1. Catégories formelles.

Catégorie formelle \mathcal{C} « sur X_0 » i.e. dont l'objet des objets est le schéma X_0 (regardé comme schéma formel i.e. ind-schéma particulier).

X_2 (trois flèches descendantes, deux montantes) X_1 (deux descendantes, une montante) X_0 en marge gauche, le schéma d'un objet semi-simplicial tronqué X_2 \to X_1 \rightrightarrows X_0, faces et dégénérescences, dessiné verticalement

Revient à la donnée d'un pro-Anneau strict « admissible » A sur X_0, augmenté vers \mathcal{O}_{X_0}, l'idéal d'augmentation étant idéal de définition, avec deux structures de bi-\mathcal{O}_{X_0}-proanneaux de \mathcal{O}_{X_0}-modules (g. et dr.), et d'un homom. A \xrightarrow{\ \Delta\ } A_{\mathrm{dr}} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0}} {}_{\mathrm{g}}A , satisfaisant des axiomes évidents a) « associativité » de \Delta b) unitarité g. et dr. vis-à-vis de l'augmentation. [Cela serait-il nécessairement un catégorie groupoïde formel, i.e. y a-t-il une symétrie s de A, jouant vis-à-vis de \Delta et de l'augmentation \varepsilon le rôle de passage à l'inverse ?]

On voit \Omega_{\mathcal{C}} = faisceau conormal de X_0 dans X_1 ; c'est a priori un pro-faisceau qu. coh. sur X_0, mais dans le cas où A est I-adique [I l'idéal d'augmentation] c'est un module qu. coh. ordinaire.

On définit dans \overset{*}{\Lambda}\Omega une différentielle d'anneau gradué d = d_{\mathcal{C}}. Sa valeur sur \overset{0}{\Lambda}\Omega = \mathcal{O}_{X_0} \to \Omega : df = \mathrm{pr}_2^*(f) - \mathrm{pr}_1^*(f) \mod I^2 .

infinitésimale vu plus bas Sorite : développer : A = (A_\alpha), regardons A_\alpha comme module par la structure gauche, alors l'application f \mapsto \mathrm{pr}_2^*(f) : \mathcal{O}_X \to A_\alpha est un op. diff. [d'ordre n si I_\alpha^{n+1} = 0], et par suite les sections de \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_X}(A_\alpha, \mathcal{O}_X) = \mathcal{D}^{\mathcal{C}}_\alpha définissent un op. différentiel dans \mathcal{O}_X. Alors \mathcal{D}^{\mathcal{C}} = \varinjlim_\alpha \mathcal{D}^{\mathcal{C}}_\alpha est un faisceau d'algèbres unitaires ass. [grâce à l'application \Delta], qui s'envoie dans le faisceau des op. différentiels [qui correspond

au fond ici ce serait la formalisation de la catégorie définie par X_0/\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}). En particulier \mathfrak{g}^{\mathcal{C}} = \struck{\mathrm{d\acute{e}f}}\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_{X_0}}(\Omega_{\mathcal{C}}, \mathcal{O}_X) = \varinjlim_{\alpha} \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_{X_0}}(\Omega_{\mathcal{C}_\alpha}, \mathcal{O}_{X_0}) opère sur \mathcal{O}_{X_0} par dérivations …. Cf aussi plus bas pour sa dérivation à partir des complexes de De Rham \Omega^{*}_{\mathcal{C}} de \mathcal{C}. la lettre gothique \mathfrak{g} est celle de la page ; elle désigne ici, comme aux pages 23 et suivantes, le faisceau \underline{\mathrm{Hom}}(\Omega, \mathcal{O}) des champs de vecteurs de la catégorie formelle

2. Complexes de De Rham généraux.

Appelons complexe de De Rham abstrait sur un Module q. coh. \Omega sur un schéma X_0 [NB considérer aussi espaces annelés, tout complexe obtenu par les sorites de 1.] une différentielle d'anneau gradué sur \overset{*}{\Lambda}\Omega.

Remarque 1. Cette différentielle est connue quand on la connaît en degrés 0 et 1 : \delta_0 : \mathcal{O}_{X_0} \longrightarrow \Omega \qquad \text{[i.e. } \Omega^1_{X_0/\mathbb{Z}} \xrightarrow{\ u\ } \Omega \text{ par } \delta(f) = u(df)\text{ ]} une dérivation, i.e. \alpha)\quad \delta_0(fg) = \delta_0(f)\,g + f\,\delta_0(g) \delta_1 : \Omega \longrightarrow \overset{2}{\Lambda}\Omega Conditions nécessaires sur \delta_1 : \begin{cases} \beta)\quad \delta_1(f\omega) = \delta_0(f)\,\delta_1(\omega) + f\,\delta_1(\omega) \\ \gamma)\quad \delta_1\delta_0 = 0 \end{cases} la page écrit bien \delta_0(f)\,\delta_1(\omega) au premier terme de \beta), là où la règle de Leibniz donne \delta_0(f) \wedge \omega ; on transcrit tel quel

De plus, on peut choisir \delta_0 et \delta_1 arbitrairement, de façon à satisfaire ces conditions : ils se prolongent (de façon

dégager un lemme circonstancié …. uniques) en une antidérivation d'Algèbre grâce à la première aux conditions \alpha) \beta), et cette dernière est de carré nul grâce à la condition \gamma).

