Cote n° 18, pages 41–60

Cote n° 18 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Motifs et théorie de Hodge : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1969-vers 1972]
Édition de démonstration

Variations du réseau discret en termes d'une place archimédienne. Critère de transcendance

Le titre est de lui. Ces deux lignes occupent seules le haut du feuillet 41, par ailleurs vierge : ce feuillet sert de couverture à ce qui suit et n'est pas transcrit comme page, d'où le saut de 41 à 42 dans la numérotation. « place » y est abrégé « pl. ». Les autres feuillets absents (43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59) portent au dos des textes étrangers à ces notes.

Pbs

1)Betti, DeRham
a)Comparaison « réseaux » de DeRham et de de Betti
b)Comparaison réseaux de Betti pour topologies différentes ?
c)Comparaison structures réelles, resp. splittages, (dans DeRham) pour top. diff.
2)Betti, \(\ell\)-adique. Comp Comparaison de réseaux de Betti pour top. diff. (dans ch. \(\ell\)-adique) — comp. évident ou \(p\)
3)DeRham, \(p\)-adique. Sur un corps valué (complet […]) (non archimédien), comparaison possible entre cohomologie \(p\)-adique et cohomologie de DeRham ?
4)Définition de cohomologie \(p\)-adique en tout \(p\) ??

Le mot entre guillemets au point a) est le même que celui du feuillet de couverture : sa « ré » se lit « vi », et « réelles » du point c) se lit de même « vielles ». Deux insertions interlinéaires : au-dessus de « corps valué » du point 3), trois mots dont seul le premier se laisse lire ; au-dessus du point 2), « (dans ch. \(\ell\)-adique) », donné ici dans la ligne.

\(C\), \(C'\) courbes elliptiques sans mult. complexe, avec […] Les derniers mots de la ligne sont comprimés contre le bord droit et ne se laissent pas lire ; ce qui suit (\(G \simeq SL(2) \times SL(2) \times \mathbb{G}_{m}\), de dimension \(7\)) demande que \(C\) et \(C'\) soient non isogènes.

\(C \times C' = A\)

isogénie \(G \simeq SL(2) \times SL(2) \times \mathbb{G}_{m}\) de dim. \(7\)

\(B \simeq B(2) \times B(2) \times \mathbb{G}_{m}\) de dim. \(5\)

Alors \(K\) de degré de transcendance \(\leqslant 5\) sur \(k\), donc de degré de transcendance \(\leqslant 5\) sur \(k(\pi)\) [alors qu'on s'attend à \(\dim G - 1 = 6\)].

NB Ceci joint pour ttes incarnations \(k \subset \mathbb{C}\) !

\(M\) motif sur \(k\) [alg. clos], \(k\) isomorphe à un sous-corps de \(\mathbb{C}\).

Pour toute place \(v\) de \(k\), on a \(M^{\mathbb{Z}}_{v}\) qui est un sous-réseau de \(\prod_{\ell\ \mathrm{fini}} M(\ell)\). On veut établir les relations entre les \(M^{\mathbb{Z}}_{v}\) pour diverses valeurs \(v_{1}, \ldots, v_{n}\) de \(v\).

Choisissons un sous-foncteur de référence (p. ex. défini sur \(\mathbb{Q}\)) \[ \xi : M \rightsquigarrow M_{\xi_{0}} \otimes_{\xi_{0}} \quad (= T(\mathbb{Q})) \] avec des isom. foncto[riels] \(\xi_{\struck{\ill{}}}(M)_{\mathbb{Q}_{\ell}} = M(\ell) \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell}\). L'indice de \(\otimes\) dans la première formule et la source du second membre de la seconde sont l'un et l'autre douteux ; on donne la lecture que demande la suite.

Alors \(v_{1}, \ldots, v_{n}\) définissent les fibrés principaux homogènes \[ P_{i} = \underline{\mathrm{Isom}}(\xi, \xi_{v_{i}}) \] sous \(G^{\xi}_{M,\xi_{0}}\) (ou sur \(\mathbb{Q}\)), et […] un point dans \(\bigl(\prod P_{i}\bigr)(\widehat{\mathbb{Q}})\), où \(\widehat{\mathbb{Q}} = \prod_{\ell\ \mathrm{fini}} \mathbb{Q}_{\ell}\), d'où un pt de \(\bigl[\bigl(\prod P_{i}\bigr)/G\bigr](\widehat{\mathbb{Q}})\).

