Fonds Grothendieck, cote n° 18, pages 41–60 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-16) Opus 5 (claude-opus-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-25

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 18 Motifs et théorie de Hodge : notes manuscrites (s.d.) Pages 41 à 60 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 3 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [à partir de 1969-vers 1972]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/18.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \add devient supplied ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

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Variations du réseau discret en termes d'une place archimédienne. Critère de transcendance

Le titre est de lui. Ces deux lignes occupent seules le haut du feuillet 41, par ailleurs vierge : ce feuillet sert de couverture à ce qui suit et n'est pas transcrit comme page, d'où le saut de 41 à 42 dans la numérotation. « place » y est abrégé « pl. ». Les autres feuillets absents (43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59) portent au dos des textes étrangers à ces notes.

Pbs

Betti, DeRham Comparaison « réseaux » de DeRham et de de Betti Comparaison réseaux de Betti pour topologies différentes ? Comparaison structures réelles, resp. splittages, (dans DeRham) pour top. diff. Betti, \ell-adique. Comp Comparaison de réseaux de Betti pour top. diff. (dans ch. \ell-adique) — comp. évident ou p DeRham, p-adique. Sur un corps valué (complet ) (non archimédien), comparaison possible entre cohomologie p-adique et cohomologie de DeRham ? Définition de cohomologie p-adique en tout p ??

Le mot entre guillemets au point a) est le même que celui du feuillet de couverture : sa « ré » se lit « vi », et « réelles » du point c) se lit de même « vielles ». Deux insertions interlinéaires : au-dessus de « corps valué » du point 3), trois mots dont seul le premier se laisse lire ; au-dessus du point 2), « (dans ch. \ell-adique) », donné ici dans la ligne.

C, C' courbes elliptiques sans mult. complexe, avec Les derniers mots de la ligne sont comprimés contre le bord droit et ne se laissent pas lire ; ce qui suit (G \simeq SL(2) \times SL(2) \times \mathbb{G}_{m}, de dimension 7) demande que C et C' soient non isogènes.

C \times C' = A

isogénie G \simeq SL(2) \times SL(2) \times \mathbb{G}_{m} de dim. 7

B \simeq B(2) \times B(2) \times \mathbb{G}_{m} de dim. 5

Alors K de degré de transcendance \leqslant 5 sur k, donc de degré de transcendance \leqslant 5 sur k(\pi) [alors qu'on s'attend à \dim G - 1 = 6].

NB Ceci joint pour ttes incarnations k \subset \mathbb{C} !

M motif sur k alg. clos, k isomorphe à un sous-corps de \mathbb{C}.

Pour toute place v de k, on a M^{\mathbb{Z}}_{v} qui est un sous-réseau de \prod_{\ell\ \mathrm{fini}} M(\ell). On veut établir les relations entre les M^{\mathbb{Z}}_{v} pour diverses valeurs v_{1}, \ldots, v_{n} de v.

Choisissons un sous-foncteur de référence (p. ex. défini sur \mathbb{Q}) \xi : M \rightsquigarrow M_{\xi_{0}} \otimes_{\xi_{0}} \quad (= T(\mathbb{Q})) avec des isom. fonctoriels \xi_{\struck{\ill{}}}(M)_{\mathbb{Q}_{\ell}} = M(\ell) \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell}. L'indice de \otimes dans la première formule et la source du second membre de la seconde sont l'un et l'autre douteux ; on donne la lecture que demande la suite.

Alors v_{1}, \ldots, v_{n} définissent les fibrés principaux homogènes P_{i} = \underline{\mathrm{Isom}}(\xi, \xi_{v_{i}}) sous G^{\xi}_{M,\xi_{0}} (ou sur \mathbb{Q}), et un point dans \bigl(\prod P_{i}\bigr)(\widehat{\mathbb{Q}}), où \widehat{\mathbb{Q}} = \prod_{\ell\ \mathrm{fini}} \mathbb{Q}_{\ell}, d'où un pt de \bigl[\bigl(\prod P_{i}\bigr)/G\bigr](\widehat{\mathbb{Q}}).

