Cote n° 18 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Motifs et théorie de Hodge : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1969-vers 1972]
Édition de démonstration

Motifs et cristaux sur corps local

Le titre est celui du feuillet 3, qui ne porte que ces deux lignes, soulignées, de sa main ; il ouvre la suite des pages 4 à 6. Le feuillet n'est pas transcrit comme page.

4

Descriptions conjecturales des motifs sur corps de nbs […] \(k\)

1. Double réseau Betti – DeRham
2. Double réseau Betti – Hodge
3. Betti \(+\) bigrad. structure de Hodge (\(k = \overline{\mathbb{Q}}\))
4. Betti \(+\) […] réseau Betti Betti – (Gauss)Manin (\(k = \overline{\mathbb{Q}}\))
5. Tate Betti – Tate
6. De […] cristal De Rham filtré cristallin

Descriptions conjecturales des groupes \(p\)-divisibles sous « \(p\)-divisibles » il insère deux mots dont la lecture reste douteuse, car. de \(k\) (plus gén. des pseudo-motifs) mod. isogénie sur un corps local [[…] d'un anneau de val. discrète complet à corps rés. […]] :

1. 3')structure de Hodge (mod. ext. finie de \(K\))
2. 2')double réseau Tate – Hodge
3. 5')Tate (module galoisien \(\ell\)-adique)
4. 6')module Vect. de di[…] cristal filtré [vectoriel […] de dim finie sur \(K\), avec une action \(\sigma\)-semi-linéaire, \(+\) filtration, graduation]

Tate : module […] \(N\) de t.f. sur \(\mathbb{Q}_{p}\), et bigrad. sur \(N \otimes_{\mathbb{Q}_{p}} C\)

La note marginale ci-dessus est portée au-dessus de l'article 3'). Le corps des scalaires du produit tensoriel est écrit d'un seul trait et se lit \(\mathbb{Q}_{p}\) plutôt que \(\mathbb{Q}\) ; le \(C\) qui suit est celui de Tate.

Pourquoi remplacer 1', 4' ??

Les chiffres 3', 2' et 5' sont écrits par-dessus d'autres, qu'on ne peut plus lire ; 6' est de premier jet. La liste primée ne comporte donc que quatre articles sur six, et c'est à quoi répond la question finale.

5

Le feuillet est écrit en travers, format à l'italienne. La colonne verticale de gauche porte, entre \(G(\mathbb{Q}_{p})\) et \(G(\mathbb{C})\) puis entre \(G(\mathbb{C})\) et \(G'(\mathbb{Q})\), deux traits sans pointe dont les étiquettes se lisent mal : elles sont données ci-dessous comme \(p\) et \(j_{1}\), sous toute réserve. Seules les flèches \(u\), \(j_{2}\) et \(\chi\) portent une pointe nette.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \pi \arrow[d, "u"] & & & \\
 & G(\mathbb{Q}_{p}) \arrow[d, no head, "p"'] & & & \\
 & G(\mathbb{C}) \arrow[d, no head, "j_{1}"'] & & & \\
1 \arrow[r] & G'(\mathbb{Q}) \arrow[r] \arrow[d, no head] & E \arrow[r] & \pi \arrow[r] \arrow[l, bend left=30, "\sigma_{1}"] \arrow[l, bend right=30, "\sigma_{2}"'] & 1 \\
 & G'(\mathbb{Q}_{p}) & & & \\
 & G_{m}(\mathbb{Q}_{p}) = \mathbb{Q}_{p}^{*} \arrow[u, "j_{2}"] & & & \\
 & \pi \arrow[u, "\chi"] & & &
\end{tikzcd}

[…] \(\alpha\) permet d'identifier une extension cent. de \(E\) de \(\pi\) par \(G'(\mathbb{C})\) […] une autre ext. de \(\pi\) par \(G(\mathbb{C})\)

Le splitting \(\sigma_{2}\) de la première […] lui par \(\sigma_{2}(R)\) […] : \(G'(\mathbb{Q}_{p})\) et à fortiori : \(j_{2}\chi(\pi)\). On trouve donc \[ \begin{cases} \gamma \mapsto \widetilde{\sigma}_{2}(\gamma) = \sigma_{2}(\gamma) \cdot j_{2}(\chi(\gamma)) \\ \pi \longrightarrow E \end{cases} \] un autre splitting.

