Cote n° 161-5 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Barsotti-Tate : tirés à part annotés (1967-1969), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1967-1969 — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration

Barsotti-Tate

Ce mot est écrit au crayon, en long, sur l'onglet de la chemise (page 1), qui ne porte rien d'autre ; la main n'est pas sûrement la sienne. Les pages 2 à 20 sont deux tirés à part imprimés de J.-P. Serre. Le texte imprimé n'est pas de sa main et n'est pas transcrit ; ne sont relevées que les annotations manuscrites, avec l'indication de l'énoncé qu'elles visent. Elles sont toutes à l'encre rouge et d'une même main, qu'on n'a pas pu identifier avec certitude comme la sienne.

Tiré à part : J.-P. Serre, « Sur les groupes de Galois attachés aux groupes \(p\)-divisibles » (1967)

9Tiré à part, imprimé : J.-P. Serre, « Sur les groupes de Galois attachés aux groupes \(p\)-divisibles », Proceedings of a Conference on Local Fields, NUFFIC Summer School, Driebergen 1966, Springer-Verlag, 1967, p. 118-131 (pages 2 à 16 du dossier). Seules les pages 9, 15 et 16 portent des annotations.

En fait, on a \(M = I_{\mathrm{alg}}\) (Sen) en marge de gauche, en regard de la Remarque 3 qui clôt le § 3 (p. 124 de l'article). \(K_{nr}\) y est l'extension non ramifiée maximale de \(K\) contenue dans \(\bar{K}\), \(I\) l'image de \(\mathrm{Gal}(\bar{K}/K_{nr})\) dans \(G\) (le sous-groupe d'inertie), \(V\) est un \(I\)-module semi-simple, et l'imprimé énonce \(M \subset I_{\mathrm{alg}}\), où \(M\) est le groupe de Mumford-Tate du module galoisien \(V\) et \(I_{\mathrm{alg}}\) l'enveloppe algébrique de \(I\) ; il le tire du théorème 2 appliqué sur le corps de base \(\widehat{K}_{nr}\). L'annotation remplace l'inclusion par une égalité.

15Dans la démonstration du lemme 3 (p. 130 de l'article), l'inégalité imprimée « pour \(v(x) < c_2 = c_1/(p^h - 1)\) » porte un signe \(<\) repassé à l'encre bleue sur une retouche blanche ; ce qu'il recouvre ne se lit pas, et rien n'indique de quelle main est la correction.

voir Sen (Annals) en marge de gauche, en face d'une parenthèse tracée le long de la Remarque 1 qui suit le Théorème 5. Le Théorème 5 : pour \(F\) un groupe formel sur \(A\), de dimension 1 et de hauteur finie \(h\), avec \(\mathrm{End}(F) = \mathbb{Z}_p\), l'image \(G\) de \(\mathrm{Gal}_K\) dans \(\mathrm{Aut}(V)\) est ouverte. La Remarque 1 : sans l'hypothèse \(\mathrm{End}(F) = \mathbb{Z}_p\), on peut encore déterminer l'algèbre de Lie \(\mathfrak{g}\) de \(G\), qui est le commutant de \(\mathrm{End}(F)\) dans \(V\), par une démonstration analogue mais sensiblement plus compliquée. Le dernier mot est écrit vite et abrégé ; la lecture « Annals » est celle de la page 19, où il se lit en clair.

16démontré par S. Sen (Inventions) en marge de droite, au bout d'un crochet qui embrasse la question finale de la Remarque 3 (p. 131 de l'article). Le groupe d'inertie \(I\) y est muni de deux filtrations, \[ v(g) \geqslant n \iff (g-1)(T) \subset p^n T, \qquad w(g) \geqslant n \iff g \in I^n \] (\(I^n\) le \(n\)-ième groupe de ramification en numérotation supérieure), et l'imprimé demande si, \(e_K\) désignant l'indice de ramification absolu de \(K\), on a \(w = e_K \cdot v + O(1)\) ; le crochet couvre aussi la phrase suivante, qui pose la même question pour tous les groupes de Lie \(p\)-adiques qui sont des groupes de Galois.

Tiré à part : J.-P. Serre, « Algèbre et géométrie », résumé des cours de 1967-1968 (Annuaire du Collège de France)

19Extrait imprimé de l'Annuaire du Collège de France, 68e année (1968-1969), Résumé des cours de 1967-1968 : J.-P. Serre, « Algèbre et géométrie », à partir de la p. 47 (pages 17 à 20 du dossier ; la suite passe au lot suivant). \(V\) y est une représentation \(p\)-adique du groupe de Galois \(G\) de \(\bar{K}/K\), \(G_V\) son image, \(H_V\) l'enveloppe algébrique de \(G_V\) et \(h : \mathbb{G}_m/C \to \mathrm{GL}_V/C\) l'homomorphisme défini par la décomposition \(V_C = \sum V_C(n)\). Seules les pages 19 et 20 sont annotées.

ceci a été démontré par S. Sen (Annals) en marge de gauche, en face d'un crochet qui embrasse un alinéa du point 2) (p. 48 de l'Annuaire). L'alinéa précédent caractérise, lorsque \(G_V\) est résoluble, \(H_V^{\circ}\) comme le plus petit sous-groupe algébrique \(R\) de \(\mathrm{GL}_V\) sur \(\mathbb{Q}_p\) tel que \(R/C\) contienne \(h(\mathbb{G}_m/C)\), l'analogue \(p\)-adique du groupe de Mumford-Tate. L'alinéa marqué conjecture que cette caractérisation vaut sans supposer \(G_V\) résoluble, et observe qu'on pourrait le prouver si l'on savait que \(V_C = V_C(0)\) entraîne que \(G_V\) est fini.

20voir à ce sujet le livre de T. Springer sur les alg. de Jordan récemment paru chez Springer-Verlag en marge de droite, au bout d'un crochet en face de la dernière phrase du point 5) (p. 49 de l'Annuaire). Le point 5) suppose que \(V\) ne fait intervenir que les exposants 0 et 1, \(V_C = V_C(0) + V_C(1)\), avec \(n_0 = \dim_C V_C(0)\) et \(n_1 = \dim_C V_C(1)\) (cas du module attaché à un groupe \(p\)-divisible, \(n_1\) étant sa dimension) ; pour \(n_1 = 1\) et \(V\) simple, \(G_V\) contient un sous-groupe ouvert de \(\mathrm{Aut}_E(V)\), \(E\) le commutant de \(H_V^{\circ}\). La phrase marquée dit que le cours s'est achevé par un essai de classification dans le cas \(n_1 > 1\) (\(V\) absolument simple sur \(H_V^{\circ}\)), fondé sur ce que \(H_V^{\circ}/C\) contient un tore de dimension 1 n'ayant que deux poids.