Cote n° 161-6 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Graphes, icosaèdre [etc.] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1973-vers 1977] — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration

Graphes, icosaèdre

Ces mots sont écrits au crayon sur l'onglet de la chemise (page 1). En tête de la chemise, un « 6 » cerclé, un mot lu Groupes, et, entre parenthèses : « Notes sur formes paradoxiques prêtées à Labarde » ; dans le nom, la deuxième et la quatrième lettre sont de petites boucles que la main ne distingue pas entre a et o, et « Laborde » se lit aussi bien (« Lobarde », « Loborde » ne sont pas exclus). La chemise ne porte rien d'autre. Les pages 3 à 10 sont une mise au net à l'encre, titrée de sa main « L'icosaèdre » ; les pages 12 à 19 sont des brouillons, dont une suite au crayon sur les ensembles ordonnés (pp. 15, 13 et pied de la p. 12) et quatre feuillets d'un carnet à spirale.

L'icosaèdre

3[espace vectoriel muni d'une forme quadratique non dégénérée, qu'on supposera définie positive au besoin] \(E\) espace vectoriel euclidien de dim 3 \(/\mathbb{R}\), produit scalaire \(x.y\) (\(\|x\| = \sqrt{x^2}\)). \(S\) la sphère unité \(= \{x \in E \mid \|x\|^2 = 1\}\).

Si \(u \in S\), \(u^{\perp}\) désigne le plan orthogonal ; donc \(u + u^{\perp}\) est le plan tangent à \(S\) en \(u\), tandis que l'espace vectoriel tangent à \(u\) en \(S\) est can. isom. à \(u^{\perp}\).

L'ensemble des directions tangentes en \(u\) sur la sphère [\(S\)] s'identifie à l'ensemble \(u^{\perp} \cap S = \Sigma_u\) des vecteurs unité orthogonaux à \(u\). le \(S\) après « sphère » est ajouté au-dessus de la ligne.

On suppose \(E\) orienté, de sorte que à un couple \(u \in S\), \(v \in \Sigma_u\) est associé un troisième vecteur \(w = u \wedge v\), caractérisé par les conditions \(w \in S \cap u^{\perp} \cap v^{\perp}\), \((u,v,w)\) orienté en sens direct. On peut dire que le plan \(u^{\perp}\) est orienté : puisque la rotation d'angle \(\frac{\pi}{2}\) \(v \mapsto u \wedge v\) y est définie.

Le groupe spécial orthogonal \(\mathrm{SO}(E)\) opère de façon simplement transitive sur l'ensemble des directions tangentes à la sphère \(S\) en ses différents points, i.e. l'ensemble des couples \((u,v) \in S\) avec \(u.v = 0\) i.e. \(v \in \Sigma_u\). Le groupe orthogonal \(\mathrm{O}(E) \simeq \mathrm{SO}(E) \cdot \mu_2\) (\(\mu_2\) = homothéties \(\pm 1\)) opère de façon doublement transitive. « \(\mathrm{SO}(E)\) » est écrit au-dessus d'un mot biffé, suivi d'un signe noirci, avant \(\mu_2\) ; on lit « \((u,v) \in S\) » là où l'on attendrait \(S \times S\).

[…] [Les] points sur \(S\) du grand cercle passant par \(u\) dans la direction \(v\), sont i.e. de \(w^{\perp} \cap S\), sont de la forme \[ x(u,v;\alpha) = u \cos\alpha + v \sin\alpha \qquad \alpha \text{ défini mod } 2\pi\mathbb{Z}. \] D'autre part, les autres directions tangentes à \(S\) en \(u\), i.e. les points de \(u^{\perp} \cap S\), s'écrivent \[ v' = v \cos\theta + w \sin\theta . \]

en marge gauche, une figure : l'arc de grand cercle de \(u\) vers \(x(u,v;\alpha)\) et celui de \(u\) vers \(x(u,v';\alpha)\), l'angle \(\theta\) entre eux marqué en \(u\) et près des sommets, l'angle \(\alpha\) au centre ; en bas, les vecteurs \(v\), \(v'\), \(w\) issus du centre, l'angle \(\theta\) entre \(v\) et \(v'\). Fixons \(\theta\), et calculons les carrés des côtés du triangle de sommets \(u\), \(x(u,v;\alpha)\), \(x(u,v';\alpha)\). On a \[ \begin{cases} \|x(u,v;\alpha) - u\|^2 \underset{\text{par raison de sym.}}{=} \|x(u,v';\alpha) - u\|^2 \\ \qquad = (\cos\alpha - 1)^2 + \sin^2\alpha = 2(1 - \cos\alpha) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \\[1ex] \|x(u,v,\alpha) - x(u,v',\alpha)\|^2 = \sin^2\alpha \, \|v - v'\|^2 \\ \qquad = \sin^2\alpha \; 4 \sin^2 \frac{\theta}{2} = \Bigl(4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}\Bigr)\Bigl(4 \sin^2 \frac{\theta}{2}\Bigr) \end{cases} \]

4Donc pour que ces trois points forment un triangle équilatéral (il est de toutes façons isocèle) il faut qu'on ait \[ \text{(1)} \qquad \cos\frac{\alpha}{2} = \pm \frac{1}{2 \sin \theta/2} . \] un mot biffé, illisible, après la formule (1). [NB Un tel \(\alpha\) existe sss \(|\sin\frac{\theta}{2}| \geqslant \frac{1}{2}\), i.e. si \(0 \leqslant \theta \leqslant \pi\), sss \(\frac{\pi}{6} \leqslant \frac{\theta}{2} \leqslant \frac{5\pi}{6}\) i.e. \(\frac{\pi}{3} \leqslant\) \(\boxed{\theta \geqslant \frac{\pi}{3}}\)] ou encore, comme \(\cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1\) \[ \text{(1')} \qquad \cos\alpha = \frac{1}{2\sin^2\theta/2} - 1 = \frac{1 - 2\sin^2\theta/2}{2\sin^2\theta/2} = \frac{\cos\theta}{2\sin^2\theta/2} = \frac{\cos\theta}{1 - \cos\theta} \] NB \(\begin{cases} \cos 2\alpha = -\frac{3}{5} \\ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \end{cases}\) pour \(\theta = \frac{2\pi}{5}\) Bien entendu, dans ce cas, les autres « angles dièdres » définis par ce triangle en les deux autres sommets, sont également égaux à \(\theta\). On a en fait construit ici, [choisissant la détermination principale de \(\alpha\) (comme \(0 < \alpha < \pi\)),] le seul triangle équilatéral inscrit dans la sphère \(S\), d'angle dièdre \(\theta\), ayant un sommet en \(u\), un autre [deuxième sommet \(x\)] dans la direction tangente \(v\) à \(S\) en \(u\), et situé de façon que pour le troisième sommet \(x'\) l'orientation \(\uncertain{u},x,x'\) soit directe. « choisissant la détermination principale de \(\alpha\) (comme \(0<\alpha<\pi\)) » et « deuxième sommet \(x\) » sont des ajouts interlinéaires de sa main.

