Cote n° 162-6 · batch 1 · pages 1–5 · Transcription · [Documents isolés] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration

1

\[ \gamma_{\mathbb{R}}(s) = \pi^{\frac{s}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right) \] \[ \gamma_{\mathbb{C}}(s) = \tfrac{1}{2}\,\ill\,(2\pi)^{s}\,\Gamma(s) \]

les deux exposants sont écrits sans signe : la page porte \(\pi^{s/2}\) et \((2\pi)^{s}\), non \(\pi^{-s/2}\) et \((2\pi)^{-s}\). On les transcrit tels quels. Entre le \(\tfrac{1}{2}\) et la parenthèse un symbole a été tracé puis barré, illisible

(un trait horizontal sépare ce qui précède de ce qui suit)

Cas \(\mathbb{R}\), avec \(n = 2p\) : \[ \prod_{p < q} \gamma_{\mathbb{C}}(s-p)^{h(p,q)} \cdot \begin{cases} h_{p}^{+} : F = (-1)^{p}\\ h_{p}^{-} : F = -(-1)^{p}\\ \gamma_{\mathbb{R}}(s-p)^{h_{p}^{+}}\ \gamma_{\mathbb{R}}(s-p+1)^{h_{p}^{-}} \end{cases} \]

\(F\) est l'involution qui agit sur la partie de poids \(p=q\) ; les deux lignes qui la concernent donnent la règle de partage de \(h^{p,p}\) en \(h_{p}^{+}\) et \(h_{p}^{-}\), et la troisième le facteur que chacune contribue. Dans la seconde, le signe devant \((-1)^{p}\) est surchargé et un signe a été entouré puis abandonné

Cas \(\mathbb{C}\) : \[ \prod_{p,q} \gamma_{\mathbb{C}}\bigl(s - \inf(p,q)\bigr)^{h(p,q)} \]

2

\[ \mathrm{gal}(E/\mathbb{Q}) \;-\; C(E) \]

le \(E\) et le \(\mathbb{Q}\) sont chacun repassés ; le trait entre les deux membres n'est pas une flèche

\(W_{\mathbb{R}}\) : \[ \begin{array}{c|l} \sigma & \sigma z \sigma^{-1} = \bar{z}\\ \mathbb{C}^{*} & \sigma^{2} = (-1) \end{array} \] avec, sous les deux termes de gauche, l'accolade \(\mathbb{Z}/2\), \(\mathbb{C}^{*}\).

le \(-1\) est entouré

\[ H^{2}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{C}^{*}) = \mathbb{Z}/2 \]

(trait horizontal)

\(M\), puis \(R - \mathbb{C}\), en regard de quoi : \(H(E)\) suivi en exposant de \((p,q)\), puis

\[ H(D(E), \mathbb{R}) \quad \sigma \quad \Big|\ \sigma\ \Big|\ \sigma^{2} = +1 \]

et, sous le \(\sigma\) du milieu, un \(S\) ; à gauche de celui-ci un terme barré et illisible : […]

la dernière ligne de la carte est coupée par le bord de la feuille : on y lit encore un \(c_{\mathbb{R}}\), un signe de produit tensoriel et un signe d'égalité, le reste manque — […]

3

\[ N : S_{E} \longrightarrow S_{\mathbb{Q}} \longrightarrow \mathbb{G}_{m} \] \[ (x, (y_{\alpha})) \longmapsto x \cdot \prod_{\alpha \neq \infty} \lVert y_{\alpha} \rVert \cdot \prod_{\alpha = \infty} \mathrm{sign}(y_{\alpha}) \]

\[ C(E) \longrightarrow S_{E}(\mathbb{A}) \longrightarrow S_{E}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{*} \]

une flèche courbe joint \(C(E)\) au dernier terme et porte, en dessous et souligné deux fois, \(\lVert x \rVert\) : c'est la composée qui est nommée

(trait horizontal, puis, seul en bas de la carte :) \[ (-1 \neq \lVert -1 \rVert) \]

4

\[ L_{v}(M \otimes T, s) = L_{v}(M)(s \pm 1) \] \[ \gamma_{\mathbb{R}}(s)\, \gamma_{\mathbb{R}}(s+1) = \gamma_{\mathbb{C}}(s) \]

les deux lignes sont écrites en biais, montantes, et rien d'autre ne figure sur la carte

5

En haut à gauche, encadré : \(E/\mathbb{Q}\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& & & \mathbb{G}_{m}\\
E^{*} \arrow[r] & \left(\prod_{E/\mathbb{Q}} \mathbb{G}_{m}\right)\big/U \times I(E)/I^{\circ}(E) \arrow[rr] & & S_{E} \arrow[u]\\
E^{*} \arrow[r] \arrow[u, no head] & I(E) \times I(E)/I^{\circ}(E) \arrow[rr] & & S_{E}(\mathbb{A})\\
E^{*} \arrow[rr] \arrow[u, no head] & & I(E) \arrow[r] & C(E) \arrow[u]
\end{tikzcd}

les deux traits verticaux de la colonne de gauche sont les doubles barres d'égalité de la page, rendues ici par des liaisons sans tête : c'est le même \(E^{*}\) aux trois lignes. Entre la deuxième et la troisième ligne, au milieu, deux flèches obliques montantes portent les chiffres 2 (vers la gauche) et 1 (vers la droite) ; leur origine n'est pas fixée sur la carte et elles ne sont pas reportées dans le diagramme. À droite, une accolade réunit la colonne, et \(S_{E}(\mathbb{Q})\), écrit au-dessus de \(S_{E}(\mathbb{A})\), est barré

(sous un trait horizontal, en bas de la carte :) \(S_{E} \longrightarrow \mathbb{G}\), puis \(S_{E} \longrightarrow \mathbb{G}_{m}\), puis […]

la fin de cette dernière ligne sort de la carte : on y distingue un \(h\) et une parenthèse ouvrante suivie d'un \(E\), rien de plus