Fonds Grothendieck, cote n° 161-6, pages 1–20

Graphes, icosaèdre

Ces mots sont écrits au crayon sur l'onglet de la chemise (page 1). En tête de la chemise, un « 6 » cerclé, un mot lu Groupes, et, entre parenthèses : « Notes sur formes paradoxiques prêtées à Labarde » ; dans le nom, la deuxième et la quatrième lettre sont de petites boucles que la main ne distingue pas entre a et o, et « Laborde » se lit aussi bien (« Lobarde », « Loborde » ne sont pas exclus). La chemise ne porte rien d'autre. Les pages 3 à 10 sont une mise au net à l'encre, titrée de sa main « L'icosaèdre » ; les pages 12 à 19 sont des brouillons, dont une suite au crayon sur les ensembles ordonnés (pp. 15, 13 et pied de la p. 12) et quatre feuillets d'un carnet à spirale.

L'icosaèdre

[espace vectoriel muni d'une forme quadratique non dégénérée, qu'on supposera définie positive au besoin] E espace vectoriel euclidien de dim 3 /\mathbb{R}, produit scalaire x.y (\|x\| = \sqrt{x^2}). S la sphère unité = \{x \in E \mid \|x\|^2 = 1\}.

Si u \in S, u^{\perp} désigne le plan orthogonal ; donc u + u^{\perp} est le plan tangent à S en u, tandis que l'espace vectoriel tangent à u en S est can. isom. à u^{\perp}.

L'ensemble des directions tangentes en u ~~sur~~ la sphère S s'identifie à l'ensemble u^{\perp} \cap S = \Sigma_u des vecteurs unité orthogonaux à u. le S après « sphère » est ajouté au-dessus de la ligne.

On suppose E orienté, de sorte que à un couple u \in S, v \in \Sigma_u est associé un troisième vecteur w = u \wedge v, caractérisé par les conditions w \in S \cap u^{\perp} \cap v^{\perp}, (u,v,w) orienté en sens direct. On peut dire que le plan u^{\perp} est orienté : ~~puisque~~ la rotation d'angle \frac{\pi}{2} v \mapsto u \wedge v y est définie.

Le groupe spécial orthogonal \mathrm{SO}(E) opère de façon simplement transitive sur l'ensemble des directions tangentes à la sphère S en ses différents points, i.e. l'ensemble des couples (u,v) \in S avec u.v = 0 i.e. v \in \Sigma_u. Le groupe orthogonal \mathrm{O}(E) \simeq \mathrm{SO}(E) \cdot \mu_2 (\mu_2 = homothéties \pm 1) opère de façon doublement transitive. « \mathrm{SO}(E) » est écrit au-dessus d'un mot biffé, suivi d'un signe noirci, avant \mu_2 ; on lit « (u,v) \in S » là où l'on attendrait S \times S.

Les points sur S du grand cercle passant par u dans la direction v, ~~sont~~ i.e. de w^{\perp} \cap S, sont de la forme x(u,v;\alpha) = u \cos\alpha + v \sin\alpha \qquad \alpha \text{ défini mod } 2\pi\mathbb{Z}. D'autre part, les ~~autres~~ directions tangentes à S en u, i.e. les points de u^{\perp} \cap S, s'écrivent v' = v \cos\theta + w \sin\theta .

en marge gauche, une figure : l'arc de grand cercle de u vers x(u,v;\alpha) et celui de u vers x(u,v';\alpha), l'angle \theta entre eux marqué en u et près des sommets, l'angle \alpha au centre ; en bas, les vecteurs v, v', w issus du centre, l'angle \theta entre v et v'. Fixons \theta, et calculons les carrés des côtés du triangle de sommets u, x(u,v;\alpha), x(u,v';\alpha). On a \begin{cases} \|x(u,v;\alpha) - u\|^2 \underset{\text{par raison de sym.}}{=} \|x(u,v';\alpha) - u\|^2 \\ \qquad = (\cos\alpha - 1)^2 + \sin^2\alpha = 2(1 - \cos\alpha) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \\[1ex] \|x(u,v,\alpha) - x(u,v',\alpha)\|^2 = \sin^2\alpha \, \|v - v'\|^2 \\ \qquad = \sin^2\alpha \; 4 \sin^2 \frac{\theta}{2} = \Bigl(4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}\Bigr)\Bigl(4 \sin^2 \frac{\theta}{2}\Bigr) \end{cases}

Donc pour que ces trois points forment un triangle équilatéral (il est de toutes façons isocèle) il faut qu'on ait \text{(1)} \qquad \cos\frac{\alpha}{2} = \pm \frac{1}{2 \sin \theta/2} . un mot biffé, illisible, après la formule (1). [NB Un tel \alpha existe sss |\sin\frac{\theta}{2}| \geqslant \frac{1}{2}, i.e. si 0 \leqslant \theta \leqslant \pi, sss \frac{\pi}{6} \leqslant \frac{\theta}{2} \leqslant \frac{5\pi}{6} i.e. ~~\frac{\pi}{3} \leqslant~~ \boxed{\theta \geqslant \frac{\pi}{3}}] ou encore, comme \cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 \text{(1')} \qquad \cos\alpha = \frac{1}{2\sin^2\theta/2} - 1 = \frac{1 - 2\sin^2\theta/2}{2\sin^2\theta/2} = \frac{\cos\theta}{2\sin^2\theta/2} = \frac{\cos\theta}{1 - \cos\theta} NB \begin{cases} \cos 2\alpha = -\frac{3}{5} \\ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \end{cases} pour \theta = \frac{2\pi}{5} Bien entendu, dans ce cas, les autres « angles dièdres » définis par ce triangle en les deux autres sommets, sont également égaux à \theta. On a en fait construit ici, choisissant la détermination principale de \alpha (comme 0 < \alpha < \pi), le seul triangle équilatéral inscrit dans la sphère S, d'angle dièdre \theta, ayant un sommet en u, un ~~autre~~ deuxième sommet x dans la direction tangente v à S en u, et ~~situé~~ de façon que pour le troisième sommet x' l'orientation \uncertain{u},x,x' soit directe. « choisissant la détermination principale de \alpha (comme 0<\alpha<\pi) » et « deuxième sommet x » sont des ajouts interlinéaires de sa main.

Nous allons fixer par la suite \text{(2)} \qquad \theta = \frac{2\pi}{5} et, pour quelque temps, on fixe u et v. On posera \text{(3)} \qquad v_i = v \cos i\theta + w \sin i\theta \qquad i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} (de sorte que v_0 = v, i.e. v_i = v si i \equiv 0 (5)), et on posera \text{(4)} \qquad x_i = x(u, v_i, \alpha) = u\cos\alpha + v_i \sin\alpha = u\cos\alpha + v\cos i\theta \sin\alpha + w \sin i\theta \sin\alpha \qquad (i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) NB Il est immédiat que les u, x_i sont 6 pts distincts (leurs projections sur le plan u^{\perp} sont 0 et les v_i \sin\alpha) à coordonnée suivant u > 0 ; donc les u, x_i, u', x'_i sont 12 points distincts de S où \alpha est fixé par (1) ou (1'), 0 < \alpha < \pi. On trouve donc cinq points en ordre circulaire sur le cercle de centre u rayon (rectiligne) 4\sin^2\frac{\alpha}{2} tracé sur la sphère S. On pose de plus \text{(5)} \qquad x'_i = -x_i , \quad u' = -u \qquad (i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) On appelle cet ens. de 12 pts l'icosaèdre défini par u, v. le « rayon (rectiligne) » 4\sin^2\frac{\alpha}{2} est le carré de la distance calculée p. 3, non la distance elle-même ; tel quel sur la page.

