Fonds Grothendieck, cote n° 161-4, pages 1–20 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-22) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-25

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 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 161-4 Introduction à géométrie algébrique : notes manuscrites (s.d.) Pages 1 à 20 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 1 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [après 1961] — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/161-4.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

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Introduction à la géométrie algébrique

titre porté au crayon, de sa main, sur l'onglet de la chemise (p. 1) : « Introduction à Géom. Alg. » ; la chemise ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page ici

les pp. 2 à 5 sont une suite paginée par lui 1 à 4 en tête de page (p. 2 = sa p. 1), écrite à l'encre bleue, avec des reprises à l'encre noire

Descente plate

Module plat sur un anneau

Algèbre plate B/A | Faisceautisation de la notion de platitude pour des espaces i.e. pour f : X \to Y.

Proposition B algèbre sur A. Alors B fid. plat ssi B est plat et \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A est surjectif ( fait, ) [en outre, \forall idéal [premier] \mathfrak{J} de A, A/\mathfrak{J}A \leftarrow B/\mathfrak{J}B]la flèche est tracée ainsi, de B/\mathfrak{J}B vers A/\mathfrak{J}A ; la suite de la page établit l'injectivité de A/\mathfrak{J} \to B/\mathfrak{J}B

N/c A/\mathfrak{p} \leftarrow

B fid. plat/A \Rightarrow A \to B injectif (car si \mathfrak{J} \subset A est un idéal non nul tel que \mathfrak{J} \to A inj., le noyau \mathfrak{J} doit satisfaire donc \mathfrak{J} \otimes_A B \to B injectif donc \mathfrak{J}B \neq 0)

\forall idéal \mathfrak{J} \subset A, \mathfrak{J} = \mathfrak{J}B \cap A (A/\mathfrak{J} \to B/\mathfrak{J}B injectif)

p.ex. si \mathfrak{J} premier A/\mathfrak{p} \hookrightarrow B/\mathfrak{p}B injectif

Donc \operatorname{Spec} B/\mathfrak{p}B Ind.mot cerclé, écrit sur le début biffé de la ligne \exists un idéal premier \mathfrak{q} de B qui induit \mathfrak{p}

Donc \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A surjectif

Inversement si \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A surj. et B plat sur A, prouvons qu'il est fid. plat : M un A-module \neq 0, prouvons M \otimes_A B \neq 0. On peut supposer M de t.f. \neq 0, soit M' \subset M de t.f. \neq 0, monogène de t.f. il suffit de prouver M' \otimes B \neq 0 (car il est \subset M \otimes B). Je me ramène aux quotients de la forme A/\mathfrak{m} (\mathfrak{m} idéal maximal), alors M est monogène, prouvons que B/\mathfrak{m}B \neq 0, clair car \mathfrak{m} induit par un idéal premier de B.

Déf Soit f : X \to Y morphisme de espaces annelés schémas, M \mathcal{O}_X schémas. On dit que M plat/Y ssi f est fid. plat ssi la définition s'arrête là ; un trait oblique suit

a) b) pour morphismes plats et fid. plats

Prop Si f : X \to Y est plat, il induit des surjections

\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{X,x} \to \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{Y,y} ; Tout pt maximal de X est au-dessus d'un pt maximal de Y.

M A-module. M fid. plat \Longleftrightarrow \forall \mathfrak{p} premier de A, M \otimes_A k(\mathfrak{p}) \neq 0 Nécessaire, suffisant : … Cor Cas B une A-algèbre : \Longleftrightarrow B plat et \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A surj. Cor A \to B local : B plat \Longleftrightarrow B fid. plat () M marge gauche, écrite en travers de la page, sur plusieurs colonnes ; d'autres bribes (« B fid. plat/A », « A surj. », « A \to ») s'y lisent sans ordre sûr

sa p. 2

Cor Si f est loc. de présentation finie et plat, f est univ.« univ. » est ajouté au-dessus ouvert.

Prop Si S' \xrightarrow{f} S est fid. plat, l'application T \mapsto f^{-1}(T) des sous-schémas de S vers les sous-schémas de S' est injective et .

Cor Si X, Y sur S, alors \operatorname{Hom}_S(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{S'}(X', Y') injective.

Lemme \begin{array}{ccc} X & \longleftarrow & X' \\ {\scriptstyle f}\downarrow & \text{cart.} & \downarrow{\scriptstyle f'} \\ Y & \xleftarrow[\text{plat}]{} & Y' \end{array} \qquad\qquad f_*(F)' \xrightarrow{\ \sim\ } f'_*(F')

\begin{array}{ccc} Z' & \longrightarrow & Z \\ {\scriptstyle g'}\swarrow & & \swarrow{\scriptstyle g} \text{ quasi-compact} \\ S' & \longrightarrow & S \end{array} \qquad g(Z) = T

Th Soit f : S' \to S un morphisme plat. Pour fermée T de S telle que image d'un morphisme Z \to S quasi-compact, … on a f^{-1}(\overline{T}) = \overline{f^{-1}(T)} .

