Cote n° 19 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Topos : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958-1973]
Édition de démonstration

Tapis cartésiens (pages 1 à 11)

1Titre porté à l'encre sur la chemise : « Résolutions standards et foncteurs adjoints » ; au-dessous, « Tapis cartésiens ». les deux titres correspondent aux deux textes du lot : « Tapis cartésiens » occupe les pages 3 à 11, l'autre commence page 13

1) Le foncteur \(\varphi = fg\) et la catégorie \(K(\varphi,\alpha,\lambda)\)

3Tapis cartésiens

1)

\begin{tikzcd}
A \arrow[r, bend left=20, "f"] & B \arrow[l, bend left=20, "g"]
\end{tikzcd}

(1.5) (unitarité)

\begin{tikzcd}
\varphi \arrow[r, "\lambda"] \arrow[rr, bend right=35, "\mathrm{id}_{\varphi}"'] & \varphi^{2} \arrow[r, bend left=18, "\varphi*\alpha"] \arrow[r, bend right=18, "\alpha*\varphi"'] & \varphi
\end{tikzcd}

commutatif : \((\varphi * \alpha) \circ \lambda = \mathrm{id}_{\varphi}\).

(1.6) (associativité)

\begin{tikzcd}
\varphi \arrow[r, "\lambda"] & \varphi^{2} \arrow[r, bend left=18, "\varphi*\lambda"] \arrow[r, bend right=18, "\lambda*\varphi"'] & \varphi^{3}
\end{tikzcd}

commutatif : \((\varphi * \lambda) \circ \lambda = (\lambda * \varphi) \circ \lambda\).

On définit la catégorie \[ K = K(\varphi, \alpha, \lambda) \tag{1.7} \] comme formée des couples \[ (X, u) \qquad X \in \mathrm{Ob}\, B, \quad u : X \longrightarrow \varphi(X) \tag{1.8} \] satisfaisant les conditions de commutativité

(1.10)

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "u"] & \varphi(X) \arrow[r, bend left=18, "\varphi(u)"] \arrow[r, bend right=18, "\lambda(X)"'] & \varphi^{2}(X)
\end{tikzcd}

(1.9)

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "u"] & \varphi(X) \arrow[r, "\alpha(X)"] & X
\end{tikzcd}

l'auteur porte (1.10) en tête et (1.9) au-dessous, les chiffres surchargés ; c'est bien à (1.10) que renvoie la page 5

On obtient un foncteur naturel \[ h : A \longrightarrow K(\varphi, \alpha, \lambda) \tag{1.11} \] par \(Y \mapsto \bigl( f(Y),\ f(Y) \xrightarrow{\ f*\beta\ } \varphi f(Y) = fgf(Y) \bigr)\).

vérifier compatibilités (1.9)

4Théorème 1.12 (Beck). Supposons que a) Si dans \(A\) les \(\mathrm{Ker}\) de doubles flèches existent, et pour [si] \(f\) y commute \((\dagger)\), alors 1.11 est essentiellement surjectif. b) Pour que \(h\) soit une équivalence [i.e. soit de plus fidèle [pleinement fidèle]], il faut et il suffit que \(f\) soit conservatif, et que pour toute double flèche \((u,v)\) de \(A\) telle que \(\mathrm{Ker}(f(u), f(v))\) existe, \(\mathrm{Ker}(u,v)\) existe et \(f\) y commute.

\((\dagger)\) il suffit de regarder les doubles flèches \(u, v\) de \(A\) telles que \(\mathrm{Ker}(f(u), f(v))\) existe (condition C)

[…] auxiliaires a), on établissant que \(h\) est une équivalence […] seconde note marginale, écrite en biais et en grande partie illisible

2) La réciproque : de \((\varphi,\alpha,\lambda)\) au couple adjoint

2) Partons d'une catégorie \(B\), avec un foncteur \[ \varphi : B \longrightarrow B \tag{2.1} \] satisfaisant les conditions (1.5), et des liaisons \[ \varphi \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{id}_{B} , \qquad \varphi \xrightarrow{\ \lambda\ } \varphi^{2} \tag{2.2} \] satisfaisant les conditions (1.5), (1.6). On peut alors (= sans ces restrictions (1.5) et (1.6) !) définir une catégorie \[ A = K(\varphi, \alpha, \lambda) \tag{2.3} \] comme ci-dessus. Soit \[ A \xrightarrow{\ f\ } B \tag{2.4} \] le foncteur d'oubli canonique \((X, u) \mapsto X\).

