ci-dessous
il reste donc les données
\left\{
\begin{array}{l}
\mathrm{id}_{B'} \xrightarrow{\ \lambda'\ } \varphi' \varphi'' \\[2pt]
\mathrm{id}_{B''} \xrightarrow{\ \lambda''\ } \varphi'' \varphi'
\end{array}
\right.
\tag{3.14}
Il faudrait expliciter dans ce cas les conditions (1.5) et (1.6),
qui portent sur
\varphi(X', X'') = \bigl( X' \times \varphi'(X'') ,\ \varphi''(X') \times X'' \bigr)
et sur \varphi^{2}(X', X'').
le calcul est mené sur trois lignes puis biffé ; il aboutit aux relations
\varphi'' * \lambda' = \lambda'' * \varphi'' et
\lambda' * \varphi' = \varphi' * \lambda'', elles aussi biffées
Explicitons la catégorieA en termes de \varphi', \varphi'',
\lambda', \lambda''. Elle a pour objets les quadruplets
(X', X'', u', u'') où
X' \xrightarrow{\ u'\ } \varphi'(X'') , \qquad
X'' \xrightarrow{\ u''\ } \varphi''(X')
\tag{3.15}
(définissant X' \xrightarrow{(\mathrm{id}_{X'},\, u')} X' \times \varphi'(X''),
X'' \xrightarrow{(\mathrm{id}_{X''},\, u'')} X'' \times \varphi''(X'), ce qui
exprime déjà (1.9)) soumis à la condition de commutativité de (1.10)
(X', X'') \xrightarrow{\ u\ }
\bigl( X' \times \varphi'(X'') ,\ X'' \times \varphi''(X') \bigr)
\rightrightarrows \varphi^{2}(X', X'')
les deux flèches étant \varphi(u) et \lambda, i.e. via u', u'' d'une
part et via \lambda', \lambda'' de l'autre. Il semble qu'on trouve la
commutativité des diagrammes :
Exemple. Si \varphi'' \varphi' et \varphi' \varphi'' sont des
foncteurs constants de valeurs un objet final de B' resp. B'', les
conditions 3.16 ci-dessus sont vides, et on trouve pour A la catégorie des
objets
\bigl( X', X'',\ X' \xrightarrow{\ u'\ } \varphi'(X'') ,\
X'' \xrightarrow{\ u''\ } \varphi''(X') \bigr)f' et f'' étant \mapsto X' et \mapsto X'', et
\left\{
\begin{array}{l}
g'(X') = \bigl( X',\ \varphi''(X'),\
X' \xrightarrow{\lambda'(X')} \varphi'\varphi''(X') ,\
\varphi''(X') \xrightarrow{\mathrm{id}} \varphi''(X') \bigr) \\[3pt]
g''(X'') = \bigl( \varphi'(X''),\ X'',\
\varphi'(X'') \xrightarrow{\mathrm{id}} \varphi'(X'') ,\
X'' \xrightarrow{\lambda''(X'')} \varphi''\varphi'(X'') \bigr)
\end{array}
\right.
\tag{3.17}\left\{
\begin{array}{l}
\text{Image essentielle de } g' : u'' \text{ est un isomorphisme} \\[2pt]
\text{Image essentielle de } g'' : u' \text{ est un isomorphisme}
\end{array}
\right.
\tag{3.18}
L'auteur écrit le morphisme d'adjonction \beta' colonne par colonne :
\begin{array}{ccl}
X & = & \bigl( X', X'',\ X' \xrightarrow{u'} \varphi'(X'') ,\
X'' \xrightarrow{u''} \varphi''(X') \bigr) \\[4pt]
\downarrow \beta' & & \\[4pt]
g' f'(X) & = & \bigl( X',\ \varphi''(X'),\
X' \xrightarrow{\lambda'(X')} \varphi'\varphi''(X') ,\
\varphi''(X') \xrightarrow{\mathrm{id}} \varphi''(X') \bigr)
\end{array}
\tag{3.20}
les composantes de \beta' étant \mathrm{id}, u'', puis \mathrm{id},
\varphi'(u'') et u'', \mathrm{id} ; et \beta'' analogue.
adjonctionl'auteur passe de (3.18) à (3.20) sans écrire de (3.19)
[Question. Quand \beta' est-il un épimorphisme pour tout X ? Cela
signifie implique, moyennant des conditions d'exactitude
à droite standard sur \varphi', \varphi'', que
u'' : X'' \to \varphi''(X') est un épimorphisme.]
L'intersection des images essentielles de g' et de g'' est formée des
(X', X'', u', u'') pour lesquels u' et u'' sont deux isomorphismes.
Cette catégorie Cette sous-catégorie, image commune de g' et g'',
est équivalente à la sous-catégorie pleine de B' formée des X' tels que
\lambda'(X') soit un isomorphisme.