3. Algèbre de Anneau de Lie associé à un complexe de De Rham

Soit \mathfrak{g} = \underline{\mathrm{Hom}}(\Omega, \mathcal{O}_{X_0}), c'est un ind-module quasi-coh. sur X_0, qui s'identifie à un Module qu.-coh. bien défini, si X, Y sont des sections de \mathfrak{g} sur un U [X,Y]\ \struck{(U)} \in \Gamma(U, \mathfrak{g}) avec (*)\qquad \langle \omega, [X,Y] \rangle = -\langle \delta\omega, X \wedge Y \rangle + \theta_X \langle \omega, Y \rangle - \theta_Y \langle \omega, X \rangle , \qquad \omega \in \Gamma(U, \Omega) les deux signes qui précèdent \theta_X et \theta_Y sont récrits à l'encre par-dessus d'autres ; on lit + puis -. Un mot biffé, illisible, suit [X,Y] au premier membre

où l'action X \mapsto \theta_X de \mathfrak{g} sur \mathcal{O}_X (par dérivations) est définie par \theta_X(f) = \langle \delta f, X \rangle , \qquad \text{[NB } \boxed{\theta_{gX} = g\,\theta_X} \text{ ]} (résulte de \alpha) : \theta_X(fg) = \theta_X(f)\,g + f\,\theta_X(g))

On constate grâce à \alpha) et \beta) que le deuxième membre est bien \mathcal{O}_{X_0}-linéaire en \omega, donc définit une section X \wedge Y. « section X \wedge Y » est tel quel ; on attend une section de \mathfrak{g}, qui est [X,Y]

De plus, on a, utilisant \gamma) : (**)\qquad \boxed{\theta_{[X,Y]} = [\theta_X, \theta_Y]} \;\overset{\mathrm{df}}{=}\; \theta_X\theta_Y - \theta_Y\theta_X [ l'autre définition]

[Sans \gamma), le différerait au deuxième membre f \mapsto -\langle \delta\delta f, X \wedge Y \rangle ; donc si \Omega loc. libre, la condition \delta\delta = 0 est nécessaire pour qu'on ait (**)]. On vérifie aussi loi de Lie : \boxed{[X,X] = 0}\ \text{(\uncertain{trivial})}, \qquad \boxed{[[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y] = 0}

\boxed{[X, fY] = \theta_X(f)\,Y + f\,[X,Y]} \qquad \text{résulte de } \alpha)

Prouvons enfin la formule . Soit \omega \in \Gamma(\Omega), d'où calculs \begin{align*} &\sum_{\substack{\text{perm. circ.}\\ \text{de } X,Y,Z}} \Big[ -\langle \delta\omega, [X,Y] \wedge Z \rangle + \theta_{[X,Y]} \langle \omega, Z \rangle - \theta_Z \langle \omega, [X,Y] \rangle \Big] \\ &= \sum \Big[ -\langle i_Z \delta\omega, [X,Y] \rangle + (\theta_X\theta_Y - \theta_Y\theta_X) \langle \omega, Z \rangle \\ &\qquad + \theta_Z \langle \delta\omega, X \wedge Y \rangle - \theta_Z\theta_X \langle \omega, Y \rangle + \theta_Z\theta_Y \langle \omega, X \rangle \Big] \\ &= \sum -\langle i_Z \delta\omega, [X,Y] \rangle + \theta_Z \langle \delta\omega, X \wedge Y \rangle \\ &= \sum \langle \delta i_Z \delta\omega, X \wedge Y \rangle - \theta_X i_Y i_Z \delta\omega + \theta_Y i_X i_Z \delta\omega + \theta_Z \langle \delta\omega, X \wedge Y \rangle \\ &= \sum \big( i_X i_Y \delta i_Z + \theta_Z i_X i_Y - \theta_X i_Y i_Z + \theta_Y i_X i_Z \big) . (\delta\omega) \end{align*} calcul très corrigé : plusieurs termes y sont biffés et récrits, qu'on ne relève pas un à un ; on donne l'état final des lignes. Sous la dernière, \delta i_Z est entouré

[On a utilisé \boxed{\theta_X = i_X \delta + \delta i_X} et les formules analogues en Y, Z, qui donnent \begin{align*} &\sum i_Y i_X \delta i_Z + i_Z \delta i_Y i_X + \struck{\ill{}}\, \delta i_Z i_Y i_X = i_X \delta i_Y i_Z - \delta i_X i_Y i_Z + i_Y \delta i_X i_Z + \delta i_Y i_X i_Z \\ &\sum i_Y i_X \delta i_Z + \big( i_Z \delta i_Y i_X + i_Y \delta i_X i_Z - i_X \delta i_Y i_Z \big) = 3\, \delta i_X i_Y i_Z \\ &= \struck{9\, \delta i_X i_Y i_Z +} \end{align*} On constate similairement \sum -\theta_X i_Y i_Z + \theta_Y i_X i_Z = -2 \sum \theta_Z i_X i_Y \sum \theta_Z i_X i_Y = -\sum \theta_X i_Y i_Z] tout ce calcul entre crochets est barré de trois longues diagonales

donc on trouve (\text{Jacobi})(\omega) = T(\delta\omega), \quad \text{avec} \quad T = \sum i_X i_Y \delta i_Z - \theta_Z i_X i_Y \;\struck{= \ill{}} (\theta_Z = i_Z \delta )

Utilisons \boxed{\theta_X = i_X \delta + \delta i_X} (en degrés quelconques), cf plus bas

il vient alors, on déduit T = \sum i_X i_Y \delta i_Z - i_Z \delta i_X i_Y \;\struck{\ill{}} ou T(\delta\omega) = \sum [\, i_{X \wedge Y}, \theta_Z \,](\delta\omega) pourquoi est-ce nul ??

