Cote n° 161-5 · pages 1–28 · Lecture modernisée · Barsotti-Tate : tirés à part annotés (1967-1969), notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1967-1969 — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–28

Le fil du dossier, et les conventions

Les campagnes. Le dossier réunit des pièces de dates et de natures différentes.

1. Page 1, la chemise : le seul mot « Barsotti-Tate », au crayon, sur l'onglet.
2. Pages 2 à 16, imprimé : J.-P. Serre, « Sur les groupes de Galois attachés aux groupes \(p\)-divisibles », exposé de la conférence de Driebergen (1966), paru chez Springer en 1967. Annotations aux pages 9, 15 et 16.
3. Pages 17 à 21, imprimé : le résumé du cours de Serre au Collège de France pour 1967-1968, « Algèbre et géométrie », extrait de l'Annuaire. Annotations aux pages 19 et 20 ; la page 21 ne porte rien de manuscrit.
4. Pages 22 et 23, encre sur papier quadrillé : le cadre, les données cristallines, une première Question.
5. Pages 24 à 26, crayon sur papier réglé : la liste des données, commencée deux fois — la page 24 s'arrête à la cinquième donnée, la page 25 recommence à la première, et la page 26 poursuit la page 25.
6. Pages 27 et 28, crayon sur papier quadrillé : la cohomologie non abélienne de l'extension, et une seconde Question.
7. Bas de la page 28, encre : un calcul indépendant sur les tores d'un corps \(p\)-adique.

Le fil. Les tirés à part donnent le cadre : l'enveloppe algébrique de l'image de Galois, la décomposition de Hodge-Tate, l'homomorphisme \(h\) de \(\mathbb{G}_m\) qui la code. Les feuillets manuscrits reprennent ce cadre sous forme tannakienne — un groupe pro-algébrique \(G\), une représentation \(\rho\) de \(\pi\) dans \(G\), un cocaractère \(j\) — et y ajoutent ce que Serre n'a pas : les structures qui viennent de la réduction modulo \(p\), la filtration de de Rham et le Frobenius. La Question de la page 23 demande si ces structures, que la page tient pour acquises sur les groupes de Barsotti-Tate, se prolongent à toute la catégorie tensorielle qu'ils engendrent. Les pages 24 à 26 cherchent à dire ce que serait une telle structure pour un groupe \(G\) quelconque ; les pages 27 et 28 demandent si elle est unique. Il n'y a pas de démonstration dans le dossier : il y a un cadre, une liste, et deux questions.

Notations. Elles valent pour tout le document, et diffèrent par endroits de celles des pages ; chaque écart est signalé en note au point où il se produit.

• \(K\) est un corps de caractéristique \(0\), complet pour une valuation discrète, de corps résiduel \(k\) parfait de caractéristique \(p\) ; \(\mathcal{O}_K\) son anneau d'entiers, \(W = W(k)\) l'anneau des vecteurs de Witt, \(K_0 = W[1/p] \subset K\), et \(\sigma\) le Frobenius de \(K_0\).
• \(\bar{K}\) une clôture algébrique de \(K\), \(\Omega\) son complété, \(\pi = \mathrm{Gal}(\bar{K}/K)\) et \(\pi' = \mathrm{Gal}(\bar{K}/K_0)\), qui contient \(\pi\) avec l'indice \([K : K_0]\).
• \(\Omega(i) = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Z}_p(1)^{\otimes i}\), où \(\mathbb{Z}_p(1)\) est le module de Tate des racines de l'unité de \(\bar{K}\) ; \(\pi\) y agit diagonalement.
• Pour une représentation \(M\) : \(\omega(M) = M \otimes_{\mathbb{Q}_p} \Omega\) avec \(\pi\) agissant sur \(\Omega\) seul, et \(\omega^{!}(M)\) le même espace avec l'action diagonale.

Deux lettres qui changent de rôle. La page 22 pose \(L = \mathrm{Frac}\, W\), contenu dans \(K\). À partir du point c) de la page 23 et jusqu'à la fin, les lettres \(K\) et \(L\) sont échangées : \(L\) y désigne le corps de base et \(K\) le sous-corps absolument non ramifié.¹ On écrit ici \(K\) et \(K_0\) partout.

1–21

I. Les deux tirés à part de Serre et leurs annotations (pages 1 à 21)

Les pages 2 à 21 sont imprimées, et le texte imprimé n'est pas de lui ; il n'est pas transcrit, et on ne le résume ici que dans la mesure où il faut situer une annotation. Ce qui appartient au dossier, ce sont cinq annotations à l'encre rouge, toutes de la même main. Cette main n'a pas pu être identifiée avec certitude comme celle de Grothendieck : rien dans l'écriture n'est assez caractéristique pour trancher, et ce qui suit parle donc d'« annotations », jamais de « ses » annotations.²

Il faut dire pourquoi ces imprimés sont là. Le premier porte, à sa page 3, une note de bas de page imprimée où Serre écrit que l'idée de remplacer les algèbres de Lie \(p\)-adiques par les groupes algébriques correspondants lui avait été suggérée par Grothendieck, « en liaison avec sa théorie des motifs ». C'est le texte de Serre, non une annotation, et il n'est pas transcrit ; mais c'est le geste même que font les feuillets manuscrits des pages 22 et suivantes, où le groupe de Galois est remplacé par son enveloppe algébrique \(G\).

2–16

« Sur les groupes de Galois attachés aux groupes \(p\)-divisibles » (pages 2 à 16)

L'article, paru dans les actes de la conférence de Driebergen sur les corps locaux (Springer, 1967) — le volume même où Tate publie son article « \(p\)-divisible groups », sur lequel reposent les pages 22 et 23 —, étudie l'image du groupe de Galois dans le module de Tate d'un groupe \(p\)-divisible. Trois de ses pages sont annotées.

