Cote n° 161-5 · batch 2 · pages 21–28 · Transcription · Barsotti-Tate : tirés à part annotés (1967-1969), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1967-1969 — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration

Notes manuscrites

22[…] \(K\) corps local d'inégales caractéristiques, corps résiduel \(k\) de car. \(p > 0\) (\(k\) parfait!), anneau d'entiers \(V\), sous-\(p\)-anneau \(W\) de corps résiduel \(k\), corps des fractions \(L\). On choisit une clôture algébrique \(\bar{K}\) de \(K\), son complétion \(\Omega\).

\[ \begin{array}{ccccccc} L & \subset & K & \subset & \bar{K} & \subset & \Omega \\ \cup & & \cup & & \cup & & \cup \\ W & \subset & V & \subset & \bar{V} & \subset & \hat{\bar{V}} \end{array} \] ce tableau d'inclusions est écrit dans la marge de gauche, en regard des cinq premières lignes.

On pose \[ \pi = \mathrm{Gal}(\bar{K}/K), \quad \pi' = \mathrm{Gal}(\bar{K}/L) \;\ldots \]

\(\mathcal{M}_K\) = catégorie des \(\mathbb{Q}_p\)-faisceaux du type Hodge-Tate sur \(K\) (\(\otimes\)-catégorie sur \(\mathbb{Q}_p\))

\(\mathcal{M}^{+}_K = \varinjlim \mathcal{M}^{(n)}\) ; ss-catégorie des objets « effectifs » i.e. avec graduation \(\mathrm{gr}(M_\Omega)\) à degrés positifs

\(\mathcal{M}^{(n)}_K\) \(= \{\) […] catégorie pleine de \(\mathcal{M}\) formée des \(M\) avec \(\mathrm{gr}\, M_\Omega\) à degrés \(0\) et \(1\) l'exposant se lit « (n) », mais la condition « à degrés 0 et 1 » et la ligne suivante, où figure \(\mathcal{M}^{(1)}_K\), donnent plutôt \(\mathcal{M}^{(1)}_K\) ; l'accolade ouverte n'est pas refermée.

\(\widetilde{\mathrm{BT}}_V\) catégorie des BT à isog. près sur \(V\) l'indice \(V\) est écrit sur un \(K\) biffé.

Foncteur pl. fid. (par Tate) \[ \widetilde{\mathrm{BT}}_V \hookrightarrow \mathcal{M}^{(1)}_K \] on identifie \(\widetilde{\mathrm{BT}}_V\) à ss-catégorie pleine de \(\mathcal{M}^{(1)}_K\)

\(\mathcal{M}^{\mathrm{BT}}_K \subset \mathcal{M}_K\) \(\otimes\)-[…] catégorie tannakienne engendrée par \(\mathcal{M}^{(1)}_K\)

\(T^{\Omega}_p = T_p : \mathcal{M}_K \to\) […] \(\mathrm{Modf}(\mathbb{Q}_p)\) foncteur fibre sur \(\Omega\)

\(G^{\Omega} = G = \mathrm{Aut}(T_p)\) pro-groupe alg. sur \(\mathbb{Q}_p\) le second \(G\) portait un exposant, biffé.

\[ \pi \xrightarrow{\ \rho\ } G(\mathbb{Q}_p) \] \(G\) est l'enveloppe algébrique de \(\pi\) (NB \(G/G^{\circ}\) non […])

Pour \(M \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}\), \[ G_M = \mathrm{Im}\bigl(G \to \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Q}_p}(T_p(M))\bigr) \subset \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Q}_p}(T_p(M)) \] \[ \bigl(\pi \xrightarrow{\ \rho_M\ } G_M(\mathbb{Q}_p) \quad \cdots\cdots \bigr) \]

Structure sur \((\Omega, \pi)\) : \(j^{!} : \mathbb{G}_{m,\Omega} \to G^{!}_\Omega\), \(\mathfrak{P}\) (avec section \(e\) sur \(\Omega\), non invariante sous \(\pi\)), \(G_\Omega\)

id. : \(j_\Omega : \mathbb{G}_{m,\Omega} \to G^{\mathrm{Hdg}}_\Omega\), \(Q_\Omega = \mathcal{T} \wedge^{\mathbb{G}_{m,\Omega}} \mathfrak{P}\), \(G_\Omega\)

[\(\mathcal{T}\) \(= \mathcal{T}^{\Omega}\) […] \(\mathbb{G}_{m,\Omega}\)-tors. sur \((\Omega, \pi)\) associé à \(T_p(\Omega^{*}) \otimes_{\mathbb{Z}_p} \Omega\)]

par descente sur \(K\) : \(j_K : \mathbb{G}_{m,K} \to G^{\mathrm{Hdg}}_K\), \(Q_K\), \(G_K\), \(T_{\mathrm{Hdg}}(M) = Q_K \wedge^{G} M_K\) les trois lignes sont disposées en tableau : à gauche l'étiquette, puis chaque fois un morphisme de \(\mathbb{G}_m\) dessiné en diagonale montante, le torseur, le groupe. L'exposant de \(T_{\mathrm{Hdg}}\) est biffé.