On a donc une \mathcal{O}-Algèbre de Lie sur X_0, i.e. un Anneau de Lie sur \mathfrak{g} sur \mathcal{O}_{X_0} X_0, muni d'un homom. d'Anneaux de Lie \theta : X \mapsto \theta_X dans \mathfrak{g}_{X_0/\mathbb{Z}}, et d'une structure de \mathcal{O}_X-Module rendant \theta \mathcal{O}_{X_0}-linéaire et satisfaisant la formule [X, fY] = \struck{\ill{}}\, f[X,Y] + \theta_X(f)\,Y.

4. Complexe des Cochaînes associé à une \mathcal{O}-algèbre de Lie \mathfrak{g}

Cf. une note Bourbaki ; on pose (supposant ) C^p = \underline{\mathrm{Hom}}(\overset{p}{\Lambda}\mathfrak{g}, \mathcal{O}_{X_0}) et on y définit une différentielle par une formule connue ….

Lorsque \mathfrak{g} provient d'un complexe de De Rham (\overset{*}{\Lambda}\Omega, \delta), alors l'homom. d'alg. graduées évident \overset{*}{\Lambda}\Omega \to C^{*}(\mathfrak{g}) est compatible avec les structures différentielles.

5.

Les \mathcal{O}-Algèbres loc. libres de t.f. \mathfrak{g} sur X_0 correspondent exactement aux complexes de De Rham sur X_0 construits sur des \Omega loc. libres de t.f., par les correspondances de 3° et 4°.

6.

Revenons au cas d'une catégorie formelle sur X_0, définie par A = (A_\alpha) sur X_0 …, et le complexe de De Rham associé (\Omega^* = \overset{*}{\Lambda}\Omega, \delta).

Th. de Quillen lorsque X_0 est car. nulle. Le foncteur A \mapsto (\Omega^*, \delta) induit une équivalence entre la catégorie des catégories formelles I-adiques sur X_0 dont le \Omega est plat, et la catégorie des Algèbres complexes de De Rham (\overset{*}{\Lambda}\Omega, \delta) sur X_0 dont le \Omega est plat. [Les A en question sont ceux pour lesquels \mathrm{Sym}\,\Omega \to \mathrm{Gr}(A) est un isomorphisme, ce qui signifie : une propriété de « lissité différentielle ».]

Ceci contient le th. de Cartan sur les groupes formels en car. nulle.

Il y a une variante « à puiss. divisées », quand A = (A_n)_{n \in \mathbb{N}} est muni sur l'idéal d'augmentation d'une structure d'algèbre de puiss. divisées, qui passe au quotient sur les A_n, et chaque I_n étant nilpotent d'ordre n, et la filtration étant celle provenant des puiss. divisées. [À vrai dire, dans cet énoncé il faut toujours des relations entre la structure de puiss. divisées et l'application \Delta …]

7. Coefficients

sur catégorie formelle Soit M un \mathcal{O}_{X_0}-module. La notion de « donnée de descente » sur M relativement à \mathcal{C} [ou « \mathcal{C}-stratification », ou « opération de \mathcal{C} sur M »] est claire. On constate alors qu'une telle structure permet de mettre sur \overset{*}{\Lambda}\Omega \otimes_{\mathcal{O}_{X_0}} M un opérateur différentiel \delta_M, tel que (*)\qquad \delta_M(fx) = \delta(f)\,x \;\struck{\ill{}}\; + (-1)^{\deg f} f\,\delta_M(x) . [Il suffit d'avoir une donnée de recollement d'ordre 1] Un tel opérateur est connu quand on connaît M \xrightarrow{\ \delta^1_M\ } \Omega \otimes M satisfaisant (*) pour f \in \Gamma\mathcal{O}_{X_0} (donc \deg f = 0) sur \overset{*}{\Lambda}\Omega \otimes M cf plus bas. La fait que l'opérateur soit de carré nul provient de la condition de descente [il suffit qu'elle soit vraie : l'ordre 2 …??]. le crochet ouvert après « La » et l'ajout interlinéaire « soit de » se lisent mal ; la phrase dit en substance que \delta_M^2 = 0 résulte de la condition de descente, avec la question de savoir si l'ordre 2 suffit

8. Coefficients relatifs à une algèbre de De Rham

Plus généralement, si (\overset{*}{\Lambda}\Omega, \delta) est une alg. de De Rham sur X_0, on peut regarder les modules M avec une connexion relativement à elle, i.e. un morphisme M \xrightarrow{\ \delta_M\ } \Omega \otimes M satisfaisant \delta_M(fx) = \delta(f) \otimes x + f\,\delta_M(x) .

On peut alors de façon unique prolonger en une dérivation opération \delta_M sur \overset{*}{\Lambda}\Omega \otimes M, satisfaisant \delta_M(\omega x) = \delta(\omega)\, x + \omega\,(\delta_M x) \qquad \big(\omega \in \Gamma\overset{*}{\Lambda}\Omega,; x \in \Gamma\,\overset{*}{\Lambda}\Omega \otimes M\big) le signe (-1)^{\deg\omega} attendu devant le second terme manque sur la page

Pour qu'on ait \delta_M\delta_M = 0, il faut et il suffit que ce soit en degré 0, i.e. que le composé M \xrightarrow{\ \delta^0_M\ } \Omega \otimes M \xrightarrow{\ \delta^1_M\ } \overset{2}{\Lambda}\Omega \otimes M soit nul. Ce composé s'appelle la tenseur courbure.