Un ensemble de points (x,y,z) de S définissant un triangle équilatéral d'angle au centre \alpha est appelé un triangle icosaédral ; cela signifie aussi qu'il y a une rotation qui l'amène en (u,x_0,x_1) un ensemble de points (a, b_0, b_1, \ldots, b_4) de S est appelé une calotte d'icosaèdre s'il existe une transformation orthogonale g \in \mathrm{O}(E) qui l'amène en l'ensemble précédent (u, x_0, x_1, \ldots, x_4). Il revient encore au même ~~que~~ de dire que son cardinal est 6, et que l'on peut ordonner cet ens. de telle façon que que les triangles (a, b_i, b_{i+1}) pour 0 \leqslant i \leqslant 3 sont icosaédraux (et alors (a, b_4, b_0) est aussi icosaédral*. Le point a est alors uniquement

les deux premières lignes sont la note appelée par l'astérisque de la p. 4, écrite en tête de page. * On a encore que les longueurs des dix vecteurs a - b_i (0 \leqslant i \leqslant 4), b_i - b_{i+1} (0 \leqslant i \leqslant 4, posant b_5 = b_0) sont égales à \text{(4)} \qquad \ell = 2 \sin\frac{\alpha}{2} Notons les longueurs correspondantes des vecteurs a - b'_i = a + b'_i \text{(4')} \qquad \ell' = 2 \cos\frac{\alpha}{2} le numéro (4) est déjà celui de la formule qui définit les x_i, p. 4 ; tel quel. notons aussi que \ell^2 et \ell'^2 sont les solutions de l'équation quadratique \lambda^2 - 4\lambda + 4\sin^2\alpha = 0

déterminé, ~~et l'ens~~ on l'appelle le sommet de la calotte d'icosaèdre, les autres points les points périphériques, et sur l'ensemble de ceux-ci (grâce à l'orientation donnée de S, ~~donc~~ il y a alors un ordre circulaire canonique, qui en fait un torseur sous le groupe \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}. Le sous-groupe G_C de G = \mathrm{O}(E) qui laisse une calotte C invariante, a dix éléments, ~~le sous-g~~ son intersection G'_C avec G' = \mathrm{SO}(E), est le groupe (can. isom. à \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) des rotations d'angle multiple de 2\pi/5 = \theta autour du vecteur a. ~~On obtient un~~ Les cinq points de G_C \cap \complement G'_C, d'ordre 2, et formant avec l'élément neutre ~~sont~~ les stabilisateurs dans G_C des cinq points périphériques de la calotte ; l'élément g_i \in G_C \cap \complement G'_C qui laisse b_i invariant est la symétrie p.r. au plan engendré par a, b_i. La structure du groupe G_C est le produit ½ direct du sous groupe G_C (can. isom. à \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} = \mu_5) et du groupe \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, opérant sur G_C par symétrie. Enfin, le groupe G'_C \simeq \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} = \mu_5 opère de façon simplement transitive sur l'ens. des pts périphériques de la calotte (ce qui redonne une définition de l'ordre circulaire can. sur leur ens.) « ½ direct » : semi-direct. Dans « du sous groupe G_C » et « opérant sur G_C », on n'aperçoit pas le prime que le sens demande (G'_C). La phrase « les cinq points de G_C \cap \complement G'_C, d'ordre 2, et formant avec l'élément neutre … » reste inachevée telle que les ajouts interlinéaires l'ont laissée.

Jusqu'à maintenant le choix \theta = 2\pi/5 n'a pas joué de rôle particulier : on aurait pu prendre \theta = 2\pi/m, et le groupe des m rotations multiples de 2\pi/m aurait remplacé celui envisagé. Cela va changer avec le

Lemme. L'ensemble (x_0; x_1, u, x_{-1}, x'_2, x'_{-2}) est une calotte d'icosaèdre de sommet u, l'ordre circulaire canonique étant celui écrit. la notation (a; b_0, \ldots) désigne x_0 comme sommet ; la lettre après « sommet » se lit pourtant u.

Démonstration. Faisant la symétrie p.r. au plan ~~engendré~~ engendré par u, x_0 (qui échange x_1 et x_{-1}, x'_2 et x'_{-2}) on est ramené, à une question d'orientation près, à montrer que les ~~trois triangles~~ longueurs des trois vecteurs x_0 - x'_2, x_{-1} - x'_2, x'_2 - x'_{-2} sont égales à la (4) — et où on peut se dispenser de la ~~dernière~~ vecteur. au-dessus de « dernière » biffé, un ajout : vérifier pour . Il sera plus astucieux de montrer que si on considère l'élément \gamma^{w}_{\alpha} de G' = \mathrm{SO}(E) qui est ~~l'identité sur w~~, ~~et qui dans le plan (u,v)~~ est la rotation d'angle \alpha autour de w et l'élément \gamma^{u}_{\frac{\theta}{2}} qui est la ~~identité sur et qui est~~ rotation d'angle -\theta/2 autour de u, et si on pose

\gamma = \gamma^{w}_{\alpha} \gamma^{u}_{-\theta/2}, alors \gamma transforme la calotte (u, (x_i)_{i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}}) en l' ensemble dit, plus précisément que l'on a les six relations \gamma u = x_0 , \quad \gamma x_0 = x'_{2} , \quad \gamma x_1 = x'_{-2} , \quad \gamma x_2 = x_1 , \quad \gamma x_3 = u , \quad \gamma x_4 = x_{-1} dans \gamma x_0 = x'_2 et \gamma x_2, l'indice 2 est récrit par-dessus un autre.