On peut aussi considérer que l'on a un pt canonique dans GL(n) \times \cdots \times GL(n) \bigl[GL(n) \times \cdots \times GL(n)\bigr](\widehat{\mathbb{Q}}) / GL(n)(\widehat{\mathbb{Q}}) GL(n, \widehat{\mathbb{Z}}) \times \cdots \times GL(n, \widehat{\mathbb{Z}}) \,\backslash\, GL(n, \widehat{\mathbb{Q}}) \times \cdots \times GL(n, \widehat{\mathbb{Q}}) \,/\, GL(n, \widehat{\mathbb{Q}}) n = \mathrm{rang}\ M Dans la ligne encadrée il avait d'abord écrit \mathbb{Z}, biffé et récrit \widehat{\mathbb{Z}} ; le GL du second membre biffé est lui-même surchargé. En marge gauche, en face de ce bloc, deux mots qui ne se lisent pas.

Les considérations qui précèdent montrent que le degré de transcendance des pts en question

est majoré par (n-1)d, car \bigl((n-1) \cdot n\bigr) où d = \dim G.

D'ailleurs, si v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} sont donnés, définissant g_{1}, \ldots, g_{n} \in G(\widehat{\mathbb{Z}}), en prenant \tau_{2}, \ldots, \tau_{n} \in \mathrm{Gal}(k/k_{0}) (si k_{0} est corps de définition de type fini de M) et v'_{1}, v'_{2}, \ldots, v'_{n} avec v'_{i} = \tau_{i} v_{i}, 1 \leqslant i \leqslant n, on trouvera les éléments g \dot\tau_{2} g_{2}, \ldots, \dot\tau_{n} g_{n}, \dot\tau_{i} l'image de dans G(\widehat{\mathbb{Z}}).

N.B. On prendra la « fine » donc conne

Admettant la conjecture de Tate renforcée, \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \to G(\widehat{\mathbb{Q}}) a une image \sigma qui est d'indice fini, il s'ensuit que quitte à remplacer les v_{i} par des \tau_{i} v_{i} convenables, on peut obtenir g_{2}, \ldots, g_{n} génériques indépendamment pour tt \ell, si devrait ceci :

Soit G un gr. alg. affine connexe sur \mathbb{Q}, U sous-groupe ouvert de G(\widehat{\mathbb{Q}}), P = U.a une classe dans G(\widehat{\mathbb{Q}}) mod U. Alors il existe dans P un élt dont toutes les composantes soient génériques rel. \mathbb{Q}.

Le lemme est enfermé dans un grand crochet, en bas à droite du feuillet ; il est repris à la première ligne de la page 50.

Donc en admettant ce lemme, on trouvera que tt syst. v_{1}, \ldots, v_{n} générique, pt générique de V(\widehat{\mathbb{Z}}) générique tel que pour tt \ell, V(\mathbb{Z}_{\ell}) soit générique rel. à \mathbb{Q}. Le V de ces trois lignes n'est pas le G du lemme ; la lettre est écrite en deux traits très ouverts et le reste de la page n'y revient pas.

D'ailleurs, on inversement,

Moyennant complétion le de M, G T qui des M^{\mathbb{Z}}_{v} (M_{f} = \prod \mathbb{Z}_{\ell}) Cette note est écrite de biais dans la marge gauche, en travers des lignes ; un lambeau en est entouré à la mine (« le lemme »). On ne donne que le peu qui se laisse lire.

M^{\mathbb{Z}}_{v} v_{i} M^{\mathbb{Z}}_{v_{i}} comme

en transformé des réseaux comparables.

[On que le choix des \tau_{i}, et enfin v_{i}, dépend de M ; que pour M variable, bien déterminé les par des \xi.]