Question. Quand \(f\) admet-il un adjoint à droite \(g\), de telle façon que […] que \(fg\) […]

On définit un foncteur \[ g : B \longrightarrow A \tag{2.5} \] par \[ g(X) = \bigl( \varphi(X),\ \varphi(X) \xrightarrow{\ \lambda(X)\ } \varphi^{2}(X) \bigr) \tag{2.6} \] [la condition (1.6) assurant qu'on tombe bien dans \(K(\varphi,\alpha,\lambda)\) !].

\(\mathrm{Hom}_{A}((X,u), g(Y)) \simeq \mathrm{Hom}_{B}(f(X,u), Y)\) […]

\[ fg = \varphi \tag{2.7} \]

5Considérons donc \[ fg \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{id} \tag{2.8} \] ce qui fournit un homomorphisme d'adjonction \[ \alpha' : \mathrm{Hom}_{A}(X, g(Y)) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{B}(f(X), Y) , \qquad w \mapsto \alpha \circ f(w) \tag{2.9} \] \(v \mapsto \alpha \circ f(v)\) (2.9\('\))

On va définir aussi \[ \beta : \mathrm{id}_{K} \longrightarrow gf \tag{2.10} \] en prenant, pour \(Y = (X, u)\) dans \(K\),

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "u"] \arrow[d, "u"'] & \varphi(X) \arrow[d, dashed, "\varphi(u)"] \\
\varphi(X) \arrow[r, "\lambda(X)"'] & \varphi^{2}(X)
\end{tikzcd}

la colonne de gauche est \(Y\), celle de droite \(gf(Y)\)

la commutativité étant assurée par la condition (1.10) ; on a donc bien un morphisme de \(K\). On a aussi un homomorphisme d'adjonction en sens inverse \[ \beta' : \mathrm{Hom}_{B}(f(X), Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{A}(X, g(Y)) , \qquad w \mapsto g(w) \circ \beta(X) \tag{2.11} \] On vérifie que ces homomorphismes sont inverses l'un de l'autre. En effet \(\beta' \alpha' = \mathrm{id}\) résulte formellement de (1.5), et \(\alpha' \beta' = \mathrm{id}\) résulte de (1.9).

[…] suit un calcul de six lignes entièrement biffé

Donc \(f\) et \(g\) sont adjoints l'un de l'autre, et retrouvant bien sûr \((\varphi, \alpha, \lambda)\) via le procédé du n^o 1.

6Conclusion. La donnée (pour \(B\) fixé) d'une catégorie \(A\), et d'un couple de foncteurs adjoints \(f, g\), \(A \rightleftarrows B\), avec \(f\) conservatif et commutant aux noyaux de doubles flèches satisfaisant à la condition C de 1.12, est essentiellement équivalente à la donnée d'un foncteur \(g\) dans \(B\), avec les données de Godement \(\alpha\), \(\lambda\).

Corollaire. \(f\) pleinement fidèle \(\Leftrightarrow\) \(\alpha * \varphi\) […] \(\Leftrightarrow\) \(\lambda\) isom.

Compléments sur propriétés d'exactitude.

a) Pour tout type de \(\varprojlim\) qui sont représentables dans \(B\), les \(\varprojlim\) de ce type sont représentables dans \(A\), et le foncteur \(f\) y commute ; si et seulement si \(f\) y commute.

b) Pour tout type de \(\varprojlim\) qui est représentable dans \(B\), […] est représentable dans \(A\), et \(f\) y commute.

c) Pour toute propriété d'exactitude de \(B\), faisant intervenir des types de commutation de \(\varprojlim_{J}\) de type I avec des types de \(\varinjlim\) ou quelconques dans \(B\), […] la même propriété d'exactitude est vraie dans \(A\). ligne très surchargée ; la lecture des indices reste incertaine

d) Supposons que \(B\) soit une catégorie […]

Théorème. Supposons \(B\) un topos. Alors \(A\) est un topos et \(f\) est de la forme \(f_{0}^{*}\) pour un morphisme de topos \(f_{0} : B \to A\) [accessible] (i.e. conservatif) sss \(\varphi\) commute aux […] est exact à gauche. Pour que \(f_{0}\) soit essentiel, il faut et il suffit que \(\varphi\) commute aux \(\varprojlim\) quelconques, i.e. aux produits infinis. (On suppose que \(\varphi\) a un adjoint à gauche \(\psi\).)

