Cote n° 161-6 · pages 1–33 · Lecture modernisée · Graphes, icosaèdre [etc.] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1973-vers 1977] — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–33

Le fil du dossier, et les conventions

Les pièces. Le dossier est fait de feuillets de nature différente, sans pagination de sa main. Les pages 2, 11, 20, 23 et 31 sont blanches.

1. Page 1, la chemise. Sur l'onglet, au crayon : « Graphes, icosaèdre ». En tête, un « 6 » cerclé, un mot qui se lit peut-être « Groupes », et entre parenthèses une mention de prêt : « Notes sur formes paradoxiques prêtées à Labarde », ou « à Laborde » : les deux mots décisifs sont d'une lecture incertaine, et dans le nom la main ne distingue pas le a du o.¹
2. Pages 3 à 10, encre sur papier réglé, titrée « L'icosaèdre » : une mise au net (section I).
3. Pages 14 et 12, encre : calculs sur les racines cinquièmes de l'unité, à lire dans cet ordre (section III).
4. Pages 15, 13 et pied de la page 12, crayon : une démonstration sur des ensembles ordonnés (section V). Les pages 15 et 13 sont barrées chacune d'un long trait oblique, les deux lignes du pied de la page 12 ne le sont pas ; la page 13 et ces deux lignes sont écrites tête-bêche par rapport à l'encre, la page 15 dans le même sens qu'elle.
5. Pages 16 à 19, quatre feuillets d'un carnet à spirale : croquis, le calcul des pages 3 et 4 avec d'autres lettres, le groupe \(\mathfrak{A}_5\) (section II).
6. Page 21, l'icosaèdre relativement à une forme quadratique (section IV).
7. Page 22, écrite dans l'autre sens et barrée d'une croix : le produit d'un topos par un topos de préfaisceaux (section VI).
8. Pages 24 à 30 : plongements d'un graphe dans une surface orientée (section VII).
9. Pages 32 et 33 : graphes à groupe transitif (section VIII).

Le fil. Trois sujets, que rien sur les pages ne relie explicitement. L'icosaèdre (I à IV) est construit, puis réduit à son graphe, et la page 10 demande comment retrouver combinatoirement les rotations parmi les symétries ; la réponse qu'elle esquisse — des ordres circulaires « cohérents » aux sommets — est exactement la donnée \(\omega(\varphi)\) dont partent les pages 24 à 30, et l'icosaèdre est un cas des graphes des pages 32 et 33. Ces deux rapprochements sont les nôtres ; ils expliquent peut-être pourquoi ces feuillets sont réunis sous « Graphes, icosaèdre », mais ils ne sont écrits nulle part. Le produit (V et VI) est un sujet à part : la suite au crayon établit une propriété universelle de somme dans une catégorie d'ensembles ordonnés, la page 22 pose la question du produit de deux topos ; que la seconde soit la version topos de la première est encore notre lecture.

Notations. Chaque partie garde les lettres de ses pages, sauf là où une même lettre y désigne deux objets. Les renommages sont les suivants, chacun signalé en note au point où il se produit : la rotation que les pages 5 et 6 appellent \(\gamma\) est notée \(r\), et \(R_{a,t}\) désigne la rotation d'angle \(t\) autour du vecteur unitaire \(a\) ; le nombre \(\zeta + \zeta^{-1} = 2\cos(2\pi/5)\), que les pages appellent tour à tour \(\gamma\), \(\eta\), \(t\) ou \(c\), est noté \(\eta\) ; dans la suite au crayon, l'application que la page appelle \(\gamma\) est notée \(m\) ; aux pages 24 à 30, le genre que la page appelle \(\gamma(\alpha)\) est noté \(g(\alpha)\), et le groupe que la page appelle \(G\) est noté \(\mathrm{Mod}(S)\). Restent des collisions entre parties, qu'on ne corrige pas mais qu'il faut avoir en tête : \(S\) est la sphère unité en I, un schéma de base en IV, une surface en VII, l'ensemble des sommets en VIII ; \(G\) est \(\mathrm{O}(E)\) en I, un groupe abstrait en II et VIII ; \(\alpha\) est un angle en I, un système d'ordres circulaires en VII ; \(\pi\) est une partition en VII.

Ce que le dossier annonce sans l'établir. Les énoncés a), b), c) de la page 21 ; la réponse à la Question de la page 22 ; la Question de la page 29 ; l'exactitude de la suite de la page 30, marquée « ?? » ; la conclusion de la version infinie de la page 13. Les hypothèses de la suite au crayon, dans sa forme à deux facteurs, sont sur une page qui n'est pas dans ce dossier.

3–10

I. L'icosaèdre (pages 3 à 10)

3–4

Le triangle équilatéral d'angle \(\theta\) (pages 3 et 4)

Soit \(E\) un espace euclidien orienté de dimension \(3\), de produit scalaire \(x \cdot y\), et \(S\) sa sphère unité.² Pour \(u \in S\), on note \(\Sigma_u = u^{\perp} \cap S\) l'ensemble des directions tangentes unitaires en \(u\) ; pour \(v \in \Sigma_u\), on pose \(w = u \wedge v\), de sorte que \((u, v, w)\) est une base orthonormée directe. Le groupe \(\mathrm{SO}(E)\) agit simplement transitivement sur l'ensemble des couples \((u, v)\) avec \(u \in S\), \(v \in \Sigma_u\) ; le groupe \(\mathrm{O}(E) = \mathrm{SO}(E) \times \{\pm 1\}\) y agit transitivement, le stabilisateur d'un couple étant d'ordre \(2\), engendré par la symétrie par rapport au plan de \(u\) et \(v\).³

Le grand cercle issu de \(u\) dans la direction \(v\) est paramétré par \(x(u,v;\alpha) = u\cos\alpha + v\sin\alpha\), et les directions tangentes en \(u\) s'écrivent \(v' = v\cos\theta + w\sin\theta\). Pour \(\theta\) fixé, le triangle de sommets \(u\), \(x = x(u,v;\alpha)\), \(x' = x(u,v';\alpha)\) est isocèle, et \[ \|x - u\|^{2} = \|x' - u\|^{2} = 4\sin^{2}\tfrac{\alpha}{2}, \qquad \|x - x'\|^{2} = \sin^{2}\alpha\,\|v - v'\|^{2} = 16\sin^{2}\tfrac{\alpha}{2}\cos^{2}\tfrac{\alpha}{2}\sin^{2}\tfrac{\theta}{2}. \] Pour \(0 < \alpha < \pi\), il est donc équilatéral si et seulement si \[ (1)\quad \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2\sin(\theta/2)}, \qquad\text{soit}\qquad (1')\quad \cos\alpha = \frac{\cos\theta}{1 - \cos\theta}. \] Pour \(0 < \theta \leqslant \pi\), un tel \(\alpha\) existe si et seulement si \(\theta > \pi/3\).⁴ Les trois angles sphériques du triangle sont alors égaux à \(\theta\), et c'est le seul triangle équilatéral inscrit dans \(S\), d'angle \(\theta\), ayant un sommet en \(u\), un deuxième dans la direction \(v\), et tel que \((u, x, x')\) soit direct.

On fixe désormais \[ (2)\quad \theta = \frac{2\pi}{5}, \qquad\text{d'où}\qquad \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}},\quad \sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}},\quad \cos 2\alpha = -\frac{3}{5}, \] les deux dernières valeurs étant notées en marge de la page 4. On abrège \(c = \cos\alpha\) et \(s = \sin\alpha\).