Faisons le calcul : \begin{align*} \gamma u &= \gamma^{w}_{\alpha}(u) = u\cos\alpha + v\sin\alpha \\ \gamma v &= \gamma^{w}_{\alpha}\Bigl(v\cos\frac{\theta}{2} - w\sin\frac{\theta}{2}\Bigr) = (-u\sin\alpha + v\cos\alpha)\cos\frac{\theta}{2} - w\sin\frac{\theta}{2} \\ &= -u\sin\alpha\cos\frac{\theta}{2} + v\cos\alpha\cos\frac{\theta}{2} - w\sin\frac{\theta}{2} \\ \gamma w &= \gamma^{w}_{\alpha}\Bigl(+v\sin\frac{\theta}{2} + w\cos\frac{\theta}{2}\Bigr) = (-u\sin\alpha + v\cos\alpha)\sin\frac{\theta}{2} + w\cos\frac{\theta}{2} \\ &= -u\sin\alpha\sin\frac{\theta}{2} + v\cos\alpha\sin\frac{\theta}{2} + w\cos\frac{\theta}{2} \end{align*} plusieurs signes et plusieurs \cos / \sin de ces lignes sont repassés à l'encre ; on transcrit la forme finale. \gamma = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\cos\frac{\theta}{2} & -\sin\alpha\sin\frac{\theta}{2} \\ \sin\alpha & \cos\alpha\cos\frac{\theta}{2} & \cos\alpha\sin\frac{\theta}{2} \\ 0 & -\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \begin{align*} \gamma u &= u\cos\alpha + v\sin\alpha = x_0 \qquad \text{OK} \\ \gamma x_0 &= \gamma u \cos\alpha + \gamma v \sin\alpha = u\Bigl(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\cos\frac{\theta}{2}\Bigr) + v\Bigl(\sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha\cos\alpha\cos\frac{\theta}{2}\Bigr) \\ &\qquad - w\Bigl(\sin\alpha\sin\frac{\theta}{2}\Bigr) \end{align*} Or x'_2 = -x_2 = -u\cos\alpha - v\cos 2\theta\sin\alpha - w\sin 2\theta\sin\alpha au-dessus du signe devant v, un petit signe de correction, .

à prouver \begin{cases} -\cos\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\cos\frac{\theta}{2} \\ -\cos 2\theta \struck{\sin\alpha} = \struck{\sin\alpha}\cos\alpha\Bigl(1 + \cos\frac{\theta}{2}\Bigr) \\ \struck{\ill{}} \sin 2\theta = \struck{\sin\alpha} \sin\frac{\theta}{2} \end{cases} \gamma x_1 = \gamma u \cos\alpha + \gamma v \sin\alpha\cos\theta + w\sin\alpha\sin\theta = le calcul s'arrête là ; le reste de la page est blanc.

Cor. Soit g \in G = \mathrm{O}(E) transformant la calotte (u, (x_i)) en celle du Lemme. Alors g invarie l'icosaèdre I = I_{u,v}. En effet, il est immédiat que l'icosaèdre associé à cette deuxième calotte est encore I.

Soit \Gamma_I = \Gamma_{u,v} le sous-groupe de G = \mathrm{O}(E) qui laisse l'icosaèdre I = I_{u,v} invariant, \Gamma' = \Gamma \cap G' le sous-groupe formé des rotations de \Gamma. Il est clair que \Gamma' est d'indice 2 dans \Gamma (N.B. -1 \in \Gamma \cap \complement\Gamma') et que \Gamma est donc le produit \Gamma \simeq \mu_2 \times \Gamma'

Théorème. \Gamma' opère de façon transitive sur l'ens. des sommets de l'icosaèdre, I, et de façon simplement transitive sur l'ens. des couples (x, d) où x est un sommet de l'icosaèdre, I une arête. \Gamma opère de façon simplement transitive sur l'ens. des triples (x,y,z) de points de I formant une face*. « I une arête » : tel quel ; le d du couple (x,d) est récrit par-dessus une autre lettre. * On peut aussi dire sur l'ens. des triples d'arêtes formant — c'est évidemment équivalent.

On a oublié de préciser que par définition les arêtes de l'icosaèdre I sont les 30 segments suivants ~~de longueur \ell qui joignent~~ : \begin{cases} (u, x_i), & \struck{\ill{}} \; (u', x'_i) \\ (x_i, x_{i+1}), & (x'_i, x'_{i+1}) \qquad i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \\ (x_i, x'_{i-2}) & (x'_i, x_{i-2}) \end{cases} Ce sont aussi les ~~ensembles~~ couples (x,y) d'éléments distincts de l'icosaèdre, de distance minimum (laquelle est \ell) — il sera plus facile à vérifier, après transitivité de \Gamma' sur l'ens. des sommets.

De plus, on appelle faces de l'icosaèdre ~~une partie de 3 éléments~~ des 20 ~~ensembles~~ de trois sommets ~~qui fait partie des ensembles~~ suivants (ou les triangles qu'ils déterminent) \begin{array}{lll} (u, x_i, x_{i+1}) & (u', x'_i, x'_{i+1}) & i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \\ (x_i, x'_{i-2}, \underset{\textstyle x_{i+1}}{\underset{\shortparallel}{x_{i-4}}}) & (x'_i, x_{i-2}, \underset{\textstyle x'_{i+1}}{\underset{\shortparallel}{x'_{i-4}}}) & \end{array} les trois ajouts interlinéaires de cette phrase (« des 20 », « de trois », « 20 ») et ses ratures laissent une syntaxe flottante ; on la donne telle quelle. Ce sont aussi les triples (x,y,z) tels que (x,y), (y,z) et (z,x) soient des arêtes. Il y en a exactement cinq contenant ~~issus du sommet~~ u comme sommet. Ici aussi, ce sera immédiat à vérifier après la transitivité.

Démonstration. On sait déjà que les points x_i sont congruents sous \Gamma', et par symétrie les points x'_i = -x_i aussi. De plus le lemme nous montre que u est congruent à x_0, ~~x_0 est congru~~ (donc par symétrie u' l'est à x'_0), et ~~par~~ x_0 à x'_2 — donc tous les x sont congruents. ~~Pour montrer~~ Montrons que \Gamma' est simplement transitif sur l'ens. des couples (x, d) i.e. des arêtes orientées (x,y), i.e. que si (x',y') en est une autre alors \exists!\, g \in \Gamma', gx' = x, gy' = y. On peut supposer x = u, y = x_0, et par la transitivité déjà établie sur les sommets, x' = u. Donc alors y' est un des x_i, ~~et l'on sait~~ il est clair que le stabilisateur

Données équivalentes : \begin{cases} \text{l'icosaèdre + un de ses sommets} \\ \text{icosaèdre + calotte d'icosaèdre contenue dedans} \\ \text{calotte d'icosaèdre} \\ \text{un couple } (u,v) \text{ modulo rotations sur } v \text{ dans } u^{\perp} \text{ d'angle multiple de } \theta \end{cases} [point du fibré principal sur S de groupe \mathbb{T} quotient de celui formé des (u,v) ] Précisons que tout point de l'icosaèdre est centre d'une calotte d'icosaèdre contenue dans I, ~~déterminée~~ unique, la calotte de centre u étant formée de u et des sommets reliés à u par une arête. la seconde note marginale, écrite en biais dans le coin supérieur gauche, est appelée par un signe cerclé placé après « de u dans ».

de u dans \Gamma' est aussi le sous-groupe de G' ~~formé des~~ des g \in G' qui invarient la calotte (u, (x_i)), lequel, nous avons vu, est le groupe \mu_5 qui opère de façon simplement transitive sur l'ens. des x_i, ok. Prouvons enfin l'assertion de simple transitivité de \Gamma sur l'ens. des ~~faces~~ triples (x,y,z) qui sont une face. Procédant comme dessus, on peut supposer, utilisant ce qui est déjà démontré, que x = x' = u, y = y' = x_0, z = x_1. Mais il n'y a que deux ~~triangles~~ faces admettant (u, x_0) comme arête, leurs autres sommets sont resp. x_1 et x_{-1}. Si c'est x_{-1}, la symétrie p.r. au plan u, v (qui évidemment invarie l'icosaèdre I) transforme x_{-1} en x_1 en laissant u, x_0. Il reste donc : ~~vérifier~~ noter que u, x_0, x_1 étant linéairement indépendants une transformation linéaire qui fixe ces trois points est l'identité.

