Fonds Grothendieck, cote n° 162-5, pages 1–20

Le Tapis de Quillen

Ces mots, avec au-dessous « notes d'Alexandre (1968) », sont écrits au crayon sur la chemise (page 1), qui ne porte rien d'autre ; la main n'est pas sûrement la sienne. Suit un tapuscrit paginé 1 à 16 en tête de page, que l'archiviste numérote 2 à 17 : la page N du tapuscrit est la page N+1 ci-dessous. Le texte parle à la première personne (« mon interprétation chérie », « le rôle universel que j'ai envisagé plus haut ») et rapporte ce que Quillen lui a exposé ; il est annoté à la main.

notes du 10.9.68

Tapis de Quillen.

I Relations entre catégories et ensembles semi-simpliciaux.

A toute catégorie C, on associe un ensemble semi-simplicial S(C), trouvant ainsi un foncteur pleinement fidèle S\,;\ (\mathrm{Cat}) \longrightarrow (\mathrm{Ssimpl}) \quad . Les systèmes locaux d'ensemble sur SC correspondent aux foncteurs sur C qui transforment toute flèche en isomorphisme (i.e. qui se factorisent par le groupoïde associé à C). Les H^{i} sur SC d'un tel système local (H^{0} pour ens, H^{1} pour groupes, H^{i} quelconques pour groupes abéliens) s'interprètent en termes des foncteurs \varprojlim^{(i)} dérivés de \varprojlim, ou si on préfère, des H^{i}( du topos C ). On voit ainsi à quelle condition un foncteur C \to C' induit un homotopisme SC \to SC' : en vertu du critère cohomologique de Artin-Mazur, il faut et suffit que pour tout système de coéfficients F' sur C', l'homomorphisme naturel \varprojlim^{(i)}_{C'} F' \to \varprojlim^{(i)}_{C} F soit un isomorphisme (pour les i pour lesquels cela a un sens).

A C on peut associer le topos \widetilde{C}, qui varie de façon covariante avec C (NB le foncteur C \mapsto \widetilde{C} n'a plus rien de pleinement fidèle, semble-t-il ??) Les systèmes de coéfficients ensemblistes sur C ( = les foncteurs C^{\circ} \to \mathrm{Ens} transformant isomorphismes en isomorphismes) correspondent aux faisceaux localement constants i.e. les objets localement constants de \widetilde{C}, définis intrinsèquement en termes de \widetilde{C}. Ainsi, le fait pour un foncteur F : C \to C' d'induire un homotopisme S(C) \to S(C') ne dépend que du morphisme de topos \widetilde{F} : \widetilde{C} \to \widetilde{C}' induit, et signifie que pour tout faisceau localement constant F' sur C' i.e. sur \widetilde{C}', les applications induites H^{i}(\widetilde{C}', F') \to H^{i}(\widetilde{C}, \widetilde{F}^{*}(F')) sont des isomorphismes (pour les i pour lesquels cela a un sens). Le second membre de la flèche \varprojlim^{(i)}_{C'} F' \to \varprojlim^{(i)}_{C} F est tapé F et non l'image inverse de F' ; on le laisse tel quel.

On a aussi un foncteur évident T : (\mathrm{Ssimpl}) \longrightarrow (\mathrm{Cat}) , en associant à tout ensemble semi-simplicial X la catégorie T(X) = \Delta_{/X} des simplexes sur X, dont l'ensemble des objets est la réunion disjointe des X_{n} … (c'est une catégorie fibrée sur la catégorie \Delta des simplexes types, à fibres les catégories discrètes définies par les X_{n}). Ceci posé Quillen prouve que pour tout X, ST(X) est isomorphe canoniquement à X dans la catégorie homotopique construite avec (\mathrm{Ssimpl}), et que pour toute C, la catégorie TS(C) est canoniquement « homotopiquement équivalente à C » i.e canoniquement isomorphe à C dans la catégorie quotient de (\mathrm{Cat}) obtenue en inversant les foncteurs qui sont des homotopismes. Ces isomorphismes sont fonctoriels en X. Il en résulte formellement qu'un morphisme f : X \to Y dans (\mathrm{Ssimpl}) est un homotopisme si et seulement si il en est ainsi de T(f) : T(X) \to T(Y), d'où des foncteurs S' : (\mathrm{Cat})' \to (\mathrm{Ssimpl})' et T' : (\mathrm{Ssimpl})' \to (\mathrm{Cat})' entre les catégories « homotopiques », construites avec (\mathrm{Cat}) resp. (\mathrm{Ssimpl}), qui sont quasi-inverses l'un de l'autre.

De plus, Quillen construit un isomorphisme canonique et fonctoriel dans (\mathrm{Cat})' entre C et la catégorie opposée C^{\circ}, ou ce qui revient au même, un isomorphisme canonique et fonctoriel dans (\mathrm{Ssimpl})' entre S(C) et S(C^{\circ}). La définition est telle que le foncteur induit sur les systèmes locaux sur C transforme le foncteur contravariant F sur C, transformant toute flèche en flèche inversible, en le foncteur covariant (i.e. contravariant sur C^{\circ}) ayant mêmes valeurs sur les objets, et obtenu sur les flèches en remplaçant F(u) par F(u)^{-1} ; en d'autres termes, l'effet de l'homotopisme de Quillen sur les groupoïdes fondamentaux est l'isomorphisme évident entre les groupoïdes fondamentaux de C et de C^{\circ}, compte tenu que le deuxième est l'opposé du

premier. Comme application, Quillen obtient une interprétation faisceautique de la cohomologie d'un ensemble semi-simplicial à coéfficients dans un système local covariant F (défini classiquement par le complexe cosimplicial des C^{n}(F) = \coprod_{x \in X_{n}} F(x)) : on considère le système local contravariant défini par F, on l'interprète comme un faisceau sur T(X) i.e. objet de (\mathrm{Ssimpl})_{/X}, et on prend sa cohomologie. \prod ? en marge de gauche, à hauteur de C^{n}(F) = \coprod F(x) : la marge demande un produit à la place du signe tapé \coprod. « covariant » est ce qui reste d'une frappe « contravariant » dont la machine a biffé la syllabe « tra ». — Cependant, quand F est un système de coéfficients covariant pas nécessairement local, on n'a tjrs pas d'interprétation de ses groupes de cohomologie classiques en termes faisceautiques ; ni, lorsque F est contravariant, de son homologie, ou inversement de sa cohomologie faisceautique en termes classiques. Si ! en marge de gauche, au milieu d'une accolade qui embrasse toute la phrase « Cependant, quand F … en termes classiques » ; cette réponse est propre à cette copie, l'exemplaire annoté à l'encre (p. 34) ne la porte pas.

