Cote n° 18 · pages 1–61 · Lecture modernisée · Motifs et théorie de Hodge : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1969-vers 1972]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

4–4

Le fil du dossier, et les conventions

Les cinq stations

Le dossier n'est pas un texte suivi mais cinq suites de feuillets, chacune ouverte par une couverture de sa main portant son titre. Elles se lisent pourtant comme un seul argument, et l'ordre des feuillets est celui de cet argument.

1. Pages 4 à 8 — ce qu'un motif doit être. Deux listes parallèles de descriptions conjecturales : six sur un corps de nombres, quatre pour les groupes \(p\)-divisibles sur un corps local. Puis, sur un feuillet isolé, le twist de Tate sur les structures de Hodge mixtes.
2. Pages 10 à 12 — les comparaisons devenues torseurs, et la conjecture de transcendance qu'on en tire.
3. Pages 14 à 28 — le coût mesuré, et c'est \(2i\pi\) ; puis ce qu'il en reste sur un corps abstraitement isomorphe à \(\mathbb{C}\).
4. Pages 31 à 40 — le corps de base topologique. Théorie de Hodge réelle, le Frobenius réel, et une décomposition de Hodge par topologie archimédienne.
5. Pages 42 à 61 — le programme de transcendance, mené adéliquement jusqu'à un cocycle galoisien et son torseur.

Les stations 2, 4 et 5 sont trois formes d'une même figure — un ensemble de comparaisons sans point privilégié — et c'est cette répétition, plutôt qu'aucune des trois prises isolément, qui fait l'unité du dossier.

Les conventions, valables pour tout le dossier

\(M\) désigne un motif, \(G\) son groupe de Mumford–Tate, c'est-à-dire son groupe de Galois motivique¹ . Les foncteurs fibres sont \(T_{B}\) (Betti), \(T_{DR}\) (de Rham) et \(T_{Hdg}\) (Hodge) ; les pages 31 à 34 les écrivent \(\mathrm{Betti}(\ )\) et \(DR(\ )\), ce qui est conservé là où il s'agit de citer leur énoncé.

Trois collisions de notation sont tranchées ici une fois pour toutes, faute de quoi le dossier se lit mal.

• La lettre \(\xi\) porte trois objets distincts sur ces feuillets : la classe d'une correspondance dans \(a^{n}(X \times Y)\) (page 24), le foncteur \(\xi_{K}\) à valeurs dans les \(\mathbb{Z}\)-modules (pages 26 à 28), et le foncteur fibre de référence (page 46). Cette lecture écrit \(c\) pour la classe de correspondance et réserve \(\xi\) au foncteur fibre.
• \(P\) est le torseur des périodes \(\mathrm{Isom}(T_{B} \otimes k, T_{DR})\) dans tout le dossier. On écrit \(\mathrm{Isom}\) sans le soulignement dont on marque d'ordinaire le faisceau des isomorphismes : dans cette édition le soulignement est réservé à l'apparat, et un \(\mathrm{Isom}\) souligné se lirait à l'écran comme une lecture douteuse. Le second \(P\) de la note finale de la page 10 — un schéma de bigraduations sans condition d'intégralité — est écrit \(\widetilde{\mathrm{Big}}\) ici.
• \(f_{\mathbb{R}}\) et \(f_{\infty}\) sont le même élément, le Frobenius réel ; la page 36 le dit en toutes lettres. Cette lecture écrit \(f_{\infty}\).

Enfin \(\sigma\) est, selon les pages, un élément de Galois, une conjugaison complexe, un isomorphisme \(k \simeq \mathbb{C}\) ou l'homomorphisme de spécialisation des cycles. On réserve ici \(\sigma\) aux deux premiers, on écrit \(\iota\) pour un plongement \(k \hookrightarrow \mathbb{C}\), et \(\mathrm{sp}\) pour la spécialisation de la page 6.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas

C'est une part notable de ces feuillets, et elle est enregistrée ici plutôt que passée sous silence : pourquoi les descriptions \(1'\) et \(4'\) seraient à remplacer (page 4, la question close la page) ; le groupe \(\Pi_{1}\) et son caractère \(\chi_{1}\), introduits à la dernière ligne de la page 5, qui s'arrête là ; une théorie de la spécialisation pour l'anneau de Chow, dont la page 6 dit qu'elle n'existe pas ; les trois questions sur les courbes elliptiques de la page 12 ; les problèmes \(3)\) et \(4)\) du programme de la page 42 — comparaison de la cohomologie \(p\)-adique et de celle de de Rham, définition d'une cohomologie \(p\)-adique en tout \(p\) — qui ne sont jamais repris ; l'écart entre la borne \(5\) et la valeur attendue \(6\) de la page 44 ; le lemme sur les éléments génériques d'une classe, énoncé entre crochets à la page 48 et non démontré ; la réciproque commencée à la page 50 ; la densité de Zariski de la page 58, en marge de laquelle il écrit « à vérifier / ok » ; et la phrase coupée au bas de la page 60, que la dernière page reprend.

4–6

Ce qu'un motif doit être (pages 4 à 6)

Deux listes parallèles

La page 4 dresse côte à côte deux listes de descriptions conjecturales. Ce sont des façons concurrentes de dire ce que serait la catégorie des motifs, chacune consistant à retenir certaines réalisations et les structures qui les relient.

Sur un corps de nombres \(k\) :

1. double réseau Betti – de Rham ;
2. double réseau Betti – Hodge ;
3. structure de Hodge, pour \(k = \overline{\mathbb{Q}}\) ;
4. Betti – (Gauss–)Manin, pour \(k = \overline{\mathbb{Q}}\) ;
5. Betti – Tate ;
6. de Rham filtré cristallin.

Un « double réseau » est ici l'objet minimal qu'une comparaison produit : deux réseaux entiers dans un même espace, celui que donne la théorie de Betti et celui que donne la théorie de de Rham, sans isomorphisme privilégié entre eux. C'est déjà la figure du torseur, sous sa forme la plus pauvre.

En regard, pour les groupes \(p\)-divisibles — plus généralement, écrit-il, pour des pseudo-motifs — sur un corps local, c'est-à-dire sur le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète complet² :

1. \(3'\))structure de Hodge ;
2. \(2'\))double réseau Tate – Hodge ;
3. \(5'\))module galoisien \(\ell\)-adique (Tate) ;
4. \(6'\))cristal filtré : un espace vectoriel de dimension finie sur \(K\), muni d'une action \(\sigma\)-semi-linéaire, d'une filtration et d'une graduation.

La numérotation primée est celle des items non primés qu'elle transpose, et la liste primée n'en compte que quatre sur six : la page se ferme sur « Pourquoi remplacer \(1'\), \(4'\) ?? », et rien dans le dossier n'y répond.

En marge de \(3'\) il précise ce qu'est le côté Tate : un \(\mathbb{Q}_{p}\)-module \(N\) de type fini, avec une bigraduation sur \(N \otimes_{\mathbb{Q}_{p}} \mathbb{C}\) — c'est la décomposition de Hodge–Tate, et le \(\mathbb{C}\) est celui de Tate³ . Le parallélisme des deux colonnes est tout le propos : une théorie de Hodge \(p\)-adique est postulée comme le miroir local de la théorie de Hodge complexe, et les deux listes doivent se correspondre item par item.