Pour \(M \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{\mathrm{BT}}_V\), on a \(T_{\mathrm{Hdg}}(M)\) […]

a) Un \(L\)-vectoriel filtré \(T_{\mathrm{cr}}(M)\) et un isom. \(\mathrm{gr}\, T_{\mathrm{DR}}(M)_K \simeq T_{\mathrm{Hdg}}(M)\) le \(L\) de « \(L\)-vectoriel » est écrit en interligne, d'un trait très appuyé ; on ne voit pas s'il recouvre une autre lettre.

23b) Une donnée structure de F-isocristal sur \(T_{\mathrm{cr}}(M)\)

c) Une filtration de \(T_{\mathrm{DR}}(M) = T_{\mathrm{cr}}(M) \otimes_K L\) à partir d'ici et jusqu'à la fin de la page 28, les lettres \(K\) et \(L\) sont employées à l'inverse de la page 22, où \(L\) est le corps des fractions de \(W\), contenu dans \(K\) : \(T_{\mathrm{cr}}(M)\), dit en a) un \(L\)-vectoriel, est ici tensorisé par \(\otimes_K L\) ; page 24, \(Q_L\) « descendant \(Q_\Omega\) » ; page 25, \(\pi = \mathrm{Aut}_L(\Omega)\) et \(Q_\Omega\) « se descend à \(L\) » ; page 26, le « \(L\)-foncteur fibre filtré », la descente « de \(L : K\) » et \(P_K \simeq P^{(\sharp)}_K\) ; pages 27 et 28, \(G'_S(S)^{\pi} = G'_L(L)\). L'échange est suivi : \(L\) y est le corps de base, \(K\) le corps des fractions de \(W\). Les lettres sont transcrites telles qu'il les écrit.

d) Un isomorphisme \(\mathrm{gr}(T_{\mathrm{DR}}(M)) \simeq T_{\mathrm{Hdg}}(M)\)

ces données étant fonctorielles en \(M \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{\mathrm{BT}}_V\).

Question. Peut-on prolonger ces données à \(\mathcal{M}^{\mathrm{BT}}\), […] A-t-on avec \(T_{\mathrm{cr}}\) un \(\otimes\)-foncteur, la structure b) compatible avec \(\otimes\) (et Hom), c) et d) aussi. A-t-on unicité du \(T_{\mathrm{cr}}\) prolongé, à isom. unique près ?

241) gr. alg. \(\boxed{G}\) sur \(\mathbb{Q}_p\)

2) hom continu \(\boxed{\rho : \pi \to G(\mathbb{Q}_p)}\)

d'où \(G^{!}_\Omega \;\text{—}\; \mathfrak{P}^{!}_\Omega \;\text{—}\; G_\Omega\)

3) \(\boxed{\mathbb{G}_{m,\Omega} \xrightarrow{\ j^{!}\ } G^{!}_\Omega}\) d'où \[ Q_\Omega = \mathcal{T} \wedge^{\mathbb{G}_{m,\Omega}} \mathfrak{P}^{!}_\Omega \qquad G_\Omega \] \(G''_\Omega = \mathcal{T}^{*} \wedge^{\mathbb{G}_{m,\Omega}} (G^{!}_\Omega,\) \(\mathrm{int}\)\()\), \(j_\Omega : \mathbb{G}_m \to G''_\Omega\) le \(\mathcal{T}\) est écrit par-dessus une autre lettre.

4)

4) \(\boxed{Q_L \text{ sous } G_L}\) descendant \(Q_\Omega\) sous \(G_\Omega\) unique « unique » en marge de gauche, au bout d'une accolade qui embrasse 3) et 4).

\[ U''_L \subset G''_L \;\text{—}\; Q_L \;\text{—}\; G_L, \qquad j_L : \mathbb{G}_{m,L} \to G''_L \] dans « \(Q_L\) — \(G_L\) », les indices \(L\) sont écrits sur un \(\Omega\).

