Fonds Grothendieck, cote n° 162-5, pages 41–60

feuillets tapés, repris à l'encre. Le texte tapé est donné en clair ; les insertions manuscrites dans la ligne sont données entre crochets, les mots tapés biffés à la main sont barrés, les notes manuscrites détachées du texte sont données à part, sans que cette présentation attribue la main. Le texte tapé des pages 41 et 43 à 48 est celui des pages 10 à 16 de la copie photographique du dossier 111 ; les interventions manuscrites ne sont pas toutes les mêmes

qu'il conviendra de poser les définitions adéquates). — Peut-être Quillen a-t-il une définition semi-simpliciale plus directe, sans passer par des n-catégories, des K_{i} et plus précisément du H-espace qui devrait correspondre à C.

ouidans la marge gauche, en regard de la phrase qui précède, que la main marque d'un double trait vertical

Ce n'est certainement pas en général l'ensemble semi-simplicial SC associé à C, puisque dans le cas d'une catégorie additive, C est homotopiquement trivial (en effet le foncteur identique est « homotope » au foncteur nul, puisqu'il suffit d'avoir un homomorphisme d'un foncteur dans l'autre ; d'où une équivalence d'homotopie entre C et la catégorie nulle). Pourtant, il semble bien que dans le cas où C est une Gr-catégorie i.e. admet des inverses, alors ce soit bien la construction « naïve » SC qui est la bonne, puisqu'on trouve bien un \pi_{0} et un \pi_{1} qui sont aussi les \pi_{0} et \pi_{1} au sens catégorie sans Gr-structure.

A expliquer : pour des Gr-n-catégories, les \pi_{i} au sens semi-simplicial sont aussi les \pi_{i} au sens Gr-n-catégories, savoir les objets à isom. près dans divers \underline{\mathrm{Hom}}(1, 1) … ~~Il y a aussi une interprétation de l'opération \Omega : des lacets en termes du foncteur d'opération du shift géométrique évidente sur les n-catégories …~~paragraphe à l'encre sous la frappe, appelé, comme la phrase « i.e. admet des inverses … » qui le précède, par un signe en marge et un trait vertical ; sa seconde moitié est barrée de traits obliques

III Point de vue « motivique » en théorie du cobordisme.

Soit C la catégorie des variétés différentiables (pas nécessairement orientables), les morphismes étant les classes d'homotopie d'applications continues. Si B est une catégorie, on s'intéresse aux couples (F_{\cdot}, F^{\bullet}) d'un foncteur covariant et d'un foncteur contravariant de C dans B, satisfaisant les conditions que pour tout X \in \mathrm{Ob}\, C, on a F_{\cdot}(X) = F^{\bullet}(X), et que si on a un produit fibré ordinaire

\begin{tikzcd} & X' \arrow[dl, "g'"'] \arrow[dr, "f'"] & \\ X \arrow[dr, "f"'] & & Y' \arrow[dl, "g"] \\ & Y & \end{tikzcd}

avec f et g transversaux, alors on a g^{\bullet} f_{\cdot} = f'_{\cdot} g'^{\bullet} (on pose f_{\cdot} = F_{\cdot}(f), f^{\bullet} = F^{\bullet}(f)). La question est de trouver une B et un couple (F_{\cdot}, F^{\bullet}) qui soient « universels » dans un sens évident. Quillen prouve que la construction suivante donne une telle solution.le carré est tapé en losange, X' en haut et Y en bas ; « les morphismes étant les classes d'homotopie d'applications continues » et « (on pose …) » sont tapés en interligne et mis en place par un trait à l'encre