Une extension et ses deux scindages

La page 5, écrite en travers du feuillet, pose une extension de groupes \[ 1 \longrightarrow G'(\mathbb{Q}) \longrightarrow E \longrightarrow \pi \longrightarrow 1 \] munie de deux scindages \(\sigma_{1}\) et \(\sigma_{2}\), dans une situation où \(\pi\) s'envoie par \(u\) dans \(G(\mathbb{Q}_{p})\) et par \(\chi\) dans \(\mathbb{Q}_{p}^{*} = G_{m}(\mathbb{Q}_{p})\), ce dernier s'envoyant par \(j_{2}\) dans \(G'(\mathbb{Q}_{p})\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \pi \arrow[d, "u"] & & \\
 & G(\mathbb{Q}_{p}) \arrow[d, no head] & & \\
1 \arrow[r] & G'(\mathbb{Q}) \arrow[r] \arrow[d, no head] & E \arrow[r] & \pi \arrow[l, bend left=30, "\sigma_{1}"] \arrow[l, bend right=30, "\sigma_{2}"'] \\
 & G'(\mathbb{Q}_{p}) & & \\
 & \mathbb{Q}_{p}^{*} \arrow[u, "j_{2}"] & & \\
 & \pi \arrow[u, "\chi"] & &
\end{tikzcd}

Chacun des deux scindages se corrige à l'aide de la flèche dont il dispose : \(\widetilde{\sigma}_{2}(\gamma) = \sigma_{2}(\gamma)\, j_{2}(\chi(\gamma))\) et \(\widetilde{\sigma}_{1}(\gamma) = \sigma_{1}(\gamma)\, u(\gamma)\). En écrivant que les deux corrections coïncident, il obtient la mesure de leur écart : \[ \varphi(\gamma) \;=\; \sigma_{1}(\gamma)^{-1} \sigma_{2}(\gamma) \;=\; u(\gamma) \cdot j_{2}\bigl(\chi(\gamma^{-1})\bigr) . \] C'est la formule de cobord habituelle : deux scindages d'une même extension diffèrent d'un \(1\)-cocycle, et ici le cocycle se factorise en deux morceaux identifiés, l'un dans \(G(\mathbb{Q}_{p})\), l'autre dans \(j_{2}(\mathbb{Q}_{p}^{*})\). Il en tire deux remarques : sur \(\ker \chi\) on a \(\varphi = u\), et \(\ker u\) est l'ensemble des \(\gamma\) tels que \(\chi(\gamma) = 1\) et \(\varphi(\gamma) = 1\), ce qui permet de poser \(\Pi_{1} = \pi/\ker u\). Le feuillet s'arrête sur l'introduction de \(\Pi_{1} \to \mathbb{Q}_{p}^{*}\), et rien ne reprend ce fil⁴ .

La spécialisation des cycles, et ce qui l'empêche

La page 6 est un feuillet dactylographié — numéroté 18 dans sa propre pagination, et corrigé de sa main — qui porte les numéros 7.13.10 à 7.13.12⁵ . Il est retenu ici parce que ce qu'il dit est exactement une borne du programme du dossier.

Pour \(f \colon X \to S\) lisse et propre, la spécialisation des cycles algébriques est compatible avec la formation des classes de cohomologie \(\ell\)-adiques :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{Gr}^{i}(X_{\bar{t}})_{\mathbb{Q}} \arrow[r, "\mathrm{cl}"] \arrow[d] & H^{2i}(X_{\bar{t}}, \mathbb{Q}_{\ell}(i)) \arrow[d, "\wr"] \\
\mathrm{Gr}^{i}(X_{\bar{s}})_{\mathbb{Q}} \arrow[r, "\mathrm{cl}"] & H^{2i}(X_{\bar{s}}, \mathbb{Q}_{\ell}(i))
\end{tikzcd}

mais — et c'est le point — seulement après avoir remplacé les coefficients \(\mathbb{Z}_{\ell}(i)\) par \(\mathbb{Q}_{\ell}(i)\), c'est-à-dire après avoir négligé la torsion. Un énoncé qui ne la négligerait pas devrait se placer sur l'anneau de Chow, où \(\mathrm{cl}\) est naturellement défini à valeurs entières ; mais, écrit le feuillet, « on n'a pas développé pour le moment une théorie de la spécialisation pour l'anneau de Chow ». Tout ce qui subsiste est un carré au niveau des cycles eux-mêmes, avant toute équivalence :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
Z^{i}(X_{t}) \arrow[r, "\mathrm{cl}"] \arrow[d, "\mathrm{sp}"'] & H^{2i}(X_{t}, \mathbb{Z}_{\ell}(i)) \\
Z^{i}(X_{s}) \arrow[r, "\mathrm{cl}"] & H^{2i}(X_{s}, \mathbb{Z}_{\ell}(i)) \arrow[u]
\end{tikzcd}

La flèche verticale de droite monte, en sens inverse de la spécialisation : elle est le cospécialisation, et c'est elle qui rend le carré commutatif⁶ . Cette page dit donc, dans le dossier, ceci : les comparaisons entières sont hors de portée, et l'on travaillera rationnellement. Tout le reste du dossier s'y tient, à une exception près — la page 26, qui reviendra aux \(\mathbb{Z}\)-modules et paiera pour cela d'une ambiguïté de signe.

8–8

Le twist de Tate sur les structures de Hodge mixtes (page 8)

Soit \(\mathcal{E} = (\mathcal{E}, \mathcal{E}_{0}, W_{\bullet}, F^{\bullet})\) une structure de Hodge mixte : un \(\mathbb{Z}\)-module \(\mathcal{E}_{0}\), une filtration croissante \(W\) par le poids, une filtration décroissante \(F\) de Hodge. Le twist de Tate \(\mathcal{E}(-n)\) a même module sous-jacent et des filtrations décalées : \[ W_{i}\bigl(\mathcal{E}(-n)\bigr) = W_{i-2n}(\mathcal{E}) , \qquad F^{i}\bigl(\mathcal{E}(-n)\bigr) = F^{i-n}(\mathcal{E}) . \] Le twist par \((-1)\) monte donc le poids de \(2\) et le niveau de Hodge de \(1\)⁷ . La raison en est que \(\mathbb{Q}(1)\) est de poids \(-2\) et de type \((-1,-1)\) : tordre par \(\mathbb{Q}(-1)\) ajoute \(2\) au poids.

La compatibilité aux gradués s'écrit alors \[ \mathrm{Gr}^{W}_{i}\bigl(\mathcal{E}(-1)\bigr) \;\simeq\; \bigl(\mathrm{Gr}^{W}_{i-2}\,\mathcal{E}\bigr)(-1) , \] et les poids se recollent : \(\mathrm{Gr}^{W}_{i-2}\mathcal{E}\) est pur de poids \(i-2\), le twist lui en ajoute \(2\), et l'on retombe sur le poids \(i\)⁸ .

Ce feuillet est isolé entre deux suites, et il ne sert rien de ce qui l'entoure immédiatement. Sa place dans le dossier est ailleurs : \(\mathbb{Q}(1)\) est le motif dont toutes les périodes de ce dossier sont faites — \(2i\pi\) en est un générateur — et les pages 35 à 37 se serviront de ce que le Frobenius réel lui fait.

10–12

Les comparaisons devenues torseurs, et la conjecture de transcendance (pages 10 à 12)

Trois torseurs et leur triangle

C'est ici que la figure centrale du dossier est posée. Trois foncteurs fibres étant donnés, on ne retient pas des isomorphismes entre eux mais les schémas de tous leurs isomorphismes : \[ \begin{cases} P = \mathrm{Isom}(T_{B} \otimes k,\ T_{DR}) \\ P' = \mathrm{Isom}(T_{DR},\ T_{Hdg}) \\ P'' = \mathrm{Isom}(T_{Hdg},\ T_{B} \otimes k) \end{cases} \] Ce sont des espaces principaux homogènes — des torseurs — sous les groupes de Galois motiviques correspondants, et la composition des isomorphismes en fait des applications \[ P \times P' \to P'' , \qquad P' \times P'' \to P , \qquad P'' \times P \to P' . \]

Un point complexe de chacun donne un triangle qui se referme :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \arrow[r, "\alpha"] & T_{DR} \otimes_{k} \mathbb{C} \arrow[d, "\beta"] \\
 & T_{Hdg} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \arrow[ul, "\gamma"]
\end{tikzcd}

avec \(\beta\alpha = \gamma^{-1}\), et ses deux permutations circulaires \(\gamma\beta = \alpha^{-1}\), \(\alpha\gamma = \beta^{-1}\). Les coordonnées de \(\alpha\) sont les périodes : les nombres qu'on obtient en développant une base de la cohomologie de de Rham sur une base de la cohomologie de Betti.