Dém Supposons X, Y, Z affines. \begin{array}{ccc} C' & \longleftarrow & C \\ \uparrow & & \uparrow{\scriptstyle u} \\ A' & \longleftarrow & A \end{array} \text{Alors } \overline{T} = V(\mathfrak{J}) \ (\mathfrak{J} = \operatorname{Ker} u), \quad f^{-1}(\overline{T}) = V(\mathfrak{J}A'), \quad \overline{f^{-1}(T)} = V(K), \ K = \operatorname{Ker} u'

Autre dém On se ramène au : car g dominant \Rightarrow g' dominant, et g dominant, S' \neq \emptyset \Rightarrow Z' \neq \emptyset ; \overline{g'(Z')}. Mais cela marche pour tout morphisme générisant, comme on s'en rendra compte aussitôt avec Cor. Mais : Soit g : Z \to S qu.-cpt. Alors g dominant Mais pour tout pt maximal s de S, Z_s \neq \emptyset.deux ajouts de la colonne de droite, reliés par des traits au théorème ; l'ordre de lecture est incertain

Cor Si f fid. plat et quasi-compact, la topologie de S est quotient de celle de S'. [f(S') induite par S]

F = f^{-1}(\ldots) = \overline{F} \ldots f^{-1}(\overline{f(F)}) \ldots ligne entière biffée

Il faut prouver que si \overline{T}' est une fermée de S' saturée par f, alors \overline{T} = f(Z') est rel. fermé dans \Sigma = f(S'), Or par \overline{T} \cap Z = T i.e. f^{-1}(T) = f^{-1}(\overline{T}) ok.sous les deux membres de la dernière égalité, T' est écrit avec des signes = verticaux

Cor (si f : S' \to S fid. plat qu.-cpt (ou univ. )) \begin{array}{l} F(S) \to F(S') \rightrightarrows F(S'') \\ O(S) \to O(S') \rightrightarrows O(S'') \\ LF_{rc}(S) \to LF_{rc}(S') \rightrightarrows LF_{rc}(S'') \\ {}[LF(S) \to LF \rightrightarrows LF(S'')\ ?] \end{array} \quad \left(\begin{array}{l} \text{où } F = \text{parties fermées} \\ O = \text{parties ouvertes} \\ LF \text{ parties loc. fermées \uncertain{rétrocompactes}} \\ S'' = S' \times_S S' \end{array}\right) \text{ est \emph{exact}} Vrai si f surj. … P(S) \to P(S') \rightrightarrows P(S'') (P = parties)

structure induite marge gauche, en oblique, avec un trait vers la ligne des LF

car S'' \to [S'] \times_{[S]} [S'] surjectif. Donc l'exactitude des deux deux premières suites simples (car la top. de S est quotient, car est injective).

Cor Une partie T de S est fermée (fermée, loc. fermée rétrocompacte) ssi f^{-1}(T) l'est. Si T est l'image d'un morphisme qu.-cpt, alors T loc. f. ssi f^{-1}(T) l'est…

Pour le troisième cas, on est ramené aux deux premiers en introduisant l'adhérence et réutilisant le Th.

sa p. 3 ; un titre « Descente » est biffé en tête

(1) descente de propriétés de morphismes

Prop Soit S' \to S surjectif. Pour qu'un S-morphisme g : X \to Y soit surjectif (resp. radiciel) il f. et il s. que g' : X' \to Y' le soit. [Si f' inj. — bij. — ou quasi-injectif, de même f]

Prop Soit f : S' \to S surjectif qu.-cpt (resp. fid. plat qu.-cpt). Alors f est quasi-compact (resp. de t.f., de prés. finie, loc. de t.f., loc. de prés. finie) ssi f' l'est.« f », « f' » sur la page ; le contexte demande g, g'

Le premier immédiat. On est ramené .

\begin{array}{ccc} X' & & X \\ \downarrow{\scriptstyle g'} & & \downarrow{\scriptstyle g} \\ Y' & \longrightarrow & Y \\ & \searrow \quad \swarrow & \\ S' & \longrightarrow & S \end{array}

Lemme Soit A \to A' fid. plat, B A-algèbre. Alors B est de t.f. (resp. pr. f.) ssi B' l'est.

Les mêmes arguments, pour modules, donnent

Cor. Soit f : S' \to S fid. plat qu.-cpt, F faisceau qu.-coh. sur S. Alors F de t.f. (pr. f.) ssi F' l'est.