Corollaire. \Gamma' est d'ordre 60, \Gamma d'ordre 120.

Le premier point provient du fait que l'icosaèdre a 30 arêtes, donc 2 \cdot 30 = 60 arêtes orientées. Comme \Gamma \simeq \Gamma' \times \mu_2, on trouve que \Gamma a 120 éléments. On peut aussi noter qu'il y a 20 faces, chacune ayant ~~trois~~ six ordres totaux sur l'ens. de ses sommets, ce qui fait 6 \times 20 = 120 triples ordonnés faisant face.

Remarque. Les sommets et arêtes de l'icosaèdre forment (avec leur relation d'incidence) un graphe, et \Gamma' opère par automorphismes de ce graphe. Montrer que tout automorphisme g du graphe est dans \Gamma'. On est ramené à prouver ~~pour~~ qu'un automorphisme du graphe qui fixe u, x_0, x_1 est l'identité. Prouvons qu'il est l'identité sur tous les points x_i (qui peuvent être reliés à un des sommets — u en l'occurrence — par une arête) i.e. tous les pts de I : en effet pour x_0, x_1 il n'y a rien à prouver, or x_2 (x_{-1}) est l'unique point de I distinct de x_0 (resp. x_1) qui est relié ~~par~~ à la fois à u et x_1 (u et x_0), donc il est fixé, donc aussi x_3 (p. ex. comme « g » : un petit g ajouté au-dessus de « automorphisme » ; l'ajout « i.e. tous les pts de I » est écrit au-dessus de la parenthèse, avec un signe d'insertion.

l'unique autre point de I, à part x_{-1}, x_0, x_1, x_2, qui soit relié à u). Donc ~~l'un~~ chacun des points ~~fixes~~ de la calotte standard de centre u est fixe. La même chose est vraie pour les points de la calotte de centre x_0, donc aussi [appliquant ces deux triangles (u, x_i, x_{i+1})] à ceux de la calotte de centre x_i, i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}. Mais cela donne tous les points de I sauf u', or celui-ci doit être fixe aussi comme le complémentaire de l'ens. précédent ! « appliquant ces deux triangles » : lecture douteuse de la tournure ; « de I » est ajouté au-dessus de la ligne.

~~Ainsi, on~~ On peut aussi regarder l'ens. des faces et l'ens. des arêtes de l'icosaèdre I et leur relation d'incidence (NB une arête est déterminée par l'ens. des deux faces qui la contiennent), ils forment encore un graphe (dont les « sommets » sont les faces de l'icosaèdre ; on ce serait le graphe des sommets-arêtes du dodécaèdre, dual à l'icosaèdre). Je dis que le groupe des automorphismes de ce graphe est encore \Gamma' [NB il est ~~immédiat~~ évident que \Gamma y opère de façon fidèle]. On est encore ramené à prouver que tout automorphisme de ce graphe qui invarie une face donnée et ses trois arêtes, disons celle (u, x_0, x_1), est l'identité. Or il invarie alors chacun des trois triangles adjacents (comme les uniques triangles adjacents distincts sur les trois arêtes envisagées), ~~et invarie donc leurs arêtes (?)~~ puis les ~~triangles~~ faces (u, x_2, x_3) et (u, x_3, x_4) comme les seul couple de faces adjacentes mutuellement, et adjacents resp. à (u, x_1, x_2) et (u, x_0, x_{-1}) (dont on sait qu'ils sont invariants). Cela donne l'invariance des ~~faces~~ arêtes (u, x_{\uncertain{2}}) et (u, x_4) comme intersection, donc aussi des arêtes restantes (x_1, x_2) et (x_0, x_{-1}) des deux ~~triangles~~ faces (u, x_1, x_2), (u, x_0, x_{-1}). Donc leurs arêtes sont fixes, ~~donc~~ et par symétrie on voit que pour chacune des ~~triangles~~ faces adjacentes à (u, x_0, x_1), ~~les~~ ses faces et leurs arêtes sont fixes. À partir de là la conclusion est triviale « ses faces et leurs arêtes » : tel quel ; le sens demande « les faces adjacentes et leurs arêtes ».

On voit ainsi que les propriétés des actions de \Gamma sur les ens. de sommets, arêtes et faces de l'icosaèdre (~~ensembles~~ munis de leurs relations d'incidence mutuelles) sont conséquence de la seule structure combinatoire de ces ensembles (soit ~~le complexe~~ sommets-arêtes, soit faces-arêtes, soit même le triple système sommets-arêtes-faces …). Il conviendrait cependant de caractériser le sous-groupe \Gamma' de \Gamma en termes combinatoires. On peut dire p. ex. que c'est le groupe qui ~~respecte~~ les ordres circulaires (sur l'ens. des points périphériques des) ~~qu'il y a sur les~~ calottes ~~sphériques de l'icosa~~ de l'icosaèdre (en termes de la structure combinatoire, on peut définir deux « syst. cohérents » d'ordres circulaires sur les calottes , correspondants aux deux orientations possibles de l'espace ambiant). la phrase sur les ordres circulaires porte deux couches de corrections ; l'état final retenu ici est « le groupe qui [respecte] les ordres circulaires sur l'ens. des points périphériques des calottes de l'icosaèdre ».