3) Le cas \(B = \prod_{i} B_{i}\)

73) Supposons \[ B = \prod_{i \in I} B_{i} \tag{3.1} \] Donc \(f\) est donné par une famille de \[ f_{i} : A \longrightarrow B_{i} \tag{3.2} \] et \(g\) par une famille de \[ g_{i} : B_{i} \longrightarrow A , \tag{3.3} \] \[ g\bigl( (X_{i})_{i \in I} \bigr) = \prod_{i \in I} g_{i}(X_{i}) \tag{3.4} \] Le composé \(\varphi = fg\) est alors un foncteur \(\varphi : \prod_{i} B_{i} \to \prod_{i} B_{i}\), et est connu quand on connaît les \(\mathrm{pr}_{j}\, \varphi : \prod_{i} B_{i} \to B_{j}\). On trouve \[ \mathrm{pr}_{j}\, \varphi\bigl( (X_{i}) \bigr) = f_{j}\Bigl( \prod_{i \in I} g_{i}(X_{i}) \Bigr) . \tag{3.5} \] Soit \[ \varphi_{ji} \overset{\text{déf}}{=} f_{j} g_{i} : B_{i} \longrightarrow B_{j} \tag{3.6} \] et supposons que les \(f_{j}\) commutent aux produits de type \(I\) (p. ex. \(f_{j}\) exacts ; ou \(I\) fini). On a alors \[ \mathrm{pr}_{j}\, \varphi\bigl( (X_{i}) \bigr) = \prod_{i \in I} \varphi_{ji}(X_{i}) \tag{3.6} \] l'auteur écrit deux fois (3.6)

et les données de \(\alpha\), \(\lambda\) deviennent celles de \[ \prod_{i} \varphi_{ki}(X_{i}) \xrightarrow{\ \bar{\alpha}_{k}\ } X_{k} \tag{3.7} \] \[ \prod_{i} \varphi_{ki}(X_{i}) \xrightarrow{\ \bar{\lambda}_{k}\ } \prod_{i,j} \varphi_{kj} \varphi_{ji}(X_{i}) \tag{3.8} \] i.e. \[ \prod_{\alpha} \varphi_{k\alpha}(X_{\alpha}) \xrightarrow{\ \bar{\lambda}_{k,j,i}\ } \varphi_{kj} \varphi_{ji}(X_{i}) \]

8qui s'expliciteront en termes des \(\varphi_{ji} = f_{j} g_{i}\), et des \(\bar{\alpha}_{i}\), \(\bar{\lambda}_{i}\) correspondants, ainsi \[ \left\{ \begin{array}{l} \bar{\alpha}_{k} = \alpha_{k}(X_{k}) \circ \mathrm{pr}_{k} \\[2pt] \bar{\lambda}_{k,j,i} = \lambda_{kji}(X_{i}) \circ \mathrm{pr}_{i} \end{array} \right. \tag{3.9} \] \[ \lambda_{kji} : \varphi_{ki} \longrightarrow \varphi_{kj} \circ \varphi_{ji} \tag{3.10} \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\varphi_{ki} \arrow[r, "\lambda_{kji}"] \arrow[d, no head] & \varphi_{kj}\varphi_{ji} \arrow[d, no head] \\
f_{k} g_{i} & f_{k}\, g_{j} f_{j}\, g_{i}
\end{tikzcd}

la flèche provient du morphisme d'adjonction \(\mathrm{id} \to g_{j} f_{j}\), que l'auteur indique par une flèche verticale sous \(g_{j} f_{j}\)

Les \((\varphi_{ji}, \lambda_{kji})\) sont reliées par des conditions exprimant (1.5), (1.6), que nous n'expliciterons pas.

pour \(i = j = k\), \(\lambda_{kji}\) n'est autre que \(\lambda_{i}\)

[Le cas le plus intéressant est celui où les \(\varphi\) [\(\alpha_{i}\)] sont des isomorphismes (i.e. les \(g_{i}\) pleinement fidèles). Dans ce cas, […] on peut supposer \(\varphi_{i} = \mathrm{id}_{B_{i}}\), \(\alpha_{i} = \mathrm{id}_{\mathrm{id}_{B_{i}}}\), \(\lambda_{i} = \mathrm{id}\).]

Les conditions (1.) les dans les cas où deux des \(i, j, k\) sont égaux, avec \(i = j\) ou \(j = k\), ne montrent que l'un des \(\lambda_{kji}\) est l'identité, […] de \(\varphi_{kj} \varphi_{ji}\). ligne très surchargée ; le verbe reste douteux

Il reste donc à examiner les cas (3.11) : a) \(i\), \(j\), \(k\) deux à deux différents ; b) \(i = k \neq j\), d'où \[ \mathrm{id}_{B_{i}} \longrightarrow \varphi_{ij} \circ \varphi_{ji} \qquad (i \neq j) \]