On prouve de même pour « loc. libre de t.f. » \{loc. libre de rang n dém. : inversibilité\}

Prop f fid. plat. Alors g est plat (fid. plat) ssi g' l'est [on peut prendre modules]

(2) descente de propriétés topologiques et conséquences

Th. …

Soit S' \to S fid. plat (et quasi-compact) (ou univ. générisant)

Cor Soit g : X \to Y un S-morphisme, . Alors si g' est ouvert (resp. fermé générisant, univ. homéom. dans, resp. un homéom.), f de même.« f de même » sur la page

\begin{array}{ccc} X' & \longrightarrow & X \\ {\scriptstyle g'}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle g} \\ Y' & \xrightarrow[\ f_Y\ ]{} & Y \\ & & \\ S' & \xrightarrow[\ f\ ]{} & S \end{array} Quelques contre-exemples

Donc f univ. ouvert (resp. univ. …) ssi f' l'est.

Cor f séparé (propre) ssi f' l'est

Cor f une imm. (ouverte) ssi f' l'est. On se ramène au cas d'une imm., et pour cela il suffit (), donc un homéomorphisme univ., reste à prouver que \mathcal{O}_Y \to f_*(\mathcal{O}_X) est un isom., ce qui se déduit après chgt. de base, ok.

Question … OK.bloc en partie biffé, à droite

surj., radiciel, plat, fid. plat qu.-cpt, qu.-sép., coh., t.f., p.f., loc. t.f., loc. p.f. séparé, propre, univ. fermé, univ. ouvert, homéo. univ., Immersions (imm. fermées, imm. ouvertes) affines, entiers, finis, quasi-affines, quasi-finis plat fid. {}[lisse, net, étale formellement lisse (?), formellement étale ….

un trait relie cette liste, en bas à gauche, aux corollaires de la page ; en bas à droite, « TSVP »

sa p. 4

(3) Descente de faisceaux des sous-schémas qu.-coh., et des morphismes de morphismes de schémas, de schémas affines.

Prop f : S' \to S fid. plat et qu.-cpt, F qu.-coh. sur S. Alors \mathrm{Ssf}(F) \to \mathrm{Ssf}(F') \rightrightarrows \mathrm{Ssf}(S'') est exact. On se ramène au cas S affine, puis S' affine, et au résultat conn. d'algèbre commutative.bloc cerclé et barré d'obliques ; à gauche, N' \cap M = N_0, et les lignes M, \hat{M}', M'' au-dessus de A \to A' \rightrightarrows A''

Th Soit f : S' \to S fid. plat qu.-cpt. Alors f est de descente effective (univ.) pour la catégorie fibrée des Modules qu.-coh.

Expliquer ce que cela signifie.

Cor Soit F qu.-coh. sur S. Alors suite exacte \mathrm{Ssf}(F) \to \mathrm{Ssf}(F') \rightrightarrows \mathrm{Ssf}(F'')

Corollaire On a des suites exactes \begin{array}{l} \struck{\mathrm{Ssf}(S)} \\ \mathrm{Ssf}(S) \to \mathrm{Ssf}(S') \rightrightarrows \mathrm{Ssf}(S'') \\ \mathrm{Sso}(S) \to \mathrm{Sso}(S') \rightrightarrows \mathrm{Sso}(S'') \\ \mathrm{Ssrc}(S) \to \mathrm{Ssrc}(S') \rightrightarrows \mathrm{Ssrc}(S'') \end{array} Peut-on descendre les sous-schémas pas nécess. rétroc., non ouverts ?

Corollaire f est de descente (univ.) pour la catégorie fibrée des schémas sur d'autres : \operatorname{Hom}_S(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{S'}(X', Y') \rightrightarrows \operatorname{Hom}_{S''}(X'', Y'') \begin{array}{ccccc} X \times_S Y = Z & & Z' & & Z'' \\ \uparrow\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ Y & & Y' & & Y'' \end{array} \qquad S \to S' \rightrightarrows S'' On le voit par le corollaire précédent si Y est qu.-sép. sur S. Mais on se ramène aisément au cas S, Y affines…

On retrouve que g' un iso \Rightarrow g un iso

Corollaire Pour que f' soit imm. fermée resp. ouverte, arbitraire il f. et il s. que f le soit un bloc à droite est rayé de hachures obliques et ne se lit pas

Corollaire Descente d'Algèbres qu.-coh.

Cor Th Si f fid. plat qu.-cpt, alors f est un morphisme de descente eff. (univ.) pour la cat. des schémas relatifs affines

Cor g affine \Longleftrightarrow g' affine

g quasi-affine \Longleftrightarrow g' quasi-affine [car g qu.-affine \Longleftrightarrow g coh. et X \to \operatorname{Spec} g_*(\mathcal{O}_X) immersion]

g entier (fini, fini loc. libre) \Longleftrightarrow g' entier (fini, fini loc. libre)

sa p. 5, dernière de la suite ; le bas de la feuille est vide

Pour ce dernier point, on est ramené au

Lemme. A' fid. plat sur A, B une A-algèbre. Alors B fini (entier) sur A ssi B' l'est sur A'.

Fini est une histoire de module. Entier s'y ramène en regardant les A[x], x \in B.