On peut aussi considérer que l'on a un pt canonique dans \(GL(n) \times \cdots \times GL(n)\) \(\bigl[GL(n) \times \cdots \times GL(n)\bigr](\widehat{\mathbb{Q}}) / GL(n)(\widehat{\mathbb{Q}})\) \[ GL(n, \widehat{\mathbb{Z}}) \times \cdots \times GL(n, \widehat{\mathbb{Z}}) \,\backslash\, GL(n, \widehat{\mathbb{Q}}) \times \cdots \times GL(n, \widehat{\mathbb{Q}}) \,/\, GL(n, \widehat{\mathbb{Q}}) \] [\(n = \mathrm{rang}\ M\)] Dans la ligne encadrée il avait d'abord écrit \(\mathbb{Z}\), biffé et récrit \(\widehat{\mathbb{Z}}\) ; le \(GL\) du second membre biffé est lui-même surchargé. En marge gauche, en face de ce bloc, deux mots qui ne se lisent pas.

Les considérations qui précèdent montrent que le degré de transcendance des pts en question

est majoré par \((n-1)d\), car […] \(\bigl((n-1) \cdot n\bigr)\) où \(d = \dim G\). […]

D'ailleurs, si \(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\) sont donnés, […] définissant […] \(g_{1}, \ldots, g_{n} \in G(\widehat{\mathbb{Z}})\), en prenant \(\tau_{2}, \ldots, \tau_{n} \in \mathrm{Gal}(k/k_{0})\) (si \(k_{0}\) est […] corps de définition [de type fini] de \(M\)) et \(v'_{1}, v'_{2}, \ldots, v'_{n}\) avec \(v'_{i} = \tau_{i} v_{i}\), \(1 \leqslant i \leqslant n\), on trouvera les éléments \(g\) \(\dot\tau_{2} g_{2}, \ldots, \dot\tau_{n} g_{n}\), […] \(\dot\tau_{i}\) l'image de […] dans \(G(\widehat{\mathbb{Z}})\). […]

N.B. On […] prendra […] la « fine » […] donc conne[…]

Admettant la conjecture de Tate renforcée, \(\mathrm{Gal}(k/k_{0}) \to G(\widehat{\mathbb{Q}})\) a une image \(\sigma\) qui est d'indice fini, il s'ensuit que quitte à remplacer les \(v_{i}\) par des \(\tau_{i} v_{i}\) convenables, on peut obtenir \(g_{2}, \ldots, g_{n}\) génériques indépendamment pour tt \(\ell\), si […] devrait ceci :

Soit \(G\) un gr. alg. […] affine connexe sur \(\mathbb{Q}\), \(U\) s[ous]-g[rou]pe […] ouvert de \(G(\widehat{\mathbb{Q}})\), \(P = U.a\) [une classe] dans \(G(\widehat{\mathbb{Q}})\) mod \(U\). Alors il existe dans \(P\) un élt […] dont toutes les composantes soient génériques rel. \(\mathbb{Q}\).

Le lemme est enfermé dans un grand crochet, en bas à droite du feuillet ; il est repris à la première ligne de la page 50.

Donc en admettant ce lemme, on trouvera que tt syst. \(v_{1}, \ldots, v_{n}\) […] générique, […] pt générique de \(V(\widehat{\mathbb{Z}})\) générique tel que pour tt \(\ell\), […] \(V(\mathbb{Z}_{\ell})\) soit générique rel. à \(\mathbb{Q}\). Le \(V\) de ces trois lignes n'est pas le \(G\) du lemme ; la lettre est écrite en deux traits très ouverts et le reste de la page n'y revient pas.

D'ailleurs, on […] inversement, […]

Moyennant […] complétion […] le […] de \(M\), […] \(G\) […] \(T\) […] qui […] […] des […] \(M^{\mathbb{Z}}_{v}\) […] \((M_{f} = \prod \mathbb{Z}_{\ell})\) Cette note est écrite de biais dans la marge gauche, en travers des lignes ; un lambeau en est entouré à la mine (« le lemme […] »). On ne donne que le peu qui se laisse lire.

\(M^{\mathbb{Z}}_{v}\) […] \(v_{i}\) […] \(M^{\mathbb{Z}}_{v_{i}}\) […] comme […]

[…] […] en transformé des réseaux […] comparables.

[On […] que le choix des \(\tau_{i}\), et enfin \(v_{i}\), dépend de \(M\) ; […] que pour \(M\) variable, […] bien déterminé les […] par des […] \(\xi\).]

Supposons maintenant \(k\) isomorphe à \(\mathbb{C}\), et donnons-nous une […] pour laquelle […] complet. Alors on a […] les réseaux \[ M^{\mathbb{Z}}_{v} \subset M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}} \quad\text{où}\quad M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}} = \struck{\ill{}} \prod M(\ell) \] \(\ell\) fini ou infini […] indépendant.