4–5

Les douze points, et les calottes (pages 4 et 5)

Pour \(u\), \(v\) fixés, on pose, pour \(i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\), \[ v_i = v\cos i\theta + w\sin i\theta,\qquad x_i = u\cos\alpha + v_i\sin\alpha,\qquad x'_i = -x_i,\qquad u' = -u . \] Les six points \(u, x_0, \ldots, x_4\) sont distincts — leurs projections sur \(u^{\perp}\) sont \(0\) et les \(s\,v_i\) — et ont une coordonnée positive le long de \(u\), puisque \(c > 0\) ; les douze points \(u, u', x_i, x'_i\) sont donc distincts. Leur ensemble est l'icosaèdre \(I = I_{u,v}\) défini par \((u,v)\). Les \(x_i\) sont en ordre circulaire sur le cercle de \(S\) de centre \(u\) et de rayon (rectiligne) \(\ell = 2\sin\frac{\alpha}{2}\).⁵

On note \[ \ell = 2\sin\frac{\alpha}{2} = \|a - b_i\|,\qquad \ell' = 2\cos\frac{\alpha}{2} = \|a + b_i\|, \] les deux distances qui interviennent entre le centre \(a\) d'une calotte et ses points périphériques \(b_i\) ou leurs opposés ; \(\ell^{2}\) et \(\ell'^{2}\) sont les racines de \(\lambda^{2} - 4\lambda + 4\sin^{2}\alpha = 0\).⁶

Un triangle icosaédral est un ensemble de trois points de \(S\) deux à deux à distance \(\ell\) ; de façon équivalente, l'image de \(\{u, x_0, x_1\}\) par une rotation. Une calotte d'icosaèdre est l'image de \(\{u, x_0, \ldots, x_4\}\) par un élément de \(\mathrm{O}(E)\). Il revient au même de demander un ensemble de six points qu'on puisse écrire \((a; b_0, \ldots, b_4)\) de sorte que les triangles \((a, b_i, b_{i+1})\), \(0 \leqslant i \leqslant 3\), soient icosaédraux : la rotation d'angle \(\pm\theta\) autour de \(a\) envoie alors chaque \(b_i\) sur \(b_{i+1}\), et, parce que \(5\theta = 2\pi\), le triangle \((a, b_4, b_0)\) est lui aussi icosaédral. Le point \(a\), le seul qui soit à distance \(\ell\) des cinq autres, est le sommet de la calotte ; les \(b_i\) en sont les points périphériques. L'orientation de \(E\) munit ceux-ci d'un ordre circulaire canonique — celui dans lequel les rencontre une rotation directe autour de \(a\) —, qui en fait un torseur sous \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\).

Le stabilisateur \(G_C\) d'une calotte \(C\) dans \(G = \mathrm{O}(E)\) est un groupe diédral d'ordre \(10\). Son intersection \(G'_C\) avec \(G' = \mathrm{SO}(E)\) est le groupe des rotations autour de \(a\) d'angle multiple de \(\theta\), canoniquement isomorphe à \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) grâce à l'orientation, et il agit simplement transitivement sur les points périphériques, ce qui redonne leur ordre circulaire. Les cinq autres éléments sont d'ordre \(2\) : ce sont les symétries \(g_i\) par rapport aux plans \(\langle a, b_i \rangle\), et \(\{1, g_i\}\) est le stabilisateur de \(b_i\) dans \(G_C\). Ainsi \(G_C = G'_C \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), le facteur \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) agissant sur \(G'_C\) par inversion.⁷

Jusqu'ici, la page le note, \(\theta = 2\pi/5\) n'a joué aucun rôle : on aurait pu prendre \(\theta = 2\pi/m\). Ce choix intervient avec le lemme suivant.

5–7

Le lemme de la calotte voisine (pages 5 à 7)

Lemme. L'ensemble \(\{x_0, x_1, u, x_{-1}, x'_2, x'_{-2}\}\) est une calotte de sommet \(x_0\), et l'ordre circulaire canonique de ses points périphériques est \((x_1, u, x_{-1}, x'_2, x'_{-2})\).⁸

La page ébauche d'abord une démonstration par les distances : la symétrie par rapport au plan \(\langle u, x_0 \rangle\) échange \(x_1\) et \(x_{-1}\), \(x'_2\) et \(x'_{-2}\), et ramène le lemme, à l'orientation près, à vérifier que \(x_0 - x'_2\), \(x_{-1} - x'_2\) et \(x'_2 - x'_{-2}\) sont de longueur \(\ell\) — la dernière étant évidente. Elle préfère ensuite une voie « plus astucieuse ». Soit \[ r = R_{w,\alpha} \circ R_{u,-\theta/2}, \] composé de la rotation d'angle \(-\theta/2\) autour de \(u\) et de la rotation d'angle \(\alpha\) autour de \(w\).⁹ Sa matrice dans la base \((u, v, w)\) est \[ r = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\cos\frac{\theta}{2} & -\sin\alpha\sin\frac{\theta}{2} \\ \sin\alpha & \cos\alpha\cos\frac{\theta}{2} & \cos\alpha\sin\frac{\theta}{2} \\ 0 & -\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}, \] et le lemme résulte des six relations \[ r u = x_0,\quad r x_0 = x'_2,\quad r x_1 = x'_{-2},\quad r x_2 = x_1,\quad r x_3 = u,\quad r x_4 = x_{-1}, \] puisque \(r\) est une rotation, qui transporte la calotte \((u; x_0, \ldots, x_4)\) et son ordre canonique.

La page vérifie la première, écrit \(r x_0\) et pose les trois égalités à prouver pour la deuxième, commence \(r x_1\) et s'arrête. On achève le calcul.¹⁰ La rotation \(R_{u,-\theta/2}\) envoie \(v_i\) sur le vecteur unitaire d'angle \(\beta_i = (2i - 1)\pi/5\) dans le plan \((v, w)\), d'où \[ r x_i = \bigl(c^{2} - s^{2}\cos\beta_i\bigr)\,u + cs\,(1 + \cos\beta_i)\,v + s\sin\beta_i\,w . \] On compare aux coordonnées de \(x_j = c\,u + s\cos j\theta\,v + s\sin j\theta\,w\) et de \(x'_j = -x_j\). Les coordonnées selon \(w\) concordent d'elles-mêmes ; pour \(i = 3\), \(\beta_3 = \pi\) et \(r x_3 = u\) ; pour les quatre autres valeurs de \(i\), en utilisant \(s^{2} = 1 - c^{2}\), les deux autres coordonnées se ramènent aux deux identités \[ \text{(A)}\quad c\,(1 - \cos\tfrac{2\pi}{5}) = \cos\tfrac{2\pi}{5}, \qquad \text{(B)}\quad c\,(1 + \cos\tfrac{\pi}{5}) = \cos\tfrac{\pi}{5}, \] (A) pour \(i = 2\) et \(i = 4\), (B) pour \(i = 0\) et \(i = 1\). L'identité (A) est (1'). Posons \(\eta = 2\cos\frac{2\pi}{5}\) et \(p = 2\cos\frac{\pi}{5}\) ; alors \(p = \eta + 1\) et \(p\,\eta = 1\), deux formes de la relation \(\eta^{2} + \eta - 1 = 0\), et, compte tenu de (A), l'identité (B) équivaut à \(\eta + p\eta = p\), qui en découle. C'est là, et seulement là, que \(\theta = 2\pi/5\) intervient : par l'équation du nombre d'or, que les pages 14 et 12 établissent pour elles-mêmes, sans rapport écrit avec celle-ci.¹¹

Corollaire. Toute \(g \in \mathrm{O}(E)\) qui envoie la calotte \((u; x_0, \ldots, x_4)\) sur celle du lemme préserve l'icosaèdre \(I\). En effet, pour l'une et l'autre calotte \(C\), on a \(I = C \cup (-C)\), et \(g\) est linéaire. En particulier \(r\) préserve \(I\).

7–8

Le groupe de l'icosaèdre (pages 7 et 8)

Soit \(\Gamma\) le stabilisateur de \(I\) dans \(\mathrm{O}(E)\), et \(\Gamma' = \Gamma \cap \mathrm{SO}(E)\). Comme \(-1 \in \Gamma\) et \(-1 \notin \Gamma'\), on a \(\Gamma = \Gamma' \times \{\pm 1\}\).