(4) Descente de l'amplitude

\begin{array}{ccc} X & & X' \\ \downarrow & & \downarrow \\ Y & \longleftarrow & Y' \\ \downarrow & & \\ S & \longleftarrow & S' \end{array} \qquad f \text{ fid. plat qu.-cpt}

L (très) ample rel/Y \Longleftrightarrow L' (très) ample rel./Y'

On peut supposer X cohérent sur Y, donc g_*(L) qu.-coh. et g_*(L)' \simeq g'_*(L').

Très ample signifie que 1) g^*(g_*(L)) \to L épim., donc X \to P(g_*(L)) défini ; 2) g^*(g_*(L)) \ldots X \to P(g_*(L)) une immersion.

Si g de t.f., « ample » se ramène à « très ample », d'où descente.

Pour le cas général, on utilise le critère que pour F qu.-coh. de t.f. sur S pourvu que Y qu.-cpt, à n grand, f^*(f_*(F(n))) \to F(n) épi.

On retrouve que g quasi-affine \Longleftrightarrow g' qu.-affine.

NB Les seuls exemples de propriétés de morphismes que l'on ne descende pas sont les morphismes projectifs et quasi-projectifs.

(5) Questions d'effectivité de données de descente

Morphismes radiciels. Soit f : X \to Y un morphisme de schémas. Conditions équivalentes :

f univ. injectif ; \forall y \in Y, X_y est radiciel sur k(y), i.e. a au plus un point x, et k(x) est une ext. radicielle de k(y) ; \forall corps K, X(K) \to Y(K) est injective ; \delta_f : X \to X \times_Y X est surjective.

Ces morphismes sont dits radiciels. (Une immers. est radicielle, donc une immers., comme \delta_f, l'est.) Satisfont a) b) et c) (gf radiciel \Rightarrow f radiciel).

Prop Soit f : X \to Y un morphisme entier radiciel surjectif« surjectif » est ajouté au-dessus de la ligne, avec un trait de renvoi. Alors c'est un homéom. universel.

On peut prouver la réciproque — mais c'est nettement plus difficile.

Exemples 1) k'/k ext. radicielle (p. ex. clôture parfaite) : X_{k'} \to X_k est entier radiciel surjectif, donc un homéom. (universel).

2) Courbe : cusp, et sa normalisation.

Morphismes univ. ouverts

Condition néc. pour qu'un morphisme soit ouvert : il est générisant. Cette condition est suffisante si f loc. de prés. finie. Donc morphismes univ. ouverts sont univ. générisants, et réciproquement si f est loc. de prés. finie.

Morphismes univ. ouverts et univ. générisants satisfont 1), 2).

Schémas quasi-affines / morphismes quasi-affines (quasi-compacts, et donc isom. à des sous-schémas ouverts d'un schéma affine)

Conditions équivalentes sur schéma X cohérent, A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X) :

X quasi-affinele mot est repris par-dessus ; on lit « quasi-affine » ; X \to \operatorname{Spec} A une immers. ouverte ; X \to \operatorname{Spec} A un homéomorphisme dans ; \mathcal{O}_X est ample, i.e. les X_f forment une base top. de X ; les X_f affines forment base top. de X ; tout F quasi-cohérent engendré par ses sections ; id. pour F qu.-coh. \subset \mathcal{O}_X ; \exists faisceau ample inversible« inversible » (abrégé) est écrit au-dessus du mot biffé L tel que L et L^{-1} amples ; tout Module inv. L est ample.

Morphismes quasi-affines : stable par changement de base, par composition. Les immers. quasi-compactes sont quasi-affines, donc si f qu.-sép., \delta_f qu.-affine. gf qu.-affine et g qu.-sép. \Rightarrow f qu.-affine.

Th Si f de type fini, à fibres finies (f quasi-fini) et f séparé, alors f quasi-affine (donc quasi-projectif).

Morph. quasi-projectif : de t.f. + \exists L f-ample.

Propre = univer. fermé, séparé, de t.f. projectif = propre + quasi-projectif = fermé + quasi-projectif

entier

tableau encadré, flèches doubles d'implication ; « affine de t.f. » est écrit contre une flèche oblique qui descend de « fini » vers « quasi-affine de t.f. » : on en fait un nœud intermédiaire. Dans la marge gauche, une flèche barrée venant de « affine de t.f. » entre dans le cadre

\begin{array}{ccccccc} \text{imm. fermée} & \Longrightarrow & \text{fini} & \Longrightarrow & \text{entier} & \Longrightarrow & \text{affine} \\ \Downarrow & & \Downarrow & & \Downarrow & & \Downarrow \\ \text{imm. qu.-cpte} & & \text{proj} & \Longrightarrow \text{ propre } \Longrightarrow & \text{univ. fermé} & & \\ \Downarrow & & \Downarrow & & & & \\ \text{quasi-affine de t.f.} & \Longrightarrow & \text{qu.-proj} & & & & \text{séparé} \end{array} avec, en outre : \text{fini} \Rightarrow \text{affine de t.f.} \Rightarrow \text{quasi-affine de t.f.} ; \text{propre} \Rightarrow \text{séparé} ; \text{qu.-proj} \Rightarrow \text{séparé}.