La donnée de la connexion \delta^0_M permet de faire opérer \mathfrak{g} = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_X}(\Omega, \mathcal{O}_X) dans M, grâce à \theta^M_X(x) = (X \otimes \mathrm{id}_M)(\delta^0_M(x)) On a alors \begin{cases} a)\quad \theta^M_X(fx) = \theta_X(f)\,x + f\,\theta^M_X(x) \\ b)\quad \theta^M_{fX}(x) = f\,\theta^M_X(x) \end{cases} D'autre part, si la connexion est sans courbure intégrable, alors il est vrai que c)\quad \theta^M_{[X,Y]} = [\theta^M_X, \theta^M_Y] .

9. d'une Opérations d'une \mathcal{O}-alg. de Lie

Soit \mathfrak{g} une \mathcal{O}-Algèbre de Lie sur X_0, M un \mathcal{O}_{X_0}-Module. On dit que M a une \mathfrak{g}-connexion si on fait « opérer » \mathfrak{g} sur M de façon à satisfaire a) et b) plus haut. On définit alors un tenseur courbure K \in C^2(\mathfrak{g}, \underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{O}_{X_0}}(M)) en posant K(X,Y) = \theta^M_{[X,Y]} - [\theta^M_X, \theta^M_Y] Le tenseur courbure est donc nul ssi on a \theta^M_{[X,Y]} = [\theta^M_X, \theta^M_Y] , alors la connexion est dite intégrable. Si \mathfrak{g} provient de \Omega (\mathfrak{g} = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_{X_0}}(\Omega, \mathcal{O}_{X_0})), et M provient muni d'une \Omega-connexion \delta^0_M, d'où un tenseur courbure M \longrightarrow \overset{2}{\Lambda}\Omega \otimes M \longrightarrow C^2(\mathfrak{g}, M) j'aimerais ; le composé est noté K', et K(X,Y)(u) = K'(u)(X,X) . Attention signe ! la page écrit K'(u)(X,X) ; on attend (X,Y)

10.

Si (\overset{*}{\Lambda}\Omega, \delta) est défini, avec \Omega loc. libre de t.f. (\Longleftrightarrow \mathfrak{g} \mathcal{O}-alg. de Lie avec \mathfrak{g} loc. libre de t.f.) alors pour un Module M sur X_0,

les deux notions de connexion se correspondent biunivoquement, de même que les deux notions de tenseur courbure, de connexion intégrable …, et idem sur les complexes \overset{*}{\Lambda}\Omega \otimes M \quad \text{et} \quad C^{*}(\mathfrak{g}, M) .

11.

Sous les conditions du th. de Quillen, (X_0 de car. nulle, (\overset{*}{\Lambda}\Omega, \delta) avec \Omega plat \Longleftrightarrow correspondant à une catégorie formelle \mathcal{C} avec \Omega plat), pour un Module M sur \mathcal{O}_{X_0}, les structures de \mathcal{C}-descente sur M correspondent aux \Omega-connexions sur M. De plus, la cohomologie de De Rham de M, i.e. \mathbb{H}^{*}(X, \overset{*}{\Lambda}\Omega \otimes M), est canoniquement isomorphe à la coh. de Hochschild (ou Čech-Alexander) de \mathcal{C} à coeff. dans M, plus précisément il y a un canonique quasi-isom. de complexes de faisceaux (dans la catégorie dérivée) \overset{*}{\Lambda}\Omega \otimes M \simeq C^{*}(\mathcal{C}, M) Relier au th. fondamental du dévissage des cristaux …. Peut-il y avoir ce raisonnement dans un topos convenable ?! la note de marge, écrite en oblique en regard des lignes sur la cohomologie de Hochschild, est lue sur une vue redressée ; la dernière ligne en est incertaine

Variante à puissances divisées.

notes du 10.9.68 à partir d'ici et jusqu'au bas de la page 40, une copie du tapuscrit « Tapis de Quillen » dont les pages 2 à 10 du dossier donnent déjà le texte (tapuscrit, p. 1 à 9), reprise ici à l'encre bleue ; le texte tapé est le même, les interventions à l'encre ne le sont pas toutes. Comme pour les pages 41 et suivantes de cette même copie, le texte tapé, y compris les mots frappés dans l'interligne, est donné en clair ; les ajouts à l'encre sont donnés comme ajouts, les mots tapés biffés à la main comme ratures, les notes à l'encre détachées du texte à part ; les frappes surchargées et les x de la machine ne sont pas relevés. Les soulignements tapés sont en italique. Les exposants frappés de C_0, C_1, X_{ij} sont récrits en indices à la main, et l'on suit la correction

I Relations entre catégories et ensembles semi-simpliciaux.