Les arêtes de \(I\) sont les trente paires \[ \{u, x_i\},\ \{u', x'_i\},\ \{x_i, x_{i+1}\},\ \{x'_i, x'_{i+1}\},\ \{x_i, x'_{i-2}\},\ \{x'_i, x_{i-2}\}\qquad (i \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}), \] c'est-à-dire les paires de points distincts de \(I\) à distance minimale \(\ell\). Ses faces sont les vingt triples \[ \{u, x_i, x_{i+1}\},\ \{u', x'_i, x'_{i+1}\},\ \{x_i, x'_{i-2}, x_{i+1}\},\ \{x'_i, x_{i-2}, x'_{i+1}\}, \] c'est-à-dire les triples deux à deux reliés par une arête ; cinq d'entre eux contiennent \(u\). Tout point de \(I\) est le sommet d'une unique calotte contenue dans \(I\), formée de lui-même et des cinq points qui lui sont reliés par une arête.

Théorème. (i) \(\Gamma'\) agit transitivement sur les douze sommets de \(I\). (ii) \(\Gamma'\) agit simplement transitivement sur les soixante arêtes orientées, c'est-à-dire sur les couples \((x, d)\) formés d'un sommet \(x\) et d'une arête \(d\) issue de \(x\). (iii) \(\Gamma\) agit simplement transitivement sur les cent vingt triples ordonnés \((x, y, z)\) qui forment une face.¹²

Démonstration. La rotation \(R_{u,\theta}\) préserve \(I\) et permute circulairement les \(x_i\), et les \(x'_i\) ; la rotation \(r\) envoie \(u\) sur \(x_0\) et \(x_0\) sur \(x'_2\), et, étant linéaire, \(u'\) sur \(x'_0\). Tous les sommets sont donc congrus sous \(\Gamma'\). Un élément de \(\Gamma'\) qui fixe \(u\) préserve l'ensemble des points de \(I\) à distance \(\ell\) de \(u\) — les autres sont à distance \(\ell' > \ell\) ou \(2\) — donc la calotte de sommet \(u\) ; inversement, une rotation qui préserve cette calotte \(C\) préserve \(I = C \cup (-C)\). Le stabilisateur de \(u\) dans \(\Gamma'\) est donc \(G'_C\), simplement transitif sur les \(x_i\), d'où (ii). Pour (iii), on se ramène par (ii) aux triples \((u, x_0, z)\) ; il n'y a que deux faces contenant l'arête \(\{u, x_0\}\), de troisièmes sommets \(x_1\) et \(x_{-1}\), échangés par la symétrie par rapport au plan \(\langle u, v \rangle\), qui préserve \(I\) ; et une application linéaire qui fixe \(u\), \(x_0\), \(x_1\), linéairement indépendants, est l'identité.

Corollaire. \(|\Gamma'| = 60\) et \(|\Gamma| = 120\) : il y a trente arêtes, donc soixante arêtes orientées ; et vingt faces, chacune avec six ordres sur ses sommets.

En marge de la page 8, la liste des données équivalentes : un icosaèdre et l'un de ses sommets ; un icosaèdre et une calotte contenue dans lui ; une calotte ; un couple \((u, v)\) modulo les rotations de \(v\) dans \(u^{\perp}\) d'angle multiple de \(\theta\). Autrement dit, l'espace de ces données est le quotient de l'espace des couples \((u, v)\) — un torseur sous \(\mathrm{SO}(E)\), qui est aussi un fibré principal sur \(S\) de groupe \(\mathrm{SO}(2)\) — par le sous-groupe \(\mu_5\) du groupe structural : c'est un fibré principal sur \(S\) de groupe \(\mathrm{SO}(2)/\mu_5\).¹³

8–10

Deux graphes, et ce que la combinatoire ne voit pas (pages 8 à 10)

Les sommets et les arêtes de \(I\) forment un graphe \(\mathcal{G}_1\) : douze sommets, trente arêtes, cinq arêtes en chaque sommet. Le groupe \(\Gamma\) y agit fidèlement, puisque les sommets engendrent \(E\).

Proposition (une « Remarque » de la page). Le groupe des automorphismes de \(\mathcal{G}_1\) est \(\Gamma\), d'ordre \(120\).¹⁴

Démonstration. Les faces sont les triangles du graphe, donc tout automorphisme permute les triples ordonnés formant une face ; par (iii), il suffit de montrer qu'un automorphisme qui fixe \(u\), \(x_0\), \(x_1\) est l'identité. Il fixe \(x_2\), seul voisin commun de \(u\) et \(x_1\) autre que \(x_0\), et \(x_{-1}\), seul voisin commun de \(u\) et \(x_0\) autre que \(x_1\) ; puis \(x_3\), dernier voisin de \(u\). La calotte de sommet \(u\) est donc fixée point par point ; de même celle de sommet \(x_0\), puis, de proche en proche le long des triangles \((u, x_i, x_{i+1})\), celles de sommet \(x_i\). Cela donne tous les sommets sauf \(u'\), qui est fixé comme le seul restant. Le groupe des automorphismes agit donc librement sur les \(120\) faces ordonnées, ce qui majore son ordre par \(120 = |\Gamma|\).

Les faces et les arêtes forment un second graphe \(\mathcal{G}_2\) : vingt sommets, trente arêtes, trois arêtes en chaque sommet, une arête de \(I\) reliant les deux faces qui la contiennent. C'est le graphe des sommets et arêtes du dodécaèdre, dual de l'icosaèdre. Son groupe d'automorphismes est encore \(\Gamma\) : il suffit de voir qu'un automorphisme qui fixe une face, disons \(F_0 = \{u, x_0, x_1\}\), et chacune de ses trois voisines, est l'identité. Il fixe alors \(\{u, x_2, x_3\}\) et \(\{u, x_3, x_4\}\), seul couple de faces adjacentes entre elles et adjacentes respectivement à \(\{u, x_1, x_2\}\) et à \(\{u, x_4, x_0\}\) ; donc chacune des voisines de \(F_0\) a ses trois voisines fixées. De proche en proche, toutes les faces sont fixées.¹⁵

La page 10 tire la leçon. Les propriétés de l'action de \(\Gamma\) sur les sommets, les arêtes et les faces sont conséquences de la seule structure combinatoire — le graphe \(\mathcal{G}_1\), le graphe \(\mathcal{G}_2\), ou le système des trois ensembles avec leurs incidences. Mais les rotations \(\Gamma'\), sous-groupe d'indice \(2\), ne sont pas visibles sur le graphe seul. La page propose de les caractériser comme les automorphismes qui respectent les ordres circulaires des points périphériques des calottes, et note qu'on peut définir combinatoirement deux « systèmes cohérents » de tels ordres, correspondant aux deux orientations de l'espace.

On peut préciser ce qu'est un système cohérent, dans les termes de la section VII.¹⁶ Un choix d'ordre circulaire sur les cinq voisins de chaque sommet — un système de rotation — définit des cycles de bord, obtenus en tournant, à chaque sommet atteint, vers l'arête suivante. Est cohérent un système dont les cycles de bord sont les vingt triangles. Il y en a exactement deux, échangés par tout élément de \(\Gamma \smallsetminus \Gamma'\), et \(\Gamma'\) est le stabilisateur de l'un d'eux dans \(\Gamma = \mathrm{Aut}(\mathcal{G}_1)\). Qu'un graphe planaire \(3\)-connexe n'ait, à homéomorphisme près, qu'un plongement dans la sphère est un théorème de Whitney (1933) ; rien n'indique que Grothendieck le connaissait, et la page ne le cite pas. Un système cohérent est exactement l'invariant \(\omega(\varphi)\) que les pages 24 à 30 attachent au plongement de l'icosaèdre dans la sphère \(S\).

16–19

II. Les feuillets du carnet (pages 16 à 19)

Quatre feuillets d'un carnet à spirale, écrits en largeur et en travers, couverts pour partie de croquis — fleurs légendées « corolle », « racine », « tige », « cœur », « pétale », tétraèdres, un cube, une projection de l'icosaèdre. On en retient trois choses.