Th. (a) fini = propre à fibres finies (cas noethérien)

= projectif à fibres finies

(b) séparé \Rightarrow affine à fibres finiesligne entière biffée ; « affine » y est récrit au-dessus

EGA II 4.5

X cohérent, L inversible. Conditions équivalentes :

les X_f forment base de la topologie de X (f \in S_n = \Gamma(X, L^{\otimes n}), n \geqslant 1) ; les X_f affines forment une base … ; pour tt F quasi-cohérent de t.f. sur X, F(n) est engendré par ses sections, pour n grand [en somme : F quotient d'un \mathcal{O}_X^N(-n)] ; comme b), avec F \subset \mathcal{O}_X.

Si Il suffit que, si X est au-dessus de S affine, qu'il :

\exists n > 0 tel que L^{\otimes n} très ample rel/S ; \exists n_0 > 0 tel que L^{\otimes n} très ample pour n \geqslant n_0.

Cette condition est aussi nécessaire si X de t.f. sur S.

Définition L est dit ample s'il satisfait les conditions équivalentes a) à b'). Si Y On. f : X \to Y, morphisme cohérent on dit que L est f-ample (ou ample rel/Y) ssi si \exists recouvrement ouvert affine de Y par des Y_i, tel que (X|Y_i cohérents) L|(X|Y_i) ample pour tt i.

Il suffit Alors c'est vrai pour tt i, et on peut utiliser aisément les critères b), b') (pour Y qu.-cpt dans ce cas).

NB Très ample Si \exists n tel que L^{\otimes n} soit très ample rel/Y, alors il est ample rel/Y ; la réciproque est vraie si f est de t.f. et Y qu.-cpt.

Prop Soit X \xrightarrow{\ f\ } Y \xrightarrow{\ g\ } Z, \qquad L \text{ sur } X,\ M \text{ sur } Y, \quad g \text{ qu.-cpt.} \left.\begin{array}{l} L \text{ ample rel}/Y \\ M \text{ ample rel}/Z \end{array}\right\} \Longrightarrow \exists\, n_0 \text{ tel que } n \geqslant n_0 \text{ implique } L \otimes f^{*}(M^{\otimes n}) \text{ ample rel}/Z . (idem avec très amples)

page de plan, très chargée : listes, accolades, renvois fléchés d'un bloc à l'autre, taches d'encre. On transcrit les blocs dans l'ordre de lecture, de haut en bas, la colonne de droite après celle de gauche ; les notes marginales tournées de la gauche ne se lisent qu'en partie

Schémas irréductibles, connexes, noethériens (attention !), loc. noeth. / réduits, intègres (= irréd + réduits) / normaux réguliers (anneaux locaux n.) réguliers ()

Morphismes qu.-cpts, de type fini : a) b) (cas de V(M), P(M)) loc. de t.f. : a) b) c) ; loc. de prés. f. : a) b) c)

[f loc. de t.f. \Rightarrow \operatorname{diag}_f loc. de prés. finie]

immersions : a) b) c) ; imm. fermées, ouvertes [surjectives] a) b)

Sous-schémas ouverts, fermés [transitivité, stable par im. inverse]

Morphismes séparés [a) b) c)] : diagonale fermée \Longleftrightarrow noyaux de couples dedans fermés \Longleftrightarrow principe d'identité pour morphismes des schémas réduits dedans.

Ex \{immo — donc applic. diag., noyaux, diag. ; morphismes affines ; P(V) \to S\}

Schémas séparés (i.e. séparés sur n'importe quoi). \Rightarrow toute intersection de S-affines affines sur S i.e. X, Y \Rightarrow X \times_S Y affine.

Morphismes quasi-séparés (a) b) c)) ( schémas quasi-séparés) : diagonale quasi-compacte \Longleftrightarrow noyaux de couples dedans quasi-compacts \Longleftrightarrow sections qu.-cpts ; [si base quasi-sép. : \Longleftrightarrow l'intersection de deux ouverts qu.-cpts est qu.-cpte] \Longleftrightarrow tout schéma X qu.-cpt qu.-compact X]

qu.-cpt (de t.f.) et qu.-sép. \Rightarrow (qu.-sép.)marge gauche, écrite en oblique, avec plusieurs mots biffés ; une ligne biffée à droite de la marge ne se lit pas

Morphismes cohérents = qu.-cpt qu.-sép. : a) b) [gf coh. et g qu.-sép. \Rightarrow f coh.]

Si f : X \to Y qu.-coh.sic, pour « cohérent » et F qu.-coh. sur X, alors f_*(F) (et les R^i f_*(F)) quasi-cohérents. (schémas cohérents)

NB Tous les schémas envisagés par les Anciens étaient de t.f. et séparés sur des corps. La plupart des schémas qu'on envisage couramment on pourrait les supposer séparés ; pratiquement tous ceux qu'on rencontre sont quasi-séparés. Beaucoup sont qu.-cpts — mais il y en a d'importants qui ne le sont pas.