\zeta^{3} + \zeta^{-1} + \zeta + \zeta^{-3} = \zeta + \zeta^{2} + \zeta^{3} + \zeta^{4} = -1 L'équation de \gamma est donc \boxed{\gamma^{2} + \gamma - 1 = 0} donc \uncertain{\mathfrak{D}}_5 = \mathbb{Z}[\tfrac{1}{5}][t]/(t^{2} + t - 1) \boxed{\gamma = (-1 \pm \sqrt{5})/2} ~~si 2 inv.~~ Cette formule garde un sens sur tout anneau où 2 et 5 sont inversibles la lettre de l'équation, \gamma, est tracée comme un \gamma bouclé ; celle de l'anneau quotient, un \mathfrak{D} ou un \vartheta gothique, n'est pas sûre. 2\cos\frac{2\pi}{5} = (\sqrt{5} - 1)/2 \qquad (2\gamma + 1)^{2} = 5 \qquad \struck{4\gamma^{2} + 4\gamma = 4} \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \qquad \cos\frac{4\pi}{5} = \frac{-\sqrt{5} - 1}{4} \qquad c^{2} + c - 1 (-1 + \sqrt{5})/2 = \bigl((-1 - \sqrt{5})/2\bigr)^{2} - 2 = \frac{1 + 5 + 2\sqrt{5}}{4} - 2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{5} à gauche, un cercle partagé par cinq rayons, deux points du bord marqués d'un trait, un arc double entre deux rayons à droite : la division du cercle en cinq, sans légende. \zeta \longmapsto \zeta^{2} \qquad \zeta \longmapsto \zeta^{3} \qquad \text{si } \zeta + \zeta^{-1} = t \struck{\cos' D, D} \qquad \cos'_{\ill{}}(D, \zeta D) = \operatorname{Tr} \zeta^{2} = \zeta^{2} + \zeta^{-2} = t^{2} - 2 dans \zeta D, le \zeta est récrit par-dessus une autre lettre. t', t'' \qquad t'' = t'^{2} - 2 = (t''^{2} - 2)^{2} - 2 \qquad t' = t''^{2} - 2 \begin{array}{cccc} \zeta & \zeta^{2} & \zeta^{3} & \zeta^{4} \\ & & \shortparallel & \shortparallel \\ & & \zeta^{-2} & \zeta^{-1} \\[1ex] \zeta + \zeta^{-1} & \zeta^{2} + \zeta^{-2} & \zeta^{3} + \zeta^{-3} & \zeta^{4} + \zeta^{-4} \\ \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel \\ \eta = \eta_1 & \eta_2 & \uncertain{\eta_2} & \eta_1 \end{array} sous \zeta^{4} + \zeta^{-4}, une double flèche \Leftarrow pointe vers la gauche.

au pied de la page, deux lignes au crayon, tête-bêche par rapport au reste, sans rapport apparent avec le calcul qui précède :

d)\gamma((V_\lambda)) \leq \alpha_\lambda(V'_\lambda) \Longrightarrow V_\lambda \leq V'_\lambda ou \exists\, \mu \neq \lambda avec V_\mu = 0_{\uncertain{I_\mu}} e)\gamma((V_\lambda)) \subset \sup_i W_i

le V est tracé comme un \forall barré ; la lecture V est une conjecture.

page au crayon, écrite tête-bêche par rapport aux pages d'encre qui l'entourent, et barrée d'un long trait oblique ; elle ne traite pas de l'icosaèdre, mais d'applications croissantes entre ensembles ordonnés. Elle commence au milieu d'un calcul dont le début n'est pas dans ce lot, et se termine par « TSVP » : la suite est, selon toute apparence, les deux lignes d) et e) au pied de la p. 12. Les lettres U, V, W se confondent souvent sous ce crayon. \begin{aligned} &= \sup_{\ill{}} [\bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V)] \wedge [\bar\alpha(U') \wedge \bar\beta(V')] \\ &= \bigl(\sup \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V)\bigr) \wedge \bigl(\sup \bar\alpha(U') \wedge \bar\beta(V')\bigr) \\ &= \bar\gamma(W) \wedge \bar\gamma(W') , \qquad \text{ok} \end{aligned}

\gamma) \bar\gamma commute aux Sup quelconques \bar\gamma(\underbrace{\struck{\ill{}}\sup W_i}_{W}) \geq \sup\bigl(\bar\gamma(W_i)\bigr) \quad \text{clair, prouvons } \leq \bar\gamma(W) = \sup_{\gamma(U \times V) \subset \sup_i W_i} \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V) la ligne précédente est reconstituée d'un « \shortparallel » placé sous \bar\gamma(\sup W_i), d'un « Sup » et, dessous, de la condition « \gamma(U \times V) \subset \sup W_i ». à prouver que l'on a \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V) \leq \sup_i \bar\gamma(W_i). Or on a, si \gamma(U \times V) \subset \sup W_i : \begin{array}{l} U = \sup U_j \\ V = \sup V_k \end{array} \;\Big|\; \forall\, j, k \ \exists\, i \text{ avec } \gamma(U_j \times V_k) \leq W_i Donc \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V) = \bigl(\sup_j \bar\alpha(U_j)\bigr) \wedge \bigl(\sup_k \bar\beta(V_k)\bigr) = \sup_{j,k} \bar\alpha(U_j) \wedge \bar\beta(V_k) \qquad \Bigl(\overset{?}{\leq} \sup_i \bar\gamma(W_i)\Bigr) et comme \exists\, i \surd \gamma(U_j \times V_k) \leq W_i, on a \bar\alpha(U_j) \wedge \bar\beta(V_k) \leq \bar\gamma(W_i) \leq \sup_{i'} \bar\gamma(W_{i'}) \qquad \text{qfd}

Généralisation aux sommes (produits) infinies : (I_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \qquad I_\lambda \in \operatorname{Ob}(\uncertain{\mathrm{OM}}) \prod' I_\lambda partie du produit formée des (V_\lambda) tels que V_\lambda = 1_{I_\lambda} pour presque tout \lambda \alpha^{0}_{\mu} : I_\mu \longrightarrow \prod{}' I_\lambda \qquad \alpha^{0}_{\mu}(x)_\lambda = \begin{cases} x & \text{si } \lambda = \mu \\ 1_{I_\lambda} & \text{si } \lambda \neq \mu \end{cases} \qquad \text{appl. cr.} \gamma : \prod{}' I_\lambda \longrightarrow K \quad \text{flèche dans } (\uncertain{\mathrm{OM}}) \alpha_\mu = \gamma \circ \alpha^{0}_{\mu} : I_\mu \to K \quad \text{appl. cr.} On suppose

a)Les \alpha_\mu commutent aux Sup quelc. b)\gamma commute aux Inf finis [en particulier \gamma((V_\lambda)) = \inf_\lambda \alpha_\lambda(V_\lambda) (Inf en fait fini) ; et les \alpha_\mu sont des morphismes de (\uncertain{\mathrm{OM}})] c)Tout élément de K est le sup d'éléments de \prod'_\lambda I_\lambda

TSVP « (OM) » : deux lettres capitales entre parenthèses, désignant une catégorie d'ensembles ordonnés ; la lecture des lettres n'est pas sûre. Au c), on attendrait « d'éléments de \gamma(\prod' I_\lambda) ».

page de calculs épars, sans texte suivi ; on les donne dans l'ordre de lecture, de haut en bas et de gauche à droite. La lettre ronde tracée comme un \vartheta (déjà p. 12) est rendue \vartheta ; le \mu à double jambage est rendu \mu. \Gamma = (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{*} \simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \qquad \begin{array}{ccc} \mu_5 & \supset & \mu_5^{*} \\ | & & | \\ \operatorname{Spec} \mathbb{Z} & \longleftarrow & \mathbb{Z}[\frac{1}{5}] \end{array} fini étale de rang 4 sur \mathbb{Z}[\frac{1}{5}] ; Galoisien de groupe \Gamma. \struck{\ill{}}\; \tau = \mu_5^{*}/\beta \quad \text{engendré par } \struck{\zeta}\, \zeta + \bar\zeta = \zeta + \zeta^{-1} = \eta sous le premier \zeta, une flèche : « racine primitive universelle ».