Page 9. En regard de la remarque 3 qui clôt le § 3, où l'imprimé établit une inclusion \(M \subset I_{\mathrm{alg}}\) entre le groupe de Mumford-Tate \(M\) du module galoisien \(V\) et l'enveloppe algébrique \(I_{\mathrm{alg}}\) de l'image de l'inertie, la marge porte : « En fait, on a \(M = I_{\mathrm{alg}}\) (Sen) ». L'égalité ainsi affirmée demande une précision : elle vaut pour la composante neutre.³

Page 15. Contre la remarque 1 qui suit le théorème 5 — sans l'hypothèse \(\mathrm{End}(F) = \mathbb{Z}_p\) sur le groupe formel \(F\) de dimension 1, l'algèbre de Lie de l'image de Galois est encore déterminée, par une démonstration que l'imprimé dit « sensiblement plus compliquée » — la marge porte : « voir Sen (Annals) ».⁴

Page 16. Un crochet embrasse la question qui termine l'article. Le groupe d'inertie \(I\) y porte deux filtrations, l'une par la congruence de l'action sur le module de Tate \(T\), \(v(g) \geqslant n \iff (g-1)(T) \subset p^n T\), l'autre par les groupes de ramification en numérotation supérieure, \(w(g) \geqslant n \iff g \in I^n\) ; l'imprimé demande si \(w = e_K\, v + O(1)\), \(e_K\) désignant l'indice de ramification absolu, et pose la même question pour tout groupe de Galois qui est un groupe de Lie \(p\)-adique. La marge porte : « démontré par S. Sen (Inventions) ». C'est exact si, comme il est vraisemblable, l'annotation vise l'article de Sen sur la ramification des extensions de Lie \(p\)-adiques (Inventiones Math. 17, 1972), dont le théorème compare précisément la filtration de ramification supérieure et la filtration de Lie, à une constante près, pour toute extension galoisienne totalement ramifiée de groupe de Lie \(p\)-adique.⁵

17–21

« Algèbre et géométrie », résumé du cours de 1967-1968 (pages 17 à 21)

L'extrait de l'Annuaire du Collège de France (68e année, 1968-1969) résume un cours sur les représentations \(p\)-adiques de Hodge-Tate. Une représentation \(V\) du groupe de Galois y a pour image \(G_V\) ; \(H_V\) est l'enveloppe algébrique de \(G_V\), et un homomorphisme \(h\) de \(\mathbb{G}_m\) dans \(\mathrm{GL}_V\), défini sur le complété \(C\) de la clôture algébrique, code la décomposition de Hodge-Tate. Deux pages sont annotées ; la dernière page imprimée, la page 21, ne porte rien de manuscrit.

Page 19. L'imprimé caractérise, lorsque \(G_V\) est résoluble, la composante neutre \(H_V^{\circ}\) comme le plus petit sous-groupe algébrique de \(\mathrm{GL}_V\) sur \(\mathbb{Q}_p\) dont l'extension à \(C\) contient l'image de \(h\) — l'analogue \(p\)-adique du groupe de Mumford-Tate —, conjecture que la caractérisation vaut sans l'hypothèse de résolubilité, et observe qu'il suffirait de savoir qu'une représentation de Hodge-Tate dont tous les poids sont nuls a une image finie. La marge porte, en face de cet alinéa : « ceci a été démontré par S. Sen (Annals) ». C'est exact, pour l'image de l'inertie : l'article de Sen sur les algèbres de Lie des groupes de Galois attachés aux modules de Hodge-Tate (Annals of Math. 97, 1973) établit que l'algèbre de Lie de l'image de l'inertie est la plus petite algèbre de Lie algébrique sur \(\mathbb{Q}_p\) dont l'extension à \(C\) contient celle de l'image de \(h\), et du même coup qu'une représentation de Hodge-Tate de poids tous nuls a une inertie d'image finie. Lorsque le corps résiduel est algébriquement clos, l'inertie est tout le groupe, et c'est la conjecture du cours.⁶

Page 20. Le point 5) du résumé traite le cas où \(V\) n'a que les poids \(0\) et \(1\), qui est celui du module d'un groupe \(p\)-divisible, le nombre \(n_1\) de poids égaux à \(1\) étant la dimension du groupe. Pour \(n_1 > 1\), dit la dernière phrase, le cours s'est achevé sur un essai de classification fondé sur ce que \(H_V^{\circ}\) contient un tore de dimension 1 n'ayant que deux poids. La marge porte : « voir à ce sujet le livre de T. Springer sur les alg. de Jordan récemment paru chez Springer-Verlag ».⁷

Ce que les annotations disent de leur date. Si les références sont bien celles qu'on vient de dire, les annotations sont postérieures à 1972, et celle de la page 20 — « récemment paru » — plutôt de 1973 ou peu après : plus tard, donc, que les années 1967-1969 que l'inventaire donne aux tirés à part. C'est une inférence, non une donnée des pages, et la datation de Montpellier est reproduite telle quelle en tête de ce document. Les feuillets manuscrits, eux, ne portent aucune date.⁸

22–23

II. Le cadre : représentations de Hodge-Tate et groupes de Barsotti-Tate (pages 22 et 23)

Les deux premiers feuillets, à l'encre, posent le cadre avec soin ; c'est la seule partie du dossier qui ait l'allure d'une mise au net.

Les corps

On se donne \(K\) comme dans les conventions : caractéristique \(0\), complet pour une valuation discrète, corps résiduel \(k\) parfait de caractéristique \(p\) — la page souligne l'hypothèse d'un point d'exclamation.⁹ Les inclusions, que la page écrit en marge, sont \[ \begin{array}{ccccccc} K_0 & \subset & K & \subset & \bar{K} & \subset & \Omega \\ \cup & & \cup & & \cup & & \cup \\ W & \subset & \mathcal{O}_K & \subset & \mathcal{O}_{\bar{K}} & \subset & \mathcal{O}_{\Omega} \end{array} \] avec \(\pi = \mathrm{Gal}(\bar{K}/K)\) et \(\pi' = \mathrm{Gal}(\bar{K}/K_0)\). Le groupe \(\pi'\) est introduit, suivi de points de suspension, et ne sert pas sur ces deux pages ; on le retrouvera page 26. Le fait de base, que les pages utilisent sans le rappeler, est que \(\Omega^{\pi} = K\) : c'est le théorème de Tate (1967), dit aujourd'hui d'Ax-Sen-Tate.