Supposons maintenant k isomorphe à \mathbb{C}, et donnons-nous une pour laquelle complet. Alors on a les réseaux M^{\mathbb{Z}}_{v} \subset M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}} \quad\text{où}\quad M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}} = \struck{\ill{}} \prod M(\ell) \ell fini ou infini indépendant.

Comparaison Si M est défini sur k_{0}, et k_{0} pour que G_{M} soit connexe de transcendance minimum, alors on a, pour \sigma \in \struck{\mathrm{Aut}_{k_{0}}\ \ill{}}\ \mathrm{Gal}(k/k_{0}), M^{\mathbb{Z}}_{\sigma v} = \dot\sigma M^{\mathbb{Z}}_{v} , NB k n'est pas algébrique sur k_{0}, mais de degré de transcendance où \dot\sigma opère sur M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}} les images : \dot\sigma\bigl((x_{\ell})_{\ell\ \mathrm{fini}},\ x_{\infty}\bigr) = \bigl(\tau_{\ell} x_{\ell},\ \dot\sigma_{\infty} x_{\infty}\bigr) où \tau_{\ell} provient de \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \to G(\mathbb{Z}_{\ell}), et \dot\sigma_{\infty} est l'hom. semi-linéaire déduit de \sigma via M_{k}(\infty) \simeq M_{k_{0}}(\infty) \otimes_{k_{0}} k. Il écrit « \tfrac{1}{2} linéaire » : son \tfrac{1}{2} pour semi-, comme ailleurs « \tfrac{1}{2}cosimplicial ». Le \mathbb{A} de M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}} porte ici un petit c ; la page 60 écrit le même groupe G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}}) avec un C capital non ambigu, et le facteur archimédien est bien G(\mathbb{C}).

Comme v et w, transformé dans Dont comme d'habitude il existe un g \in G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}}) = \prod_{\ell\ \mathrm{fini}} G(\mathbb{Z}_{\ell}) \times G(\mathbb{C}) dit que M^{\mathbb{Z}}_{w} = g tel que \underline{M}^{\mathbb{Z}}_{w} = g\, M^{\mathbb{Z}}_{v} où G = G_{M,\xi_{0}} isomorphes, pour , mod multiplication g \rightsquigarrow gh (h \in G(\widehat{\mathbb{Z}})).

g est associé à M, v. N_{v} et N_{w}

D'ailleurs, g est déterminé h \in G(\widehat{\mathbb{Z}}).

N.B. de fixe g_{\sigma} indéterminé mod G(\widehat{\mathbb{Z}}) g_{\ell} déterminé

M^{\mathbb{Z}}_{\sigma v} = \dot\sigma_{\infty}(g M^{\mathbb{Z}}_{v}) M^{\mathbb{Z}}_{\sigma v} = \struck{g_{\sigma}}\ g_{\sigma} M^{\mathbb{Z}}_{v} = \dot\sigma_{\infty} M^{\mathbb{Z}}_{v} d'où une application \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \xrightarrow{\ \varphi_{v}\ } G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}})/G(\widehat{\mathbb{Z}}) M^{\mathbb{Z}}_{\sigma v} = g_{\sigma} \varphi_{v}(\sigma) M^{\mathbb{Z}}_{v} \quad\text{i.e.}\quad \dot\sigma_{\infty}(M^{\mathbb{Z}}_{v}) = \varphi_{v}(\sigma) M^{\mathbb{Z}}_{v} N.B. \sigma \rightsquigarrow une surjection peut induire v|k_{0} k_{0}, de card. 2 (conj. complexe)

Fixons une v de de k,

On g_{\sigma} est co par G(\widehat{\mathbb{Z}}), d' (où \ell = indéterminé) l'application par prendre g_{\sigma} = \bigl((\sigma_{\ell})_{\ell\ \mathrm{fini}},\ \dot\sigma_{\infty}\bigr) maintenant \dot\sigma_{\infty} est bien déterminé dans G(k) !!!

