Cote n° 162-5 · pages 1–68 · Lecture modernisée · Tapis de Quillen : tapuscrit et copies de tapuscrits (1968, s.d.), notes manuscrites (1968), tiré à part (1968) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1968-[à partir de 1970] — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–68

Le fil du dossier, et les conventions

Les pièces, dans l'ordre des archivistes.

1. Page 1, la chemise : « Le Tapis de Quillen / notes d'Alexandre (1968) », au crayon, d'une main qui n'est probablement pas la sienne.
2. Pages 2 à 17 : une photocopie noire du tapuscrit « Tapis de Quillen » (ses pages 1 à 16), datée « notes du 10.9.68 ». Nous l'appelons la photocopie.
3. Page 19 : une liste dactylographiée, « Publications of Daniel Quillen », sans annotation. Les pages 18 et 20 sont blanches.
4. Pages 21 à 30 : dix feuillets manuscrits à l'encre bleue, intitulés « tapis Quillen (Notes du 6.9.68) » et numérotés par paragraphes de 1 à 11. La page 31 est blanche.
5. Pages 32 à 41 et 43 à 48 : l'original dactylographié du même tapuscrit, annoté à l'encre bleue. Nous l'appelons l'exemplaire annoté. La page 42 est blanche.
6. Pages 50 à 55 : le tiré à part de D. Quillen, « On the Representation of Hermitian Forms as Sums of Squares », Inventiones math. 5 (1968). Les pages 49 et 56 sont blanches.
7. Pages 57 à 68 : un tapuscrit anglais de Quillen reproduit à l'alcool, « On a conjecture of Adams », ses pages 1 à 12. Les pages 58, 61 et 65 y portent des interventions étrangères à la reproduction ; aucune n'est identifiée comme de sa main.

Les deux exemplaires du tapuscrit. La photocopie a été tirée sur l'exemplaire annoté après que l'encre y eut été portée. Elle en reproduit donc la couche manuscrite, puis elle a reçu quelques notes qui lui sont propres. Le texte suivi ici, pour le tapuscrit comme pour ses annotations, est celui de l'exemplaire annoté. Les notes propres à la photocopie sont signalées en note au point où elles portent, et rassemblées dans une section à part. Le dossier 111 du fonds contient une troisième copie du même tapuscrit.

Deux textes sans intersection. Les notes du 6 septembre et le tapuscrit du 10 portent le même titre, mais le tapuscrit ne reprend rien des notes. Il n'y est question ni de catégories formelles, ni de complexes de De Rham, ni, en particulier, de la comparaison entre cohomologie de De Rham et cohomologie de Hochschild par laquelle les notes se terminent (page 30). Ce sont deux conversations, ou deux moments d'une conversation, sur des sujets distincts. On les lit ici dans l'ordre des dates.

Qui écrit. Le tapuscrit parle à la première personne : « ma lettre à Verdier », « “ma” construction chérie de la “catégorie de Picard” », « mon interprétation chérie », « le rôle universel que j'ai envisagé plus haut ». Il rapporte ce que « Quillen prouve » et note ce qu'il faudra « demander à Quillen ». Nous n'attribuons pas l'encre qui annote les deux exemplaires. La transcription de l'exemplaire annoté donne à sa main la date « notes du 10.9.68 » et la réécriture de quelques indices ; elle ne se prononce pas sur le reste. Les notes du 6 septembre sont de sa main selon la transcription.

Notations, valables pour tout le document ; chaque écart avec la page est signalé en note.

• Notes du 6 septembre. \(X_0\) est un schéma et \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{X_0}\). On note \(\mathcal{C}\) une catégorie formelle sur \(X_0\), \(A\) son pro-anneau, \(I\) l'idéal d'augmentation, \(\Omega = I/I^{2}\) le conormal et \(\Lambda^{\bullet}\Omega\) l'algèbre extérieure sur \(\mathcal{O}\). La différentielle d'un complexe de De Rham est notée \(\delta\) ; la page écrit \(d\) quand elle vient de \(\mathcal{C}\). On pose \(\mathfrak{g} = \mathcal{H}\mathrm{om}_{\mathcal{O}}(\Omega, \mathcal{O})\), on note \(\theta\) son ancre et \(i_X\) la contraction par \(X\). L'accouplement est \(\langle a \wedge b, X \wedge Y\rangle = a(X)b(Y) - a(Y)b(X)\), par déterminants en degré 3. Pour un module \(M\), une connexion est notée \(\nabla : M \to \Omega \otimes M\).
• Tapuscrit. \(N(C)\) désigne le nerf (la page : \(S(C)\)), et \(C^{\circ}\) la catégorie opposée. \(\mathrm{Ho}(\mathrm{Cat})\) et \(\mathrm{Ho}(\mathrm{sSet})\) désignent les catégories homotopiques (la page : \((\mathrm{Cat})'\), \((\mathrm{Ssimpl})'\)), et \(\widehat{C}\) le topos des préfaisceaux sur \(C\) (la page : \(\widetilde{C}\)). Dans la troisième partie, \(\mathcal{V}\) est la catégorie des variétés (la page : \(C\)), et \(H^{\bullet}(X) = H^{*}(X; \mathbb{F}_2)\).

Ce que le dossier annonce sans l'établir. La variante à puissances divisées du théorème de Quillen est annoncée deux fois (pages 26 et 30) et jamais écrite. Plusieurs questions restent ouvertes : si une catégorie formelle est automatiquement un groupoïde (page 21), et si l'ordre 2 suffit dans la condition de descente (page 27). Le tapuscrit laisse ouverte la généralisation aux topos « localement homotopiquement triviaux » (pages 34 et 35). Il pose sans les établir la description des \(n\)-catégories par des ensembles \(n\)-simpliciaux (page 37) et celle des homomorphismes entre catégories de Picard (pages 38 et 40). Il ne fait qu'espérer la correspondance entre groupes abéliens de \((n\text{-Cat})\) et complexes de longueur \(n\) (page 40), et la définition des \(K_n\) (page 40). Il suppose sans la démontrer l'universalité de la catégorie \(\mathbf{S}\) (page 47), et ne dit pas la structure du groupe \(G\) (page 48).

21–30

Les notes du 6 septembre 1968 : catégories formelles et complexes de De Rham (pages 21 à 30)

21–22

1. Catégories formelles (pages 21 et 22)

Soit \(X_0\) un schéma. Une catégorie formelle \(\mathcal{C}\) sur \(X_0\) est un objet catégorie dans les schémas formels, c'est-à-dire dans un certain type d'ind-schémas. Son schéma d'objets est \(X_0\) lui-même, et son schéma de flèches \(X_1\) est un voisinage infinitésimal de \(X_0\), plongé par les flèches identiques.¹ Algébriquement, c'est la donnée des objets suivants :

• un pro-anneau \(A = (A_\alpha)\) sur \(X_0\), qualifié d'« admissible » ;
• une augmentation \(\varepsilon : A \to \mathcal{O}\), dont l'idéal \(I\) est un idéal de définition ;
• deux structures de \(\mathcal{O}\)-algèbre, à gauche et à droite, qui correspondent à la source et au but ;
• une comultiplication \(\Delta : A \to A \otimes_{\mathcal{O}} A\), le produit tensoriel étant pris entre la structure droite du premier facteur et la structure gauche du second.

On demande que \(\Delta\) soit coassociative et que l'augmentation soit une counité à gauche et à droite. On dirait aujourd'hui un groupoïde formel, ou une algèbre de Hopf complète au-dessus de \(\mathcal{O}\) (un « algébroïde de Hopf »), mais sans antipode. La page demande si l'antipode existe nécessairement, c'est-à-dire si une catégorie formelle est automatiquement un groupoïde formel.²

On pose \(\Omega_{\mathcal{C}} = I/I^{2}\), le faisceau conormal de \(X_0\) dans \(X_1\). C'est a priori un pro-faisceau quasi-cohérent sur \(X_0\), et un module quasi-cohérent ordinaire lorsque \(A\) est \(I\)-adique. Sur \(\Lambda^{\bullet}\Omega_{\mathcal{C}}\) on définit une différentielle d'anneau gradué \(\delta = d_{\mathcal{C}}\), dont la composante de degré 0 est \[ \delta f = t^{*}f - s^{*}f \mod I^{2}, \] où \(s, t : X_1 \to X_0\) sont la source et le but (la page écrit \(\mathrm{pr}_1\), \(\mathrm{pr}_2\)). La construction en degrés supérieurs est renvoyée « plus bas » ; elle est ce que le paragraphe suivant rend abstrait.

