Cote n° 19 · pages 1–95 · Lecture modernisée · Topos : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958-1973]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

3–3

Conventions, valables pour tout le dossier

Les lettres changent d'une liasse à l'autre : ce que la page 3 note \(\beta\), la page 70 le note \(\alpha\), et inversement. On fixe donc ici une notation, et on s'y tient dans les cinq lectures modernisées de ce dossier.¹

Une adjonction \(f \dashv g\) est la donnée de deux foncteurs \(f : A \to B\) et \(g : B \to A\) et d'une bijection \[ \mathrm{Hom}_{B}\bigl( f(Y), X \bigr) \;\simeq\; \mathrm{Hom}_{A}\bigl( Y, g(X) \bigr) , \] naturelle en \(Y\) et \(X\) ; on dit que \(f\) est adjoint à gauche et \(g\) adjoint à droite. Elle équivaut à la donnée de deux transformations naturelles, l'unité \(\eta : \mathrm{id}_{A} \to gf\) et la coünité \(\varepsilon : fg \to \mathrm{id}_{B}\), soumises aux deux identités triangulaires.

Le composé \(\varphi = fg : B \to B\) est alors une comonade : il vient avec la coünité \(\varepsilon : \varphi \to \mathrm{id}_{B}\) et une comultiplication \[ \delta \;=\; f * \eta * g \;:\; \varphi \longrightarrow \varphi^{2} , \] et ces deux flèches satisfont deux axiomes, un axiome de coünité et un axiome de coassociativité, exprimés par la commutation de

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\varphi \arrow[r, "\delta"] \arrow[rr, bend right=32, "\mathrm{id}_{\varphi}"'] &
\varphi^{2} \arrow[r, bend left=18, "\varphi * \varepsilon"] \arrow[r, bend right=18, "\varepsilon * \varphi"'] &
\varphi
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\varphi \arrow[r, "\delta"] &
\varphi^{2} \arrow[r, bend left=18, "\varphi * \delta"] \arrow[r, bend right=18, "\delta * \varphi"'] &
\varphi^{3}
\end{tikzcd}

Ce sont les conditions de Godement, du nom sous lequel le manuscrit les cite.² Symétriquement, \(\psi = gf : A \to A\) est une monade, d'unité \(\eta\) et de multiplication \(\mu = g * \varepsilon * f\).

3–4

« Tapis cartésiens » : la comonade d'une adjonction (pages 1 à 11)

Le premier texte du dossier occupe les pages 3 à 11 ; la chemise, page 1, lui donne son titre et donne aussi celui du texte suivant.

Les coalgèbres

Soit \(\varphi\) une comonade sur \(B\), de coünité \(\varepsilon\) et de comultiplication \(\delta\). Une \(\varphi\)-coalgèbre est un couple \((X, u)\) formé d'un objet \(X\) de \(B\) et d'une flèche \[ u : X \longrightarrow \varphi(X) \] telle que les deux diagrammes suivants commutent :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X \arrow[r, "u"] & \varphi(X) \arrow[r, "\varepsilon(X)"] & X
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X \arrow[r, "u"] &
\varphi(X) \arrow[r, bend left=18, "\varphi(u)"] \arrow[r, bend right=18, "\delta(X)"'] &
\varphi^{2}(X)
\end{tikzcd}

soit \(\varepsilon(X) \circ u = \mathrm{id}_{X}\) (coünité) et \(\delta(X) \circ u = \varphi(u) \circ u\) (coassociativité). Les morphismes de coalgèbres sont les flèches de \(B\) compatibles avec les \(u\). On note \(\varphi\text{-}\mathbf{Coalg}\) cette catégorie ; le manuscrit la note \(K(\varphi, \alpha, \lambda)\) et appelle ses objets des tapis cartésiens. C'est la catégorie de co-Eilenberg–Moore de la comonade.³

Lorsque \(\varphi = fg\) provient d'une adjonction \(f \dashv g\), un objet \(Y\) de \(A\) donne canoniquement une coalgèbre, à savoir \(f(Y)\) munie de \[ f(Y) \xrightarrow{\;f * \eta\;} fgf(Y) = \varphi\bigl( f(Y) \bigr) , \] et ceci est fonctoriel. On obtient le foncteur de comparaison \[ h : A \longrightarrow \varphi\text{-}\mathbf{Coalg} . \] Toute la question est de savoir quand \(h\) est une équivalence : c'est-à-dire quand la donnée d'un objet de \(A\) équivaut à celle d'un objet de \(B\) muni d'une donnée de recollement.

4–4

Le théorème de comonadicité

Théorème. Soit \(f \dashv g\) une adjonction, \(\varphi = fg\), et \(h\) le foncteur de comparaison.

1. a)Si les noyaux de doubles flèches existent dans \(A\) et si \(f\) y commute, alors \(h\) est essentiellement surjectif.
2. b)\(h\) est une équivalence si et seulement si \(f\) est conservatif — il ne rend isomorphe que ce qui l'était déjà — et si, pour toute double flèche \((u,v)\) de \(A\) telle que \(\mathrm{Ker}\bigl(f(u), f(v)\bigr)\) existe, \(\mathrm{Ker}(u,v)\) existe et \(f\) y commute.

La restriction portée en marge — il suffit de considérer les doubles flèches \((u,v)\) dont l'image par \(f\) a un noyau — est la condition que le manuscrit appelle condition C, et c'est elle qui fait la force de l'énoncé : on ne demande rien de \(A\) en général, seulement de ce que \(f\) voit déjà. C'est le théorème de comonadicité de Beck, sous sa forme précise.⁴

4–6

La réciproque : reconstruire l'adjonction

Partons cette fois d'une comonade \((\varphi, \varepsilon, \delta)\) sur \(B\), sans supposer qu'elle provienne de quoi que ce soit. Posons \(A = \varphi\text{-}\mathbf{Coalg}\) et soit \(f : A \to B\) le foncteur d'oubli, \((X, u) \mapsto X\). On définit \[ g : B \longrightarrow A , \qquad g(X) = \bigl( \varphi(X),\; \delta(X) \bigr) , \] et c'est ici, et seulement ici, que la coassociativité sert : elle dit exactement que \(\delta(X)\) est une structure de coalgèbre sur \(\varphi(X)\). On a alors, par construction, \[ fg = \varphi . \]

Que \(f\) soit adjoint à gauche de \(g\) se vérifie à la main. Dans un sens, la coünité \(\varepsilon\) fournit \[ \mathrm{Hom}_{A}\bigl( (X,u), g(Y) \bigr) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{B}(X, Y) , \qquad w \longmapsto \varepsilon(Y) \circ f(w) ; \] dans l'autre, on construit l'unité \(\eta : \mathrm{id}_{A} \to gf\) en associant à une coalgèbre \((X,u)\) le carré

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "u"] \arrow[d, "u"'] & \varphi(X) \arrow[d, "\varphi(u)"] \\
\varphi(X) \arrow[r, "\delta(X)"'] & \varphi^{2}(X)
\end{tikzcd}

dont la commutation est précisément l'axiome de coassociativité de la coalgèbre : c'est donc bien un morphisme de coalgèbres \((X,u) \to gf(X,u) = \bigl( \varphi(X), \delta(X) \bigr)\). Les deux applications sont inverses l'une de l'autre — l'une des deux identités triangulaires résulte de l'axiome de coünité de \(\varphi\), l'autre de l'axiome de coünité de la coalgèbre — et l'on retrouve \((\varphi, \varepsilon, \delta)\) par le procédé du paragraphe précédent.

Conclusion. Pour \(B\) fixée, se donner une catégorie \(A\) et une adjonction \(f \dashv g\) entre \(A\) et \(B\), avec \(f\) conservatif et satisfaisant à la condition C, revient essentiellement à se donner une comonade \((\varphi, \varepsilon, \delta)\) sur \(B\).⁵

6–6

Exactitude, et le cas des topos

Une comonade transporte des propriétés d'exactitude de \(B\) à \(\varphi\text{-}\mathbf{Coalg}\), mais pas symétriquement, et c'est un point que la page énonce trop vite.

Le foncteur d'oubli \(f\) crée toutes les limites inductives qui existent dans \(B\) : une limite inductive de coalgèbres se calcule en oubliant les structures, et la structure sur la limite s'en déduit sans hypothèse. Pour les limites projectives il faut une condition, et c'est \(\varphi\) qui la porte : si \(\varphi\) commute aux limites projectives d'un type donné, alors ces limites existent dans \(\varphi\text{-}\mathbf{Coalg}\) et \(f\) y commute.⁶

Théorème. Supposons \(B\) un topos, et \(\varphi\) exact à gauche. Alors \(\varphi\text{-}\mathbf{Coalg}\) est un topos, et le foncteur d'oubli \(f\) est l'image inverse \(f_{0}^{*}\) d'un morphisme de topos \(f_{0} : B \to \varphi\text{-}\mathbf{Coalg}\), morphisme qui est surjectif. Pour que \(f_{0}\) soit essentiel, il faut et il suffit que \(\varphi\) commute aux limites projectives quelconques, c'est-à-dire — \(\varphi\) étant déjà exact à gauche — aux produits infinis.⁷

C'est l'énoncé qui justifie le titre du dossier : les comonades exactes à gauche sur un topos sont exactement ses surjections, et la théorie des tapis cartésiens est, pour un topos, une théorie de la descente.

7–11

Une base produit : la matrice des \(\varphi_{ji}\)

Le reste du texte examine ce que devient tout ceci quand \(B = \prod_{i \in I} B_{i}\). Le foncteur \(f\) est alors une famille \(f_{i} : A \to B_{i}\), l'adjoint \(g\) une famille \(g_{i} : B_{i} \to A\) avec \(g\bigl( (X_{i}) \bigr) = \prod_{i} g_{i}(X_{i})\), et la comonade \(\varphi\) se décompose. En posant \[ \varphi_{ji} \;=\; f_{j} g_{i} \;:\; B_{i} \longrightarrow B_{j} \] et en supposant que les \(f_{j}\) commutent aux produits indexés par \(I\) — ce qui est automatique si \(I\) est fini, ou si les \(f_{j}\) sont exacts — on obtient \[ \mathrm{pr}_{j}\, \varphi\bigl( (X_{i}) \bigr) \;=\; \prod_{i \in I} \varphi_{ji}(X_{i}) . \] La comonade devient donc une matrice de foncteurs \(\varphi_{ji}\), et sa structure se réécrit en une famille de flèches \[ \lambda_{kji} \;:\; \varphi_{ki} \longrightarrow \varphi_{kj}\varphi_{ji} , \] qui n'est autre que \(f_{k} g_{i} \to f_{k}\, g_{j} f_{j}\, g_{i}\), obtenue en insérant l'unité \(\mathrm{id} \to g_{j} f_{j}\) au milieu. Les axiomes de coünité et de coassociativité se traduisent en relations entre les \(\lambda_{kji}\), que le manuscrit renonce à écrire. Il observe seulement que pour \(i = j = k\) on retrouve la comultiplication de \(\varphi_{i}\), et que les cas où deux des trois indices coïncident sont dégénérés : ne restent que le cas des trois indices distincts et le cas \(i = k \neq j\), qui donne \[ \mathrm{id}_{B_{i}} \longrightarrow \varphi_{ij}\, \varphi_{ji} \qquad (i \neq j) . \]

\medskip

Deux facteurs. Le cas \(B = B' \times B''\) est traité en détail, sous l'hypothèse que \(g'\) et \(g''\) sont pleinement fidèles, c'est-à-dire que \(f'g' \simeq \mathrm{id}_{B'}\) et \(f''g'' \simeq \mathrm{id}_{B''}\). Il ne reste alors, de toute la matrice, que deux foncteurs croisés \[ \varphi' : B'' \longrightarrow B' , \qquad \varphi'' : B' \longrightarrow B'' \] et deux flèches \[ \lambda' : \mathrm{id}_{B'} \longrightarrow \varphi' \varphi'' , \qquad \lambda'' : \mathrm{id}_{B''} \longrightarrow \varphi'' \varphi' , \] avec \(\varphi(X', X'') = \bigl( X' \times \varphi'(X''),\ \varphi''(X') \times X'' \bigr)\).