9Prenons le cas \[ B = B' \times B'' , \quad f = (f', f'') , \quad g(X', X'') = g'(X') \times g''(X'') \tag{3.12} \] Supposons \(f' g' \simeq \mathrm{id}_{B'}\), \(f'' g'' \simeq \mathrm{id}_{B''}\) (i.e. \(g'\), \(g''\) pleinement fidèles), donc \(\varphi\) est connue [connu] quand on connaît \[ \varphi'' : B' \longrightarrow B'' , \qquad \varphi' : B'' \longrightarrow B' \tag{3.13} \] et la donnée des \(\alpha\) \(\lambda_{kji}\) devient celle de

\(X' \times \varphi'(X'') \to X'\) , \(\varphi''(X') \times X'' \to X''\)

\(X' \to \varphi' \varphi''(X')\) , \(X'' \to \varphi'' \varphi'(X'')\)

deux blocs numérotés puis biffés en croix ; l'auteur y compte les cas \((i,j,k)\) — « dont sept 6 sont triviaux » — avant de retenir les seuls cas non triviaux ci-dessous

il reste donc les données \[ \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{id}_{B'} \xrightarrow{\ \lambda'\ } \varphi' \varphi'' \\[2pt] \mathrm{id}_{B''} \xrightarrow{\ \lambda''\ } \varphi'' \varphi' \end{array} \right. \tag{3.14} \] Il faudrait […] expliciter dans ce cas les conditions (1.5) et (1.6), qui portent sur \[ \varphi(X', X'') = \bigl( X' \times \varphi'(X'') ,\ \varphi''(X') \times X'' \bigr) \] et sur \(\varphi^{2}(X', X'')\). le calcul est mené sur trois lignes puis biffé ; il aboutit aux relations \(\varphi'' * \lambda' = \lambda'' * \varphi''\) et \(\lambda' * \varphi' = \varphi' * \lambda''\), elles aussi biffées

Explicitons la catégorie \(A\) en termes de \(\varphi'\), \(\varphi''\), \(\lambda'\), \(\lambda''\). Elle a pour objets les quadruplets \((X', X'', u', u'')\) où \[ X' \xrightarrow{\ u'\ } \varphi'(X'') , \qquad X'' \xrightarrow{\ u''\ } \varphi''(X') \tag{3.15} \]

10(définissant […] \(X' \xrightarrow{(\mathrm{id}_{X'},\, u')} X' \times \varphi'(X'')\), \(X'' \xrightarrow{(\mathrm{id}_{X''},\, u'')} X'' \times \varphi''(X')\), ce qui exprime déjà (1.9)) soumis à la condition de commutativité de (1.10) \[ (X', X'') \xrightarrow{\ u\ } \bigl( X' \times \varphi'(X'') ,\ X'' \times \varphi''(X') \bigr) \rightrightarrows \varphi^{2}(X', X'') \] les deux flèches étant \(\varphi(u)\) et \(\lambda\), i.e. via \(u'\), \(u''\) d'une part et via \(\lambda'\), \(\lambda''\) de l'autre. Il semble qu'on trouve la commutativité des diagrammes :

(3.16)

\begin{tikzcd}
X' \arrow[r, "u'"] \arrow[rr, bend right=30, "\lambda'(X')"'] & \varphi'(X'') \arrow[r, "\varphi'(u'')"] & \varphi'\varphi''(X')
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
X'' \arrow[r, "u''"] \arrow[rr, bend right=30, "\lambda''(X'')"'] & \varphi''(X') \arrow[r, "\varphi''(u')"] & \varphi''\varphi'(X'')
\end{tikzcd}

Exemple. Si \(\varphi'' \varphi'\) et \(\varphi' \varphi''\) sont des foncteurs constants de valeurs un objet final de \(B'\) resp. \(B''\), les conditions 3.16 ci-dessus sont vides, et on trouve pour \(A\) la catégorie des objets \[ \bigl( X', X'',\ X' \xrightarrow{\ u'\ } \varphi'(X'') ,\ X'' \xrightarrow{\ u''\ } \varphi''(X') \bigr) \] \(f'\) et \(f''\) étant \(\mapsto X'\) et \(\mapsto X''\), et \[ \left\{ \begin{array}{l} g'(X') = \bigl( X',\ \varphi''(X'),\ X' \xrightarrow{\lambda'(X')} \varphi'\varphi''(X') ,\ \varphi''(X') \xrightarrow{\mathrm{id}} \varphi''(X') \bigr) \\[3pt] g''(X'') = \bigl( \varphi'(X''),\ X'',\ \varphi'(X'') \xrightarrow{\mathrm{id}} \varphi'(X'') ,\ X'' \xrightarrow{\lambda''(X'')} \varphi''\varphi'(X'') \bigr) \end{array} \right. \tag{3.17} \] \[ \left\{ \begin{array}{l} \text{Image essentielle de } g' : u'' \text{ est un isomorphisme} \\[2pt] \text{Image essentielle de } g'' : u' \text{ est un isomorphisme} \end{array} \right. \tag{3.18} \]