Nous allons fixer par la suite \[ \text{(2)} \qquad \theta = \frac{2\pi}{5} \] et, pour quelque temps, on fixe \(u\) et \(v\). On posera \[ \text{(3)} \qquad v_i = v \cos i\theta + w \sin i\theta \qquad i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \] (de sorte que \(v_0 = v\), i.e. \(v_i = v\) si \(i \equiv 0\) (5)), et on posera […] \[ \text{(4)} \qquad x_i = x(u, v_i, \alpha) = u\cos\alpha + v_i \sin\alpha = u\cos\alpha + v\cos i\theta \sin\alpha + w \sin i\theta \sin\alpha \qquad (i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) \] NB Il est immédiat que les \(u, x_i\) sont 6 pts distincts (leurs projections sur le plan \(u^{\perp}\) sont \(0\) et les \(v_i \sin\alpha\)) à coordonnée suivant \(u > 0\) ; donc les \(u, x_i, u', x'_i\) sont 12 points distincts de \(S\) où \(\alpha\) est fixé par (1) ou (1'), \(0 < \alpha < \pi\). On trouve donc cinq points en ordre circulaire sur le cercle de [centre \(u\)] rayon (rectiligne) \(4\sin^2\frac{\alpha}{2}\) tracé sur la sphère \(S\). On pose de plus \[ \text{(5)} \qquad x'_i = -x_i , \quad u' = -u \qquad (i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) \] On appelle cet ens. de 12 pts l'icosaèdre défini par \(u, v\). le « rayon (rectiligne) » \(4\sin^2\frac{\alpha}{2}\) est le carré de la distance calculée p. 3, non la distance elle-même ; tel quel sur la page.

Un ensemble de points \((x,y,z)\) de \(S\) [définissant un triangle équilatéral] d'angle au centre \(\alpha\) est appelé un triangle icosaédral ; [cela signifie aussi qu'il y a une rotation qui l'amène en \((u,x_0,x_1)\)] un ensemble de points \((a, b_0, b_1, \ldots, b_4)\) [de \(S\)] est appelé une calotte d'icosaèdre s'il existe une transformation [orthogonale] \(g \in \mathrm{O}(E)\) qui l'amène en l'ensemble précédent \((u, x_0, x_1, \ldots, x_4)\). Il revient encore au même que de dire [que son cardinal est 6, et que l'on peut ordonner cet ens. de telle façon que] que les triangles \((a, b_i, b_{i+1})\) pour \(0 \leqslant i \leqslant 3\) sont icosaédraux (et alors \((a, b_4, b_0)\) est aussi icosaédral*. Le point \(a\) est alors uniquement

5les deux premières lignes sont la note appelée par l'astérisque de la p. 4, écrite en tête de page. * On a encore que les longueurs des dix vecteurs \(a - b_i\) (\(0 \leqslant i \leqslant 4\)), \(b_i - b_{i+1}\) (\(0 \leqslant i \leqslant 4\), posant \(b_5 = b_0\)) sont égales à \[ \text{(4)} \qquad \ell = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \] Notons les longueurs correspondantes des vecteurs \(a - b'_i = a + b'_i\) \[ \text{(4')} \qquad \ell' = 2 \cos\frac{\alpha}{2} \] le numéro (4) est déjà celui de la formule qui définit les \(x_i\), p. 4 ; tel quel. notons aussi que \(\ell^2\) et \(\ell'^2\) sont les solutions de l'équation quadratique \(\lambda^2 - 4\lambda + 4\sin^2\alpha = 0\)

déterminé, et l'ens on l'appelle le sommet de la calotte d'icosaèdre, les autres points les points périphériques, et sur l'ensemble de ceux-ci (grâce à l'orientation donnée de \(S\), donc il y a alors un ordre circulaire canonique, qui en fait un torseur sous le groupe \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\). Le sous-groupe \(G_C\) de \(G = \mathrm{O}(E)\) qui laisse une calotte \(C\) invariante, […] a dix éléments, le sous-g son intersection \(G'_C\) avec \(G' = \mathrm{SO}(E)\), est le groupe (can. isom. à \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\)) des rotations d'angle multiple de \(2\pi/5 = \theta\) autour du […] vecteur \(a\). On obtient un Les cinq points de \(G_C \cap \complement G'_C\), d'ordre 2, et formant avec l'élément neutre sont les stabilisateurs dans \(G_C\) des cinq points périphériques de la calotte ; l'élément \(g_i \in G_C \cap \complement G'_C\) qui laisse \(b_i\) invariant est la symétrie p.r. au plan engendré par \(a, b_i\). La structure du groupe \(G_C\) est le produit ½ direct du […] sous groupe \(G_C\) (can. isom. à \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} = \mu_5\)) et du groupe \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), opérant sur \(G_C\) par symétrie. Enfin, le groupe \(G'_C \simeq \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} = \mu_5\) opère de façon simplement transitive sur l'ens. des pts périphériques de la calotte (ce qui redonne une définition de l'ordre circulaire can. sur leur ens.) « ½ direct » : semi-direct. Dans « du sous groupe \(G_C\) » et « opérant sur \(G_C\) », on n'aperçoit pas le prime que le sens demande (\(G'_C\)). La phrase « les cinq points de \(G_C \cap \complement G'_C\), d'ordre 2, et formant avec l'élément neutre … » reste inachevée telle que les ajouts interlinéaires l'ont laissée.

Jusqu'à maintenant le choix \(\theta = 2\pi/5\) n'a pas joué de rôle particulier : on aurait pu prendre \(\theta = 2\pi/m\), et le groupe des \(m\) rotations multiples de \(2\pi/m\) aurait remplacé celui envisagé. Cela va changer avec le

Lemme. L'ensemble \((x_0; x_1, u, x_{-1}, x'_2, x'_{-2})\) est une calotte d'icosaèdre de sommet \(u\), l'ordre circulaire canonique étant celui écrit. la notation \((a; b_0, \ldots)\) désigne \(x_0\) comme sommet ; la lettre après « sommet » se lit pourtant \(u\).

Démonstration. Faisant la symétrie p.r. au plan engendré engendré par \(u, x_0\) (qui échange \(x_1\) et \(x_{-1}\), \(x'_2\) et \(x'_{-2}\)) on est ramené, à une question d'orientation près, à montrer que les trois triangles longueurs des trois vecteurs \(x_0 - x'_2\), \(x_{-1} - x'_2\), \(x'_2 - x'_{-2}\) sont égales à la (4) — et où on peut se dispenser de la dernière vecteur. au-dessus de « dernière » biffé, un ajout : vérifier pour […]. […] Il sera plus astucieux de montrer que si […] on considère l'élément \(\gamma^{w}_{\alpha}\) de \(G' = \mathrm{SO}(E)\) qui est l'identité sur \(w\), et qui dans le plan \((u,v)\) est la rotation d'angle \(\alpha\) autour de \(w\) et l'élément \(\gamma^{u}_{\frac{\theta}{2}}\) qui est la identité sur […] et qui est rotation d'angle \(-\theta/2\) autour de \(u\), et si on pose

6\(\gamma = \gamma^{w}_{\alpha} \gamma^{u}_{-\theta/2}\), alors \(\gamma\) transforme la calotte \((u, (x_i)_{i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}})\) en l'[…] ensemble dit, plus précisément que l'on a les six relations \[ \gamma u = x_0 , \quad \gamma x_0 = x'_{2} , \quad \gamma x_1 = x'_{-2} , \quad \gamma x_2 = x_1 , \quad \gamma x_3 = u , \quad \gamma x_4 = x_{-1} \] dans \(\gamma x_0 = x'_2\) et \(\gamma x_2\), l'indice 2 est récrit par-dessus un autre.