La catégorie des représentations de Hodge-Tate

Un \(\mathbb{Q}_p\)-faisceau lisse sur \(\mathrm{Spec}\, K\) est la même chose qu'une représentation continue \(M\) de \(\pi\) sur un \(\mathbb{Q}_p\)-espace de dimension finie. Elle est dite de Hodge-Tate si \(\omega^{!}(M) = M \otimes_{\mathbb{Q}_p} \Omega\), muni de l'action diagonale, est isomorphe comme \(\Omega\)-espace semi-linéaire à une somme \(\bigoplus_i \Omega(i)^{h_i}\) ; les entiers \(i\) tels que \(h_i \neq 0\) sont ses poids, et la convention est celle où \(\mathbb{Q}_p(1)\) est de poids \(1\).¹⁰

On note \(\mathcal{M}_K\) la catégorie des représentations de Hodge-Tate. Elle est stable par sommes, produits tensoriels, duaux et sous-quotients, et le foncteur qui oublie l'action de \(\pi\) en fait une catégorie tannakienne neutre sur \(\mathbb{Q}_p\) — la page dit « \(\otimes\)-catégorie sur \(\mathbb{Q}_p\) ». Pour \(n \geqslant 0\), on note \(\mathcal{M}^{(n)}_K\) la sous-catégorie pleine des représentations dont les poids sont compris entre \(0\) et \(n\) ; leur réunion \(\mathcal{M}^{+}_K\) est la sous-catégorie des objets effectifs. La sous-catégorie \(\mathcal{M}^{(1)}_K\) est celle des représentations de poids \(0\) et \(1\).¹¹

Le plongement de Tate

Soit \(\widetilde{\mathrm{BT}}\) la catégorie des groupes de Barsotti-Tate sur \(\mathcal{O}_K\) à isogénie près : mêmes objets que les groupes \(p\)-divisibles sur \(\mathcal{O}_K\), morphismes \(\mathrm{Hom}(G, H) \otimes \mathbb{Q}\).¹² À un tel groupe on associe \(V_p(G) = T_p(G) \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Q}_p\), représentation de \(\pi\). Deux théorèmes de Tate, publiés dans le même volume de Driebergen que le premier tiré à part, donnent alors :

• le foncteur \(G \mapsto V_p(G)\) de \(\widetilde{\mathrm{BT}}\) dans les représentations de \(\pi\) est pleinement fidèle ;
• \(V_p(G)\) est de Hodge-Tate, de poids \(1\) avec multiplicité \(\dim G\) et de poids \(0\) avec multiplicité \(\mathrm{ht}\, G - \dim G\).

On obtient ainsi le plongement pleinement fidèle de la page, \(\widetilde{\mathrm{BT}} \hookrightarrow \mathcal{M}^{(1)}_K\), et l'on identifie \(\widetilde{\mathrm{BT}}\) à une sous-catégorie pleine de \(\mathcal{M}^{(1)}_K\), comme le dit la marge. Elle est strictement plus petite : la représentation de Tate d'une courbe de Tate sur \(K\) est de poids \(0\) et \(1\) et ne vient d'aucun groupe de Barsotti-Tate sur \(\mathcal{O}_K\).¹³

On note \(\mathcal{M}^{\mathrm{BT}}_K\) la sous-catégorie tannakienne de \(\mathcal{M}_K\) engendrée par l'image de \(\widetilde{\mathrm{BT}}\) : la plus petite sous-catégorie pleine qui la contient et qui est stable par sommes, produits tensoriels, duaux et sous-quotients.¹⁴

Le groupe \(G\)

Le foncteur qui à \(M\) associe son \(\mathbb{Q}_p\)-espace sous-jacent est noté \(T_p\) par la page — pour \(M = V_p(G)\), c'est le module de Tate rationnel — et appelé « foncteur fibre sur \(\Omega\) » : c'est la fibre du faisceau \(M\) au point géométrique défini par \(\Omega\). Son groupe d'automorphismes tensoriels \[ G = \mathrm{Aut}^{\otimes}(T_p) \] est un groupe pro-algébrique sur \(\mathbb{Q}_p\), et \(\mathcal{M}_K\) est équivalente à la catégorie de ses représentations de dimension finie. L'action de \(\pi\) fournit un homomorphisme continu \(\rho : \pi \to G(\mathbb{Q}_p)\) ; son image est Zariski-dense, et c'est en ce sens que \(G\) est l'enveloppe algébrique de \(\pi\).¹⁵ Pour chaque \(M\), l'image \[ G_M = \mathrm{Im}\bigl(G \to \mathrm{GL}(T_p(M))\bigr) \] est l'adhérence de Zariski de l'image de \(\pi\) dans \(\mathrm{GL}(T_p(M))\) : c'est le groupe que le cours de Serre appelle \(H_V\). Remplacer l'image de Galois, groupe de Lie \(p\)-adique, par son enveloppe algébrique, c'est l'idée que la note imprimée de Serre attribue à Grothendieck ; passer des groupes \(H_V\), un par représentation, au seul groupe \(G\) qui les domine tous, c'est passer au langage tannakien.¹⁶

La structure de Hodge-Tate, écrite en torseurs

Le cœur des deux pages est une réécriture de la décomposition de Hodge-Tate en termes de torseurs, en trois étages que la page dispose en tableau : une structure « sur \((\Omega, \pi)\) », la même tordue, puis sa descente sur \(K\).¹⁷

On travaille dans la catégorie des \(\Omega\)-espaces de dimension finie munis d'une action semi-linéaire continue de \(\pi\). Les deux foncteurs \(\omega\) et \(\omega^{!}\) des conventions y envoient les représentations de \(G\), et ce sont deux foncteurs fibres. Le torseur \[ \mathfrak{P} = \mathrm{Isom}^{\otimes}(\omega, \omega^{!}) \] est un torseur à droite sous \(\mathrm{Aut}^{\otimes}(\omega) = G_{\Omega}\), où \(\pi\) agit sur les coefficients. Il a une section évidente \(e\), l'identité des espaces sous-jacents, et cette section n'est pas invariante sous \(\pi\) : on a \(\gamma(e) = e \cdot \rho(\gamma)\), de sorte que \(\mathfrak{P}\) est le torseur défini par le \(1\)-cocycle \(\rho\).¹⁸ Son groupe d'automorphismes est \(\mathrm{Aut}^{\otimes}(\omega^{!}) = G^{!}_{\Omega}\), c'est-à-dire \(G_{\Omega}\) sur lequel \(\gamma \in \pi\) agit par son action sur \(\Omega\) composée avec \(\mathrm{int}(\rho(\gamma))\).