11L'auteur écrit le morphisme d'adjonction \(\beta'\) colonne par colonne : \[ \begin{array}{ccl} X & = & \bigl( X', X'',\ X' \xrightarrow{u'} \varphi'(X'') ,\ X'' \xrightarrow{u''} \varphi''(X') \bigr) \\[4pt] \downarrow \beta' & & \\[4pt] g' f'(X) & = & \bigl( X',\ \varphi''(X'),\ X' \xrightarrow{\lambda'(X')} \varphi'\varphi''(X') ,\ \varphi''(X') \xrightarrow{\mathrm{id}} \varphi''(X') \bigr) \end{array} \tag{3.20} \] les composantes de \(\beta'\) étant \(\mathrm{id}\), \(u''\), puis \(\mathrm{id}\), \(\varphi'(u'')\) et \(u''\), \(\mathrm{id}\) ; et \(\beta''\) analogue. adjonction l'auteur passe de (3.18) à (3.20) sans écrire de (3.19)

[Question. Quand \(\beta'\) est-il un épimorphisme pour tout \(X\) ? Cela signifie implique, moyennant des conditions d'exactitude à droite standard sur \(\varphi'\), \(\varphi''\), que \(u'' : X'' \to \varphi''(X')\) est un épimorphisme.]

L'intersection des images essentielles de \(g'\) et de \(g''\) est formée des \((X', X'', u', u'')\) pour lesquels \(u'\) et \(u''\) sont deux isomorphismes. Cette catégorie Cette sous-catégorie, image commune de \(g'\) et \(g''\), est équivalente à la sous-catégorie pleine de \(B'\) formée des \(X'\) tels que \(\lambda'(X')\) soit un isomorphisme.

(3.21) Conditions équivalentes :

(i) \(g'_{\mathrm{ess}}(B') \cap g''_{\mathrm{ess}}(B'')\) est une catégorie ponctuelle ;

(ii) la sous-catégorie pleine de \(B'\) formée des \(X'\) tels que \(\lambda'(X')\) soit un isomorphisme est ponctuelle ;

(ii bis) idem pour \(\lambda''\).

Résolutions standard et cohomologie relative (pages 13 à 20)

Résolutions standard et théories relatives

13Résolutions standard et théories relatives.

\begin{tikzcd}
C \arrow[r, bend left=20, "F"] & C' \arrow[l, bend left=20, "G"]
\end{tikzcd}

Posons \(E = GF : C \to C\), d'où \[ \phi : \mathrm{id}_{C} = E^{0} \longrightarrow E , \qquad \lambda : E^{2} \longrightarrow E \] satisfaisant les relations de Godement, d'où un objet simplicial \(\widehat{E}\) dans \(\mathrm{Hom}(C, C)\) : \(\widehat{E}_{n} = E^{n+1}\), et augmentation \(X \to \widehat{E}(X)\). (On devrait donner une interprétation naturelle par théorie de la descente.)

On pose de même \(E' = FG : C' \to C'\), d'où \[ \phi' : E' \longrightarrow \mathrm{id}_{C'} = E'^{0} , \qquad \lambda' : E' \longrightarrow E'^{2} \] satisfaisant aux relations de Godement, d'où un objet simplicial \(\widehat{E}'\) dans \(\mathrm{Hom}(C', C')\) : \(\widehat{E}'_{n} = E'^{n+1}\).

Notons les isomorphismes simpliciaux

1. \(G(X') \simeq \widehat{E}\bigl( G(X') \bigr)\) pour \(X' \in \mathrm{Ob}\, C'\) ;
2. \(F(X) \simeq F\bigl( \widehat{E}(X) \bigr)\) pour \(X \in \mathrm{Ob}\, C\).

La dernière […] un foncteur \(T : C \to D\) et un homomorphisme fonctoriel \(h : T \circ E \to T\) tel que \(h \circ (T * \phi) = \mathrm{id}_{T}\) ; alors \(T \widehat{E}(X) \simeq 0\) pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\, C\) [cf. Godement]. Les formules (i) se vérifient sans doute de même par des formules explicites.