Faisons le calcul : \[\begin{align*} \gamma u &= \gamma^{w}_{\alpha}(u) = u\cos\alpha + v\sin\alpha \\ \gamma v &= \gamma^{w}_{\alpha}\Bigl(v\cos\frac{\theta}{2} - w\sin\frac{\theta}{2}\Bigr) = (-u\sin\alpha + v\cos\alpha)\cos\frac{\theta}{2} - w\sin\frac{\theta}{2} \\ &= -u\sin\alpha\cos\frac{\theta}{2} + v\cos\alpha\cos\frac{\theta}{2} - w\sin\frac{\theta}{2} \\ \gamma w &= \gamma^{w}_{\alpha}\Bigl(+v\sin\frac{\theta}{2} + w\cos\frac{\theta}{2}\Bigr) = (-u\sin\alpha + v\cos\alpha)\sin\frac{\theta}{2} + w\cos\frac{\theta}{2} \\ &= -u\sin\alpha\sin\frac{\theta}{2} + v\cos\alpha\sin\frac{\theta}{2} + w\cos\frac{\theta}{2} \end{align*}\] plusieurs signes et plusieurs \(\cos\) / \(\sin\) de ces lignes sont repassés à l'encre ; on transcrit la forme finale. \[ \gamma = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\cos\frac{\theta}{2} & -\sin\alpha\sin\frac{\theta}{2} \\ \sin\alpha & \cos\alpha\cos\frac{\theta}{2} & \cos\alpha\sin\frac{\theta}{2} \\ 0 & -\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \] \[\begin{align*} \gamma u &= u\cos\alpha + v\sin\alpha = x_0 \qquad \text{OK} \\ \gamma x_0 &= \gamma u \cos\alpha + \gamma v \sin\alpha = u\Bigl(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\cos\frac{\theta}{2}\Bigr) + v\Bigl(\sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha\cos\alpha\cos\frac{\theta}{2}\Bigr) \\ &\qquad - w\Bigl(\sin\alpha\sin\frac{\theta}{2}\Bigr) \end{align*}\] Or \(x'_2 = -x_2 = -u\cos\alpha - v\cos 2\theta\sin\alpha - w\sin 2\theta\sin\alpha\) au-dessus du signe devant \(v\), un petit signe de correction, […].

à prouver \[ \begin{cases} -\cos\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\cos\frac{\theta}{2} \\ -\cos 2\theta \struck{\sin\alpha} = \struck{\sin\alpha}\cos\alpha\Bigl(1 + \cos\frac{\theta}{2}\Bigr) \\ \struck{\ill{}} \sin 2\theta = \struck{\sin\alpha} \sin\frac{\theta}{2} \end{cases} \] \[ \gamma x_1 = \gamma u \cos\alpha + \gamma v \sin\alpha\cos\theta + w\sin\alpha\sin\theta \] \(=\) le calcul s'arrête là ; le reste de la page est blanc.

7Cor. Soit […] \(g \in G = \mathrm{O}(E)\) transformant la calotte \((u, (x_i))\) en celle du Lemme. Alors \(g\) invarie l'icosaèdre \(I = I_{u,v}\). En effet, il est immédiat que l'icosaèdre associé à cette deuxième calotte est encore \(I\).

Soit \(\Gamma_I = \Gamma_{u,v}\) le sous-groupe de \(G = \mathrm{O}(E)\) qui laisse l'icosaèdre \(I = I_{u,v}\) invariant, \(\Gamma' = \Gamma \cap G'\) le sous-groupe formé des rotations de \(\Gamma\). Il est clair que \(\Gamma'\) est d'indice 2 dans \(\Gamma\) (N.B. \(-1 \in \Gamma \cap \complement\Gamma'\)) et que \(\Gamma\) est donc le produit \[ \Gamma \simeq \mu_2 \times \Gamma' \]

Théorème. \(\Gamma'\) opère de façon transitive sur l'ens. des sommets de l'icosaèdre, \(I\), et de façon simplement transitive sur l'ens. des couples \((x, d)\) où \(x\) est un sommet de l'icosaèdre, \(I\) une arête. \(\Gamma\) opère de façon simplement transitive sur l'ens. des triples \((x,y,z)\) de points de \(I\) formant une face*. « \(I\) une arête » : tel quel ; le \(d\) du couple \((x,d)\) est récrit par-dessus une autre lettre. * On peut aussi dire sur l'ens. des triples d'arêtes formant […] — […] c'est évidemment équivalent.

On a oublié de préciser que par définition les arêtes de l'icosaèdre \(I\) sont les 30 segments suivants de longueur \(\ell\) qui joignent : \[ \begin{cases} (u, x_i), & \struck{\ill{}} \; (u', x'_i) \\ (x_i, x_{i+1}), & (x'_i, x'_{i+1}) \qquad i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \\ (x_i, x'_{i-2}) & (x'_i, x_{i-2}) \end{cases} \] Ce sont aussi les ensembles couples \((x,y)\) d'éléments distincts de l'icosaèdre, de distance minimum (laquelle est \(\ell\)) — il sera plus facile à vérifier, après transitivité de \(\Gamma'\) sur l'ens. des sommets.

De plus, on appelle faces de l'icosaèdre une partie de 3 éléments des 20 ensembles de trois sommets qui fait partie des ensembles suivants (ou les triangles qu'ils déterminent) \[ \begin{array}{lll} (u, x_i, x_{i+1}) & (u', x'_i, x'_{i+1}) & i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \\ (x_i, x'_{i-2}, \underset{\textstyle x_{i+1}}{\underset{\shortparallel}{x_{i-4}}}) & (x'_i, x_{i-2}, \underset{\textstyle x'_{i+1}}{\underset{\shortparallel}{x'_{i-4}}}) & \end{array} \] les trois ajouts interlinéaires de cette phrase (« des 20 », « de trois », « 20 ») et ses ratures laissent une syntaxe flottante ; on la donne telle quelle. Ce sont aussi les triples \((x,y,z)\) tels que \((x,y)\), \((y,z)\) et \((z,x)\) soient des arêtes. Il y en a exactement cinq contenant issus du sommet \(u\) comme sommet. Ici aussi, ce sera immédiat à vérifier après la transitivité.

Démonstration. On sait déjà que les points \(x_i\) […] sont congruents sous \(\Gamma'\), et par symétrie les points \(x'_i = -x_i\) aussi. De plus le lemme nous montre que \(u\) est congruent à \(x_0\), \(x_0\) est congru (donc par symétrie \(u'\) l'est à \(x'_0\)), et par \(x_0\) à \(x'_2\) — donc tous les \(x\) sont congruents. Pour montrer Montrons que \(\Gamma'\) est simplement transitif sur l'ens. des couples \((x, d)\) i.e. des arêtes orientées \((x,y)\), […] i.e. que si \((x',y')\) en est une autre alors \(\exists!\, g \in \Gamma'\), \(gx' = x\), \(gy' = y\). On peut supposer \(x = u\), \(y = x_0\), et par la transitivité déjà établie sur les sommets, \(x' = u\). Donc […] alors \(y'\) est un des \(x_i\), et l'on sait il est clair que le stabilisateur

8Données équivalentes : \(\begin{cases} \text{l'icosaèdre + un de ses sommets} \\ \text{icosaèdre + calotte d'icosaèdre contenue dedans} \\ \text{calotte d'icosaèdre} \\ \text{un couple } (u,v) \text{ modulo rotations sur } v \text{ dans } u^{\perp} \text{ d'angle multiple de } \theta \end{cases}\) [point du fibré principal sur \(S\) de groupe \(\mathbb{T}\) quotient […] de celui formé des \((u,v)\) […]] […] Précisons que tout point de l'icosaèdre est centre d'une calotte d'icosaèdre contenue dans \(I\), déterminée unique, […] la calotte de centre \(u\) étant formée de \(u\) et des sommets reliés à \(u\) par une arête. la seconde note marginale, écrite en biais dans le coin supérieur gauche, est appelée par un signe cerclé placé après « de \(u\) dans ».

de \(u\) dans \(\Gamma'\) est aussi le sous-groupe de \(G'\) formé des des \(g \in G'\) qui invarient la calotte \((u, (x_i))\), lequel, nous avons vu, est le groupe \(\mu_5\) qui opère de façon simplement transitive sur l'ens. des \(x_i\), ok. Prouvons enfin l'assertion de [simple] transitivité de \(\Gamma\) sur l'ens. des faces triples \((x,y,z)\) qui sont une face. Procédant comme dessus, on peut supposer, utilisant ce qui est déjà démontré, que \(x = x' = u\), \(y = y' = x_0\), \(z = x_1\). Mais il n'y a que deux triangles faces […] admettant \((u, x_0)\) comme arête, leurs autres sommets sont resp. \(x_1\) et \(x_{-1}\). Si c'est \(x_{-1}\), la symétrie p.r. au plan \(u, v\) (qui évidemment invarie l'icosaèdre \(I\)) transforme \(x_{-1}\) en \(x_1\) en laissant \(u, x_0\). Il reste donc : vérifier noter que \(u, x_0, x_1\) […] étant linéairement indépendants une transformation linéaire qui fixe ces trois points est l'identité.