17–17

Le calcul des pages 3 et 4, avec d'autres lettres (page 17)

Avec d'autres lettres (\(\rho_i\) pour \(v_i\), \(v'\) et \(w'\) pour deux directions tangentes faisant l'angle \(2\pi/5\)), la page 17 fait le calcul des côtés du triangle et aboutit à la même condition (1), encadrée : \(\cos\frac{\alpha}{2} = 1/(2\sin\frac{\pi}{5})\). Elle note en marge que \(2\sin\frac{\pi}{5}\) est le côté du pentagone régulier inscrit dans le cercle unité.¹⁷

18–18

Le groupe des rotations est \(\mathfrak{A}_5\) (page 18)

Soit \(G\) un groupe d'ordre \(60\) — ici \(\Gamma'\) — agissant transitivement sur un ensemble \(I_{15}\) à quinze éléments, les paires d'arêtes opposées de l'icosaèdre, c'est-à-dire les quinze axes passant par les milieux des arêtes. Ces axes se groupent en cinq triples d'axes deux à deux orthogonaux, et l'on peut munir chaque triple d'un ordre circulaire, de façon invariante par \(G\) : c'est l'automorphisme \(\alpha\) d'ordre \(3\) de \(I_{15}\) commutant à \(G\) de la page, dont le quotient est un ensemble \(J\) à cinq éléments.¹⁸ Le groupe \(G\) agit transitivement sur \(J\), avec des stabilisateurs d'ordre \(12\) ; d'où un morphisme \(G \to \mathfrak{S}_5\). S'il est injectif, son image est un sous-groupe d'indice \(2\) de \(\mathfrak{S}_5\), donc \(\mathfrak{A}_5\), et \(G \simeq \mathfrak{A}_5\).

L'injectivité, la page commence à l'établir en passant par le normalisateur d'un \(2\)-sous-groupe de Sylow, et s'arrête au bord du feuillet. On l'achève ainsi.¹⁹ Le noyau \(K\) est distingué dans \(G\) et contenu dans un stabilisateur, donc d'ordre au plus \(12\) ; il est réunion de classes de conjugaison. Or les classes non triviales de \(\Gamma'\) ont \(15\), \(20\), \(12\) et \(12\) éléments — les demi-tours autour des axes d'arêtes, les rotations d'angle \(\pm 2\pi/3\) autour des axes de faces, les rotations d'angle \(\pm 2\pi/5\) et celles d'angle \(\pm 4\pi/5\) autour des axes de sommets —, ce qu'on lit sur les centralisateurs, d'ordres \(4\), \(3\), \(5\) et \(5\). Aucune ne tient dans \(K \smallsetminus \{1\}\), qui a au plus onze éléments ; donc \(K = \{1\}\).

16–19

Deux lemmes sur les ensembles homogènes (pages 16 et 19)

Au milieu des croquis, deux calculs qui sont exactement les outils des pages 32 et 33. Page 16 : pour un \(G\)-ensemble \(E\) et un sous-groupe \(H\), \[ \mathrm{Hom}_G(G/H, E) \simeq E^{H}, \] une application équivariante étant déterminée par l'image de la classe neutre, qui doit être fixée par \(H\). Page 19 : la multiplication à droite par \(a \in G\) passe au quotient \(G/H\) si et seulement si \(a^{-1}Ha \subset H\) ; d'où, \(G\) étant fini, \[ \mathrm{Aut}_G(G/H) \simeq N_G(H)/H . \] La page 19 note aussi que le normalisateur d'un sous-groupe de Klein dans \(\mathfrak{A}_5\) est \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2} \rtimes \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \simeq \mathfrak{A}_4\), le stabilisateur d'ordre \(12\) ci-dessus.²⁰

12–14

III. Le nombre d'or dans le corps des racines cinquièmes (pages 14 et 12)

Les deux pages d'encre se lisent dans l'ordre 14, puis 12 : le calcul de la norme de \(\eta\), qui s'arrête page 14 sur un signe \(=\), se termine en tête de la page 12, qui en tire l'équation de \(\eta\).²¹

14–14

Le quotient par l'inversion (page 14)

Soit \(A = \mathbb{Z}[\frac15]\) et \(\mu_5^{*} \subset \mu_5\) le schéma des racines primitives cinquièmes de l'unité sur \(\mathrm{Spec}\,A\) : \[ \mu_5^{*} = \mathrm{Spec}\,B,\qquad B = A[T]/(1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4}). \] Il est fini étale de rang \(4\) sur \(A\), galoisien de groupe \((\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{*} \simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\), qui agit par \(\zeta \mapsto \zeta^{k}\) ; \(2\) et \(3\) en sont les générateurs, et \(-1\) l'élément d'ordre \(2\).²² Soit \(\beta\) l'inversion \(\zeta \mapsto \zeta^{-1}\). Dans la base \(1, T, T^{2}, T^{3}\), \[ \beta(c_0 + c_1T + c_2T^{2} + c_3T^{3}) = (c_0 - c_1) - c_1T + (c_3 - c_1)T^{2} + (c_2 - c_1)T^{3}, \] de sorte que les invariants sont les \(c_0 + c_2(T^{2} + T^{3})\) : l'anneau \(B^{\beta}\) est libre de rang \(2\) sur \(A\), de base \(1\) et \(T^{2} + T^{3} = \zeta^{2} + \zeta^{-2}\). Ce calcul vaut sur tout anneau \(A\).²³

Posons \(\eta = \zeta + \zeta^{-1}\) et \(\eta' = \zeta^{2} + \zeta^{-2}\), son conjugué par \(\zeta \mapsto \zeta^{2}\) ; on a \(\eta' = -1 - \eta\), donc \(B^{\beta} = A[\eta]\).²⁴ Sa trace et sa norme sont \[ \mathrm{Tr}\,\eta = \eta + \eta' = \zeta + \zeta^{2} + \zeta^{3} + \zeta^{4} = -1, \qquad \mathrm{N}\,\eta = \eta\,\eta' = \zeta^{3} + \zeta^{-1} + \zeta + \zeta^{-3} = -1, \] la seconde égalité étant celle de la page 12.

La page esquisse ensuite la situation pour \(n\) quelconque : sur \(\mathbb{Z}[\frac1n]\) et pour \(n \geqslant 3\), l'inversion agit librement sur \(\mu_n^{*}\), le quotient \(\vartheta_n = \mu_n^{*}/(\zeta \sim \zeta^{-1})\) est fini étale de rang \(\varphi(n)/2\), \(\mu_n^{*} \to \vartheta_n\) est étale de rang \(2\), et \(\lambda \mapsto \lambda + \lambda^{-1}\) plonge \(\vartheta_n\) dans la droite affine — ce qui revient au fait classique que l'anneau des entiers du sous-corps réel de \(\mathbb{Q}(\zeta_n)\) est \(\mathbb{Z}[\zeta_n + \zeta_n^{-1}]\).²⁵

12–12

L'équation (page 12)

De la trace et de la norme : \[ \eta^{2} + \eta - 1 = 0,\qquad \mathcal{O}(\vartheta_5) = \mathbb{Z}[\tfrac15][t]/(t^{2} + t - 1). \] Le discriminant du polynôme est \(5\) : \(\vartheta_5\) est étale sur \(\mathbb{Z}[\frac15]\), et non au-dessus de \(5\).²⁶ Sur \(\mathbb{R}\), \[ \eta = 2\cos\tfrac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt5 - 1}{2},\qquad \eta' = 2\cos\tfrac{4\pi}{5} = -\frac{\sqrt5 + 1}{2} : \] \(\eta\) est l'inverse du nombre d'or, \(\eta'\) son opposé. Les deux racines s'échangent par \(t \mapsto t^{2} - 2\), trace de l'élévation au carré : \(\eta' = \eta^{2} - 2\) et \(\eta = \eta'^{2} - 2\). La page note enfin \(\cos'(D, \zeta D) = \mathrm{Tr}\,\zeta^{2} = t^{2} - 2\) : pour deux droites d'un plan, l'invariant naturel n'est pas le cosinus de leur angle, défini au signe près, mais \(\cos' = 2\cos\) de l'angle double. C'est la notation que reprend la page 21.

21–21

IV. L'icosaèdre relativement à une forme quadratique (page 21)

La page 21 transporte l'icosaèdre sur une base quelconque. Elle écrit « icosaèdre projectif — icosaèdre » : ce qui se transporte bien n'est pas l'ensemble des douze sommets, mais celui des six droites qui joignent les sommets opposés.