Le splitting \(\sigma_{1}\) dans la seconde […] à \(G(\mathbb{Q}_{p})\), et à fortiori : \(u(\gamma)\). On trouve donc \[ \gamma \mapsto \sigma_{1}(\gamma) u(\gamma) = \widetilde{\sigma}_{1}(\gamma) . \]

On écrit que \(\widetilde{\sigma}_{1}(\gamma) = \widetilde{\sigma}_{2}(\gamma)\), i.e. \[ \sigma_{2}(\gamma)\, j_{2}(\chi(\gamma)) = \sigma_{1}(\gamma)\, u(\gamma) , \] donc \[ \sigma_{1}(\gamma)^{-1} \sigma_{2}(\gamma) = \struck{\ill{}}\; u(\gamma) \cdot j_{2}(\chi(\gamma^{-1})) . \]

Sous cette dernière ligne il souligne les trois morceaux : le membre de gauche est noté \(\varphi(\gamma)\), et les deux facteurs de droite sont marqués comme appartenant respectivement à \(G(\mathbb{Q}_{p})\) et à \(j_{2}(\mathbb{Q}_{p}^{*})\).

1. \(1^{\circ}\))Sur \(\operatorname{Ker} \chi\), on a \(\varphi(\gamma) = u(\gamma)\), donc \(u\) commute sur \(\operatorname{Ker}\) […]
2. \(2^{\circ}\))\(\operatorname{Ker} u = \struck{\chi(\gamma)} \{\gamma,\ \uncertain{\chi}(\gamma) = 1,\ \varphi(\gamma) = 1\}\) commun. Soit \(\Pi_{1} = \pi/\operatorname{Ker} u\) (\(\rightarrow\) un gpe analytique \(p\)-adique, et […]), et \(\Pi_{1} \xrightarrow{\ \chi_{1}\ } \mathbb{Q}_{p}^{*}\) induit par \(p\)

Le feuillet s'arrête là : la moitié inférieure est laissée en blanc et l'argument n'est pas repris sur la page suivante, qui est d'une autre main.

6

Ce feuillet est dactylographié — il porte en tête, dans sa propre pagination, le numéro 18 — et n'est retenu que parce qu'il est corrigé de sa main. Ses ajouts manuscrits sont donnés entre crochets et signalés ; ce que la dactylographie a biffé est rendu par . La machine n'avait pas de \(\ell\) : les \(\ell\) des coefficients sont encrés à la main sur la frappe.

(7.13.10)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\operatorname{Gr}^{i}(X_{\bar{t}})_{\mathbb{Q}} \arrow[r, "\mathrm{cl}"] \arrow[d] & H^{2i}(X_{\bar{t}}, \mathbb{Q}_{\ell}(i)) \arrow[d, "\wr"] \\
\operatorname{Gr}^{i}(X_{\bar{s}})_{\mathbb{Q}} \arrow[r, "\mathrm{cl}"] & H^{2i}(X_{\bar{s}}, \mathbb{Q}_{\ell}(i))
\end{tikzcd}