[Morphismes de prés. finie a) b) [gf de prés. finie et g de t.f. et qu.-sép.] (= loc. de prés. finie et cohérents)]

Toutes les notions sont locales en basun trait fléché relie ce cadre au bloc des morphismes de prés. finie et à la ligne suivante

\to Yoga des : limite.

colonne de droite de la page

si f \in \mathcal{M}, f' \in \mathcal{M} (\Rightarrow tout isom. \in \mathcal{M}) ; si f, g \in \mathcal{M}, gf \in \mathcal{M} ;

\begin{array}{ccc} X & \longleftarrow & X' \\ \downarrow & \text{cart.} & \downarrow \\ Y & \longleftarrow & Y' \end{array} \qquad\qquad X \xrightarrow{\ f\ } Y \xrightarrow{\ g\ } Z \Longrightarrow (f_1 \in \mathcal{M}, f_2 \in \mathcal{M} \Rightarrow f_1 \times f_2 \in \mathcal{M})

\Longrightarrow (gf \in \mathcal{M}, \operatorname{diag}(g) \in \mathcal{M} \Rightarrow f \in \mathcal{M}) (*)

si gf \in \mathcal{M}, f \in \mathcal{M} [en présence de a) et b), équivaut à : toute section est \in \mathcal{M}, donc diagonales \in \mathcal{M}] ; ou : noyaux \in \mathcal{M} [si c'est local en bas et vrai pour imm. ouv. et vrai au cas affine].

Ex : morphisme diagonal, sections, noyaux.

\begin{array}{lcl} \operatorname{diag} g \in \mathcal{M} & \Longleftrightarrow & \forall S' \to S, \text{ les sections de } Y' \text{ sur } S' \text{ sont } \in \mathcal{M} \\ g : Y \to S & \Longleftrightarrow & \forall (u, v) : X \rightrightarrows Y \text{ sur } S,\ \operatorname{Ker}(u, v) \to X \text{ est } \in \mathcal{M} \\ & \Longleftrightarrow & \forall f : X \to Y,\ \Gamma_f : X \to X \times_S Y \text{ est } \in \mathcal{M} \\ & \Longleftrightarrow & gf \in \mathcal{M} \Rightarrow f \in \mathcal{M} \end{array}

(*)

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"'] \arrow[dr, "\Gamma_f"] & \\ Y \arrow[d, "g"'] & X \times_S Y \arrow[l, "\mathrm{pr}_2"'] \arrow[d, "\mathrm{pr}_1"] \\ S & X \arrow[l, "gf"] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "\Gamma_f"] \arrow[d, "f"'] & X \times_S Y \arrow[d, "f \times \mathrm{id}_Y"] \\ Y \arrow[r, "\operatorname{diag}_Y"'] & Y \times_S Y \end{tikzcd}

Généralités : local en bas ; stable par chang. de base ; stable par composition \Longrightarrow la flèche double ne mène à rien sur la page

Plan

Traversée du désert Passage au quotient [et langage faisceautique] \{descente fid. plat\} Notion « géométrique » sur un corps Ensembles constructibles, passage à la limite

autre plan, où de longues barres obliques traversent le premier bloc, comme pour le marquer fait ; il reste lisible

Localisé d'un schéma en un point, schéma local, morphisme d'un schéma local dans un schémaligne de tête reprise plus bas, au I) de la colonne de droite

I Morphismes quasi-compacts, de type fini, loc. de prés. finie

immersions \{ouvertes, fermées\} immersions surjectivesmarge gauche, sous un bloc noirci

Sous-schémas ouverts — fermés

morphismes séparés : diagonale fermée — noyaux fermés — principe de prolongement des identités Z \to X pour X réduit ( X séparé sur S )

morphismes qu

\begin{array}{ccc} X & \longleftarrow & X' \\ {\scriptstyle f}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle f'} \\ Y & \longleftarrow & Y' \end{array} \qquad \begin{array}{c} X \xrightarrow{\ f\ } Y \\ \searrow \quad \swarrow{\scriptstyle g} \\ S \end{array} [Si f est \mathcal{M}, f' est \mathcal{M} ; si f et g sont \mathcal{M}, gf aussi ; \Rightarrow si f_1 et f_2 sont \mathcal{M}, f_1 \times_S f_2 est \mathcal{M} ; si gf est \mathcal{M}, f est \mathcal{M} — loc. t.f., vrai pour imm., morphismes séparés]

Ex \{Morphisme diagonal — noyaux ; sections\}

II

Schémas noeth., loc. noeth., artiniens, loc. artiniens Schémas irréd., connexes Schémas réduits, intègres Schémas normaux, réguliers

I) Schémas localisés d'un schéma en un point ; schémas locaux (\exists ! pt fermé, et quasi-compact) ; morphismes d'un schéma local dans un schéma.

