Notes manuscrites
\begin{array}{ccccccc}
L & \subset & K & \subset & \bar{K} & \subset & \Omega \\
\cup & & \cup & & \cup & & \cup \\
W & \subset & V & \subset & \bar{V} & \subset & \hat{\bar{V}}
\end{array}
ce tableau d'inclusions est écrit dans la marge de gauche, en regard des
cinq premières lignes.
On pose
\pi = \mathrm{Gal}(\bar{K}/K), \quad \pi' = \mathrm{Gal}(\bar{K}/L) \;\ldots
\mathcal{M}_K = catégorie des \mathbb{Q}_p-faisceaux du type Hodge-Tate sur
K (\otimes-catégorie sur \mathbb{Q}_p)
\mathcal{M}^{+}_K = \varinjlim \mathcal{M}^{(n)} ; ss-catégorie des objets
« effectifs » i.e. avec graduation \mathrm{gr}(M_\Omega)
à degrés positifs
\mathcal{M}^{(n)}_K = \{
\widetilde{\mathrm{BT}}_V catégorie des BT à isog. près sur V
l'indice V est écrit sur un K biffé.
Foncteur pl. fid. (par Tate)
\widetilde{\mathrm{BT}}_V \hookrightarrow \mathcal{M}^{(1)}_K
on identifie \widetilde{\mathrm{BT}}_V à ss-catégorie pleine de
\mathcal{M}^{(1)}_K
\mathcal{M}^{\mathrm{BT}}_K \subset \mathcal{M}_K \otimes-
T^{\Omega}_p = T_p : \mathcal{M}_K \to
G^{\Omega} = G = \mathrm{Aut}(T_p) pro-groupe alg. sur \mathbb{Q}_p
le second G portait un exposant, biffé.
\pi \xrightarrow{\ \rho\ } G(\mathbb{Q}_p)
G est l'enveloppe algébrique de \pi (NB G/G^{\circ} non )
Pour M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M},
G_M = \mathrm{Im}\bigl(G \to \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Q}_p}(T_p(M))\bigr)
\subset \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Q}_p}(T_p(M))
\bigl(\pi \xrightarrow{\ \rho_M\ } G_M(\mathbb{Q}_p) \quad \cdots\cdots \bigr)
Structure sur (\Omega, \pi) :
j^{!} : \mathbb{G}_{m,\Omega} \to G^{!}_\Omega, \mathfrak{P}
(avec section e sur \Omega, non invariante sous \pi),
G_\Omega
id. :
j_\Omega : \mathbb{G}_{m,\Omega} \to G^{\mathrm{Hdg}}_\Omega,
Q_\Omega = \mathcal{T} \wedge^{\mathbb{G}_{m,\Omega}} \mathfrak{P},
G_\Omega
[\mathcal{T} = \mathcal{T}^{\Omega}
\mathbb{G}_{m,\Omega}-tors. sur (\Omega, \pi) associé à
T_p(\Omega^{*}) \otimes_{\mathbb{Z}_p} \Omega]
par descente sur K :
j_K : \mathbb{G}_{m,K} \to G^{\mathrm{Hdg}}_K, Q_K, G_K,
T_{\mathrm{Hdg}}(M) = Q_K \wedge^{G} M_K
les trois lignes sont disposées en tableau : à gauche l'étiquette, puis
chaque fois un morphisme de \mathbb{G}_m dessiné en diagonale montante, le
torseur, le groupe. L'exposant de T_{\mathrm{Hdg}} est biffé.
Pour M \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{\mathrm{BT}}_V, on a
T_{\mathrm{Hdg}}(M)
a) Un L-vectoriel filtré T_{\mathrm{cr}}(M)
et un isom. \mathrm{gr}\, T_{\mathrm{DR}}(M)_K \simeq T_{\mathrm{Hdg}}(M)
le L de « L-vectoriel » est écrit en interligne, d'un trait très
appuyé ; on ne voit pas s'il recouvre une autre lettre.
b) Une donnée structure de F-isocristal sur T_{\mathrm{cr}}(M)
c) Une filtration de T_{\mathrm{DR}}(M) = T_{\mathrm{cr}}(M) \otimes_K L
à partir d'ici et jusqu'à la fin de la page 28, les lettres K et L
sont employées à l'inverse de la page 22, où L est le corps des fractions de
W, contenu dans K : T_{\mathrm{cr}}(M), dit en a) un L-vectoriel, est
ici tensorisé par \otimes_K L ; page 24, Q_L « descendant Q_\Omega » ;
page 25, \pi = \mathrm{Aut}_L(\Omega) et Q_\Omega « se descend à L » ;
page 26, le « L-foncteur fibre filtré », la descente « de L : K » et
P_K \simeq P^{(\sharp)}_K ; pages 27 et 28, G'_S(S)^{\pi} = G'_L(L).