La catégorie \(A\) s'explicite alors complètement : ses objets sont les quadruplets \((X', X'', u', u'')\) où \[ u' : X' \longrightarrow \varphi'(X'') , \qquad u'' : X'' \longrightarrow \varphi''(X') , \] soumis à la commutation des deux triangles

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X' \arrow[r, "u'"] \arrow[rr, bend right=30, "\lambda'(X')"'] &
\varphi'(X'') \arrow[r, "\varphi'(u'')"] & \varphi'\varphi''(X')
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X'' \arrow[r, "u''"] \arrow[rr, bend right=30, "\lambda''(X'')"'] &
\varphi''(X') \arrow[r, "\varphi''(u')"] & \varphi''\varphi'(X'')
\end{tikzcd}

l'axiome de coünité étant, lui, automatiquement satisfait par la forme même de \(\varphi\).⁸

\medskip

Le cas dégénéré. Si \(\varphi'\varphi''\) et \(\varphi''\varphi'\) sont constants de valeur l'objet final, les deux triangles sont vides de contenu et \(A\) est simplement la catégorie des quadruplets, sans condition. Les deux foncteurs \(g'\), \(g''\) s'écrivent alors explicitement, et leurs images essentielles se reconnaissent par une condition d'une simplicité frappante : \[ \text{image essentielle de } g' : u'' \text{ est un isomorphisme} , \qquad \text{image essentielle de } g'' : u' \text{ est un isomorphisme} . \] Leur intersection est donc formée des quadruplets où \(u'\) et \(u''\) sont inversibles, et cette sous-catégorie est équivalente à la sous-catégorie pleine de \(B'\) formée des \(X'\) pour lesquels \(\lambda'(X')\) est un isomorphisme. La page en tire trois conditions équivalentes, dont la teneur est que cette intersection se réduit à un point si et seulement si \(\lambda'\), ou de façon équivalente \(\lambda''\), n'est inversible que sur l'objet trivial.⁹

13–20

Résolutions standard et cohomologie relative (pages 13 à 20)

Le second texte du dossier commence page 13 et se poursuit jusqu'à la page 27, donc au-delà de ce lot. Il applique le mécanisme précédent à l'algèbre homologique.

13–13

La construction standard

Soit \(F \dashv G\) une adjonction, \(F : C \to C'\) et \(G : C' \to C\). On a donc d'un côté la monade \(E = GF\) sur \(C\), avec son unité \(\eta : \mathrm{id}_{C} \to E\) et sa multiplication \(E^{2} \to E\), et de l'autre la comonade \(E' = FG\) sur \(C'\).

Itérer \(E\) produit un objet cosimplicial coaugmenté dans la catégorie des endofoncteurs de \(C\) : \[ X \longrightarrow E(X) \rightrightarrows E^{2}(X) \Rrightarrow E^{3}(X) \longrightarrow \cdots \] dont le terme de degré \(n\) est \(E^{n+1}\), les cofaces sont obtenues en insérant l'unité aux \(n+2\) places possibles, et les codégénérescences en appliquant la multiplication.¹⁰ La comonade \(E'\) donne de même, sur \(C'\), un objet simplicial augmenté.

Deux faits en découlent, et ce sont eux qui font l'intérêt de la construction : pour \(X'\) dans \(C'\), le complexe \(\widehat{E}\bigl( G(X') \bigr)\) est contractile, et pour \(X\) dans \(C\), \(F(X) \to F\bigl( \widehat{E}(X) \bigr)\) est une équivalence d'homotopie. Autrement dit, la résolution devient triviale dès qu'on la regarde du côté où elle a été construite. La raison est une dégénérescence supplémentaire, et le manuscrit l'énonce sous une forme plus générale : si un foncteur \(T : C \to D\) est muni d'un \(h : T \circ E \to T\) tel que \(h \circ (T * \eta) = \mathrm{id}_{T}\), alors \(T\widehat{E}(X)\) est contractile pour tout \(X\).

L'application visée est immédiate : si \(C\) et \(C'\) sont abéliennes, \(F\) et \(G\) additifs, et si \(F\) est exact et fidèle, alors \(\widehat{E}(X)\) est une résolution de \(X\). La page s'arrête au milieu de la phrase suivante.¹¹

14–15

Représentabilité : des \(h_{B}\) aux \(R\)-modules

Le texte reprend, sous le titre « Cohomologie relative », par une question préalable : reconnaître, parmi tous les foncteurs, ceux de la forme \(A \mapsto \mathrm{Hom}(A, B)\).

Soit \(C\) une catégorie et, pour \(B\) dans \(C\), soit \(h_{B}\) le foncteur \(A \mapsto \mathrm{Hom}(A, B)\). Il est contravariant en \(A\) et covariant en \(B\),¹² et le lemme de Yoneda donne \[ \mathrm{Hom}(B, B') \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathrm{Hom}\bigl( h_{B}, h_{B'} \bigr) , \] la bijection réciproque s'obtenant en évaluant une transformation naturelle sur l'identité de \(B\). Le foncteur \(B \mapsto h_{B}\) identifie donc \(C\) à une sous-catégorie pleine de la catégorie des foncteurs \(C^{\circ} \to \mathbf{Ab}\),¹³ additifs si \(C\) l'est.

Supposons maintenant que \(C\) soit une catégorie de Grothendieck : abélienne, vérifiant AB 3), 4), 5), et munie d'un générateur \(U\). Posons \(R = \mathrm{End}_{C}(U)\) et, pour un foncteur \(h\) transformant limites inductives en limites projectives, \(M(h) = h(U)\), qui est un \(R\)-module à droite. Le manuscrit affirme alors que \[ \mathrm{Hom}(h, h') \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathrm{Hom}_{R^{\circ}}\bigl( M(h), M(h') \bigr) , \] puis, définissant en sens inverse \(M \mapsto M \otimes_{R} U\), que les deux foncteurs sont quasi-inverses, de sorte que les foncteurs envisagés sont « essentiellement les \(h_{B}\) ».

Cet énoncé n'est correct que sous une hypothèse que la page ne formule pas. L'énoncé vrai est le suivant. Le foncteur \(\mathrm{Hom}_{C}(U, -) : C \to \mathbf{Mod}_{R}\) est pleinement fidèle, et son adjoint à gauche \(- \otimes_{R} U\) est exact : c'est le théorème de Gabriel–Popescu, et il présente \(C\) comme une localisation de \(\mathbf{Mod}_{R}\), non comme \(\mathbf{Mod}_{R}\).¹⁴ Pour que ce soit une équivalence, il faut et il suffit que \(U\) soit un générateur projectif et petit, et l'on retombe alors sur le théorème de Morita.

C'est cette différence qui explique le mot « essentiellement » de la page, et le « détails laissés au lecteur » qui le précède.

16–17

Le couple \((S,T)\) : unité et coünité

Soient \(C\) et \(C'\) deux catégories additives et \(S : C \to C'\) un foncteur additif. On suppose que pour tout \(X\) de \(C'\) le foncteur \(A \mapsto \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), X \bigr)\) est représentable, et de façon fonctorielle en \(X\) : on a donc un foncteur \(T : C' \to C\) et une bijection naturelle \[ \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), X \bigr) \;\simeq\; \mathrm{Hom}_{C}\bigl( A, T(X) \bigr) . \] Autrement dit \(S \dashv T\). La condition de représentabilité est satisfaite notamment lorsque \(C\) et \(C'\) vérifient AB 3), 4), 5), que \(C\) a un générateur, et que \(S\) est exact à droite — c'est le paragraphe précédent qui le fournit.¹⁵

De l'adjonction viennent l'unité et la coünité, \[ \eta : \mathrm{id}_{C} \longrightarrow TS , \qquad \varepsilon : ST \longrightarrow \mathrm{id}_{C'} , \] obtenues comme d'ordinaire en évaluant la bijection sur des identités. Les deux identités triangulaires prennent ici une lecture géométrique que la page souligne : le composé \[ S(A) \xrightarrow{\;S(\eta_{A})\;} STS(A) \xrightarrow{\;\varepsilon_{S(A)}\;} S(A) \] est l'identité, ce qui fait de \(S(A)\) un facteur direct de \(STS(A)\), la rétraction étant \(\varepsilon\) ; et symétriquement \(T(X)\) est facteur direct de \(TST(X)\). C'est cette scission-là, et rien d'autre, qui sera le moteur de tout ce qui suit.

Enfin, \(\eta\) est un monomorphisme en chaque objet si et seulement si les applications \(\mathrm{Hom}_{C}(A,B) \to \mathrm{Hom}_{C'}\bigl( S(A), S(B) \bigr)\) sont injectives, c'est-à-dire si et seulement si \(S\) est fidèle.

18–20

Suites \(S\)-exactes et objets \(S\)-injectifs

On peut maintenant refaire l'algèbre homologique en ne tenant pour exactes que les suites que \(S\) scinde. C'est l'algèbre homologique relative.

Une suite courte \(0 \to A' \to A \to A'' \to 0\) de \(C\) est dite \(S\)-exacte si son image par \(S\) est exacte et scindée. Un objet \(M\) de \(C\) est dit \(S\)-injectif si \(\mathrm{Hom}(-, M)\) transforme toute suite \(S\)-exacte en une suite exacte courte de groupes abéliens.¹⁶

Premier exemple. Tout objet de la forme \(T(X)\) est \(S\)-injectif, car pour un tel \(M\) la suite en jeu est simplement l'image par \(\mathrm{Hom}(S(-), X)\) de la suite \(S\)-exacte, donc exacte par scission.

Deuxième exemple. Supposons \(S\) exact à droite et fidèle. Alors, pour tout \(A\), la suite \[ 0 \longrightarrow A \xrightarrow{\;\eta_{A}\;} TS(A) \longrightarrow Z(A) \longrightarrow 0 , \qquad Z(A) = \mathrm{coker}\,\eta_{A} , \] est \(S\)-exacte : son image par \(S\) est exacte parce que \(S\) est exact à droite, et elle est scindée par la rétraction \(\varepsilon_{S(A)}\) construite plus haut.

De ces deux exemples sort la caractérisation qui organise la suite du texte : un objet est \(S\)-injectif si et seulement si \(\eta\) l'identifie à un facteur direct de \(TS(M)\). En effet, s'il en est ainsi, il est facteur direct d'un \(T(X)\), donc \(S\)-injectif par le premier exemple ; et réciproquement, un objet \(S\)-injectif rend scindée la suite \(S\)-exacte qui lui est attachée par le second.¹⁷

\medskip

Quand une suite \(S\)-exacte est-elle exacte ? Si \(S\) est exact et fidèle, les deux notions coïncident. La raison est brève : \(S\) étant exact, \(S\bigl( \mathrm{Ker}\,v / \mathrm{Im}\,u \bigr) = \mathrm{Ker}\,S(v) / \mathrm{Im}\,S(u)\), et \(S\) étant fidèle, le premier membre est nul si et seulement si \(\mathrm{Ker}\,v / \mathrm{Im}\,u\) l'est.¹⁸

Le lot s'achève sur la définition de la résolution canonique. En posant \(C^{0} = TS\), puis \[ C^{1}(A) = C^{0}(A) / \mathrm{Im}\,A , \qquad C^{i}(A) = C^{0}\Bigl( C^{i-1}(A) / \mathrm{Im}\bigl( C^{i-2}(A) \bigr) \Bigr) \quad (i \geqslant 2) , \] on obtient une \(S\)-résolution de \(A\), fonctorielle en \(A\), dont tous les termes sont \(S\)-injectifs. C'est elle qui servira, dans le lot suivant, à définir les foncteurs dérivés relatifs. \pagerange{21}{27}

Cohomologie relative : la fin de la théorie (pages 21 à 27)

On reprend la situation du lot précédent : deux catégories abéliennes \(C\), \(C'\), un foncteur additif \(S : C \to C'\) admettant un adjoint à droite \(T\), d'unité \(\eta : \mathrm{id}_{C} \to TS\) et de coünité \(\varepsilon : ST \to \mathrm{id}_{C'}\). Une suite courte de \(C\) est \(S\)-exacte lorsque son image par \(S\) est exacte et scindée ; un objet est \(S\)-injectif lorsque \(\mathrm{Hom}(-, M)\) transforme toute suite \(S\)-exacte en suite exacte. À partir d'ici, et comme la marge de la page 23 le note une fois pour toutes, \(S\) est supposé exact et fidèle.¹⁹

21–21

Quand les foncteurs dérivés relatifs sont les foncteurs dérivés

Soit \(\Gamma : C \to D\) un foncteur, et \(R_{S}^{\bullet}\Gamma\) les foncteurs dérivés calculés sur les \(S\)-résolutions. La question est de savoir quand ils coïncident avec les \(R^{\bullet}\Gamma\) ordinaires — donc, en premier lieu, quand \(R_{S}^{\bullet}\Gamma\) est bien un foncteur cohomologique, c'est-à-dire quand une suite courte lui donne une suite exacte longue.

Trois conditions suffisent :

1. (i)\(\eta_{A} : A \to C^{0}(A)\) est un monomorphisme ;
2. (ii)\(S\) et \(T\) sont exacts — donc \(C^{0} = TS\) l'est, donc \(\Gamma C^{\bullet}\) aussi ;
3. (iii)pour toute suite courte \(0 \to A' \to A \to A'' \to 0\) de \(C\), la suite \[ 0 \longrightarrow \Gamma\bigl( C^{0}(A') \bigr) \longrightarrow \Gamma\bigl( C^{0}(A) \bigr) \longrightarrow \Gamma\bigl( C^{0}(A'') \bigr) \longrightarrow 0 \] est exacte.

Il suffit d'ailleurs, pour (iii), que le foncteur composé \(\Gamma T\) soit exact. Sous ces conditions \(R_{S}^{\bullet}\Gamma\) est un foncteur cohomologique et, en degré \(0\), coïncide avec \(R^{0}\Gamma = \Gamma\) dès que \(\Gamma\) est exact à gauche.²⁰

22–23

Les \(S\)-injectifs sont les facteurs directs des \(T(N)\)

La caractérisation esquissée à la fin du lot précédent est ici établie.