A propos de la notion de foncteur qui est un homotopisme. Quillen montre qu'un tel foncteur F : C \to C' induit une équivalence entre la sous catégorie triangulée D^{b}_{\mathrm{lc}}(C') de la catégorie dérivée bornée de celle des faisceaux abéliens sur C', dont les faisceaux de cohomologie sont des systèmes locaux, et la catégorie analogue pour C ; et réciproquement. On peut dans cet énoncé introduire aussi n'importe quel anneau de base (à condition de le supposer \neq 0 dans le cas de la réciproque) ; la partie directe vaut aussi avec un anneau de coefficients pas néc. constant, mais constant tordu. Je pense que ce résultat (facile) doit pouvoir se généraliser ainsi.

Soit f : X \to X' un morphisme de topos qui soit tel que pour tout faisceau loc. const. sur X', f induise un isomorphisme sur les cohomologies (avec cas non commutatif inclus). Supposons que X et X' soit localement homotopiquement trivial, i.e. que pour tout entier n \geq 1, tout objet U X' ait un recouvrement par des U_{i} \to U, tels que a) tout système local sur U devient constant sur U_{i}, et toute section sur U devient constante sur U_{i} et b) pour tout groupe abélien G, les H^{j}(U, G) \to H^{j}(U_{i}, G) sont nuls pour 1 \leq j \leq n. Alors le foncteur D^{b}_{\mathrm{lc}}(X') \to D^{b}_{\mathrm{lc}}(X) induit par f est la définition, de « Supposons que » à « 1 \leq j \leq n », est tenue en marge par un double trait vertical et un renvoi à la note qui suit, écrite à la main au bas de la page ; le bord droit du tapuscrit est rogné, d'où les fins de mots restituées. « X et X' » est écrit à la main au-dessus d'un mot tapé qu'il biffe ; après « tout objet U », la fin de ligne est rognée, et la ligne suivante s'ouvre sur un X' biffé à la main. Attention, cette condition n'est typiquement pas satisfaite par les schémas avec leur topologie étale (mais bien par variétés loc. noeth. avec top. Zariski).

une équivalence). Même énoncé si on met dans le coup un système local d'anneaux sur X'. Enfin, f induit une équivalence entre la catégorie des coéfficients locaux sur C et celle des coéff. locaux sur C'. la dactylographie a d'abord écrit « est pleinement fidèle (resp. une équivalence) » puis effacé à la frappe « pleinement fidèle (resp. », de même qu'à la ligne suivante « isomorphisme » et « foncteur pleinement fidèle (resp. une équivalence) » se recouvrent ; on donne ce qui reste lisible. Les lettres C, C' de cette phrase sont tapées ainsi, là où le contexte attend X, X'. Deux lignes entières sont ensuite effacées à la frappe. Principe de démonstration : on commence par prouver ce dernier résultat, en notant que si un topos est localement hom. trivial, il est loc. connexe et loc. simplement connexe, d'où une bonne théorie du \pi_{0} et du \pi_{1} (qui sont ici discrets), et on est ramené à un cas particulier du critère d'homotopisme de Artin et Mazur, savoir un critère cohomologique pour qu'un homomorphisme de groupes G \to H (ici des groupes \pi_{1} de X, X') soit un isomorphisme : il doit induire des isomorphismes sur les H^{0} et H^{1} (y inclus dans le cas non commutatif…). On prouve la pleine fidélité en se ramenant par la suite spectrale aux cas des \mathrm{Ext}^{i} de coéfficients locaux. Par la suite spectrale encore, cela résultera du fait suivant : si X est localement hom. trivial, alors la catégorie des faisceaux abéliens loc. constants est stable par \underline{\mathrm{Ext}}^{i}, et le foncteur M \mapsto M_{X} (Ab) dans X_{\mathrm{ab}} commute aux dits \mathrm{Ext}^{i}.

En fait, X et X' étant loc. hom. triviaux, les conditions suivantes sur f seront équivalentes :

a)f est un homotopisme, i.e. induit pour tout système local (pas néc commutatif) sur X' un isomorphisme sur les H^{i}. b)f induit une équivalence D^{b}_{\mathrm{lc}}(X') \to D^{b}_{\mathrm{lc}}(X) . a')f induit une équivalence entre la catégorie des systèmes locaux abéliens sur X' et X, et des isomorphismes sur les H^{i} correspondants (donc on ne prend ici que des coéfficients commutatifs).

? J'ignore si on peut dans a) se borner aux systèmes locaux commutatifs. L'équivalence entre a) et b) fournit une première justification ou motivation pour définir des types d'homotopie via la catégorie D^{b}_{\mathrm{lc}}(X), le « b » et le « lc » du dernier D^{b}_{\mathrm{lc}}(X) sont écrits à la main, en fin de ligne.

éventuellement muni de la sous-catégorie pleine de tous les systèmes locaux sur X, et du foncteur cohomologique sur D^{b}_{\mathrm{lc}}(X) à valeurs dans ladite catégorie, et bien sûr du produit tensoriel (mais alors on sort de D^{b} pour entrer dans D^{-} , redactor demerdetur).

