Cote n° 162-6 · pages 1–5 · Lecture modernisée · [Documents isolés] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Cinq petites cartes au crayon, écrites en travers. L'inventaire les appelle « documents isolés » et ne dit rien de plus, ce qui donne à penser qu'elles n'ont pas de sujet. Elles en ont un, et un seul.

Le sujet est celui-ci. À une variété algébrique on associe une fonction d'une variable complexe — sa fonction \(L\) — qui encode combien de points elle a modulo chaque nombre premier. C'est un objet analytique construit à partir d'un objet arithmétique, et tout son intérêt vient de ce qu'il possède une équation fonctionnelle : une symétrie qui relie sa valeur en \(s\) à sa valeur en \(w+1-s\), comme une figure symétrique par rapport à une droite. Mais cette symétrie n'apparaît qu'à une condition : il faut ajouter au produit, à côté d'un facteur pour chaque nombre premier, un facteur de plus. Un facteur qui ne correspond à aucun nombre premier, et qu'on appelle par convention le facteur « à l'infini ».

Ce facteur manquant est le sujet de ces cartes. Il n'est pas arbitraire : on sait quelle forme il doit avoir — un produit de fonctions \(\Gamma\) d'Euler — et toute la question est de savoir avec quels exposants. La réponse, et c'est elle que la première carte écrit, est que les exposants se lisent sur les nombres de Hodge de la variété, c'est-à-dire sur la façon dont sa cohomologie se décompose. L'arithmétique de la place à l'infini est ainsi dictée par la géométrie complexe, et par rien d'autre.

Les quatre cartes suivantes explorent la structure qui rend cette recette naturelle. On y trouve le groupe de Weil réel — un groupe qui n'est pas \(\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})\) mais une extension de celui-ci par \(\mathbb{C}^{*}\), et dont l'élément \(\sigma\) vérifie \(\sigma^{2} = -1\) et non \(\sigma^{2} = 1\) —, puis un groupe algébrique \(S_{E}\) attaché à un corps de nombres \(E\), à travers lequel se factorisent les caractères de Hecke de type \(A_{0}\), et son rapport au groupe des classes d'idèles.

Ces cartes ne démontrent rien. Ce sont des aide-mémoire : quelqu'un qui sait déjà ce dont il s'agit note les quatre ou cinq formules qui lui serviront de prises. Leur intérêt est de montrer quelles prises exactement il a choisies.

Keywords — archimedean local factor, Hodge structure, Weil group, Serre group, Hecke character of type A0, functional equation

1–1

Les deux facteurs \(\Gamma\) de base

On pose, pour \(s \in \mathbb{C}\), \[ \gamma_{\mathbb{R}}(s) = \pi^{-s/2}\,\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right), \qquad \gamma_{\mathbb{C}}(s) = 2\,(2\pi)^{-s}\,\Gamma(s). \]

Ce sont les deux facteurs locaux archimédiens élémentaires : le premier est celui de la place réelle, le second celui de la place complexe.1

Ils ne sont pas indépendants. La relation \[ \gamma_{\mathbb{R}}(s)\,\gamma_{\mathbb{R}}(s+1) = \gamma_{\mathbb{C}}(s), \] qui est la formule de duplication de Legendre pour \(\Gamma\) mise sous cette forme, est écrite telle quelle sur la quatrième carte. C'est elle qui permet de passer d'une écriture à l'autre, et c'est pourquoi la recette qui suit peut s'exprimer indifféremment avec l'un ou l'autre des deux facteurs dans la partie de poids pair.

1–1

Le facteur à l'infini d'une structure de Hodge

Soit \(H\) une structure de Hodge pure de poids \(n\), de nombres de Hodge \(h^{p,q}\). On veut lui attacher un facteur \(\Gamma\), et la recette dépend de la place.