D'un côté, tout objet \(T(N)\) est \(S\)-injectif : appliquer \(\mathrm{Hom}(-, T(N))\) à une suite \(S\)-exacte revient, par adjonction, à lui appliquer \(\mathrm{Hom}\bigl( S(-), N \bigr)\), ce qui donne une suite exacte puisque la suite image est scindée. La réciproque de cette observation est utile aussi : si une suite courte devient exacte après \(\mathrm{Hom}(-, T(N))\) pour tout \(N\), alors elle est \(S\)-exacte.

De l'autre côté, pour tout \(X\) de \(C\) la suite \[ \Sigma_{X} : \quad 0 \longrightarrow X \xrightarrow{\;\eta_{X}\;} T\bigl( S(X) \bigr) \longrightarrow X^{*} \longrightarrow 0 , \qquad X^{*} = \mathrm{coker}\,\eta_{X} , \] est \(S\)-exacte, canoniquement scindée par la coünité.

Il suffit alors de faire \(X = M\) : si \(M\) est tel que \(\mathrm{Hom}(-, M)\) rend exacte toute suite de la forme \(\Sigma_{X}\), alors en particulier \(\Sigma_{M}\) est scindée, donc \(M\) est facteur direct de \(T\bigl( S(M) \bigr)\) ; celui-ci étant \(S\)-injectif, \(M\) l'est aussi. D'où :

Les objets \(S\)-injectifs sont exactement les facteurs directs des objets \(T(N)\).²¹

23–25

Morphismes effaçants, complexes droits, résolution canonique

Trois notions se mettent en place, dont la troisième est le but.

\medskip

\(S\)-résolution. Une \(S\)-résolution de \(A\) est une résolution \(A \to X^{\bullet}\) munie, dans le complexe augmenté image par \(S\), de scissions — c'est-à-dire de scissions des suites exactes \[ 0 \longrightarrow S\bigl( Z^{i}(X^{\bullet}) \bigr) \longrightarrow S(X^{i}) \longrightarrow S\bigl( Z^{i+1}(X^{\bullet}) \bigr) \longrightarrow 0 \qquad (i \geqslant 0) . \] Ce sont ces scissions, et non le complexe seul, qui font la résolution.

\medskip

Morphisme effaçant. Un morphisme \(\eta : X \to Y\) est dit effaçant si l'image de \(\mathrm{Hom}\bigl( S(A), S(X) \bigr)\) dans \(\mathrm{Hom}\bigl( S(A), S(Y) \bigr)\) est toujours contenue dans l'image de \(\mathrm{Hom}(A, Y)\). Par adjonction cela revient à dire que \(T(\eta) : T(X) \to T(Y)\) se factorise par \(Y\) : \[ T(X) \longrightarrow Y \xrightarrow{\;\eta_{Y}\;} T(Y) . \] La classe des morphismes effaçants est stable par composition à gauche par n'importe quoi, et l'unité \(\eta_{M} : M \to T(M)\) est toujours effaçante.²²

\medskip

Complexe droit. Un \(t\)-complexe droit sur \(B\) est un complexe \(B \to Y^{\bullet}\) muni de morphismes \(t : T(B) \to Y^{0}\) et \(T(Y^{i}) \to Y^{i+1}\) rendant commutatifs les triangles évidents, autrement dit d'une factorisation de chaque différentielle à travers \(T\).

Ces trois notions servent ensemble à un unique énoncé, qui est le principe d'acyclicité de toute la théorie : une \(S\)-résolution s'envoie canoniquement dans tout \(t\)-complexe droit, au-dessus d'un morphisme donné des augmentations. La construction est une récurrence, et elle est instructive : connaissant \(\bar{u}^{n} : X^{n} \to Y^{n}\), la scission \(s^{n+1}\) de la résolution fournit \(X^{n+1} \to T(Y^{n})\), et la structure \(t\) du but fournit \(T(Y^{n}) \to Y^{n+1}\) ; on pose \[ \bar{u}^{n+1} \;=\; t^{n} \circ T(\bar{u}^{n}) \circ s'^{\,n+1} . \] Les scissions servent à monter, la structure \(t\) à redescendre.

\medskip

La résolution canonique. Elle s'obtient en itérant \(C^{0} = TS\) sur les conoyaux successifs : \[ C^{n+1}(A) \;=\; T\Bigl( S\bigl( C^{n}(A) / \mathrm{Im}\,C^{n-1}(A) \bigr) \Bigr) , \qquad C^{-1}(A) = A . \] C'est un \(t\)-complexe droit, c'est une \(S\)-résolution, et c'est un foncteur en \(A\) : le morphisme \(C^{\bullet}(A) \to C^{\bullet}(B)\) attaché à \(A \to B\) est exactement celui que l'énoncé précédent produit. Les foncteurs dérivés relatifs se calculent donc sur elle, sans choix.

26–27

Trois exemples

1. Restriction des scalaires. Soient \(U\) un anneau, \(V\) un sous-anneau, et \(S : \mathbf{Mod}_{U} \to \mathbf{Mod}_{V}\) la restriction des scalaires. Elle est exacte et fidèle. Son adjoint à droite est \(T(B) = \mathrm{Hom}_{V}(U, B)\), la coünité étant l'évaluation en \(1\) : \[ \mathrm{Hom}_{V}\bigl( S(A), B \bigr) \;\simeq\; \mathrm{Hom}_{U}\bigl( A, \mathrm{Hom}_{V}(U, B) \bigr) . \] Les suites \(S\)-exactes sont celles qui se scindent sur \(V\), et les \(U\)-modules \(S\)-injectifs sont les facteurs directs des \(\mathrm{Hom}_{V}(U, B)\). C'est l'algèbre homologique relative des extensions d'anneaux, celle de Hochschild.²³

2. L'autre côté. La même restriction des scalaires admet aussi un adjoint à gauche, \(A \mapsto U \otimes_{V} A\), et l'on se retrouve dans la situation duale : les objets \(S\)-projectifs sont les facteurs directs des \(U \otimes_{V} A\), avec l'unité \(a \mapsto 1 \otimes a\), qui est \(V\)-linéaire, et la coünité \(u \otimes a \mapsto ua\), qui est \(U\)-linéaire et surjective.

3. Le foncteur de Godement. Soit \(C\) la catégorie des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules sur un espace \(X\), et \(\widetilde{C} = \prod_{x \in X} \mathbf{Mod}_{\mathcal{O}_{x}}\) le produit des catégories de modules sur les fibres. Le foncteur \(S\) qui à un faisceau associe la famille de ses fibres est exact et fidèle, et son adjoint à droite est le foncteur qui à une famille associe le faisceau des sections discontinues. Le composé \(TS\) est exactement le foncteur \(C^{0}\) de Godement, et la résolution canonique ci-dessus est la résolution flasque canonique.

C'est le troisième exemple qui explique le titre du texte, et l'ordre dans lequel il a été écrit : la construction générale est l'abstraction de ce cas-là.

28–40

Notes pour SGA 4, exposé IX (pages 28 à 40)

Une chemise, page 28, porte « Remarques » et « SGA 4 IX ». Ce qui suit n'est pas une rédaction de l'exposé mais un cahier de préparation : plan, énoncés en sténographie, dépendances. Les feuillets ne sont d'ailleurs pas dans l'ordre de lecture — la page 37 se poursuit page 39, et la page 38 porte la proposition dont la page 36 tire le corollaire.

Le sujet de l'exposé est la constructibilité : parmi les faisceaux étales sur un schéma, reconnaître ceux qui sont localement constants à fibres finies sur les morceaux d'une stratification finie. C'est la classe de faisceaux sur laquelle les théorèmes de finitude de la cohomologie étale peuvent être espérés.

30–30

Le plan, et les huit conditions de constructibilité

L'exposé est prévu en trois numéros : sorite des faisceaux de torsion, faisceaux localement constants, faisceaux constructibles. Le second numéro doit donner les propriétés d'exactitude de la notion.

Le cœur de la page est une liste de huit conditions, présentées comme équivalentes, dont voici celles que la lecture soutient :

1. (i)l'image inverse de \(F\) sur \(X^{\mathrm{red}}\) est localement constante à fibres finies ;
2. (ii)il existe \(f : X' \to X\) localement de présentation finie et surjectif tel que \(f^{*}(F)\) soit localement constant à fibres finies ;
3. (iii)\(X\) étant quasi-compact et quasi-séparé, il existe une partition finie de \(X\) en localement fermés constructibles \(X_{i}\) telle que \(F|_{X_{i}}\) soit localement constant à fibres finies ;
4. (iv)\(X\) étant quasi-compact et quasi-séparé, \(F\) est le noyau d'une double flèche \(F_{1} \rightrightarrows F_{0}\) entre faisceaux d'un type que la page ne livre pas ;
5. (v)\(X\) étant quasi-compact et quasi-séparé, une condition portant sur les faisceaux représentables par des schémas étales de présentation finie sur \(X\) ;
6. (vi)\(X\) étant quasi-compact et quasi-séparé, \(F\) admet une filtration finie à quotients de la forme \(i_{!}(G)\), avec \(i : Y \to X\) une immersion constructible ;
7. (vii)une variante de (vi) faisant intervenir les \(p_{*}(G_{X'})\) pour \(X'\) fini de présentation finie sur \(X\) ;
8. (viii)pour \(A = \mathbf{Z}\), faisceaux de torsion, \(X\) quasi-compact quasi-séparé : \(F\) est réunion de facteurs directs de faisceaux filtrés par des \(p_{*}\bigl( i_{!}(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{U} \bigr)\), où \(p : X' \to X\) est fini, \(U\) un ouvert de \(X'\) et \(i\) son immersion.

Les conditions (iv), (v) et (vii) sont trop lacunaires pour être rétablies, et on ne les a pas rétablies.²⁴

Suivent, en sténographie, les rubriques restantes : la définition des constructibles de type fini ; la stabilité par limites inductives et projectives, qui exige que \(A\) soit noethérien ; la stabilité par facteurs directs dans le cas noethérien ; la stabilité par image directe ; et la stabilité par morphisme fini ou quasi-fini.

31–31

Pureté

Proposition. Soit \(X\) un préschéma localement noethérien régulier. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (i)pour tout sous-préschéma régulier \(Y\) de \(X\) et tout sous-préschéma régulier fermé \(Z\) de \(Y\), purement de codimension \(d\), on a \(H^{i}_{Z}(A_{Y}) = 0\) pour \(i \neq 2d\) ;
2. (ii)la même chose pour \(d = 1\) ;
3. (iii)la même chose lorsque \(Z\) est un diviseur.

L'implication \((i) \Rightarrow (ii)\) est triviale ; \((ii) \Rightarrow (i)\) se fait par dévissage sur la codimension, en se ramenant au cas \(d = 1\) où \(H^{2}_{Z}(A_{Y})\) est localement isomorphe à \(A_{Z}\). C'est le théorème de pureté cohomologique absolue, sous la forme d'une équivalence entre l'énoncé général et le cas des diviseurs.²⁵

32–32

La suite du plan, et le Leitfaden

Trois propositions sont annoncées, en sténographie : écrire un faisceau quelconque comme limite inductive, comparer un constructible à une limite inductive de constructibles, et comparer les constructibles sur une limite projective de préschémas (proposition e) ; caractériser la constructibilité par la locale constance et deux autres propriétés (proposition f) ; caractériser les faisceaux localement constants en \(A\)-modules (proposition g). L'exposé doit se terminer par ce qui est propre aux courbes.

La numérotation des paragraphes est ensuite arrêtée — torseurs et faisceaux de torsion constructibles, complexes de faisceaux, Kummer et Artin–Schreier, dimension cohomologique des courbes algébriques — puis corrigée sur place : une accolade et une flèche intervertissent les numéros 4 et 5.

La page porte enfin un Leitfaden, c'est-à-dire l'arbre des dépendances entre numéros :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & 1 \arrow[d, no head] & \\
 & 2 \arrow[dl, no head] \arrow[d, no head] \arrow[dr, no head] & \\
5 & 3 \arrow[d, no head] & 6 \arrow[d, no head] \\
 & 4 & 7
\end{tikzcd}

²⁶

33–33

Un critère sur les fibres géométriques

Énoncé. Soient \(f : X \to Y\) un morphisme, \(Y\) localement noethérien, \(F\) un faisceau de \(\ell\)-torsion sur \(Y\), et \(\xi \in H^{n}\bigl( X, f^{*}(F) \bigr)\). Pour que \(\xi\) provienne de \(H^{n}(Y, F)\), il faut et il suffit que pour tout \(y \in Y\) la classe induite \(\xi_{\bar{y}} \in H^{n}(X_{\bar{y}}, F_{\bar{y}})\) sur la fibre géométrique soit nulle.

Corollaire. \(f\) étant propre et acyclique en degrés \(< n\), pour qu'il soit globalement acyclique pour \(\ell\) il faut et il suffit que ses fibres géométriques le soient.