II n-catégories, catégories n-uples, et (Gr)-catégories.

Appelons bi-catégorie une catégorie dans (\mathrm{Cat}), i.e. un triple (C_{0}, C_{1}, p_{1}, p_{2}, \pi), où C^{\circ} est une catégorie, p_{1}, p_{2} : C_{1} \rightrightarrows C_{0} deux foncteurs, \pi : (C_{1}, p_{1}) \times_{C^{\circ}} (C_{1}, p_{2}) \to C_{1} un foncteur, avec les axiomes habituels. les indices des C_{i} et, plus bas, des X_{ij} ont été tapés en exposant ; il les biffe un à un à la main et les récrit en indice. On donne partout sa correction ; les deux « C^{\circ} » qu'il n'a pas touchés sont laissés tels qu'ils sont tapés. Interprétant (\mathrm{Cat}) comme la sous-catégorie pleine de (\mathrm{Ssimpl}) des objets qui … , et de même pour les catégories à valeurs dans une catégorie telle (\mathrm{Cat}), on trouve que la catégorie (\mathrm{Bicat}) des (\mathrm{Cat})-catégories est équivalente à la sous-catégorie pleine de la catégorie des ensembles bi-semisimpliciaux \begin{array}{cccc} X_{00} & X_{01} & \cdots & X_{0n} \\ X_{10} & X_{11} & \cdots & X_{1n} \\ \cdots & & & \end{array} formée des objets qui ligne par ligne et colonne par colonne satisfont la condition d'exactitude familière (transformer sommes amalgamées en produits fibrés). De même la catégorie (\mathrm{Tricat}) des (\mathrm{Bicat})-catégories s'interprète en termes d'objets tri-semi-simpliciaux, etc.

Exemple : soit C une catégorie, posons C_{0} = C, C_{1} = \underline{\mathrm{Fl}}(C), avec structures p_{1}, p_{2}, évidentes (d'où une (\mathrm{Cat})-catégorie dont les composantes semi-simpliciales supérieures sont les catégories \underline{\mathrm{Fl}}^{n}(C) des n-flèches de C …) L'ensemble bi-semisimplicial correspondant a pour composantes les ensembles \mathrm{Hom}(\Delta^{n} \times \Delta^{m}, C). Par exemple, les objets de X_{11} sont les carrés commutatifs de flèches de C, qu'on peut interpréter (de deux manières différentes) comme

morphismes de flêches.

Notons une symmétrie évidente dans la catégorie (\mathrm{Bicat}), interprétée en termes d'ensembles bi-semisimpliciaux, obtenue en échangeant les lignes et les colonnes dans de tels ensembles bi… Un ensemble bisemisimplicial qui … peut donc de deux façons différentes être considéré comme définissant une bicatégorie. De même le groupe symétrique \mathrm{Sym}_{n} opère sur la catégorie (n\text{-upcat}) des catégories n-uples ..

Une 2-catégorie peut être définie comme constituée par un ensemble C_{0} (l'ensemble des objets ), qu'on interprètera comme une catégorie discrète, plus la donnée pour tout x, y \in C_{0} d'une catégorie \underline{\mathrm{Hom}}(x, y), plus des foncteurs composition entre celles-ci … Prenant la catégorie somme C des \underline{\mathrm{Hom}}(x, y), On peut exprimer la donnée de ces foncteurs de composition et des sources et buts x, y des catégories \underline{\mathrm{Hom}}(x, y), comme définis par des foncteurs « source » et « but » C_{1} \to C_{0}, et un foncteur de composition C_{1} \times_{C_{0}} C_{1} \to C_{1} , les axiomes des 2-catégories correspondant exactement aux axiomes des (\mathrm{Cat})-catégories. De cette façon, la catégorie des 2-catégories est équivalente à la catégorie des (\mathrm{Cat})-catégories qui ont une « catégorie d'objets » qui est discrète, ou encore à la catégorie des Bicatégories qui, interprétées comme ensembles bi-semisimpliciaux, ont comme première ligne un ensemble semisimplicial discret (i.e. un foncteur constant sur \Delta). Il parait qu'on a une interprétation simple dans le même esprit de la notion de n-catégorie en termes d'ensembles n-semi-simpliciaux. Même correction qu'à la page précédente : les indices de C_{0}, C_{1} tapés en exposant sont récrits à la main en indice.

Demander à Quillen relations entre la notion de m-Catégorie dans la catégorie (n\text{-Cat}), et celle d'ensemble (m+n)-semisimplicial. ce paragraphe est marqué d'un double trait vertical en marge de gauche.

L'interprétation standard semisimpliciale permet d'interpréter

Attention : la catégorie \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{grab}}, qui s'identifie à la catégorie définie par un R\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(C_{x}, C'_{x}), ce point devant être élucidé ! note dans un cadre, en tête de la page, au-dessus du numéro 7 du tapuscrit ; le signe qui l'ouvre la rattache sans doute à la dernière phrase de la page précédente, mais aucun renvoi correspondant n'y est visible. C_{x}, C'_{x} ne sont pas définis ici.