A toute catégorie C, on associe un ensemble semi-simplicial S(C), trouvant ainsi un foncteur pleinement fidèle S : (\mathrm{Cat}) \longrightarrow (\mathrm{Ssimpl}) . Les systêmes locaux d'ensemble sur SC correspondent aux fancteurs sur C qui transforment toute flêche en isomorphisme (i.e. qui se factorisent par le groupoïde associé à C). Les H^i sur SC d'un tel systême local (H^0 pour ens, H^1 pour groupes, H^i quelconques pour groupes abéliens) s'interprètent en termes des foncteurs \varprojlim^{(i)} dérivés de \varprojlim, ou si on préfère, des H^i (du topos C. On voit ainsi à quelle condition un foncteur C \to C' induit un homotopisme SC \to SC' : en vertu du critère cohomologique de Artin-Mazur, il f et s que pour tout systême de coéfficients F' sur C', l'homomorphisme naturel \varprojlim^{(i)}_{C'} F' \to \varprojlim^{(i)}_{C} F soit un isomorphisme (pour les i pour lesquels cela a un sens).

A C on peut associer le topos \widetilde{C}, qui varie de façon covariante avec C. (NB le foncteur C \mapsto \widetilde{C} n'a plus rien de pleinement fidèle, semble-t-il ??) Les systêmes de coéfficients ensemblistes sur C (déf = les foncteurs C^{\circ} \to \mathrm{Ens} transformant isomorphismes en isomorphismes) correspondent aux faisceaux localement constants, i.e. les objets localement constants de \widetilde{C}, définis intrinsèquement en termes de \widetilde{C}. Ainsi, le fait pour un foncteur F : C \to C' d'induire un homotopisme S(C) \to S(C') ne dépend que du morphisme de topos \widetilde{F} : \widetilde{C} \to \widetilde{C}' induit, et signifie que pour tout faisceau localement constant F' sur C' i.e. sur \widetilde{C}', les applications induites H^i(\widetilde{C}', F') \to H^i(\widetilde{C}, \widetilde{F}^*(F')) sont des isomorphismes (pour les i pour lesquels cela a un sens). la parenthèse ouverte avant « du topos C » n'est pas refermée sur la page ; « il f et s » (il faut et il suffit) est tel quel

On a aussi un foncteur évident T : (\mathrm{Ssimpl}) \longrightarrow (\mathrm{Cat}) , en associant à tout ensemble semi-simplicial X la catégorie T(X) = \Delta_{/X} des simplexes sur X, dont l'ensemble des objets est la réunion disjointe des X_n …. (c'est une catégorie fibrée sur la catégorie \Delta des simplexes types, à fibres les catégories discrètes définies par les X_n). Ceci posé, Quillen prouve que pour tout X, ST(X) est isomorphe canoniquement à X dans la catégorie homotopique construite avec (\mathrm{Ssimpl}), et que pour toute C, la catégorie TS(C) est canoniquement « homotopiquement équivalente à C » i.e. canoniquement isomorphe à C dans la catégorie quotient de (\mathrm{Cat}) obtenue en inversant les foncteurs qui sont des homotopismes. Ces isomorphismes sont fonctoriels en X. Il en résulte formellement qu'un morphisme f : X \to Y dans (\mathrm{Ssimpl}) est un homotopisme si et seulement si il en est ainsi de T(f) : T(X) \to T(Y), d'où des foncteurs S' : (\mathrm{Cat})' \to (\mathrm{Ssimpl})' et T' : (\mathrm{Ssimpl})' \to (\mathrm{Cat})' entre les catégories « homotopiques » construites avec (\mathrm{Cat}) resp. (\mathrm{Ssimpl}), qui sont quasi-inverses l'un de l'autre.

De plus, Quillen construit un isomorphisme canonique et fonctoriel dans (\mathrm{Cat})' entre C et la catégorie opposée C^{\circ}, ou ce qui revient au même, un isomorphisme canonique et fonctoriel dans (\mathrm{Ssimpl})' entre S(C) et S(C^{\circ}). La définition est telle que le foncteur induit sur les systèmes locaux sur C transforme le foncteur contravariant F sur C, transformant toute flèche en flèche inversible, en le foncteur covariant (i.e. contravariant sur C^{\circ}) ayant mêmes valeurs sur les objets, et obtenu sur les flèches en remplaçant F(u) par F(u)^{-1} ; en d'autres termes, l'effet de l'homotopisme de Quillen sur les groupoïdes fondamentaux est l'isomorphisme évident entre les groupoïdes fondamentaux de C et de C^{\circ}, compte tenu que le deuxième est l'opposé du

premier. Comme application, Quillen obtient une interprétation faisceautique de la cohomologie d'un ensemble semi-simplicial à coéfficients dans un système local covariant F (défini classiquement par le complexe cosimplicial des C^n(F) = \coprod_{x \in X_n} F(x)) : on considère le système local contravariant défini par F, on l'interprète comme un faisceau sur T(X) i.e. objet de (\mathrm{Ssimpl})_{/X}, et on prend sa cohomologie. — Cependant, quand F est un système de coéfficients covariant pas nécessairement local, on n'a tjrs pas d'interprétation de ses groupes de cohomologie classiques en termes faisceautiques ; ni, lorsque F est contravariant, de son homologie, ou inversement de sa cohomologie faisceautique en termes classiques. \prod ? le \coprod de C^n(F) est entouré à l'encre, et la marge en regard demande \prod ?