La décomposition de Hodge-Tate est une graduation du foncteur \(\omega^{!}\) : \(\omega^{!}(M) = \bigoplus_i \omega^{!}(M)_i\), avec \(\omega^{!}(M)_i \simeq \Omega(i)^{h_i}\). Elle est unique et fonctorielle, parce que \(\mathrm{Hom}_{\pi}(\Omega(i), \Omega(i')) = 0\) pour \(i \neq i'\) — c'est encore le théorème de Tate —, et compatible au produit tensoriel. Une graduation tensorielle d'un foncteur fibre, c'est un cocaractère de son groupe ; on obtient ainsi \[ j^{!} : \mathbb{G}_{m,\Omega} \longrightarrow G^{!}_{\Omega}, \] où \(t\) agit sur \(\omega^{!}(M)_i\) par \(t^i\). Il commute à \(\pi\), parce que la graduation est stable sous l'action diagonale. C'est l'homomorphisme \(h\) du cours de Serre, vu comme cocaractère d'un seul groupe.

Reste à rendre chaque morceau trivial. On pose \[ \mathrm{Hdg}_{\Omega}(M) = \bigoplus_i \omega^{!}(M)_i \otimes_{\Omega} \Omega(-i), \] qui est isomorphe, avec son action de \(\pi\), à une somme de copies de \(\Omega\). Le torseur correspondant, \(Q_{\Omega} = \mathrm{Isom}^{\otimes}(\omega, \mathrm{Hdg}_{\Omega})\), se déduit de \(\mathfrak{P}\) en le tordant, à travers \(j^{!}\), par le \(\mathbb{G}_m\)-torseur \(\mathcal{T}\) des générateurs de \(\Omega(1)\) — la page écrit \(Q_{\Omega} = \mathcal{T} \wedge^{\mathbb{G}_{m,\Omega}} \mathfrak{P}\), le produit contracté qu'on note aujourd'hui \(\times^{\mathbb{G}_m}\). Son groupe d'automorphismes \(G^{\mathrm{Hdg}}_{\Omega}\) est la forme tordue correspondante de \(G^{!}_{\Omega}\), et \(j^{!}\) y induit un cocaractère \(j_{\Omega}\).¹⁹

Comme chaque \(\mathrm{Hdg}_{\Omega}(M)\) est trivial, il descend, et de façon unique, sur \(\Omega^{\pi} = K\) : le foncteur \(D \mapsto D \otimes_K \Omega\) des \(K\)-espaces vectoriels vers les \(\Omega\)-espaces à action semi-linéaire de \(\pi\) est pleinement fidèle, d'image les objets triviaux. On obtient le foncteur fibre gradué sur \(K\) \[ T_{\mathrm{Hdg}}(M) = \mathrm{Hdg}_{\Omega}(M)^{\pi} = \bigoplus_i \bigl(M \otimes_{\mathbb{Q}_p} \Omega(-i)\bigr)^{\pi}, \] et, « par descente sur \(K\) », le torseur \(Q_K = \mathrm{Isom}^{\otimes}(T_p \otimes K, T_{\mathrm{Hdg}})\) sous \(G_K\), le groupe \(G^{\mathrm{Hdg}}_K = \mathrm{Aut}^{\otimes}(T_{\mathrm{Hdg}})\), forme intérieure de \(G_K\), et le cocaractère de graduation \(j_K : \mathbb{G}_{m,K} \to G^{\mathrm{Hdg}}_K\). La dernière formule du tableau, \[ T_{\mathrm{Hdg}}(M) = Q_K \wedge^{G} (T_p(M) \otimes K), \] dit simplement que le foncteur de Hodge-Tate est le foncteur fibre associé au torseur \(Q_K\).²⁰

Les données cristallines, et la Question

Pour un groupe de Barsotti-Tate, la page énumère alors quatre données, qu'elle tient pour acquises, « fonctorielles en \(M\) » :²¹

• a) un \(K_0\)-espace vectoriel \(T_{\mathrm{cr}}(M)\) ;
• b) une structure de F-isocristal sur \(T_{\mathrm{cr}}(M)\) : une bijection \(\sigma\)-semi-linéaire \(F\) ;
• c) une filtration de \(T_{\mathrm{DR}}(M) = T_{\mathrm{cr}}(M) \otimes_{K_0} K\) ;
• d) un isomorphisme gradué \(\mathrm{gr}\, T_{\mathrm{DR}}(M) \simeq T_{\mathrm{Hdg}}(M)\).