Corollaire. \(\Gamma'\) est d'ordre 60, \(\Gamma\) d'ordre 120.

Le premier point provient du fait que l'icosaèdre a 30 arêtes, donc \(2 \cdot 30 = 60\) arêtes orientées. Comme \(\Gamma \simeq \Gamma' \times \mu_2\), on trouve que \(\Gamma\) a 120 éléments. On peut aussi noter qu'il y a 20 faces, chacune ayant trois six ordres totaux sur l'ens. de ses sommets, ce qui fait \(6 \times 20 = 120\) triples ordonnés faisant face.

Remarque. Les sommets et arêtes de l'icosaèdre forment (avec leur relation d'incidence) un graphe, et \(\Gamma'\) opère par automorphismes de ce graphe. Montrer que tout automorphisme [g] du graphe est dans \(\Gamma'\). On est ramené à […] prouver pour qu'un automorphisme du graphe qui fixe \(u, x_0, x_1\) est l'identité. Prouvons qu'il est l'identité sur tous les points \(x_i\) (qui peuvent être reliés à […] un des sommets — \(u\) en l'occurrence — par une arête) [i.e. tous les pts de \(I\)] : en effet […] pour \(x_0, x_1\) il n'y a rien à prouver, or \(x_2\) (\(x_{-1}\)) est l'unique point de \(I\) [distinct de \(x_0\) (resp. \(x_1\))] qui est relié par à la fois à \(u\) et \(x_1\) (\(u\) et \(x_0\)), donc il est fixé, donc aussi \(x_3\) (p. ex. comme « [g] » : un petit \(g\) ajouté au-dessus de « automorphisme » ; l'ajout « i.e. tous les pts de \(I\) » est écrit au-dessus de la parenthèse, avec un signe d'insertion.

9l'unique autre point de \(I\), à part \(x_{-1}, x_0, x_1, x_2\), qui soit relié à \(u\)). Donc l'un chacun des points fixes de la calotte standard […] de centre \(u\) est fixe. La même chose est vraie pour les points de la calotte de centre \(x_0\), donc aussi [appliquant ces deux triangles \((u, x_i, x_{i+1})\)] à ceux de la calotte de centre \(x_i\), \(i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\). Mais cela donne tous les points [de \(I\)] sauf \(u'\), or celui-ci doit être fixe aussi comme le complémentaire de l'ens. précédent ! « appliquant ces deux triangles » : lecture douteuse de la tournure ; « de \(I\) » est ajouté au-dessus de la ligne.

Ainsi, on On peut aussi regarder l'ens. des faces et l'ens. des arêtes de l'icosaèdre \(I\) [et leur relation d'incidence] (NB une arête est déterminée par l'ens. des deux faces qui la contiennent), ils forment encore un graphe (dont les « sommets » sont les faces de l'icosaèdre ; on ce serait le graphe des sommets-arêtes du dodécaèdre, dual à l'icosaèdre). Je dis que le groupe des automorphismes de ce graphe est encore \(\Gamma'\) [NB il est immédiat évident que \(\Gamma\) y opère de façon fidèle]. On est encore ramené à prouver que tout automorphisme de ce graphe qui […] invarie une face donnée et ses trois arêtes, disons […] celle \((u, x_0, x_1)\), est l'identité. Or il invarie alors chacun des [trois] triangles adjacents (comme les uniques triangles adjacents distincts sur les trois arêtes envisagées), et invarie donc leurs arêtes (?) puis les triangles faces \((u, x_2, x_3)\) et \((u, x_3, x_4)\) comme les seul couple de faces adjacentes mutuellement, et adjacents resp. à \((u, x_1, x_2)\) et \((u, x_0, x_{-1})\) (dont on sait qu'ils sont invariants). Cela donne l'invariance des faces […] arêtes \((u, x_{\uncertain{2}})\) et \((u, x_4)\) comme intersection, donc aussi des arêtes restantes \((x_1, x_2)\) et \((x_0, x_{-1})\) des deux triangles faces \((u, x_1, x_2)\), \((u, x_0, x_{-1})\). Donc leurs arêtes sont fixes, donc et par symétrie on voit que pour chacune des triangles faces adjacentes à \((u, x_0, x_1)\), les […] ses faces et leurs arêtes sont fixes. À partir de là la conclusion est triviale « ses faces et leurs arêtes » : tel quel ; le sens demande « les faces adjacentes et leurs arêtes ».

10On voit ainsi que les propriétés des actions de \(\Gamma\)[…] sur les ens. de sommets, arêtes et faces de l'icosaèdre (ensembles munis de leurs relations d'incidence mutuelles) sont conséquence de la seule structure combinatoire de ces ensembles (soit le complexe sommets-arêtes, soit faces-arêtes, soit même le triple système sommets-arêtes-faces …). Il conviendrait cependant de caractériser le sous-groupe \(\Gamma'\) de \(\Gamma\) en termes combinatoires. On peut dire p. ex. que c'est le groupe qui respecte [les] ordres circulaires ([sur l'ens. des points périphériques des]) qu'il y a sur les calottes sphériques de l'icosa [de] l'icosaèdre (en termes de la structure combinatoire, on peut définir deux « syst. cohérents » d'ordres circulaires sur les calottes […], correspondants aux deux orientations possibles de l'espace ambiant). la phrase sur les ordres circulaires porte deux couches de corrections ; l'état final retenu ici est « le groupe qui [respecte] les ordres circulaires sur l'ens. des points périphériques des calottes de l'icosaèdre ».