Deux schémas auxiliaires sur \(\mathbb{Q}\) portent l'information de filtration : \(\mathrm{Fil}\), celui des \(\otimes\)-filtrations de \(T_{B}\), et \(\mathrm{Big}\), celui des \(\otimes\)-bigraduations⁹ . La projection \(\mathrm{Big} \to \mathrm{Fil}\) — oublier la bigraduation et ne retenir que la filtration qu'elle induit — fait de \(\mathrm{Big}\) un torseur sur \(\mathrm{Fil}\) sous un groupe unipotent. C'est l'énoncé classique : une filtration se scinde, le scindage n'est pas unique, et l'ambiguïté est unipotente. Du côté du groupe, cela se lit sur un sous-groupe parabolique \(U' \subset B' \subset G'\), où \(U'\) est le radical unipotent attaché à la filtration de \(T_{DR}\), où \(Q \subset P'\) est le schéma des sous-groupes de Levi de \(B'\), et où \(B'/U' \simeq L'\) reçoit un homomorphisme central de \(G_{m}\) — le \(G_{m}\) de Tate.

Il ajoute en note qu'on peut refaire tout cela sans condition d'intégralité, en remplaçant \(\mathrm{Fil}\) et \(\mathrm{Big}\) par des schémas \(F\) et \(\widetilde{\mathrm{Big}}\), dont les quotients par \(G\) sont encore des schémas sur \(\mathbb{Q}\).

La conjecture

La page 11 — un feuillet au crayon très pâle, barré de deux longues diagonales, dont la prose de liaison ne porte presque plus — énonce ceci. Si \(g_{0}\) est un point générique convenable, alors \[ \deg\mathrm{tr}\; k(g_{0}) \;=\; \dim G'' \;=\; \dim G - 1 . \] C'est la conjecture des périodes : le degré de transcendance du corps engendré par les périodes est la dimension du torseur qui les porte¹⁰ . Une borne, il l'a déjà : la dimension majore toujours le degré de transcendance, puisque le point vit dans une variété de cette dimension. L'énoncé conjectural est que la majoration est une égalité — qu'il n'y a pas d'autres relations entre les périodes que celles que la géométrie impose.

Il note aussitôt ce que cela contient : le théorème de Schneider pour les courbes elliptiques sans multiplication complexe, où le degré de transcendance en question est \(3\), « les seules relations étant » — et la ligne se perd sous les diagonales¹¹ .

Trois questions sur les courbes elliptiques

La page 12 met la conjecture à l'épreuve. Soit \(C\) une courbe elliptique sur \(\overline{\mathbb{Q}}\) et \(G\) son groupe de Galois motivique : c'est \(GL(2,\mathbb{Q})\) si \(C\) n'a pas de multiplication complexe, et la restriction des scalaires \(\prod_{K/\mathbb{Q}} G_{m}\) du corps de multiplication complexe \(K\) dans le cas contraire. Soit \(g\) l'élément de \(G(\mathbb{C})/G(\overline{\mathbb{Q}})\) qui compare le réseau transcendant de Betti à celui de de Rham. Trois questions :

1. a)quel est le degré de transcendance de \(\overline{\mathbb{Q}}(g)\) — est-il \(\dim G\), c'est-à-dire \(4\), ou \(2\) ?
2. b)soit \(T\) le lieu de \(g\) sur \(G_{\overline{\mathbb{Q}}}\) et \(H\) le groupe qu'il engendre : a-t-on \(H = G\) ?
3. c)la période \(h\) qui scinde la filtration de de Rham peut-elle être algébrique, ou est-elle toujours transcendante ?

À la question c) il répond lui-même, dans un encadré en marge : « si \(C\) a de la multiplication complexe, on a \(h \in \overline{\mathbb{Q}}\) ! ». Les autres restent ouvertes sur le feuillet. Elles sont, mot pour mot, la forme sous laquelle la conjecture des périodes s'est ensuite posée pour les courbes elliptiques : la question b), celle de savoir si le lieu de \(g\) engendre \(G\), est la formulation « le torseur des périodes est connexe » dont la conjecture est aujourd'hui l'énoncé standard.

14–20

Le coût de la comparaison, et il vaut \(2i\pi\) (pages 14 à 20)

La formule fondamentale

La station 3 change complètement d'allure : ce ne sont plus des conjectures mais un calcul, mené jusqu'au bout et vérifié dans tous les cas dont il aura besoin.

Soit \(X\) une variété holomorphe, \(Y\) une sous-variété holomorphe partout de codimension \(p\), et \(\Omega^{\bullet}_{X}\) la résolution de \(\mathbb{C}\) par les formes. La classe fondamentale de \(Y\) se construit de trois façons — entière, complexe, analytique — et les trois s'inscrivent dans un carré :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{2p}_{Y}(X, \mathbb{Z}) \arrow[r] & H^{2p}_{Y}(X, \mathbb{C}) \arrow[r, "\sim"] & H^{2p}_{Y}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \\
\mathbb{Z}_{Y} \arrow[u, "P^{\mathbb{Z}}_{\mathrm{top}}"] \arrow[r, hook] & \mathbb{C}_{Y} \arrow[u, "P^{\mathbb{C}}_{\mathrm{top}}"] & \mathbb{C}_{Y} \arrow[u, "P^{\Omega}_{\mathrm{an}}"]
\end{tikzcd}

La flèche horizontale de droite est l'isomorphisme de de Rham ; les trois verticales sont des isomorphismes. La question est de savoir si le carré commute, et la réponse est non — il commute à un facteur près, et c'est ce facteur qu'on cherche.

On s'y ramène par deux réductions. D'abord, en prenant une section transversale \(X'\) de dimension \(n-p\), on ramène le cas général au cas où \(Y\) est réduite à un point. Ensuite, si \(f_{1}, \ldots, f_{p}\) est un système d'équations locales de \(Y\), la classe analytique est représentée par le résidu \[ \frac{df_{1} \wedge \cdots \wedge df_{p}}{f_{1} \cdots f_{p}} \;\in\; H^{p}_{Y}(\Omega^{p}_{X}) . \]

Le cas \(p = 1\) se calcule alors à la main. La classe \(P_{\mathrm{an}}(1_{Y})\) est celle de la forme \(dz/z\) sur \(X\) privé du point, et l'écart se lit en intégrant sur un cercle orienté : \[ \lambda \;=\; \int_{C} P_{\mathrm{an}}(1_{Y}) \;=\; \int_{C} \frac{dz}{z} \;=\; 2i\pi . \] D'où la formule qu'il encadre, et qu'il réécrit aussitôt sous ses deux formes : \[ P_{\mathrm{an}}\!\left(\tfrac{1}{2i\pi}\, 1_{Y}\right) = P_{\mathrm{top}}(1_{Y}) , \qquad P_{\mathrm{top}}(1_{Y}) = \tfrac{1}{2i\pi}\, P_{\mathrm{an}}(1_{Y}) , \qquad P_{\mathrm{an}}(1_{Y}) = 2i\pi\, P_{\mathrm{top}}(1_{Y}) . \] En codimension \(p\), les \(p\) résidus se multiplient et le facteur devient \((2i\pi)^{p}\) : le carré comparant \(H^{i}(Y)\) à \(H^{i+p}(X)\) commute une fois la flèche canonique du bas multipliée par \(1/(2i\pi)^{p}\).