Comparaison […] Si \(M\) est défini sur […] \(k_{0}\), et \(k_{0}\) […] pour […] que \(G_{M}\) soit connexe […] […] de transcendance […] […] minimum, […] alors […] on a, pour \(\sigma \in \struck{\mathrm{Aut}_{k_{0}}\ \ill{}}\ \mathrm{Gal}(k/k_{0})\), \[ M^{\mathbb{Z}}_{\sigma v} = \dot\sigma M^{\mathbb{Z}}_{v} , \] NB \(k\) n'est pas […] […] algébrique sur \(k_{0}\), mais de degré de transcendance […] où \(\dot\sigma\) opère sur \(M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}}\) […] les images […] : \[ \dot\sigma\bigl((x_{\ell})_{\ell\ \mathrm{fini}},\ x_{\infty}\bigr) = \bigl(\tau_{\ell} x_{\ell},\ \dot\sigma_{\infty} x_{\infty}\bigr) \] où \(\tau_{\ell}\) provient de \(\mathrm{Gal}(k/k_{0}) \to G(\mathbb{Z}_{\ell})\), et \(\dot\sigma_{\infty}\) est l'hom. semi-linéaire déduit de \(\sigma\) via \(M_{k}(\infty) \simeq M_{k_{0}}(\infty) \otimes_{k_{0}} k\). Il écrit « \(\tfrac{1}{2}\) linéaire » : son \(\tfrac{1}{2}\) pour semi-, comme ailleurs « \(\tfrac{1}{2}\)cosimplicial ». Le \(\mathbb{A}\) de \(M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}}\) porte ici un petit c ; la page 60 écrit le même groupe \(G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}})\) avec un C capital non ambigu, et le facteur archimédien est bien \(G(\mathbb{C})\).

Comme […] \(v\) et \(w\), […] transformé dans Dont comme d'habitude […] il existe un \[ g \in G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}}) = \prod_{\ell\ \mathrm{fini}} G(\mathbb{Z}_{\ell}) \times G(\mathbb{C}) \] dit que \(M^{\mathbb{Z}}_{w} = g\) tel que \[ \underline{M}^{\mathbb{Z}}_{w} = g\, M^{\mathbb{Z}}_{v} \] [où \(G = G_{M,\xi_{0}}\)] […] isomorphes, […] pour […], mod multiplication \(g \rightsquigarrow gh\) (\(h \in G(\widehat{\mathbb{Z}})\)).

\(g\) est […] associé à \(M\), \(v\). […] \(N_{v}\) et \(N_{w}\) […]

D'ailleurs, \(g\) est déterminé […] \(h \in G(\widehat{\mathbb{Z}})\).

N.B. […] de […] fixe \(g_{\sigma}\) […] indéterminé mod \(G(\widehat{\mathbb{Z}})\) […] \(g_{\ell}\) […] déterminé

\(M^{\mathbb{Z}}_{\sigma v} = \dot\sigma_{\infty}(g M^{\mathbb{Z}}_{v})\) \[ M^{\mathbb{Z}}_{\sigma v} = \struck{g_{\sigma}}\ g_{\sigma} M^{\mathbb{Z}}_{v} = \dot\sigma_{\infty} M^{\mathbb{Z}}_{v} \] d'où […] une application \[ \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \xrightarrow{\ \varphi_{v}\ } G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}})/G(\widehat{\mathbb{Z}}) \] \[ M^{\mathbb{Z}}_{\sigma v} = g_{\sigma} \varphi_{v}(\sigma) M^{\mathbb{Z}}_{v} \quad\text{i.e.}\quad \dot\sigma_{\infty}(M^{\mathbb{Z}}_{v}) = \varphi_{v}(\sigma) M^{\mathbb{Z}}_{v} \] N.B. \(\sigma \rightsquigarrow\) […] une surjection […] peut induire […] \(v|k_{0}\) […] \(k_{0}\), […] de card. \(2\) (conj. complexe)

Fixons une \(v\) de […] de \(k\), […]

On […] \(g_{\sigma}\) est […] co[…] par \(G(\widehat{\mathbb{Z}})\), d'[…] (où […] \(\ell\) = indéterminé) […] l'application […] par prendre \[ g_{\sigma} = \bigl((\sigma_{\ell})_{\ell\ \mathrm{fini}},\ \dot\sigma_{\infty}\bigr) \] […] maintenant \(\dot\sigma_{\infty}\) est […] bien déterminé dans \(G(k)\) !!!