L'échange est suivi : L y est le corps de base, K le corps des fractions
de W. Les lettres sont transcrites telles qu'il les écrit.
d) Un isomorphisme
\mathrm{gr}(T_{\mathrm{DR}}(M)) \simeq T_{\mathrm{Hdg}}(M)
ces données étant fonctorielles en M \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{\mathrm{BT}}_V.
Question. Peut-on prolonger ces données à \mathcal{M}^{\mathrm{BT}},
A-t-on avec T_{\mathrm{cr}} un \otimes-foncteur,
la structure b) compatible avec \otimes (et Hom), c) et d) aussi. A-t-on
unicité du T_{\mathrm{cr}} prolongé, à isom. unique près ?
1) gr. alg. \boxed{G} sur \mathbb{Q}_p
2) hom continu \boxed{\rho : \pi \to G(\mathbb{Q}_p)}
d'où G^{!}_\Omega \;\text{—}\; \mathfrak{P}^{!}_\Omega \;\text{—}\; G_\Omega
3) \boxed{\mathbb{G}_{m,\Omega} \xrightarrow{\ j^{!}\ } G^{!}_\Omega}
d'où
Q_\Omega = \mathcal{T} \wedge^{\mathbb{G}_{m,\Omega}} \mathfrak{P}^{!}_\Omega
\qquad G_\Omega
G''_\Omega = \mathcal{T}^{*} \wedge^{\mathbb{G}_{m,\Omega}} (G^{!}_\Omega,
\mathrm{int}),
j_\Omega : \mathbb{G}_m \to G''_\Omega
le \mathcal{T} est écrit par-dessus une autre lettre.
4)
4) \boxed{Q_L \text{ sous } G_L} descendant Q_\Omega sous G_\Omega
unique
« unique » en marge de gauche, au bout d'une accolade qui embrasse 3) et
4).
U''_L \subset G''_L \;\text{—}\; Q_L \;\text{—}\; G_L, \qquad
j_L : \mathbb{G}_{m,L} \to G''_L
dans « Q_L — G_L », les indices L sont écrits sur un \Omega.
5) Un ensemble \boxed{\Delta} d'opérations \rho de
\Gamma (\supset \pi) sur Q_\Omega d'homomorphismes
\Gamma \to G''_L(\Omega) prolongeant celle de \pi, comp. avec
celle de \Gamma sur \Omega, tel que si \rho est l'une, les autres
formant orbite sous U''_L(L) opérant par (pour u \in U''_L(L))
(u.\rho)(\gamma) = \tau(u)\,\rho(\gamma)\,\tau(u)^{-1}
= (\mathrm{int}\,\tau(u)).\rho(\gamma), i.e.
u.\rho = \mathrm{int}(\tau(u))\,\rho.
tout le passage qui va de « tel que » jusqu'ici est en outre annulé par
trois longs traits obliques ; la première ligne de 5) est biffée d'un trait
horizontal, et le début de la deuxième ne se lit pas.
[NB si u.\rho = \rho i.e. \tau(u) et \rho commutent :
\tau(u) pour
Un torseur (commutatif) R_0 à droite \Delta sous U''_L(L),
et un U''_L(L)-hom de
\boxed{\rho : \Delta \to \text{Op.\ de } \Gamma \text{ sur } (\Omega, Q_L, G_L)}
qui sont compatibles avec les op. qu'on a de \Gamma sur \Omega, et celle
de \pi \subset \Gamma sur Q_L… lorsque on fait opérer U''_L(L) à
droite sur le deuxième ens. par u.\alpha = \tau(\alpha)^{-1}\, u\, \tau(\alpha)
« à droite \Delta » est ajouté en interligne au-dessus de R_0, qu'il
remplace peut-être : c'est \Delta qui est la source de \rho.
1) groupe alg. \boxed{G} sur \mathbb{Q}_p. (Il dépend en fait du choix de
\Omega. cf plus bas 2°)
2) Hom \boxed{\rho : \pi \to G(\mathbb{Q}_p)}
[L'op. de \pi = \mathrm{Aut}_L(\Omega) sur G = G^{(\Omega)} est donnée par
\gamma \mapsto \mathrm{int}(\rho(\gamma))]
3) On fait opérer \pi sur G_\Omega diagonalement, soit
G^{!}_\Omega.
