Cote n° 18 · batch 4 · pages 61–61 · Transcription · Motifs et théorie de Hodge : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1969-vers 1972]
Édition de démonstration

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Le feuillet reprend en cours de calcul : la page 60 s'achève sur l'homomorphisme \(\varphi_{v}\) de \(\mathrm{Gal}(k/k_{0})\) dans \(G(A_{\mathbb{C}})\) et sur la densité de son image ; la présente page en tire la variance en \(w\). Le point qu'il met sur \(\sigma\) est de lui : il distingue \(\dot{\sigma}\) de \(\sigma_{*}\), qu'il écrit en toutes lettres sur les mêmes lignes.

N.B. c'est d'une petite […] vérification par \(w\)

Cette vérification peut d'ailleurs si \(w' = \sigma w\) La phrase reste en suspens : elle n'a pas de verbe et passe directement au calcul.

\[ M_{w}^{\mathbb{Z}} = g\,M_{v}^{\mathbb{Z}} \]

\[\begin{align*} M_{\sigma w}^{\mathbb{Z}} &= \dot{\sigma}(M_{w}^{\mathbb{Z}}) = \dot{\sigma}\,g\,M_{v}^{\mathbb{Z}} = \dot{\sigma}\,g\,\dot{\sigma}^{-1}\, (\dot{\sigma} \cdot M_{v}^{\mathbb{Z}}) \\ &= (\dot{\sigma}\,g\,\dot{\sigma}^{-1})\,\struck{\ill{}}\;\sigma_{*}\, M_{\sigma\ill{}}^{\mathbb{Z}} \\ &= \dot{\sigma}\,g\,\dot{\sigma}^{-1}\,\struck{\ill{}}\;\sigma_{*}\,g^{-1} \;\; g\,M_{v}^{\mathbb{Z}} \end{align*}\]

Le dernier membre de la deuxième ligne du calcul est écrit au ras du bord droit du feuillet : l'indice de \(M\) commence par \(\sigma\) et se termine hors du champ. Le groupe biffé qui précède \(\sigma_{*}\) ne se lit ni ici ni à la ligne suivante.

i.e.

\[ M_{\sigma w}^{\mathbb{Z}} = \struck{\ill{}}\;\sigma'_{*}\,M_{w}^{\mathbb{Z}} \]

\[ \sigma'_{*} = \dot{\sigma}\,g\,\dot{\sigma}^{-1}\,\sigma_{*}\,g^{-1} \]

Au-dessus de cette dernière égalité, une première rédaction biffée d'un long trait, dont on lit encore \(\varphi_{v}(\sigma)\,g^{-1}\) à son extrémité droite : c'est déjà la formule encadrée plus bas.

On a donc \[ \sigma'_{\ell} = \sigma_{\ell}\,g_{\ell}\,\sigma_{\ell}^{-1}\, \sigma_{\ell}\,g_{\ell}^{-1} = \sigma_{\ell} \] « pour \(\ell\) fini » est ajouté au-dessus de cette formule, relié par un trait.

d'où […]

\[\begin{align*} \sigma'_{\infty} &= \dot{\sigma}_{\infty}\,g_{\infty}\, \dot{\sigma}_{\infty}^{-1}\,\sigma_{\infty}\,g_{\infty}^{-1} \\ &= g_{\infty}^{\dot{\sigma}_{\infty}}\,\sigma_{\infty}\,g_{\infty}^{-1} \end{align*}\]

i.e. on a :

\[ \struck{\varphi_{w}(\sigma) = g_{\infty}^{\dot{\sigma}_{\infty}}\, \varphi_{v}(\sigma)\,g_{\infty}} \]

\[ \boxed{\;\varphi_{w}(\sigma) = g_{\infty}\,\varphi_{v}(\sigma)\, g_{\infty}^{-1}\;} \]

pour \(M_{w}^{\mathbb{Z}} = g\,M_{v}^{\mathbb{Z}}\), \(g \in G\ill{}(M_{k}^{(\infty)})\), i.e. si \(w\) et \(v\) sont M-équivalents. Entre \(G\) et la parenthèse, un caractère repassé plusieurs fois à l'encre ne se lit pas ; la page 60 écrit \(G(A_{\mathbb{C}})\) au même endroit de la notation. Au-dessus du \(g_{\infty}\) encadré subsiste un petit signe, reste de la rédaction biffée. « M-équivalents » est souligné de sa main.