Opérateurs différentiels. Regardons \(A_\alpha\) comme \(\mathcal{O}\)-module par la structure gauche. L'application \(f \mapsto t^{*}f\) de \(\mathcal{O}\) dans \(A_\alpha\) est alors un opérateur différentiel, d'ordre \(n\) si \(I_\alpha^{n+1} = 0\). Les sections de \(\mathcal{D}^{\mathcal{C}}_\alpha = \mathcal{H}\mathrm{om}_{\mathcal{O}}(A_\alpha, \mathcal{O})\) opèrent donc sur \(\mathcal{O}\) par opérateurs différentiels. La réunion \(\mathcal{D}^{\mathcal{C}} = \varinjlim_\alpha \mathcal{D}^{\mathcal{C}}_\alpha\) est un faisceau d'anneaux associatifs et unitaires, dont le produit est dual de \(\Delta\). Elle s'envoie dans le faisceau des opérateurs différentiels de Grothendieck \(\mathcal{D}_{X_0/\mathbb{Z}}\). Le cas universel est celui où \(\mathcal{C}\) est le complété formel de la diagonale de \(X_0 \times_{\mathbb{Z}} X_0\). Les \(A_\alpha\) y sont alors les faisceaux de parties principales, et \(\mathcal{D}^{\mathcal{C}}\) est \(\mathcal{D}_{X_0/\mathbb{Z}}\) lui-même.³ En particulier, le module \[ \mathfrak{g}^{\mathcal{C}} = \mathcal{H}\mathrm{om}_{\mathcal{O}}(\Omega_{\mathcal{C}}, \mathcal{O}) = \varinjlim_\alpha \mathcal{H}\mathrm{om}_{\mathcal{O}}(\Omega_{\mathcal{C}_\alpha}, \mathcal{O}) \] opère sur \(\mathcal{O}\) par dérivations. C'est le module des « champs de vecteurs » de \(\mathcal{C}\). On le retrouvera au paragraphe 3 à partir du seul complexe de De Rham.

22–23

2. Complexes de De Rham abstraits (pages 22 et 23)

Soit \(\Omega\) un \(\mathcal{O}\)-module quasi-cohérent. Un complexe de De Rham sur \(\Omega\) est une différentielle d'anneau gradué \(\delta\) sur \(\Lambda^{\bullet}\Omega\). C'est une antidérivation de degré \(+1\), \(\delta(ab) = \delta a \cdot b + (-1)^{|a|} a \cdot \delta b\), de carré nul.⁴ Autrement dit, c'est une structure d'algèbre différentielle graduée commutative sur \(\Lambda^{\bullet}\Omega\), compatible à la graduation.

Remarque 1, rectifiée. Une telle \(\delta\) est déterminée par ses deux premières composantes. La première est \(\delta_0 : \mathcal{O} \to \Omega\), une dérivation : \[ \alpha)\quad \delta_0(fg) = \delta_0(f)\,g + f\,\delta_0(g). \] Il revient au même de se donner un morphisme \(u : \Omega^{1}_{X_0/\mathbb{Z}} \to \Omega\), avec \(\delta_0 = u \circ d\). La seconde est \(\delta_1 : \Omega \to \Lambda^{2}\Omega\), soumise aux conditions \[ \beta)\quad \delta_1(f\omega) = \delta_0(f) \wedge \omega + f\,\delta_1(\omega), \qquad \gamma)\quad \delta_1\delta_0 = 0 . \] Inversement, soient \(\delta_0\), \(\delta_1\) vérifiant \(\alpha)\) et \(\beta)\). Ils se prolongent de façon unique en une antidérivation \(\delta\) de \(\Lambda^{\bullet}\Omega\).⁵ Le carré \(\delta^{2}\) est alors une dérivation de degré 2, donc nul si et seulement s'il l'est sur \(\mathcal{O}\) et sur \(\Omega\). Sur \(\mathcal{O}\), c'est la condition \(\gamma)\). Sur \(\Omega\), la condition \(\gamma)\) rend \(\delta^{2}|_{\Omega} : \Omega \to \Lambda^{3}\Omega\) \(\mathcal{O}\)-linéaire, car \(\delta^{2}(f\omega) = \delta^{2}f \wedge \omega + f\,\delta^{2}\omega\). Mais elle ne l'annule pas : c'est une condition de plus, \[ \gamma')\quad \delta_2\,\delta_1 = 0 , \] où \(\delta_2\) est la composante de degré 2 de l'antidérivation prolongée. On verra au paragraphe suivant qu'elle équivaut à l'identité de Jacobi, lorsque \(\Omega\) est localement libre de type fini.⁶

23–25

3. L'algébroïde de Lie d'un complexe de De Rham (pages 23 à 25)

Soit \((\Lambda^{\bullet}\Omega, \delta)\) un complexe de De Rham, et \(\mathfrak{g} = \mathcal{H}\mathrm{om}_{\mathcal{O}}(\Omega, \mathcal{O})\). C'est un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules.⁷ Toute section \(X\) de \(\mathfrak{g}\) définit une dérivation \(\theta_X\) de \(\mathcal{O}\) : \[ \theta_X(f) = \langle \delta f, X \rangle , \qquad \theta_{gX} = g\,\theta_X , \] et la règle de Leibniz pour \(\theta_X\) résulte de \(\alpha)\). Pour \(X, Y\) sections de \(\mathfrak{g}\) sur un ouvert \(U\), on définit \([X,Y] \in \Gamma(U, \mathfrak{g})\) par \[ (*)\qquad \langle \omega, [X,Y] \rangle = -\langle \delta\omega, X \wedge Y \rangle + \theta_X \langle \omega, Y \rangle - \theta_Y \langle \omega, X \rangle , \qquad \omega \in \Gamma(U, \Omega). \] Le second membre est \(\mathcal{O}\)-linéaire en \(\omega\) grâce à \(\alpha)\) et \(\beta)\). Il définit donc bien une section de \(\mathfrak{g}\), qui est \([X,Y]\).⁸

On a alors les formules suivantes.

• (**)\(\theta_{[X,Y]} = [\theta_X, \theta_Y] = \theta_X\theta_Y - \theta_Y\theta_X\). Plus précisément, pour toute fonction \(f\), \[ \theta_{[X,Y]}f - [\theta_X, \theta_Y]f = -\langle \delta\delta f, X \wedge Y\rangle , \] de sorte que \((**)\) résulte de \(\gamma)\). Réciproquement, \(\gamma)\) est nécessaire à \((**)\) si \(\Omega\) est localement libre.
• \([X,X] = 0\), et \([X, fY] = \theta_X(f)\,Y + f\,[X,Y]\), qui résulte de \(\alpha)\).
• Jacobi. Pour toute section \(\omega\) de \(\Omega\), on a l'identité \[ \Big\langle \omega, \sum_{\mathrm{cycl}} [[X,Y],Z] \Big\rangle = \langle \delta\delta\omega, X \wedge Y \wedge Z \rangle - \sum_{\mathrm{cycl}} \langle \delta\delta\langle\omega, Z\rangle, X \wedge Y \rangle . \] L'identité de Jacobi vaut donc dans tout complexe de De Rham, puisque \(\delta^{2} = 0\). Si \(\Omega\) est localement libre de type fini et que \(\gamma)\) est satisfaite, elle équivaut à la condition \(\gamma')\) du paragraphe 2.

L'identité de Jacobi se démontre ainsi. Pour une 2-forme \(\eta\), la règle de Leibniz et \((*)\) donnent la formule de Cartan \[ \delta\eta(X,Y,Z) = \sum_{\mathrm{cycl}} \theta_X\,\eta(Y,Z) - \sum_{\mathrm{cycl}} \eta([X,Y],Z). \] On la vérifie sur les produits \(a \wedge b\), sans faire appel à Jacobi. On l'applique à \(\eta = \delta\omega\), on développe \(\delta\omega(Y,Z)\) par \((*)\), et les termes en \(\theta_X\langle\omega, [Y,Z]\rangle\) se détruisent par permutation circulaire. Il reste l'identité annoncée, où \((**)\) réécrit les termes en \([\theta_X, \theta_Y] - \theta_{[X,Y]}\).⁹

La conclusion de la page 25 se lit alors ainsi. \(\mathfrak{g}\) est une \(\mathcal{O}\)-algèbre de Lie sur \(X_0\) : c'est un faisceau d'anneaux de Lie et un \(\mathcal{O}\)-module. Elle est munie d'un homomorphisme d'anneaux de Lie \(\theta : \mathfrak{g} \to T_{X_0/\mathbb{Z}} = \mathcal{D}\mathrm{er}(\mathcal{O})\), qui est \(\mathcal{O}\)-linéaire, et elle satisfait \([X, fY] = f[X,Y] + \theta_X(f)\,Y\). C'est ce qu'on appelle aujourd'hui un algébroïde de Lie sur \(X_0\), d'ancre \(\theta\), ou, en algèbre, une algèbre de Lie–Rinehart.¹⁰