Place complexe

Le cas complexe est le plus simple, parce qu'il n'y a aucune involution à prendre en compte : \[ \prod_{p,q} \gamma_{\mathbb{C}}\bigl(s - \inf(p,q)\bigr)^{h^{p,q}}. \] Chaque classe de bidegré \((p,q)\) contribue un facteur, décalé de \(\inf(p,q)\) — c'est-à-dire du plus petit des deux indices, et non de leur somme ni de leur différence.

Place réelle

Le cas réel diffère sur un seul point, mais ce point est l'essentiel. Une structure de Hodge définie sur \(\mathbb{R}\) porte une involution \(F\) — le Frobenius à l'infini, c'est-à-dire la conjugaison complexe agissant sur les points de la variété — et cette involution échange \(H^{p,q}\) et \(H^{q,p}\).

Hors de la diagonale, elle apparie donc \((p,q)\) et \((q,p)\), et les deux ensemble donnent un unique facteur complexe. D'où la première moitié de la recette, où le produit ne court que sur \(p < q\) : \[ \prod_{p<q} \gamma_{\mathbb{C}}(s-p)^{h^{p,q}}. \]

Sur la diagonale \(p = q\), en revanche, \(F\) agit à l'intérieur de \(H^{p,p}\), et il faut décomposer cet espace selon les deux valeurs propres possibles. La page pose \(n = 2p\) et écrit la règle sous la forme d'un système : on note \(h_{p}^{+}\) la dimension du sous-espace où \(F\) agit par \((-1)^{p}\), et \(h_{p}^{-}\) celle du sous-espace où \(F\) agit par \(-(-1)^{p}\).2 La contribution de la diagonale est alors \[ \gamma_{\mathbb{R}}(s-p)^{h_{p}^{+}}\;\gamma_{\mathbb{R}}(s-p+1)^{h_{p}^{-}}. \]

Ce qui distingue les deux valeurs propres n'est donc pas la nature du facteur — c'est \(\gamma_{\mathbb{R}}\) dans les deux cas — mais un décalage d'une unité dans l'argument. C'est là toute la finesse de la recette, et la raison pour laquelle elle ne se devine pas.

2–2

Le groupe de Weil réel

La deuxième carte pose le cadre dans lequel ces facteurs deviennent naturels. Le groupe de Weil de \(\mathbb{R}\) est \[ W_{\mathbb{R}} = \mathbb{C}^{*} \cup \sigma\,\mathbb{C}^{*}, \qquad \sigma z \sigma^{-1} = \bar{z}, \qquad \sigma^{2} = -1 . \]

Il faut s'arrêter sur la dernière relation, qui est le point de toute la construction. Si l'on avait \(\sigma^{2} = 1\), le groupe serait le produit semi-direct \(\mathbb{C}^{*} \rtimes \mathbb{Z}/2\), et il n'apporterait rien de plus que le groupe de Galois. Avec \(\sigma^{2} = -1\), on obtient au contraire une extension non scindée \[ 1 \longrightarrow \mathbb{C}^{*} \longrightarrow W_{\mathbb{R}} \longrightarrow \mathbb{Z}/2 \longrightarrow 1 , \] et c'est cette extension, et non le quotient, qui a les représentations voulues.3 La carte justifie que cette extension existe et qu'elle est essentiellement unique en calculant le groupe qui les classe : \[ H^{2}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{C}^{*}) = \mathbb{Z}/2 . \] Deux classes, donc : l'extension triviale et celle-ci.4

La suite de la carte esquisse ce que devient une structure de Hodge sous ce groupe — on y lit \(H(D(E), \mathbb{R})\), un \(\sigma\) répété, la condition \(\sigma^{2} = +1\), et un \(S\) — mais l'écriture y devient très rapide et la dernière ligne est coupée par le bord de la feuille.5 Ce qu'elle indique est la correspondance, désormais classique, entre structures de Hodge réelles et représentations de \(W_{\mathbb{R}}\) ; la carte ne l'énonce pas et nous ne la mettons pas dans sa bouche.