La démonstration part de l'hypothèse d'acyclicité en degrés intermédiaires, \[ R^{q} f_{*}\bigl( f^{*}(F) \bigr) = 0 \quad (0 < q \leqslant n-1) , \qquad R^{0} f_{*}\bigl( f^{*}(G) \bigr) \simeq G , \] d'où, par la suite spectrale de Leray, la suite exacte \[ \cdots \longrightarrow H^{n}(Y, F) \longrightarrow H^{n}(X, f^{*}F) \longrightarrow H^{0}\bigl( Y, R^{n} f_{*}(f^{*}F) \bigr) , \] qui ramène l'énoncé à ceci : une section de \(R^{n} f_{*}\bigl( f^{*}(F) \bigr)\) nulle sur chaque fibre géométrique est nulle. C'est vrai parce que les fibres du faisceau \(R^{n}f_{*}\) se calculent sur les fibres géométriques. La page s'arrête sur « on est ramené ».²⁷

35–37

Comparer deux foncteurs cohomologiques

C'est le lemme technique de l'exposé XII 6.2, et le seul endroit de la liasse où l'argument est écrit en entier.

Soient \(T^{\bullet}\) et \(T'^{\bullet}\) deux foncteurs cohomologiques et \(\varphi^{\bullet} : T^{\bullet} \to T'^{\bullet}\) un morphisme. À une suite exacte courte \(0 \to A \to B \to C \to 0\) correspond l'échelle à cinq termes

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
T^{i-1}(B) \arrow[r] \arrow[d] & T^{i-1}(C) \arrow[r] \arrow[d] &
T^{i}(A) \arrow[r] \arrow[d] & T^{i}(B) \arrow[r] \arrow[d] &
T^{i}(C) \arrow[d] \\
T'^{i-1}(B) \arrow[r] & T'^{i-1}(C) \arrow[r] & T'^{i}(A) \arrow[r] &
T'^{i}(B) \arrow[r] & T'^{i}(C)
\end{tikzcd}

²⁸ et le lemme des cinq, sous ses diverses formes, donne les quatre variantes que la page énumère :

1. a)si \(\varphi^{i}\) est un isomorphisme pour \(i \leqslant n-1\) et un monomorphisme pour \(i = n\), et si \(\varphi^{n}\) est un isomorphisme sur une famille de cogénérateurs, alors \(\varphi^{n}\) est un isomorphisme partout ;
2. b)si \(\varphi^{i}\) est un isomorphisme pour \(i \leqslant n\) et \(\varphi^{n+1}\) un monomorphisme sur une famille de cogénérateurs, alors \(\varphi^{n+1}\) est un monomorphisme partout ;
3. c)si les \(\varphi^{i}\) sont des épimorphismes, \(\varphi^{n+1}\) est un monomorphisme dès que \(T'^{n+1}\) est effaçable ;
4. c\('\))si les \(T'^{i}\) sont effaçables pour \(i > i_{0}\) et \(\varphi^{i}\) épimorphe pour \(i \leqslant n\), alors \(\varphi^{i}\) est un isomorphisme pour \(i \leqslant n\) et un épimorphisme en degré \(n+1\).

Le point de méthode vient ensuite, et c'est lui qui vaut la peine. Grothendieck donne un nom aux deux propriétés d'un objet \(A\) qui reviennent : \[ I_{n}(A) : \ \varphi^{i}(A) \text{ isomorphisme pour } i \leqslant n ; \qquad J_{n}(A) : \ \varphi^{i}(A) \text{ isomorphisme pour } i < n, \text{ monomorphisme en } i = n . \] Elles s'enchaînent : \(I_{n} \Rightarrow J_{n}\) ; \(I_{n}\) pour tout \(A\) plus \(J_{n}\) sur une famille donne \(J_{n}\) pour tout \(A\) ; \(J_{n}\) pour tout \(A\) plus \(I_{n+1}\) sur une famille donne \(I_{n+1}\) pour tout \(A\). D'où la conclusion : pour vérifier \(I_{n}\) ou \(J_{n}\) partout, il suffit de le vérifier en degrés \(\leqslant n\) sur une famille de générateurs. C'est le dévissage sous sa forme nue, et c'est le geste que la liasse entière répète.²⁹

36–38

Une classe de morphismes, et le lemme de Chow

La proposition est page 38, son corollaire page 36 ; on les rétablit dans l'ordre.

Proposition. Soit \(M\) un ensemble de morphismes de préschémas localement noethériens. On suppose :

1. a)l'appartenance à \(M\) est locale sur la base ;
2. b)\(M\) est stable par composition ;
3. c)si \(g : \mathbf{P}^{r}_{Y} \to Y\) est la projection canonique, \(X' = \mathbf{P}^{1}_{Y} \times \mathbf{P}^{r-1}_{Y}\) muni du morphisme birationnel bien connu \(f : X' \to X = \mathbf{P}^{r}_{Y}\), et si \(gf \in M\), alors \(g \in M\) ;
4. d)si \(f\) est une immersion fermée, \(gf\) simple et \(gf \in M\), alors \(g \in M\) ; en outre \(\mathbf{P}^{i}_{Y} \to Y\) et \(\mathrm{id}_{Y}\) sont dans \(M\).

Alors tout morphisme projectif et simple \(f : X \to Y\) est dans \(M\).³⁰

La démonstration est une récurrence sur \(r\) : a), b), c) donnent que les \(\mathbf{P}^{r}_{Y} \to Y\) sont dans \(M\), et d) descend de là à tout sous-préschéma fermé simple de \(\mathbf{P}^{r}_{Y}\), donc à tout projectif simple.

Corollaire. Ajoutons la condition suivante :

1. c\('\))soient \(X' \xrightarrow{f} X \xrightarrow{g} Y\) des morphismes propres, \(X_{0}\) un sous-préschéma fermé de \(X\), \(U = X - X_{0}\) et \(U' = f^{-1}(U)\). Si \(U' \to U\) est un isomorphisme et si \(X_{0} \to Y\) et \(gf : X' \to Y\) sont dans \(M\), alors \(g \in M\).³¹

Alors tout morphisme propre est dans \(M\). En effet c\('\)) implique c), donc tout projectif est dans \(M\) ; et le lemme de Chow, qui domine tout morphisme propre par un morphisme projectif birationnel au-dessus d'un ouvert dense, permet de dévisser le cas propre sur le cas projectif au moyen de c\('\)).

Cette proposition n'est pas de la géométrie : c'est un critère formel, et il sert chaque fois qu'on veut établir une propriété pour tous les morphismes propres sans les regarder.

39–40

Dévissage des faisceaux de \(\ell\)-torsion constructibles

La page 39 achève la page 37 et applique le principe.

Deux énoncés d'abord, qui disent quels dévissages une annulation supporte : si \(T^{i}(B) = 0\) alors \(T^{i}(A) = 0\) pour tout facteur direct \(A\) de \(B\) ; et si \(A\) a une filtration finie dont les quotients \(A_{\alpha}\) vérifient \(T^{i}(A_{\alpha}) = 0\), alors \(T^{i}(A) = 0\).

De là, pour un foncteur cohomologique sur les faisceaux de \(\ell\)-torsion constructibles sur \(X\), il suffit de vérifier l'annulation sur les faisceaux de la forme \[ i_{!}\Bigl( p_{*}\bigl( (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{Y'} \bigr) \Bigr) \;=\; q_{*}\, j_{!}\bigl( (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{Y'} \bigr) , \] où \(Y\) est un sous-préschéma constructible de \(X\), \(Y'\) un revêtement étale fini de \(Y\) de degré constant, et où le carré

\begin{tikzcd}
Y' \arrow[r, hook] \arrow[d, "p"'] & X' \arrow[d, "q"] \\
Y \arrow[r, hook, "i"'] & X
\end{tikzcd}

est celui des morphismes canoniques. Autrement dit : toute sous-catégorie pleine des faisceaux de \(\ell\)-torsion constructibles, stable par facteurs directs et par extension et contenant ces faisceaux-là, est la catégorie entière. Et si l'on veut de plus la stabilité par sous-objet — c'est-à-dire une sous-catégorie épaisse — il suffit alors de vérifier que les \(q_{*}\bigl( (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_{X'} \bigr)\) y sont, pour \(X'\) fini sur \(X\), et l'on peut prendre \(X'\) intègre, voire intègre normalisé si \(X\) est noethérien séparé.

La page 40, entièrement barrée en croix, esquisse un calcul de \(R\,h^{!}\) pour une composée \(X_{0} \xrightarrow{g} Y \xrightarrow{j} X\) ; elle est trop lacunaire pour être rendue.³² \pagerange{41}{42}

Deux feuillets sur SGA 4, exposé XII (pages 41 et 42)

La page 41 est un crayon très pâle, illisible d'un bout à l'autre par larges plages ; ce qu'on en tire est une remarque de rédaction, non un énoncé. Elle dit que dans l'exposé XII les hypothèses de quasi-compacité et de quasi-séparation servent moins qu'il n'y paraît : pour l'équivalence des conditions de 6.5 entre elles, et dans le lemme 6.7, on peut s'en passer, sauf pour un point de passage à la limite sur les faisceaux de \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)-modules, dont l'auteur pense d'ailleurs qu'il est inutile lui aussi.³³

La page 42 est un feuillet dactylographié de l'exposé, dont la partie (iii) est barrée de deux traits. Au bas, de la main de l'auteur, l'instruction pour la refaire : adapter la démonstration de XII 8.3 (iii), ou se ramener au cas où \(\pi_{0}\) est surjectif en remplaçant \(\overline{X}\) par \(\overline{X} \amalg Y\).³⁴

43–53

Foncteurs localisants et catégories de fractions (pages 43 à 53)

La chemise, page 43, porte le titre. Les feuillets ne sont pas dans l'ordre : la page 44 porte les numéros 3) et 4), la page 45 les numéros 2) et 1). On les rétablit ici dans l'ordre logique.

Le cadre est le suivant. \(A\) est une catégorie abélienne, \(C \subset A\) une sous-catégorie épaisse — pleine, et stable par sous-objets, quotients et extensions — et \(T : A \to A/C\) le foncteur de passage au quotient. Les flèches que \(T\) rend inversibles sont les \(C\)-isomorphismes : celles dont le noyau et le conoyau sont dans \(C\). La question est l'existence d'un adjoint à droite \(S\) de \(T\), appelé foncteur section.

44–45

Le foncteur section et les objets \(C\)-fermés

Trois listes de conditions équivalentes, dont la seconde est la plus utile.

\medskip

Les objets que la localisation voit fidèlement. Soit \(T \dashv S\) une adjonction quelconque et \(x\) un objet de \(A\). Si \(S\) est pleinement fidèle, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)\(x\) est isomorphe à un objet de la forme \(S(y)\) ;
2. b)l'unité \(x \to ST(x)\) est un isomorphisme ;
3. c)pour tout \(x'\), l'application \(\mathrm{Hom}(x', x) \to \mathrm{Hom}(Tx', Tx)\) est bijective.

L'implication b) \(\Rightarrow\) a) ne demande rien de \(S\) ; c'est la réciproque qui a besoin de la pleine fidélité. On dit alors que \(x\) est \(C\)-fermé, ou local, ou libre au-dessus de \(Tx\) — les trois mots sont dans le dossier.

\medskip

Quand \(S\) est-il pleinement fidèle ? Pour une adjonction \(T \dashv S\) quelconque, il y a équivalence entre :

1. a)\(S\) est pleinement fidèle ;
2. b)la coünité \(TS \to \mathrm{id}\) est un isomorphisme ;
3. c)\(T\) est un foncteur de passage au quotient, c'est-à-dire : en notant \(M\) l'ensemble des flèches de \(A\) que \(T\) rend inversibles, le foncteur induit \(A[M^{-1}] \to B\) est une équivalence.

C'est la caractérisation d'une localisation réflexive : une adjonction dont la coünité est inversible, autrement dit une monade idempotente \(\Lambda = ST\).³⁵

\medskip

L'existence du foncteur section. Enfin, dans le cas \(B = A/C\), les conditions suivantes sur \(C\) sont équivalentes :

1. a)\(T\) admet un adjoint à droite \(S\) ;
2. b)tout \(x\) de \(A\) a un plus grand sous-objet appartenant à \(C\), et si ce sous-objet est nul, \(x\) se plonge dans un objet \(C\)-fermé ;
3. c)tout \(x\) de \(A\) admet un \(C\)-isomorphisme \(x \to \widetilde{x}\) vers un objet \(C\)-fermé.

Ce \(\widetilde{x}\) est alors unique à isomorphisme unique près, et n'est autre que \(ST(x)\).

46–47

Deux sous-catégories localisantes emboîtées

On se donne maintenant \(C\) une catégorie de Grothendieck — abélienne, à limites inductives exactes, avec générateurs — et deux sous-catégories \(C'' \subset C' \subset C\) localisantes, c'est-à-dire épaisses et stables par limites inductives.