de même les (\mathrm{Cat})-groupes (ou groupes à valeurs dans (\mathrm{Cat})) comme étant les groupes semisimpliciaux qui « sont » des catégories i.e. qui satisfont la condition d'exactitude familière, permettant d'en déterminer tous les composants à l'aide de C_{0} et C_{1} . Appliquant le tapis de Dold, dans le cas commutatif, on trouve que les (\mathrm{Cat})-groupes abéliens forment une catégorie équivalente à celle des complexes de chaines de groupes abéliens qui sont de longueur 1 : 0 \leftarrow C_{0} \leftarrow C_{1} \leftarrow 0 \quad . Quand on explicite la (\mathrm{Cat})-groupe abélien associé à un tel complexe de chaines, on trouve « ma » construction chérie de la « catégorie de Picard » associée au complexe : objets ceux de C_{0}, flêches de x dans y les z dans C_{1} tels que dz = y - x . On trouve donc à isomorphisme près tous les groupes abéliens de (\mathrm{Cat}) ainsi. Un complément important est que toute catégorie de Picard ~~(resp. et commutative)~~ est équivalente (au sens technique qu'on ne précise pas ici) à un vrai (\mathrm{Cat})-groupe ~~(resp. (\mathrm{Cat})-groupe commutatif)~~. Quand on simplifie mod « Grab » équivalence, cela correspond à travailler dans la catégorie dérivée des complexes, seuls invariants sont H_{0}, H_{1} (ou \pi_{0}, \pi_{1}). si on part d'une « cat. de Picard commut. », elle ne se réalise que par un (\mathrm{Cat})-g. non commut. l'insertion, en deux lignes serrées entre les lignes tapées, suit les deux parenthèses biffées qui étendaient l'énoncé au cas commutatif. En regard, dans la marge de gauche, deux blocs écrits en oblique : le premier, barré de traits, ne se lit pas ; le second, pâle et rogné au bord gauche de la photocopie, dit pourquoi les variantes commutatives sont biffées. L'exemplaire annoté à l'encre (p. 38) porte les mêmes notes, plus lisibles. On notera qu'on a une classification beaucoup plus restreinte que pour les H-espaces (resp. les H-espaces homotopiquement comm.) modulo équivalence d'homotopie, de façon précise entre les groupes resp. les groupes abéliens de la catégorie homotopique. La raison en est qu'on est beaucoup plus restrictif dans le contexte catégorique pour le sens de l'associativité (resp. et de la commutativité), puisqu'on ne demande pas seulement l'existence d'isomorphismes d'associativité (qui suffirait pour avoir un groupe dans la catégorie homotopique (\mathrm{Cat})' \simeq (\mathrm{Ssimpl})', modulo l'existence d'unités et d'inverses) mais qu'on suppose donnés ces isomorphismes, de façon à satisfaire à certaines compatibilités : c'est ce qui permet, me semble-t-il, de prouver qu'à équivalence près, on peut supposer qu'il s'agit de vrais groupes dans (\mathrm{Cat}), ~~resp. de vraie commutativité.~~ « la catégorie homotopique » est tapé en interligne et mis en place par un trait à la main ; une accolade et un trait en marge de gauche tiennent les deux dernières lignes, dont la fin est biffée à la main.

On doit trouver une approximation meilleure d'un cran à la classification topologique en prenant des (2\text{-Cat})-groupes resp. des (2\text{-Cat})-groupes abéliens, ou plus généralement des « Gr-2-catégories » resp. « Grab-2-catégories » . (NB Une Grab-catégorie définit une Grab-2catégorie comme une catégorie définit une 2-catégorie ; du point de vue semi-simplicial, cette opération serait analogue à celle de « cosquélette tronqué » ; Mais également une Grab-2-catégorie définit une Grab-catégorie, savoir la catégorie des automorphismes de l'objet unité ; cette opération serait analogue à celle de « tuage des groupes d'homotopie en dim > 1 »). Pour la notion groissière (Gr ou Grab) l'idée de ma lettre à Verdier était qu'on doit trouver la même chose que les tronqués au cran 2, dans la catégorie homotopique des H-espaces — i.e. ce qu'on déduit des H-espaces par tuage des groupes d'homotopie en dimensions > 2 . la frappe porte « définie en Grab-catégorie » ; « définit une » est la correction écrite au-dessus, propre à cette copie (l'exemplaire annoté à l'encre, p. 39, ne la porte pas). Les signes > sont repassés à la main sur une frappe surchargée, comme sur l'exemplaire à l'encre.

(Demander à Quillen relations exactes entre objets-groupes et objets connexes de la catégorie homotopique ponctuée : forment-ils des catégories équivalentes par le foncteur espace des lacets ?). non, on a un foncteur pl. fidèle (?) mais pas essentiellement surjectif … le paragraphe est tenu en marge par un double trait vertical ; la réponse est écrite en oblique dans la marge de gauche.

Pour les vrais groupes abéliens de (2\text{-Cat}), l'approche de Quillen consiste à les identifier d'abord à des groupes abéliens de la catégorie (\mathrm{Bicat}), donc à des groupes abéliens bi-semisimpliciaux particuliers (conditions sur chaque ligne et chaque colonne). Appliquant la version bi-semisimpliciale du tapis de Dold, on trouve que la catégorie de ces objets est équivalente à la catégorie des bicomplexes de chaines de groupes abéliens qui sont nuls en dehors du carré 0 \leq i, j \leq 1. La ~~colonne~~ cond. que la première ligne corresponde à un groupe semisimplicial trivial signifie alors qu'elle n'a que le terme de degré zéro, i.e. que le bicomplexe est réduit à

\begin{tikzcd} C_{00} & 0 \arrow[l] & 0 \arrow[l] \\ C_{10} \arrow[u] & C_{11} \arrow[l] \arrow[u] & 0 \arrow[l] \end{tikzcd}

le diagramme est complété à la main : les deux flèches verticales et les « 0 » de droite sont manuscrits. « cond. », au-dessus de « colonne » biffé, est propre à cette copie : l'exemplaire à l'encre (p. 39) garde « La colonne » tel quel.

Ces bicomplexes s'identifient aux complexes de chaines de longueur 2. Donc la catégorie de (2\text{-Cat})-groupes abéliens est équivalente à celle des complexes de chaines de longueur 2. L'explicitation de la 2-catégorie associée à un tel complexe de chaines est mon interprétation chérie. Il faudrait encore expliciter la 2-Grab-catégorie des homomorphismes (en un sens à préciser) entre deux telles 2-Grab-catégories strictes, en termes d'un complexe R\mathrm{Hom}.