C'est là le contenu arithmétique de tout ce dossier, sous sa forme la plus concrète. L'image directe analytique ne transforme pas les classes entières en classes entières : il faut le facteur \(1/(2i\pi)^{p}\) pour qu'il en soit ainsi. Autrement dit, la comparaison entre Betti et de Rham n'est pas définie sur \(\mathbb{Z}\) ni même sur \(\mathbb{Q}\) ; elle l'est sur \(\mathbb{Q}(2i\pi)\), et c'est très exactement ce que le twist de Tate de la page 8 sert à comptabiliser¹² .

Ce qui dépend du plongement

La page 18 en tire la conséquence qui relance le dossier. Soit \(X\) un schéma algébrique lisse sur un corps \(k\) abstraitement isomorphe à \(\mathbb{C}\). La classe algébrique \[ a^{p}(X) \xrightarrow{\ P_{\mathrm{alg}}\ } H^{2p}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \] est définie sans qu'on ait choisi d'isomorphisme \(k \simeq \mathbb{C}\) : elle ne parle que de formes différentielles et de cycles. Mais si l'on choisit un plongement \(\iota \colon k \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{C}\), on dispose aussi de la classe topologique, et les deux diffèrent : \[ P_{\iota}^{(p)} \;=\; \left(\frac{1}{2i\pi}\right)^{p} P_{\mathrm{alg}} . \] Or \(P_{\mathrm{alg}}\) ne dépend pas de \(\iota\) et \(P_{\iota}^{(p)}\) en dépend beaucoup. Le facteur porte toute la dépendance : ce qui distingue les différents plongements d'un corps abstrait dans \(\mathbb{C}\) n'est pas la géométrie algébrique, c'est le choix de \(2i\pi\). Le cas \(p = 1\), \(X = \mathbb{P}^{1}\), où la classe est un isomorphisme, est celui sur lequel les pages 26 à 28 reviendront¹³ .

La page 20 reprend le carré sous sa forme \(i^{!}\) et le clôt sur un dernier encadré :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
a^{i}(X) \arrow[r, "P^{\mathbb{Z}}_{\mathrm{top}}"] \arrow[d, "(1/2i\pi)^{i} P_{\mathrm{an}}"'] & H^{2i}(X, \mathbb{Z}) \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\
H^{2i}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \arrow[r, "\sim"] & H^{2i}(X, \mathbb{C})
\end{tikzcd}

où \(a^{i}(X)\) est le groupe des cycles analytiques de codimension \(i\)¹⁴ .

22–24

La même chose pour un morphisme propre, puis pour une correspondance (pages 22 et 24)

Le facteur étant trouvé, il reste à vérifier qu'il se propage — et c'est ce que font ces deux feuillets, qui achèvent un calcul commencé quinze pages plus tôt¹⁵ .

D'abord pour un morphisme propre quelconque \(f \colon X \to Y\), purement de codimension relative \(p\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{2i}(X, \mathbb{C}) \arrow[r, "f^{\mathrm{top}}_{*}"] \arrow[d, "\wr"'] & H^{2i-2p}(Y, \mathbb{C}) \arrow[d, "\wr"] \\
H^{2i}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \arrow[r, "\frac{1}{(2i\pi)^{p}} f^{\mathrm{an}}_{*}"] & H^{2i-2p}(Y, \Omega^{\bullet}_{Y})
\end{tikzcd}

Le décalage de degré est celui qu'impose l'image directe d'un morphisme propre de codimension relative \(p\)¹⁶ .

Puis pour une correspondance, ce qui est le cas dont la théorie des motifs a besoin. Soit \(c \in a^{n}(X \times Y)\) une classe de cycle ; elle définit un homomorphisme de \(H^{i}(X)\) dans \(H^{i}(Y)\) par la formule usuelle \[ c(x) \;=\; \mathrm{pr}^{\mathrm{top}}_{2*}\bigl(\mathrm{pr}^{*}_{1}(x) \cdot P_{\mathrm{top}}(c)\bigr) , \] et l'on veut savoir si c'est le même que celui que définit \(P_{\mathrm{alg}}(c)\). Le calcul est immédiat une fois posé \(P_{\mathrm{top}}(c) = (1/2i\pi)^{n} P_{\mathrm{alg}}(c)\) : le facteur introduit par la classe et celui introduit par l'image directe sont inverses l'un de l'autre et se compensent. Les deux morphismes coïncident, le carré

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{i}(X, \mathbb{C}) \arrow[r, "c_{\mathbb{C}}"] \arrow[d, "\mathrm{can}"'] & H^{i'}(Y, \mathbb{C}) \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\
H^{i}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \arrow[r, "c_{\mathbb{C},\infty}"] & H^{i'}(Y, \Omega^{\bullet}_{Y})
\end{tikzcd}

commute, et l'isomorphisme canonique \[ \xi\bigl(H^{i}(X, \mathbb{Q}(0))\bigr) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C} \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; H^{i}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \] est fonctoriel en le motif. C'est le résultat qui rend la station suivante possible : la comparaison est compatible aux correspondances, donc elle est un isomorphisme de foncteurs fibres sur la catégorie des motifs, et non pas seulement une collection d'isomorphismes variété par variété. Il le ponctue d'un « Ouf ! » — le mot est de lui, et il marque la fin du calcul, non celle de la question.

26–28

Un corps sans isomorphisme choisi (pages 26 à 28)

Voici la conséquence, et c'est le moment où le dossier bascule du calcul vers la structure.

Soit \(K\) un corps topologique isomorphe à \(\mathbb{C}\), l'isomorphisme n'étant pas choisi. On dispose encore du foncteur multiplicatif \(\xi = \xi_{K}\) sur la catégorie des motifs sur \(K\), à valeurs dans les \(\mathbb{Z}\)-modules, avec ses isomorphismes \[ \xi \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{\ell} \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \xi_{\ell} , \qquad \xi \otimes_{\mathbb{Z}} K \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \xi_{K} . \] Considérons alors le plus petit exemple possible : \[ \xi\bigl(H^{2}(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{Z}(0))\bigr) = \xi\bigl(\mathbb{Z}(-1)\bigr) . \] C'est un \(\mathbb{Z}\)-module libre de rang \(1\), donc isomorphe à \(\mathbb{Z}\) — mais l'isomorphisme n'est pas déterminé, pas même au signe près. Et le choix d'un tel isomorphisme, observe-t-il, revient au choix d'une orientation de \(\mathbb{P}^{1}_{K}\), c'est-à-dire, \(\mathbb{P}^{1}_{K}\) étant naturellement une sphère, au choix de l'une des deux racines carrées de \(-1\) dans \(K\).

Cette phrase est le cœur du dossier. Elle dit que l'ambiguïté qu'on a mesurée à la page 16 par un nombre — le facteur \(2i\pi\) — est en réalité une ambiguïté de signe, celle de \(i\), et qu'aucune considération algébrique ne peut la lever, puisque \(K\) ne distingue pas ses deux racines de \(-1\). En revanche \(\pi\), lui, est bien déterminé comme élément de \(K\)¹⁷ , de sorte que le choix fait, on peut écrire \[ \alpha_{\infty}(u) \;=\; \frac{1}{2\sqrt{-1}\,\pi}\; v , \] où \(v\) est le générateur canonique de \(H^{2}(\mathbb{P}^{1}, \Omega^{1})\).

Le cas réel est différent, et il le note avec soin : si \(K\) est isomorphe à \(\mathbb{R}\), l'isomorphisme est unique, \(\mathbb{R}\) n'ayant pas d'automorphisme non trivial. On définit encore, par choix d'une clôture algébrique, un foncteur à valeurs dans les \(\mathbb{Z}\)-modules, mais muni cette fois d'une action de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{R}}/\mathbb{R})\), les réseaux vivant dans un produit \[ \prod_{\ell} M_{\ell} \times M_{\infty, \mathbb{C}} . \] Ce produit est le premier état, dans ce dossier, du module adélique que la page 52 écrira \(M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}}\) : la place archimédienne y figure déjà à côté des places finies, et avec le facteur \(\mathbb{C}\) qui la distingue¹⁸ .