5) Un ensemble \(\boxed{\Delta}\) d'opérations \(\rho\) de \(\Gamma\) (\(\supset \pi\)) sur \(Q_\Omega\) […] d'homomorphismes \(\Gamma \to G''_L(\Omega)\) […] prolongeant celle de \(\pi\), comp. avec celle de \(\Gamma\) sur \(\Omega\), tel que si \(\rho\) est l'une, les autres […] formant orbite sous \(U''_L(L)\) opérant par (pour \(u \in U''_L(L)\)) \[ (u.\rho)(\gamma) = \tau(u)\,\rho(\gamma)\,\tau(u)^{-1} \] \(= (\mathrm{int}\,\tau(u)).\rho(\gamma)\), i.e. \(u.\rho = \mathrm{int}(\tau(u))\,\rho\). tout le passage qui va de « tel que » jusqu'ici est en outre annulé par trois longs traits obliques ; la première ligne de 5) est biffée d'un trait horizontal, et le début de la deuxième ne se lit pas.

[NB si \(u.\rho = \rho\) i.e. \(\tau(u)\) et \(\rho\) commutent : \(\tau(u)\) pour […]

Un torseur (commutatif) \(R_0\) à droite \(\Delta\) sous \(U''_L(L)\), et un \(U''_L(L)\)-hom de \[ \boxed{\rho : \Delta \to \text{Op.\ de } \Gamma \text{ sur } (\Omega, Q_L, G_L)} \] qui sont compatibles avec les op. qu'on a de \(\Gamma\) sur \(\Omega\), et celle de \(\pi \subset \Gamma\) sur \(Q_L\)… lorsque on fait opérer \(U''_L(L)\) à droite sur le deuxième ens. par \(u.\alpha = \tau(\alpha)^{-1}\, u\, \tau(\alpha)\) « à droite \(\Delta\) » est ajouté en interligne au-dessus de \(R_0\), qu'il remplace peut-être : c'est \(\Delta\) qui est la source de \(\rho\).

251) groupe alg. \(\boxed{G}\) sur \(\mathbb{Q}_p\). (Il dépend en fait du choix de \(\Omega\). cf plus bas 2°)

2) Hom \(\boxed{\rho : \pi \to G(\mathbb{Q}_p)}\)

[L'op. de \(\pi = \mathrm{Aut}_L(\Omega)\) sur \(G = G^{(\Omega)}\) est donnée par \(\gamma \mapsto \mathrm{int}(\rho(\gamma))\)]

3) On fait opérer \(\pi\) sur \(G_\Omega\) diagonalement, soit \(G^{!}_\Omega\).

3) Hom \(\boxed{j^{!} : \mathbb{G}_{m,\Omega} \to G^{!}_\Omega}\) inv. par \(\pi\)

\(G_\Omega\)

On appelle \(S_\Omega(1)\) […] la […] \(\Omega\)-module inversible \(T_p(\Omega^{*}) \otimes_{\mathbb{Z}_p} \Omega\) avec op. diagonale de \(\pi\), […] et \(\mathcal{T}_\Omega\) le \(\mathbb{G}_{m,\Omega}\)-torseur associé. Posons \(Q_\Omega = \mathcal{T} \wedge \mathfrak{P}\) […] torseur (à dr.) sous \(G_\Omega\), […] commutant aux \(G^{!}_\Omega\) tordu par \((\mathcal{T}, j)\) soit \(G''_\Omega\) [correspondant aux foncteurs fibres sur \(\mathrm{Rep}(G)\) (gradués) une ligne entière, entre « Posons » et « torseur », est raturée à la mine jusqu'à l'illisible ; on y devine \(\mathfrak{P}\), \(Q\) et \(\mathbb{G}_{m,\Omega}\). La formule \(Q_\Omega = \mathcal{T} \wedge \mathfrak{P}\) est écrite au-dessus, dans un cadre. « Posons » est en interligne.

\[ \mathbb{G}_{m,\Omega} \xrightarrow{\ j_\Omega\ } G''_\Omega \qquad M \mapsto \sum \mathrm{gr}^{i}_{j}(M_\Omega) \otimes S_\Omega(-i) = \mathrm{Hdg}(M)_\Omega \] devant « Hdg » un trait vertical qui peut être un \(T\) ou le crochet fermant de la ligne précédente.