L'idée qui se dégage de cette approche, et que Quillen on espère va expliciter, c'est que la notion de groupe abélien dans (n\text{-Cat}) correspond à celle de complexe de chaines de longueur n, en raisonnant soit mod. isomorphisme de part et d'autre, soit mod. une notion naturelle de n-équivalence d'un côté, et dans la catégorie dérivée de l'autre. Ceci doit pouvoir se préciser en utilisant des \mathrm{Hom}^{\bullet} resp. des R\mathrm{Hom}^{\bullet}.

Si maintenant C est une catégorie avec un « produit tensoriel » associatif (et éventuellement unitaire), i.e. un bifoncteur avec des isomorphismes d'associativité (mais sans inverse …), on peut lui associer sans doute une Gr-catégorie universelle (tout comme à un monoïde on associe le groupe symmétrisé), d'où des invariants, qu'on pourra désigner par K_{0}(C) et K_{1}(C). On suppose qu'on pourra de même trouver, pour tout n, une Gr-n-catégorie universelle où envoyer C de façon compatible avec \otimes (tout cela dans un sens à préciser), dont les invariants \pi_{n} seraient par définition les K_{n}(C). Un cas intéressant est celui où C est une catégorie avec produits finis (par exemple une catégorie additive) et \otimes est le produit, [Mais on notera que dans le cas d'une catégorie non seulement additive mais abélienne, il y a une notion plus adéquate du K_{0} , qui devrait correspondre à une notion plus adéquate de la suite des K_{i} , inspirée du tapis de Roos ; sans doute c'est en termes de (« vraie ») catégories triangulées le signe du produit tensoriel est obtenu à la machine en surchargeant un O ; on le rend par \otimes. Le crochet ouvert avant « Mais » est tracé à la main sur une parenthèse tapée ; il n'est pas refermé.

qu'il conviendra de poser les définitions adéquates). — Peut-être Quillen a-t-il une définition semi-simpliciale plus directe, sans passer par des n-catégories, des K_{i} et plus précisément du H-espace qui devrait correspondre à C. Ce n'est certainement pas en général l'ensemble semi-simplicial SC associé à C, puisque dans le cas d'une catégorie additive, C est homotopiquement trivial (en effet le foncteur identique est « homotope » au foncteur nul, puisqu'il suffit d'avoir un homomorphisme d'un foncteur dans l'autre ; d'où une équivalence d'homotopie entre C et la catégorie nulle). Pourtant, il semble bien que dans le cas où C est une Gr-catégorie i.e. admet des inverses, alors ce soit bien la construction « naïve » SC qui est la bonne, puisqu'on trouve bien un \pi_{0} et un \pi_{1} qui sont aussi les \pi_{0} et \pi_{1} au sens catégorie sans Gr-structure. oui en marge de gauche, au droit de la question « Peut-être Quillen a-t-il une définition semi-simpliciale plus directe », tenue par un double trait ; un signe de renvoi, en face de « i.e. admet des inverses », appelle le paragraphe manuscrit qui suit.

À expliquer : pour des Gr-n-catégories, les \pi_{i} au sens semi-simplicial sont aussi les \pi_{i} au sens Gr-n-catégories, savoir les objets à isom. près dans divers \underline{\mathrm{Hom}}(1, 1) … . ~~Il y a aussi une interprétation de l'opération \Omega : des lacets en termes du foncteur d'opération du shift géométrique évidente sur les n-catégories …~~ paragraphe manuscrit, dans le blanc laissé au bas du feuillet tapé, appelé par un signe en marge et tenu par un trait vertical ; sa seconde moitié, à partir de « Il y a aussi », est barrée de traits obliques.

III Point de vue « motivique » en théorie du cobordisme.

Soit C la catégorie des variétés différentiables (compactes ?) (pas nécessairement orientables), les morphismes étant les classes d'homotopie d'applications continues. Si B est une catégorie, on s'intéresse aux couples (F_{\bullet}, F^{\bullet}) d'un foncteur covariant et d'un foncteur contravariant de C dans B, satisfaisant les conditions que pour tout X \in \mathrm{Ob}\, C, on a F_{\bullet}(X) = F^{\bullet}(X), et que si on a un produit fibré ordinaire

\begin{tikzcd} & X' \arrow[dl, "g'"'] \arrow[dr, "f'"] & \\ X \arrow[dr, "f"'] & & Y' \arrow[dl, "g"] \\ & Y & \end{tikzcd}

avec f et g transversaux, alors on a g^{\bullet} f_{\bullet} = f'_{\bullet}\, g'^{\bullet} (on pose f_{\bullet} = F_{\bullet}(f), f^{\bullet} = F^{\bullet}(f)) . La question est de trouver une B et un couple (F_{\bullet}, F^{\bullet}) qui soient « universels » dans un sens évident. Quillen prouve que la construction suivante donne une telle solution. « (compactes ?) », écrit au-dessus de « différentiables », est propre à cette copie : l'exemplaire annoté à l'encre (p. 43) ne le porte pas. « les morphismes étant les classes d'homotopie d'applications continues » et « (on pose …) » sont tapés en interligne et mis en place par un trait à la main. La formule est tapée « g^{\bullet} f_{\bullet} = f!\, g'^{\bullet} » : le « ! » est l'apostrophe et le point frappés l'un sur l'autre, soit f'_{\bullet} ; de même plus bas pour F'_{\bullet}. Même lecture à l'exemplaire annoté (p. 43) et au dossier 111.