Pour toute variété X \in \mathrm{ob}\, C, on définit un anneau commutatif B(X) (l'anneau de bordisme de X) en prenant comme éléments les classes d'éléments de C au dessus de X, pour la relation de cobordisme : f' : X' \to X et f'' : X'' \to X sont équivalents, s'il existe une variété à bord Z, et un f : Z \to X, tel que \mathrm{bord}\, Z = X' \sqcup X'' et f' et f'' sont induits par f. La somme de B(X) est la somme disjointe (c'est une loi de groupe, où tout élément est d'ordre 2), le produit est donné par le produit fibré, en utilisant le théorème de transversalité de Thom pour bouger un peu f'', de sorte à le rendre transversal à f'.le chiffre de « d'ordre 2 » est récrit à l'encre sur une frappe biffée qui ne se lit pas

NB L'anneau est de plus gradué par la dimension relative …à l'encre, en interligne

Si on a f : X \to Y, on définit f_{\cdot} : B(X) \to B(Y) de façon évidente (toute variété sur X est sur Y), et f^{\bullet} : B(Y) \to B(X) par produit fibré (utilisant encore le th. de transversalité). De cette façon, B(X) devient un foncteur-anneau (gradué) contravariant en X, et un foncteur groupe covariant en

X. De plus, on a la formule (du type g^{\bullet} f_{\cdot} = f'_{\cdot} g'^{\bullet} ci-dessus, impliquant la formule) de projection habituelle. Ceci posé, les constructions bien connues en théorie des correspondances permettent de définir une catégorie \mathbf{B} dont les objets sont ceux de C, et les Hom étant donnés par \mathrm{Hom}_{\mathbf{B}}(X, Y) = B(X \times Y) . On a un isomorphisme canonique \mathbf{B} \simeq \mathbf{B}^{\circ}, qui est l'identité sur les objets et la symmétrie B(X \times Y) \simeq B(Y \times X) sur les flêches, et un foncteur évident F_{\cdot} : C \to \mathbf{B}, qui est l'identité sur les objets et donné par les graphes sur les flêches. Composé avec la symmétrie précédente, on trouve un foncteur F^{\bullet} : C \to \mathbf{B}.la frappe porte ici C, sans le ^{\circ} qu'appelle un foncteur contravariant ; rien n'a été ajouté à l'encre On vérifie enfin que le couple (F_{\cdot}, F^{\bullet}) satisfait aux conditions envisagées dans l'alinéa 1 (ceci aussi devrait être formalisé au cas des correspondances générales …). On vérifie enfin qu'il a la propriété universelle qu'il faut. Lorsqu'on se donne un couple (F'_{\cdot}, F'^{\bullet}) à valeurs dans une catégorie B', il faut trouver une factorisation par B. Elle est toute trouvée sur les objets, il faut la définir sur les flêches, donc définir, pour X, Y dans C, une application B(X \times Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}(X', Y') . \tag{$*$} Mais si Z est au dessus de X \times Y, d'où p : Z \to X et q : Z \to Y, on lui associe un élément du deuxième membre de (*) comme le composé X' \xrightarrow{F'^{\bullet}(p)} Z' \xrightarrow{F'_{\cdot}(q)} Y' . Il faut prouver que l'élément obtenu en remplaçant Z (= Z_{0}) par un Z_{1} cobordant au dessus de X est le même. Or si g : T \to X \times Y réalise le cobordisme, on voit (regardant seulement T et la décomposition \mathrm{bord}(T) = Z_{0} \sqcup Z_{1}) qu'il existe une variété \overline{T} sur S^{1} (obtenue en « doublant » T) transversale au dessus d'un couple de points s_{0}, s_{1} de S^{1}, tels que Z_{i} soit l'image inverse dans \overline{T} de s_{i} (i = 0, 1) ; d'autre part,

g manifestement se prolonge en \overline{g} : \overline{T} \to X \times Y. Cela nous ramène à prouver que le composé \overline{T}' \xrightarrow{\alpha_{i}} Z'_{i} \xrightarrow{\alpha_{i*}} \overline{T}' ne dépend pas de i = 0, 1.les deux étiquettes sont à l'encre ; la première se lit \alpha_{i}, sans astérisque visible. Devant \overline{T}' et Z'_{i} la frappe porte de petits signes corrigés, peut-être des F', qu'on ne reproduit pas Ecrivons X au lieu de \overline{T}', et considérons le diagramme cartésien d'inclusions