(3.21) Conditions équivalentes :
(i) g'_{\mathrm{ess}}(B') \cap g''_{\mathrm{ess}}(B'') est une catégorie
ponctuelle ;
(ii) la sous-catégorie pleine de B' formée des X' tels que
\lambda'(X') soit un isomorphisme est ponctuelle ;
(ii bis) idem pour \lambda''.
Résolutions standard et cohomologie relative (pages 13 à 20)
Résolutions standard et théories relatives
Résolutions standard et théories relatives.
\begin{tikzcd}
C \arrow[r, bend left=20, "F"] & C' \arrow[l, bend left=20, "G"]
\end{tikzcd}\mathrm{Hom}\bigl( F(X), X' \bigr) \simeq \mathrm{Hom}\bigl( X, G(X') \bigr)
Posons E = GF : C \to C, d'où
\phi : \mathrm{id}_{C} = E^{0} \longrightarrow E , \qquad
\lambda : E^{2} \longrightarrow E
satisfaisant les relations de Godement, d'où un objet simplicial \widehat{E}
dans \mathrm{Hom}(C, C) : \widehat{E}_{n} = E^{n+1}, et augmentation
X \to \widehat{E}(X). (On devrait donner une interprétation naturelle par
théorie de la descente.)
On pose de même E' = FG : C' \to C', d'où
\phi' : E' \longrightarrow \mathrm{id}_{C'} = E'^{0} , \qquad
\lambda' : E' \longrightarrow E'^{2}
satisfaisant aux relations de Godement, d'où un objet simplicial
\widehat{E}' dans \mathrm{Hom}(C', C') : \widehat{E}'_{n} = E'^{n+1}.
Notons les isomorphismes simpliciaux
G(X') \simeq \widehat{E}\bigl( G(X') \bigr) pour
X' \in \mathrm{Ob}\, C' ;F(X) \simeq F\bigl( \widehat{E}(X) \bigr) pour
X \in \mathrm{Ob}\, C.
La dernière un foncteur T : C \to D et un homomorphisme fonctoriel
h : T \circ E \to T tel que h \circ (T * \phi) = \mathrm{id}_{T} ; alors
T \widehat{E}(X) \simeq 0 pour tout X \in \mathrm{Ob}\, C [cf. Godement].
Les formules (i) se vérifient sans doute de même par des formules
explicites.
Application. Supposons C, C' abéliennes, F, G additifs,
Si F est exact et fidèle, alors \widehat{E}(X) une
résolution de X pour tout X.Si \Gamma est un foncteur
la page s'arrête ici, en pleine phrase
Cohomologie relative. 1. Caractérisation des foncteurs A \mapsto \mathrm{Hom}(A,B)
Cohomologie relative (un cas spécial).
titre porté au crayon de couleur en tête de page
1. Caractérisation des foncteurs A \to \mathrm{Hom}(A, B).
Soit C une catégorie. Pour tout B \in C, soit h_{B} le foncteur de C
dans les ensembles tel que
h_{B}(A) = \mathrm{Hom}(A, B) .h_{B} est un foncteur, contravariant en B, à valeurs dans la catégorie des
foncteurs C \to E, et on a
\alpha : \mathrm{Hom}(B, B') \xrightarrow{\ \sim\ }
\mathrm{Hom}_{C}(h_{B}, h_{B'})
[en effet, on obtient le foncteur inverse \beta en associant à
u \in \mathrm{Hom}_{C}(h_{B}, h_{B'}) l'élément \beta(u) de
\mathrm{Hom}_{C}(B, B') image par u_{B} de l'élément neutre de
h_{B}(B) = \mathrm{Hom}_{C}(B, B) dans
h_{B'}(B) = \mathrm{Hom}_{C}(B, B')].
Si C est additive, alors h_{B} est additif [exact à gauche], et le foncteur
B \mapsto h_{B} est additif (exact à gauche), et l'isomorphisme \alpha est
valable en se limitant aux homomorphismes additifs. Ainsi B \mapsto h_{B}
permet d'« identifier » C à une sous-catégorie de la catégorie
\mathrm{Fonc.\,add.}(C^{\circ},\,\mathcal{Y}).
la catégorie but est notée d'une capitale cursive que la lecture ne
tranche pas ; elle revient plus bas et page 15
Supposons que C ait un générateur U, et satisfasse AB 3),
4), 5). Le foncteurh_{B} transforme limites inductives en limites
projectives, et dans ce cas quelconques.
Si h, h' sont deux foncteurs (contravariants) C^{\circ} \to {}\mathcal{Y} transformant limites inductives
en projectives, on posant
M(h) = h(U) ,
on a
\alpha' : \mathrm{Hom}(h, h') \xrightarrow{\ \sim\ }
\mathrm{Hom}_{R^{\circ}}\bigl( M(h), M(h') \bigr)
où R = \mathrm{Hom}_{C}(U, U), R^{\circ} = anneau inverse de R.