3–5

Le groupe \(S_{E}\) et les classes d'idèles

Les trois dernières cartes changent de terrain. Il ne s'agit plus d'une place, mais d'un corps de nombres \(E\) et du groupe algébrique par lequel passent ses caractères de Hecke algébriques.

La norme

La troisième carte définit une flèche \[ N : S_{E} \longrightarrow S_{\mathbb{Q}} \longrightarrow \mathbb{G}_{m}, \qquad (x, (y_{\alpha})) \longmapsto x \cdot \prod_{\alpha \neq \infty} \lVert y_{\alpha}\rVert \cdot \prod_{\alpha = \infty} \mathrm{sign}(y_{\alpha}) . \] La dissymétrie de la formule est son contenu : aux places finies on prend la valeur absolue, à la place infinie on ne prend que le signe. Elle est ensuite composée dans la chaîne \[ C(E) \longrightarrow S_{E}(\mathbb{A}) \longrightarrow S_{E}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{*}, \] où \(C(E)\) est le groupe des classes d'idèles, et la carte note sous cette composée, souligné deux fois, le symbole \(\lVert x\rVert\) : c'est donc la norme adélique qu'on retrouve au bout.

En bas de la carte, isolée sous un trait, une seule remarque : \[ (-1 \neq \lVert -1 \rVert). \] Elle n'est pas anodine. Elle dit que la flèche construite n'est pas la valeur absolue : elle garde le signe là où la valeur absolue le perd, et c'est précisément cet écart qui laisse place au facteur \(\gamma_{\mathbb{R}}\) décalé d'une unité rencontré plus haut.6

Le diagramme

La cinquième carte rassemble le tout en un diagramme, sous un \(E/\mathbb{Q}\) encadré :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& & & \mathbb{G}_{m}\\
E^{*} \arrow[r] & \left(\prod_{E/\mathbb{Q}} \mathbb{G}_{m}\right)\big/U \times I(E)/I^{\circ}(E) \arrow[rr] & & S_{E} \arrow[u, "N"]\\
E^{*} \arrow[r] \arrow[u, no head] & I(E) \times I(E)/I^{\circ}(E) \arrow[rr] & & S_{E}(\mathbb{A})\\
E^{*} \arrow[rr] \arrow[u, no head] & & I(E) \arrow[r] & C(E) \arrow[u]
\end{tikzcd}

Les trois lignes se lisent de bas en haut comme un raffinement progressif. En bas, la construction ordinaire du groupe des classes d'idèles : \(E^{*}\) se plonge dans le groupe des idèles \(I(E)\), et le quotient est \(C(E)\). Au milieu, on adjoint le groupe des classes de rayon \(I(E)/I^{\circ}(E)\), ce qui donne les points adéliques de \(S_{E}\). En haut, la restriction des scalaires \(\prod_{E/\mathbb{Q}}\mathbb{G}_{m}\) remplace les idèles et l'on atteint \(S_{E}\) lui-même, sur lequel la norme \(N\) de la carte précédente est définie.7

Sous un trait, en bas de la carte, une flèche \(S_{E} \to \mathbb{G}\) est écrite puis barrée, et remplacée par \(S_{E} \to \mathbb{G}_{m}\) — la norme, donc, reprise une dernière fois. La suite sort de la carte.8

1–5

Ce que les cinq cartes font ensemble

Prises séparément, ce sont cinq notes sans énoncé. Prises ensemble, elles dessinent un aller-retour.

D'un côté, la géométrie : une variété, sa cohomologie, ses nombres de Hodge, et la recette qui en tire le facteur à l'infini. De l'autre, l'arithmétique : un corps de nombres, ses idèles, et le groupe \(S_{E}\) qui gouverne ses caractères. Entre les deux, le groupe de Weil, qui a la particularité d'avoir les deux natures — ses représentations sont du côté arithmétique, et ce qu'elles classent est du côté de Hodge.