\begin{tikzcd} X_{s} \arrow[r, "\alpha_{s}"] \arrow[d, "\alpha_{s}"'] & X \arrow[d, "{\Gamma = (p, \mathrm{id}_{X})}"] \\ X \arrow[r, "i_{s}"'] & S^{1} \times X \end{tikzcd}

on a alors \alpha_{s}^{*} \alpha_{s*} = \Gamma^{*} i_{s*}, qui ne dépend pas de s puisque i_{s} n'en dépend pas à homotopie près. — Le reste est sans doute l'AQT.les flèches du carré, les \alpha, les astérisques et l'étiquette \Gamma = (p, \mathrm{id}_{X}) sont portés à l'encre dans les blancs de la frappe

Sur la strcture des B_{\cdot}(X). Ce sont tous des algèbres graduées sur B_{\cdot}(\mathrm{pt}) = \Lambda, qui est une algèbre graduée à degrés positifs, réduite à \mathbf{F}_{2} en degré 0. C'est d'ailleurs une algèbre de polynômes (à une infinité de générateurs x_{i} (i entier \geq 1, \neq de la forme 2^{\nu} - 1)) connue …« d'anneaux gradués » est tapé en interligne sous la ligne, sans place marquée ; l'insertion à l'encre est appelée par un signe en marge

On a un homomorphisme évident B_{\cdot}(X) \to H^{\bullet}(X), nul en degrés > 0, qui à tout Z sur X associe l'image de 1 \in H^{0}(Z) par l'homomorphisme de Gysin associé à Z \to X. Cet homomorphisme par Thom est surjectif (toute classe de cohomologie provient d'une image de variété compacte …) ;

en fait H^{\bullet}(X) \simeq B_{\cdot}(X) / \Lambda^{+} B_{\cdot}(X)à l'encre, dans la marge gauche

On ppouve même qu'il existe un relèvement fonctoriel en X H^{\bullet}(X) \to B_{\cdot}(X), (il est douteux qu'il soit) compatible avec multiplication, tel que l'on ait :la main entoure « compatible avec multiplication » d'une parenthèse et écrit au-dessus « il est douteux qu'il soit » ; un point d'interrogation dans la marge

a) L'homomorphisme correspondant H^{\bullet}(X) \otimes_{\mathbf{F}_{2}} \Lambda \simeq B_{\cdot}(X) est un isomorphisme (ce sera vrai pour tout relèvement individuellement …), et

b) [Quillen ignore si Le relèvement est compatible aussi avec les hom. de Gysin.]les lettres a) et b) et le « et » sont biffés à la main ; la seconde clause, mise entre crochets à l'encre, cesse d'être une condition pour devenir une question. Un grand trait en arc, ou un point d'interrogation, dans la marge en regard

Ainsi, la catégorie \mathbf{B} admet un foncteur pleinement fidèle dans la catégorie des modules gradués libres de type fini sur \Lambda, les modules de type fini qu'on obtient ainsi ayant des générateurs à degrés < 0 et satisfaisant (pour X connexe i.e. quand il y a un seul générateur de degré zéro) la dualité de Poincaré. Quand on prend la catégorie quasi-abélienne \widetilde{\mathbf{B}} associée à \mathbf{B}, on trouve donc tous les modules gradués libres de type fini à générateurs en degrés \leq 0 seulement. C'est une