III Morphismes : affines, [mono, surjectifs] [qu.-cpts, de t.f., loc. de t.f., loc. de ], imm. loc. fermées, surjections], séparés, [quasi-séparés, cohérents, de prés. finie]

[entiers] (c) morphismes finis, [quasi-finis]

(a) projectifs, quasi-projectifs [quasi-affines]

(d) radiciels, homéom. universels, univ. ouverts, univ. fermés

(b) propresles lettres cerclées (a)–(d) et des flèches fixent un ordre de traitement différent de l'ordre de la liste

Oubli

Cohérence du faisceau structural sur un schéma loc. noeth. Structure induite réduite sur un fermé Un schéma loc. noeth. est qu.-sép.

et on verra tôt les schémas non séparésdans une bulle reliée à la dernière ligne ; une seconde bulle, au-dessus, ne se lit qu'en partie : « Attention, immersions ouvertes : cas » Sur base cohérente

f cohérent, F qu.-coh. \Rightarrow f_*(F) qu.-coh.

Cor

Extension de faisceaux qu.-coh. d'un ouvert rétrocompact Extension de sous-faisceaux ( U rétrocompact )

\{net, lisse, étale ; plat, fid. platencadré\}

Propriétés géom. des fibres …

au crayon, sur papier jaune ; suite d'un plan à rubriques cerclées, dont (a), (d), (e), (f), (g), (h) se lisent sur cette page. Le haut de la feuille est barré de longs traits obliques et de plusieurs biffures

épimorphismes universels (Zar.) de schémas ({}= foncteurs représentables)ligne soulignée puis barrée, avec deux mots biffés en tête et une rubrique cerclée qui ne se lit pas

(d) Schéma de type fini sur un autre S [quasi-comp. et qu.-sép. sur S et loc. de type fini sur S]

rep. marge gauche, en oblique, barrée

Schémas comme foncteurs : avantages respectifs des arguments anneaux (a) (schémas affines) et des arguments schémas (vrais espaces localement annelés)

(e) Corollaire du th. de représentabilité : notion locale (par rec. affine) du Pb.la ligne est barrée ; la parenthèse cerclée est reliée par un trait au S de la ligne suivante

(f) Schéma P(M), M module qu.-coh. sur S : il représente un foncteur remarquable dans la catégorie des espaces loc. annelés sur S (univ. des topos loc. annelés sur S). Sa structure essentielle : Dépendance p.r. au changement de base ; dépendance fonctorielle en S / Dépendance en M (pour épi) de t.f. sur S,

cor. de th. de représentabilitémarge gauche, de biais, contre l'accolade qui borde (f)

[Schémas projectifs quasi-proj. sur S (S affine disons) (on peut alors choisir V de type fini) qui se plongent dans un P(M), ]

Relation avec V(M) (fibré vectoriel sur S associé à M)

V(M)^* \subset V(M) (les épi M_{k'} \to k')

V(M)^* \longrightarrow P(M) épi de faisceaux [i.e. il y a une section loc. pour Zar.]

En fait, \mathbb{G}_{m,S} opère sur V(M)^*, laissant V(M)^* stable, i.e. y opère librement, et P(M) \simeq V(M)^* / \mathbb{G}_m \qquad (\text{isom. de faisceaux Zar.})

(g) \varprojlim finies« lim » avec une flèche vers la gauche dessous, et « finies » au-dessus ; une tache couvre le mot dans (Sch)

(h) Spec d'Algèbre qu.-coh. et morphismes affines (des schémas affines sur S)

à l'encre, sur papier jaune ; le bas de la page repasse au crayon

1) Morphismes d'un espace loc. annelé dans un schéma affine \operatorname{Hom}_k(\mathcal{X}, \underset{\substack{\wr\wr \\ \operatorname{Spec} A}}{Y}) \xrightarrow{\ \simeq\ } \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(\underset{\substack{\wr\wr \\ \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)}}{A}, \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})) une flèche de retour, sans étiquette, est tracée sous la flèche \simeq

\forall x \in Soit u : A \to \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})

Pour tout x \in \mathcal{X}, soit \varphi(x) \in Y = \operatorname{Spec}(A) le noyau de A \xrightarrow{u} \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}) \xrightarrow{\varepsilon_x} k(x) ( \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}) \to \mathcal{O}_{\mathcal{X},x} \to k(x) )

d'où \varphi : \mathcal{X} \to Y

Si f \in A, \varphi^{-1}(U_f) = ens. des x \in \mathcal{X} tels que \varepsilon_x(u(f)) \neq 0 i.e. tels que u(f)_x inversible, i.e. \mathcal{X}_{u(f)} : il est ouvert, donc \varphi continue.

De plus, on a des A_f \longrightarrow \Gamma(U_f, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}) rendant f inversible, en homomorphismes \Gamma(U_f, \mathcal{O}_Y) \simeq A_f \longrightarrow \Gamma(U_f, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}) avec compatibilités pour restrictions, d'où un morphisme annelé.