À chacune est attaché un foncteur de torsion : \[ \Gamma'(F) = \text{le plus grand sous-objet de } F \text{ appartenant à } C' , \qquad \Gamma''(F) = \text{de même pour } C'' , \] et l'on pose \((\Gamma'/\Gamma'')(F) = \Gamma'(F)/\Gamma''(F)\). Ces foncteurs se définissent aussi comme adjoints à droite des inclusions, ce que la marge de la page 46 note : \(\Gamma' = i'^{\,!}\), \(\Gamma'' = i''^{\,!}\).³⁶

D'autre part, la localisation de \(C'\) le long de \(C''\) donne \(T : C' \to C'/C''\) avec son foncteur section \(S\), d'où \(\Lambda = ST : C' \to C'\) et l'unité \(\mathrm{id}_{C'} \to \Lambda\). Cette dernière est caractérisée par deux propriétés : \(x' \to \Lambda(x')\) est un \(C''\)-isomorphisme, et \(\Lambda(x')\) est \(C''\)-fermé.

Lemme. \(\Gamma'\), \(\Gamma''\) et \(\Lambda\) existent, et \(\Gamma'\) commute aux sous-objets : si \(x \hookrightarrow y\), le plus grand sous-objet de \(x\) dans \(C''\) est \(x \cap y''\), où \(y''\) est celui de \(y\). D'où un monomorphisme naturel \[ \Gamma'(x)/\Gamma''(x) \hookrightarrow R^{0}(\Gamma'/\Gamma'')(x) . \]

Vient alors la question, et elle est intéressante parce que l'auteur y répond lui-même, dans la marge, par la négative. Le morphisme naturel \[ R^{0}(\Gamma'/\Gamma'')(x) \longrightarrow \Lambda\,\Gamma'(x) \] — qui existe parce que \(\Lambda\Gamma'\) est exact à gauche — est-il un isomorphisme ? Non, pas en général. Il l'est lorsque les objets injectifs de \(C''\) sont encore injectifs dans \(C\).³⁷

Sous cette hypothèse, on obtient : \(R^{0}(\Gamma'/\Gamma'')(x)\) est \(C''\)-fermé, et \(\Gamma'(x)/\Gamma''(x) \to R^{0}(\Gamma'/\Gamma'')(x)\) est un \(C''\)-isomorphisme. Et sans hypothèse aucune, si \(x\) est injectif, alors \(\Gamma'(x)/\Gamma''(x)\) est déjà \(C''\)-fermé.

48–50

Quand le quotient conserve les injectifs

Cinq conditions sont mises en regard, pour une sous-catégorie localisante \(C\) d'une catégorie abélienne \(A\), avec \(i_{*} : C \to A\) l'inclusion et \(i^{!}\) son adjoint à droite :

1. (i)\(i_{*}\) transforme les injectifs en injectifs ;
2. (ii)pour tout injectif \(x\) de \(A\), le plus grand sous-objet de \(x\) appartenant à \(C\) est encore injectif dans \(A\) ;
3. (iii)pour tout objet de \(C\), une enveloppe injective dans \(A\) est dans \(C\) — autrement dit \(C\) est stable par enveloppes injectives ;
4. (iv)le morphisme naturel \(R^{0}\bigl( \mathrm{id}/i_{*}i^{!} \bigr) \to ST\) est un isomorphisme, c'est-à-dire : pour \(x\) injectif dans \(A\), le quotient \(x/i_{*}i^{!}(x)\) est \(C\)-fermé ;
5. (v)\(T : A \to A/C\) transforme les injectifs en injectifs.

Le lemme qui les relie est celui de la page 50 : si \(x\) est dans \(C\) et \(\overline{x}\) une enveloppe injective de \(x\) dans \(A\), alors \(i^{!}(\overline{x})\) est une enveloppe injective de \(x\) dans \(C\) ; d'où que tout injectif de \(C\) est, à isomorphisme près, de la forme \(i^{!}(y)\) avec \(y\) injectif dans \(A\).

De là (i) \(\Leftrightarrow\) (ii) \(\Leftrightarrow\) (iii). La première implication tient à ce que \(i^{!}\), adjoint à droite d'un foncteur exact, conserve les injectifs. La seconde se lit sur l'enveloppe : \(i_{*}i^{!} (\overline{x})\) est un objet de \(C\) contenant \(x\) et extension essentielle de \(x\), donc son enveloppe injective dans \(C\) ; si (ii) vaut, il est injectif dans \(A\), ce qui est (iii). Enfin (ii) \(\Rightarrow\) (iv), parce que \(i_{*}i^{!}(x)\) est \(C\)-fermé dans \(x\) lorsque \(x\) est injectif.³⁸

52–53

L'existence du foncteur section, d'après Gabriel

Les pages 52 et 53 reprennent la liste des conditions de \(C\)-fermeture, dans le cadre général d'une catégorie de fractions, et en donnent une cinquième forme : \(x\) est dans l'image essentielle de \(S\), c'est-à-dire isomorphe à un objet \(S(z)\).³⁹ Dans le cas abélien, la condition prend la forme concrète : tout sous-objet de \(x\) appartenant à \(C\) est nul, et \(x\) est facteur direct dans tout \(y \supset x\) tel que \(y/x\) soit dans \(C\).

Corollaire 1. Pour que l'adjoint \(S\) existe, il faut et il suffit que tout \(x\) de \(A\) admette une flèche \(x \to x'\) telle que \(Tx \to Tx'\) soit un isomorphisme et que \(x'\) soit \(C\)-fermé.

Corollaire 2 (Gabriel). Dans le cas \(A\) abélienne, \(B = A/C\) avec \(C\) épaisse, \(S\) existe si et seulement si :

1. a)tout \(x\) de \(A\) admet un plus grand sous-objet appartenant à \(C\) ;⁴⁰
2. b)si ce sous-objet est nul, \(x\) se plonge dans un objet \(C\)-fermé.

Et lorsque \(C\) est stable par limites inductives — la condition a) étant alors automatique — le foncteur \(T\) transforme les injectifs en injectifs.⁴¹

54–60

Le théorème de recollement d'Artin et Cartier (pages 54 à 60)

La chemise, page 54, porte : « Théorèmes de descente de M. Artin – P. Cartier », et un pointage d'archiviste de onze pages, qui déborde ce lot : le texte se poursuit jusqu'à la page 68.

\medskip

\noindentUne convention, à lire avant les formules. Le manuscrit prend, pour son exemple directeur, un espace \(X\), un ouvert \(U\) et le fermé complémentaire \(Y = X - U\), et il nomme \[ i \;\longleftrightarrow\; \text{l'ouvert } U , \qquad j \;\longleftrightarrow\; \text{le fermé } Y . \] C'est l'inverse exact de l'usage d'aujourd'hui, où \(j\) désigne l'ouvert et \(i\) le fermé. On a gardé ses lettres, pour que cette lecture puisse être posée à côté de la transcription formule par formule ; le lecteur qui vient de la littérature moderne doit donc échanger les deux lettres, et non pas les lire.⁴²

56–57

Les quatre conditions et la catégorie des triples

Soient \(C\), \(C'\), \(C''\) trois catégories et \[ f^{*} = (i^{*}, j^{*}) : C \longrightarrow C' \times C'' = D \] un foncteur. On suppose que \(i^{*}\) et \(j^{*}\) ont des adjoints à droite \(i_{*}\), \(j_{*}\) ; alors \(f^{*}\) en a un aussi, à savoir \(f_{*}(G,H) = i_{*}(G) \times j_{*}(H)\), comme le montre le calcul immédiat \[ \mathrm{Hom}\bigl( F, f_{*}(G,H) \bigr) \simeq \mathrm{Hom}(i^{*}F, G) \times \mathrm{Hom}(j^{*}F, H) \simeq \mathrm{Hom}\bigl( f^{*}F, (G,H) \bigr) . \]

On pose \(\varphi = j^{*} i_{*} : C' \to C''\) — le foncteur qui, d'un objet sur l'ouvert, produit son « bord » sur le fermé — et l'on suppose de plus :

1. (a)\(i_{*}\) et \(j_{*}\) sont pleinement fidèles, c'est-à-dire \(i^{*}i_{*} \simeq \mathrm{id}\) et \(j^{*}j_{*} \simeq \mathrm{id}\) ;
2. (b)\(i^{*}j_{*}(H)\) est l'objet final de \(C'\) pour tout \(H\) — ce qui dit que ce qui vit sur le fermé ne se voit pas sur l'ouvert ;
3. (c)les noyaux et conoyaux existent dans \(C\), et \(f^{*}\) y commute ;
4. (d)\(f^{*}\) est conservatif : si \(i^{*}\lambda\) et \(j^{*}\lambda\) sont des isomorphismes, \(\lambda\) en est un.

Théorème (M. Artin – P. Cartier). Sous ces conditions, le foncteur naturel \[ C \longrightarrow K \] est une équivalence de catégories, où \(K\) est la catégorie des triples \((G, H, u)\) avec \(G\) dans \(C'\), \(H\) dans \(C''\) et \(u \in \mathrm{Hom}\bigl( H, \varphi(G) \bigr)\).

C'est le même mécanisme que dans tout le dossier : \(f^{*}\) perd de l'information, \(\varphi\) mesure ce qui a été perdu, et un objet de \(C\) est un objet de \(C' \times C''\) muni d'une donnée de recollement. La condition (b) est ce qui rend la donnée de recollement aussi simple qu'une seule flèche : elle force \(f^{*}f_{*}(G,H) \simeq \bigl( G, \varphi(G) \times H \bigr)\), et les recollements possibles sont alors paramétrés par un \(u : H \to \varphi(G)\) arbitraire.⁴³

La page ajoute une condition d\('\)) équivalente à (d), et c'est la forme sous laquelle on énonce d'ordinaire le recollement : pour tout \(F\) de \(C\), le carré

\begin{tikzcd}
F \arrow[r] \arrow[d] & i_{*} i^{*} F \arrow[d] \\
j_{*} j^{*} F \arrow[r] & j_{*}\bigl( \varphi(i^{*}F) \bigr)
\end{tikzcd}

est cartésien. Un objet est donc bien le produit fibré de ses deux restrictions au-dessus de leur comparaison.

58–58

Les six foncteurs

On passe ici aux catégories abéliennes et aux foncteurs additifs, et le tableau se complète : chacun des deux foncteurs \(i^{*}\) et \(j_{*}\) acquiert un adjoint du côté qui lui manquait.

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
C'' \arrow[r, "j_{*}" description] &
C \arrow[l, bend right=45, "j^{*}"'] \arrow[l, bend left=45, "j^{!}"]
  \arrow[r, "i^{*}" description] &
C' \arrow[l, bend right=45, "i_{!}"'] \arrow[l, bend left=45, "i_{*}"]
\end{tikzcd}

avec les quatre adjonctions \[ i_{!} \dashv i^{*} \dashv i_{*} , \qquad j^{*} \dashv j_{*} \dashv j^{!} . \] Les exactitudes sont celles qu'on attend : \(j_{!} = j_{*}\), \(j^{*}\), \(i^{*} = i^{!}\) et \(i_{!}\) sont exacts ; \(j^{!}\) et \(i_{*}\) sont seulement exacts à gauche, comme adjoints à droite. Le foncteur de comparaison \(\varphi = j^{*}i_{*} : C' \to C''\) est exact à gauche.

Les quatre annulations croisées \[ i^{*} j_{*} = 0 , \qquad j^{!} i_{*} = 0 , \qquad j^{*} i_{!} = 0 , \qquad j^{!} i_{!} = 0 \] disent que l'ouvert et le fermé ne se voient pas l'un l'autre. Et les quatre composés \(C \to C\) portent leurs noms géométriques : \[ j_{*}j^{!}F = \Gamma_{Y}F , \quad j_{*}j^{*}F = F^{Y} , \quad i_{*}i^{*}F = \Gamma_{U}F , \quad i_{!}i^{*}F = F^{U} , \] soit les sections à support dans le fermé, la restriction au fermé prolongée, les sections sur l'ouvert, et le prolongement par zéro depuis l'ouvert.

58–60

Quand \(j^{*}\) est exact

C'est la question sur laquelle le texte s'installe, et elle occupe le reste du lot.

Proposition 1. Partons de \(C'' \xrightarrow{j_{*}} C \xrightarrow{i^{*}} C'\), avec \(j_{*}\) pleinement fidèle, \(i^{*}\) un passage au quotient exact — donc \(i^{*}j_{*} = 0\) — et \(j_{*} \simeq \mathrm{Ker}\,i^{*}\). Alors :

1. (i)si \(i_{!}\) existe, alors \(j^{*}\) existe, on a la suite exacte \[ i_{!} i^{*} F \longrightarrow F \longrightarrow j_{*} j^{*} F \longrightarrow 0 , \] et \(j^{*}j_{*} \simeq \mathrm{id}_{C''}\), \(i^{*}i_{!} \simeq \mathrm{id}_{C'}\), \(j^{*}i_{!} = 0\) ;
2. (i bis)dualement, si \(i_{*}\) existe, alors \(j^{!}\) existe, on a \[ 0 \longrightarrow j_{*} j^{!} F \longrightarrow F \longrightarrow i_{*} i^{*} F , \] et \(j^{!}j_{*} \simeq \mathrm{id}_{C''}\), \(i^{*}i_{*} \simeq \mathrm{id}_{C'}\), \(j^{!}i_{*} = 0\).