Pour le voir, on définit un homomorphisme
\beta : \mathrm{Hom}_{R^{\circ}}\bigl( M(h), M(h') \bigr)
\longrightarrow \mathrm{Hom}(h, h')
[détails laissés au lecteur]. Donc le foncteur h \mapsto M(h) identifie la
catégorie des foncteurs envisagés à une sous-catégorie de
\mathrm{Mod}_{R^{\circ}} (R-modules à droite).
On va définir un foncteur « inverse » M \mapsto h_{M} de
\mathrm{Mod}_{R^{\circ}} dans la catégorie de foncteurs envisagée ;
définissons le foncteur T'' : \mathrm{Mod}_{R^{\circ}} \to C, ou plus
simplement
T''(M) = M \otimes_{R} U .
On va montrer que T' T'' est isomorphe à l'identité, donc T'' et T' sont
des « équivalences ». On doit donc montrer que
\left\{
\begin{array}{l}
\mathrm{Hom}_{C}(U,\ M \otimes_{R} U) \simeq M \\[2pt]
\text{si } R = \mathrm{Hom}_{C}(U, U) , \quad M \in \mathrm{Mod}_{R^{\circ}}
\end{array}
\right.
ce qui est bien connu, à cause de . Ainsi, les foncteurs
covariantscontravariantsexacts à valeurs
C \to {}\mathcal{Y}, transformant les limites inductives en
limites projectives, sont essentiellement les h_{B}.
les h_{B}
2. Le couple (S, T) et les morphismes \varphi, \psi
2. Soient C, C' deux catégories abéliennesadditives,
S : C \to C' un foncteur additif de C dans C'. On suppose que pour tout
A \in CX \in C', le foncteur
A \mapsto \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), X \bigr) est un foncteur du type
\mathrm{Hom}(A,h_{B} (i.e. B dépend de X, mais de façon
fonctorielle), donc on aura
\mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), X \bigr) \simeq
\mathrm{Hom}_{C}\bigl( A, T(X) \bigr)
\tag{1}
où T : C' \to C est un foncteur covariant exact : [foncteur de C'^{\circ}
dans C]. Cette condition est satisfaite notamment si C et
C' vérifient AB 3), 4), 5), et C a un générateur, et si de plus
S est un foncteur exact à droite (donc
A \mapsto \mathrm{Hom}_{C'}(S(A), X) est exact à gauche).
il faudrait des conditions de représentabilité
En particulier, si X = S(B), on aura
\mathrm{Hom}_{C}(A, B) \longrightarrow
\mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), S(B) \bigr) \simeq
\mathrm{Hom}_{C}\bigl( A, TS(B) \bigr)
\tag{2}
Donc, faisant A = B, on trouve un élément canonique
\varphi(A) \in \mathrm{Hom}_{C}\bigl( A, TS(A) \bigr) , \quad \text{i.e.}
\tag{3}\varphi : \mathrm{id}_{C} \longrightarrow TS
\tag{3 bis}
D'autre part, on a tire de (1), faisant A = T(Y),
\mathrm{Hom}_{C'}\bigl( ST(Y), X \bigr) \simeq
\mathrm{Hom}_{C}\bigl( T(Y), T(X) \bigr)
\tag{4}
et en particulier, faisant X = Y, on trouve un élément canonique
\psi(X) \in \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( ST(X), X \bigr) , \quad \text{i.e.}
\tag{5}\psi : ST \longrightarrow \mathrm{id}_{C'}
\tag{5 bis}
Considérons, pour A \in C, \varphi(A) : A \to TS(A), d'où
S(\varphi(A)) : S(A) \to STS(A) ; d'autre part, on a un morphisme
(ST)(SA) \xrightarrow{\psi(SA)} SA. Ceci dit, on a le composé
ou, en d'autres termes, S(A) s'identifie par S(\varphi(A)) à un facteur
direct de (ST)(S(A)), la projection naturelle étant \psi(S(A)). De même,
on a le diagramme commutatif
qui identifie T(X) à un facteur direct de (TS)(T(X)).
Pour que l'homomorphisme fonctoriel \varphi : \mathrm{id}_{C} \to TS soit
injectif (i.e. les \varphi(A) : A \to TS(A) injectifs), il faut et il suffit
que les homomorphismes
S(A,B) : \mathrm{Hom}_{C}(A,B) \longrightarrow
\mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), S(B) \bigr)
soient injectifs ; ce qui équivaut aussi à ce que le foncteur S soit
« injectif ». Cela résulte de la commutativité de
3) Une suite
0 \longrightarrow A' \longrightarrow A \longrightarrow A'' \longrightarrow 0
\tag{1}
dans C est dite S-exacte si la suite
0 \longrightarrow S(A') \longrightarrow S(A) \longrightarrow S(A'')
\longrightarrow 0
\tag{1 bis}
est exacte et se scinde. Un objet M \in C est dit S-injectif si,
pour toute suite S-exacte (1), la suite
0 \longrightarrow \mathrm{Hom}(A'', M) \longrightarrow \mathrm{Hom}(A, M)
\longrightarrow \mathrm{Hom}(A', M) \longrightarrow 0
\tag{2}
est exacte.