Dans l'espace euclidien de la section I, avec \(Q(x) = x \cdot x\), de forme polaire \(B(x, y) = Q(x + y) - Q(x) - Q(y) = 2\,x \cdot y\) et \(B' = B/2\), ces six droites \(D_1, \ldots, D_6\) font deux à deux le même angle \(\alpha\) ou \(\pi - \alpha\) : ce sont six droites équiangulaires, le maximum possible en dimension \(3\). La page le calcule à partir du nombre d'or : \[ \cos\alpha = \frac{\eta}{2 - \eta} = \frac{2\eta + 1}{5} = \frac{1}{\sqrt5}, \qquad \cos 2\alpha = -\frac35, \] la forme \(a + b\eta\) étant obtenue en identifiant à \(\eta^{2} + \eta - 1\).²⁷ Pour \(x\) et \(y\) engendrant deux droites distinctes, \[ \cos'(D_i, D_j) = \frac{B(x,y)^{2}}{Q(x)Q(y)} - 2 = 2\cos 2\alpha = -\frac65, \] \[ B(x,y)^{2} = \frac45\,Q(x)Q(y), \qquad B'(x,y)^{2} = \frac15\,Q(x)Q(y). \]

La page ne définit pas l'« icosaèdre local ». Ce qu'elle calcule conduit à la définition suivante, qui est la nôtre. Soit \(S\) un schéma sur lequel \(2\) et \(5\) sont inversibles, \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang \(3\) muni d'une forme quadratique non dégénérée \(Q\), et \(B' = B/2\). Un icosaèdre (projectif) relatif à \(Q\) est une famille de six sous-modules \(D_1, \ldots, D_6\) localement facteurs directs de rang \(1\), tels que, pour des générateurs locaux \(x_i\), les \(Q(x_i)\) soient inversibles et \[ B'(x_i, x_j)^{2} = \tfrac15\,Q(x_i)Q(x_j)\qquad (i \neq j). \] La page annonce alors, sans les démontrer :

• a)il existe localement des icosaèdres ;
• b)deux icosaèdres sont localement conjugués par \(\mathrm{SO}(Q)\) ;
• c)le stabilisateur d'un icosaèdre dans \(\mathrm{SO}(Q)\) — son groupe d'automorphismes — est un schéma en groupes fini étale sur \(S\), dont les fibres géométriques sont isomorphes au groupe alterné \(\mathfrak{A}_5\).

Sur \(\mathbb{R}\), c) est le théorème de la section II. On ne vérifie pas ces énoncés en toute généralité, en particulier en caractéristique \(3\), qui divise \(|\mathfrak{A}_5|\).²⁸ « Localement » doit s'entendre pour une topologie qui adjoint \(\sqrt5\) — la topologie étale, par exemple : sur un corps où \(5\) n'est pas un carré, trois droites \(D_1, D_2, D_3\) ne peuvent être toutes rationnelles, car le produit des \(Q(x_i)Q(x_j)/5\) sur les trois paires serait à la fois un carré et \(5\) fois un carré.²⁹

Deux éléments de la page ne s'accordent pas avec ce calcul. En marge des énoncés, la page écrit \(c^{2} + c - 1 = 0\) pour la constante \(c = \cos'(D_i, D_j)\) ; or \(c = -\frac65\) ne vérifie pas cette équation. La relation du nombre d'or est celle de \(\eta = 2\cos\frac{2\pi}{5}\), qui sert à calculer \(\cos\alpha\) mais n'est pas l'invariant d'une paire d'axes.³⁰

12–15

V. Une somme dans une catégorie d'ensembles ordonnés (pages 15, 13 et pied de la page 12)

Une suite au crayon, qui se lit dans l'ordre : page 15, page 13, deux lignes au pied de la page 12. Les pages 15 et 13 sont barrées chacune d'un long trait oblique ; les deux lignes du pied de la page 12 ne le sont pas. La page 13 et ces deux lignes sont écrites tête-bêche par rapport à l'encre ; la page 15 est dans le même sens que les pages d'encre. Elle commence au milieu d'un raisonnement : la catégorie qu'elle appelle \((\mathrm{OM})\) et les hypothèses a), b), c) de sa forme à deux facteurs sont sur une page qui n'est pas dans ce dossier.

15–15

La catégorie, et les hypothèses (page 15)

Ce que la démonstration utilise fixe la catégorie. Ses objets sont des ensembles ordonnés ayant des bornes supérieures quelconques et des bornes inférieures finies, les secondes distribuant sur les premières : \[ x \wedge \bigvee_j y_j = \bigvee_j\, (x \wedge y_j) ; \] ses morphismes sont les applications qui commutent aux bornes supérieures quelconques et aux bornes inférieures finies. Ce sont les frames : l'ensemble ordonné des ouverts d'un espace topologique en est le modèle, et leur catégorie opposée est celle des locales.³¹

Soient \(I\), \(J\), \(K\) trois frames et \(m : I \times J \to K\) une application ; on pose \(a(U) = m(U, 1)\) et \(b(V) = m(1, V)\).³² Les hypothèses dont la démonstration se sert sont les suivantes :

• a)\(a\) et \(b\) commutent aux bornes supérieures quelconques ;
• b)\(m\) commute aux bornes inférieures finies : \(m(1,1) = 1\) et \(m(U \wedge U', V \wedge V') = m(U,V) \wedge m(U',V')\) ; en particulier \(m(U,V) = a(U) \wedge b(V)\), et \(a\), \(b\) sont des morphismes ;
• c)tout élément de \(K\) est borne supérieure d'éléments \(m(U,V)\) ;
• d)si \(m(U,V) \leqslant a(U')\), alors \(U \leqslant U'\) ou \(V = 0\) ; et symétriquement pour \(b\) ;
• e)si \(m(U,V) \leqslant \bigvee_i W_i\), il existe des décompositions \(U = \bigvee_j U_j\) et \(V = \bigvee_k V_k\) telles que chaque \(m(U_j, V_k)\) soit majoré par l'un des \(W_i\).

Les hypothèses a), b), c) sont reconstituées d'après leur usage. Les hypothèses d) et e) sont écrites au pied de la page 12, mais sous la forme infinie de la page 13 ; la page 15 invoque d) sous la forme à deux facteurs donnée ici, et la page 13 utilise e) sous cette forme sans la nommer.³³

Proposition. Sous ces hypothèses, \((a, b)\) fait de \(K\) la somme de \(I\) et \(J\) dans la catégorie des frames.

Unicité. Si \(\varphi : K \to L\) est un morphisme, il est connu sur les \(a(U)\) et les \(b(V)\), donc sur leurs bornes inférieures \(m(U,V) = a(U) \wedge b(V)\) par b), donc sur leurs bornes supérieures, donc sur tout \(K\) par c).

Existence. Soient \(f_1 : I \to L\) et \(f_2 : J \to L\) deux morphismes vers un frame \(L\). On pose \[ f(W) = \bigvee_{m(U,V) \leqslant W} f_1(U) \wedge f_2(V). \] 1°) \(f \circ a = f_1\). Les couples \((U, V)\) avec \(m(U,V) \leqslant a(U')\) sont, par d), ceux pour lesquels \(V = 0\), dont le terme est nul, et ceux pour lesquels \(U \leqslant U'\) ; la borne supérieure vaut donc \(f_1(U') \wedge f_2(1) = f_1(U')\). De même \(f \circ b = f_2\).³⁴

2°) \(f\) est un morphisme. Elle est croissante ; \(f(1) = f_1(1) \wedge f_2(1) = 1\). Pour les bornes inférieures finies, b) donne \(m(U \wedge U', V \wedge V') \leqslant W \wedge W'\) dès que \(m(U,V) \leqslant W\) et \(m(U',V') \leqslant W'\), d'où, par la distributivité dans \(L\), \[ f(W \wedge W') = \bigvee_{\substack{m(U,V) \leqslant W \\ m(U',V') \leqslant W'}} \bigl(f_1(U) \wedge f_2(V)\bigr) \wedge \bigl(f_1(U') \wedge f_2(V')\bigr) = f(W) \wedge f(W'). \] Pour les bornes supérieures : \(f(\bigvee W_i) \geqslant \bigvee f(W_i)\) est clair. Inversement, si \(m(U,V) \leqslant \bigvee W_i\), on décompose par e) ; chaque \(f_1(U_j) \wedge f_2(V_k)\) est majoré par un \(f(W_i)\), et \(f_1(U) \wedge f_2(V) = \bigvee_{j,k} f_1(U_j) \wedge f_2(V_k)\) par distributivité.