Le point c) est celui où les lettres commencent à s'échanger : la page écrit \(T_{\mathrm{cr}}(M) \otimes_K L\).²² Ce que la page désigne ainsi est, pour \(M = V_p(G)\), le module de Dieudonné de la fibre spéciale de \(G\) tensorisé par \(\mathbb{Q}\), avec son Frobenius, et la filtration de Hodge de ce module étendu à \(K\) ; d) est alors, à dualité près, le théorème de Hodge-Tate de Tate, dont les deux morceaux s'expriment par l'algèbre de Lie de \(G\) et celle de son dual.²³

Question (page 23). Peut-on prolonger ces données de \(\widetilde{\mathrm{BT}}\) à \(\mathcal{M}^{\mathrm{BT}}_K\), de sorte que \(T_{\mathrm{cr}}\) soit un \(\otimes\)-foncteur, que la structure b) soit compatible au produit tensoriel et aux \(\mathrm{Hom}\) internes, et de même c) et d) ? Le prolongement de \(T_{\mathrm{cr}}\) est-il unique à isomorphisme unique près ?²⁴

C'est, sous une forme tannakienne, la question que Grothendieck a posée publiquement en 1970 comme celle du « foncteur mystérieux » : retrouver la structure cristalline à partir de la représentation galoisienne. La réponse à la première partie est oui, et elle est venue d'ailleurs : Fontaine a construit un anneau \(B_{\mathrm{cris}}\) tel que \(D_{\mathrm{cris}}(M) = (M \otimes B_{\mathrm{cris}})^{\pi}\) soit, sur les représentations dites cristallines, un \(\otimes\)-foncteur exact à valeurs dans les \(\varphi\)-modules filtrés, avec \(\mathrm{gr}\, D_{\mathrm{dR}} \simeq D_{\mathrm{HT}}\) ; les \(V_p(G)\) sont cristallines, et \(D_{\mathrm{cris}}(V_p(G))\) redonne le module de Dieudonné.²⁵

24–26

III. La liste des données (pages 24 à 26)

Les trois pages au crayon changent de point de vue. Il ne s'agit plus de la catégorie \(\mathcal{M}_K\) et de son groupe, mais d'un groupe algébrique \(G\) quelconque sur \(\mathbb{Q}_p\) : que faut-il se donner pour avoir, à valeurs dans \(G\), l'équivalent de tout ce que porte un groupe de Barsotti-Tate ? La réponse est une liste numérotée, commencée deux fois sur trois pages. On rappelle que, sur ces pages, la lettre \(L\) de la page désigne notre \(K\), et sa lettre \(K\) notre \(K_0\).

24–24

Première rédaction (page 24)

Les données sont : 1) un groupe algébrique \(G\) sur \(\mathbb{Q}_p\) ; 2) un homomorphisme continu \(\rho : \pi \to G(\mathbb{Q}_p)\), d'où, comme à la page 22, le groupe \(G^{!}_{\Omega}\), le torseur \(\mathfrak{P}\) et le groupe \(G_{\Omega}\) ; 3) un cocaractère \(j^{!} : \mathbb{G}_{m,\Omega} \to G^{!}_{\Omega}\), d'où \(Q_{\Omega}\), \(G^{\mathrm{Hdg}}_{\Omega}\) et \(j_{\Omega}\) ; 4) un torseur \(Q_K\) sous \(G_K\) qui descend \(Q_{\Omega}\), d'où le groupe \(G^{\mathrm{Hdg}}_K\), un sous-groupe \(U^{\mathrm{Hdg}}_K\) et le cocaractère \(j_K\). Une accolade embrasse 3) et 4) et porte en marge le mot « unique ».²⁶

La cinquième donnée n'aboutit pas, et ce qu'elle cherche est intéressant. Elle fait apparaître, avant toute définition, un groupe \(\Gamma\) contenant \(\pi\), et considère un ensemble \(\Delta\) d'opérations de \(\Gamma\) sur \((\Omega, Q_K, G_K)\) qui prolongent celle de \(\pi\) et sont compatibles à l'action de \(\Gamma\) sur \(\Omega\). Ces opérations ne sont pas uniques : elles forment une orbite sous le groupe \(U^{\mathrm{Hdg}}_K(K)\), qui agit par conjugaison, \[ (u \cdot \rho)(\gamma) = \tau(u)\, \rho(\gamma)\, \tau(u)^{-1}. \] La version finale de la donnée, non biffée, demande un torseur à droite \(\Delta\) sous \(U^{\mathrm{Hdg}}_K(K)\) et une application équivariante de \(\Delta\) dans l'ensemble de ces opérations.²⁷ L'idée est là : les façons d'ajouter à l'action de \(\pi\) l'action d'un groupe plus gros ne forment pas un point, mais une orbite. La page 24 le postule ; les pages 27 et 28 demandent si c'est vrai.

25–25

Seconde rédaction : le groupe, la représentation, la graduation (page 25)

La page recommence à 1). Le groupe \(G\) sur \(\mathbb{Q}_p\) « dépend en fait du choix de \(\Omega\) », et un renvoi annonce l'explication, qui vient en bas de page. Avec 2), l'homomorphisme \(\rho\), le groupe \(\pi = \mathrm{Aut}_K(\Omega)\) agit sur \(G\) par \(\gamma \mapsto \mathrm{int}(\rho(\gamma))\), et sur \(G_{\Omega}\) diagonalement : c'est \(G^{!}_{\Omega}\).²⁸ La donnée 3) est le cocaractère \(j^{!} : \mathbb{G}_{m,\Omega} \to G^{!}_{\Omega}\), « invariant par \(\pi\) ». On pose \(\mathcal{T}\), le \(\mathbb{G}_m\)-torseur associé au module inversible \(\Omega(1)\), puis \(Q_{\Omega} = \mathcal{T} \wedge \mathfrak{P}\), torseur à droite sous \(G_{\Omega}\), et \(G^{\mathrm{Hdg}}_{\Omega}\) son groupe d'automorphismes, qui correspond aux foncteurs fibres gradués sur les représentations de \(G\) ; le foncteur fibre de \(Q_{\Omega}\) est \[ M \longmapsto \bigoplus_i \mathrm{gr}^{i}_{j}\bigl(\omega^{!}(M)\bigr) \otimes_{\Omega} \Omega(-i) = \mathrm{Hdg}_{\Omega}(M), \] la formule même de la section II.²⁹

Axiome. Le torseur \(Q_{\Omega}\) descend à \(K\) en un \(G_K\)-torseur \(Q_K\), unique à isomorphisme unique près, et de même \(G^{\mathrm{Hdg}}_{\Omega}\) et \(j_{\Omega}\) en \(G^{\mathrm{Hdg}}_K\) et \(j_K : \mathbb{G}_{m,K} \to G^{\mathrm{Hdg}}_K\) ; cela revient à se donner le foncteur fibre gradué \(\mathrm{Hdg}_{j_K}\) sur \(K\).³⁰