On obtient ainsi une application canonique \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \xrightarrow{\ \varphi_{v,\infty}\ } G_{\struck{\ill{}}}(k) \subset GL\bigl(M_{k}(\infty)\bigr) N.B. G peut ici être considéré comme défini sur k_{0}, indépendant de v !

et telle qui ait \dot\sigma M^{\mathbb{Z}}_{v} = \sigma_{*} M^{\mathbb{Z}}_{v} pour \sigma \in \mathrm{Gal}(k/k_{0}), avec \sigma_{*} = \bigl((\sigma_{\ell})_{\ell\ \mathrm{fini}},\ \varphi_{v}(\sigma)\bigr) .

On vérifie aussitôt, i.e. posant \psi_{v} = \varphi_{v}^{-1} : \varphi_{v}(\tau\sigma) = {}^{\tau}\varphi_{v}(\sigma)\, \varphi_{v}(\tau) , \qquad \psi_{v}(\tau\sigma) = \psi_{v}(\tau)\, {}^{\tau}\psi_{v}(\sigma) . Les deux formules portent chacune un astérisque biffé en bout de ligne ; le premier membre de la seconde a d'abord été écrit \varphi, corrigé en \psi.

Ainsi \varphi est un 1-cocycle, quand on fait opère \mathrm{Gal}(k/k_{0}) sur G(k) de 2 façons évidentes (par conjugaison ). Il correspond à un fibré principal homogène P_{v,k} sous G(k), avec opérations de \mathrm{Gal}(k/k_{0}) sur \bigl(P_{v}, G(k)\bigr) compatible fibré principal G_{k_{0}}, avec

points de \mathrm{Gal}(k/k_{0}) compatible

Je désigne P_{v,k_{0}} le splitt. donné sur k.

D'ailleurs, c'est le fibré principal \xi_{M,\infty} avec \xi^{\mathbb{Z}}_{M,v} \otimes_{\mathbb{Z}} k_{0}, en effet obtenu de transcendance (No 1, cette fini ) P_{v}^{k} l'multiplicité multiplicité dire que \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \xrightarrow{\ \varphi_{v}\ } G(k) \quad\bigl[\subset GL(M_{k}(\infty))\bigr] rang de Zariski dense.

À vérifier / ok. \pi transporte au k_{0} Les deux notes précédentes sont écrites dans la marge gauche, la première barrée d'un grand trait oblique.

(pour : ) k_{0}, \sigma \rightsquigarrow ({}^{\sigma}g) g^{-1} image de g^{-1}g^{\sigma} une extension finie de [n'est déterminé pour g \in G(k_{0})] générique /k_{0}. Car g \in G(k) générique sur G(k), et pour g^{\sigma} tt

On voit que g^{\sigma} g peut tt être exact On voit que g soit générique /k_{0}, telle que (\sigma) k_{0}(g). Et d'autres

\varphi a génér

Considérons \sigma \rightsquigarrow \sigma_{*}, \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \longrightarrow G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}}) .

Considérons le noyau qui contient le noyau de \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \to \mathrm{Gal}(k/\bar{k}_{0}). Ce noyau est envoyé dans G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}}) par \varphi_{v,\infty}, et l'image Il en résulte que \varphi plus précis,

dominant \varphi_{v}\bigl(\mathrm{Gal}(k/k_{0})\bigr) un (ouvert) de G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}}).

La phrase est coupée en bas du feuillet : la page 61, premier feuillet du lot suivant, la reprend et écrit la relation M^{\mathbb{Z}}_{w} = g M^{\mathbb{Z}}_{v} pour w = \sigma v ainsi que le cocycle conjugué \varphi_{w}(\sigma) = g_{\infty} \varphi_{v}(\sigma) g_{\infty}^{-1}. Le bas du feuillet porte encore, à la mine, « ( ) ? ».