deux générateurs (\alpha, \alpha') : 2 et 3 (= -2) mod 5 un élément d'ordre 2 (-\beta) : -1 ou 4 mod 5 un élément d'ordre 1 : 1 mod 5

Sur \mu_5(S) l'effet est \zeta \mapsto \zeta^{2} \text{ ou } \zeta \mapsto \zeta^{-2} = \zeta^{3} \text{ resp.} \qquad \zeta \mapsto \zeta^{-1} = \zeta^{4} \qquad \zeta \mapsto \zeta \begin{array}{c} B \supset B^{\Gamma} \\ | \\ A \end{array} \qquad B = A[\zeta] \struck{\ill{}} = A[T]/(1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4}) \qquad T \longmapsto T^{4} \begin{aligned} \beta(T) &= T^{-1} = T^{4} = -(1 + T + T^{2} + T^{3}) \\ \beta(T^{2}) &= T^{-2} = T^{3} \\ \beta(T^{3}) &= T^{-3} = T^{2} \\ \beta(T^{4}) &- \end{aligned} \qquad\qquad 1 = T^{0} \mid T \quad T^{2} \quad T^{3} \begin{aligned} \beta(c_0 + c_1 T + c_2 T^{2} + c_3 T^{3}) \struck{\ill{}} &= c_0 \mathbin{\ill{}} c_1(\uncertain{-1} + T + T^{2} + T^{3}) + c_2 T^{3} + c_3 T^{2} \\ &= (c_0 - c_1) - c_1 T + (c_3 - c_1) T^{2} + (c_2 - c_1) T^{3} \\ &\overset{?}{=} c_0 + c_1 T + c_2 T^{2} + c_3 T^{3} \end{aligned} c_1 = 0 \qquad c_2 = c_3 \qquad\qquad c_0 + c_2 (T^{2} + T^{3}) le signe entre c_0 et c_1 est couvert d'une tache ; la ligne suivante suppose c_0 - c_1(1 + T + T^{2} + T^{3}).

{}_n\mathcal{U} étale de rang sur \mathbb{Z} si n premier ; \mu_n tordu par T \begin{array}{c} \mu_n \\ \cup \\ \mu_n^{*} \\ \downarrow \\ S \end{array} \quad (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} \qquad \zeta \longmapsto \zeta^{-1} à gauche, un grand cercle sans légende, marqué \varphi(n) sur son bord droit ; deux traits obliques relient \mu_n^{*} à S. \varphi(n) = \prod \bigl(p_i^{\alpha_i} - p_i^{\alpha_i - 1}\bigr) \qquad \text{pas gros} \qquad p^{n} - p^{n-1} = p^{n-1}(p - 1) \qquad (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} \ni -1 or \begin{array}{ccccc} \mu_n^{T} & \subset & \mathcal{U} & & \\ \cup & & & & \\ \mu_n^{*T} & \subset & \mathcal{U} & & \zeta + \bar\zeta \\ \Big\downarrow{\scriptstyle \text{étale rang } 2} & & \Big\downarrow{\scriptstyle \operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}} & & \\ \vartheta_n^{T} = \mathcal{V}_n & \subset & \mathcal{O} & & \\ \Big\downarrow{\scriptstyle \text{étale rang } \uncertain{\varphi(n)/2}} & & & & \\ S & & & & \end{array} \begin{array}{ccc} \mu_n & \subset & \mathbb{G}_m \\[1ex] \mu_n^{*} & \subset & \mathbb{G}_m \\ \downarrow & & \downarrow{\scriptstyle \rho} \\ \vartheta_n & \subset & \mathbb{E}^{1} \end{array} \qquad \rho(\lambda) = \lambda + \lambda^{-1} \zeta + \zeta^{-1} \;\Big|\; \begin{array}{l} \frac{p - 1}{2} = 2 \\ \cos \end{array} 1 + \zeta + \zeta^{2} + \zeta^{3} + \zeta^{4} = 0 \qquad \zeta + \zeta^{-1} = \gamma \begin{aligned} \operatorname{Tr} \gamma &= \gamma + \gamma^{\alpha} = \zeta + \zeta^{-1} + \zeta^{2} + \zeta^{-2} = \zeta + \zeta^{2} + \zeta^{3} + \zeta^{4} = -1 \\ \operatorname{N} \gamma &= \gamma\gamma^{\alpha} = (\zeta + \zeta^{-1})(\zeta^{2} + \zeta^{-2}) = \end{aligned} le calcul de la norme s'arrête sur ce signe =.

au crayon, barrée d'un long trait oblique comme la p. 13. Cette page précède en fait celle-là : son dernier calcul, \bar\gamma(W \wedge W') = \ldots, se poursuit en tête de la p. 13, qui continue par le point \gamma) après les \alpha) et \beta) d'ici. Le début (hypothèses a), b), c) et la catégorie (OM)) n'est pas dans ce lot. Alors \alpha, \beta : \begin{array}{l} I \to K \\ J \to K \end{array} [font de K une somme de I, J dans (\mathrm{OM})] sont dans (\mathrm{OM}) (grâce à a) b)), je dis qu'ils la ligne interlinéaire au-dessus, reliée par un trait, s'insère après « J \to K ».

a) \alpha, \beta épimorphiques i.e. pour L \in \operatorname{Ob}(\mathrm{OM}), \struck{\ill{}} \qquad \operatorname{Hom}_{\mathrm{OM}}(K, L) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathrm{OM}}(I, L) \times \operatorname{Hom}_{\mathrm{OM}}(J, L) \qquad \varphi \longmapsto (\varphi \circ \alpha, \varphi \circ \beta) injectif.

En effet, si on connaît \varphi \circ \alpha et \varphi \circ \beta, i.e. \varphi sur les \gamma(x \times 1) et \gamma(1 \times y), on les connaît sur leurs \wedge deux à deux \gamma(x \times y) (par b)) donc sur les Sup de objets de ces \gamma(\ldots) donc sur tout K (par c)).

b) Ceci est surjectif. Donnons-nous donc \bar\alpha : I \longrightarrow L \qquad \bar\beta : J \longrightarrow L \qquad \text{dans } (\mathrm{OM}) définissons une application \bar\gamma : K \longrightarrow L par \bar\gamma(W) = \sup_{\substack{U \in I \\ V \in J \\ \gamma(U \times V) \subset W}} \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V)

1°) Prouvons d'abord \bar\gamma \circ \alpha = \bar\alpha , \qquad \bar\gamma \circ \beta = \bar\beta Or (\bar\gamma \circ \alpha)(U') = \bar\gamma(U' \times 1) = \sup_{\gamma(U \times V) \leq \gamma(U' \times 1)} \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V) Or les U \times V en question sont, en vertu de d), ceux pour lesquels ou bien V = 0_I (l'élément correspondant du Sup est alors 0_{\uncertain{K}}, et ne compte pas), ou bien ceux pour lesquels U \subset U', V quelconque. Donc le Sup est \bar\alpha(U') \wedge \bar\beta(1) = \bar\alpha(U'), OK. On prouve de même \bar\gamma \circ \beta = \bar\beta. « en vertu de d) » : la condition d) est l'une des deux lignes au crayon du pied de la p. 12. 0_I tel quel (on attendrait 0_J).