Une remarque de marge précise : un \(j\) satisfaisant aux conditions est unique, et son existence signifie que les \(M_{\Omega}\) sont de Hodge. C'est exact, à condition d'entendre par « conditions » la donnée 3) et l'Axiome.³¹ Un cocaractère invariant par \(\pi\) ne suffit pas à lui seul : le cocaractère trivial l'est toujours. C'est l'Axiome — la trivialité de chaque \(\mathrm{gr}^i \otimes \Omega(-i)\) — qui force \(\omega^{!}(M)_i \simeq \Omega(i)^{h_i}\), c'est-à-dire la propriété de Hodge-Tate, et l'unicité vient alors de \(\mathrm{Hom}_{\pi}(\Omega(i), \Omega(i')) = 0\) pour \(i \neq i'\).

Le bas de la page donne l'explication promise, marquée d'un « 2° » cerclé. Il y a deux foncteurs fibres des représentations de \(G\) dans les \(\Omega\)-espaces à action semi-linéaire de \(\pi\) : a) \(M \mapsto \omega(M)\), où \(\pi\) n'agit que sur \(\Omega\), et b) \(M \mapsto \omega^{!}(M)\), où il agit diagonalement. On a donc un torseur à droite sous \(G_{\Omega}\), qui est \(\mathfrak{P}\), donné par le \(1\)-cocycle \(\rho : \pi \to G(\mathbb{Q}_p) \subset G(\Omega)\), et son groupe d'automorphismes est \(G^{!}_{\Omega}\). C'est ce qu'on a utilisé à la section II pour lire le tableau de la page 22.³²

26–26

Filtration, descente, Frobenius (page 26)

La page 26 continue la page 25 à partir de 4).

4) La filtration. Soit \(U^{\mathrm{Hdg}}_K \subset G^{\mathrm{Hdg}}_K\) le sous-groupe défini par \(j_K\) : le radical unipotent du parabolique associé, c'est-à-dire le sous-groupe des automorphismes qui respectent la filtration définie par la graduation et induisent l'identité sur le gradué.³³ On a un torseur à droite \(R_K\) sous \(U^{\mathrm{Hdg}}_K\), « canonique (mais trivial) », d'où un foncteur fibre filtré sur \(K\) : \[ \mathrm{DR}(M) = \bigl(R_K \wedge^{U^{\mathrm{Hdg}}_K} Q_K\bigr) \wedge^{G_K} (T_p(M) \otimes K). \] Voici ce qui justifie la formule. Tordre le foncteur gradué \(T_{\mathrm{Hdg}}\), vu comme filtré, par un \(U^{\mathrm{Hdg}}_K\)-torseur donne un foncteur fibre filtré dont le gradué est encore \(T_{\mathrm{Hdg}}\), et inversement tout foncteur fibre filtré sur \(K\) muni d'un isomorphisme \(\mathrm{gr} \simeq T_{\mathrm{Hdg}}\) s'obtient ainsi : \(R_K\) est le torseur de ses scindages compatibles au produit tensoriel. En caractéristique nulle, un tel scindage existe toujours, et \(U^{\mathrm{Hdg}}_K\) étant unipotent, tout torseur sous lui est trivial ; d'où le « mais trivial ». Le foncteur filtré est isomorphe au foncteur scindé, mais pas canoniquement.³⁴

Le \(G_K\)-torseur qui correspond au foncteur \(\mathrm{DR}\) est \[ P_K = R_K \wedge^{U^{\mathrm{Hdg}}_K} Q_K , \] et l'on pose \(G'_K = \mathrm{Aut}(P_K)\), forme intérieure de \(G_K\).³⁵ La page ajoute « \(G'_K \simeq G_K\) non canoniquement » ; cela suppose que le torseur \(P_K\) soit trivial, ce qui a lieu par exemple pour \(G = \mathrm{GL}_n\) (théorème 90 de Hilbert), mais pas pour tout \(G\).³⁶

5) La descente. Une structure de descente de \(K\) à \(K_0\) sur le torseur \(P_K\), c'est-à-dire un \(G_{K_0}\)-torseur \(P_{K_0}\) dont \(P_K\) est l'extension des scalaires ; d'où \(G'_{K_0}\) et \(P_{K_0}\).³⁷

6) Le Frobenius. Un isomorphisme de \(G_{K_0}\)-torseurs donné \[ P_{K_0} \simeq P_{K_0}^{(\sigma)}, \] où \(P^{(\sigma)}\) est le torseur déduit de \(P\) par le changement de base \(\sigma : K_0 \to K_0\).³⁸

Les données 5) et 6) réunies disent que le foncteur fibre \(\mathrm{DR}\) provient d'un foncteur fibre sur \(K_0\) muni d'un Frobenius : c'est la version à valeurs dans \(G\) des données a) à c) de la page 23. On les appelle aujourd'hui des isocristaux à \(G\)-structure, et le couple formé du Frobenius et du cocaractère de la filtration est ce qu'on étudie sous le nom de couple \((b, \mu)\).³⁹

L'extension \(\Gamma\). Pour finir, la page propose de formuler 5) et 6) ensemble. On considère le torseur \(P_{\Omega}\) déduit de \(P_K\), sur lequel \(\pi\) agit par son action sur \(\Omega\), et « l'extension \(\Gamma\) de \(\mathbb{Z}\) par \(\tilde{\pi}\) », qui contient \(\pi\), et l'on déclare que \(\Gamma\) opère sur \(P_{\Omega}\) en prolongeant l'opération de \(\pi\).⁴⁰ La page ne définit pas \(\Gamma\) davantage. Une réalisation qui rend l'énoncé exact est la suivante : \(\Gamma\) est le groupe des couples \((\gamma, n)\) formés d'un automorphisme continu \(\gamma\) de \(\Omega\) et d'un entier \(n\) tels que \(\gamma\) induise \(\sigma^n\) sur \(K_0\). On a alors \(1 \to \pi' \to \Gamma \to \mathbb{Z} \to 1\), avec \(\pi' = \mathrm{Gal}(\bar{K}/K_0) \supset \pi\), le groupe que la page 22 avait posé sans s'en servir. Prolonger à \(\pi'\) l'action de \(\pi\) sur \(P_{\Omega}\), c'est la descente 5), puisque \(\Omega^{\pi'} = K_0\) ; faire agir les éléments qui relèvent \(\sigma\), c'est le Frobenius 6).⁴¹ L'idée de coder dans un seul groupe l'action de Galois et celle du Frobenius est celle qu'on retrouve, sous d'autres formes, dans le groupe de Weil et dans les anneaux de Fontaine, où agissent ensemble \(\pi\) et un Frobenius.