Application. Supposons \(C\), \(C'\) abéliennes, \(F\), \(G\) additifs, […]

1. Si \(F\) est exact et fidèle, alors \(\widehat{E}(X)\) […] une résolution de \(X\) pour tout \(X\).
2. Si \(\Gamma\) est un foncteur

la page s'arrête ici, en pleine phrase

Cohomologie relative. 1. Caractérisation des foncteurs \(A \mapsto \mathrm{Hom}(A,B)\)

14Cohomologie relative (un cas spécial). titre porté au crayon de couleur en tête de page

1. Caractérisation des foncteurs \(A \to \mathrm{Hom}(A, B)\).

Soit \(C\) une catégorie. Pour tout \(B \in C\), soit \(h_{B}\) le foncteur de \(C\) dans les ensembles tel que \[ h_{B}(A) = \mathrm{Hom}(A, B) . \] \(h_{B}\) est un foncteur, contravariant en \(B\), à valeurs dans la catégorie des foncteurs \(C \to E\), et on a \[ \alpha : \mathrm{Hom}(B, B') \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{C}(h_{B}, h_{B'}) \] [en effet, on obtient le foncteur inverse \(\beta\) en associant à \(u \in \mathrm{Hom}_{C}(h_{B}, h_{B'})\) l'élément \(\beta(u)\) de \(\mathrm{Hom}_{C}(B, B')\) image par \(u_{B}\) de l'élément neutre de \(h_{B}(B) = \mathrm{Hom}_{C}(B, B)\) dans \(h_{B'}(B) = \mathrm{Hom}_{C}(B, B')\)].

Si \(C\) est additive, alors \(h_{B}\) est additif [exact à gauche], et le foncteur \(B \mapsto h_{B}\) est additif (exact à gauche), et l'isomorphisme \(\alpha\) est valable en se limitant aux homomorphismes additifs. Ainsi \(B \mapsto h_{B}\) permet d'« identifier » \(C\) à une sous-catégorie de la catégorie \(\mathrm{Fonc.\,add.}(C^{\circ},\ \)\(\mathcal{Y}\)\()\). la catégorie but est notée d'une capitale cursive que la lecture ne tranche pas ; elle revient plus bas et page 15

Supposons que \(C\) ait un générateur \(U\), et […] satisfasse AB 3), 4), 5). Le foncteur \(h_{B}\) transforme limites inductives en limites projectives, et dans ce cas quelconques. […]

Si \(h\), \(h'\) sont deux foncteurs (contravariants) \(C^{\circ} \to {}\) \(\mathcal{Y}\) […] transformant limites inductives

15en projectives, on […] posant \[ M(h) = h(U) , \] on a \[ \alpha' : \mathrm{Hom}(h, h') \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{R^{\circ}}\bigl( M(h), M(h') \bigr) \] où \(R = \mathrm{Hom}_{C}(U, U)\), \(R^{\circ} = \) anneau inverse de \(R\).

Pour le voir, on définit un homomorphisme \[ \beta : \mathrm{Hom}_{R^{\circ}}\bigl( M(h), M(h') \bigr) \longrightarrow \mathrm{Hom}(h, h') \] [détails laissés au lecteur]. Donc le foncteur \(h \mapsto M(h)\) identifie la catégorie des foncteurs […] envisagés à une sous-catégorie de \(\mathrm{Mod}_{R^{\circ}}\) (\(R\)-modules à droite).

On va définir un foncteur « inverse » \(M \mapsto h_{M}\) de \(\mathrm{Mod}_{R^{\circ}}\) dans la catégorie de foncteurs envisagée ; définissons le foncteur \(T'' : \mathrm{Mod}_{R^{\circ}} \to C\), ou plus simplement \[ T''(M) = M \otimes_{R} U . \] On va montrer que \(T' T''\) est isomorphe à l'identité, donc \(T''\) et \(T'\) sont des « équivalences ». On doit donc montrer que \[ \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{Hom}_{C}(U,\ M \otimes_{R} U) \simeq M \\[2pt] \text{si } R = \mathrm{Hom}_{C}(U, U) , \quad M \in \mathrm{Mod}_{R^{\circ}} \end{array} \right. \] ce qui est bien connu, à cause de […]. Ainsi, les foncteurs covariants [contravariants] [exacts] à valeurs \(C \to {}\)\(\mathcal{Y}\), transformant les limites inductives en limites projectives, sont essentiellement les \(h_{B}\). les \(h_{B}\)