25–26

4 et 5. Le complexe de Chevalley–Eilenberg, et la correspondance (pages 25 et 26)

Soit \(\mathfrak{g}\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre de Lie. On pose \(C^{p}(\mathfrak{g}) = \mathcal{H}\mathrm{om}_{\mathcal{O}}(\Lambda^{p}_{\mathcal{O}}\mathfrak{g}, \mathcal{O})\), avec la différentielle de Chevalley–Eilenberg : \[ (\delta c)(X_0, \ldots, X_p) = \sum_{i} (-1)^{i}\,\theta_{X_i}\,c(\ldots, \widehat{X_i}, \ldots) + \sum_{i<j} (-1)^{i+j}\,c([X_i, X_j], \ldots, \widehat{X_i}, \ldots, \widehat{X_j}, \ldots). \] En degré 1 elle redonne \((*)\).¹¹ Lorsque \(\mathfrak{g}\) provient d'un complexe de De Rham \((\Lambda^{\bullet}\Omega, \delta)\), l'homomorphisme évident d'algèbres graduées \(\Lambda^{\bullet}\Omega \to C^{\bullet}(\mathfrak{g})\) est compatible aux différentielles. C'est un isomorphisme si \(\Omega\) est localement libre de type fini.

On obtient ainsi une correspondance bijective entre deux classes d'objets : les \(\mathcal{O}\)-algèbres de Lie localement libres de type fini sur \(X_0\), et les complexes de De Rham construits sur des \(\Omega\) localement libres de type fini. On passe de l'une à l'autre par \(\mathfrak{g} \mapsto C^{\bullet}(\mathfrak{g})\) et \(\Omega \mapsto \mathcal{H}\mathrm{om}(\Omega, \mathcal{O})\). Cette correspondance renverse les flèches : un morphisme d'algébroïdes \(\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}'\) donne un morphisme d'algèbres différentielles \(\Lambda^{\bullet}\Omega' \to \Lambda^{\bullet}\Omega\). C'est donc une anti-équivalence.¹²

26–26

6. Le théorème de Quillen (page 26)

Revenons à une catégorie formelle \(\mathcal{C}\), donnée par \(A = (A_\alpha)\), et à son complexe de De Rham \((\Lambda^{\bullet}\Omega, \delta)\).

Théorème (attribué par la page à Quillen). Supposons \(X_0\) de caractéristique nulle, c'est-à-dire au-dessus de \(\mathbb{Q}\). Alors le foncteur \(A \mapsto (\Lambda^{\bullet}\Omega_A, \delta)\) induit une équivalence entre deux catégories :

• celle des catégories formelles \(I\)-adiques sur \(X_0\) dont le \(\Omega\) est plat ;
• celle des complexes de De Rham sur \(X_0\) dont le \(\Omega\) est plat.

Les \(A\) en question sont ceux pour lesquels le morphisme canonique \(\mathrm{Sym}_{\mathcal{O}}\Omega \to \mathrm{gr}_I A\) est un isomorphisme, ce qu'il appelle une propriété de « lissité différentielle ».¹³

Ceci contient, pour \(X_0\) le spectre d'un corps de caractéristique nulle, le théorème que la page attribue à Cartan. Les catégories formelles sur un point sont alors les groupes formels, et les complexes de De Rham de dimension finie sont les complexes de Chevalley–Eilenberg des algèbres de Lie. Le théorème dit donc que les groupes formels de dimension finie équivalent aux algèbres de Lie de dimension finie.¹⁴

Variante à puissances divisées. La page annonce une variante sans hypothèse sur la caractéristique. On y remplace les voisinages infinitésimaux par des enveloppes à puissances divisées : \(A = (A_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est muni sur l'idéal d'augmentation d'une structure de puissances divisées, qui passe aux quotients \(A_n\). On demande que \(I_n\) soit nilpotent d'ordre \(n\) et que la filtration soit celle qui provient des puissances divisées. Elle note qu'il faudrait des relations entre cette structure et \(\Delta\). L'énoncé n'est pas formulé, et le titre « Variante à puissances divisées » qui clôt la page 30 n'est suivi de rien.¹⁵

27–30

7 à 10. Coefficients : descente et connexions (pages 27 à 30)

Données de descente. Soit \(M\) un \(\mathcal{O}\)-module. On a la notion de donnée de descente sur \(M\) relativement à \(\mathcal{C}\), que la page appelle aussi « \(\mathcal{C}\)-stratification » ou « opération de \(\mathcal{C}\) sur \(M\) ». C'est un isomorphisme \(t^{*}M \simeq s^{*}M\) au-dessus de la catégorie formelle, normalisé le long des identités et satisfaisant la condition de cocycle. On dirait aujourd'hui un comodule sur l'algébroïde de Hopf \(A\). Une telle donnée munit \(\Lambda^{\bullet}\Omega \otimes_{\mathcal{O}} M\) d'un opérateur \(\delta_M\) tel que \[ \delta_M(a x) = \delta(a)\,x + (-1)^{|a|}\,a\,\delta_M(x) \qquad (a \in \Lambda^{\bullet}\Omega). \] Il suffit pour cela de la donnée de recollement d'ordre 1. L'opérateur est connu dès qu'on connaît sa restriction \(\nabla : M \to \Omega \otimes M\). Le fait qu'il soit de carré nul provient de la condition de descente. La page demande si l'ordre 2 suffit pour cela, et ne répond pas.¹⁶

Connexions relatives à un complexe de De Rham. Plus généralement, soit \((\Lambda^{\bullet}\Omega, \delta)\) un complexe de De Rham sur \(X_0\). Une connexion sur \(M\) est un morphisme additif \(\nabla : M \to \Omega \otimes M\) tel que \(\nabla(fx) = \delta f \otimes x + f\,\nabla x\). Elle se prolonge de façon unique en un opérateur \(\delta_M\) sur \(\Lambda^{\bullet}\Omega \otimes M\) tel que \[ \delta_M(\omega x) = \delta(\omega)\,x + (-1)^{|\omega|}\,\omega\,\delta_M(x). \] Le signe est nécessaire.¹⁷ Le carré \(\delta_M^{2}\) est \(\Lambda^{\bullet}\Omega\)-linéaire, puisque \(\delta^{2} = 0\). Il est donc nul si et seulement s'il l'est en degré 0, c'est-à-dire si et seulement si le composé \[ K' : M \xrightarrow{\ \nabla\ } \Omega \otimes M \xrightarrow{\ \delta_M\ } \Lambda^{2}\Omega \otimes M \] est nul. Ce composé est \(\mathcal{O}\)-linéaire, et c'est le tenseur de courbure. La connexion fait opérer \(\mathfrak{g}\) sur \(M\) par \(\theta^{M}_X(x) = (X \otimes \mathrm{id}_M)(\nabla x)\), et l'on a \[ a)\ \ \theta^{M}_X(fx) = \theta_X(f)\,x + f\,\theta^{M}_X(x), \qquad b)\ \ \theta^{M}_{fX} = f\,\theta^{M}_X , \qquad c)\ \ \theta^{M}_{[X,Y]} = [\theta^{M}_X, \theta^{M}_Y] \ \text{si } K' = 0 . \] La condition c) vaut sous l'hypothèse d'une connexion sans courbure.¹⁸

\(\mathfrak{g}\)-connexions. Soit \(\mathfrak{g}\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre de Lie. Une \(\mathfrak{g}\)-connexion sur \(M\) est une action \(X \mapsto \theta^{M}_X\) satisfaisant a) et b). Son tenseur de courbure est \[ K(X,Y) = \theta^{M}_{[X,Y]} - [\theta^{M}_X, \theta^{M}_Y] \ \in\ C^{2}\big(\mathfrak{g}, \mathcal{E}\mathrm{nd}_{\mathcal{O}}(M)\big). \] On vérifie que c'est bien \(\mathcal{O}\)-bilinéaire alterné en \((X,Y)\) et \(\mathcal{O}\)-linéaire en \(M\). La connexion est dite intégrable si \(K = 0\).¹⁹ Si \(\mathfrak{g}\) provient de \(\Omega\) et que la \(\mathfrak{g}\)-connexion provient d'une connexion \(\nabla\), les deux courbures se déterminent l'une l'autre : \[ K(X,Y)(u) = -\langle K'(u), X \wedge Y \rangle . \] C'est la même formule que celle qui relie \(\theta_{[X,Y]}\) et \(\delta\delta\) au paragraphe 3.²⁰

Le cas localement libre. Si \(\Omega\) est localement libre de type fini, ce qui équivaut à ce que \(\mathfrak{g}\) le soit, les deux notions de connexion se correspondent biunivoquement. Il en va de même des deux tenseurs de courbure et des deux notions de connexion intégrable. Pour une connexion intégrable, le complexe \(\Lambda^{\bullet}\Omega \otimes M\) s'identifie au complexe de Chevalley–Eilenberg à coefficients \(C^{\bullet}(\mathfrak{g}, M)\).