catégorie additive (et même quasi-abélienne) avec \otimes qui a toutes les vertus, sauf d'être abélienne, et sauf d'admettre des Hom internes. Pour trouver ces derniers, on peut si on veut paraphraser la construction de la catégorie des motifs, en considérant l'objet \Lambda(-1) de \widetilde{\mathbf{B}} conoyau de p^{*} : e \to S, où p : S^{1} \to e est l'application du cercle sur un point. C'est un objet de poids 1 (le poids est défini par le degré des générateurs, changés de signe). On constate aussitôt que le foncteur M \mapsto M(-1) = M \otimes \Lambda(-1) de \widetilde{\mathbf{B}} dans lui-même est pleinement fidèle, ce qui permet alors, par une construction formelle standard, de compléter \widetilde{\mathbf{B}} en une catégorie où \Lambda(-1) devient inversible. Il se trouve alors que dans cette dernière les \underline{\mathrm{Hom}}(X, Y) internes existent et sont isomorphes à \check{X} \otimes Y … en fait, on trouve maintenant la catégorie de tous les modules gradués libres de type fini sur \Lambda. Bien sûr, cette catégorie n'est pas encore abélienne pour autant, puisque \Lambda n'est pas un corps ; si on veut définir la catégorie abélienne engendrée, on s'attend à trouver la catégorie des modules de ~~type~~ présentation finie sur \Lambda. (~~est-il noethérien, i.e. le nombre de générateurs est-il fini ?~~) qui est abélienne bien que \Lambda ne soit pas noethérien, car \Lambda est \varinjlim d'anneaux noeth. à homs de transition plats).les tildes sur \mathbf{B}, les \Lambda et l'astérisque de p^{*} sont à l'encre ; la frappe écrit S pour le cercle dans « p^{*} : e \to S ». Les deux \Lambda de « sur … » et « puisque … n'est pas un corps » comblent des blancs que la frappe laissait et que l'encre n'a pas remplis. « lim », à l'encre, est souligné d'un trait qui peut être la flèche d'une limite inductive

Cette construction ressemblerait à celle d'une théorie des motifs où on n'aurait pas passé à l'équivalence homologique pour les cycles, mais où on aurait gardé l'équivalence rationelle, — qui est bien trop fine à beaucoup d'égards. Pour trouver un équivalent plus étroit, il convient de reprendre la théorie prédédente, on pourrait formuler le même Pb universel que plus haut, mais en prenant l'équivalence homologique (via le graphe) des morphismes de variétés, au lieu de l'équivalence homotopique. ~~Mais alors il semble que l'on trouve comme catégorie solution celle dont les objets sont les variétés,~~

les morphismes toutes les correspondances cohomologiques (en vertu du thorème de Thom rappelé plus haut). On trouve donc un foncteur pleinement fidèle de cette catégorie dans celle des vectoriels gradués positivement de dim. finie sur \mathbf{F}_{2}, qui est déjà abélienne, et si on veut rendre comme plus haut \mathbf{F}_{2}(-1) inversible, on trouve tous les vectoriels gradués de dim. finie sur \mathbf{F}_{2}. C'est un peu trop trivial comme structure, et on peut faire mieux,la dernière ligne de la page 46 est barrée d'un trait, et les sept premières lignes de la page 47 de grands traits en zigzag

Pour trouver une catégorie universelle, on associe à toute X l'ensemble S(X) des sous-variétés de X, modulo équivalence homologique. Donc S(X) \subset H^{\bullet}(X), et on prouve qu'on trouve en fait un sous-anneau de H^{\bullet}(X) (grâce à un théorème de Thom qui caractérise S(X) en termes d'opérations de Steenrod, cf plus bas). On prouve de même (par le même théorème) que les S(X \times Y) sont stables par composition des correspondances cohomologiques (cela ne semble pas trivial, puisque les S(X) ne sont pas stables par Gysin …). D'où une catégorie additive dont les objets sont ceux de C, les flêches sont les S(X \times Y). Il semble qu'elle doive jouer le rôle universel que j'ai envisagé plus haut. En tous cas, sa définition géométrique est fort simple ! Nous allons en donner une interpétation algébrique. Pour ceci, considérons l'anneau des opérations cohomologiques « stables » ~~i.e. des endomorphismes du foncteur X \mapsto H^{\bullet}(X) qui sont additifs, et qui en degré zéro se réduisent à un multiple de l'identité.~~ce passage est barré de traits tapés, repassés à l'encre d'un trait ondulé ; un signe dans la marge, et un trait vertical le long du paragraphe C'est un anneau gradué, avec application diagonale anticommutative, i.e. commutative (car. 2 !), associative et unitaire. Son dual gradué est une algèbre graduée anticommutative donc commutative, avec application diagonale associative et unitaire ; il est réduit à \mathbf{F}_{2} en degré zéro. Donc il corespond à un schéma en groupes affine G sur \mathbf{F}_{2}, qui est d'ailleurs le foncteur des \otimes-automorphismes additifs du foncteur H^{\bullet} sur C qui opèrent trivialement sur H^{1}(S^{1}). « i.e. commutative (car. 2 !) », « graduée anticommutative donc » et « additifs » sont tapés en interligne et mis en place par des traits à l'encre. L'exposant de H(S^{1}) est récrit à l'encre et se lit 1 sans certitude