2. Le couple \((S, T)\) et les morphismes \(\varphi\), \(\psi\)

162. Soient \(C\), \(C'\) deux catégories abéliennes [additives], \(S : C \to C'\) un foncteur additif de \(C\) dans \(C'\). On suppose que pour tout \(A \in C\) \(X \in C'\), le foncteur \(A \mapsto \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), X \bigr)\) est un foncteur du type \(\mathrm{Hom}(A,\) \(h_{B}\) (i.e. \(B\) dépend de \(X\), mais de façon fonctorielle), donc on aura \[ \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), X \bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{C}\bigl( A, T(X) \bigr) \tag{1} \] où \(T : C' \to C\) est un foncteur covariant exact : [foncteur de \(C'^{\circ}\) dans \(C\)]. Cette condition est […] satisfaite notamment si \(C\) et \(C'\) vérifient AB 3), 4), 5), et \(C\) a un générateur, et si de plus […] \(S\) est un foncteur exact à droite (donc \(A \mapsto \mathrm{Hom}_{C'}(S(A), X)\) est exact à gauche).

il faudrait des conditions de représentabilité […]

En particulier, si \(X = S(B)\), on aura \[ \mathrm{Hom}_{C}(A, B) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), S(B) \bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{C}\bigl( A, TS(B) \bigr) \tag{2} \] Donc, faisant \(A = B\), on trouve un élément canonique \[ \varphi(A) \in \mathrm{Hom}_{C}\bigl( A, TS(A) \bigr) , \quad \text{i.e.} \tag{3} \] \[ \varphi : \mathrm{id}_{C} \longrightarrow TS \tag{3 bis} \] D'autre part, on a tire de (1), faisant \(A = T(Y)\), \[ \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( ST(Y), X \bigr) \simeq \mathrm{Hom}_{C}\bigl( T(Y), T(X) \bigr) \tag{4} \] et en particulier, faisant \(X = Y\), on trouve un élément canonique \[ \psi(X) \in \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( ST(X), X \bigr) , \quad \text{i.e.} \tag{5} \] \[ \psi : ST \longrightarrow \mathrm{id}_{C'} \tag{5 bis} \]

17Considérons, pour \(A \in C\), \(\varphi(A) : A \to TS(A)\), d'où \(S(\varphi(A)) : S(A) \to STS(A)\) ; d'autre part, on a un morphisme \((ST)(SA) \xrightarrow{\psi(SA)} SA\). Ceci dit, on a le composé

\begin{tikzcd}
S(A) \arrow[r, "S(\varphi(A))"] \arrow[rr, bend right=30, "\text{identité}"'] & S(TS(A)) = (ST)(S(A)) \arrow[r, "\psi(S(A))"] & S(A)
\end{tikzcd}

ou, en d'autres termes, \(S(A)\) s'identifie par \(S(\varphi(A))\) à un facteur direct de \((ST)(S(A))\), la projection naturelle étant \(\psi(S(A))\). De même, on a le diagramme commutatif

\begin{tikzcd}
T(X) \arrow[r, "\varphi(T(X))"] \arrow[rr, bend right=30, "\text{identité}"'] & T(ST(X)) = (TS)(T(X)) \arrow[r, "T(\psi(X))"] & T(X)
\end{tikzcd}

qui identifie \(T(X)\) à un facteur direct de \((TS)(T(X))\).

Pour que l'homomorphisme fonctoriel \(\varphi : \mathrm{id}_{C} \to TS\) soit injectif (i.e. les \(\varphi(A) : A \to TS(A)\) injectifs), il faut et il suffit que les homomorphismes \[ S(A,B) : \mathrm{Hom}_{C}(A,B) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), S(B) \bigr) \] soient injectifs ; ce qui équivaut aussi à ce que le foncteur \(S\) soit […] « injectif ». Cela résulte de la commutativité de

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{Hom}_{C}(A,B) \arrow[r] \arrow[rr, bend right=30] & \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), S(B) \bigr) & \mathrm{Hom}_{C}\bigl( A, TS(B) \bigr) \arrow[l, "\simeq"']
\end{tikzcd}

3. Suites \(S\)-exactes, objets \(S\)-injectifs

183) Une suite \[ 0 \longrightarrow A' \longrightarrow A \longrightarrow A'' \longrightarrow 0 \tag{1} \] dans \(C\) est dite \(S\)-exacte si la suite \[ 0 \longrightarrow S(A') \longrightarrow S(A) \longrightarrow S(A'') \longrightarrow 0 \tag{1 bis} \] est exacte et se scinde. Un objet \(M \in C\) est dit \(S\)-injectif si, pour toute suite \(S\)-exacte (1), la suite \[ 0 \longrightarrow \mathrm{Hom}(A'', M) \longrightarrow \mathrm{Hom}(A, M) \longrightarrow \mathrm{Hom}(A', M) \longrightarrow 0 \tag{2} \] est exacte.