L'hypothèse e) demande une subdivision « en damier », unique pour tout le recouvrement. Dans la somme de deux frames, la relation de recouvrement s'obtient par subdivisions successives, qui ne se ramènent pas a priori à un damier : e) est donc une vraie hypothèse, et la proposition un critère suffisant.³⁵

13–13

Sommes infinies (page 13 et pied de la page 12)

La page généralise à une famille \((I_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}\). Le produit restreint \(\prod' I_\lambda\) est formé des familles \((V_\lambda)\) avec \(V_\lambda = 1\) pour presque tout \(\lambda\), et \(\alpha^{0}_\mu : I_\mu \to \prod' I_\lambda\) insère un élément à la place \(\mu\) et \(1\) ailleurs. Pour \(m : \prod' I_\lambda \to K\) et \(a_\mu = m \circ \alpha^{0}_\mu\), les hypothèses sont : a) les \(a_\mu\) commutent aux bornes supérieures quelconques ; b) \(m\) commute aux bornes inférieures finies, de sorte que \(m((V_\lambda)) = \bigwedge_\lambda a_\lambda(V_\lambda)\), borne inférieure en fait finie ; c) tout élément de \(K\) est borne supérieure d'éléments de l'image de \(m\) ; d) et e), au pied de la page 12, comme ci-dessus.³⁶ La conclusion attendue — \(K\) est la somme des \(I_\lambda\) — n'est pas écrite ; la démonstration à deux facteurs s'y transpose mot pour mot.

22–22

VI. Le produit d'un topos par un topos de préfaisceaux (page 22)

Une page barrée d'une croix, entièrement lisible. Soient \(E\) un topos de Grothendieck et \(C\) une petite catégorie. La catégorie \[ \pi(C, E) = \underline{\mathrm{Hom}}(C^{\circ}, E) \] des préfaisceaux sur \(C\) à valeurs dans \(E\) est un topos. Un foncteur \(f : C \to C'\) et un morphisme de topos \(g : E \to E'\) définissent un morphisme de topos \(\pi(f, g) : \pi(C, E) \to \pi(C', E')\), d'image inverse et d'image directe \[ \pi(f,g)^{*}(u') = g^{*} \circ u' \circ f^{\circ}, \qquad \pi(f,g)_{*}(u) = g_{*} \circ f_{*}(u), \] où \(f_{*}\) est l'extension de Kan à droite le long de \(f^{\circ}\), calculée dans \(E\) ; comme \(g_{*}\) commute aux limites, on peut aussi la calculer après \(g_{*}\), dans \(E'\). Ainsi \(\pi\) est un \(2\)-foncteur \((\mathrm{Cat}) \times (\mathrm{Top}) \to (\mathrm{Top})\).³⁷

On définit un morphisme de topos \[ (1)\qquad \gamma(C, E) : \pi(C, E) \longrightarrow \hat{C} \times E \] vers le produit dans la \(2\)-catégorie des topos, par ses deux composantes : \(\gamma_1 = \pi(\mathrm{id}_C, p_E)\), où \(p_E : E \to P\) est le morphisme vers le topos ponctuel et \(\hat{C} = \pi(C, P)\), d'image inverse \(F \mapsto (X \mapsto F(X)_E)\), le préfaisceau d'objets constants ; et \(\gamma_2 = \pi(p_C, \mathrm{id}_E)\), où \(p_C : C \to C_0\) est le foncteur vers la catégorie ponctuelle et \(E = \pi(C_0, E)\), d'image inverse \(X \mapsto (i \mapsto X)\), le préfaisceau constant.³⁸

Question (de la page). \(\gamma(C, E)\) est-il toujours une équivalence ? La page note trois cas. a) Les deux membres transforment sommes en sommes, en chacun des arguments ; on peut donc supposer \(C\) connexe. b) Si \(C\) est un groupoïde connexe, équivalent à un groupe \(G\), alors \(\hat{C}\) est le topos classifiant \(B_G\) et \(\pi(C, E)\) la catégorie des objets de \(E\) munis d'une action de \(G\). c) Si \(E = \hat{D}\), alors \(\pi(C, E) \simeq (C \times D)^{\wedge}\), et \(\gamma\) est le morphisme évident \((C \times D)^{\wedge} \to \hat{C} \times \hat{D}\).

La réponse est oui : que la catégorie des préfaisceaux sur \(C\) à valeurs dans un topos de Grothendieck \(E\) soit le produit de \(\hat{C}\) et de \(E\) — ce qu'on énonce aussi en disant que le changement de base de \(\hat{C}\) le long de \(E \to P\) est \(\underline{\mathrm{Hom}}(C^{\circ}, E)\) — est aujourd'hui un résultat classique de la théorie des topos (voir par exemple P. T. Johnstone, Sketches of an Elephant, 2002).³⁹

24–30

VII. Graphes plongés dans une surface orientée (pages 24 à 30)

24–24

Les ordres circulaires aux sommets (page 24)

Soit \(X\) un espace compact triangulable de dimension au plus \(1\) — un graphe fini — et \(S\) une surface orientée. On étudie les classes d'isotopie de plongements modérés \(\varphi : X \hookrightarrow S\) ; leur ensemble est noté \(\mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S)\).

Les sommets topologiques de \(X\) sont les points où \(X\) n'est pas localement un intervalle : points isolés, bouts (une seule branche), points de ramification. On note \(X'_0\) l'ensemble de ces derniers, où partent \(\nu_x \geqslant 3\) branches. Un plongement induit en chaque \(x \in X'_0\) un ordre circulaire \(\omega_x(\varphi)\) sur les branches issues de \(x\) — celui dans lequel on les rencontre en tournant autour de \(\varphi(x)\) dans le sens de l'orientation ; l'ensemble \(\Omega_x(X)\) de ces ordres a \((\nu_x - 1)!\) éléments.⁴⁰ On obtient une application \[ \omega : \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S) \longrightarrow \Omega(X) = \prod_{x \in X'_0} \Omega_x(X), \] et l'on se propose d'étudier ses fibres \(\mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}(X, S)\), ou plus généralement, pour \(X\) et \(\alpha \in \Omega(X)\) fixés, tous les plongements \(\varphi\) de \(X\) dans des surfaces orientées tels que \(\omega(\varphi) = \alpha\).

Dans le langage d'aujourd'hui, un couple \((X, \alpha)\) est un graphe enrubanné (ribbon graph, fat graph), et \(\alpha\) un système de rotation.⁴¹

24–25

Le voisinage tubulaire, et ses bords (pages 24 et 25)

Théorème 1. Pour \(\alpha\) fixé, le voisinage tubulaire fermé d'un plongement \(\varphi\) avec \(\omega(\varphi) = \alpha\) ne dépend, à un homéomorphisme près induisant l'identité sur \(X\) — unique à isotopie près —, que de \(\alpha\), et non de \(S\) ; on le note \(\mathcal{U}_\alpha\). La restriction à \(X\) induit une bijection \[ \mathrm{Pl}^{+}_{\mathrm{isot}}(\mathcal{U}_\alpha, S) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}(X, S), \] où l'exposant \(+\) désigne les plongements qui préservent l'orientation.⁴²

\(\mathcal{U}_\alpha\) est une surface compacte orientée à bord, qui se rétracte par déformation sur \(X\) : c'est la surface-ruban du graphe enrubanné. Son complémentaire \(\mathcal{V}_\alpha = \mathcal{U}_\alpha \smallsetminus X\) a pour composantes connexes des anneaux semi-ouverts \(\mathcal{V}^{i}_\alpha \simeq S^{1} \times [1, 2[\), dont l'extrémité fermée \(S^{1} \times \{1\}\) est une composante du bord de \(\mathcal{U}_\alpha\), et dont l'extrémité ouverte est collée à \(X\) : les voisinages de \(X\) dans \(\mathcal{U}_\alpha\) induisent sur \(\mathcal{V}^{i}_\alpha\) le filtre des \(S^{1} \times {]2 - \varepsilon, 2[}\).⁴³