Axiome. Le torseur \(Q_\Omega\) […] se descend à \(L\) en un \(G_L\)-torseur \(Q_L\) (unique à isom. unique près) comme \(G''_L\), et \(\mathbb{G}_{m,L} \xrightarrow{\ j_L\ } G''_L\). au-dessus du mot biffé « torseur », une surcharge entre parenthèses non lue ; sous la ligne, \(Q_L\) et \(G_L\) sont repris dans un ovale.

Correspond à fct fibre gradué \(\mathrm{Hdg}_{j_L}\)

NB Un \(j\) satisfaisant aux conditions est unique. Signifie que les \(M_\Omega\) sont de Hodge. […]

2° Il y a deux foncteurs fibres de \(\mathrm{Rep}(G)\) dans \(\mathrm{Mod}(\Omega, \pi)\)

a) \(M \mapsto M_\Omega\) opération par transport des op. naturelles de \(\pi\) sur \(\Omega\)

b) \(M \mapsto M^{!}_\Omega\) opération diagonale

— foncteurs \(T_{p,\Omega}\) et \(T^{!}_{p,\Omega}\)

[…] On a donc un \((\Omega, \pi)\) torseur (à droite) sur \((\Omega, \pi)\) du groupe \(G_\Omega\), soit \(\mathfrak{P}_\Omega\), donné par le 1-cocycle \[ \rho : \pi \to G(\mathbb{Q}_p) \subset H^{0}(\Omega, G_\Omega) = G(\Omega). \] Le groupe \(\underline{\mathrm{Aut}}_{G_{\Omega,\pi}}(\mathfrak{P})\) \((\Omega, \pi)\) est \(G^{!}_\Omega\). « 2° » est un chiffre cerclé en marge de gauche, lu d'après le renvoi « cf plus bas 2° » du haut de la page.

264) Soit \(U''_L \subset G''_L\) défini par \(j_L\). On a un torseur (à droite) canonique (mais trivial) \(\boxed{R_L \text{ sous } U''_L}\), d'où \(L\)-foncteur fibre filtré \[ \mathrm{DR}_L(M) = \bigl(R_L \wedge^{U''_L} Q_L\bigr) \wedge^{G_L} T_p(M)_L \] une première écriture, \(T_p(M)_L\), est biffée après le signe \(=\).

5) Le foncteur fibre \(\mathrm{DR}_L(M)\) correspond au \(G_L\)-tors. (à dr.) \[ R_L \wedge^{U'_L} Q_L = P_L \]

Soit \(G'_L = \underline{\mathrm{Aut}}(P_L)\) (\(G'_L \simeq G_L\) non canoniquement)

5) Structure de descente de \(L : K\) sur le torseur \(P_L\), d'où \[ G''\qquad P_K \qquad G_K \]

6) \(G_K\)-isom donné \[ P_K \simeq P^{(\sharp)}_K \] l'exposant de \(P_K\) est un signe entre parenthèses qui tient du \(\sharp\) et du \(H\) ; il n'est pas lu avec certitude.

On peut formuler ensemble 5) et 6) en regardant \[ P_\Omega = R_L \wedge^{U''_\Omega} Q_\Omega = R_L \wedge^{U''_\Omega} \] le premier membre de droite est surchargé (un \(Q''\) biffé) ; le second s'arrête après le signe \(\wedge\).

et on déclare que l'ext. \(\Gamma\) de \(\mathbb{Z}\) par \(\tilde{\pi} = \mathrm{Gal}(\bar{K}/\tilde{K})\) (qui contient \(\pi \subset \Gamma\)) opère sur \(P_\Omega\) en […] prolongeant l'op. qu'on a déjà sur \(\pi\).

27On a donc une extension \[ 1 \to G'_S(S) \to \mathcal{E} \to \Gamma \to 1 . \qquad (\mathcal{E}) \]

Supposons que \(\pi \subset \Gamma\) opère sur

Les sections de celle-ci sont les structures de torseur sur \((S, \Gamma ; G_S)\) sur \(G_S\) qui prolongent la structure de tor. sur \((S, G_S)\). Si on a une telle section, on en déduit une opération de \(\Gamma\) sur \(G'_S(S)\) (qui en fait provient de son opération sur \(G'_S\) lui-même !) et les autres sections correspondent aux 1-cocycles de \(\Gamma\) à valeurs dans \(G'_S(S)\). Les L'ens. \(\Gamma(\mathcal{E})\) des sections forment un ens. où \(G'_S(S)\) opère (aucune restriction) et deux […] \(\Gamma(\mathcal{E})\) sont congrus ssi le 1-cocycle faisant passer de l'un à l'autre est coh. à 1. Si on a un sous-groupe \(\pi \subset \Gamma\) et une section \(\alpha_0 : \pi \to \mathcal{E}\) partielle, on peut s'intéresser à l'ens. des \(g' \in G'_S(S)\) qui la fixent, […] des éléments de \(G'_S(S)\) fixés par \(\pi\) (y opérant comme on pense) \(G'_S(S)^{\pi}\) \((= G'_L(L))\). Les solutions \(\alpha\) qui prolongent \(\alpha_0\) sont donc telles que \(G'_S(S)^{\pi}\) y opère. Si on a « est coh. à 1 » est ajouté en marge de gauche avec un trait de renvoi.