7.13.11 Remarques 7.13.11. La commutativité des deux derniers diagrammes commutatifs, qu'on peut exprimer en disant que la spécialisation des cycles algébriques est compatible avec la formation des classes de cohomologie \(\ell\)-adiques associées, n'est pas très satisfaisante sous la forme énoncée, puisqu'on […] a été obligé de remplacer les coéfficients \(\mathbb{Z}_{\ell}(i)\) par \(\mathbb{Q}_{\ell}(i)\), c'est à dire de négliger la torsion. « coéfficients » est de la frappe Pour avoir un énoncé qui ne néglige pas la torsion, [il semble qu'on sera] on sera obligé de travailler avec l'anneau de Chow, puisque c'est sur ce dernier que ce trouve défini naturellement l'homomorphisme \(\mathrm{cl}\) comme homomorphisme à valeurs dans \(H^{2*}(-, \mathbb{Z}_{\ell}(*))\), […] […] comparer (XIV 4.1). « ce trouve » pour « se trouve », de la frappe Malheureusement, on n'a pas développé pour le moment une théorie de la spécialisation pour l'anneau de Chow […] (cf. 7.14), qui permettrait d'écrire [des carrés] un diagramme commutatifs analogues à (7.13.9) et (7.13.10) en termes des anneaux de Chow et de la cohomologie à coéfficients \(\mathbb{Z}_{\ell}(*)\). Tout ce qu'on peut dire, [lorsque \(f \colon X \to S\) est lisse et propre] c'est qu'on a un carré commutatif

(7.13.12)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
Z^{i}(X_{t}) \arrow[r, "\mathrm{cl}"] \arrow[d, "\sigma"'] & H^{2i}(X_{t}, \mathbb{Z}_{\ell}(i)) \\
Z^{i}(X_{s}) \arrow[r, "\mathrm{cl}"] & H^{2i}(X_{s}, \mathbb{Z}_{\ell}(i)) \arrow[u]
\end{tikzcd}

La flèche verticale de droite est dirigée vers le haut, en sens inverse de \(\sigma\) ; sa pointe est encrée à la main et ne laisse pas de doute.

[…] analogue à (7.13.9), et un carré correspondant analogue à (7.13.10) qu'on laisse aux lecteur [le soin] d'écrire, où \(Z^{i}\) désigne le groupe des cycles algébriques (modulo rien du tout) de codimension \(i\), […] où les flèches horizontales sont les homomorphismes « classe de cohomologie associée » définie dans (SGA 5 IV), et où \(\sigma\) désigne l'homomorphisme de spécialisation des cycles algébriques, associant à un cycle \(Z_{t}\) le cycle \(Z_{s}\), où \(Z\) est

La phrase s'interrompt au bas du feuillet ; la suite de la dactylographie ne figure pas dans le dossier.

Twist de Tate sur structures de Hodge mixtes

Le titre est de lui, porté en tête du feuillet 8 et souligné.

8

Soit \(\mathcal{E} = (\mathcal{E}, \mathcal{E}_{0}, W_{*}, F^{*})\) une structure de Hodge mixte. sous la ligne il note que \(W_{*}\) est covariante et \(F^{*}\) décroissante

On définit une structure de Hodge \(\mathcal{E}(-1)\) (twist de Tate \((1)\)), avec […] \(= \mathcal{E}_{0}\) […] module sur \(\mathbb{Z}\), […] \(= \mathcal{E}_{0}\), \[ \begin{cases} W_{i}(\mathcal{E}(-1)) = W_{i-2}(\mathcal{E}) \\ F^{i}(\mathcal{E}(-1)) = F^{i-1}(\mathcal{E}) \end{cases} \]

Le signe de l'indice de \(W\) est repassé et pourrait se lire \(+\) ; tel quel, \(W_{i-2}\) s'accorde avec le \(F^{i-1}\) de la ligne suivante, mais non avec la formule générale donnée plus bas pour \(\mathcal{E}(-n)\), qui pour \(n = 1\) donnerait \(W_{i+2}\) et \(F^{i+1}\). La discordance est sur le feuillet et n'est pas corrigée ici.

(on trouve alors que \(W_{i}(\mathcal{E}(-1)) / W_{i-1}(\mathcal{E}(-1)) \simeq [W_{i}(\mathcal{E}) / W_{i-1}(\mathcal{E})](-1)\))

(twist de Tate sur structures de Hodge […]).

