Fonds Grothendieck, cote n° 162-6, pages 1–5

\gamma_{\mathbb{R}}(s) = \pi^{\frac{s}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right) \gamma_{\mathbb{C}}(s) = \tfrac{1}{2}\,\ill\,(2\pi)^{s}\,\Gamma(s)

les deux exposants sont écrits sans signe : la page porte \pi^{s/2} et (2\pi)^{s}, non \pi^{-s/2} et (2\pi)^{-s}. On les transcrit tels quels. Entre le \tfrac{1}{2} et la parenthèse un symbole a été tracé puis barré, illisible

(un trait horizontal sépare ce qui précède de ce qui suit)

Cas \mathbb{R}, avec n = 2p : \prod_{p < q} \gamma_{\mathbb{C}}(s-p)^{h(p,q)} \cdot \begin{cases} h_{p}^{+} : F = (-1)^{p}\\ h_{p}^{-} : F = -(-1)^{p}\\ \gamma_{\mathbb{R}}(s-p)^{h_{p}^{+}}\ \gamma_{\mathbb{R}}(s-p+1)^{h_{p}^{-}} \end{cases}

F est l'involution qui agit sur la partie de poids p=q ; les deux lignes qui la concernent donnent la règle de partage de h^{p,p} en h_{p}^{+} et h_{p}^{-}, et la troisième le facteur que chacune contribue. Dans la seconde, le signe devant (-1)^{p} est surchargé et un signe a été entouré puis abandonné

Cas \mathbb{C} : \prod_{p,q} \gamma_{\mathbb{C}}\bigl(s - \inf(p,q)\bigr)^{h(p,q)}

\mathrm{gal}(E/\mathbb{Q}) \;-\; C(E)

le E et le \mathbb{Q} sont chacun repassés ; le trait entre les deux membres n'est pas une flèche

W_{\mathbb{R}} : \begin{array}{c|l} \sigma & \sigma z \sigma^{-1} = \bar{z}\\ \mathbb{C}^{*} & \sigma^{2} = (-1) \end{array} avec, sous les deux termes de gauche, l'accolade \mathbb{Z}/2, \mathbb{C}^{*}.

le -1 est entouré

H^{2}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{C}^{*}) = \mathbb{Z}/2

(trait horizontal)

M, puis R - \mathbb{C}, en regard de quoi : ~~H(E)~~ suivi en exposant de (p,q), puis

H(D(E), \mathbb{R}) \quad \sigma \quad \Big|\ \sigma\ \Big|\ \sigma^{2} = +1

et, sous le \sigma du milieu, un S ; à gauche de celui-ci un terme barré et illisible :

la dernière ligne de la carte est coupée par le bord de la feuille : on y lit encore un c_{\mathbb{R}}, un signe de produit tensoriel et un signe d'égalité, le reste manque —

N : S_{E} \longrightarrow S_{\mathbb{Q}} \longrightarrow \mathbb{G}_{m} (x, (y_{\alpha})) \longmapsto x \cdot \prod_{\alpha \neq \infty} \lVert y_{\alpha} \rVert \cdot \prod_{\alpha = \infty} \mathrm{sign}(y_{\alpha})

C(E) \longrightarrow S_{E}(\mathbb{A}) \longrightarrow S_{E}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{*}

une flèche courbe joint C(E) au dernier terme et porte, en dessous et souligné deux fois, \lVert x \rVert : c'est la composée qui est nommée

(trait horizontal, puis, seul en bas de la carte :) (-1 \neq \lVert -1 \rVert)

L_{v}(M \otimes T, s) = L_{v}(M)(s \pm 1) \gamma_{\mathbb{R}}(s)\, \gamma_{\mathbb{R}}(s+1) = \gamma_{\mathbb{C}}(s)

les deux lignes sont écrites en biais, montantes, et rien d'autre ne figure sur la carte

En haut à gauche, encadré : E/\mathbb{Q}.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & & \mathbb{G}_{m}\\ E^{*} \arrow[r] & \left(\prod_{E/\mathbb{Q}} \mathbb{G}_{m}\right)\big/U \times I(E)/I^{\circ}(E) \arrow[rr] & & S_{E} \arrow[u]\\ E^{*} \arrow[r] \arrow[u, no head] & I(E) \times I(E)/I^{\circ}(E) \arrow[rr] & & S_{E}(\mathbb{A})\\ E^{*} \arrow[rr] \arrow[u, no head] & & I(E) \arrow[r] & C(E) \arrow[u] \end{tikzcd}

les deux traits verticaux de la colonne de gauche sont les doubles barres d'égalité de la page, rendues ici par des liaisons sans tête : c'est le même E^{*} aux trois lignes. Entre la deuxième et la troisième ligne, au milieu, deux flèches obliques montantes portent les chiffres 2 (vers la gauche) et 1 (vers la droite) ; leur origine n'est pas fixée sur la carte et elles ne sont pas reportées dans le diagramme. À droite, une accolade réunit la colonne, et S_{E}(\mathbb{Q}), écrit au-dessus de S_{E}(\mathbb{A}), est barré

(sous un trait horizontal, en bas de la carte :) ~~S_{E} \longrightarrow \mathbb{G}~~, puis S_{E} \longrightarrow \mathbb{G}_{m}, puis

la fin de cette dernière ligne sort de la carte : on y distingue un h et une parenthèse ouvrante suivie d'un E, rien de plus