Exemples. (i) \(M = T(X)\), car alors la suite (2) s'écrit \[ 0 \longrightarrow \mathrm{Hom}\bigl( S(A''), X \bigr) \longrightarrow \mathrm{Hom}\bigl( S(A), X \bigr) \longrightarrow \mathrm{Hom}\bigl( S(A'), X \bigr) \longrightarrow 0 \tag{2 bis} \] [D'ailleurs, si (1) est telle que pour tout objet \(S\)-injectif \(M\) […] de la forme \(M = T(X)\) la suite (2) est exacte, alors (1) est \(S\)-exacte, car faisant […] \(X\) dans (1 bis) exacte ; (2 bis) sera exacte pour […] \(X = S(A')\).] le raisonnement entre crochets est deux fois repris et biffé

(ii) Supposons \(S\) exact [à droite] et « fidèle » en ce sens que \(S(u) = 0 \Rightarrow u = 0\). Soit \(A \in C\) ; on dit que la suite \[ \Sigma(A) : \quad 0 \longrightarrow A \longrightarrow TS(A) \longrightarrow Z(A) \longrightarrow 0 \tag{3} \] (où \(Z(X) = \mathrm{coker}\,\bigl( X \to TS(X) \bigr)\)) est \(S\)-exacte. En effet, elle se transforme par \(S\)

19en \[ 0 \longrightarrow S(A) \longrightarrow STS(A) \longrightarrow SZ(X) \longrightarrow 0 \] elle est exacte car […] \(STS(A)\) et \(SZ(X)\) puisque \(S\) est exact à droite, et […] elle est scindée, ce qui […] explicite une rétraction construite plus haut de \(S(A) \to S(TS)(A) = (ST)S(A)\).

[Soit \(M \in C\) tel que, pour toute suite \(S\)-exacte de la forme \(\Sigma(A)\), la suite \(\mathrm{Hom}\bigl( \Sigma(A), M \bigr)\) soit exacte : \[ 0 \longrightarrow \mathrm{Hom}\bigl( Z(A), M \bigr) \longrightarrow \mathrm{Hom}\bigl( TS(A), M \bigr) \longrightarrow \mathrm{Hom}(A, M) \longrightarrow 0 \] Alors \(M\) est \(S\)-injectif. En effet, on fait \(M = A\), et on trouve que \(A \to TS(A)\) identifie \(A\) à un facteur direct de \(TS(A) = T(X)\) (\(X = S(A)\)). Or \(T(X)\) est \(S\)-injectif en vertu de (i), donc tout facteur direct l'est, donc \(A\) l'est. Ce qui \(\Rightarrow\) donne que \(M\) est \(S\)-injectif \(\Longleftrightarrow\) \(M \to TS(M)\) […] identifie \(M\) à un facteur direct (cf. les faits de nature […] de la catégorie Eilenberg–Moore).]

Remarque. […] pour que le foncteur \(S\) soit exact [lorsque \(S\) exact] i.e. \(\varphi\) est injectif et que \(S(u) = 0\) implique \(u = 0\), alors une suite \(S\)-exacte est exacte. En effet, si \(\Sigma : A \xrightarrow{u} Q \xrightarrow{v} R\) et \(S(v) \circ S(u) = 0\), donc \(S(v \circ u) = 0\), alors la remarque est réécrite trois fois et fortement biffée ; seule la version portée en interligne se lit d'un bout à l'autre

20[…] le haut de la page — un diagramme \(0 \to \mathrm{Hom}(B,A') \to \mathrm{Hom}(B,A) \to \mathrm{Hom}(B,A'') \to 0\) au-dessus de sa suite image par \(S\), et une demi-page de commentaire — est biffé en croix

… \(v u = 0\), et on aura \[ S\bigl( \mathrm{Ker}\, v / \mathrm{Im}\, u \bigr) = \mathrm{Ker}\, S(v) / \mathrm{Im}\, S(u) \] et le des premier membre est nul si et seulement si \(\mathrm{Ker}\, v / \mathrm{Im}\, u\) est nul, i.e. une suite \(\Sigma\) est exacte si et seulement si \(S\Sigma\) l'est.

Nous avons maintenant ce qu'il faut

[catégories de « suites exactes » \(\Longleftrightarrow\) catégories d'« […] »]

pour faire une théorie « véritable » des foncteurs dérivés \(C \to D\), où \(D\) est une véritable catégorie abélienne. De plus, définition des foncteurs \(C^{0} = TS = C\) : \[ C^{1}(A) = C^{0}(A) / \mathrm{Im}\, A , \qquad C^{i}(A) = C^{0}\Bigl( C^{i-1}(A) / \mathrm{Im}\bigl( C^{i-2}(A) \bigr) \Bigr) \quad \text{pour } i \geqslant 2 \] (\(S\)-injectifs) qui donnent une \(S\)-résolution canonique (fonctorielle) de \(A \in C\)