La dernière carte du dossier, la quatrième, écrit d'ailleurs le seul énoncé de compatibilité de tout l'ensemble : \[ L_{v}(M \otimes T, s) = L_{v}(M)(s \pm 1), \] où \(T\) est l'objet de Tate. Elle dit que tordre un motif par \(T\) revient à translater sa fonction \(L\) d'une unité — et le \(\pm\) n'est pas une hésitation sur le fait, mais sur la convention de signe adoptée pour le twist.9

Notes

  1. Les deux cartes écrivent les exposants sans le signe moins : on y lit \(\pi^{s/2}\) et \((2\pi)^{s}\). Écrite ainsi, la fonction \(\gamma_{\mathbb{R}}\) ne décroît pas dans les bandes verticales et l'équation fonctionnelle qu'elle sert à établir ne tient pas ; on donne donc la normalisation correcte, et cette note dit ce que porte la page. La constante multiplicative de \(\gamma_{\mathbb{C}}\) est également ambiguë sur la carte, qui écrit \(\tfrac{1}{2}\) suivi d'un symbole tracé puis barré et devenu illisible ; la valeur \(2\) donnée ici est celle qui rend vraie la relation de duplication rappelée plus bas, et elle est donc imposée par le reste de la page plutôt que lue sur elle. ↩
  2. Le signe devant \((-1)^{p}\) dans la seconde ligne est surchargé sur la carte et un signe y a été entouré puis abandonné ; la transcription le signale. La convention retenue ici — le décalage de la normalisation par \((-1)^{p}\) plutôt que par \(+1\) — est celle qui rend les deux lignes cohérentes avec le décalage \(s - p\) du produit précédent. ↩
  3. Le \(-1\) est entouré sur la carte, ce qui est la manière dont Grothendieck marque ailleurs dans le fonds ce qu'il ne veut pas voir passer inaperçu. ↩
  4. L'action de \(\mathbb{Z}/2\) sur \(\mathbb{C}^{*}\) est ici la conjugaison, comme le dit la relation \(\sigma z\sigma^{-1} = \bar{z}\) écrite juste au-dessus ; la carte ne le répète pas dans la notation du \(H^{2}\), et c'est nous qui l'explicitons. Le calcul n'a pas la même valeur pour l'action triviale. ↩
  5. La transcription signale la coupure : il subsiste un \(c_{\mathbb{R}}\), un signe de produit tensoriel et un signe d'égalité. On ne restitue pas la fin, et l'on ne se sert pas de cette ligne dans ce qui précède. ↩
  6. Le rapprochement entre cette remarque et la règle de la place réelle est le nôtre. Les cartes sont contiguës dans le dossier et parlent du même objet, mais aucune ne renvoie explicitement à l'autre. ↩
  7. Les trois traits verticaux de la colonne de gauche sont, sur la page, des doubles barres d'égalité : c'est le même \(E^{*}\) aux trois lignes. On les rend ici par des liaisons sans tête, la syntaxe des diagrammes de cette édition n'ayant pas de barre d'égalité. Le \(S_{E}(\mathbb{Q})\) que la carte écrit au-dessus de \(S_{E}(\mathbb{A})\) est barré et n'est pas reporté ; deux flèches obliques numérotées 1 et 2 courent entre la deuxième et la troisième ligne sans origine assurée, et ne le sont pas non plus. ↩
  8. On y distingue un \(h\) et une parenthèse ouvrante suivie d'un \(E\) ; ce pourrait être un nombre de classes, mais la restitution serait la nôtre et on ne la propose pas. ↩
  9. Cette lecture du \(\pm\) est la nôtre. La carte l'écrit sans commentaire, et l'on pourrait aussi bien y voir une hésitation sur la normalisation de \(T\) lui-même. Aucune autre carte du dossier ne tranche. ↩