12\[ \zeta^{3} + \zeta^{-1} + \zeta + \zeta^{-3} = \zeta + \zeta^{2} + \zeta^{3} + \zeta^{4} = -1 \] L'équation de \(\gamma\) est donc \[ \boxed{\gamma^{2} + \gamma - 1 = 0} \] donc \[ \uncertain{\mathfrak{D}}_5 = \mathbb{Z}[\tfrac{1}{5}][t]/(t^{2} + t - 1) \] \[ \boxed{\gamma = (-1 \pm \sqrt{5})/2} \] si 2 inv. Cette formule garde un sens sur tout anneau où 2 et 5 sont inversibles la lettre de l'équation, \(\gamma\), est tracée comme un \(\gamma\) bouclé ; celle de l'anneau quotient, un \(\mathfrak{D}\) ou un \(\vartheta\) gothique, n'est pas sûre. \[ 2\cos\frac{2\pi}{5} = (\sqrt{5} - 1)/2 \qquad (2\gamma + 1)^{2} = 5 \qquad \struck{4\gamma^{2} + 4\gamma = 4} \] \[ \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \qquad \cos\frac{4\pi}{5} = \frac{-\sqrt{5} - 1}{4} \qquad c^{2} + c - 1 \] \[ (-1 + \sqrt{5})/2 = \bigl((-1 - \sqrt{5})/2\bigr)^{2} - 2 = \frac{1 + 5 + 2\sqrt{5}}{4} - 2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{5} \] à gauche, un cercle partagé par cinq rayons, deux points du bord marqués d'un trait, un arc double entre deux rayons à droite : la division du cercle en cinq, sans légende. \[ \zeta \longmapsto \zeta^{2} \qquad \zeta \longmapsto \zeta^{3} \qquad \text{si } \zeta + \zeta^{-1} = t \] \[ \struck{\cos' D, D} \qquad \cos'_{\ill{}}(D, \zeta D) = \operatorname{Tr} \zeta^{2} = \zeta^{2} + \zeta^{-2} = t^{2} - 2 \] dans \(\zeta D\), le \(\zeta\) est récrit par-dessus une autre lettre. \[ t', t'' \qquad t'' = t'^{2} - 2 = (t''^{2} - 2)^{2} - 2 \qquad t' = t''^{2} - 2 \] \[ \begin{array}{cccc} \zeta & \zeta^{2} & \zeta^{3} & \zeta^{4} \\ & & \shortparallel & \shortparallel \\ & & \zeta^{-2} & \zeta^{-1} \\[1ex] \zeta + \zeta^{-1} & \zeta^{2} + \zeta^{-2} & \zeta^{3} + \zeta^{-3} & \zeta^{4} + \zeta^{-4} \\ \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel \\ \eta = \eta_1 & \eta_2 & \uncertain{\eta_2} & \eta_1 \end{array} \] sous \(\zeta^{4} + \zeta^{-4}\), une double flèche \(\Leftarrow\) pointe vers la gauche.

au pied de la page, deux lignes au crayon, tête-bêche par rapport au reste, sans rapport apparent avec le calcul qui précède :

1. d)\(\gamma((V_\lambda)) \leq \alpha_\lambda(V'_\lambda) \Longrightarrow V_\lambda \leq V'_\lambda\) ou \(\exists\, \mu \neq \lambda\) avec \(V_\mu = 0_{\uncertain{I_\mu}}\)
2. e)\(\gamma((V_\lambda)) \subset \sup_i W_i\)

le \(V\) est tracé comme un \(\forall\) barré ; la lecture \(V\) est une conjecture.

13page au crayon, écrite tête-bêche par rapport aux pages d'encre qui l'entourent, et barrée d'un long trait oblique ; elle ne traite pas de l'icosaèdre, mais d'applications croissantes entre ensembles ordonnés. Elle commence au milieu d'un calcul dont le début n'est pas dans ce lot, et se termine par « TSVP » : la suite est, selon toute apparence, les deux lignes d) et e) au pied de la p. 12. Les lettres \(U\), \(V\), \(W\) se confondent souvent sous ce crayon. \[ \begin{aligned} &= \sup_{\ill{}} [\bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V)] \wedge [\bar\alpha(U') \wedge \bar\beta(V')] \\ &= \bigl(\sup \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V)\bigr) \wedge \bigl(\sup \bar\alpha(U') \wedge \bar\beta(V')\bigr) \\ &= \bar\gamma(W) \wedge \bar\gamma(W') , \qquad \text{ok} \end{aligned} \]

\(\gamma\)) \(\bar\gamma\) commute aux Sup quelconques \[ \bar\gamma(\underbrace{\struck{\ill{}}\sup W_i}_{W}) \geq \sup\bigl(\bar\gamma(W_i)\bigr) \quad \text{clair, prouvons } \leq \] \[ \bar\gamma(W) = \sup_{\gamma(U \times V) \subset \sup_i W_i} \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V) \] la ligne précédente est reconstituée d'un « \(\shortparallel\) » placé sous \(\bar\gamma(\sup W_i)\), d'un « Sup » et, dessous, de la condition « \(\gamma(U \times V) \subset \sup W_i\) ». à prouver que l'on a \(\bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V) \leq \sup_i \bar\gamma(W_i)\). Or on a, si \(\gamma(U \times V) \subset \sup W_i\) : \[ \begin{array}{l} U = \sup U_j \\ V = \sup V_k \end{array} \;\Big|\; \forall\, j, k \ \exists\, i \text{ avec } \gamma(U_j \times V_k) \leq W_i \] Donc \[ \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V) = \bigl(\sup_j \bar\alpha(U_j)\bigr) \wedge \bigl(\sup_k \bar\beta(V_k)\bigr) = \sup_{j,k} \bar\alpha(U_j) \wedge \bar\beta(V_k) \qquad \Bigl(\overset{?}{\leq} \sup_i \bar\gamma(W_i)\Bigr) \] et comme \(\exists\, i\) \(\surd\) \(\gamma(U_j \times V_k) \leq W_i\), on a \[ \bar\alpha(U_j) \wedge \bar\beta(V_k) \leq \bar\gamma(W_i) \leq \sup_{i'} \bar\gamma(W_{i'}) \qquad \text{qfd} \]

Généralisation aux sommes (produits) infinies : \[ (I_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \qquad I_\lambda \in \operatorname{Ob}(\uncertain{\mathrm{OM}}) \] \(\prod' I_\lambda\) partie du produit formée des \((V_\lambda)\) tels que \(V_\lambda = 1_{I_\lambda}\) pour presque tout \(\lambda\) \[ \alpha^{0}_{\mu} : I_\mu \longrightarrow \prod{}' I_\lambda \qquad \alpha^{0}_{\mu}(x)_\lambda = \begin{cases} x & \text{si } \lambda = \mu \\ 1_{I_\lambda} & \text{si } \lambda \neq \mu \end{cases} \qquad \text{appl. cr.} \] \[ \gamma : \prod{}' I_\lambda \longrightarrow K \quad \text{flèche dans } (\uncertain{\mathrm{OM}}) \] \[ \alpha_\mu = \gamma \circ \alpha^{0}_{\mu} : I_\mu \to K \quad \text{appl. cr.} \] On suppose

1. a)Les \(\alpha_\mu\) commutent aux Sup quelc.
2. b)\(\gamma\) commute aux Inf finis [en particulier \(\gamma((V_\lambda)) = \inf_\lambda \alpha_\lambda(V_\lambda)\) (Inf en fait fini) ; et les \(\alpha_\mu\) sont des morphismes de \((\uncertain{\mathrm{OM}})\)]
3. c)Tout élément de \(K\) est le sup d'éléments de \(\prod'_\lambda I_\lambda\)

TSVP « (OM) » : deux lettres capitales entre parenthèses, désignant une catégorie d'ensembles ordonnés ; la lecture des lettres n'est pas sûre. Au c), on attendrait « d'éléments de \(\gamma(\prod' I_\lambda)\) ».

14page de calculs épars, sans texte suivi ; on les donne dans l'ordre de lecture, de haut en bas et de gauche à droite. La lettre ronde tracée comme un \(\vartheta\) (déjà p. 12) est rendue \(\vartheta\) ; le \(\mu\) à double jambage est rendu \(\mu\). \[ \Gamma = (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{*} \simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \qquad \begin{array}{ccc} \mu_5 & \supset & \mu_5^{*} \\ | & & | \\ \operatorname{Spec} \mathbb{Z} & \longleftarrow & \mathbb{Z}[\frac{1}{5}] \end{array} \] fini étale de rang 4 sur \(\mathbb{Z}[\frac{1}{5}]\) ; […] Galoisien de groupe \(\Gamma\). \[ \struck{\ill{}}\; \tau = \mu_5^{*}/\beta \quad \text{engendré par } \struck{\zeta}\, \zeta + \bar\zeta = \zeta + \zeta^{-1} = \eta \] sous le premier \(\zeta\), une flèche : « racine primitive universelle ».