27–28

IV. L'unicité : une question de cohomologie non abélienne (pages 27 et 28)

Les deux dernières pages au crayon traduisent la page 26 en cohomologie galoisienne non commutative, et posent la question de l'unicité.

L'extension et ses sections

Soit \(A = G'(\Omega)\) le groupe des automorphismes du \(G_{\Omega}\)-torseur \(P_{\Omega}\).⁴² Soit \(\mathcal{E}\) le groupe des couples \((\gamma, u)\) formés d'un \(\gamma \in \Gamma\) et d'un automorphisme \(u\) de \(P_{\Omega}\), compatible à l'action de \(G_{\Omega}\) et semi-linéaire relativement à l'action de \(\gamma\) sur \(\Omega\). Comme \(\Omega\) est algébriquement clos, \(P_{\Omega}\) est trivial, et tout \(\gamma\) se relève ; on a donc une extension \[ 1 \longrightarrow A \longrightarrow \mathcal{E} \longrightarrow \Gamma \longrightarrow 1 . \qquad (\mathcal{E}) \] Ses sections — les homomorphismes \(s : \Gamma \to \mathcal{E}\) qui relèvent l'identité — sont exactement les actions de \(\Gamma\) sur \(P_{\Omega}\) compatibles à la structure de torseur. Une section \(s\) fait opérer \(\Gamma\) sur \(A\) par conjugaison, et cette opération provient, remarque la page, d'une opération de \(\Gamma\) sur le schéma en groupes \(G'_{\Omega}\) lui-même. Les autres sections s'écrivent \(\varphi \cdot s\), où \(\varphi\) parcourt les \(1\)-cocycles de \(\Gamma\) à valeurs dans \(A\) (pour cette opération), et \(A\) opère sur l'ensemble des sections par conjugaison, sans restriction : deux sections sont conjuguées si et seulement si le cocycle qui fait passer de l'une à l'autre est cohomologue à \(1\). Les classes de conjugaison de sections forment donc l'ensemble pointé \(H^1(\Gamma, A)\).⁴³

Soit maintenant \(\alpha_0 : \pi \to \mathcal{E}\) une section partielle, au-dessus de \(\pi\) — l'action donnée de \(\pi\) sur \(P_{\Omega}\). Le stabilisateur de \(\alpha_0\) dans \(A\) est le groupe des invariants \(A^{\pi}\), pour l'opération définie par \(\alpha_0\), et \[ A^{\pi} = G'(\Omega)^{\pi} = G'(K), \] toujours parce que \(\Omega^{\pi} = K\).⁴⁴ Ce groupe opère sur l'ensemble des sections \(\alpha\) qui prolongent \(\alpha_0\). Si l'on en a une, les autres s'en déduisent par les \(1\)-cocycles triviaux sur \(\pi\) : \[ \begin{cases} \varphi(\gamma\gamma') = \varphi(\gamma)\; {}^{\gamma}\varphi(\gamma'), \\ \varphi(\gamma) = e \quad \text{pour } \gamma \in \pi . \end{cases} \]

La Question

Question (page 28). Les \(\alpha\) qui prolongent \(\alpha_0\) sont-ils conjugués sous \(A\) — ce qui revient au même que sous \(A^{\pi}\), puisqu'un élément qui conjugue deux prolongements de \(\alpha_0\) centralise \(\alpha_0(\pi)\) ? La page observe qu'il suffirait de savoir que, pour une telle section \(\alpha\) fixée, l'application \[ H^1(\Gamma, A) \longrightarrow H^1(\pi, A) \] est « injective », au sens des ensembles pointés : de noyau réduit à l'élément neutre. Les solutions formeraient alors un espace homogène sous \(A^{\pi} = G'(K)\).⁴⁵

La condition est en fait nécessaire et suffisante, dès qu'un prolongement \(\alpha\) existe. Les éléments du noyau sont représentés par les cocycles triviaux sur \(\pi\) — un cocycle dont la restriction à \(\pi\) est un cobord se modifie par ce cobord — ; et deux tels cocycles sont cohomologues sur \(\Gamma\) si et seulement s'ils le sont par un élément de \(A^{\pi}\). Le noyau est donc en bijection avec l'ensemble des orbites de \(A^{\pi}\) sur les prolongements de \(\alpha_0\), et il est trivial si et seulement si ces prolongements forment une seule orbite.⁴⁶

Ce que l'on peut répondre

Telle qu'elle est posée, avec les seules données 1) à 6), la réponse est non. Prenons \(K = K_0 = \mathbb{Q}_p\), \(G = \mathbb{G}_m\), \(\rho\) trivial et \(j\) trivial. Toutes les données jusqu'à 5) sont alors triviales, \(P_{\Omega}\) est le torseur trivial, \(A = \Omega^{*}\) et \(A^{\pi} = \mathbb{Q}_p^{*}\). Comme \(\sigma\) est l'identité de \(\mathbb{Q}_p\), le groupe \(\Gamma\) est le produit \(\pi \times \mathbb{Z}\), et un prolongement de \(\alpha_0\) est déterminé par l'image du générateur de \(\mathbb{Z}\), qui doit commuter à \(\pi\) : c'est la multiplication par un élément \(b\) de \(\Omega^{*}\) invariant par \(\pi\), donc de \(\mathbb{Q}_p^{*}\). C'est exactement la donnée 6), un Frobenius \(b\) sur le \(\mathbb{Q}_p\)-espace de dimension 1. Et \(A^{\pi}\), commutatif, agit trivialement : chaque \(b \in \mathbb{Q}_p^{*}\) est une orbite à lui seul. Le noyau de \(H^1(\Gamma, A) \to H^1(\pi, A)\) est \(\mathbb{Q}_p^{*}\) tout entier.⁴⁷