Bien sûr, on définit pour tt entier \(n\) un twist \(\mathcal{E}(-n)\), \[ \begin{cases} W_{i}(\mathcal{E}(-n)) = W_{i+2n}(\mathcal{E}) \\ F^{i}(\mathcal{E}(-n)) = F^{i+n}(\mathcal{E}) \end{cases} \]

Le feuillet s'arrête là, la moitié inférieure restant blanche.

Degrés de transcendance liés aux filtrations et bigraduations (comparaison de Betti, DeRham, Hodge)

Titre pris au feuillet 9, qui ne porte que ces mots, de sa main, dans l'angle supérieur droit ; il ouvre la suite des pages 10 à 12. Le feuillet n'est pas transcrit comme page.

10

Le feuillet est écrit sur trois colonnes très serrées, avec des encadrés et des renvois ; les annotations de marge sont rendues ci-dessous sans chercher à reproduire leur disposition, et les endroits où le trait ne porte plus sont laissés […].

\(G'' \supset H''\) \(\mathbb{Q}\) \(H' \subset G'\) \(\supset\) \(G_{k}\)

\[ \begin{cases} P = \operatorname{Isom}(T_{B} \otimes k,\ T_{DR}) \\ Q \subset P' = \operatorname{Isom}(T_{DR},\ T_{Hdg}) \simeq Q \times^{H'} G' \\ P'' = \operatorname{Isom}(T_{Hdg},\ T_{B} \otimes k) \end{cases} \qquad \uncertain{\text{déf.}} / k \]

\[ \begin{cases} \mathrm{Fil} = \operatorname{Filt}_{\otimes,\ \ill{}}(T_{B}) \\ \mathrm{Big} = \operatorname{Bigr}_{\otimes,\ \ill{}}(T_{B}) \end{cases} \qquad \uncertain{\text{déf.}} / \mathbb{Q} \]

Les indices des deux foncteurs \(\operatorname{Filt}\) et \(\operatorname{Bigr}\) portent une condition d'appartenance à une classe liée à la filtration, resp. à la bigraduation, de \(T_{DR}\), que l'écriture ne permet pas de restituer.

\[ P \times P' \to P'', \qquad P' \times P'' \to P, \qquad P'' \times P \to P', \qquad Q \subset P' . \]

\(\mathrm{Big} \xrightarrow{\ p\ } \mathrm{Fil}\) fibration, faisant de \(\mathrm{Big}\) un torseur sur \(\mathrm{Fil}\), de gr. […] \(U_{\mathrm{Fil}}\), un gpe unipotent […]

\(\alpha \in P(\mathbb{C})\), \(\beta \in Q(\mathbb{C}) \subset P'(\mathbb{C})\), \(\gamma \in P''(\mathbb{C})\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \arrow[r, "\alpha"] & T_{DR} \otimes_{k} \mathbb{C} \arrow[d, "\beta"] \\
 & T_{Hdg} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \arrow[ul, "\gamma"]
\end{tikzcd}

\[ \beta\alpha = \gamma^{-1}, \qquad \gamma\beta = \alpha^{-1}, \qquad \alpha\gamma = \beta^{-1} . \]

\(U' \subset B' \subset G'\) ; rad. unipotent associé à la filtration de \(T_{DR}\) ; \(Q = \) […] des sous-groupes de Lévi de \(B'\) ; \(B'/U' \simeq L' \longleftarrow G_{m}\) (hom. central) (Tate).

N.B. Soient \(F \supset \mathrm{Fil}\), \(P \supset \mathrm{Big}\) définis comme ci-contre, mais sans condition d'intégrance. Alors […] et des schémas […] \(A = F/G\), \(B = P/G\) […] sur \(\mathbb{Q}\). Alors \(\varphi \in F(\mathbb{C})\), \(\psi \in P(\mathbb{C})\) […]

11

Feuillet au crayon, très pâle, barré de deux longues diagonales. Les énoncés portent, la prose de liaison presque pas : ce qui suit est ce que le trait soutient, le reste est laissé […].

[…] mettons \((1, i, j)\) sont déterminés, je crois. Reste […] pas. Nous allons examiner le degré de transcendance.