Noter qu'en général on ne peut pas compléter ces suites par des zéros aux extrémités manquantes : c'est précisément l'objet du corollaire qui suit.⁴⁴

\medskip

Corollaire 1. Sous les conditions de la proposition 1, et en supposant \(i_{!}\) existant, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)\(j^{*}\) est exact et \(i_{!} \simeq \mathrm{Ker}\,j^{*}\) ;
2. b)\(i_{!}\) a une image essentielle épaisse ;
3. c)\(i_{!}i^{*}(F) \to F\) est un monomorphisme pour tout \(F\), c'est-à-dire la suite \[ 0 \longrightarrow \underbrace{i_{!} i^{*} F}_{F^{U}} \longrightarrow F \longrightarrow \underbrace{j_{*} j^{*} F}_{F^{Y}} \longrightarrow 0 \] est exacte ;
4. d)\(j^{*}\) est exact.

La démonstration est un cycle. a) \(\Rightarrow\) b) est immédiat. Pour b) \(\Rightarrow\) c), soit \(N\) le noyau de \(i_{!}i^{*}F \to F\) ; appliquant \(i^{*}\), qui est exact, et utilisant \(i^{*}i_{!}i^{*}F \simeq i^{*}F\), on trouve \(i^{*}(N) = 0\) ; mais b) donne \(N = i_{!}(M)\), et \(i^{*}i_{!}(M) = 0\) entraîne \(M = 0\) puisque \(i^{*}\) est un passage au quotient, donc \(N = 0\).

Pour d) \(\Rightarrow\) b), on empile trois copies de la suite de (i) pour une suite exacte \(F \to F' \to F''\) et l'on tire, de l'injectivité de \(i_{!}i^{*}F'' \to F''\), que \(j_{*}j^{*}F \to j_{*}j^{*}F'\) est injectif, donc \(j^{*}\) exact — il l'était déjà à droite. Puis on identifie l'image de \(i_{!}\) au noyau de \(j^{*}\) : si \(F = i_{!}G\), alors \(i_{!}i^{*}F \to F\) est un isomorphisme, donc \(j_{*}j^{*}F = 0\) ; et réciproquement \(j^{*}F = 0\) force \(i_{!}i^{*}F \simeq F\).

Enfin d) \(\Rightarrow\) c) : avec \(N\) comme ci-dessus, \(j^{*}N \to j^{*}i_{!}i^{*}F = 0\) donne \(j^{*}N = 0\), et \(i^{*}N = 0\) comme plus haut ; le premier force \(N = j_{*}M\) et le second \(M = 0\).

\medskip

Deux remarques, et une symétrie qui va se briser. Les conditions ci-dessus ne résultent pas de la seule exactitude de \(i_{!}\) : la localisation des modules en fournit le contre-exemple.⁴⁵ Et la situation duale n'est pas vérifiée dans les cas visés : \(j^{!}\) ne sera pas exact, l'image de \(i_{*}\) ne sera pas épaisse, \(F \to i_{*}i^{*}F\) ne sera pas surjectif.

Sous les conditions équivalentes du corollaire, en revanche, il y a une symétrie remarquable entre \(C'\) et \(C''^{\circ}\). La situation réduite

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
C'' \arrow[r, "j_{*}" description] &
C \arrow[l, bend right=35, "j^{*}"'] \arrow[r, "i^{*}" description] &
C' \arrow[l, bend right=35, "i_{!}"']
\end{tikzcd}

vérifie en effet : \(i^{*}\) est un passage au quotient exact de noyau \(j_{*}\) ; \(j^{*}\) est un passage au quotient exact de noyau \(i_{!}\) ; \(j^{*} \dashv j_{*}\) et \(i_{!} \dashv i^{*}\).⁴⁶ De façon précise, la situation obtenue en passant aux catégories opposées,

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
C'^{\circ} \arrow[r, "i_{!}^{\circ}" description] &
C^{\circ} \arrow[l, bend right=35, "i^{*\circ}"'] \arrow[r, "j^{*\circ}" description] &
C''^{\circ} \arrow[l, bend right=35, "j_{*}^{\circ}"']
\end{tikzcd}

satisfait aux hypothèses de départ. La dernière phrase du lot est un avertissement : « Cette symétrie va être détruite dans ce qui suit. » Le lot suivant le vérifie. \pagerange{61}{68}

Recollement : la suite (pages 61 à 68)

On garde la convention du lot précédent : dans ce texte, \(i\) est l'immersion de l'ouvert et \(j\) celle du fermé, ce qui est l'inverse de l'usage d'aujourd'hui. L'auteur numérote lui-même ces pages 5, 5 bis, 5 ter, 6, dans la suite commencée page 56, et il passe à l'anglais de la page 62 à la page 67.⁴⁷

61–63

Le corollaire 2, et sa réciproque

Corollaire 2. Sous les conditions de la proposition 1, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)\(j^{*}\) existe et est exact ;
2. b)\(i_{!}\) existe et a une image essentielle épaisse ;
3. b\('\))\(i_{!}\) existe et \(i_{!}i^{*}F \to F\) est un monomorphisme pour tout \(F\).

Dans ce cas \(i_{!} = \mathrm{Ker}\,j^{*}\), \(j^{*} = \mathrm{Coker}\,i_{!}\), et \(i_{!}\) est exact. La réciproque est fausse, et la page le souligne : il ne suffit pas que \(j^{*}\) et \(i_{!}\) existent avec \(i_{!}\) exact.⁴⁸

L'implication qui reste, b) \(\Rightarrow\) a), est établie page 62 par une construction directe, et elle mérite d'être vue parce qu'elle produit \(i_{!}\) au lieu de le supposer. On définit \[ \tau(F) = \mathrm{Ker}\bigl( F \longrightarrow j_{*}j^{*}F \bigr) . \] Comme \(j^{*}\) est exact et \(j_{*}\) pleinement fidèle, \(\tau\) est un foncteur exact, nul sur les objets de la forme \(j_{*}H\). Il se factorise donc par \(i^{*}\), et l'on obtient \[ \tau(F) \simeq i_{!}\bigl( i^{*}F \bigr) \] avec un foncteur bien défini \(i_{!} : C' \to C\).⁴⁹ Reste à vérifier l'adjonction \(\mathrm{Hom}(i_{!}G, F) \simeq \mathrm{Hom}(G, i^{*}F)\), ce qui, \(j_{*}j^{*}F\) étant le plus grand quotient de \(F\) à support dans le fermé et \(\mathrm{Im}\,j_{*} = \mathrm{Ker}\,i^{*}\), résulte de la construction même de la catégorie quotient.

Reste la question, posée deux fois dans le dossier et laissée ouverte : l'existence de \(j^{*}\), exact ou non, entraîne-t-elle celle de \(i_{!}\) ?

63–66

Une deuxième généralisation, et le contre-exemple

La page 63 dresse le tableau des annulations et des identifications : \[ \begin{array}{lll} j^{*} i_{!} = 0 & i_{!} = \mathrm{Ker}\,j^{*} & j^{*} = \mathrm{Coker}\,i_{!} \\[2pt] i^{*} j_{*} = 0 & j_{*} = \mathrm{Ker}\,i^{*} & i^{*} = \mathrm{Coker}\,j_{*} \end{array} \] puis pose une deuxième généralisation, portant cette fois sur la paire \((i^{*}, i_{!})\) plutôt que sur \((j_{*}, j^{*})\), avec trois variantes formellement distinctes de la condition d'épaisseur : image épaisse, \(i_{!}i^{*}F \to F\) injectif, \(i_{!} = \mathrm{Ker}\,j^{*}\). La situation entière, note-t-il, est contenue dans la seule suite exacte \[ 0 \longrightarrow i_{!} i^{*} F \longrightarrow F \longrightarrow j_{*} j^{*} F \longrightarrow 0 . \]

La page 64 énumère, dans le cas où \(i_{*}\) existe aussi, trois conditions qui s'entraînent : \(j^{!}\) exact, \(i_{*}\) exact, \(\varphi = j^{*}i_{*}\) exact.⁵⁰

\medskip

Le contre-exemple. La page 65 pose la question qui achève la symétrie du lot précédent : suffit-il que \(i_{!}\) soit exact ? La réponse est non, et le contre-exemple est le suivant. Soit \(A\) un anneau de valuation discrète d'uniformisante \(\pi\), et \(S = \{\pi^{n}\}\). Prenons pour \(C\) les \(A\)-modules, pour \(C''\) ceux qui sont tués par une puissance de \(\pi\), pour \(C'\) les \(S^{-1}A\)-modules, pour \(i^{*}\) la localisation et pour \(i_{*}\) la restriction des scalaires. Alors \(i_{*}\) est exact, mais l'adjoint de l'autre côté ne l'est pas.

C'est la vérification annoncée à la dernière ligne du lot précédent : la symétrie entre l'ouvert et le fermé, valable au niveau des axiomes, se brise dès qu'on demande de l'exactitude.

\medskip

Les quatre types de situation. La page 66 les recense, et c'est le résumé le plus net de tout ce texte :

• un foncteur exact \(i^{*}\), qui est un passage au quotient, et qui a deux adjoints \(i_{!}\), \(i_{*}\) dont l'un est exact et pleinement fidèle à image épaisse ;
• un foncteur exact \(j_{*}\), pleinement fidèle à image épaisse, qui a deux adjoints \(j^{*}\), \(j^{!}\) dont l'un, \(j^{*}\), est exact et est un passage au quotient ;
• les situations mixtes, mêlant \(i^{*}\), \(i_{*}\), \(j^{*}\), \(j_{*}\) ;
• les foncteurs seulement exacts à gauche.

Et l'énoncé qui les relie : partant de \(i_{*}\) pleinement fidèle et \(i^{*}\) passage au quotient, il y a équivalence entre — a) \(i^{*}\) a un second adjoint \(i_{!}\) à image épaisse ; b) \(i^{*}\) est exact, du type \(C \to C/j_{*}C''\) pour une sous-catégorie épaisse \(C''\), et \(j^{*}\) existe et est exact ; c) la situation est celle, « standard », que définit un foncteur exact \(\varphi\). La construction de \(j^{*}\) à partir de a) est immédiate : \[ j^{*}F = \mathrm{Coker}\bigl( i_{!} i^{*} F \longrightarrow F \bigr) . \]

67–68

Les douze foncteurs, et les limites

La page 67 fait le compte. Dans la situation

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
C'' \arrow[r, bend left=25, "j_{*}"] &
C \arrow[l, bend left=25, "j^{*}"] \arrow[r, bend left=25, "i^{*}"] &
C' \arrow[l, bend left=25, "i_{!}"]
\end{tikzcd}

on dispose de deux suites exactes, \[ 0 \longrightarrow F_{U} \longrightarrow F \longrightarrow F^{Y} \longrightarrow 0 , \qquad 0 \longrightarrow \Gamma_{Y}F \longrightarrow F \longrightarrow \Gamma_{U}F , \] la première bâtie sur les \(f_{!}f^{*}\), la seconde sur les \(f_{*}f^{!}\), pour \(f = i\) et \(f = j\). Et de douze foncteurs en tout : les six de base \(j_{*}, j^{*}, j^{!}\) et \(i^{*}, i_{!}, i_{*}\) ; les quatre composés \(C \to C\), soit \(i_{!}i^{*}\), \(i_{*}i^{*}\), \(j_{*}j^{*}\), \(j_{*}j^{!}\) ; le foncteur de comparaison \(\varphi = j^{*}i_{*} : C' \to C''\) ; et son prolongé \(j_{*}\varphi : C' \to C\).

La page 68 revient au français et clôt sur les limites projectives. La paire \((i^{*}, j^{*})\) y commute, et il suffit, pour que \(\varprojlim_{k}(G_{k}, H_{k}, u_{k})\) existe dans la catégorie des triples, que \(\varprojlim G_{k}\) et \(\varprojlim H_{k}\) existent dans \(C'\) et \(C''\). Le mot de la fin est une comparaison : pour les propriétés d'existence, la paire \((i^{*}, j^{*})\) est « aussi bonne que » le seul foncteur \(\varphi : C' \to C''\) — si \(\varphi\) commute aux limites projectives finies, ou quelconques, et si ces limites existent dans \(C'\) et \(C''\), alors elles existent dans \(C\) et la paire y commute.

70–70

L'objet co-semi-simplicial d'une adjonction (page 70)

Une feuille isolée, numérotée 1 dans un cercle, qui reprend la construction standard de la page 13 et démontre ce que cette page-là avait seulement annoncé.