30–30

11. Cohomologie de De Rham et cohomologie de Hochschild (page 30)

On se place sous les hypothèses du théorème de Quillen : \(X_0\) de caractéristique nulle, et \((\Lambda^{\bullet}\Omega, \delta)\) à \(\Omega\) plat, correspondant à une catégorie formelle \(\mathcal{C}\) à \(\Omega\) plat. Soit \(M\) un \(\mathcal{O}\)-module. Les structures de \(\mathcal{C}\)-descente sur \(M\) correspondent alors aux \(\Omega\)-connexions intégrables sur \(M\).²¹ De plus, la cohomologie de De Rham de \(M\), soit l'hypercohomologie \(\mathbb{H}^{\bullet}(X_0, \Lambda^{\bullet}\Omega \otimes M)\), est canoniquement isomorphe à la cohomologie de Hochschild, ou de Čech–Alexander, de \(\mathcal{C}\) à coefficients dans \(M\). Plus précisément, il y a un quasi-isomorphisme canonique dans la catégorie dérivée \[ \Lambda^{\bullet}\Omega \otimes M \ \simeq\ C^{\bullet}(\mathcal{C}, M). \] Ici \(C^{n}(\mathcal{C}, M)\) est formé des fonctions sur le schéma formel des \(n\)-uples de flèches composables de \(\mathcal{C}\), à valeurs dans \(M\), avec la différentielle cobar.²²

La marge, écrite en oblique, porte : « Relier au th. fondamental du dévissage des cristaux …. Peut-il y avoir ce raisonnement dans un topos convenable ?! ». Nous n'identifions pas le théorème désigné.²³ Suit le titre « Variante à puissances divisées », et la page s'arrête.

Le tapuscrit du 10 septembre ne reprend pas ce paragraphe, ni rien de ces dix pages.

32–48

Le tapuscrit du 10 septembre 1968 (pages 32 à 48 ; photocopie, pages 2 à 17)

Le tapuscrit compte seize pages dactylographiées. Dans l'exemplaire annoté, la page \(N\) du tapuscrit est la page \(31 + N\) du dossier pour \(N \leq 10\), et la page \(32 + N\) pour \(N \geq 11\). Dans la photocopie, c'est la page \(N + 1\). Le texte et les annotations à l'encre suivis ici sont ceux de l'exemplaire annoté. Celui-ci porte la date « notes du 10.9.68 » en tête de sa première page.²⁴

32–36

I. Catégories et ensembles simpliciaux (pages 32 à 36)

Le nerf. À toute catégorie \(C\) on associe son nerf \(N(C)\), l'ensemble simplicial des suites de flèches composables. Le foncteur \(N : (\mathrm{Cat}) \to (\mathrm{sSet})\) est pleinement fidèle.²⁵ Les systèmes locaux d'ensembles sur \(N(C)\) correspondent aux foncteurs sur \(C\) qui envoient toute flèche sur un isomorphisme, c'est-à-dire qui se factorisent par le groupoïde enveloppant \(C[C^{-1}]\). Leur cohomologie s'interprète de deux façons : par les foncteurs dérivés de \(\varprojlim\), ou comme cohomologie du topos \(\widehat{C}\) des préfaisceaux sur \(C\). Il s'agit de \(H^{0}\) pour les ensembles, de \(H^{1}\) pour les groupes, et de tous les \(H^{i}\) pour les groupes abéliens. Pour un système local abélien \(F\), vu comme foncteur \(C^{\circ} \to \mathrm{Ab}\), on a \(H^{i}(N(C), F) = H^{i}(\widehat{C}, F) = \varprojlim^{i}_{C^{\circ}} F\).

Un foncteur \(u : C \to C'\) est un homotopisme si \(N(u)\) est une équivalence faible ; c'est le terme de la page. Le critère cohomologique d'Artin et Mazur donne une caractérisation. \(u\) est un homotopisme si et seulement si, pour tout système de coefficients local \(F'\) sur \(C'\), les applications \[ \varprojlim\nolimits^{i}_{C'^{\circ}} F' \longrightarrow \varprojlim\nolimits^{i}_{C^{\circ}} u^{*}F' \] sont bijectives, pour les \(i\) où cela a un sens.²⁶

Le topos. À \(C\) est associé le topos \(\widehat{C}\), qui varie de façon covariante avec \(C\). Un foncteur \(u\) induit en effet un morphisme de topos \(\widehat{u} : \widehat{C} \to \widehat{C'}\), dont l'image inverse est la restriction le long de \(u\). La page ajoute que le foncteur \(C \mapsto \widehat{C}\) n'a plus rien de pleinement fidèle, « semble-t-il ».²⁷ Un système de coefficients ensembliste sur \(C\) est un foncteur \(C^{\circ} \to \mathrm{Ens}\) qui envoie toute flèche sur une bijection.²⁸ Les systèmes de coefficients sont exactement les objets localement constants de \(\widehat{C}\), qui se définissent intrinsèquement à partir du topos. Il en résulte qu'être un homotopisme ne dépend que de \(\widehat{u}\). Cela signifie que \(H^{i}(\widehat{C'}, F') \to H^{i}(\widehat{C}, \widehat{u}^{*}F')\) est bijectif pour tout faisceau localement constant \(F'\) sur \(\widehat{C'}\).

La catégorie des simplexes. Dans l'autre sens, on associe à un ensemble simplicial \(X\) la catégorie de ses simplexes \(T(X) = \Delta/X\). Ses objets sont les simplexes de \(X\) ; c'est une catégorie fibrée sur \(\Delta\), à fibres les ensembles discrets \(X_n\). Quillen prouve deux choses. D'abord, \(N T(X)\) est canoniquement isomorphe à \(X\) dans \(\mathrm{Ho}(\mathrm{sSet})\). Ensuite, \(T N(C)\) est canoniquement isomorphe à \(C\) dans la localisée \(\mathrm{Ho}(\mathrm{Cat})\) de \((\mathrm{Cat})\) par les homotopismes. Ces isomorphismes sont fonctoriels. Il en résulte formellement qu'un morphisme \(f\) d'ensembles simpliciaux est une équivalence faible si et seulement si \(T(f)\) est un homotopisme. \(N\) et \(T\) induisent donc des équivalences quasi-inverses \[ \mathrm{Ho}(\mathrm{Cat}) \ \simeq\ \mathrm{Ho}(\mathrm{sSet}). \] ²⁹

Une catégorie et son opposée. Quillen construit de plus un isomorphisme canonique et fonctoriel entre \(C\) et \(C^{\circ}\) dans \(\mathrm{Ho}(\mathrm{Cat})\). Il revient au même d'en construire un entre \(N(C)\) et \(N(C^{\circ})\) dans \(\mathrm{Ho}(\mathrm{sSet})\). C'est un isomorphisme de la catégorie localisée, non un foncteur de \(C\) dans \(C^{\circ}\).³⁰ Son effet sur les systèmes locaux est le suivant. Un foncteur contravariant \(F\) sur \(C\), qui rend toute flèche inversible, devient le foncteur covariant qui a les mêmes valeurs sur les objets et \(F(u)^{-1}\) sur une flèche \(u\). Sur les groupoïdes fondamentaux, c'est l'isomorphisme évident \(\pi_1(C) \to \pi_1(C^{\circ}) = \pi_1(C)^{\circ}\), \(g \mapsto g^{-1}\).

Il s'en déduit une interprétation faisceautique de la cohomologie d'un ensemble simplicial \(X\) à coefficients dans un système local covariant \(F\). Cette cohomologie est classiquement définie par le complexe cosimplicial \(C^{n}(F) = \prod_{x \in X_n} F(x)\). On passe au système local contravariant défini par \(F\), on le regarde comme un faisceau sur \(T(X)\), c'est-à-dire comme un objet de \((\mathrm{sSet})_{/X}\), et on prend sa cohomologie.³¹ Pour un système de coefficients covariant non local, la page ne connaît pas d'interprétation faisceautique de la cohomologie classique. Elle n'en connaît pas non plus de l'homologie d'un système contravariant, ni, inversement, de sa cohomologie faisceautique en termes classiques.