La raison est dans la liste elle-même. La représentation \(\rho\) n'y intervient qu'à travers \(\mathfrak{P}\) et la graduation \(j\), c'est-à-dire à travers sa décomposition de Hodge-Tate ; rien n'y relie le Frobenius à \(\rho\). Dans l'exemple, \(b = p\) donne l'isocristal de pente \(1\), qui ne peut pas correspondre à une représentation de poids \(0\) ; mais même la condition de Fontaine qui exclut ce cas — l'admissibilité faible, qui demande ici que \(b\) soit une unité — laisse subsister tous les \(b \in \mathbb{Z}_p^{*}\), qui sont les isocristaux des caractères non ramifiés : d'autres représentations, que les données de Hodge-Tate ne distinguent pas de la représentation triviale. Ce qui manque à la liste est un lien direct entre \(\rho\) et le Frobenius, et c'est ce que fournit l'anneau \(B_{\mathrm{cris}}\) de Fontaine, où agissent à la fois \(\pi\) et un Frobenius, et qui fait de \(D_{\mathrm{cris}}\) une fonction de la représentation.⁴⁸

28–28

V. Tores sur un corps \(p\)-adique (bas de la page 28)

Sous un trait horizontal et une lettre H au crayon, la moitié inférieure de la page 28 est un calcul à l'encre, indépendant de ce qui précède. Il porte sur un corps \(K\) fini sur \(\mathbb{Q}_p\) — l'hypothèse est nécessaire pour que le tore suivant soit défini — et sur le tore \[ T_K = \mathrm{R}_{K/\mathbb{Q}_p}\, \mathbb{G}_m, \qquad T_K(\mathbb{Q}_p) \simeq K^{*}, \] restriction des scalaires à la Weil de \(\mathbb{G}_m\), que la page écrit \(\prod_{K/\mathbb{Q}_p} \mathbb{G}_m\).

La marge nomme l'objet du calcul : le modèle de Néron de ce tore, qu'il faut entendre localement de type fini, puisque \(K^{*}\) n'est pas borné ; on le note \(N\), sur \(\mathbb{Z}_p\). Sa composante neutre est \(N^{\circ} = \mathrm{R}_{\mathcal{O}_K/\mathbb{Z}_p}\, \mathbb{G}_m\), et l'on a une suite exacte \[ 0 \longrightarrow N^{\circ} \longrightarrow N \longrightarrow \Phi \longrightarrow 0, \] où le groupe des composantes \(\Phi\) est un groupe étale concentré sur la fibre spéciale. La propriété de Néron donne \(N(\mathbb{Z}_p) = T_K(\mathbb{Q}_p) = K^{*}\), et la suite des points entiers est la suite de la valuation, \[ 1 \longrightarrow \mathcal{O}_K^{*} \longrightarrow K^{*} \xrightarrow{\ v\ } \mathbb{Z} \longrightarrow 0, \] que la page écrit en colonne.⁴⁹

La page écrit \(\mathbb{Z}\) pour le groupe des composantes. C'est exact lorsque \(K/\mathbb{Q}_p\) est totalement ramifiée ; en général, \(\Phi\) est la restriction des scalaires de \(\mathbb{Z}\) du corps résiduel de \(K\) à \(\mathbb{F}_p\), dont les points sur \(\mathbb{F}_p\) forment encore \(\mathbb{Z}\).⁵⁰ Plaçons-nous dans le cas totalement ramifié. Le choix d'une uniformisante \(\varpi\) de \(K\) fournit un morphisme \[ \tilde{N} = N^{\circ} \times \mathbb{Z} \longrightarrow N, \qquad (u, n) \longmapsto u\,\varpi^{n}, \] où \(\mathbb{Z}\) est le groupe constant sur \(\mathbb{Z}_p\). C'est un isomorphisme sur les points entiers, \(\mathcal{O}_K^{*} \times \mathbb{Z} \simeq K^{*}\), et sur les fibres spéciales, mais pas sur les fibres génériques : celle de \(\tilde{N}\) est \(T_K \times \mathbb{Z}\), celle de \(N\) est \(T_K\). La page écrit précisément cette fibre générique, \(\tilde{N}_K \simeq g_K \times \mathbb{Z}_K\), dont les points forment \(K^{*} \times \mathbb{Z}\), et l'inclusion \(\Gamma(\tilde{N}) \hookrightarrow \Gamma(\tilde{N}_K)\), c'est-à-dire \(\mathcal{O}_K^{*} \times \mathbb{Z} \hookrightarrow K^{*} \times \mathbb{Z}\). Les deux lignes centrales du tableau de la page se lisent ainsi :⁵¹

\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & N^{\circ} \arrow[r] \arrow[d, no head] & \tilde{N} \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & N^{\circ} \arrow[r] & N \arrow[r] & \Phi \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

La flèche oblique que la page tire de \(K^{*}\) vers \(\Gamma(\tilde{N}_K)\) est marquée \(\pi\). Ce \(\pi\) n'est pas le groupe de Galois des pages précédentes : c'est vraisemblablement l'uniformisante, dont dépend la flèche \(x \mapsto (x\,\varpi^{-v(x)}, v(x))\).⁵²

Le lien de ce calcul avec le reste du dossier n'est pas écrit. Le seul qu'on puisse proposer est que \(T_K\) est le tore à travers lequel Serre, dans son livre sur les représentations \(\ell\)-adiques abéliennes (1968), décrit par le corps de classes local les représentations abéliennes localement algébriques de \(\pi\) ; la page ne le dit pas.⁵³