28un tel \(\alpha\), les autres \(\beta\) s'en déduisent par les 1-cocycles qui sont triviaux sur \(\pi\). \[ \begin{cases} \varphi(\gamma\gamma') = \varphi(\gamma)\; {}^{\gamma}\varphi(\gamma') \\ \varphi(\pi) = \{e\} \end{cases} \]

Question. Est-il vrai que les \(\alpha\) qui prolongent \(\alpha_0\) sont conj. i.e. conjugués sous \(G'_S(S)\) ? Il suffirait de savoir que (pour une telle section fixée) \[ H^{1}(\Gamma, G'_S(S)) \to H^{1}(\pi, G'_S(S)) \] est injectif (ou plutôt « injectif » i.e. noyau unité). Si oui, les solutions cherchées forment un […] espace homogène sous \(G'_S(S)^{\pi}\) \((= G'_L(L))\) un long trait vertical à la mine traverse la page de haut en bas, et un zigzag le longe dans la moitié inférieure ; ils séparent plutôt qu'ils ne biffent, le texte qu'ils croisent étant repris tel quel. Trois traits verticaux en marge de gauche marquent la Question.

Tores sur un corps \(p\)-adique

la moitié inférieure de la page 28 est à l'encre, sous un trait horizontal et la lettre H au crayon ; c'est un calcul indépendant de ce qui précède. Les deux diagrammes sont côte à côte sur la feuille.

\(\mathbb{Q}_p\) — \(K\)

\(T_K\) \((K)\) \(= \prod_{K/\mathbb{Q}_p} \mathbb{G}_m\), \(T_K(\mathbb{Q}_p) \simeq K^{*}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \prod_{\sigma/\mathbb{Z}_p} \mathbb{G}_m \arrow[r] & T_{\sigma_K} \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r] & 0 \\
0 \arrow[r] & g_\sigma \arrow[r] & N \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r] & 0 \\
0 \arrow[r] & g_\sigma \arrow[u, Rightarrow] \arrow[r] & \tilde{N} \arrow[u] \arrow[r] & \mathbb{Z}_\sigma \arrow[u] \arrow[r] & 0 \\
0 \arrow[r] & g_K \arrow[r] & \tilde{N}_K \arrow[r] & \mathbb{Z}_K \arrow[r] & 0 \\
 & & g_K \times \mathbb{Z}_K \arrow[u, no head, "\simeq" description] & &
\end{tikzcd}

modèle de Néron de \(g_K\) la note marginale pointe par un trait sur \(N\). La dernière ligne est étiquetée à gauche « \(\otimes_\sigma K\) », avec en dessous « \(\| \; K\) » ; un signe ressemblant à « m », non lu, précède la troisième et la quatrième ligne.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & 0 & \\
 & \mathbb{Z} \arrow[u] & \\
 & K^{*} \arrow[u] & \\
 & \sigma^{*}_K \arrow[u] & \\
 & 0 \arrow[u] & \\
\Gamma(N) \arrow[rr, "\simeq"] & & \Gamma(g) = K^{*} \arrow[ddll, "\pi"'] \\
\Gamma(\tilde{N}) \arrow[u, "2"'] \arrow[d, hook] & & \\
\Gamma(\tilde{N}_K) \simeq K^{*} \times \mathbb{Z} & &
\end{tikzcd}

le \(K^{*}\) de la colonne est celui de \(T_K(\mathbb{Q}_p) \simeq K^{*}\) écrit plus haut ; l'isomorphisme \(\Gamma(\tilde{N}_K) \simeq K^{*} \times \mathbb{Z}\) est écrit verticalement sous \(\Gamma(\tilde{N}_K)\), et la flèche oblique, marquée \(\pi\) — ici sans doute une uniformisante —, part de \(K^{*}\). Le « 2 » sur la flèche montante est une lecture douteuse. À droite de la colonne, séparé d'elle par le même signe « m », un second \(\mathbb{Z}\) flanqué de flèches montantes, sans source écrite.