Les catégories dérivées de systèmes locaux. Soit \(u : C \to C'\) un homotopisme. Notons \(D^{b}_{\mathrm{lc}}(C)\) la sous-catégorie triangulée de la catégorie dérivée bornée des faisceaux abéliens sur \(\widehat{C}\) formée des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont localement constants. Quillen montre que \(u^{*} : D^{b}_{\mathrm{lc}}(C') \to D^{b}_{\mathrm{lc}}(C)\) est une équivalence, et réciproquement. La partie directe vaut avec un anneau de base quelconque, et aussi avec un anneau de coefficients constant tordu. La réciproque vaut à coefficients dans \(\mathbb{Z}\), mais pas dans un anneau quelconque non nul.³²

Le tapuscrit conjecture ensuite (« je pense que ce résultat (facile) doit pouvoir se généraliser ») un énoncé pour les topos. Soit \(f : X \to X'\) un morphisme de topos qui induit des isomorphismes en cohomologie pour tout faisceau localement constant sur \(X'\), le cas non commutatif inclus. Supposons \(X\) et \(X'\) localement homotopiquement triviaux. Cela veut dire que pour tout entier \(n \geq 1\), tout objet \(U\) a un recouvrement \((U_i \to U)\) tel que : a) tout système local et toute section sur \(U\) deviennent constants sur les \(U_i\) ; b) pour tout groupe abélien \(G\), les \(H^{j}(U, G) \to H^{j}(U_i, G)\) sont nuls pour \(1 \leq j \leq n\). Alors \(f^{*} : D^{b}_{\mathrm{lc}}(X') \to D^{b}_{\mathrm{lc}}(X)\) serait une équivalence. Il en irait de même avec un système local d'anneaux sur \(X'\), et \(f\) induirait une équivalence entre coefficients locaux sur \(X\) et sur \(X'\).³³ Une note à l'encre, en marge, précise la portée de la condition : elle « n'est typiquement pas satisfaite par les schémas avec leur topologie étale (mais bien par variétés loc. noeth. avec top. Zariski) ».

Le principe de démonstration proposé est le suivant. Un topos localement homotopiquement trivial est localement connexe et localement simplement connexe, d'où une bonne théorie des \(\pi_0\) et \(\pi_1\), qui sont ici discrets. On est ramené à un cas particulier du critère d'Artin et Mazur : un homomorphisme de groupes \(G \to H\) est un isomorphisme s'il induit des bijections sur \(H^{0}\) et \(H^{1}\), cas non commutatif compris. La pleine fidélité se ramène, par la suite spectrale, aux \(\mathrm{Ext}^{i}\) de coefficients locaux. Elle résulterait de deux faits : dans un topos localement homotopiquement trivial, les faisceaux abéliens localement constants sont stables par \(\mathcal{E}\mathrm{xt}^{i}\), et \(M \mapsto M_X\) commute aux \(\mathrm{Ext}^{i}\). Pour \(X\), \(X'\) localement homotopiquement triviaux, trois conditions sur \(f\) seraient alors équivalentes.

• a)\(f\) est un homotopisme : il induit un isomorphisme sur les \(H^{i}\) pour tout système local sur \(X'\), non nécessairement commutatif.
• b)\(f^{*} : D^{b}_{\mathrm{lc}}(X') \to D^{b}_{\mathrm{lc}}(X)\) est une équivalence.
• a')\(f\) induit une équivalence entre systèmes locaux abéliens sur \(X'\) et sur \(X\), et des isomorphismes sur les \(H^{i}\) correspondants.

La page ignore si l'on peut, dans a), se borner aux systèmes locaux commutatifs, et l'encre met un point d'interrogation. La réponse est non.³⁴ L'équivalence de a) et b) motive une définition des types d'homotopie par la catégorie \(D^{b}_{\mathrm{lc}}(X)\). On la munirait de la sous-catégorie pleine des systèmes locaux, du foncteur cohomologique à valeurs dans celle-ci et du produit tensoriel, ce qui fait sortir de \(D^{b}\) vers \(D^{-}\) : « redactor demerdetur ».³⁵

36–41

II. \(n\)-catégories, catégories \(n\)-uples, Gr-catégories (pages 36 à 41)

Catégories doubles. Le tapuscrit appelle « bi-catégorie » une catégorie dans \((\mathrm{Cat})\). C'est la donnée d'une catégorie \(C_0\), de foncteurs source et but \(p_1, p_2 : C_1 \rightrightarrows C_0\), d'un foncteur unité \(C_0 \to C_1\) et d'une composition \(\pi : C_1 \times_{C_0} C_1 \to C_1\), avec les axiomes habituels. On dit aujourd'hui catégorie double.³⁶ On identifie \((\mathrm{Cat})\) à la sous-catégorie pleine de \((\mathrm{sSet})\) formée des ensembles simpliciaux qui satisfont la condition d'exactitude « familière ». Il s'agit de transformer sommes amalgamées en produits fibrés : \(X_n \simeq X_1 \times_{X_0} \cdots \times_{X_0} X_1\), ce qu'on appelle aujourd'hui la condition de Segal.³⁷ De même, les catégories doubles s'identifient aux ensembles bisimpliciaux \((X_{ij})\) qui satisfont cette condition ligne par ligne et colonne par colonne. Les catégories triples s'identifient de même à des objets trisimpliciaux, et ainsi de suite.

Exemple. Pour une catégorie \(C\), posons \(C_0 = C\) et \(C_1 = \mathrm{Fl}(C)\), la catégorie des flèches, avec les structures évidentes. Les composantes simpliciales supérieures sont les catégories \(\mathrm{Fl}^{n}(C)\) des suites de \(n\) flèches. L'ensemble bisimplicial correspondant a pour composantes \(\mathrm{Hom}([n] \times [m], C)\). Les objets de \(X_{11}\) sont les carrés commutatifs de \(C\), qu'on peut lire de deux manières comme morphismes de flèches. L'échange des lignes et des colonnes est une symétrie de la catégorie des catégories doubles. De même, le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_n\) opère sur la catégorie des catégories \(n\)-uples.

Une 2-catégorie (stricte) est une catégorie double dont la catégorie d'objets \(C_0\) est discrète. En termes bisimpliciaux, c'est un ensemble bisimplicial dont la première ligne est un ensemble simplicial constant. Il paraît qu'on a une interprétation analogue des \(n\)-catégories en termes d'ensembles \(n\)-simpliciaux. Le tapuscrit note de demander à Quillen le rapport entre les \(m\)-catégories dans \((n\text{-Cat})\) et les ensembles \((m+n)\)-simpliciaux.³⁸

Groupes dans \((\mathrm{Cat})\) et catégories de Picard. Les groupes dans \((\mathrm{Cat})\) sont les groupes simpliciaux qui satisfont la condition de Segal. Par la correspondance de Dold–Kan (le « tapis de Dold »), les groupes abéliens dans \((\mathrm{Cat})\) forment une catégorie équivalente à celle des complexes de chaînes de longueur 1 : \[ 0 \longleftarrow C_0 \xleftarrow{\ d\ } C_1 \longleftarrow 0 . \] Explicitons le groupe abélien dans \((\mathrm{Cat})\) associé à un tel complexe. On trouve la catégorie de Picard du complexe, que le tapuscrit appelle « “ma” construction chérie ». Ses objets sont les éléments de \(C_0\), et ses flèches de \(x\) vers \(y\) sont les \(z \in C_1\) tels que \(dz = y - x\). On obtient ainsi, à isomorphisme près, tous les groupes abéliens de \((\mathrm{Cat})\).³⁹

Complément important : toute Gr-catégorie, c'est-à-dire toute catégorie monoïdale où objets et flèches sont inversibles, est équivalente à un vrai groupe dans \((\mathrm{Cat})\). Le tapuscrit disait « toute catégorie de Picard (resp. et commutative) … (resp. \((\mathrm{Cat})\)-groupe commutatif) ». L'encre biffe les deux parenthèses, et explique en marge : une « cat. de Picard commut. » ne se réalise en général que par un groupe non commutatif dans \((\mathrm{Cat})\).⁴⁰ Une insertion à l'encre ajoute ceci. Quand on passe aux classes d'équivalence de catégories de Picard, cela revient à travailler dans la catégorie dérivée des complexes, dont les seuls invariants sont \(H_0\) et \(H_1\), autrement dit \(\pi_0\) et \(\pi_1\).⁴¹