On obtient ainsi une application canonique \[ \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \xrightarrow{\ \varphi_{v,\infty}\ } G_{\struck{\ill{}}}(k) \subset GL\bigl(M_{k}(\infty)\bigr) \] N.B. \(G\) peut ici être considéré comme […] défini sur \(k_{0}\), […] indépendant de \(v\) !

et telle qui […] ait \(\dot\sigma M^{\mathbb{Z}}_{v} = \sigma_{*} M^{\mathbb{Z}}_{v}\) pour \(\sigma \in \mathrm{Gal}(k/k_{0})\), avec \[ \sigma_{*} = \bigl((\sigma_{\ell})_{\ell\ \mathrm{fini}},\ \varphi_{v}(\sigma)\bigr) . \]

On vérifie aussitôt, i.e. posant \(\psi_{v} = \varphi_{v}^{-1}\) : \[ \varphi_{v}(\tau\sigma) = {}^{\tau}\varphi_{v}(\sigma)\, \varphi_{v}(\tau) , \qquad \psi_{v}(\tau\sigma) = \psi_{v}(\tau)\, {}^{\tau}\psi_{v}(\sigma) . \] Les deux formules portent chacune un astérisque biffé en bout de ligne ; le premier membre de la seconde a d'abord été écrit \(\varphi\), corrigé en \(\psi\).

Ainsi \(\varphi\) est un \(1\)-cocycle, quand on fait opère […] \(\mathrm{Gal}(k/k_{0})\) sur \(G(k)\) de \(2\) façons évidentes […] (par conjugaison […]). Il correspond à un fibré principal […] homogène \(P_{v,k}\) sous \(G(k)\), avec opérations de \(\mathrm{Gal}(k/k_{0})\) sur \(\bigl(P_{v}, G(k)\bigr)\) compatible […] […] fibré principal […] \(G_{k_{0}}\), avec […]

[…] points de \(\mathrm{Gal}(k/k_{0})\) […] compatible

Je désigne \(P_{v,k_{0}}\) […] le […] […] splitt. […] donné sur \(k\).

D'ailleurs, […] c'est le […] fibré principal \(\xi_{M,\infty}\) avec \(\xi^{\mathbb{Z}}_{M,v} \otimes_{\mathbb{Z}} k_{0}\), […] en effet obtenu […] de transcendance (N^o 1, cette fini […]) […] \(P_{v}^{k}\) […] l'multiplicité multiplicité […] dire que \[ \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \xrightarrow{\ \varphi_{v}\ } G(k) \quad\bigl[\subset GL(M_{k}(\infty))\bigr] \] […] rang de Zariski […] dense.

À vérifier / ok. \(\pi\) transporte […] au \(k_{0}\)[…] Les deux notes précédentes sont écrites dans la marge gauche, la première barrée d'un grand trait oblique.

[…] (pour […] : […]) \(k_{0}\), \(\sigma \rightsquigarrow ({}^{\sigma}g) g^{-1}\) [[…] image de \(g^{-1}g^{\sigma}\)] une extension finie de [n'est déterminé […] pour \(g \in G(k_{0})\)] générique \(/k_{0}\). Car […] \(g \in G(k)\) […] générique sur \(G(k)\), et […] pour \(g^{\sigma}\) tt […]

[…] On voit […] que \(g^{\sigma} g\) […] peut tt être exact […] On voit […] que \(g\) soit générique \(/k_{0}\), […] telle que […] (\(\sigma\)) […] \(k_{0}(g)\). Et d'autres

[…] \(\varphi\) a […] génér[…] […]

Considérons \(\sigma \rightsquigarrow \sigma_{*}\), \[ \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \longrightarrow G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}}) . \] […]

Considérons le noyau […] qui contient le noyau […] de \(\mathrm{Gal}(k/k_{0}) \to \mathrm{Gal}(k/\bar{k}_{0})\). Ce noyau est envoyé […] dans \(G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}})\) […] par \(\varphi_{v,\infty}\), et l'image […] Il en résulte que \(\varphi\) […] plus précis, […]

[…] dominant \(\varphi_{v}\bigl(\mathrm{Gal}(k/k_{0})\bigr)\) […] un […] (ouvert) […] de \(G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}})\).

La phrase est coupée en bas du feuillet : la page 61, premier feuillet du lot suivant, la reprend et écrit la relation \(M^{\mathbb{Z}}_{w} = g M^{\mathbb{Z}}_{v}\) pour \(w = \sigma v\) ainsi que le cocycle conjugué \(\varphi_{w}(\sigma) = g_{\infty} \varphi_{v}(\sigma) g_{\infty}^{-1}\). Le bas du feuillet porte encore, à la mine, « ( ) ? ».