• deux générateurs \((\alpha, \alpha')\) : 2 et 3 (\(= -2\)) mod 5
• un élément d'ordre 2 (\(-\beta\)) : \(-1\) ou 4 mod 5
• un élément d'ordre 1 : 1 mod 5

Sur \(\mu_5(S)\) l'effet est \[ \zeta \mapsto \zeta^{2} \text{ ou } \zeta \mapsto \zeta^{-2} = \zeta^{3} \text{ resp.} \qquad \zeta \mapsto \zeta^{-1} = \zeta^{4} \qquad \zeta \mapsto \zeta \] \[ \begin{array}{c} B \supset B^{\Gamma} \\ | \\ A \end{array} \qquad B = A[\zeta] \struck{\ill{}} = A[T]/(1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4}) \qquad T \longmapsto T^{4} \] \[ \begin{aligned} \beta(T) &= T^{-1} = T^{4} = -(1 + T + T^{2} + T^{3}) \\ \beta(T^{2}) &= T^{-2} = T^{3} \\ \beta(T^{3}) &= T^{-3} = T^{2} \\ \beta(T^{4}) &- \end{aligned} \qquad\qquad 1 = T^{0} \mid T \quad T^{2} \quad T^{3} \] \[ \begin{aligned} \beta(c_0 + c_1 T + c_2 T^{2} + c_3 T^{3}) \struck{\ill{}} &= c_0 \mathbin{\ill{}} c_1(\uncertain{-1} + T + T^{2} + T^{3}) + c_2 T^{3} + c_3 T^{2} \\ &= (c_0 - c_1) - c_1 T + (c_3 - c_1) T^{2} + (c_2 - c_1) T^{3} \\ &\overset{?}{=} c_0 + c_1 T + c_2 T^{2} + c_3 T^{3} \end{aligned} \] \[ c_1 = 0 \qquad c_2 = c_3 \qquad\qquad c_0 + c_2 (T^{2} + T^{3}) \] le signe entre \(c_0\) et \(c_1\) est couvert d'une tache ; la ligne suivante suppose \(c_0 - c_1(1 + T + T^{2} + T^{3})\).

\({}_n\mathcal{U}\) étale de rang […] sur \(\mathbb{Z}\) si \(n\) premier ; […] \(\mu_n\) tordu par \(T\) \[ \begin{array}{c} \mu_n \\ \cup \\ \mu_n^{*} \\ \downarrow \\ S \end{array} \quad (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} \qquad \zeta \longmapsto \zeta^{-1} \] à gauche, un grand cercle sans légende, marqué \(\varphi(n)\) sur son bord droit ; deux traits obliques relient \(\mu_n^{*}\) à \(S\). \[ \varphi(n) = \prod \bigl(p_i^{\alpha_i} - p_i^{\alpha_i - 1}\bigr) \qquad \text{pas gros} \qquad p^{n} - p^{n-1} = p^{n-1}(p - 1) \qquad (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} \ni -1 \] or \[ \begin{array}{ccccc} \mu_n^{T} & \subset & \mathcal{U} & & \\ \cup & & & & \\ \mu_n^{*T} & \subset & \mathcal{U} & & \zeta + \bar\zeta \\ \Big\downarrow{\scriptstyle \text{étale rang } 2} & & \Big\downarrow{\scriptstyle \operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}} & & \\ \vartheta_n^{T} = \mathcal{V}_n & \subset & \mathcal{O} & & \\ \Big\downarrow{\scriptstyle \text{étale rang } \uncertain{\varphi(n)/2}} & & & & \\ S & & & & \end{array} \] \[ \begin{array}{ccc} \mu_n & \subset & \mathbb{G}_m \\[1ex] \mu_n^{*} & \subset & \mathbb{G}_m \\ \downarrow & & \downarrow{\scriptstyle \rho} \\ \vartheta_n & \subset & \mathbb{E}^{1} \end{array} \qquad \rho(\lambda) = \lambda + \lambda^{-1} \] \[ \zeta + \zeta^{-1} \;\Big|\; \begin{array}{l} \frac{p - 1}{2} = 2 \\ \cos \end{array} \] \[ 1 + \zeta + \zeta^{2} + \zeta^{3} + \zeta^{4} = 0 \qquad \zeta + \zeta^{-1} = \gamma \] \[ \begin{aligned} \operatorname{Tr} \gamma &= \gamma + \gamma^{\alpha} = \zeta + \zeta^{-1} + \zeta^{2} + \zeta^{-2} = \zeta + \zeta^{2} + \zeta^{3} + \zeta^{4} = -1 \\ \operatorname{N} \gamma &= \gamma\gamma^{\alpha} = (\zeta + \zeta^{-1})(\zeta^{2} + \zeta^{-2}) = \end{aligned} \] le calcul de la norme s'arrête sur ce signe \(=\).

15au crayon, barrée d'un long trait oblique comme la p. 13. Cette page précède en fait celle-là : son dernier calcul, \(\bar\gamma(W \wedge W') = \ldots\), se poursuit en tête de la p. 13, qui continue par le point \(\gamma\)) après les \(\alpha\)) et \(\beta\)) d'ici. Le début (hypothèses a), b), c) et la catégorie (OM)) n'est pas dans ce lot. Alors \(\alpha, \beta : \begin{array}{l} I \to K \\ J \to K \end{array}\) [font de \(K\) une somme de \(I, J\) dans \((\mathrm{OM})\)] sont dans \((\mathrm{OM})\) (grâce à a) b)), je dis qu'ils la ligne interlinéaire au-dessus, reliée par un trait, s'insère après « \(J \to K\) ».

a) \(\alpha, \beta\) épimorphiques i.e. pour \(L \in \operatorname{Ob}(\mathrm{OM})\), \[ \struck{\ill{}} \qquad \operatorname{Hom}_{\mathrm{OM}}(K, L) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathrm{OM}}(I, L) \times \operatorname{Hom}_{\mathrm{OM}}(J, L) \qquad \varphi \longmapsto (\varphi \circ \alpha, \varphi \circ \beta) \] injectif.

En effet, si on connaît \(\varphi \circ \alpha\) et \(\varphi \circ \beta\), i.e. \(\varphi\) sur les \(\gamma(x \times 1)\) et \(\gamma(1 \times y)\), on les connaît sur leurs \(\wedge\) deux à deux \(\gamma(x \times y)\) (par b)) donc sur les Sup de objets de ces \(\gamma(\ldots)\) donc sur tout \(K\) (par c)).

b) Ceci est surjectif. Donnons-nous donc \[ \bar\alpha : I \longrightarrow L \qquad \bar\beta : J \longrightarrow L \qquad \text{dans } (\mathrm{OM}) \] définissons une application \[ \bar\gamma : K \longrightarrow L \] par \[ \bar\gamma(W) = \sup_{\substack{U \in I \\ V \in J \\ \gamma(U \times V) \subset W}} \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V) \]

1°) Prouvons d'abord \[ \bar\gamma \circ \alpha = \bar\alpha , \qquad \bar\gamma \circ \beta = \bar\beta \] Or \[ (\bar\gamma \circ \alpha)(U') = \bar\gamma(U' \times 1) = \sup_{\gamma(U \times V) \leq \gamma(U' \times 1)} \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V) \] Or les \(U \times V\) en question sont, en vertu de d), ceux pour lesquels ou bien \(V = 0_I\) (l'élément correspondant du Sup est alors \(0_{\uncertain{K}}\), et ne compte pas), ou bien ceux pour lesquels \(U \subset U'\), \(V\) quelconque. Donc le Sup est \(\bar\alpha(U') \wedge \bar\beta(1) = \bar\alpha(U')\), OK. On prouve de même \(\bar\gamma \circ \beta = \bar\beta\). « en vertu de d) » : la condition d) est l'une des deux lignes au crayon du pied de la p. 12. \(0_I\) tel quel (on attendrait \(0_J\)).