Pour toute variété X \in \mathrm{ob}\, C , on définit un anneau commutatif B(X) (l'anneau de bordisme de X) en prenant comme éléments les classes d'éléments de C au dessus de X, pour la relation de cobordisme : f' : X' \to X et f'' : X'' \to X sont équivalents, s'il existe une variété à bord Z, et un f : Z \to X, tel que \text{bord } Z = X' \amalg X'' et f' et f'' sont induits par f. La somme de B(X) est la somme disjointe (c'est une loi de groupe où tout élément est d'ordre 2), le produit est donné par le produit fibré, en utilisant le théorème de transversalité de Thom pour bouger un peu f'', de sorte à le rendre transversal à f'. le chiffre de « d'ordre 2 » est récrit à la main sur une frappe biffée. NB L'anneau est de plus gradué par la dimension relative … Si on a f : X \to Y, on définit f_{\bullet} : B(X) \to B(Y) de façon évidente (toute variété sur X est sur Y), et f^{\bullet} : B(Y) \to B(X) par produit fibré (utilisant encore le th. de transversalité). De cette façon, B(X) devient un foncteur-anneau (gradué) contravariant en X, et un foncteur groupe covariant en

X. De plus, on a la formule (du type g^{\bullet} f_{\bullet} = f'_{\bullet}\, g'^{\bullet} ci-dessus, impliquant la formule) de projection habituelle. Ceci posé, les constructions bien connues en théorie des correspondances permettent de définir une catégorie \underline{B} dont les objets sont ceux de C, et les \mathrm{Hom} étant donnés par \mathrm{Hom}_{\underline{B}}(X, Y) = B(X \times Y) \quad . On a un isomorphisme canonique \underline{B} \simeq \underline{B}^{\circ} , qui est l'identité sur les objets et la symmétrie B(X \times Y) \simeq B(Y \times X) sur les flêches, et un foncteur évident F_{\bullet} : C \to \underline{B} , qui est l'identité sur les objets et donné par les graphes sur les flêches. Composé avec la symmétrie précédente on trouve un foncteur F^{\bullet} : C \to \underline{B}. On vérifie enfin que le couple (F_{\bullet}, F^{\bullet}) satisfait aux conditions envisagées dans l'alinéa 1 (ceci aussi devrait être formalisé au cas des correspondances générales …). On vérifie enfin qu'il a la propriété universelle qu'il faut. Lorsqu'on se donne un couple (F'_{\bullet}, F'^{\bullet}) à valeurs dans une catégorie B', il faut trouver une factorisation par B. Elle est toute trouvée sur les objets, il faut la définir sur les flêches, donc définir, pour X, Y dans C, une application (*) \qquad B(X \times Y) \to \mathrm{Hom}(X', Y') \quad . Mais si Z est au dessus de X \times Y, d'où p : Z \to X et q : Z \to Y, on lui associe un élément du deuxième membre de (*) comme le composé X' \xrightarrow{\;F'^{\bullet}(p)\;} Z' \xrightarrow{\;F'_{\bullet}(q)\;} Y' \quad . Il faut prouver que l'élément obtenu en remplaçant Z (= Z_{0}) par un Z_{1} cobordant au dessus de X est le même. Or si g : T \to X \times Y réalise le cobordisme, on voit (regardant seulement T et la décomposition \mathrm{bord}(T) = Z_{\uncertain{0}} \amalg Z_{1}) qu'il l'indice 0 de Z_{0}, à l'encre sur l'exemplaire annoté (p. 44), n'est qu'une trace sur cette photocopie existe une variété \overline{T} sur S^{1} (obtenue en « doublant » T) transversale au dessus d'un couple de points s_{0}, s_{1} de S^{1}, tels que Z_{i} soit l'image inverse dans \overline{T} de s_{i} (i = 0, 1) ; d'autre part, la parenthèse manuscrite en tête de la page est rattachée par un trait à « la formule ». « (= Z_{0}) », au-dessus de Z, est pâle sur la photocopie ; « est le même », écrit sous « l'élément obtenu », est renvoyé par un trait après « au dessus de X ».

g manifestement se prolonge en \overline{g} : \overline{T} \to X \times Y . Cela nous ramène à prouver que le composé \overline{T}' \xrightarrow{\;\alpha_{i}\;} Z'_{i} \xrightarrow{\;\alpha_{i*}\;} \overline{T}' ne dépend pas de i = 0, 1. Ecrivons X au lieu de \overline{T}', considérons le diagramme cartésien d'inclusions

\begin{tikzcd} X_{s} \arrow[r, "\alpha_{s}"] \arrow[d, "\alpha_{s}"'] & X \arrow[d, "{\Gamma = (p, \mathrm{id}_{X})}"] \\ X \arrow[r, "i_{s}"'] & S^{1} \times X \end{tikzcd}

on a alors \alpha_{s}^{*}\, \alpha_{s*} = \Gamma^{*}\, i_{s*} , qui ne dépend pas de s puisque i_{s} n'en dépend pas à homotopie près. — Le reste est sans doute l'AQT. les étiquettes du composé, les flèches et les \alpha_{s} du carré, l'étiquette \Gamma = (p, \mathrm{id}_{X}) de la flèche de droite et les astérisques de la formule sont portés à la main dans les blancs laissés par la machine ; petits et pâles sur la photocopie, ils se lisent comme sur l'exemplaire annoté à l'encre (p. 45). La première étiquette du composé est \alpha_{i}, sans astérisque visible.

Sur la structure des B_{\bullet}(X). Ce sont tous des algèbres graduées sur B_{\bullet}(\mathrm{pt}) = \Lambda , qui est une algèbre graduée à degrés positifs, réduite à \underline{\mathbb{F}}_{2} en degré 0. C'est d'ailleurs une algèbre de polynômes (à une infinité de générateurs x_{i} (i entier \geq 1, \neq de la forme 2^{\nu} - 1)) connue … l'insertion, appelée par un signe en marge, est écrite en deux lignes sous la ligne tapée ; la seconde, pâle et rognée au bord droit de la photocopie, se lit sur l'exemplaire à l'encre (p. 45).