2°) Prouvons que \bar\gamma est un morphisme de (\mathrm{OM}).

\alpha)\bar\gamma croissant : clair \beta)\bar\gamma commute aux Inf finis.

\bar\gamma(1_K) \struck{\ill{}} \overset{\text{def}}{=} \bar\alpha(1_I) \wedge \bar\beta(1_J) = 1_K Inf de famille vide \bar\gamma(W \wedge W') = \sup_{\gamma(U \times V) \subset W \wedge W'} \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V) = \sup_{\substack{\gamma(U \times V) \subset W \\ \gamma(U' \times V') \subset W'}} \bar\alpha(U \wedge U') \wedge \bar\beta(V \wedge V') [d'où \gamma(U \wedge U' \times V \wedge V') \subset W \wedge W' via (b)] « = 1_K » : tel quel ; on attendrait 1_L. Les lettres U, V sont peu distinctes au crayon.

feuillet de carnet à spirale, en largeur, couvert de croquis à l'encre et au crayon : fleurs à trois, quatre ou cinq pétales, dont l'une est légendée, en marge gauche, « corolle », « racine », « tige », « cœur », « pétale » ; tétraèdres et pyramides, dont l'un avec un point intérieur relié aux sommets ; un losange à diagonales suivi d'un « G » ; un hexagone découpé en six triangles, relié par un arc au sommet d'une fleur et légendé « \mathrm{O}(3) », « \mathrm{SO}(3) » ; une suite d'ovales emboîtés dont les deux plus intérieurs portent « u_1 » et « u_0 » cerclé ; un carré inscrit dans un carré, reliés par les diagonales ; un graphe sur six sommets marqués de ronds et de croix ; un cube dont trois faces sont fléchées vers un sommet. On transcrit ci-dessous les formules et les mots, sans restituer la disposition. \underline{X} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \qquad \underline{\hat X} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) , correspondant x \subset e \qquad x \quad y \qquad z \to x \cap y 4 \longrightarrow 3 \longrightarrow 2 \longrightarrow 1 \longrightarrow 0 X_1 \longleftarrow X_0 \qquad y \leq x \qquad U_x \subset U_y \qquad F(y) \longrightarrow F(x) en haut, au crayon, « 8 \times 6 » et, à côté d'un symbole inachevé, « 789 » ou « 989 ».

opinion homogène X \simeq G/H = [x \in S^{2}] et même cas particulier de S^{1}). \operatorname{Hom}_G(X, E) \subset \operatorname{Hom}_G(P_S, E) \simeq E savoir l'unique application g \longmapsto gx telles que l'on ait gx = ghx i.e. E^{H} « P_S » : lecture douteuse. Le passage « gx = ghx i.e. E^{H} » décrit, semble-t-il, l'identification de \operatorname{Hom}_G(G/H, E) aux invariants E^{H}.

feuillet de carnet à spirale, écrit en travers, au crayon et à l'encre : le calcul des pp. 3–4, avec d'autres lettres (\rho_i, v', w', x(\alpha), y(\alpha)). Des croquis l'accompagnent : un cône de sommet le centre, découpé en triangles d'angle au sommet \alpha (côtés marqués 1, \rho, \alpha) et légendé « 0 \leqslant i \leqslant 4 » ; les vecteurs u, v issus du centre d'une sphère ; deux cercles tangents, l'un portant deux axes, l'autre un angle. u, v, w \struck{\ill{}} + v \cos i\frac{2\pi}{5} + w \sin i\frac{2\pi}{5} = \rho_i \qquad \boxed{0 \leqslant i \leqslant 4} \begin{cases} u \\ u\cos\alpha + \rho_i \sin\alpha \\ -u\cos\alpha - \rho_i \sin\alpha \\ -u \end{cases} le u de la première ligne de l'accolade est écrit par-dessus un gribouillis qui couvre aussi le début de la ligne précédente. \frac{4\pi}{5} < \frac{2\pi}{3} \qquad \frac{\pi}{3} < \qquad \frac{4\pi}{5} \to \frac{\pi}{6} \;? \qquad \frac{4\pi}{5} \leqslant \frac{5\pi}{6} ces inégalités, éparses dans la marge des croquis, sont données telles quelles ; la première est fausse (4\pi/5 > 2\pi/3), la dernière a son 4 récrit.

u, v', w' vecteurs unitaires \begin{array}{l} u \perp v' \\ u \perp w' \end{array} \qquad v'w' = \cos\frac{2\pi}{5} \begin{aligned} x(\alpha) &= u\cos\alpha + v'\sin\alpha \\ y(\alpha) &= u\cos\alpha + w'\sin\alpha \end{aligned} x(\alpha) - u = u(\cos\alpha - 1) + v'\sin\alpha \begin{aligned} \|x(\alpha) - u\|^{2} = \|y(\alpha) - u\|^{2} &= (\cos\alpha - 1)^{2} + \sin^{2}\alpha = 2 - 2\cos\alpha \\ &= 4\sin^{2}\frac{\alpha}{2} \qquad \Bigl(1 - \cos\alpha = 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\Bigr) \end{aligned} \|x(\alpha) - u\| = 2\sin\frac{\alpha}{2} \begin{aligned} \|x(\alpha) - y(\alpha)\|^{2} &= \|v'\sin\alpha - w'\sin\alpha\|^{2} \\ &= \sin^{2}\alpha \, \|v' - w'\|^{2} = \sin^{2}\alpha \Bigl(2 - 2\cos\frac{2\pi}{5}\Bigr) \\ &\struck{= \sin^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha - 2\cos\frac{2\pi}{5}\sin^{2}\alpha} \\ &= 4\sin^{2}\alpha \sin^{2}\frac{\pi}{5} \struck{= \ill{}} \end{aligned} \|x(\alpha) - y(\alpha)\| = 2\sin\alpha \sin\frac{\pi}{5} = 4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\pi}{5} \|x(\alpha) - u\| = \|y(\alpha) - u\| = \|x(\alpha) - y(\alpha)\| \Longleftrightarrow \quad 2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\pi}{5} = 1 \quad \text{i.e.} \quad \boxed{\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2\sin\pi/5}} NB 2\sin\frac{\pi}{5} = côté du pentagone régulier unité