Exemples. (i) M = T(X), car alors la suite (2) s'écrit
0 \longrightarrow \mathrm{Hom}\bigl( S(A''), X \bigr) \longrightarrow
\mathrm{Hom}\bigl( S(A), X \bigr) \longrightarrow
\mathrm{Hom}\bigl( S(A'), X \bigr) \longrightarrow 0
\tag{2 bis}
[D'ailleurs, si (1) est telle que pour tout objet S-injectif M de la forme M = T(X) la suite (2) est exacte, alors (1) est
S-exacte, car faisant X dans (1 bis) exacte ; (2 bis) sera exacte
pour X = S(A').]
le raisonnement entre crochets est deux fois repris et biffé
(ii) Supposons S exact à droite et « fidèle » en ce sens queS(u) = 0 \Rightarrow u = 0. Soit A \in C ; on dit que la suite
\Sigma(A) : \quad 0 \longrightarrow A \longrightarrow TS(A)
\longrightarrow Z(A) \longrightarrow 0
\tag{3}
(où Z(X) = \mathrm{coker}\,\bigl( X \to TS(X) \bigr)) est S-exacte. En
effet, elle se transforme par S
en
0 \longrightarrow S(A) \longrightarrow STS(A) \longrightarrow SZ(X)
\longrightarrow 0
elle est exacte car STS(A) et SZ(X) puisque S est exact à droite,
et elle est scindée, ce qui explicite une rétraction construite
plus haut de S(A) \to S(TS)(A) = (ST)S(A).
[Soit M \in C tel que, pour toute suite S-exacte de la forme \Sigma(A),
la suite \mathrm{Hom}\bigl( \Sigma(A), M \bigr) soit exacte :
0 \longrightarrow \mathrm{Hom}\bigl( Z(A), M \bigr) \longrightarrow
\mathrm{Hom}\bigl( TS(A), M \bigr) \longrightarrow
\mathrm{Hom}(A, M) \longrightarrow 0
Alors M est S-injectif. En effet, on fait M = A, et on trouve que
A \to TS(A) identifie A à un facteur direct de TS(A) = T(X)
(X = S(A)). Or T(X) est S-injectif en vertu de (i), donc tout facteur
direct l'est, donc A l'est. Ce qui \Rightarrow donne que
M est S-injectif \LongleftrightarrowM \to TS(M) identifie M à
un facteur direct (cf. les faits de nature de la catégorie
Eilenberg–Moore).]
Remarque.pour que le foncteur S soit exactlorsque S exacti.e. \varphi est injectif et que
S(u) = 0 implique u = 0, alors une suite S-exacte est exacte. En effet,
si \Sigma : A \xrightarrow{u} Q \xrightarrow{v} R et S(v) \circ S(u) = 0,
donc S(v \circ u) = 0, alors
la remarque est réécrite trois fois et fortement biffée ; seule la
version portée en interligne se lit d'un bout à l'autre
le haut de la page — un diagramme
0 \to \mathrm{Hom}(B,A') \to \mathrm{Hom}(B,A) \to \mathrm{Hom}(B,A'') \to 0
au-dessus de sa suite image par S, et une demi-page de commentaire — est
biffé en croix
… v u = 0, et on aura
S\bigl( \mathrm{Ker}\, v / \mathrm{Im}\, u \bigr) =
\mathrm{Ker}\, S(v) / \mathrm{Im}\, S(u)
et le des premier membre est nul si et seulement si
\mathrm{Ker}\, v / \mathrm{Im}\, u est nul, i.e. une suite \Sigma est
exacte si et seulement si S\Sigma l'est.
Nous avons maintenant ce qu'il faut
[catégories de « suites exactes » \Longleftrightarrow catégories
d'« »]
pour faire une théorie « véritable » des foncteurs dérivés
C \to D, où D est une véritable catégorie abélienne. De plus,
définition des foncteurs C^{0} = TS = C :
C^{1}(A) = C^{0}(A) / \mathrm{Im}\, A , \qquad
C^{i}(A) = C^{0}\Bigl( C^{i-1}(A) / \mathrm{Im}\bigl( C^{i-2}(A) \bigr) \Bigr)
\quad \text{pour } i \geqslant 2(S-injectifs)
qui donnent une S-résolution canonique (fonctorielle) de A \in C