Conjecture : si \(k\) […], alors \[ \operatorname{deg\,tr} k(g_{0}) = \dim G'' \quad (= \dim G - 1) . \]

[…] \(g_{0}\) est un point générique de \(G\) […]

Corollaire. \(G''\) est le groupe algébrique […]

[…] contient le th. de Schneider, pour les courbes elliptiques sans mult. complexe. En fait, il signifie que le deg. tr. […] en question est \(3\) (les seules relations étant […]).

Une dernière ligne, en partie couverte par les diagonales, énumère des quantités du type \(\zeta^{-1}\omega_{1}\), \(\zeta^{-1}\omega_{2}\), dont ni les indices ni les exposants ne se lisent.

Questions sur courbes elliptiques sur \(\overline{\mathbb{Q}}\)

Le titre est de lui, porté en tête du feuillet 12 et souligné.

12

Soit \(C\) une telle courbe, \(G\) son gpe de Galois motivique [\(G = Gl(2, \mathbb{Q})\) ou \(G = \prod_{K/\mathbb{Q}} G_{m}\), \(K\) le corps de multiplication complexe]. Soit \(g \in G(\mathbb{C})/G(\overline{\mathbb{Q}})\) définissant […] des réseaux transcendant de Betti […] celui de De Rham.

[…] degré de transcendance égal à \(\dim G\) (\(4\), ou \(2\)) ?

1. a)\(\overline{\mathbb{Q}}(g)\) a degré de transcendance […]
2. b)Soit \(T\) le lieu de \(g\) sur \(G_{\overline{\mathbb{Q}}}\), […] […] contenant \(e\), et soit \(H\) le gpe engendré par \(T\). […] A-t-on […] \(H = G\) […] ?
3. c)Soit \(g_{R} H \subset G'_{\mathbb{Q}}\) […] […] (additif) définissant le splitting transcendant […] de De Rham. Peut-on avoir \(h \in \overline{\mathbb{Q}}\), ou \(h\) est-il toujours transcendant sur \(\mathbb{Q}\) ? [Cas où \(C\) n'a pas de multiplication complexe]

si \(C\) a de la multiplication complexe, on a \(h \in \overline{\mathbb{Q}}\) !

Cette dernière note est entourée d'un trait, dans la marge gauche, en face de la question c). La ligne « A-t-on \(H = G\) » est elle-même rayée d'un long trait, de même que le début de c) ; la question subsiste néanmoins, puisqu'il la réécrit en dessous.

Le foncteur de Hodge sur la catégorie des motifs

Titre pris au feuillet 13, de sa main ; il se poursuit par « (Comparaison des deux fond. alg. et transcendants) », dont les deux mots abrégés ne se lisent pas avec certitude. Le feuillet ouvre la suite des pages 14 à 20 et n'est pas transcrit comme page.

Comparaison de classes fondamentales analytiques (= alg.) et topologiques (= transcendantes)

Le titre est de lui, en tête du feuillet 14 et souligné.

14

\(X\) variété analyti[…] holomorphe, \(Y\) ss-variété holomorphe de codim \(p\) partout, \(\Omega^{\bullet}_{X}\) résolution de \(\mathbb{C}\).

Il souligne d'un trait, et parfois de deux, certains des \(H\) qui suivent, apparemment pour distinguer l'hypercohomologie d'un complexe de la cohomologie ordinaire ; l'usage n'est pas assez régulier pour qu'on puisse en tirer une règle, et la transcription écrit \(H\) partout.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{2p}_{Y}(X, \mathbb{Z}) \arrow[r, "i"] & H^{2p}_{Y}(X, \mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C} \arrow[r, "\mathrm{can}"] & H^{2p}_{Y}(X, \mathbb{C}) \arrow[r, "\sim"] & H^{2p}_{Y}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \\
\mathbb{Z}_{Y} \arrow[u, "P^{\mathbb{Z}}_{\mathrm{top}}"] \arrow[r, hook] & \mathbb{C}_{Y} & \mathbb{C}_{Y} \arrow[u, "P^{\mathbb{C}}_{\mathrm{top}}"] & \mathbb{C}_{Y} \arrow[u, "P^{\Omega}_{\mathrm{an}}"]
\end{tikzcd}