A propos de la notion de foncteur qui est un homotopisme. Quillen montre qu'un tel foncteur F : C \to C' induit une équivalence entre la sous-catégorie triangulée D^b_{\mathrm{lc}}(C') de la catégorie dérivée bornée de celle des faisceaux abéliens sur C', dont les faisceaux de cohomologie sont des systèmes locaux, et la catégorie analogue pour C ; et réciproquement. On peut dans cet énoncé introduire aussi n'importe quel anneau de base (à condition de le supposer \neq 0 dans le cas de la réciproque) ; la partie directe vaut aussi avec un anneau de coefficients pas néc. constant, mais constant tordu. Je pense que ce résultat (facile) doit pouvoir se généraliser ainsi : Soit f : X \to X' un morphisme de topos qui soit tel que pour tout faisceau loc. const. sur X', f induise un isomorphisme sur les cohomologies (avec cas non commutatif inclus). Supposons que X et X' soit localement homotopiquement trivial, i.e. que pour tout entier n \geq 1, tout objet U de X' ait un recouvrement par des U_i \to U, tels que a) tout système local sur U devient constant sur U_i, et toute section sur U devient constante sur U_i, et b) pour tout groupe abélien G, les H^j(U,G) \to H^j(U_i,G) sont nuls pour 1 \leq j \leq n. Alors le foncteur D^b_{\mathrm{lc}}(X') \to D^b_{\mathrm{lc}}(X) induit par f est Attention, cette condition n'est typiquement pas satisfaite par les schémas avec leur topologie étale (mais bien par variétés loc. noeth. avec top. Zariski). la note de marge est renvoyée par un signe au bas de la page, en regard de la définition « localement homotopiquement trivial », que deux traits verticaux signalent dans la marge gauche

une équivalence). Même énoncé si on met dans le coup un système local d'anneaux sur X'. Enfin, f induit une équivalence entre la catégorie des coefficients locaux sur C et celle des coéff. locaux sur C'. Principe de démonstration : on commence par prouver ce dernier résultat, en notant que si un topos est localement hom. trivial, il est loc. connexe et loc. simplement connexe, d'où une bonne théorie du \pi_0 et du \pi_1 (qui sont ici discrets), et on est ramené à un cas particulier du critère d'homotopisme de Artin et Mazur, savoir un critère cohomologique pour qu'un homomorhisme de groupes G \to H (ici des groupes \pi_1 de X, X') soit un isomorphisme : il doit induire des isomorphismes sur les H^0 et H^1 (y inclus dans le cas non commutatif…). On prouve la pleine fidélité en se ramenant par la suite spectrale aux cas des \mathrm{Ext}^i de coéfficients locaux. Par la suite spectrale encore, cela résultera du fait suivant : si X est localement hom. trivial, alors la catégorie des faisceaux abéliens loc. constants est stable par \underline{\mathrm{Ext}}^i, et le foncteur M \mapsto M_X de (\mathrm{Ab}) dans X_{\mathrm{ab}} commute aux dits \mathrm{Ext}^i. En fait, X et X' étant loc hom triviaux, les conditions suivantes sur f seront équivalentes : le début de la page achève la phrase de la page 34 ; les mots qui précèdent « une équivalence » y ont été biffés à la machine (« pleinement fidèle (resp. ») et ceux de la troisième ligne surchargés, de sorte que la lecture « induit une équivalence » est la plus probable, non la seule. Les \pi sont repassés à l'encre

a)f est un homotopisme, i.e. induit pour tout système local (pas néc commutatif) sur X' un isomorphisme sur les H^i. b)f induit une équivalence D^b_{\mathrm{lc}}(X') \to D^b_{\mathrm{lc}}(X). a')f induit une équivalence entre la catégorie des systèmes locaux abéliens sur X' et X, et des isomorphismes sur les H^i correspondants (donc on ne prend ici que des coéfficients commutatifs).

? J'ignore si on peut dans a) se borner aux systèmes locaux commutatifs. L'équivalence entre a) et b) fournit une première justification ou motivation pour définir des types d'homotopie via la catégorie D^b_{\mathrm{lc}}(X),

éventuellement muni de la sous-catégorie pleine de tous les systèmes locaux sur X, et du foncteur cohomologique sur D^b_{\mathrm{lc}}(X) à valeurs dans ladite catégorie, et bien sûr du produit tensoriel (mais alors on sort de D^b pour entrer dans D^-, redactor demerdetur).

II n-catégories, catégories n-uples, et (Gr)-catégories.

Appelons bi-catégorie une catégorie dans (\mathrm{Cat}), i.e. un triple (C_0, C_1, p_1, p_2, \pi), où C_0 est une catégorie, p_1, p_2 : C_1 \rightrightarrows C_0 deux foncteurs, \pi : (C_1, p_1) \times_{C_0} (C_1, p_2) \to C_1 un foncteur, avec les axiomes habituels. Interprétant (\mathrm{Cat}) comme la sous-catégorie pleine de (\mathrm{Ssimpl}) des objets qui …., et de même pour les catégories à valeurs dans une catégorie telle (\mathrm{Cat}), on trouve que la catégorie (\mathrm{Bicat}) des (\mathrm{Cat})-catégories est équivalente à la sous-catégorie pleine de la catégorie des ensembles bi-semisimpliciaux \begin{array}{cccc} X_{00} & X_{01} & \cdots & X_{0n} \\ X_{10} & X_{11} & \cdots & X_{1n} \\ \cdots & & & \end{array} formée des objets qui ligne par ligne et colonne par colonne satisfont la condition d'exctitude familière (transformer sommes amalgamées en produits fibrés). De même la catégorie (\mathrm{Tricat}) des (\mathrm{Bicat})-catégories s'interprète en termes d'objets tri-semisimpliciaux, etc.