31–34

Le corps de base topologique, et le Frobenius réel (pages 31 à 34)

La structure réelle sur la cohomologie de de Rham

Soit \(K\) un corps topologique isomorphe à \(\mathbb{C}\) — il y a donc deux isomorphismes, et l'on en choisit un — et soit \(M\) un motif sur \(K\). Pour \(X\) lisse projective sur \(K\), l'ensemble \(X(K)\) est une variété \(K\)-analytique compacte, d'où \(H^{*}(X(K), \mathbb{Q})\), d'où le foncteur \(\mathrm{Betti}\). Par l'argument habituel, \[ \mathrm{Betti}(M)_{K} \;\simeq\; DR(M) \] canoniquement, comme \(\otimes\)-isomorphisme. Ceci met sur \(DR(M)\) une structure réelle dont les points réels sont \(\mathrm{Betti}(M)_{\mathbb{R}}\) ; et la donnée de la filtration de Hodge et de cette structure réelle scinde la filtration de façon unique, déterminant une bigraduation compatible avec le degré total.

Mais — et c'est l'observation de la page 32 — cette bigraduation obtenue par transport de structure dépend de l'isomorphisme \(u \colon K \simeq \mathbb{C}\) choisi : remplacer \(u\) par \(\bar{u}\) échange les deux indices. L'ambiguïté de la page 26 reparaît, et cette fois elle se voit sur un objet et non sur un nombre.

Deux structures réelles qui commutent

Prenons maintenant \(K_{0} = \mathbb{R}\) et \(K\) une clôture algébrique. Alors \[ DR(M)_{K} = DR(M_{K}) \] porte deux \(\mathbb{R}\)-structures : celle qui vient de \(DR(M)\) par extension des scalaires, et celle que le paragraphe précédent vient de fabriquer. Soit \(\sigma\) la conjugaison associée à la première et \(\tau\) celle associée à la seconde. Ce sont deux automorphismes semi-linéaires, et \(\sigma\) ne respecte pas la filtration tandis que \(\tau\) la respecte. Ils commutent, et leur composé \[ \sigma\tau = \tau\sigma \;=\; f_{\infty} \] est l'automorphisme de \(H^{*}(X(K), K) \simeq DR(M)\) induit par la conjugaison \(\tau_{X}\) de \(X(K)\). La raison de la commutation est là : \(\tau\) n'est autre que l'action sur la cohomologie d'une involution de l'espace, et une involution de l'espace commute à tout ce qui vient des coefficients.

Le Frobenius réel

D'où l'énoncé de la page 33, qui est le résultat de cette station. Un motif sur \(\mathbb{R}\) définit :

1. une structure de Hodge \(V\) ;
2. un automorphisme de \(V_{K}\), réel — il préserve \(V_{\mathbb{R}}\) — et antilinéaire, assujetti à la condition d'échanger la filtration de Hodge avec son opposée.

En termes de structures de Hodge, cette seconde donnée est un isomorphisme de \(V\) avec sa structure de Hodge conjuguée : c'est le Frobenius réel. Il correspond à un élément \[ f_{\infty} \in G(\mathbb{Q}) , \qquad f_{\infty}^{2} = 1 , \] dont l'image dans \(G/G^{0}\) engendre ce groupe¹⁹ . Il normalise le morphisme \(i \colon S_{\mathbb{R}} \to G_{\mathbb{R}}\) de Serre, précisément \[ f_{\infty}\, i(\lambda)\, f_{\infty}^{-1} = i(\lambda') , \] où \(\lambda \mapsto \lambda'\) est la symétrie canonique de \(S_{\mathbb{R}}\) — celle qui induit \(\lambda \mapsto \bar{\lambda}\) sur \(S_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{C}^{*}\). Sur le sous-groupe des éléments de module \(1\) cela donne \[ f_{\infty}\, i(\lambda)\, f_{\infty}^{-1} = i(\lambda^{-1}) \qquad (\lambda \in U_{\mathbb{R}}) . \] Et le foncteur \(M \mapsto (\text{structure de Hodge}, f_{\infty})\) est pleinement fidèle. C'est la description complète cherchée : un motif sur \(\mathbb{R}\), c'est une structure de Hodge plus une involution antilinéaire compatible²⁰ .

Le Betti tordu

La page 34 en donne la forme concrète. Les éléments de \(DR(M)\) dans \(DR(M)_{K} \simeq V \otimes_{\mathbb{Q}} K\) sont les \[ z = x + iy , \qquad x, y \in V_{\mathbb{R}} , \qquad f x = x , \quad f y = -y , \] ce qui s'exprime par \(\tau z = z\), c'est-à-dire \(\sigma z = f(z)\). L'espace \(W\) qu'ils forment mérite, écrit-il, le nom de sous-espace de Betti tordu de \(DR(M)\), et l'on a le carré

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{*}(X(K), \mathbb{Q}) = V \arrow[r, hook] & DR(M)_{K} \simeq DR(M_{K}) \\
H^{*}(X(\mathbb{R}), \mathbb{Q}) = V \cap W = V^{f} \arrow[u, hook] & W \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

\(W\) est donc un second foncteur fibre sur \(\mathbb{Q}\), isomorphe au premier : l'isomorphisme \(V \simeq W\) est l'identité sur \(V^{+}_{K}\) et la multiplication par \(i\) sur \(V^{-}_{K}\). Les deux foncteurs fibres sont ainsi des formes l'un de l'autre, et l'un se déduit de l'autre en tordant par le cocycle défini par \(f_{\infty}\). On retrouve, sur un exemple aussi petit que possible, la figure de la page 10 : ce qui n'est pas canonique est classifié par un torseur, et le torseur est décrit par un cocycle.

35–37

Motifs sur \(\mathbb{R}\) : le torseur des périodes comme forme tordue (pages 35 à 37)

Ces trois feuillets sont à l'encre bleue et écrits au net ; ils se lisent presque de bout en bout, à la différence de tout ce qui précède.

Quand le Frobenius réel est-il trivial ?

L'élément \(\alpha \in P(\mathbb{C})\) du torseur des périodes est relié à \(f_{\infty}\) par \(\bar{\alpha} = f_{\infty}\,\alpha\), d'où aussitôt \[ f_{\infty} = 1 \iff \alpha \in P(\mathbb{R}) \iff \mathbb{R}(\alpha) = \mathbb{R} . \] Autrement dit : le Frobenius réel est trivial exactement quand toutes les périodes sont réelles. Or, si \(M\) contient le motif de Tate, il ne l'est jamais, et la raison tient en une ligne : \[ \varepsilon(f_{\infty}) = -1 , \] où \(\varepsilon\) est le caractère par lequel \(G\) agit sur le motif de Tate²¹ . La conjugaison complexe envoie \(2i\pi\) sur \(-2i\pi\) : le Frobenius réel agit par \(-1\) sur \(\mathbb{Q}(1)\), donc par \((-1)^{n}\) sur \(\mathbb{Q}(n)\). D'où \[ f_{\infty} \neq 1 , \qquad \mathbb{R}(\alpha) = \mathbb{C} \qquad \text{dès que } M \text{ contient le motif de Tate,} \] et, en sens inverse, l'équivalence qu'il encadre : \[ (f_{\infty} = 1) \iff (\mathbb{R}(\alpha) = \mathbb{R}) \iff M \text{ engendré par les } \mathbb{Q}(-2n) \iff G \simeq G_{m} \ \text{ ou } \ G \simeq \{e\} . \] Le cas d'exception est donc minuscule : les seuls motifs sur \(\mathbb{R}\) dont toutes les périodes sont réelles sont les sommes de twists pairs du motif de Tate, ceux sur lesquels \((-1)^{n} = 1\).