On a un homomorphisme évident d'anneaux gradués B_{\bullet}(X) \to H^{\bullet}(X), nul en degrés > 0, qui à tout Z sur X associe l'image de 1 \in H^{0}(Z) par l'homomorphisme de Gysin associé à Z \to X. Cet homomorphisme par Thom est surjectif (toute classe de cohomologie provient d'une image de variété compacte …) ; NB H^{*}(X) (= H^{*}(X, \underline{\mathbb{F}}_{2})) en fait H^{\bullet}(X) \simeq B_{\bullet}(X) / \Lambda^{+} B_{\bullet}(X) deux notes superposées dans la marge de gauche : « NB H^{*}(X) … » est propre à cette copie ; « en fait … » est la note de l'exemplaire à l'encre (p. 45). « d'anneaux gradués » est tapé en interligne ; l'exposant de H est une frappe surchargée.

On prouve même qu'il existe un relèvement fonctoriel en X H^{\bullet}(X) \to B_{\bullet}(X), (il est douteux qu'il soit) compatible avec multiplication, tel que l'on ait : la main entoure « compatible avec multiplication » d'une parenthèse et écrit au-dessus « il est douteux qu'il soit » ; un point d'interrogation dans la marge.

a) L'homomorphisme correspondant H^{\bullet}(X) \otimes_{\underline{\mathbb{F}}_{2}} \Lambda \simeq B_{\bullet}(X) est un isomorphisme (ce sera vrai pour tout relèvement individuellement …), et

b) [Quillen ignore si Le relèvement est compatible aussi avec les hom. de Gysin les lettres a) et b) sont biffées à la main ; le crochet ouvert à l'encre devant b) fait de la seconde clause une question, non plus une condition. Le bord droit est rogné : la fin de « et » et le crochet fermant que porte l'exemplaire à l'encre (p. 45) n'y paraissent pas. Un grand point d'interrogation dans la marge, en regard.

Ainsi, la catégorie \underline{B} admet un foncteur pleinement fidèle dans la catégorie des modules gradués libres de type fini sur \Lambda, les modules de type fini qu'on obtient ainsi ayant des générateurs à degrés < 0 satisfaisant (pour X connexe i.e. quand il y a un seul générateur de degré zéro) la dualité de Poincaré. Quand on prend la catégorie quasi abélienne \widetilde{\underline{B}} associée à \underline{B}, on trouve donc tous les modules gradués libres de type fini à générateurs en degrés \leq 0 seulement. C'est une i.e. l'enveloppe « karoubienne » en oblique dans la marge de gauche, en regard de « quasi abélienne » ; cette note est propre à cette copie.

catégorie additive (et même quasi-abélienne) avec \otimes qui a toutes les vertus, sauf d'être abélienne, et sauf d'admettre des \underline{\mathrm{Hom}} internes. quasi-abélienne = karoubienne + additive « additive (et même quasi-abélienne) » est tapé en interligne ; la note qui le commente, écrite au-dessus en tête de la page, est propre à cette copie. Pour trouver ces derniers, on peut si on veut paraphraser la construction de la catégorie des motifs, en considérant l'objet \Lambda(-1) de \widetilde{\underline{B}} conoyau de p^{*} : e \to S, où p : S^{1} \to e est l'application du cercle sur un point. C'est un objet de poids 1 (le poids est défini par le degré des générateurs, changés de signe). On constate aussitôt que le foncteur M \mapsto M(-1) = M \otimes \Lambda(-1) de \widetilde{\underline{B}} dans lui-même est pleinement fidèle ce qui permet alors, par une construction formelle standard, de compléter \widetilde{\underline{B}} en une catégorie où \Lambda(-1) devient inversible. Il se trouve alors que dans cette dernière les \underline{\mathrm{Hom}}(X, Y) internes existent et sont isomorphes à \check{X} \otimes Y, … en fait , on trouve maintenant la catégorie de tous les modules gradués libres de type fini sur \Lambda. Bien sûr, cette catégorie n'est pas encore abélienne pour autant, puisque \Lambda n'est pas un corps ; si on veut définir la catégorie abélienne engendrée, on s'attend à trouver la catégorie des modules de ~~type~~ présentation finie sur \Lambda. (qui est abélienne bien que \Lambda ne soit pas noethérien, car \Lambda est ~~est-il noethérien, i.e. le nombre de générateurs est-il fini ?~~) lim d'anneaux noeth. à homs de transition plats). « si on veut » est tapé en interligne ; « \Lambda(-1) » et les tildes sur \underline{B} sont portés à la main. Trois interventions sont propres à cette copie : « en », écrit au-dessus de « considérant » là où la frappe « en », en fin de ligne, est rognée, et les deux \Lambda de « sur \Lambda » et « puisque \Lambda n'est pas un corps », tracés à la main dans des blancs que la machine avait laissés et que l'exemplaire à l'encre (p. 46) laisse vides. La question tapée sur la noethérianité de \Lambda est biffée et la réponse écrite au-dessus et à la suite, signalée d'un signe en marge.

Cette construction ressemblerait à celle d'une théorie des motifs où on n'aurait pas passé à l'équivalence homologique pour les cycles, mais où on aurait gardé l'équivalence rationelle, — qui est bien trop fine à beaucoup d'égards. Pour trouver un équivalent plus étroit, il convient de reprendre la théorie précédente, on pourrait formuler le même Pb universel que plus haut, mais en prenant l'équivalence homologique (via le graphe) des morphismes de variétés au lieu de l'équivalence homotopique. ~~Mais alors il semble que l'on trouve comme catégorie solution celle dont les objets sont les vari~~

tés, les morphismes toutes les correspondances cohomologiques (en vertu du théorème de Thom rappelé plus haut). On trouve donc un foncteur pleinement fidèle de cette catégorie dans celle des vectoriels gradués positivement de dim. finie sur \underline{\mathbb{F}}_{2} , qui est déjà abélienne, et si on veut rendre comme plus haut \underline{\mathbb{F}}_{2}(-1) inversible, on trouve tous les vectoriels gradués de dim. finie sur \underline{\mathbb{F}}_{2} . C'est un peu trop trivial comme structure, et on peut faire mieux, ces sept lignes, qui achèvent le passage biffé au bas de la page précédente, sont barrées à la main de grandes croix ; « co » y est tapé au-dessus de « homologiques ».