On note \(I(\alpha) = \pi_0(\mathcal{V}_\alpha)\) l'ensemble de ces anneaux, c'est-à-dire des composantes du bord de \(\mathcal{U}_\alpha\). La page demande de l'« expliciter combinatoirement » ; voici comment.⁴⁴ Soit \(\mathsf{H}\) l'ensemble des demi-arêtes de \(X\) (pour une triangulation quelconque), \(\iota\) l'involution qui échange les deux moitiés d'une arête, et \(\sigma\) la permutation qui envoie une demi-arête sur la suivante autour de son sommet pour l'ordre \(\alpha\). Les composantes du bord de \(\mathcal{U}_\alpha\) correspondent aux orbites de \(\sigma \circ \iota\), auxquelles s'ajoute un cercle par point isolé de \(X\). Si \(g(\alpha)\) désigne la somme des genres des surfaces fermées obtenues en bouchant chaque bord de chaque composante de \(\mathcal{U}_\alpha\) par un disque, la formule d'Euler donne \[ |I(\alpha)| = b_0(X) + b_1(X) - 2\,g(\alpha). \] La marge de la page 25 conjecture « le nombre des \(\mathcal{V}^{i}_\alpha\) est \(b_1(X) + 1\) si \(X\) est connexe non vide », et en général \(b_1(X) + b_0(X)\) : c'est exact si et seulement si \(g(\alpha) = 0\).

25–26

Recoller le complémentaire : les surfaces modèles (pages 25 et 26)

Pour un plongement de \(\mathcal{U}_\alpha\) dans \(S\), la surface \(S\) s'obtient en recollant à \(\mathcal{U}_\alpha\) la surface orientée à bord \(\mathcal{U}' = \overline{S \smallsetminus \varphi(\mathcal{U}_\alpha)}\), compacte si et seulement si \(S\) l'est, par un isomorphisme de \(\partial\,\mathcal{U}'\) sur \(-\partial\,\mathcal{U}_\alpha \simeq I(\alpha) \times S^{1}\). Si toute composante connexe de \(S\) rencontre \(X\), toute composante connexe de \(\mathcal{U}'\) a un bord non vide. Trouver tous les plongements de \(X\) dans une surface orientée, à isomorphisme près induisant l'identité sur \(X\), revient donc à trouver toutes les façons d'écrire \(I(\alpha) \times S^{1}\) comme bord orienté d'une surface.

Une telle surface est décrite par a) une partition \(\pi\) de \(I = I(\alpha)\) en parties \((I_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}\) ; b) pour chaque \(\lambda\), une surface orientée connexe \(\mathcal{U}'_\lambda\) et un isomorphisme \(\partial\,\mathcal{U}'_\lambda \simeq -I_\lambda \times S^{1}\). Si l'on se borne aux surfaces « algébriques », compactes moins un ensemble fini, une telle \(\mathcal{U}'_\lambda\) est déterminée par son genre \(g_\lambda\) — celui de la surface fermée obtenue en rajoutant les bouts et en contractant chaque composante du bord en un point — et par son nombre de bouts \(\nu_\lambda\).⁴⁵ Explicitement, \[ \mathcal{U}'_\lambda = S_{g_\lambda} \smallsetminus \Bigl(\bigcup_{j \in I_\lambda} \mathring{D}_j \cup P_\lambda\Bigr), \] où \(S_g\) est la surface fermée orientée de genre \(g\), les \(D_j\) des disques fermés disjoints, et \(P_\lambda\) un ensemble de \(\nu_\lambda\) points hors des disques. Un homéomorphisme orienté de \(\mathcal{U}'_\lambda\) peut permuter les composantes du bord de façon prescrite ; il est donc inutile de préciser laquelle est recollée à quel \(j\).

Soit \(\rho = (\alpha, \pi, (g_\lambda), (\nu_\lambda))\) et \(S_\rho = \mathcal{U}_\alpha \cup \coprod_\lambda \mathcal{U}'_\lambda\) la surface ainsi construite, munie d'un plongement canonique \(\varphi_\rho : X \hookrightarrow S_\rho\). Elle a \(\nu = \sum_\lambda \nu_\lambda\) bouts. Son genre, lorsqu'elle est connexe, est \[ g(S_\rho) = \sum_{\lambda \in \Lambda} g_\lambda + g(\alpha) + b_1(\Delta_\rho), \] où \(\Delta_\rho\) est le graphe biparti dont les sommets sont les composantes connexes de \(X\) et les parties \(I_\lambda\), et dont les arêtes sont les éléments de \(I\), chacun joignant la composante de \(X\) qu'il borde à la partie qui le contient.⁴⁶

Théorème 2. Tout plongement de \(X\) dans une surface orientée algébrique est isomorphe à un \(\varphi_\rho\), pour un \(\rho\) unique à renumérotation des \(\lambda\) près.⁴⁷

27–28

Le groupe modulaire (pages 27 et 28)

Pour \(S\) fixée, on a donc une application de \(\mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S)\) vers l'ensemble des \(\rho\), et l'on est ramené à étudier, pour \(\rho\) fixé, la fibre \(\mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S; \rho)\), non vide si et seulement si \(S \simeq S_\rho\). La restriction à \(X\) définit une application \[ (*)\qquad r : \mathrm{Isot}^{+}(S_\rho, S) \longrightarrow \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S; \rho), \] surjective d'après le Théorème 2, où \(\mathrm{Isot}^{+}\) désigne les classes d'isotopie d'homéomorphismes préservant l'orientation.

Soit \(\mathrm{Mod}(S)\) le groupe des classes d'isotopie d'homéomorphismes de \(S\) préservant l'orientation — le groupe modulaire de \(S\), qu'on appelle aussi mapping class group, et que la page appelle « groupe de Teichmüller ».⁴⁸ Il agit sur les deux membres de \((*)\), et \(r\) est équivariante ; le premier membre est un torseur sous \(\mathrm{Mod}(S)\). Choisissant \(f : S_\rho \xrightarrow{\sim} S\), et notant \(H \subset \mathrm{Mod}(S)\) le stabilisateur de la classe de \(f|_X\), l'application \(r\) s'identifie à \(\mathrm{Mod}(S) \to \mathrm{Mod}(S)/H\). Il reste deux questions : déterminer \(\mathrm{Mod}(S)\) ; déterminer \(H\), le sous-groupe des \(h\) tels que \(h \circ f|_X\) soit isotope à \(f|_X\). On peut supposer \(S = S_\rho\) et \(f = \varphi_\rho\).

La première est classique, et c'est le théorème de Dehn, Nielsen et Baer : pour \(S\) fermée de genre au moins \(1\), l'homomorphisme canonique \[ \mathrm{Mod}(S) \longrightarrow \mathrm{Out}(\pi_1(S, s)) \] est injectif, d'image le sous-groupe d'indice \(2\) des automorphismes extérieurs qui préservent l'orientation ; il est injectif aussi, plus généralement, pour les surfaces algébriques.⁴⁹

28–29

Le cas normal, la sphère, et une question (pages 28 et 29)

Supposons \(X\) connexe et \(\pi_1(X) \to \pi_1(S)\) surjectif : la page appelle un tel plongement normal. Cela signifie que la partition \(\pi\) est discrète, que les \(g_\lambda\) sont nuls et que chaque \(\nu_\lambda\) vaut \(0\) ou \(1\) : \(S\) se déduit de \(\mathcal{U}_\alpha\) en bouchant chaque bord par un disque, éventuellement épointé.⁵⁰ Le genre de \(S\) est alors \(g(\alpha)\).