Une note encadrée en tête de la page 38 se lit ainsi : « Attention : la catégorie \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{grab}}\), qui s'identifie à la catégorie définie par un \(R\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(C_x, C'_x)\), ce point devant être élucidé ! ». Les « Grab » sont les groupes abéliens ; il s'agit des homomorphismes entre catégories de Picard associées à deux complexes \(C_x\), \(C'_x\). L'énoncé correct demande une troncature. Les foncteurs additifs de \(P(C_x)\) dans \(P(C'_x)\) forment la catégorie de Picard associée à \(\tau_{\leq 0} R\mathrm{Hom}(C_x, C'_x)\).⁴²

On a ainsi une classification beaucoup plus restreinte que celle des H-espaces (resp. des H-espaces homotopiquement commutatifs) à homotopie près. La raison en est qu'on est plus exigeant, dans le cadre catégorique, sur l'associativité (resp. la commutativité). On ne demande pas seulement l'existence d'isomorphismes d'associativité, ce qui suffirait pour avoir un groupe dans \(\mathrm{Ho}(\mathrm{Cat}) \simeq \mathrm{Ho}(\mathrm{sSet})\). On les suppose donnés, avec des compatibilités, et c'est ce qui permet de se ramener à de vrais groupes dans \((\mathrm{Cat})\). L'encre biffe la suite, « resp. de vraie commutativité », pour la raison qu'on vient de dire.

Le cran suivant. On doit trouver une meilleure approximation, d'un cran, de la classification topologique. Il faut pour cela passer aux groupes (resp. groupes abéliens) dans \((2\text{-Cat})\), ou plus généralement aux « Gr-2-catégories » (resp. « Grab-2-catégories »). Deux opérations relient les crans. Une Grab-catégorie définit une Grab-2-catégorie, comme une catégorie définit une 2-catégorie : c'est l'analogue d'un « cosquelette tronqué ». Inversement, une Grab-2-catégorie définit une Grab-catégorie, celle des automorphismes de l'objet unité. Le tapuscrit y voit l'analogue du « tuage des groupes d'homotopie en dimension \(> 1\) ».⁴³ Pour la notion « grossière », l'idée de sa lettre à Verdier était la suivante. On doit trouver la même chose que les tronqués au cran 2 dans la catégorie homotopique des H-espaces, c'est-à-dire ce qu'on en déduit en tuant les groupes d'homotopie en dimension \(> 2\).⁴⁴

Le tapuscrit note de demander à Quillen si les objets-groupes et les objets pointés connexes de la catégorie homotopique forment des catégories équivalentes par le foncteur espace des lacets. Une encre différente répond en marge : « non, on a un foncteur pl. fidèle (?) mais pas essentiellement surjectif ». La non-surjectivité est juste. Le point d'interrogation est justifié : le foncteur des lacets n'est même pas fidèle.⁴⁵

Les vrais groupes abéliens dans \((2\text{-Cat})\). L'approche de Quillen les identifie d'abord à des groupes abéliens dans la catégorie des catégories doubles. Ce sont donc des groupes abéliens bisimpliciaux particuliers, soumis à la condition de Segal sur chaque ligne et chaque colonne. Par la version bisimpliciale de Dold–Kan, ils équivalent aux bicomplexes de groupes abéliens nuls hors du carré \(0 \leq i, j \leq 1\). La première ligne doit correspondre à un groupe simplicial constant ; elle se réduit donc à son terme de degré 0, et le bicomplexe devient⁴⁶

\begin{tikzcd}
C_{00} & 0 \arrow[l] \\
C_{10} \arrow[u] & C_{11} \arrow[l] \arrow[u]
\end{tikzcd}

Ces bicomplexes s'identifient aux complexes de chaînes de longueur 2, \(C_{11} \to C_{10} \to C_{00}\). La catégorie des groupes abéliens dans \((2\text{-Cat})\) est donc équivalente à celle des complexes de longueur 2. La 2-catégorie associée à un tel complexe est « mon interprétation chérie ». Il resterait à décrire, par un complexe \(R\mathrm{Hom}\), la 2-Grab-catégorie des homomorphismes entre deux telles 2-Grab-catégories strictes.

L'idée qui se dégage, et que Quillen, « on espère », va expliciter, est la suivante. Les groupes abéliens dans \((n\text{-Cat})\) devraient correspondre aux complexes de longueur \(n\). On raisonnerait soit à isomorphisme près des deux côtés, soit à \(n\)-équivalence près d'un côté et dans la catégorie dérivée de l'autre. Cela doit pouvoir se préciser au moyen de \(\mathrm{Hom}^{\bullet}\) (resp. \(R\mathrm{Hom}^{\bullet}\)).⁴⁷

Les \(K_n\) d'une catégorie monoïdale. Soit \(C\) une catégorie munie d'un produit tensoriel associatif, et éventuellement unitaire : un bifoncteur avec des isomorphismes d'associativité, mais sans inverses. On doit pouvoir lui associer une Gr-catégorie universelle, comme on associe à un monoïde son groupe symétrisé. On en tire des invariants \(K_0(C)\) et \(K_1(C)\). On suppose qu'on trouvera de même, pour tout \(n\), une Gr-\(n\)-catégorie universelle où envoyer \(C\) de façon compatible à \(\otimes\). Ses invariants \(\pi_n\) seraient par définition les \(K_n(C)\). Un cas intéressant est celui d'une catégorie à produits finis, additive par exemple, où \(\otimes\) est le produit. Mais pour une catégorie abélienne, il y a une notion plus adéquate du \(K_0\), qui devrait correspondre à une meilleure notion des \(K_i\), « inspirée du tapis de Roos ». C'est sans doute en termes de « vraies » catégories triangulées qu'il faudra poser les définitions.⁴⁸

Peut-être Quillen a-t-il une définition simpliciale plus directe du H-espace qui devrait correspondre à \(C\), sans passer par les \(n\)-catégories. En marge, à l'encre : « oui ».⁴⁹ Ce n'est certainement pas en général le nerf \(N(C)\). Une catégorie additive est contractile, puisque le foncteur identique est homotope au foncteur nul : il suffit d'une transformation naturelle de l'un à l'autre. Pourtant, lorsque \(C\) est une Gr-catégorie, le nerf naïf est le bon. On trouve en effet des \(\pi_0\) et \(\pi_1\) qui sont aussi ceux de \(C\) au sens des catégories sans Gr-structure. Une note à l'encre au pied de la page 41 ajoute : « A expliquer : pour des Gr-\(n\)-catégories, les \(\pi_i\) au sens simplicial sont aussi les \(\pi_i\) au sens Gr-\(n\)-catégories, savoir les objets à isomorphisme près dans divers \(\mathrm{Hom}(1,1)\) … ».⁵⁰

43–48

III. Point de vue « motivique » en théorie du cobordisme (pages 43 à 48)

Le problème universel. Soit \(\mathcal{V}\) la catégorie des variétés différentiables compactes sans bord, non nécessairement orientables. Ses morphismes sont les classes d'homotopie d'applications continues.⁵¹ Soit \(\mathcal{E}\) une catégorie. On s'intéresse aux couples \((F_\bullet, F^\bullet)\) formés d'un foncteur covariant \(F_\bullet : \mathcal{V} \to \mathcal{E}\) et d'un foncteur contravariant \(F^\bullet : \mathcal{V}^{\circ} \to \mathcal{E}\), qui ont les mêmes valeurs sur les objets. On leur impose le changement de base pour tout carré cartésien d'applications différentiables où \(f\) et \(g\) sont transverses :

\begin{tikzcd}
 & X' \arrow[dl, "g'"'] \arrow[dr, "f'"] & \\
X \arrow[dr, "f"'] & & Y' \arrow[dl, "g"] \\
 & Y &
\end{tikzcd}

\[ g^{\bullet} f_{\bullet} = f'_{\bullet}\, g'^{\bullet} \qquad (f_\bullet = F_\bullet(f),\ f^\bullet = F^\bullet(f)). \] La question est de trouver un couple universel. Quillen prouve que la construction suivante en donne un.⁵²