2°) Prouvons que \(\bar\gamma\) est un morphisme de \((\mathrm{OM})\).

1. \(\alpha\))\(\bar\gamma\) croissant : clair
2. \(\beta\))\(\bar\gamma\) commute aux Inf finis.

\[ \bar\gamma(1_K) \struck{\ill{}} \overset{\text{def}}{=} \bar\alpha(1_I) \wedge \bar\beta(1_J) = 1_K \] Inf de famille vide \[ \bar\gamma(W \wedge W') = \sup_{\gamma(U \times V) \subset W \wedge W'} \bar\alpha(U) \wedge \bar\beta(V) = \sup_{\substack{\gamma(U \times V) \subset W \\ \gamma(U' \times V') \subset W'}} \bar\alpha(U \wedge U') \wedge \bar\beta(V \wedge V') \] [d'où \(\gamma(U \wedge U' \times V \wedge V') \subset W \wedge W'\) via (b)] « \(= 1_K\) » : tel quel ; on attendrait \(1_L\). Les lettres \(U\), \(V\) sont peu distinctes au crayon.

16feuillet de carnet à spirale, en largeur, couvert de croquis à l'encre et au crayon : fleurs à trois, quatre ou cinq pétales, dont l'une est légendée, en marge gauche, « corolle », « racine », « tige », « cœur », « pétale » ; tétraèdres et pyramides, dont l'un avec un point intérieur relié aux sommets ; un losange à diagonales suivi d'un « \(G\) » ; un hexagone découpé en six triangles, relié par un arc au sommet d'une fleur et légendé « \(\mathrm{O}(3)\) », « \(\mathrm{SO}(3)\) » ; une suite d'ovales emboîtés dont les deux plus intérieurs portent « \(u_1\) » et « \(u_0\) » cerclé ; un carré inscrit dans un carré, reliés par les diagonales ; un graphe sur six sommets marqués de ronds et de croix ; un cube dont trois faces sont fléchées vers un sommet. On transcrit ci-dessous les formules et les mots, sans restituer la disposition. \[ \underline{X} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \qquad \underline{\hat X} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) , \] correspondant […] \[ x \subset e \qquad x \quad y \qquad z \to x \cap y \] \[ 4 \longrightarrow 3 \longrightarrow 2 \longrightarrow 1 \longrightarrow 0 \] \[ X_1 \longleftarrow X_0 \qquad y \leq x \qquad U_x \subset U_y \qquad F(y) \longrightarrow F(x) \] en haut, au crayon, « \(8 \times 6\) » et, à côté d'un symbole inachevé, « 789 » ou « 989 ».

opinion […] […] homogène \(X \simeq G/H\) […] \(= [x \in S^{2}]\) et même cas […] particulier de \(S^{1}\)). \[ \operatorname{Hom}_G(X, E) \subset \operatorname{Hom}_G(P_S, E) \simeq E \] savoir l'unique application \(g \longmapsto gx\) telles que l'on ait \(gx = ghx\) i.e. \(E^{H}\) « \(P_S\) » : lecture douteuse. Le passage « \(gx = ghx\) i.e. \(E^{H}\) » décrit, semble-t-il, l'identification de \(\operatorname{Hom}_G(G/H, E)\) aux invariants \(E^{H}\).

17feuillet de carnet à spirale, écrit en travers, au crayon et à l'encre : le calcul des pp. 3–4, avec d'autres lettres (\(\rho_i\), \(v'\), \(w'\), \(x(\alpha)\), \(y(\alpha)\)). Des croquis l'accompagnent : un cône de sommet le centre, découpé en triangles d'angle au sommet \(\alpha\) (côtés marqués \(1\), \(\rho\), \(\alpha\)) et légendé « \(0 \leqslant i \leqslant 4\) » ; les vecteurs \(u\), \(v\) issus du centre d'une sphère ; deux cercles tangents, l'un portant deux axes, l'autre un angle. \(u, v, w\) \[ \struck{\ill{}} + v \cos i\frac{2\pi}{5} + w \sin i\frac{2\pi}{5} = \rho_i \qquad \boxed{0 \leqslant i \leqslant 4} \] \[ \begin{cases} u \\ u\cos\alpha + \rho_i \sin\alpha \\ -u\cos\alpha - \rho_i \sin\alpha \\ -u \end{cases} \] le \(u\) de la première ligne de l'accolade est écrit par-dessus un gribouillis qui couvre aussi le début de la ligne précédente. \[ \frac{4\pi}{5} < \frac{2\pi}{3} \qquad \frac{\pi}{3} < \qquad \frac{4\pi}{5} \to \frac{\pi}{6} \;? \qquad \frac{4\pi}{5} \leqslant \frac{5\pi}{6} \] ces inégalités, éparses dans la marge des croquis, sont données telles quelles ; la première est fausse (\(4\pi/5 > 2\pi/3\)), la dernière a son \(4\) récrit.

\(u, v', w'\) vecteurs unitaires \[ \begin{array}{l} u \perp v' \\ u \perp w' \end{array} \qquad v'w' = \cos\frac{2\pi}{5} \] \[ \begin{aligned} x(\alpha) &= u\cos\alpha + v'\sin\alpha \\ y(\alpha) &= u\cos\alpha + w'\sin\alpha \end{aligned} \] \[ x(\alpha) - u = u(\cos\alpha - 1) + v'\sin\alpha \] \[ \begin{aligned} \|x(\alpha) - u\|^{2} = \|y(\alpha) - u\|^{2} &= (\cos\alpha - 1)^{2} + \sin^{2}\alpha = 2 - 2\cos\alpha \\ &= 4\sin^{2}\frac{\alpha}{2} \qquad \Bigl(1 - \cos\alpha = 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\Bigr) \end{aligned} \] \[ \|x(\alpha) - u\| = 2\sin\frac{\alpha}{2} \] \[ \begin{aligned} \|x(\alpha) - y(\alpha)\|^{2} &= \|v'\sin\alpha - w'\sin\alpha\|^{2} \\ &= \sin^{2}\alpha \, \|v' - w'\|^{2} = \sin^{2}\alpha \Bigl(2 - 2\cos\frac{2\pi}{5}\Bigr) \\ &\struck{= \sin^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha - 2\cos\frac{2\pi}{5}\sin^{2}\alpha} \\ &= 4\sin^{2}\alpha \sin^{2}\frac{\pi}{5} \struck{= \ill{}} \end{aligned} \] \[ \|x(\alpha) - y(\alpha)\| = 2\sin\alpha \sin\frac{\pi}{5} = 4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\pi}{5} \] \[ \|x(\alpha) - u\| = \|y(\alpha) - u\| = \|x(\alpha) - y(\alpha)\| \] \[ \Longleftrightarrow \quad 2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\pi}{5} = 1 \quad \text{i.e.} \quad \boxed{\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2\sin\pi/5}} \] NB \(2\sin\frac{\pi}{5}\) = côté du pentagone régulier unité