Exemple : soit C une catégorie, posons C_0 = C, C_1 = \underline{\mathrm{Fl}}(C), avec structures p_1, p_2, évidentes (d'où une (\mathrm{Cat})-catétorie dont les composantes semi-simpliciales supérieures sont les catégories \underline{\mathrm{Fl}}^n(C) des n-flêches de C …). L'ensemble bi-semisimplicial correspondant a pour composantes les ensembles \mathrm{Hom}(\Delta^n \times \Delta^m, C). Par exemple, les objets de X_{11} sont les carrés commutatifs de flêches de C, qu'on peut interpréter (de deux manières différentes) comme

morphismes de flêches.

Notons une symétrie évidente dans la catégorie (\mathrm{Bicat}), interprétée en termes d'ensemble bi-semisimpliciaux, obtenue en échangeant les lignes et les colonnes dans de tels ensembles bi… Un ensemble bisemisimplicial qui … peut donc de deux façons différentes être considéré comme définissant une bicatégorie. De même le groupe symétrique \mathrm{Sym}_n opère sur la catégorie (n\text{-upcat}) des catégories n-uples ….

Une 2-catégorie peut être définie comme constituée par un ensemble C_0 (l'ensemble des objets), qu'on interprètera comme une catégorie discrète, plus la donnée pour tout x, y \in C_0 d'une catégorie \underline{\mathrm{Hom}}(x,y), plus des foncteurs composition entre celles-ci … Prenant la catégorie somme C_1 des \underline{\mathrm{Hom}}(x,y), On peut exprimer la donnée de ces foncteurs de composition, et des sources et buts x, y dans les catégories \underline{\mathrm{Hom}}(x,y), comme définis par des foncteurs « source » et « but » C_1 \to C_0, et un foncteur de composition C_1 \times_{C_0} C_1 \to C_1, les axiomes des 2-catégories correspondant exactement aux axiomes des (\mathrm{Cat})-catégories. De cette façon, la catégorie des 2-catégories est équivalente à la catégorie des (\mathrm{Cat})-catégories qui ont une « catégorie d'objets » qui est discrète, ou encore à la catégorie des Bicatégories qui, interprétées comme ensembles bi-semisimpliciaux, ont comme première ligne un ensemble semisimplicial discret (i.e. un foncteur constant sur \Delta). Il parait qu'on a une interprétation simple dans le même esprit de la notion de n-catégorie en termes d'ensembles n-semi-simpliciaux.

Demander à Quillen relations entre la notion de m-Catégorie dans la catégorie (n\text{-Cat}), et celle de ensemble (m{+}n)-semisimplicial. le paragraphe est signalé par un double trait dans la marge gauche ; la ligne qui le suit, biffée à la machine, n'est pas relevée

L'interprétation standard semisimpliciale permet d'interpréter

Attention : la catégorie \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{grab}}, qui s'identifie à la catégorie définie par un R\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(C_x, C'_x), ce point devant être élucidé ! note encadrée en tête de page, à l'encre, précédée d'un signe de renvoi dont on n'a pas retrouvé l'appel sur la page. C_x, C'_x ne sont pas définis ici

de même les (\mathrm{Cat})-groupes (ou groupes à valeurs dans (\mathrm{Cat})) comme étant les groupes semisimpliciaux qui « sont » des catégories i.e. qui satsifont la condition d'exactitude familière, permettant d'en déterminer tous les composants à l'aide de C_0 et C_1. Appliquant le tapis de Dold, dans le cas commutatif, on trouve que les (\mathrm{Cat})-groupes abéliens forment une catégorie équivalente à celle des complexes de chaines de groupes abéliens qui sont de longueur 1 : 0 \longleftarrow C_0 \longleftarrow C_1 \longleftarrow 0 . Quand on explicite la (\mathrm{Cat})-groupe abélien associé à un tel complexe de chaines, on trouve « ma » construction chérie de la « catégorie de Picard » associée au complexe : objets ceux de C_0, flêches de x dans y les z dans C_1 tels que dz = y - x. On trouve donc à isomorphisme près tous les groupes abéliens de (\mathrm{Cat}) ainsi. Un complément important est que toute catégorie de Picard (resp. et commutative) est équivalente (au sens technique qu'on ne précise pas ici) à un vrai (\mathrm{Cat})-groupe (resp. (\mathrm{Cat})-groupe commutatif). Quand on simplifie mod « Grab »-équivalence, cela correspond à travailler dans la catégorie dérivée des complexes, seuls invariants sont H_0, H_1 (ou \pi_0, \pi_1). Mais si on part d'une « cat. de Picard commut. », elle ne se réalise que par un (\mathrm{Cat})-g. non commut. la marge gauche porte, en regard de ces lignes, un premier bloc de cinq lignes obliques barré de traits verticaux et resté illisible (« Qualifier mais cela contredit les résultats »), puis la note conservée, lue sur une vue redressée. Les deux parenthèses biffées du texte dactylographié, qui étendaient l'énoncé au cas commutatif, le sont à l'encre ; la note de marge dit pourquoi

On notera qu'on a une classification beaucoup plus restreinte que pour les H-espaces (resp. les H-espaces homotopiquement comm.) mod équivalence d'homotopie, de façon précise entre les groupes resp. les groupes abéliens de la catégorie homotopique. La raison en est qu'on est beaucoup plus restrictif dans le contexte catégorique pour le sens de l'associativité (resp. et de la commutativité), puisqu'on ne demande pas seulement l'existence d'isomorphismes d'associativité (qui suffirait pour avoir un groupe dans la catégorie homotopique (\mathrm{Cat})' \simeq (\mathrm{Ssimpl})', modulo l'existence d'unités et d'inverse) mais qu'on suppose donnés ces isomorphismes, de façon à satisfaire à certaines compatibilités : c'est ce qui permet, me semble-t-il, de prouver qu'à équivalence près, on peut supposer qu'il s'agit de vrais groupes dans (\mathrm{Cat}), resp. de vraie commutativité.