L'anneau \(B(X)\). Pour \(X\) dans \(\mathcal{V}\), soit \(B(X)\) l'ensemble des classes de variétés \(Z \to X\) au-dessus de \(X\) pour la relation de cobordisme. Deux variétés \(Z' \to X\) et \(Z'' \to X\) sont cobordantes s'il existe une variété à bord \(W\) et \(W \to X\) tels que \(\partial W = Z' \sqcup Z''\), les deux applications étant induites. La somme est la réunion disjointe ; c'est une loi de groupe où tout élément est d'ordre 2. Le produit est le produit fibré, après qu'on a rendu les deux applications transverses par le théorème de Thom. L'anneau est gradué par la dimension relative : \(B_d(X)\) est formé des \(Z \to X\) avec \(\dim Z - \dim X = d\). Pour \(f : X \to Y\), l'image directe \(f_\bullet : B(X) \to B(Y)\) est la composition avec \(f\), et l'image inverse \(f^\bullet : B(Y) \to B(X)\) est le produit fibré transverse. \(B\) est ainsi un foncteur en anneaux gradués contravariant, et un foncteur en groupes covariant. La formule de changement de base entraîne la formule de projection habituelle.⁵³

La catégorie \(\mathbf{B}\). Les constructions usuelles de la théorie des correspondances donnent une catégorie \(\mathbf{B}\). Ses objets sont ceux de \(\mathcal{V}\), et ses morphismes sont donnés par \[ \mathrm{Hom}_{\mathbf{B}}(X, Y) = B(X \times Y), \qquad \beta \circ \alpha = p_{13\bullet}\big(p_{12}^{\bullet}\alpha \cdot p_{23}^{\bullet}\beta\big), \] où les \(p_{ij}\) sont les projections de \(X \times Y \times Z\).⁵⁴ La symétrie \(B(X \times Y) \simeq B(Y \times X)\) donne un isomorphisme canonique \(\mathbf{B} \simeq \mathbf{B}^{\circ}\), qui est l'identité sur les objets. Le foncteur \(F_\bullet : \mathcal{V} \to \mathbf{B}\) est l'identité sur les objets et envoie une flèche sur son graphe. Composé avec la symétrie, il donne \(F^\bullet : \mathcal{V}^{\circ} \to \mathbf{B}\).⁵⁵ Le couple satisfait aux conditions voulues ; la page note que cela devrait être formalisé pour des correspondances générales.

Reste la propriété universelle. Soit \((F'_\bullet, F'^\bullet)\) un couple à valeurs dans une catégorie \(\mathbf{B}'\), et notons \(X' = F'(X)\). Il faut définir des applications \(B(X \times Y) \to \mathrm{Hom}_{\mathbf{B}'}(X', Y')\). On envoie \(Z \to X \times Y\), de composantes \(p\) et \(q\), sur \(F'_\bullet(q) \circ F'^\bullet(p)\). Il faut voir que le résultat ne dépend que de la classe de cobordisme de \(Z\). Soit \(T \to X \times Y\) un cobordisme, avec \(\partial T = Z_0 \sqcup Z_1\). En « doublant » \(T\), on obtient une variété \(W\) au-dessus de \(S^{1}\), transverse au-dessus de deux points \(s_0\), \(s_1\) dont les fibres sont \(Z_0\) et \(Z_1\), et l'application vers \(X \times Y\) se prolonge à \(W\). On est ramené à montrer que le composé \(F'_\bullet(\alpha_i) \circ F'^\bullet(\alpha_i)\), endomorphisme de \(W'\), ne dépend pas de \(i\), où \(\alpha_i : Z_i \hookrightarrow W\) est l'inclusion. Soit \(p : W \to S^{1}\). Considérons le carré cartésien d'inclusions, transverse pour \(s\) valeur régulière :

\begin{tikzcd}
W_{s} \arrow[r, "\alpha_{s}"] \arrow[d, "\alpha_{s}"'] & W \arrow[d, "{\Gamma = (p, \mathrm{id}_{W})}"] \\
W \arrow[r, "i_{s}"'] & S^{1} \times W
\end{tikzcd}

Le changement de base donne \[ \alpha_{s\bullet}\,\alpha_s^{\bullet} = \Gamma^{\bullet}\, i_{s\bullet}, \] et le second membre ne dépend pas de \(s\), puisque la classe d'homotopie de \(i_s\) n'en dépend pas. La page conclut : « Le reste est sans doute l'AQT ».⁵⁶

La structure des \(B_\bullet(X)\). Ce sont des algèbres graduées sur \(\Lambda = B_\bullet(\mathrm{pt})\). \(\Lambda\) est à degrés positifs et réduit à \(\mathbb{F}_2\) en degré 0 : c'est l'anneau de bordisme non orienté \(\mathfrak{N}_*\) de Thom. C'est une algèbre de polynômes \(\mathbb{F}_2[x_i]\), avec un générateur \(x_i\) de degré \(i\) pour chaque entier \(i \geq 1\) qui n'est pas de la forme \(2^{\nu} - 1\).⁵⁷

On a un homomorphisme évident d'anneaux gradués \(B_\bullet(X) \to H^{\bullet}(X)\). Il envoie \(Z \to X\) sur l'image de \(1 \in H^{0}(Z)\) par l'homomorphisme de Gysin, et envoie \(B_{-k}\) dans \(H^{k}\) ; il est donc nul en degrés \(> 0\). Il est surjectif par Thom : toute classe provient d'une variété compacte.⁵⁸ Une note à l'encre ajoute : « en fait \(H^{\bullet}(X) \simeq B_\bullet(X)/\Lambda^{+}B_\bullet(X)\) », et c'est exact.

On prouve même qu'il existe un relèvement fonctoriel \(s : H^{\bullet}(X) \to B_\bullet(X)\), tel que l'homomorphisme induit \[ H^{\bullet}(X) \otimes_{\mathbb{F}_2} \Lambda \xrightarrow{\ \sim\ } B_\bullet(X) \] soit un isomorphisme de \(\Lambda\)-modules. Le tapuscrit ajoute que ce sera vrai pour tout relèvement pris individuellement, et c'est exact pour tout relèvement homogène.⁵⁹ Le tapuscrit disait le relèvement « compatible avec multiplication ». L'encre écrit au-dessus « il est douteux qu'il soit ». Elle transforme aussi la seconde condition en question : « Quillen ignore si » le relèvement est compatible avec les homomorphismes de Gysin.⁶⁰

Modules et enveloppe de Karoubi. Le foncteur \(X \mapsto B_\bullet(X)\) est pleinement fidèle, de \(\mathbf{B}\) dans la catégorie des \(\Lambda\)-modules gradués libres de type fini. Les modules obtenus ont leurs générateurs en degrés \(\leq 0\). Pour \(X\) connexe, il y a un seul générateur de degré 0, et ils satisfont la dualité de Poincaré.⁶¹ Passons à l'enveloppe pseudo-abélienne \(\widetilde{\mathbf{B}}\) de \(\mathbf{B}\), c'est-à-dire à son enveloppe de Karoubi, puisque \(\mathbf{B}\) est déjà additive. On obtient tous les \(\Lambda\)-modules gradués libres de type fini à générateurs en degrés \(\leq 0\). C'est une catégorie additive et karoubienne, munie d'un \(\otimes\) induit par le produit des variétés. Elle a toutes les vertus, sauf d'être abélienne et d'avoir des \(\mathrm{Hom}\) internes.⁶²

L'objet \(\Lambda(-1)\). Pour obtenir les \(\mathrm{Hom}\) internes, on peut paraphraser la construction des motifs. Soit \(p : S^{1} \to e\) l'application du cercle sur un point. Le morphisme \(p^{\bullet} : e \to S^{1}\) de \(\mathbf{B}\) est scindé par le choix d'un point de \(S^{1}\). On pose \[ \Lambda(-1) = \mathrm{coker}\big(p^{\bullet} : e \to S^{1}\big) \ \in\ \widetilde{\mathbf{B}}, \qquad B_\bullet(S^{1}) = \Lambda \oplus \Lambda(-1). \] C'est un module libre sur un générateur de degré \(-1\), donc un objet de poids 1, le poids étant le degré des générateurs changé de signe.⁶³ Le foncteur \(M \mapsto M(-1) = M \otimes \Lambda(-1)\) est pleinement fidèle. Une construction formelle standard permet donc de rendre \(\Lambda(-1)\) inversible. Dans la catégorie obtenue, les \(\mathrm{Hom}\) internes existent et valent \(\check{X} \otimes Y\). On y trouve tous les \(\Lambda\)-modules gradués libres de type fini.