Si \(h\varphi\) est isotope à \(\varphi\), il lui est homotope, donc \(\pi_1(h) \circ c\) et \(c\) coïncident à automorphisme intérieur près, où \(c = \pi_1(\varphi) : \pi_1(X) \to \pi_1(S)\) ; \(c\) étant surjectif, \(\pi_1(h)\) est intérieur. Par l'injectivité de Dehn–Nielsen–Baer, \(h\) est isotope à l'identité : \(H = \{1\}\), et les plongements normaux de type \(\rho\) forment un torseur sous \(\mathrm{Mod}(S)\).⁵¹

En particulier, pour \(S = S^{2}\), dont tout homéomorphisme orienté est isotope à l'identité, et \(X\) connexe : les classes d'isotopie de plongements de \(X\) dans la sphère correspondent bijectivement aux \(\alpha \in \Omega(X)\) tels que \(g(\alpha) = 0\).⁵² La page 29 ajoute qu'« il faut donner une certaine condition simple sur \(\alpha\) pour qu'il en soit ainsi ». La formule de la page 25 la donne : \(g(\alpha) = 0\) si et seulement si \(\sigma \circ \iota\) a exactement \(b_1(X) + 1\) orbites.⁵³ C'est le cas de l'icosaèdre muni d'un système cohérent au sens de la page 10 : \(b_1 = 30 - 12 + 1 = 19\), et vingt faces.

Question (de la page 29). Soit \(h \in \mathrm{Mod}(S)\) tel que, pour toute composante connexe \(X_i\) de \(X\), de plongement induit \(\varphi_i : X_i \to S\), on ait \(\pi_1(h\varphi_i) = \pi_1(\varphi_i)\) dans \(\mathrm{Homext}(\pi_1(X_i), \pi_1(S))\) — condition évidemment nécessaire pour que \(h \in H\). A-t-on \(h \in H\) ? Autrement dit, pour ces plongements, l'isotopie se lit-elle sur l'homotopie ? La page ne répond pas, et nous ne tranchons pas ici.⁵⁴

30–30

Une suite exacte (page 30)

La dernière page de la suite écrit, pour le groupe topologique \(\mathcal{G}\) des homéomorphismes de \(S\) et le sous-groupe \(\mathcal{H} = \mathrm{Aut}(S/X)\) de ceux qui induisent l'identité sur \(X\), l'identification de \(\mathcal{G}/\mathcal{H}\) à un espace \(\mathfrak{X}\) de plongements — l'orbite de \(\varphi\) — et la suite d'homotopie \[ \pi_1(\mathcal{H}) \to \pi_1(\mathcal{G}) \to \pi_1(\mathfrak{X}) \to \pi_0(\mathcal{H}) \to \pi_0(\mathcal{G}) \to \pi_0(\mathfrak{X}). \] La page la marque « ?? ». Elle vaut dès que \(\mathcal{G} \to \mathfrak{X}\) est une fibration localement triviale, c'est-à-dire sous un théorème d'extension des isotopies pour les plongements modérés de \(1\)-complexes, que la page ne démontre pas.⁵⁵ Son intérêt est de donner la réponse de principe à la seconde question de la page 27 : l'exactitude en \(\pi_0(\mathcal{G}) = \mathrm{Mod}(S)\) dit que \(H\) est l'image du groupe des classes d'homéomorphismes de \(S\) qui fixent \(X\) point par point.

32–33

VIII. Graphes à groupe transitif sur les sommets et les arêtes (pages 32 et 33)

Un graphe est ici la donnée d'un ensemble \(S\) de sommets, d'un ensemble \(A\) d'arêtes orientées muni d'une involution sans point fixe \(\sigma\) — le retournement —, d'une partie \(A' \subset A\) stable par \(\sigma\), formée des arêtes qui ont des extrémités, et d'une application « origine » \(\varphi_1 : A' \to S\), d'où \(\varphi = (\varphi_1, \varphi_1 \circ \sigma) : A' \to S \times S\).⁵⁶ Une arête est circulaire — une boucle — si ses deux extrémités coïncident.

Soit \(G\) un groupe agissant sur un graphe \(\Gamma\), c'est-à-dire un sous-groupe de \(\mathrm{Perm}(S) \times \mathrm{Perm}(A)\) respectant la structure, et supposons \(G\) transitif sur \(S\) et sur \(A\).⁵⁷ Comme \(A'\) est stable par \(G\), ou bien \(A' = \emptyset\), ou bien \(A' = A\) et \(\varphi_1\) est surjective ; dans ce second cas, par transitivité, ou bien toutes les arêtes sont des boucles, ou bien aucune.

a) Les arêtes n'ont pas d'extrémités. Alors \(\mathrm{Aut}\,\Gamma = \mathrm{Perm}(S) \times \mathrm{Aut}(A, \sigma)\), et, si \(A_1 = A/\sigma\), \(\mathrm{Aut}(A, \sigma) \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{A_1} \rtimes \mathrm{Perm}(A_1)\), le groupe hyperoctaédral.

Dans les deux autres cas, on choisit \(a \in A\) et \(s = \varphi_1(a)\), et l'on note \(H = G_a \subset H' = G_s\) leurs stabilisateurs, de sorte que \(A \simeq G/H\) et \(S \simeq G/H'\). Par les deux lemmes des pages 16 et 19, l'involution \(\sigma\), qui commute à \(G\), est la multiplication à droite par un élément \(\dot\sigma \in N_G(H)/H\) ; elle est sans point fixe si et seulement si \(\dot\sigma \neq 1\), et involutive si et seulement si \(\dot\sigma^{2} = 1\). Le groupe \(G\) agit fidèlement sur \(\Gamma\) si et seulement si \(\bigcap_{g \in G} g H g^{-1} = \{1\}\).

b) Toutes les arêtes sont des boucles. La compatibilité \(\varphi_1 \circ \sigma = \varphi_1\) signifie \(\dot\sigma \in H'/H\), d'où les données \[ G \supset H' \supset H,\qquad \dot\sigma \in \bigl(H' \cap N_G(H)\bigr)/H,\qquad \dot\sigma^{2} = 1,\ \dot\sigma \neq 1 . \] Ce cas est biffé sur la page, qui reste lisible.

c) Aucune arête n'est une boucle (page 33). Les données sont \[ G \supset H' \supset H,\qquad \dot\sigma \in N_G(H)/H,\qquad \dot\sigma^{2} = 1,\qquad \dot\sigma \notin H'/H, \] la dernière condition disant que l'extrémité \(\varphi_1(\sigma a)\) diffère de l'origine.⁵⁸ Le graphe est simplicial — sans arêtes multiples, donné par un ensemble de parties à deux éléments de \(S\) — si et seulement si \(\varphi : A \to S \times S\), c'est-à-dire \(gH \mapsto (gH', g\dot\sigma H')\), est injective, ce qui équivaut à \[ H' \cap \dot\sigma H' \dot\sigma^{-1} \subset H, \] condition indépendante du représentant de \(\dot\sigma\) puisque \(H \subset H'\).⁵⁹

Inversement, toute donnée \((G, H \subset H', \dot\sigma)\) de ce type définit, sur \(S = G/H'\) et \(A = G/H\), un graphe sur lequel \(G\) agit transitivement sur les sommets et sur les arêtes orientées — ce que la page annonce par « Si on a une telle situation » avant de s'interrompre. C'est la description d'aujourd'hui des graphes arc-transitifs comme graphes de classes (coset graphs), due pour l'essentiel à Sabidussi (1964).⁶⁰

L'icosaèdre en est un exemple, et c'est une façon de relire le Théorème de la page 7.⁶¹ Pour \(G = \Gamma' \simeq \mathfrak{A}_5\), simplement transitif sur les arêtes orientées, on a \(H = \{1\}\) ; \(H'\) est le groupe cyclique d'ordre \(5\) des rotations autour de \(u\) ; et \(\dot\sigma\) est le demi-tour autour de l'axe qui passe par le milieu de l'arête \(\{u, x_0\}\), qui n'est pas dans \(H'\). La condition simpliciale dit que les stabilisateurs de deux sommets voisins ne se rencontrent qu'en l'identité. On retrouve ainsi douze sommets et soixante arêtes orientées.