Le torseur comme forme tordue de \(G\)

La page 36 récapitule sous le titre « Motifs sur \(\mathbb{R}\) ». Soit \(G = \mathrm{Aut}_{\otimes}(T_{B})\). L'application \(x \mapsto \bar{x}\) sur \(X(\mathbb{C})\) induit sur \(H^{*}(X(\mathbb{C}), \mathbb{Q})\) un \(\otimes\)-automorphisme d'ordre \(2\) du foncteur \(T_{B}\), d'où \[ f_{\infty} \in G(\mathbb{Q}) , \qquad f_{\infty}^{2} = 1 , \] le « Frobenius réel ». Si \(\sigma_{M}\) est la conjugaison complexe de \(M \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\) et \(\tau_{M}\) celle associée à la structure réelle \(T_{DR}(M)\), alors \[ \tau_{M} = (f_{\infty})_{M}\, \sigma_{M} = \sigma_{M}\, (f_{\infty})_{M} . \] Et le torseur des périodes \[ P = \mathrm{Isom}_{\otimes}\bigl(T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R},\ T_{DR}\bigr) \] sur \(G_{\mathbb{R}}\) est celui défini par le \(1\)-cocycle normalisé sur \(\Gamma = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) à valeurs dans \(G(\mathbb{C})\) dont la valeur en l'élément non trivial est \(f_{\infty}\) ; la forme tordue correspondante de \(G\) s'obtient en munissant \(G_{\mathbb{C}}\) de la donnée de descente \(\mathrm{int}(f_{\infty}) \times_{\mathbb{R}} \sigma_{\mathbb{C}}\).

C'est l'énoncé le plus net du dossier, et il mérite d'être isolé : le torseur des périodes d'un motif sur \(\mathbb{R}\) est la forme de \(G\) tordue par le Frobenius réel. Un objet de transcendance — l'ensemble des comparaisons entre Betti et de Rham — est identifié à un objet de cohomologie galoisienne, une classe dans \(H^{1}(\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}), G(\mathbb{C}))\), et cette classe est portée par un seul élément d'ordre \(2\).

La relation entre \(f_{\infty}\) et le morphisme de Serre est réécrite ici sous la forme \(f_{\infty}\, j(\lambda)\, f_{\infty}^{-1} = j(\lambda')\), où \(j\) est la lettre que cette page emploie pour le \(i\) de la page 33.

Deux conséquences

La page 37 en tire d'abord que les trois éléments du triangle de la page 10 engendrent le même corps : \[ \mathbb{R}(\gamma) = \mathbb{R}(\beta, \gamma) = \mathbb{R}(\beta, \alpha) = \mathbb{R}(\alpha) , \] puisque \(\beta\) est réel — il appartient à \(Q(\mathbb{R}) \subset P'(\mathbb{R})\). Le corps des périodes ne dépend donc pas de celle des trois comparaisons qu'on regarde, et il vaut \(\mathbb{C}\) hors du cas exceptionnel.

Puis une remarque, qui est l'exact pendant de ce qui précède : on ne peut avoir \(f_{\infty M} = \mathrm{id}_{M}\) que si \(M\) est une somme directe de puissances tensorielles de \(\mathbb{Q}(2)\). C'est la même chose que l'équivalence de la page 35, dite du côté du motif plutôt que du côté du groupe, et elle est exacte pour la raison déjà donnée : \(F_{\infty}\) agit par \((-1)^{n}\) sur \(\mathbb{Q}(n)\), donc trivialement exactement sur les twists pairs.

Le bas du feuillet porte un calcul dans le normalisateur de \(\{C, C^{-1}\}\) dans \(G_{\mathbb{R}}\), encadré puis annulé de trois traits diagonaux ; il déduit de \(f_{\infty} C f_{\infty}^{-1} = C^{-1}\) l'appartenance de \(f_{\infty}\) à ce normalisateur, passe au quotient \(\dot{G} = G/i(\mu)\), et s'arrête²² .

38–40

Une décomposition de Hodge par topologie archimédienne (pages 38 à 40)

Cette dernière suite de la station 4 revient à la question de la page 26 — ce qui subsiste quand aucun isomorphisme n'est choisi — et lui donne une réponse positive.

Soit \(K\) un corps topologique isomorphe à \(\mathbb{C}\) et \(X\) un schéma algébrique non singulier sur \(K\). Alors \(X_{\mathrm{top}}\) est défini, donc \(H^{*}(X_{\mathrm{top}}, K)\) ; d'autre part la cohomologie de Hodge \(H^{*}(X)\) est définie indépendamment de la structure topologique de \(K\). Le choix d'un isomorphisme topologique \(u \colon K \simeq \mathbb{C}\) donne un isomorphisme \[ H^{*}(X_{\mathrm{top}}, K) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; H^{*}(X) , \] et l'on vérifie qu'il ne dépend pas du choix de \(u\). La vérification est celle-ci : pour \(K = \mathbb{C}\), les deux homomorphismes qu'on obtient en composant avec la conjugaison se déduisent l'un de l'autre par extension de la conjugaison aux coefficients, donc induisent le même isomorphisme \[ H^{*}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{R}) \hookrightarrow H^{*}(X) . \]

Pour \(X\) projective non singulière, il en va de même de la décomposition : \[ \varphi \colon \coprod_{p,q} H^{q}(X, \Omega^{p}_{X}) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; H^{*}(X) , \] compatible avec la filtration, et indépendante de \(u\). Et si \(K\) est isomorphe à \(\mathbb{R}\), on conclut par descente : \(K'\) étant une clôture algébrique et \(\pi = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) son groupe de Galois, les isomorphismes \(\varphi_{K'}\) commutent à \(\pi\), donc proviennent d'un isomorphisme sur \(K\).

D'où l'énoncé, qu'il appelle lui-même un résumé : chaque fois que \(X\) est projectif non singulier sur un corps topologique localement compact archimédien, on a une décomposition \(\varphi\) compatible à la filtration, et l'on pose \[ H^{p,q}(X) = \varphi\bigl(H^{q}(X, \Omega^{p}_{X})\bigr) \subset F^{p} H^{q}(X) . \]

La page 40 franchit le dernier pas. Si \(K\) n'est pas topologique, chaque topologie localement archimédienne \(T\) sur \(K\) en fournit une, par complétion : \[ H^{*}(X)_{T} = H^{*}(X) \otimes_{K} \widehat{K}_{T} , \qquad \varphi_{T} \colon \coprod_{p,q} H^{q}(X, \Omega^{p}_{X})_{T} \longrightarrow H^{*}(X)_{T} , \] d'où des sous-\(K\)-espaces de \(H^{q}(X)\) canoniquement définis par \(T\) : \[ H^{p,q}_{T}(X) = \varphi_{T}\bigl(H^{q}(X, \Omega^{p}_{X})_{T}\bigr) \cap H^{*}(X) \;\subset\; F^{p}\bigl(H^{q}(X)\bigr) , \] et de même une version réelle \(H^{p,q}_{T}(X, \mathbb{R})\), qui est un espace vectoriel sur le sous-corps \(\mathbb{R}_{T}\) des éléments de \(K\) réels pour \(T\)²³ . Enfin \[ K_{r} \;\simeq\; \bigcap_{T} \mathbb{R}_{T} \;=\; \text{le plus grand sous-corps totalement réel de } K , \] et il note que \(K_{r}\) est une extension algébrique du corps premier \(\mathbb{Q}\)²⁴ .

Ce qui est gagné est net : il n'y a pas une décomposition de Hodge sur un corps abstrait, mais une par place archimédienne, et leur intersection retrouve la partie du corps qui ne dépend d'aucune. Le dossier a maintenant tout ce qu'il lui faut pour indexer les comparaisons par les places, ce qu'il fera dans la station suivante — non plus aux places archimédiennes seules, mais à toutes.