feuillet de carnet à spirale ; le bloc de gauche est écrit en travers, le reste droit. Au centre, une projection de l'icosaèdre sur le plan orthogonal à un axe : un décagone dont les sommets portent alternativement A_1, A'_3, A_0, A'_2, A_4, A'_1, A_2, A'_0, A_3, A'_4 (plusieurs lettres récrites, A par-dessus \alpha), le centre marqué s et s', les deux pentagones A_i et A'_i tracés, l'un en trait appuyé. G groupe d'ordre 60, opérant transitivement sur I ens. d'ordre 15, sur lequel il y a un automorphisme \alpha d'ordre 3 commutant à G, d'où I/\alpha = J ens. à 5 éléments, sur lequel G opère transitivement. Le sous-groupe de stabilité d'un \mathrm{elt} de J est un sous-groupe ~~\mathfrak{F}~~ d'ordre 12 de G, et on trouve G \to \mathfrak{S}_5 ordre 120. si on sait que G opère fidèlement sur J, alors G \to \mathfrak{S}_5 est injectif, donc G \simeq sous-groupe d'indice 2 de \mathfrak{S}_5, donc G \simeq \mathfrak{A}_5. « transitivement », « elt de J » et « ordre 120 » sont interlinéaires. \begin{aligned} (AB, A'B') &= P \\ (EC', CE') &= Q = \alpha(P) \\ (SD, S'D') &= R = \alpha(Q) = \alpha^{2}(P) \\ (AB, A'B') &= \uncertain{\alpha(R)} = \alpha^{2}(Q) = \alpha^{3}(P) \end{aligned} les lettres A, B, C, D, E, S ne sont pas portées sur la figure ; les couples sont apparemment des couples d'arêtes opposées. La dernière ligne est juste : R = \alpha(Q) donne \alpha(R) = \alpha^{2}(Q) = \alpha^{3}(P), et l'on revient à P = (AB, A'B') parce que \alpha est d'ordre 3.

\sigma \in G, laissant stable (P, Q, R), donc \sigma \in N (normalisateur d'un de Sylow_2 ) ; l'intersection des conjugués de N est un sous-groupe de N invariant, donc soit N, soit \uncertain{\mathfrak{F}_2}, soit 0. Ce n'est pas N, ni \uncertain{\mathfrak{F}_2} la phrase s'arrête au bord du feuillet.

\alpha D \longrightarrow D \qquad \begin{array}{cc} 30 & 15 \\ \uncertain{\alpha^{!}}? & \alpha \end{array} \alpha^{\uncertain{13}} est d'ordre 2 ou 1 [transform orientation ] G/\mathfrak{F}_2 \longrightarrow G/\mathfrak{F}_4 \qquad 2, 4, 3, 1 au-dessus, quelques signes au crayon très pâle, illisibles. \frac{\pi}{\uncertain{3}} \leqslant \frac{2\pi}{5} \leqslant \frac{5\pi}{6} \qquad \cos\alpha = \cos^{2}\frac{\alpha}{2} - \sin^{2}\frac{\alpha}{2} = 2\cos^{2}\frac{\alpha}{2} - 1 = \frac{1}{2\sin^{2}\theta} - 1 = 1 - 2\sin^{2}\theta = \cos 2\theta la chaîne pour \cos\alpha est écrite en colonne, deux lignes intermédiaires se chevauchant ; on la donne telle qu'on la lit, sans en vérifier les égalités. Près d'elle, \alpha'_{12} = \pi - \frac{\alpha}{2} (lecture douteuse), et un petit triangle rectangle dont l'hypoténuse porte 2\sin\frac{\alpha}{2} et un côté 4, avec « \ell^{2} = 4\sin^{2}\frac{\alpha}{2} ». u \to u\cos\alpha + v\sin\alpha \qquad v \to u(-\sin\alpha) + v\cos\alpha

feuillet de brouillon du même carnet, écrit dans deux sens (une partie à l'encre droite, la plus grande partie au crayon en travers), sans ordre suivi. On donne les formules lisibles par groupes ; les croquis (un triangle isocèle d'angle au sommet \theta et de côtés \rho, avec 2\rho\sin\frac{\theta}{2} ; un cône de demi-angle \alpha avec \cos\alpha et un angle de 72^{\circ} ; trois vecteurs issus d'un point ; un décagone ; un cercle traversé d'un triangle rectangle) ne sont que signalés.

À l'encre, en tête : \frac{1\,2\,3\,4\,\struck{0}}{2,4,1,3,0} \qquad \frac{}{3,1,4,2,0} \qquad \zeta \quad \zeta^{2} u, 2u, 3u, 4u, 0 \qquad \zeta^{i} \qquad e^{i\theta} \qquad u^{2} + w^{2} = 1 \qquad \theta^{2} + \mu^{2} = 1 \qquad x^{2} - y^{2} les deux lignes de permutations 2,4,1,3,0 et 3,1,4,2,0 sont les images de 1,2,3,4,0 par i \mapsto 2i et i \mapsto 3i modulo 5 ; à côté, « \mathfrak{S}_{i_0} » et une matrice commençant par \cos\theta, inachevée.

Au crayon : g(\sigma . i) \qquad \rho(g)(\sigma . i) = \bigl(\rho(g)\ldots\bigr)\bigl(\rho(\ldots)\bigr) \qquad g(\sigma i) = g\sigma g^{-1}\, gi G/H = X \ni e \qquad y e = a . e = a \qquad y x = y g e = g \uncertain{u} e = g' a e = \ill{} b' = b h \qquad b^{-1} b' \in H \quad \Longrightarrow \quad (ba)^{-1} b' a \in H \quad \text{i.e.} \quad a^{-1} b^{-1} b' a \in H \quad \text{i.e.} \quad a^{-1} H a \subset H \frac{N(H')}{\bigcap \operatorname{Conj} H} \qquad N(H) \cap N(H') = N(\uncertain{H'}) \subset N(H) = \mathfrak{Z}_3 . \mathfrak{F}_2^{2} \qquad \begin{array}{ccc} N(H') & \subset & N(H) \\ \cup & & \cup \\ H' & \subset & H \;\text{---}\; \mathfrak{F}_2^{2} \\ \cup & & \cup \\ K \cap H' = K'_0 & \subset & K' = 0 \end{array} « \mathfrak{Z}_3 . \mathfrak{F}_2^{2} » est récrit par-dessus d'autres signes ; la lecture est douteuse. \cos^{2}\alpha \cos\frac{2\pi}{5} = \cos\alpha \qquad 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{2\pi}{5} = 1 \qquad \boxed{\cos\alpha = \frac{1}{2\sin\frac{2\pi}{\uncertain{10}}}} 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} = 0 \qquad \Bigl(2\sin\frac{\alpha}{2}\Bigr)\Bigl(2\sin^{2}\frac{\pi}{\uncertain{4}}\Bigr) \qquad \alpha = 60\,? \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \sqrt{3}\sin\frac{\pi}{5} = 1 \qquad \frac{\pi}{6} les relations entre \alpha et \pi/5 de ce feuillet ne s'accordent pas toutes avec celle, encadrée, des pp. 4 et 17 ; ce sont des essais, transcrits sans correction.