Soit une adjonction \(f \dashv g\) avec \(f : A \to B\), d'unité \(\eta : \mathrm{id}_{A} \to gf\) et de coünité \(\varepsilon : fg \to \mathrm{id}_{B}\), et soit \(\varphi = fg\) la comonade associée, de comultiplication \(\delta = f * \eta * g\).⁵¹

\medskip

La construction. Pour tout \(X\) de \(B\), les itérées \(\varphi^{n+1}(X)\) forment un objet co-semi-simplicial \(\Phi^{\bullet}(X)\), de terme \(\Phi^{n}(X) = \varphi^{n+1}(X)\), dont les cofaces \(\varphi^{n+1} \to \varphi^{n+2}\) sont les \(n+1\) insertions de la comultiplication, \[ \varphi^{k} * \delta * \varphi^{n-k} \qquad (0 \leqslant k \leqslant n) . \] ⁵²

\medskip

Le seul fait qui compte. La construction n'a d'intérêt que par sa trivialité du bon côté. Pour tout \(Y\) de \(A\), l'objet \(X = f(Y)\) porte une coaugmentation \[ f(Y) \longrightarrow \Phi^{\bullet}\bigl( f(Y) \bigr) , \] et cette coaugmentation est une équivalence d'homotopie. L'homotopie contractante est donnée par une seule flèche, l'unité poussée par \(f\) : \[ f \xrightarrow{\;f * \eta\;} \varphi f = fgf . \] C'est ce qu'on appelle aujourd'hui une dégénérescence supplémentaire : un objet coaugmenté qui en possède une est contractile, sans autre vérification. Il n'y a pas de coaugmentation pour un \(X\) quelconque, et la page le dit entre parenthèses : il faut \(X \simeq f(Y)\).

\medskip

Le retour à la page 3. La page se termine en demandant quels sont, pour \(X\) quelconque, les morphismes d'objets co-semi-simpliciaux \(X \to \Phi^{\bullet}(X)\). La réponse est une flèche \(u : X \to \varphi(X)\) rendant commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X \arrow[r, "u"] &
\varphi(X) \arrow[r, bend left=18, "\varphi(u)"] \arrow[r, bend right=18, "\delta"'] &
\varphi^{2}(X)
\end{tikzcd}

c'est-à-dire exactement une structure de coalgèbre sur \(X\), la condition étant mot pour mot celle de la page 3. Le dossier revient à son point de départ : un tapis cartésien, c'est une manière de coaugmenter la construction standard.

71–75

Fidélité : ce qu'est un foncteur d'oubli (pages 71 à 75)

La chemise, page 71, porte un mot : « Fidélité ». Le texte tient en un titre, qu'il faut lire comme une définition en attente : les foncteurs fidèles transportables comme foncteurs d'oubli de structures.

\medskip

Le problème. On dit couramment qu'un groupe est un ensemble muni d'une structure, et que le foncteur qui envoie un groupe sur son ensemble sous-jacent « oublie » cette structure. La question est de savoir quelle propriété d'un foncteur \(p : E \to B\) fait de lui un oubli de structure, sans supposer connue à l'avance la notion de structure.

\medskip

Transportabilité. \(p\) est dit transportable lorsque le foncteur induit \(E \times_{B} B^{\mathrm{is}} \to B^{\mathrm{is}}\) est une fibration, où \(B^{\mathrm{is}}\) est le sous-groupoïde maximal de \(B\). Cela revient à dire qu'un isomorphisme \(b \xrightarrow{\sim} b'\) de la base se relève : une structure sur \(b\) se transporte le long de lui. C'est le transport de structure au sens naïf, et tout foncteur est isomorphe à un foncteur transportable.⁵³

\medskip

Ce que les fibres disent. Ce sont les deux énoncés qui font la liasse. Soit \(p\) une fibration.

• \(p\) est fidèle si et seulement si les catégories fibres \(E_{b}\) sont des ensembles préordonnés — au plus une flèche entre deux objets.
• \(p\) est conservatif si et seulement si les catégories fibres sont des groupoïdes.
• Donc \(p\) est fidèle et conservatif si et seulement si les fibres sont discrètes, c'est-à-dire des ensembles nus.

⁵⁴

\medskip

Le théorème. Pour un foncteur \(p : E \to B\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)\(p\) est une fibration, fidèle et conservative ;
2. b)\(p\) est une fibration à fibres discrètes ;
3. c)pour tout objet \(X\) de \(E\), le foncteur induit \(E_{/X} \to B_{/p(X)}\) est une équivalence ;
4. d)il existe un préfaisceau \(F\) sur \(B\) et une \(B\)-équivalence \(E \approx B_{/F}\).

C'est le théorème des fibrations discrètes : une catégorie au-dessus de \(B\) dont la projection est une fibration à fibres discrètes n'est rien d'autre que la catégorie des éléments d'un préfaisceau.⁵⁵

Et la conclusion, qui est la définition cherchée : les foncteurs d'oubli de structure sont les foncteurs transportables et fidèles. On n'a pas besoin de la conservativité : les fibres sont alors préordonnées, non discrètes, et c'est bien ce qu'on veut — sur un même objet de \(B\), deux structures peuvent être comparables sans être égales.

\medskip

La reconstruction. Partant d'un foncteur fidèle transportable, on définit sur \(B^{\mathrm{is}}\) \[ b \longmapsto \text{classes d'isomorphie de } E_{b} = \text{« structures d'espèce } p \text{ sur } b \text{ »} , \] et \(E\) se reconstitue à équivalence près : un objet de \(E\) est un objet de \(B\) muni d'une structure d'espèce \(p\). Mais le foncteur \(E^{\mathrm{is}} \to B^{\mathrm{is}}\) ne suffit pas à retrouver \(E\) elle-même. Pour cela il faut que \(p\) soit une fibration, et définir sur \(B\) la notion de structure image inverse le long d'une flèche \(b \to c\), ce qui donne un foncteur \[ \Sigma : B^{\circ} \longrightarrow (\text{ens.\ ordonnés}) . \] La connaissance de \(\Sigma\) détermine \(E\) à équivalence près.⁵⁶

76–80

Questions sur les topos (pages 76 à 80)

La chemise, page 76, porte : « Morphismes et comorphismes — Liste Problèmes ». Ce qui suit est une liste de onze questions, adressée à quelqu'un — la première ligne porte « (Pour M^lle … ?) ». Quatre feuillets au crayon, très surchargés ; ce sont les plus difficiles du lot, et plusieurs questions ne se laissent lire qu'en partie. On donne celles qui se tiennent.⁵⁷

1. 1)Définir et étudier les immersions de topos. Les caractériser par la pleine fidélité de \(f_{*}\), c'est-à-dire par \(f^{*}f_{*} \simeq \mathrm{id}\) — condition qui fait de \(f^{*}\) quelque chose de voisin d'un passage au quotient. Dans quelle mesure une immersion détermine l'ouvert ou le fermé qui lui donne naissance ? Si deux immersions ont même « lieu », l'équivalence qui les identifie est-elle unique à isomorphisme unique près ? Caractériser les immersions ouvertes — par le fait que \(f^{*}\) commute aux limites projectives quelconques, en plus de la pleine fidélité de \(f_{*}\) — et les immersions fermées — par une condition de surjectivité de \(F \to f_{*}f^{*}F\).
2. 2)Étudier les morphismes tels que \(f^{*}\) admette un adjoint à gauche \(f_{!}\). Le cas \(U \to U_{/S}\) est-il typique ? Non : la marge répond qu'il n'est ni l'un ni l'autre, et recommande de regarder plutôt la commutation aux limites.⁵⁸
3. 3)Étudier le cas où \(f^{*}\) est pleinement fidèle, et celui où \(f^{*}\) commute aux limites projectives finies.
4. 4)Étudier le cas où \(f_{*}\) est pleinement fidèle.
5. 5)Notion de morphisme dominant de topos, définie par \(f_{*}(\emptyset) = \emptyset\). Lien avec la conservativité de \(f^{*}\). Que dire du cas où \(f_{*}\) est conservatif ?
6. 6)Caractériser les foncteurs exacts \(U \to V\) qui proviennent d'un morphisme — c'est-à-dire donner une forme intrinsèque au théorème de Cartier et Artin.⁵⁹
7. 7)Les morphismes de \(\mathcal{U}\)-topos forment une \(\mathcal{U}\)-catégorie : les \(\mathrm{Hom}\) sont petits. L'ensemble des classes d'isomorphie de tels morphismes est-il petit lui aussi ? La marge répond : non.
8. 8)Théorie de l'adjonction
   LaTeX source

   \begin{tikzcd}[column sep=huge]
   (\mathrm{Top}) \arrow[r] &
   (\mathrm{Cat}) \arrow[l, bend left=30, "C \mapsto \widehat{C}"]
   \end{tikzcd}

   entre topos et catégories, et étude des topos dont les \(H^{i}\) sont finis.
9. 9)Définir les catégories fibrées de topos, et décrire la situation dans certains cas.⁶⁰
10. 10)Catégories fibrées et champs essentiellement représentables.
11. 11)La chaîne
    LaTeX source

    \begin{tikzcd}[column sep=huge]
    (\mathrm{Ens.}) \arrow[r] &
    (\mathrm{Esp.}) \arrow[r] &
    (\mathrm{Top}) \arrow[ll, bend left=30]
    \end{tikzcd}

    et, en marge, l'indication : 2-adjoint du foncteur fibres.

\medskip

Les chaînes d'adjoints. La page 79, entièrement barrée, cherche un exemple de foncteur qui soit à la fois adjoint à gauche et adjoint à droite du même foncteur, et propose une petite catégorie explicite à deux objets \(e\), \(a\) et trois flèches non triviales \(u : e \to a\), \(v : a \to e\), \(w = vu\), soumises à \(uv = \mathrm{id}_{e}\), \(uw = u\), \(wv = v\) — la composition n'étant pas entièrement déterminée par ces relations, puisqu'il reste à décider ce que vaut \(w^{2}\).

La page 80 énonce alors le résultat positif. Étant donné une chaîne de foncteurs adjoints successifs, on peut la prolonger indéfiniment vers le bas en notant \(f_{!}, f^{*}, f_{*}, f^{!}, \ldots\) les adjoints itérés :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
f_{!} & f^{*} \arrow[d, no head] & f_{*} \arrow[d, no head] &
  f^{!} \arrow[d, no head] & f_{?} \arrow[d, no head] \\
& g_{!} & g^{*} \arrow[d, no head] & g_{*} \arrow[d, no head] &
  g^{!} \arrow[d, no head] \\
& & h_{!} & h^{*} & h_{*}
\end{tikzcd}

Proposition. Soit \(\mathcal{U}\) un univers contenant un ensemble infini. Pour tout \(n\), il existe deux \(\mathcal{U}\)-topos \(E\) et \(F\) de la forme \(\widehat{C}\), \(\widehat{C'}\) avec \(C\), \(C'\) petites, et \(n\) foncteurs \(f_{1}, \ldots, f_{n}\) alternativement de \(E\) dans \(F\) et de \(F\) dans \(E\), chacun adjoint à droite du précédent, dont aucun n'est pleinement fidèle.⁶¹

Question. Peut-on trouver une suite infinie dans les deux directions ? Il suffirait de trouver \(f\) et \(g\) tels que \(g\) soit à la fois adjoint à gauche et adjoint à droite de \(f\).

La phrase s'arrête là, au milieu ; elle se termine page 81, dans le lot suivant. \pagerange{81}{81}

Questions sur les topos : la fin (page 81)

Six lignes, qui achèvent la phrase interrompue au bas de la page 80. La question était : peut-on prolonger indéfiniment, dans les deux sens, une chaîne de foncteurs adjoints successifs ? Il suffirait pour cela de disposer de \(f\) et \(g\) tels que \(g\) soit à la fois adjoint à gauche et adjoint à droite de \(f\).

L'ébauche de réponse passe par une description d'un type d'objets : des couples formés d'un ensemble \(A\) muni d'une involution \(w\), et d'une rétraction du quotient \(A/w\) sur la partie fixe \(A^{w} \subset A/w\). Le foncteur \(f\) associe alors, à un ensemble \(E\), le triple \((E, \mathrm{id}_{E}, E, \mathrm{id}_{E})\).

C'est tout ce que la page soutient. Ni la construction ni la conclusion ne sont lisibles, et on ne les a pas reconstituées.⁶²

82–95

Catégories fibrées (pages 82 à 95)

Une chemise, page 82, porte le titre et un pointage d'archiviste de vingt-deux pages ; les feuillets conservés n'en comptent que treize, dont deux versos vierges. Trois textes suivent, chacun sous un titre de la main de l'auteur.

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\noindentRappel des définitions. Soit \(p : E \to B\) un foncteur. Une flèche \(\xi \to \eta\) de \(E\) est cartésienne si elle est universelle parmi celles qui se projettent de la même façon ; \(p\) est une fibration, ou est fibrante, si toute flèche \(x \to y\) de \(B\) et tout \(\eta\) au-dessus de \(y\) admettent un relèvement cartésien. On note \(E_{b}\) la fibre au-dessus de \(b\), et \(f^{*} : E_{y} \to E_{x}\) le foncteur de transport attaché à \(f : x \to y\). Dualement, \(p\) est cofibrante si \(p^{\circ}\) est fibrante, et le transport va alors dans l'autre sens, \(f_{*} : E_{x} \to E_{y}\).