42–44

Le programme, et un écart qu'il ne réduit pas (pages 42 et 44)

La couverture de la page 41 porte deux lignes de sa main : « Variations du réseau discret en termes d'une place archimédienne. Critère de transcendance ». C'est le titre de tout ce qui suit.

La page 42 pose quatre problèmes :

1. 1)Betti, de Rham. Comparer les « réseaux » de de Rham et de Betti ; comparer les réseaux de Betti pour des topologies différentes ; comparer les structures réelles, respectivement les scindages, dans de Rham, pour des topologies différentes.
2. 2)Betti, \(\ell\)-adique. Comparer les réseaux de Betti pour des topologies différentes, du côté \(\ell\)-adique.
3. 3)De Rham, \(p\)-adique. Sur un corps valué complet non archimédien, une comparaison est-elle possible entre cohomologie \(p\)-adique et cohomologie de de Rham ?
4. 4)Définir une cohomologie \(p\)-adique en tout \(p\) ?

Les points \(1)\) et \(2)\) sont ce que le dossier a fait et ce qu'il va faire. Les points \(3)\) et \(4)\) ne sont jamais repris²⁵ .

La page 44 est un test, et son résultat est négatif. Soient \(C\) et \(C'\) deux courbes elliptiques sans multiplication complexe et non isogènes²⁶ , et \(A = C \times C'\). Alors \[ G \simeq SL(2) \times SL(2) \times G_{m} \quad (\dim = 7) , \qquad B \simeq B(2) \times B(2) \times G_{m} \quad (\dim = 5) , \] où \(B\) est le parabolique attaché à la filtration²⁷ . Le corps \(K\) engendré est alors de degré de transcendance \(\leqslant 5\) sur \(k\), donc \(\leqslant 5\) sur \(k(\pi)\) — alors qu'on s'attend à \(\dim G - 1 = 6\).

L'écart est noté et n'est pas réduit. Il est, à la lettre, le défaut de la borne qu'il vient d'employer : le parabolique \(B\) suffit à majorer le degré de transcendance, mais il majore trop bien, et la conjecture des périodes demande davantage que ce que la filtration seule peut donner. En marge il ajoute : « NB ceci vaut pour toutes incarnations \(k \subset \mathbb{C}\) », ce qui veut dire que l'écart n'est pas un artefact d'un plongement particulier.

46–50

Les réseaux aux places de \(k\), et la borne \((n-1)\dim G\) (pages 46 à 50)

Le dispositif

Soit \(M\) un motif sur un corps \(k\) algébriquement clos, isomorphe à un sous-corps de \(\mathbb{C}\). Pour toute place \(v\) de \(k\), on dispose d'un réseau \[ M^{\mathbb{Z}}_{v} \subset \prod_{\ell \text{ fini}} M(\ell) , \] et la question est celle des relations entre les \(M^{\mathbb{Z}}_{v}\) pour plusieurs places \(v_{1}, \ldots, v_{n}\).

On fixe un foncteur fibre de référence \(\xi\), par exemple défini sur \(\mathbb{Q}\), avec des isomorphismes fonctoriels \(\xi(M)_{\mathbb{Q}_{\ell}} \simeq M(\ell) \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell}\). Chaque place donne alors un torseur \[ P_{i} = \mathrm{Isom}(\xi, \xi_{v_{i}}) \] sous \(G\), et l'ensemble des places donne un point de \(\bigl(\prod_{i} P_{i}\bigr)(\widehat{\mathbb{Q}})\), où \(\widehat{\mathbb{Q}} = \prod_{\ell \text{ fini}} \mathbb{Q}_{\ell}\), donc un point du quotient \(\bigl[\bigl(\prod_{i} P_{i}\bigr)/G\bigr](\widehat{\mathbb{Q}})\). Dit avec des matrices, c'est un point d'un espace de doubles classes \[ GL(n, \widehat{\mathbb{Z}})^{n} \,\backslash\, GL(n, \widehat{\mathbb{Q}})^{n} \,/\, GL(n, \widehat{\mathbb{Q}}) , \qquad n = \mathrm{rang}\, M , \] le premier quotient parce que les réseaux ne sont définis qu'à \(GL(n, \widehat{\mathbb{Z}})\) près, le second parce que le foncteur de référence n'est lui-même défini qu'à isomorphisme près. La dimension de cet espace donne la majoration \[ \deg\mathrm{tr} \;\leqslant\; (n-1)\, d , \qquad d = \dim G : \] \(n\) places, un quotient diagonal, donc \(n-1\) facteurs effectifs, chacun de dimension \(d\). C'est la même mécanique que la page 11 — une dimension majore un degré de transcendance — transportée du cas archimédien au cas adélique.

Comment rendre les composantes indépendamment génériques

Reste à savoir si la borne est atteinte, et c'est là qu'intervient l'arithmétique. Les places données définissent des éléments \(g_{1}, \ldots, g_{n}\) de \(G(\widehat{\mathbb{Z}})\) ; en remplaçant \(v_{i}\) par \(\tau_{i} v_{i}\) avec \(\tau_{i} \in \mathrm{Gal}(k/k_{0})\), où \(k_{0}\) est un corps de définition de type fini de \(M\), on remplace \(g_{i}\) par \(\dot{\tau}_{i} g_{i}\). Si donc l'image de Galois est assez grosse, on peut bouger les places jusqu'à rendre les \(g_{i}\) génériques indépendamment les uns des autres.

C'est ce que fournit la conjecture de Tate renforcée, sous la forme qu'il lui donne : l'homomorphisme \[ \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \longrightarrow G(\widehat{\mathbb{Q}}) \] a une image d'indice fini²⁸ . Il lui faut alors un énoncé purement algébrique, qu'il enferme dans un grand crochet en bas de page :

Soit \(G\) un groupe algébrique affine connexe sur \(\mathbb{Q}\), \(U\) un sous-groupe ouvert de \(G(\widehat{\mathbb{Q}})\), et \(P = U\!\cdot\!a\) une classe dans \(G(\widehat{\mathbb{Q}})\) modulo \(U\). Alors il existe dans \(P\) un élément dont toutes les composantes sont génériques relativement à \(\mathbb{Q}\).

Le lemme n'est pas démontré, et la page 50 s'ouvre sur « Donc en admettant ce lemme ». Ce qu'il en tire est que tout système de places \(v_{1}, \ldots, v_{n}\) peut être rendu générique place par place. La réciproque est amorcée — « D'ailleurs, on ... inversement » — et abandonnée aussitôt²⁹ . Il note enfin, et c'est une restriction réelle, que le choix des \(\tau_{i}\) et donc des \(v_{i}\) dépend de \(M\) : il n'y a pas de système de places qui convienne à tous les motifs à la fois.

52–58

La place archimédienne, et le cocycle (pages 52 à 58)

Le module adélique

Supposons maintenant \(k\) isomorphe à \(\mathbb{C}\). Les réseaux vivent alors dans \[ M^{\mathbb{Z}}_{v} \subset M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}} , \qquad M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}} = \prod_{\ell} M(\ell) , \qquad \ell \text{ fini \emph{ou infini}} , \] la précision étant de lui et soulignée : la place archimédienne est comptée avec les autres, et son facteur est \(M(\infty)\), la réalisation de de Rham³⁰ .