Le diagramme est resserré et son rang inférieur n'est pas aligné colonne par colonne sur le rang supérieur : il est ici régularisé. La flèche du haut à droite est étiquetée « De Rham (i.e. can) » ; celle du bas à gauche « topologique / can ». Les trois flèches verticales portent, outre leur nom, une marque d'isomorphisme. À droite du diagramme il note \(H^{p}_{Y}(X, \Omega^{p}_{X})\) et le mot « résidu », et une flèche de facteur \(1/(2i\pi)^{p}\) ; un \(H^{p}_{Y}(X, \Omega^{\bullet}_{X})\) du premier jet est raturé au milieu.

On est ramené au cas où \(Y\) est réduit à un pt.

(prendre une section \(X'^{n-p}\) transversale : \(Y\) en est un pt) et par comp.-produit au cas […]

Poincaré analytique [dépend d'un ordre en alg.]

Dans la marge droite il écrit que si \(f_{1}, \ldots, f_{p}\) est un système d'équations locales de \(Y\), on prend la section \(df_{1} \wedge \cdots \wedge df_{p} / f_{1} \cdots f_{p}\) de \(H^{p}_{Y}(\Omega^{p}_{X})\) ; plusieurs mots de ce passage restent douteux.

16

Alors on voit que \(P_{\mathrm{an}}(1_{Y})\) est la classe dans le […] sur \(X - a\) représentée par la forme diff. \(dz/z\), et par suite […] si \(P_{\mathrm{an}}(1_{Y}) = \lambda P_{\mathrm{top}}(1_{Y})\), […] \[ \lambda = \int_{C} P_{\mathrm{an}}(1_{Y}) = \int_{C} \frac{dz}{z} = 2i\pi . \]

Deux flèches montent vers le \(C\) des deux intégrales : la première le qualifie de cercle orienté, la seconde renvoie à Betti ; le mot qui qualifie l'orientation ne se lit pas avec certitude.

Donc \[ \boxed{\ P_{\mathrm{an}}\!\left(\tfrac{1}{2i\pi}\, 1_{Y}\right) = P_{\mathrm{top}}(1_{Y})\ } \]

Il encadre cette formule, puis la réécrit sous ses deux formes dans un second encadré.

\[ \begin{cases} P_{\mathrm{top}}(1_{Y}) = \dfrac{1}{2i\pi}\, P_{\mathrm{an}}(1_{Y}) \\[4pt] P_{\mathrm{an}}(1_{Y}) = 2i\pi\, P_{\mathrm{top}}(1_{Y}) \end{cases} \]

Ex. Considérons le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{i+p}(X, \mathbb{Z}) \arrow[r] & H^{i+p}(X, \mathbb{C}) \arrow[r, "\sim"] & H^{i+p}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \\
H^{i}(Y, \mathbb{Z}) \arrow[u, "P_{\mathrm{top}}"] \arrow[r] & H^{i}(Y, \mathbb{C}) \arrow[u, "P_{\mathrm{top}}"] \arrow[r, "\frac{1}{(2i\pi)^{p}}\,\mathrm{can}"] & H^{i}(Y, \Omega^{\bullet}_{Y}) \arrow[u, "P_{\mathrm{an}}"]
\end{tikzcd}

Les indices des \(H\) du rang inférieur sont surchargés et illisibles ; ils portent vraisemblablement un support. Au-dessus de la flèche du bas à droite un mot du premier jet est biffé.