Cette catégorie n'est pas abélienne, puisque \(\Lambda\) n'est pas un corps. On s'attend à ce que la catégorie abélienne engendrée soit celle des \(\Lambda\)-modules gradués de présentation finie. Cette catégorie est bien abélienne, quoique \(\Lambda\) ne soit pas noethérien. \(\Lambda\) est en effet limite inductive d'anneaux de polynômes en un nombre fini de variables, à morphismes de transition plats ; il est donc cohérent.⁶⁴

L'analogie avec les motifs. Cette construction ressemble à une théorie des motifs où l'on n'aurait pas passé à l'équivalence homologique des cycles, mais gardé l'équivalence rationnelle, bien trop fine à beaucoup d'égards.⁶⁵ On pourrait poser le même problème universel en prenant l'équivalence homologique des morphismes, via le graphe, au lieu de l'équivalence homotopique. Un passage biffé en tirait une conclusion décevante. La catégorie solution aurait pour flèches toutes les correspondances cohomologiques, et donnerait, après inversion de \(\mathbb{F}_2(-1)\), tous les espaces vectoriels gradués de dimension finie sur \(\mathbb{F}_2 \) : « un peu trop trivial ».⁶⁶

La catégorie \(\mathbf{S}\) et le groupe de Steenrod. Pour trouver une catégorie universelle, on associe à \(X\) l'ensemble \(S(X) \subset H^{\bullet}(X)\) des classes de sous-variétés de \(X\), modulo équivalence homologique. On prouve, par un théorème de Thom dont il va être question, que c'est un sous-anneau. Par le même théorème, les \(S(X \times Y)\) sont stables par composition des correspondances cohomologiques. Cela ne semble pas trivial, puisque les \(S(X)\) ne sont pas stables par Gysin. D'où une catégorie additive \(\mathbf{S}\), dont les objets sont les variétés et les flèches les \(S(X \times Y)\). « Il semble qu'elle doive jouer le rôle universel que j'ai envisagé plus haut. »

Pour en donner une interprétation algébrique, considérons l'algèbre de Steenrod \(\mathcal{A}\) des opérations cohomologiques stables modulo 2. Elle est graduée, et munie d'une diagonale associative et unitaire, anticommutative, c'est-à-dire commutative (on est en caractéristique 2). Son dual gradué \(\mathcal{A}_*\) est une algèbre commutative, avec une diagonale associative et unitaire, et réduite à \(\mathbb{F}_2\) en degré 0. C'est donc l'anneau d'un schéma en groupes affine \(G\) sur \(\mathbb{F}_2\). La page l'identifie au foncteur des \(\otimes\)-automorphismes additifs de \(H^{\bullet}\) sur \(\mathcal{V}\) qui opèrent trivialement sur \(H^{1}(S^{1})\).⁶⁷

Le tapuscrit énonce alors, comme « le théorème de Thom », qu'un \(x \in H^{\bullet}(X)\) est dans \(S(X)\) si et seulement s'il est fixe par \(G\), c'est-à-dire si \(\mathcal{A}^{+} x = 0\). Il demande aussitôt : « Pourquoi cette condition est-elle déjà nécessaire ? ». Nous rapportons cet énoncé sous réserve. Lu avec l'action usuelle des carrés de Steenrod sur la cohomologie, il est en défaut.⁶⁸ Sous cette réserve, le foncteur \(H^{\bullet}\), de \(\mathbf{S}\) vers les représentations de \(G\) dans des espaces vectoriels sur \(\mathbb{F}_2\), serait pleinement fidèle. Son enveloppe pseudo-abélienne serait une sous-catégorie pleine des représentations de \(G\). Il est douteux qu'elle soit abélienne, et plus encore qu'elle contienne toutes les représentations de dimension finie.

\(G\) est prolisse, et, « d'après Quillen », pro-unipotent. Une note à l'encre en marge répond « oui, car son anneau affine est une algèbre de polynômes à une infinité d'indéterminées, réunion d'algèbres de polynômes » en un nombre fini d'indéterminées, stables par \(\Delta\).⁶⁹ Ici \(G\) joue le rôle d'un groupe de Galois motivique. Contrairement à la situation familière, il est fortement non réductif, et son corps de définition est \(\mathbb{F}_2\), non \(\mathbb{Q}\).⁷⁰

Orientations. Quillen généralise la construction de \(\mathbf{B}\) de deux façons. D'abord aux variétés non nécessairement compactes, \(f_\bullet\) n'étant alors défini que pour \(f\) propre. Ensuite à une condition d'orientation stable sur les morphismes, donnée par un morphisme \(H \to BO(\infty)\), où \(H\) est un H-espace, dont la page se demande s'il est commutatif, associatif et unitaire. Une orientation de \(f : X \to Y\) est un relèvement homotopique à \(H\) de l'application \(X \to BO\) qui classe \(T_X - f^{\bullet}T_Y\). Les morphismes \(\mathrm{Hom}_{\mathbf{B}^{H}}(X, Y)\) sont les classes de diagrammes \(X \leftarrow Z \to Y\) de morphismes orientés, le second propre, modulo les bords. Comme ensemble, cela se décrit par la variété \(X \times Y\) munie de la famille des fermés propres sur \(Y\).⁷¹ Une note à l'encre au pied de la page 48 ajoute : « Les \(B^{H}_m(X)\) (\(X\) compact, disons) peuvent se décrire homotopiquement à la Thom, comme les groupes d'homotopie stables d'espaces \(\mathrm{Hom}(X, MH(N - m))\) ». C'est la construction de Pontryagin–Thom, \(MH\) désignant l'espace de Thom associé à \(H\).⁷²

2–17

La photocopie et ses notes propres (pages 2 à 17)

La photocopie des pages 2 à 17 reproduit en noir l'exemplaire annoté, encre comprise. Elle a donc le même texte et la même couche manuscrite que les pages 32 à 48. Elle porte en outre une douzaine de marques qui ne sont pas sur l'exemplaire annoté ; le dossier 111 en est une autre reproduction, qui les porte aussi. La plupart corrigent la frappe : « t une » sur « définie en » et « cond. » sur « colonne » biffé (page 9), « en » sur « considérant » et \(\Lambda\) porté dans deux blancs (page 15), « él. des » (page 16), le t de « Quillent » biffé (page 17). Une autre répond au texte : page 4, une accolade embrasse la phrase selon laquelle on n'a toujours pas d'interprétation faisceautique de la cohomologie classique à coefficients covariants non locaux, ni de l'homologie à coefficients contravariants, et la marge répond « Si ! ». Les cinq dernières sont des notes de fond, rencontrées en note dans la troisième partie :

• page 12, en regard des « variétés différentiables » : « (compactes ?) », qui est l'hypothèse que nous avons dû ajouter ;
• page 14 : « NB \(H^{*}(X)\) (\(= H^{*}(X, \mathbb{F}_2)\)) », qui fixe les coefficients ;
• page 14, en regard de la « catégorie quasi-abélienne » : « i.e. l'enveloppe “karoubienne” » ;
• page 15 : « quasi-abélienne \(=\) karoubienne \(+\) additive » ;
• page 17, au pied de la dernière page : « cf exposé Karoubi à Bourbaki ! ».

Les trois premières de ces notes précisent des hypothèses que le texte laisse implicites. Les deux suivantes traduisent le vocabulaire du tapuscrit dans celui qui s'imposera. La dernière pointe, selon toute vraisemblance, vers l'exposé de Karoubi au Séminaire Bourbaki de 1971-1972, « Cobordisme et groupes formels (d'après D. Quillen et T. tom Dieck) ». Il rend compte des résultats de Quillen sur le cobordisme et les lois de groupes formels, ceux-là mêmes qui répondent aux questions de la page 45. Si c'est bien cet exposé, cette note est postérieure à 1971 ; que les autres marques propres à la photocopie soient du même moment n'est pas établi. C'est une inférence, non une date lue ; la datation du dossier reste celle de l'inventaire.

50–68

Les pièces de Quillen (pages 19, 50 à 68)

Trois pièces sont de Quillen lui-même. Elles ne sont pas transcrites, faute de porter autre chose que ce que Quillen a publié ou diffusé.

• Page 19 : la liste dactylographiée « Publications of Daniel Quillen », onze titres, de 1966 à « to appear ». Elle ne porte aucune annotation.
• Pages 50 à 55 : le tiré à part « On the Representation of Hermitian Forms as Sums of Squares », Inventiones math. 5 (1968), 237–242. Il ne porte aucune marque de main.
• Pages 57 à 68 : le tapuscrit anglais « On a conjecture of Adams », reproduit à l'alcool, ses pages 1 à 12, avec l'écriture de Quillen reproduite par la duplication. Sa seule intervention étrangère est à la page 58, d'une encre plus foncée. La phrase porte sur l'application canonique \(F : E \to E^{(p)}\) : elle est « of (inseparable) degree \(p\) on each fiber ». On a mis \(\dim E\) en exposant de \(p\), et le degré devient \(p^{\dim E}\), ce qui est juste : le Frobenius relatif d'un fibré vectoriel de rang \(r\) est de degré \(p^{r}\).⁷³