Si \(M\) est défini sur \(k_{0}\), on a, pour \(\sigma \in \mathrm{Gal}(k/k_{0})\), \[ M^{\mathbb{Z}}_{\sigma v} = \dot{\sigma}\, M^{\mathbb{Z}}_{v} , \] où \(\dot{\sigma}\) opère composante par composante : \[ \dot{\sigma}\bigl((x_{\ell})_{\ell \text{ fini}},\ x_{\infty}\bigr) = \bigl(\tau_{\ell} x_{\ell},\ \dot{\sigma}_{\infty} x_{\infty}\bigr) . \] Aux places finies, \(\tau_{\ell}\) provient de la représentation galoisienne \(\mathrm{Gal}(k/k_{0}) \to G(\mathbb{Z}_{\ell})\) ; à la place infinie, \(\dot{\sigma}_{\infty}\) est l'homomorphisme semi-linéaire déduit de \(\sigma\) par \(M_{k}(\infty) \simeq M_{k_{0}}(\infty) \otimes_{k_{0}} k\)³¹ . La dissymétrie est le point : aux places finies l'action est linéaire et vit dans un groupe compact ; à la place infinie elle est semi-linéaire, et c'est elle qui portera toute l'information.

Deux places, un élément du groupe adélique

Pour deux places \(v\) et \(w\), les réseaux correspondants sont commensurables et il existe \[ g \in G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}}) = \prod_{\ell \text{ fini}} G(\mathbb{Z}_{\ell}) \times G(\mathbb{C}) \qquad \text{tel que} \qquad M^{\mathbb{Z}}_{w} = g\, M^{\mathbb{Z}}_{v} , \] déterminé modulo \(G(\widehat{\mathbb{Z}})\). En faisant varier \(\sigma\) on obtient une application \[ \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \xrightarrow{\ \varphi_{v}\ } G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}})/G(\widehat{\mathbb{Z}}) \qquad \text{avec} \qquad \dot{\sigma}_{\infty}\bigl(M^{\mathbb{Z}}_{v}\bigr) = \varphi_{v}(\sigma)\, M^{\mathbb{Z}}_{v} . \]

La composante archimédienne est bien déterminée

Vient alors le pas qu'il marque de trois points d'exclamation. L'indétermination modulo \(G(\widehat{\mathbb{Z}})\) ne porte que sur les places finies : la composante archimédienne, elle, est bien déterminée dans \(G(k)\). On obtient donc une application canonique \[ \mathrm{Gal}(k/k_{0}) \xrightarrow{\ \varphi_{v,\infty}\ } G(k) \;\subset\; GL\bigl(M_{k}(\infty)\bigr) , \] et \(G\) peut ici être considéré comme défini sur \(k_{0}\), indépendamment de \(v\).

La raison de cette détermination est la même que celle qui rendait le facteur \(2i\pi\) inévitable à la page 16 : le groupe \(G(\widehat{\mathbb{Z}})\) est compact et absorbe l'ambiguïté aux places finies, tandis que \(G(\mathbb{C})\) ne contient aucun sous-groupe compact qui jouerait ce rôle. Ce que les places finies n'arrivent pas à voir, la place archimédienne le voit exactement.

Un \(1\)-cocycle, donc un torseur

L'application obtenue satisfait la relation de cocycle \[ \varphi_{v}(\tau\sigma) = {}^{\tau}\varphi_{v}(\sigma)\, \varphi_{v}(\tau) , \] et \(\psi_{v} = \varphi_{v}^{-1}\) la relation symétrique. Autrement dit \(\varphi_{v}\) est un \(1\)-cocycle de \(\mathrm{Gal}(k/k_{0})\) à valeurs dans \(G(k)\), pour l'action évidente par conjugaison et transport. Il lui correspond donc un fibré principal homogène \(P_{v,k}\) sous \(G(k)\), muni d'une action compatible de \(\mathrm{Gal}(k/k_{0})\), c'est-à-dire d'une donnée de descente ; d'où une forme \(P_{v,k_{0}}\) sur \(k_{0}\).

C'est le troisième torseur du dossier, et il boucle l'argument. Celui de la page 10 comparait deux cohomologies sur \(\mathbb{C}\) ; celui de la page 36 comparait Betti et de Rham sur \(\mathbb{R}\) et se trouvait être la forme de \(G\) tordue par \(f_{\infty}\) ; celui-ci compare le même motif vu depuis deux places d'un corps de nombres et est encore une forme de \(G\), tordue cette fois par un cocycle galoisien tout entier et non plus par un seul élément d'ordre \(2\). Il demande enfin que l'image de \(\varphi_{v}\) soit Zariski-dense — « à vérifier / ok », note-t-il en marge — ce qui est la condition pour que le degré de transcendance atteigne effectivement la dimension.

60–61

Ce que le cocycle doit à la place choisie (pages 60 et 61)

La page 60 se demande ce que devient l'image lorsqu'on change de place, et regarde le noyau de \(\sigma \mapsto \sigma_{*}\) ; elle demande que l'image de \(\varphi_{v}\) domine un ouvert de \(G(\mathbb{A}_{\mathbb{C}})\), et la phrase est coupée au bas du feuillet³² .

La dernière page du dossier la mène à son terme. Partant de \(M^{\mathbb{Z}}_{w} = g\, M^{\mathbb{Z}}_{v}\), elle calcule \[ M^{\mathbb{Z}}_{\sigma w} = \dot{\sigma}\bigl(M^{\mathbb{Z}}_{w}\bigr) = \dot{\sigma}\, g\, \dot{\sigma}^{-1}\, \bigl(\dot{\sigma} \cdot M^{\mathbb{Z}}_{v}\bigr) = \bigl(\dot{\sigma}\, g\, \dot{\sigma}^{-1}\bigr)\, \sigma_{*}\, g^{-1}\, \bigl(g\, M^{\mathbb{Z}}_{v}\bigr) , \] d'où l'opérateur tordu \[ \sigma'_{*} = \dot{\sigma}\, g\, \dot{\sigma}^{-1}\, \sigma_{*}\, g^{-1} . \] Aux places finies rien ne bouge : \(\sigma'_{\ell} = \sigma_{\ell} g_{\ell} \sigma_{\ell}^{-1} \sigma_{\ell} g_{\ell}^{-1} = \sigma_{\ell}\). À la place infinie, \[ \sigma'_{\infty} = \dot{\sigma}_{\infty}\, g_{\infty}\, \dot{\sigma}_{\infty}^{-1}\, \sigma_{\infty}\, g_{\infty}^{-1} . \]

Ce que cela dit est exactement ceci : les deux cocycles sont cohomologues. En posant \({}^{\sigma}g_{\infty} = \dot{\sigma}_{\infty} g_{\infty} \dot{\sigma}_{\infty}^{-1}\), \[ \varphi_{w}(\sigma) = {}^{\sigma}g_{\infty}\; \varphi_{v}(\sigma)\; g_{\infty}^{-1} , \] qui est la formule de cobord : \(\varphi_{w}\) et \(\varphi_{v}\) diffèrent du cobord de \(g_{\infty}\) et définissent donc la même classe dans \(H^{1}\bigl(\mathrm{Gal}(k/k_{0}), G(k)\bigr)\), donc le même torseur \(P_{v,k_{0}}\) à isomorphisme près. Lorsque \(g_{\infty}\) est invariant par Galois, le cobord se réduit à une conjugaison ordinaire et l'on retrouve la formule qu'il encadre : \[ \varphi_{w}(\sigma) = g_{\infty}\, \varphi_{v}(\sigma)\, g_{\infty}^{-1} \qquad \text{pour } M^{\mathbb{Z}}_{w} = g\, M^{\mathbb{Z}}_{v} , \] c'est-à-dire lorsque \(w\) et \(v\) sont, selon son mot, \(M\)-équivalents ³³ .

Le dossier s'arrête sur cette formule. Ce qu'elle établit est modeste et nécessaire : le torseur construit à la page 58 ne dépend pas de la place qui a servi à le construire. C'est la condition sans laquelle rien de ce qui précède ne serait un invariant du motif — et c'est, une dernière fois, la figure que tout le dossier répète : on n'a jamais de comparaison privilégiée, mais l'ensemble des comparaisons, lui, ne dépend d'aucun choix.