83–84

Sites fibrés et topos total

Soit \(E \to B\) une catégorie fibrée dont chaque fibre \(E_{b}\) est munie d'une topologie, les foncteurs de transport \(f^{*}\) étant des morphismes de sites. On munit alors \(E\) de la topologie la moins fine rendant continus tous les foncteurs \(E_{b} \to E\) ; les familles couvrantes sont celles que décrit SGA 4 IV 3.2.⁶³

Supposons \(B\) et \(E\) dans un univers \(\mathcal{U}\). Le but est de calculer le topos \(\widetilde{E}\) des faisceaux sur \(E\) à partir des topos \(\widetilde{E}_{b}\) des fibres. Le premier pas consiste à plonger chaque fibre dans son topos, c'est-à-dire à fabriquer une nouvelle catégorie fibrée \(\overline{E}\) dont les fibres sont les \(\widetilde{E}_{b}\) : un morphisme de \(F \in \overline{E}_{x}\) vers \(G \in \overline{E}_{y}\) au-dessus de \(f : x \to y\) est un morphisme \[ F \longrightarrow f^{*}(G) \quad \text{dans } \widetilde{E}_{x} , \] où l'on note encore \(f^{*}\) le prolongement du transport aux topos.⁶⁴

\medskip

La formule. Le topos total s'écrit alors comme une catégorie de sections : \[ \widetilde{E}^{\circ} \;\simeq\; \underline{\Gamma}^{\,\text{vert-cart}} \bigl( B,\; X \mapsto (\overline{E})^{\circ}_{p(X)/X} \bigr) , \] l'exposant « vert-cart » signifiant qu'on se borne aux sections cartésiennes au-dessus des flèches verticales. Par associativité des sections, le second membre se réécrit \[ \underline{\Gamma}\Bigl( B,\; x \mapsto \underline{\Gamma}^{\,\mathrm{cart}}\bigl( E_{x},\; X \mapsto (\overline{E}_{x})^{\circ}_{/X} \bigr) \Bigr) , \] le foncteur intérieur n'étant autre que \(\widetilde{E}^{\circ}_{x}\), d'où enfin \[ \widetilde{E} \;\simeq\; \underline{\Gamma}\bigl( B, \overline{E}^{\Delta} \bigr)^{\circ} , \] où \(\overline{E}^{\Delta}\) se déduit de \(\overline{E}\) par une opération sur les fibres.⁶⁵

Le contenu, une fois les formules mises de côté, est celui-ci : un faisceau sur la catégorie totale est une famille de faisceaux, un par fibre, compatibles aux transports. C'est la définition du topos total d'un site fibré, et c'est la dernière apparition, dans le dossier, du motif « objet global = famille locale + donnée de recollement ».

86–88

Sections et sections cartésiennes : les adjoints

Le deuxième texte porte, encadré en haut de la page 86, le titre : « Catégories \(\underline{\Gamma}\) et \(\varprojlim\) ».

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\noindentUne notation à retenir. Sur ces pages, et contrairement à l'usage d'aujourd'hui, l'indice \(*\) marque un adjoint à gauche et l'indice \(+\) un adjoint à droite. Les deux figurent côte à côte page 86, et la page 87 conclut sur \(F^{c}_{+}\) après avoir conclu sur \(F^{c}_{*}\) ; la distinction est donc voulue, et il faut la lire.⁶⁶

\medskip

Pour une catégorie fibrée \(E \to B\), on dispose de deux catégories : celle des sections quelconques, notée \(\underline{\Gamma}(E/B)\), et celle des sections cartésiennes, notée \(\varprojlim E/B\) — ce sont les familles compatibles aux transports, et c'est bien une limite projective, au sens 2-catégorique.⁶⁷ L'inclusion \[ i : \varprojlim E/B \lhook\joinrel\longrightarrow \underline{\Gamma}(E/B) \] et un changement de base \(B' \to B\) donnent le carré

\begin{tikzcd}
& \varprojlim E/B \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "F^{*}_{c}"'] &
\underline{\Gamma}(E/B) \arrow[d, "F^{*}"] \\
X' \in B & \varprojlim E'/B' \arrow[r, hook, "i'"] &
\underline{\Gamma}(E'/B')
\end{tikzcd}

et toute la question est de savoir quand \(F^{*}_{c}\), le changement de base restreint aux sections cartésiennes, admet un adjoint.

\medskip

Les deux calculs. Ils tiennent en trois lignes chacun, et ils sont symétriques. Du côté gauche, \[ \mathrm{Hom}\bigl( X', F^{*}_{c}(Y) \bigr) = \mathrm{Hom}\bigl( i'(X'), F^{*}(i(Y)) \bigr) = \mathrm{Hom}\bigl( F_{*} i'(X'), i(Y) \bigr) = \mathrm{Hom}\bigl( i_{*} F_{*} i'(X'), Y \bigr) , \] ce qui identifie \(F^{c}_{*} = i_{*} F_{*} i'\) ; du côté droit, \[ \mathrm{Hom}\bigl( F^{*}_{c}(Y), X' \bigr) = \mathrm{Hom}\bigl( F^{*}(i(Y)), i'(X') \bigr) = \mathrm{Hom}\bigl( i(Y), F_{+} i'(X') \bigr) = \mathrm{Hom}\bigl( Y, i_{+} F_{+} i'(X') \bigr) , \] ce qui identifie \(F^{c}_{+} = i_{+} F_{+} i'\). D'où les deux énoncés :

1. ①Si \(i\) admet un adjoint à gauche \(i_{*}\) et \(F^{*}\) un adjoint à gauche \(F_{*}\) — ce qui a lieu par exemple si \(E\) est assez cofibrée sur \(B\) et si les « petites » limites projectives existent dans les fibres — alors \(F^{*}_{c}\) admet un adjoint à gauche \(F^{c}_{*}\).
2. ②Si \(i\) admet un adjoint à droite \(i_{+}\) et \(F^{*}\) un adjoint à droite \(F_{+}\) — par exemple si les petites limites projectives existent dans les fibres de \(E/B\) — alors \(F^{*}_{c}\) admet un adjoint à droite \(F^{c}_{+}\).

\medskip

③ Proposition. Supposons que pour tout \(b\) de \(B\) la limite inductive \[ \varinjlim_{c \in \mathrm{Ob}\,{}^{b}\!/B} f^{*}\bigl( X(c) \bigr) \] existe dans \(E_{b}\), et qu'elle commute à tous les changements de base \(u^{*}\). Alors l'adjoint à gauche du foncteur d'inclusion existe, et il est donné par cette formule même : \[ \dot{F}^{\varepsilon}_{*}(X)(b) = \varinjlim_{x \in \mathrm{Ob}\,{}^{b}\!/B} f^{*}\bigl( X(x) \bigr) . \] Autrement dit : pour rendre cartésienne une section quelconque, on recolle fibre à fibre, par une limite inductive sur les objets au-dessus de \(b\).⁶⁸

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Deux corollaires (page 88). Le premier : si de plus les \(b_{*}\) existent — par exemple si \(p\) est aussi cofibrant et si les petites sommes existent dans les fibres —, alors les « foncteurs fibres » \(b^{*}_{c} : \varprojlim E/B \to E_{b}\) admettent chacun un adjoint à gauche \(b^{c}_{*}\).

Le second concerne les générateurs, et c'est celui qui sert. Si \(\underline{\Gamma}(E/B)\) a une famille de générateurs stricts \((X_{\lambda})\), alors les \(i(X_{\lambda})\) en forment une pour \(\varprojlim E/B\). En particulier, si \(p\) est cofibrant et si chaque fibre \(E_{b}\) a des petites sommes et une petite famille de générateurs stricts, alors \(\varprojlim E/B\) en a une aussi, obtenue en réunissant celles des fibres : \[ \bigcup_{b \in \mathrm{Ob}\,B} b^{c}_{*}\bigl( \mathcal{G}_{b} \bigr) , \] où \(\mathcal{G}_{b}\) est un système de générateurs stricts de \(E_{b}\).⁶⁹

89–92

Générateurs, cogénérateurs, et quand \(\varprojlim E/B\) est un topos

Quatre pages au crayon, lourdement surchargées, dont la transcription est plus lacunaire que pleine. On donne ce qui est établi, et on s'arrête là.

\medskip

Le fil est celui-ci. Pour obtenir un système de générateurs de \(\varprojlim E/B\), il faut passer par l'adjoint à gauche \(i_{*}\) de l'inclusion, et non par l'inclusion elle-même : si \((X_{\lambda})\) engendre \(\underline{\Gamma}(E/B)\), la bijection \[ \mathrm{Hom}_{\underline{\Gamma}}\bigl( X_{\lambda}, i(Y) \bigr) \simeq \mathrm{Hom}\bigl( i_{*}(X_{\lambda}), Y \bigr) \] montre que ce sont les \(i_{*}(X_{\lambda})\) qui engendrent en bas. Pour des cogénérateurs, c'est-à-dire des générateurs de la catégorie opposée, c'est l'adjoint de l'autre côté qu'il faut, et la page 90 en tire une condition suffisante : que cet adjoint existe et qu'il y ait un petit système de générateurs dans \(\underline{\Gamma}(E^{\Delta}/B)\) — ce qui a lieu, par exemple, si les petites limites projectives existent dans les fibres, si les foncteurs de transport y commutent, et si les fibres ont de petits ensembles de cogénérateurs.

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Les pages 91 et 92 posent la question finale : quand \(\varprojlim E/B\) est-elle un \(\mathcal{U}\)-topos ? Le principe est un transfert : si un type de limite est représentable dans chaque fibre et si les transports y commutent, alors ce type de limite est représentable dans \(\varprojlim E/B\) et les foncteurs fibres y commutent. On en déduit que si les fibres sont préadditives, additives ou abéliennes — et si les transports respectent ces structures —, il en va de même de \(\varprojlim E/B\). Reste, pour conclure au topos, deux conditions supplémentaires : que la catégorie soit une \(\mathcal{U}\)-catégorie, ce qui tient à la petitesse de \(B\), et qu'elle possède une petite famille de générateurs, ce que le corollaire de la page 88 fournit.⁷⁰

94–95

Dualité : fibré et cofibré

Le dernier texte porte, encadré en haut de la page 94 : « Dualité pour catégories fibrées et cofibrées ». Il tient en deux pages et il est clair d'un bout à l'autre.

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Les deux notions. Soit \(p : E \to B\).

1. 1)\(p\) est fibrante si, pour toute flèche \(f : x \to y\) de \(B\), un foncteur de transport \(f^{*} : E_{y} \to E_{x}\) est défini, avec transitivité essentielle, par l'identité \[ \mathrm{Hom}_{f}(X, Y) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{id}_{x}}\bigl( X, f^{*}(Y) \bigr) . \] De telles données reviennent à un pseudo-foncteur \(F : B^{\circ} \to (\mathrm{Cat})\).
2. 2)\(p\) est cofibrante, c'est-à-dire \(p^{\circ}\) fibrante, si pour toute flèche \(f : x \to y\) un foncteur \(f_{*} : E_{x} \to E_{y}\) est défini, avec transitivité essentielle, par \[ \mathrm{Hom}_{f}(X, Y) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{id}_{y}}\bigl( f_{*}(X), Y \bigr) . \] ⁷¹ De telles données reviennent à un pseudo-foncteur \(F : B \to (\mathrm{Cat})\).

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Le lien. C'est l'énoncé qui fait la page, et il est purement adjonctif.

• Si \(p\) est fibrante : pour une flèche \(f\) donnée, \(f_{*}\) existe si et seulement si \(f^{*}\) admet un adjoint à gauche. Donc \(p\) est cofibrante si et seulement si tous les \(f^{*}\) admettent un adjoint à gauche.
• Si \(p\) est cofibrante : pour une flèche \(f\) donnée, \(f^{*}\) existe si et seulement si \(f_{*}\) admet un adjoint à droite. Donc \(p\) est fibrante si et seulement si tous les \(f_{*}\) admettent un adjoint à droite.

Une catégorie à la fois fibrée et cofibrée est donc exactement une famille de catégories dont tous les transports vont par paires adjointes. C'est le même énoncé que celui qui ouvre le dossier, à quatre-vingt-dix pages de distance : tout se lit sur les adjonctions.

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L'avertissement final. La catégorie opposée relative d'une catégorie fibrée \(p : E \to B\) — celle qu'on obtient en retournant chaque fibre — n'est définie qu'à équivalence près. C'est une autre catégorie fibrée, associée au pseudo-foncteur \[ F^{\mathrm{opp}} : B \longrightarrow (\mathrm{Cat}) , \qquad F^{\mathrm{opp}}(a) = F(a)^{\circ} , \qquad F^{\mathrm{opp}}(f) = F(f)^{\circ} . \] Il n'est pas évident, note l'auteur, qu'on puisse en donner une description intrinsèque, qui évite le recours au pseudo-foncteur. Et pour que \((E/B)^{\mathrm{opp}}\) soit à son tour cofibrée, il faut et il suffit que les \(f^{*}\) admettent des adjoints à droite — condition qui n'est autre que celle pour que \(E/B\) soit cofibrée.

La dernière phrase du dossier est celle-ci, et elle est soulignée sur la page : à retenir que ce pseudo-foncteur définit deux catégories fibrées bien distinctes sur \(B\).⁷²