Pour trouver une catégorie universelle, on associe à toute X S(X) l'ensemble des sous-variétés de X, modulo équivalence homologique. Donc S(X) \subset H^{\bullet}(X), et on prouve qu'on trouve en fait un sous anneau de H^{\bullet}(X) (grâce à un théorème de Thom qui caractérise S(X) en termes d'opérations de Steenrod, cf plus bas). On prouve de même (par le même théorème) que les S(X \times Y) sont stables par composition des correspondances cohomologiques (cela ne semble pas trivial, puisque les S(X) ne sont pas stables par Gysin…). D'où une catégorie additive dont les objets sont ceux de C, les flêches sont les él. des S(X \times Y). Il semble qu'elle doive jouer le rôle universel que j'ai envisagé plus haut. En tous cas, sa définition géométrique est fort simple. Nous allons en donner une interprétation algébrique. Pour ceci, considérons l'anneau des opérations cohomologiques « stables » ~~des endomorphismes du foncteur X \mapsto H^{\bullet}(X) qui sont additifs, et qui en degré zéro se réduisent à un multiple de l'identité~~. C'est un anneau gradué, avec application diagonale anticommutative i.e. commutative (car. 2 !), associative et unitaire. Son dual gradué est une algèbre graduée anticommutative donc commutative, avec application diagonale associative et unitaire ; il est réduit à \underline{\mathbb{F}}_{2} en degré zéro. Donc il correspond à un schéma en groupes affine G sur \underline{\mathbb{F}}_{2} , qui est d'ailleurs le foncteur des \otimes-automorphismes additifs du foncteur H^{\bullet} sur C qui opèrent trivialement sur H^{1}(S^{1}). « S(X) », après « à toute X », est tapé en interligne et mis en place par un trait, la frappe « S(X) » après « sous-variétés » étant biffée à la machine. « él. des », au-dessus de « S(X \times Y) », est propre à cette copie : l'exemplaire à l'encre (p. 47) ne le porte pas. « stables » remplace à la machine un mot biffé ; la définition tapée qui suit est biffée et repassée à la main d'un trait sinueux, avec un signe en marge. « i.e. commutative (car. 2 !) », « graduée anticommutative donc » et « additifs » sont tapés en interligne et mis en place par des traits à la main. La phrase est achevée à la main au bas de la page ; l'exposant de H(S^{1}) est récrit et se lit 1 sans certitude.

Le théorème de Thom est alors qu'un x \in H^{\bullet}(X) est dans S(X) sss il est fixe par G, i.e. satisfait A^{+} . x = 0. (Pourquoi cette condition est-elle déjà nécessaire ?) Une autre façon de le voir est de dire que le foncteur H^{\bullet} considéré comme allant de la catégorie \underline{S} précédente dans la catégorie des représentations de G dans des vectoriels sur \underline{\mathbb{F}}_{2} , est pleinement fidèle. Quand on prend l'enveloppe pseudo-abélienne, on trouve une sous-catégorie pleine de la catégorie des représentations de G, mais il est douteux qu'on trouve une catégorie abélienne, voire la catégorie de toutes les représentations de G de dimension finie sur \underline{\mathbb{F}}_{2} . (Quelle est la structure de G, qui est prolisse ; d'après Quillen, il serait pro-unipotent …). Ici G bien sûr joue le rôle d'un groupe de Galois motivique, mais contrairement à la situation familière, il semble qu'il soit fortement non réductif (et d'ailleurs le corps de définition dans tout ceci est \underline{\mathbb{F}}_{2} , et non \underline{\mathbb{Q}} ! ). « fixe » est tapé en interligne au-dessus d'un mot biffé à la machine. oui, car son anneau affine est une algèbre de polynômes à une infinité d'indéterminées, réunion d'algèbres de polynômes à finis stables par \Delta bloc de lignes courtes écrites en oblique dans la marge de gauche, en regard de « d'après Quillen, il serait pro-unipotent » et des lignes qui suivent, et relié au texte par un trait ; pâle et rogné au bord gauche de la photocopie, il se lit sur l'exemplaire à l'encre (p. 48), dont la fin reste incertaine elle aussi.

Quillent donne une généralisation de la construction d'une catégorie universelle \underline{B} au cas où on travaille avec des variétés pas nécessairement propres (mais f_{\bullet} n'étant supposé défini que pour f propre), et quand on introduit une condition d'orientation stable sur les morphismes envisagés , via un morphisme H \to BO(\infty), où H est un H-espace (commutatif, associatif et unitaire ?) : une orientation de f : X \to Y sera un relèvement homotopique de X \to BO, défini par T_{X} - f^{\bullet}(T_{Y}) , en X \to H les éléments de H(X, Y) seront définis par des diagrammes de morphismes orientés Z \to X, Z \to Y, le deuxième étant propre, modulo bords de tels. En tant qu'ensemble, il se définit aussi en termes de la variété X \times Y munie simplement de la famille des supports formée des ensembles fermés propres sur Y … . la frappe porte « Quillent » ; le « t » est barré à la main sur cette copie seulement. « stable » est tapé en interligne.

Les B^{H}_{m}(X) (X compact disons) peuvent se décrire homotopiquement à la Thom, comme les groupes d'homotopie stables d'espaces \underline{\mathrm{Hom}}(X, MH(N - m)) —–. à la main, à la suite du texte tapé, au pied de la page.

cf exposé Karoubi à Bourbaki ! au bas de la page, soulignée ; cette note est propre à cette copie.