18

Soit \(X\) un schéma algébrique lisse sur un corps \(k\) isomorphe à \(\mathbb{C}\) [de façon non primitive]. Alors \[ a^{p}(X) \xrightarrow{\ P_{\mathrm{alg}}\ } H^{2p}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \] est bien définie. Le choix d'un isom. \(k \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{C}\) permet en outre de définir \[ P_{\sigma}^{(p)} \colon a^{p}(X) \xrightarrow{\ \mathrm{can} \circ P_{\mathrm{top}}\ } H^{2p}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \] qui se factorise par un morphisme […] \(H^{2p}(X_{\sigma}, \mathbb{Z}) \to H^{2p}(X, \Omega^{\bullet}_{X})\). […]

can \(=\) De Rham \(+\) […]

\[ P_{\sigma}^{(p)} = \left(\frac{1}{2i\pi}\right)^{p} P_{\mathrm{alg}} , \] ce qui montre que […]

\(P_{\sigma}^{(p)}\) dépend beaucoup de \(\sigma\). (Dans le cas où \(a^{p}(X) \xrightarrow{\ P_{\sigma}^{(p)}\ } H^{2p}(X_{\sigma}, \mathbb{Z})\) est un isom. (ex. : \(p = 1\), \(X = \mathbb{P}^{1}\)) […])

Le bas du feuillet reprend le même calcul avec un facteur \(1/(2i\pi)^{?}\) appliqué à \(P_{\sigma}(a^{p}(X))\) et une quantité notée \(E_{\sigma}^{2i}\) ; ni l'exposant ni la définition de \(E_{\sigma}\) ne se lisent. Une note de marge porte, soulignés, les mots « De Rham \(+\) […] » et « \(\pi\) […] transcendantal ».

20

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{*}(X, \mathbb{C}) \arrow[r, "\sim"] & H^{*}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \\
{} \arrow[u, "\wr"] & {} \arrow[u]
\end{tikzcd}

Le rang inférieur de ce premier diagramme est couvert par le diagramme suivant et ne se lit pas ; la flèche horizontale du bas porte l'étiquette \(\omega\) et la mention « (trivial) ».

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{*}(Y, i^{!}(\mathbb{C})) \arrow[r, "\sim"] & H^{*}(Y, i^{!}(\Omega^{\bullet}_{X})) \\
H^{*}(Y, \mathbb{C}) \arrow[u, "P_{\mathrm{top}}"] \arrow[r, "\frac{1}{2i\pi}\,\mathrm{can}"] & H^{*}(Y, \Omega^{\bullet}_{Y}) \arrow[u, "P_{\mathrm{an}}"]
\end{tikzcd}

qui provient de la […] can. […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
i^{!}(\mathbb{C}) \arrow[r, "\sim"] & i^{!}(\Omega^{\bullet}_{X}) \\
\mathbb{C}_{Y} \arrow[u, "P_{\mathrm{top}}"] \arrow[r, "\frac{1}{(2i\pi)^{p}}\,\mathrm{can}"] & \Omega^{\bullet}_{Y} \arrow[u]
\end{tikzcd}

lui […] contenu dans la formule fondamentale […]

N.B. On voit que l'image directe analytique ne transforme pas classes entières en classes entières : il faut un facteur \(\dfrac{1}{(2i\pi)^{p}}\) pour qu'il en soit ainsi.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
a^{i}(X) \arrow[r, "P^{\mathbb{Z}}_{\mathrm{top}}"] \arrow[d, "(\frac{1}{2i\pi})^{p} P_{\mathrm{an}}"'] & H^{2i}(X, \mathbb{Z}) \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\
H^{2i}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \arrow[r, "\sim"] & H^{2i}(X, \mathbb{C})
\end{tikzcd}

Ce dernier diagramme est encadré. À gauche il rappelle que \(a^{i}(X)\) est le groupe des cycles analytiques de codimension \(i\), et à droite il note que le carré est commutatif. L'exposant du facteur \(1/(2i\pi)\) est écrit \(p\) alors que le reste du diagramme est indexé par \(i\) ; la discordance est sur le feuillet.

Le feuillet s'arrête sur cet encadré, et la page suivante n'est pas de sa main : l'argument ne se poursuit pas dans ce lot.