Tiré à part : J.-P. Serre, « Sur les groupes de Galois attachés aux groupes
p-divisibles » (1967)
Tiré à part, imprimé : J.-P. Serre, « Sur les groupes de Galois attachés
aux groupes p-divisibles », Proceedings of a Conference on Local
Fields, NUFFIC Summer School, Driebergen 1966, Springer-Verlag, 1967,
p. 118-131 (pages 2 à 16 du dossier). Seules les pages 9, 15 et 16 portent des
annotations.
En fait, on a M = I_{\mathrm{alg}} (Sen)
en marge de gauche, en regard de la Remarque 3 qui clôt le § 3 (p. 124 de
l'article). K_{nr} y est l'extension non ramifiée maximale de K contenue
dans \bar{K}, I l'image de \mathrm{Gal}(\bar{K}/K_{nr}) dans G (le
sous-groupe d'inertie), V est un I-module semi-simple, et l'imprimé énonce
M \subset I_{\mathrm{alg}}, où M est le groupe de Mumford-Tate du module
galoisien V et I_{\mathrm{alg}} l'enveloppe algébrique de I ; il le tire
du théorème 2 appliqué sur le corps de base \widehat{K}_{nr}. L'annotation
remplace l'inclusion par une égalité.
Dans la démonstration du lemme 3 (p. 130 de l'article), l'inégalité
imprimée « pour v(x) < c_2 = c_1/(p^h - 1) » porte un signe < repassé à
l'encre bleue sur une retouche blanche ; ce qu'il recouvre ne se lit pas, et
rien n'indique de quelle main est la correction.
voir Sen (Annals)
en marge de gauche, en face d'une parenthèse tracée le long de la
Remarque 1 qui suit le Théorème 5. Le Théorème 5 : pour F un groupe formel
sur A, de dimension 1 et de hauteur finie h, avec
\mathrm{End}(F) = \mathbb{Z}_p, l'image G de \mathrm{Gal}_K dans
\mathrm{Aut}(V) est ouverte. La Remarque 1 : sans l'hypothèse
\mathrm{End}(F) = \mathbb{Z}_p, on peut encore déterminer l'algèbre de Lie
\mathfrak{g} de G, qui est le commutant de \mathrm{End}(F) dans V, par
une démonstration analogue mais sensiblement plus compliquée. Le dernier mot
est écrit vite et abrégé ; la lecture « Annals » est celle de la page 19, où il
se lit en clair.
démontré par S. Sen (Inventions)
en marge de droite, au bout d'un crochet qui embrasse la question finale
de la Remarque 3 (p. 131 de l'article). Le groupe d'inertie I y est muni de
deux filtrations,
v(g) \geqslant n \iff (g-1)(T) \subset p^n T, \qquad
w(g) \geqslant n \iff g \in I^n
(I^n le n-ième groupe de ramification en numérotation supérieure), et
l'imprimé demande si, e_K désignant l'indice de ramification absolu de K,
on a w = e_K \cdot v + O(1) ; le crochet couvre aussi la phrase suivante, qui
pose la même question pour tous les groupes de Lie p-adiques qui sont des
groupes de Galois.
Tiré à part : J.-P. Serre, « Algèbre et géométrie », résumé des cours de 1967-1968 (Annuaire du Collège de France)
Extrait imprimé de l'Annuaire du Collège de France, 68e
année (1968-1969), Résumé des cours de 1967-1968 : J.-P. Serre, « Algèbre et
géométrie », à partir de la p. 47 (pages 17 à 20 du dossier ; la suite passe au
lot suivant). V y est une représentation p-adique du groupe de Galois G
de \bar{K}/K, G_V son image, H_V l'enveloppe algébrique de G_V et
h : \mathbb{G}_m/C \to \mathrm{GL}_V/C l'homomorphisme défini par la
décomposition V_C = \sum V_C(n). Seules les pages 19 et 20 sont annotées.
ceci a été démontré par S. Sen (Annals)
en marge de gauche, en face d'un crochet qui embrasse un alinéa du point
2) (p. 48 de l'Annuaire). L'alinéa précédent caractérise, lorsque G_V est
résoluble, H_V^{\circ} comme le plus petit sous-groupe algébrique R de
\mathrm{GL}_V sur \mathbb{Q}_p tel que R/C contienne
h(\mathbb{G}_m/C), l'analogue p-adique du groupe de Mumford-Tate.
L'alinéa marqué conjecture que cette caractérisation vaut sans supposer G_V
résoluble, et observe qu'on pourrait le prouver si l'on savait que
V_C = V_C(0) entraîne que G_V est fini.
voir à ce sujet le livre de T. Springer sur les alg. de Jordan
récemment paru chez Springer-Verlag
en marge de droite, au bout d'un crochet en face de la dernière phrase du
point 5) (p. 49 de l'Annuaire). Le point 5) suppose que V ne fait intervenir
que les exposants 0 et 1, V_C = V_C(0) + V_C(1), avec
n_0 = \dim_C V_C(0) et n_1 = \dim_C V_C(1) (cas du module attaché à un
groupe p-divisible, n_1 étant sa dimension) ; pour n_1 = 1 et V simple,
G_V contient un sous-groupe ouvert de \mathrm{Aut}_E(V), E le commutant
de H_V^{\circ}. La phrase marquée dit que le cours s'est achevé par un essai
de classification dans le cas n_1 > 1 (V absolument simple sur
H_V^{\circ}), fondé sur ce que H_V^{\circ}/C contient un tore de dimension
1 n'ayant que deux poids.