18feuillet de carnet à spirale ; le bloc de gauche est écrit en travers, le reste droit. Au centre, une projection de l'icosaèdre sur le plan orthogonal à un axe : un décagone dont les sommets portent alternativement \(A_1, A'_3, A_0, A'_2, A_4, A'_1, A_2, A'_0, A_3, A'_4\) (plusieurs lettres récrites, \(A\) par-dessus \(\alpha\)), le centre marqué \(s\) et \(s'\), les deux pentagones \(A_i\) et \(A'_i\) tracés, l'un en trait appuyé. \(G\) groupe d'ordre 60, opérant [transitivement] sur \(I\) ens. d'ordre 15, sur lequel il y a un automorphisme \(\alpha\) d'ordre 3 commutant à \(G\), d'où \(I/\alpha = J\) ens. à 5 éléments, sur lequel \(G\) opère transitivement. Le sous-groupe de stabilité d'un [\(\mathrm{elt}\) de \(J\)] est un sous-groupe \(\mathfrak{F}\) d'ordre 12 de \(G\), et on trouve \(G \to \mathfrak{S}_5\) [ordre 120]. […] si on sait que \(G\) opère fidèlement sur \(J\), alors \(G \to \mathfrak{S}_5\) est injectif, donc \(G \simeq\) sous-groupe d'indice 2 de \(\mathfrak{S}_5\), donc \(G \simeq \mathfrak{A}_5\). « transitivement », « elt de \(J\) » et « ordre 120 » sont interlinéaires. \[ \begin{aligned} (AB, A'B') &= P \\ (EC', CE') &= Q = \alpha(P) \\ (SD, S'D') &= R = \alpha(Q) = \alpha^{2}(P) \\ (AB, A'B') &= \uncertain{\alpha(R)} = \alpha^{2}(Q) = \alpha^{3}(P) \end{aligned} \] les lettres \(A, B, C, D, E, S\) ne sont pas portées sur la figure ; les couples sont apparemment des couples d'arêtes opposées. La dernière ligne est juste : \(R = \alpha(Q)\) donne \(\alpha(R) = \alpha^{2}(Q) = \alpha^{3}(P)\), et l'on revient à \(P = (AB, A'B')\) parce que \(\alpha\) est d'ordre 3.

\(\sigma \in G\), laissant stable \((P, Q, R)\), donc \(\sigma \in N\) (normalisateur d'un […] de Sylow\(_2\) […]) ; l'intersection des conjugués de \(N\) est un sous-groupe de \(N\) invariant, donc soit \(N\), soit \(\uncertain{\mathfrak{F}_2}\), soit \(0\). Ce n'est pas \(N\), ni \(\uncertain{\mathfrak{F}_2}\) la phrase s'arrête au bord du feuillet.

\[ \alpha D \longrightarrow D \qquad \begin{array}{cc} 30 & 15 \\ \uncertain{\alpha^{!}}? & \alpha \end{array} \] \(\alpha^{\uncertain{13}}\) est d'ordre 2 ou 1 [transform[…] […] […] orientation […] […] […]] \[ G/\mathfrak{F}_2 \longrightarrow G/\mathfrak{F}_4 \qquad 2, 4, 3, 1 \] au-dessus, quelques signes au crayon très pâle, illisibles. \[ \frac{\pi}{\uncertain{3}} \leqslant \frac{2\pi}{5} \leqslant \frac{5\pi}{6} \qquad \cos\alpha = \cos^{2}\frac{\alpha}{2} - \sin^{2}\frac{\alpha}{2} = 2\cos^{2}\frac{\alpha}{2} - 1 = \frac{1}{2\sin^{2}\theta} - 1 = 1 - 2\sin^{2}\theta = \cos 2\theta \] la chaîne pour \(\cos\alpha\) est écrite en colonne, deux lignes intermédiaires se chevauchant ; on la donne telle qu'on la lit, sans en vérifier les égalités. Près d'elle, \(\alpha'_{12} = \pi - \frac{\alpha}{2}\) (lecture douteuse), et un petit triangle rectangle dont l'hypoténuse porte \(2\sin\frac{\alpha}{2}\) et un côté \(4\), avec « \(\ell^{2} = 4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\) ». \[ u \to u\cos\alpha + v\sin\alpha \qquad v \to u(-\sin\alpha) + v\cos\alpha \]

19feuillet de brouillon du même carnet, écrit dans deux sens (une partie à l'encre droite, la plus grande partie au crayon en travers), sans ordre suivi. On donne les formules lisibles par groupes ; les croquis (un triangle isocèle d'angle au sommet \(\theta\) et de côtés \(\rho\), avec \(2\rho\sin\frac{\theta}{2}\) ; un cône de demi-angle \(\alpha\) avec \(\cos\alpha\) et un angle de \(72^{\circ}\) ; trois vecteurs issus d'un point ; un décagone ; un cercle traversé d'un triangle rectangle) ne sont que signalés.

À l'encre, en tête : \[ \frac{1\,2\,3\,4\,\struck{0}}{2,4,1,3,0} \qquad \frac{}{3,1,4,2,0} \qquad \zeta \quad \zeta^{2} \] \[ u, 2u, 3u, 4u, 0 \qquad \zeta^{i} \qquad e^{i\theta} \qquad u^{2} + w^{2} = 1 \qquad \theta^{2} + \mu^{2} = 1 \qquad x^{2} - y^{2} \] les deux lignes de permutations \(2,4,1,3,0\) et \(3,1,4,2,0\) sont les images de \(1,2,3,4,0\) par \(i \mapsto 2i\) et \(i \mapsto 3i\) modulo \(5\) ; à côté, « \(\mathfrak{S}_{i_0}\) » et une matrice commençant par \(\cos\theta\), inachevée.

Au crayon : \[ g(\sigma . i) \qquad \rho(g)(\sigma . i) = \bigl(\rho(g)\ldots\bigr)\bigl(\rho(\ldots)\bigr) \qquad g(\sigma i) = g\sigma g^{-1}\, gi \] \[ G/H = X \ni e \qquad y e = a . e = a \qquad y x = y g e = g \uncertain{u} e = g' a e = \ill{} \] \[ b' = b h \qquad b^{-1} b' \in H \quad \Longrightarrow \quad (ba)^{-1} b' a \in H \quad \text{i.e.} \quad a^{-1} b^{-1} b' a \in H \quad \text{i.e.} \quad a^{-1} H a \subset H \] \[ \frac{N(H')}{\bigcap \operatorname{Conj} H} \qquad N(H) \cap N(H') = N(\uncertain{H'}) \subset N(H) = \mathfrak{Z}_3 . \mathfrak{F}_2^{2} \qquad \begin{array}{ccc} N(H') & \subset & N(H) \\ \cup & & \cup \\ H' & \subset & H \;\text{---}\; \mathfrak{F}_2^{2} \\ \cup & & \cup \\ K \cap H' = K'_0 & \subset & K' = 0 \end{array} \] « \(\mathfrak{Z}_3 . \mathfrak{F}_2^{2}\) » est récrit par-dessus d'autres signes ; la lecture est douteuse. \[ \cos^{2}\alpha \cos\frac{2\pi}{5} = \cos\alpha \qquad 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{2\pi}{5} = 1 \qquad \boxed{\cos\alpha = \frac{1}{2\sin\frac{2\pi}{\uncertain{10}}}} \] \[ 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} = 0 \qquad \Bigl(2\sin\frac{\alpha}{2}\Bigr)\Bigl(2\sin^{2}\frac{\pi}{\uncertain{4}}\Bigr) \qquad \alpha = 60\,? \] \[ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \sqrt{3}\sin\frac{\pi}{5} = 1 \qquad \frac{\pi}{6} \] les relations entre \(\alpha\) et \(\pi/5\) de ce feuillet ne s'accordent pas toutes avec celle, encadrée, des pp. 4 et 17 ; ce sont des essais, transcrits sans correction.