3) Hom \boxed{j^{!} : \mathbb{G}_{m,\Omega} \to G^{!}_\Omega} inv. par \pi
G_\Omega
On appelle S_\Omega(1)
\mathbb{G}_{m,\Omega} \xrightarrow{\ j_\Omega\ } G''_\Omega
\qquad
M \mapsto \sum \mathrm{gr}^{i}_{j}(M_\Omega) \otimes S_\Omega(-i)
= \mathrm{Hdg}(M)_\Omega
devant « Hdg » un trait vertical qui peut être un T ou le crochet
fermant de la ligne précédente.
Axiome. Le torseur Q_\Omega
Correspond à fct fibre gradué \mathrm{Hdg}_{j_L}
NB Un j satisfaisant aux conditions est unique. Signifie
que les M_\Omega sont de Hodge.
2° Il y a deux foncteurs fibres de \mathrm{Rep}(G) dans
\mathrm{Mod}(\Omega, \pi)
a) M \mapsto M_\Omega opération par transport des op.
naturelles de \pi sur \Omega
b) M \mapsto M^{!}_\Omega opération diagonale
— foncteurs T_{p,\Omega} et T^{!}_{p,\Omega}
(\Omega, \pi) torseur (à droite) sur
(\Omega, \pi) du groupe G_\Omega, soit \mathfrak{P}_\Omega, donné par le
1-cocycle
\rho : \pi \to G(\mathbb{Q}_p) \subset H^{0}(\Omega, G_\Omega) = G(\Omega).
Le groupe \underline{\mathrm{Aut}}_{G_{\Omega,\pi}}(\mathfrak{P})
(\Omega, \pi) est G^{!}_\Omega.
« 2° » est un chiffre cerclé en marge de gauche, lu d'après le renvoi
« cf plus bas 2° » du haut de la page.
4) Soit U''_L \subset G''_L défini par j_L. On a un torseur (à
droite) canonique (mais trivial) \boxed{R_L \text{ sous } U''_L},
d'où L-foncteur fibre filtré
\mathrm{DR}_L(M) = \bigl(R_L \wedge^{U''_L} Q_L\bigr) \wedge^{G_L} T_p(M)_L
une première écriture, T_p(M)_L, est biffée après le signe =.
5) Le foncteur fibre \mathrm{DR}_L(M) correspond au G_L-tors.
(à dr.)
R_L \wedge^{U'_L} Q_L = P_L
Soit G'_L = \underline{\mathrm{Aut}}(P_L) (G'_L \simeq G_L non
canoniquement)
5) Structure de descente de L : K sur le torseur P_L, d'où
G''\qquad P_K \qquad G_K
6) G_K-isom donné
P_K \simeq P^{(\sharp)}_K
l'exposant de P_K est un signe entre parenthèses qui tient du \sharp
et du H ; il n'est pas lu avec certitude.
On peut formuler ensemble 5) et 6) en regardant
P_\Omega = R_L \wedge^{U''_\Omega} Q_\Omega = R_L \wedge^{U''_\Omega}
le premier membre de droite est surchargé (un Q'' biffé) ; le second
s'arrête après le signe \wedge.
et on déclare que l'ext. \Gamma de \mathbb{Z} par
\tilde{\pi} = \mathrm{Gal}(\bar{K}/\tilde{K}) (qui contient
\pi \subset \Gamma) opère sur P_\Omega en
On a donc une extension
1 \to G'_S(S) \to \mathcal{E} \to \Gamma \to 1 . \qquad (\mathcal{E})
Supposons que \pi \subset \Gamma opère sur
Les sections de celle-ci sont les structures de torseur sur
(S, \Gamma ; G_S) sur G_S qui prolongent la structure de tor. sur
(S, G_S). Si on a une telle section, on en déduit une opération de \Gamma
sur G'_S(S) (qui en fait provient de son opération sur G'_S lui-même !) et
les autres sections correspondent aux 1-cocycles de \Gamma à valeurs dans
G'_S(S). Les L'ens. \Gamma(\mathcal{E}) des sections
forment un ens. où G'_S(S) opère (aucune restriction)
et deux
un tel \alpha, les autres \beta s'en déduisent par les 1-cocycles qui sont
triviaux sur \pi.
\begin{cases}
\varphi(\gamma\gamma') = \varphi(\gamma)\; {}^{\gamma}\varphi(\gamma') \\
\varphi(\pi) = \{e\}
\end{cases}
Question. Est-il vrai que les \alpha qui prolongent \alpha_0 sont
conj. i.e. conjugués sous G'_S(S) ? Il suffirait de savoir que (pour une
telle section fixée)
H^{1}(\Gamma, G'_S(S)) \to H^{1}(\pi, G'_S(S))
est injectif (ou plutôt « injectif » i.e. noyau unité). Si oui, les solutions
cherchées forment un