On doit trouver une approximation meilleure d'un cran à la classification topologique en prenant des (2\text{-Cat})-groupes resp. des (2\text{-Cat})-groupes abéliens, ou plus généralement des « Gr-2-catégories » resp. « Grab-2-catégories ». (NB Une Grab-catégorie définit une Grab-2catégorie comme une catégorie définit une 2-catégorie ; du point de vue semi-simplicial, cette opération serait analogue à celle de « cosquélette tronqué » ; Mais également une Grab-2-catégorie définie en Grab-catégorie, savoir la catégorie des automorphismes de l'objet unité ; cette opération serait analogue à celle de « tuage des groupes d'homotopie en dim > 1 »). Pour la notion grossière (Gr ou Grab) l'idée de ma lettre à Verdier était qu'on doit trouver la même chose que les tronqués au cran 2, dans la catégorie homotopique des H-espaces — i.e. ce qu'on déduit des H-espaces par tuage des groupes d'homotopie en dimensions > 2. les deux signes > frappés sont repassés à l'encre, le trait de plume prolongeant leur branche inférieure ; ce n'est pas un \geq (même lecture à la photocopie, p. 9, et au dossier 111). Le premier chiffre, « 1 », est lui aussi retouché

(Demander à Quillen relations exactes entre objets-groupes et objets connexes de la catégorie homotopique ponctuée : forment-ils des catégories équivalentes par le foncteur espace des lacets ?). non, on a un foncteur pl. fidèle (?) mais pas ess. surjectif …. « ponctuée » est tapé en interligne et mis en place, après « homotopique », par un trait à l'encre. Le paragraphe est signalé par un double trait vertical dans la marge ; la réponse de la marge, lue sur une vue redressée, est d'une autre encre

Pour les vrais groupes abéliens de (2\text{-Cat}), l'approche de Quillen consiste à les identifier d'abord à des groupes abéliens de la catégorie (\mathrm{Bicat}), donc à des groupes abéliens bi-semisimpliciaux particuliers (conditions sur chaque ligne et chaque colonne). Appliquant la version bi-semisimpliciale du tapis de Dold, on trouve que la catégorie de ces objets est équivalente à la catégorie des bicomplexes de chaines de groupes abéliens qui sont nuls en dehors du carré 0 \leq i, j \leq 1. La colonne que la première ligne correspond à un groupe semisimplicial trivial signifie alors qu'elle n'a que le terme de degré zéro, i.e. que le bicomplexe est réduit à \begin{array}{ccccc} C_{00} & \longleftarrow & 0 & \longleftarrow & 0 \\ \uparrow & & \uparrow & & \\ C_{10} & \longleftarrow & C_{11} & \longleftarrow & 0 \end{array} « La colonne que la première ligne correspond » est tel quel ; les flèches du diagramme sont en partie tracées ou repassées à l'encre

Ces bicomplexes s'identifient aux complexes de chaines de longueur 2. Donc la catégorie de (2\text{-Cat})-groupes abéliens est équivelente à celle des complexes de chaines de longueur 2. L'explicitation de la 2-catégorie associée à un tel complexe de chaines est mon interprétation chérie. Il faudrait encore expliciter 2-Grab-catégorie des homomorphismes (en un sens à préciser) entre deux telles 2-Grab-catégories strictes, en termes d'un complexe R\mathrm{Hom}.

L'idée qui se dégage de cette approche, et que Quillen on espère va expliciter, c'est que la notions de groupe abélien dans (n\text{-Cat}) correspond à celle de complexe de chaines de longueur n, en raisonnant soit mod. isomorphisme de part et d'autre, soit mod. une notion naturelle de n-équivalence d'un côté, et dans la catégorie dérivée de l'autre. Ceci doit pouvoir se préciser en utilisant des \mathrm{Hom}^{\bullet} resp. des R\mathrm{Hom}^{\bullet}.

Si maintenant C est une catégorie avec un « produit tensoriel » associatif (et éventuellement unitaire), i.e. un bifoncteur avec des isomorphismes d'associativité (mais sans inverse …), on peut lui associer sans doute une Gr-catégorie universelle (tout comme à un monoïde on associe un groupe symmétrisé), d'où des invariants, qu'on pourra désigner par K_0(C) et K_1(C). On suppose qu'on pourra de même trouver, pour tout n, une Gr-n-catégorie universelle où envoyer C de façon compatible avec \otimes (tout cela dans un sens à préciser), dont les invariants \pi_n seraient par définition les K_n(C). Un cas intéressant est celui où C est une catégorie avec produits finis (par exemple une catégorie additive) et \otimes est le produit. [Mais on notera que dans le cas d'une catégorie non seulement additive mais abélienne, il y a une notion plus adéquate du K_0, qui devrait correspondre à une notion plus adéquate de la suite des K_i, inspirée du tapis de Roos ; sans doute c'est en termes de (« vraie ») catégories triangulées le tapuscrit s'arrête ici au bas de la page 40, au milieu de la phrase, que la page 41 achève ; le crochet ouvert avant « Mais », tracé sur une parenthèse tapée, n'est pas refermé ici