Le théorème de Thom est alors qu'un x \in H^{\bullet}(X) est dans S(X) sss il est fixe par G, i.e. satisfait A^{+} . x = 0. (Pourquoi cette condition est-elle déjà nécessaire ?) Une autre façon de le voir est de dire que le foncteur H^{\bullet} considéré comme allant de la catégorie \mathbf{S} précédente dans la catégorie des représentations de G dans des vectoriels sur \mathbf{F}_{2}, est pleinement fidèle. Quand on prend l'enveloppe pseudo-abélienne, on trouve une sous-catégorie pleine de la catégorie des représentations de G, mais il est douteux qu'on trouve une catégorie abélienne, voire la catégorie de toutes les représentations de G de dimension finie sur \mathbf{F}_{2}. (Quelle est la structure de G, qui est prolisse ; d'après Quillen, il serait pro-unipotent ….). Ici G bien sûr joue le rôle d'un groupe de Galois motivique, mais contrairement à la situation familière, il semble qu'il soit fortement non réductif (et d'ailleurs le corps de définition dans tout ceci est \mathbf{F}_{2}, et non \mathbf{Q} !).

oui, car son anneau affine est une algèbre de polynômes à une infinité d'indéterminées, réunion d'algèbres de polynômes à finis stables par \Deltaà l'encre, de biais dans la marge gauche, relié par un trait à « Quillen, il serait pro-unipotent »

Quillent donne une généralisation de la construction d'une catégorie universelle \mathbf{B} au cas où on travaille avec des variétés pas néessairement propres (mais f_{\cdot} n'étant supposé défini que pour f propre), et quand on introduit une condition d'orientation stable sur les morphismes envisagés, via un morphisme H \to BO(\infty), où H est un H-espace (commutatif, associatif et unitaire ?) : une orientation de f : X \to Y sera un relèvement homotopique de X \to BO défini par T_{X} - f^{\bullet}(T_{Y}) en X \to H. les éléments de H(X, Y) seront définis par des diagrammes de morphismes orientés Z \to X, Z \to Y, le deuxième étant propre, modulo bords de tels. En tant qu'ensemble, il se définit aussi en termes de la variété X \times Y munie simplement de la famille des supports formée des ensembles fermés propres sur Y …

Les B^{H}_{m}(X) (X compact disons) peuvent se décrire homotopiquement à la Thom, comme les groupes d'homotopie stables d'espaces \underline{\mathrm{Hom}}(X, MH(N - m)) - - - - -.à l'encre, à la suite de la frappe, au pied de la page. Fin de la partie III et du tapuscrit dans ce lot

\dim Ele feuillet est la page 2 d'un tapuscrit en anglais de D. G. Quillen, « On a conjecture of Adams », reproduit à l'alcool (pages 57 à 60), qui n'est pas transcrit. Seule y figure, d'une encre plus foncée que la reproduction, cette addition, écrite en exposant du p de la phrase « which is of (inseparable) degree p on each fiber », à propos de l'application canonique F : E \to E^{(p)} : le degré devient p^{\dim E}