\mathcal{X} est loc. annelé, car , … \varphi^{-1}(Y_f) = \mathcal{X}_{u(f)} et donc = quasi-rationnellement suivant…

Conséquence La catégorie (\mathrm{Sch})_{/k} se reconstitue connaissant \mathrm{Sch} = (\mathrm{Sch})_{/\mathbb{Z}} — et S = \operatorname{Spec} k comme (\mathrm{Sch})_{/S} : les k-schémas sont les S-schémas. Mais \mathrm{Sch}_{/S} important sans que S soit néc. affine.

grand diagramme : une première ligne d'inclusions, puis des chapeaux (\widetilde{\ } et \widehat{\ }) désignant des catégories de foncteurs ; un long contour trace un parallélogramme autour de la colonne centrale. On le donne par lignes

\begin{array}{ccccc} \underset{\substack{\wr\wr \\ (\mathrm{Alg}_k)^{\circ}}}{\overset{\substack{(\mathrm{Sch}\text{-}\mathrm{Aff})^{\circ} \\ \wr\wr}}{(\mathrm{Aff}_k)}} & \xhookrightarrow{\ \mathrm{incl}\ } & (\mathrm{Sch})_k & \hookleftarrow & (\mathrm{Locan})_k \end{array} au-dessus de (\mathrm{Aff}_k), « (\mathrm{Sch}\text{-}\mathrm{Aff})^{\circ} » est à demi lisible ; sous (\mathrm{Locan})_k, une flèche descend vers \widetilde{(\mathrm{Sch})_k}

\begin{array}{lcl} \widetilde{(\mathrm{Aff}_k)} \simeq \underline{\operatorname{Hom}}^{\sim}(\mathrm{Alg}_k, \mathrm{Ens}) & & \\ \widetilde{(\mathrm{Sch})_k} \xrightarrow{\ \mathrm{restr.}\ } \widetilde{\mathrm{Aff}_k} \simeq \underline{\operatorname{Hom}}^{\sim}(\mathrm{Alg}_k, \mathrm{Ens}) & & \text{(faisceaux pour la top. « de Zariski »)} \\ \qquad \downarrow \text{inc.} \qquad\qquad \downarrow \text{inc.} & & \\ \widehat{(\mathrm{Sch})_k} \xrightarrow{\ \mathrm{restr.}\ } \widehat{\mathrm{Aff}_k} \simeq \underline{\operatorname{Hom}}(\mathrm{Alg}_k, \mathrm{Ens}) & & \text{(pas plein\uncertain{fid.})} \\ \widehat{(\mathrm{Aff}_k)} \simeq \underline{\operatorname{Hom}}(\mathrm{Alg}_k, \mathrm{Ens}) & & \end{array} les flèches marquées « inc. » partent de \widetilde{\ } vers \widehat{\ } ; dans la dernière égalité de la deuxième ligne, un premier nom () est biffé avant \underline{\operatorname{Hom}}^{\sim}, et « \mathrm{Alg}_k » est écrit, en surcharge, dans les deux \underline{\operatorname{Hom}} de droite

Comment exprimer en termes d'algèbre commutative qu'un objet foncteur sur \mathrm{Aff}_k est un faisceau, i.e. un foncteur \mathrm{Aff}« Aff » ajouté sous la ligne, le mot suivant manque

[Interprétation en termes de foncteurs d'anneaux de \begin{array}{ccc} (\mathrm{Sch})_k & \simeq & \mathrm{Sch}_{/\operatorname{Spec} k = S} \\ \cap & & \cap \\ \widehat{C}_{/S} & \approx & \widehat{C}_{/S} \end{array} \qquad C = \mathrm{Aff}_k ]bloc au crayon ; le signe \approx est souligné d'un trait épais

\{Interprétation des sommes en termes faisceautiques \{(Notion de Sup de sous-faisceaux)\}

\{(pas d'ennui pour les produits \varprojlim (finies, disons) …)

fragment isolé en haut de la feuille, à l'encre, traversé de deux longs traits verticaux au crayon ; il ne se rattache pas au plan des pages voisines. Le reste de la feuille est vide

Or on vérifie facilement directement que (pour les sous-catégories str. pleines correspondantes \pi(C', \widehat{D}) des diagrammes) \pi(C, \widetilde{D}) = (le faire …)

on a \pi(C, \widetilde{D}) = \pi(C', \widetilde{D}) \cap \pi(C, \widehat{D}) \qquad\qquad \begin{array}{ccc} & \pi(C, \widetilde{D}) & \\ \swarrow & & \searrow \\ \pi(C', \widetilde{D}) & & \pi(C, \widehat{D}) \\ \searrow & & \swarrow \\ & \pi(C', \widehat{D}) & \end{array} les traits du losange sont tracés sans pointe, sauf celui qui descend de \pi(C, \widetilde{D}) vers \pi(C, \widehat{D})

donc on est ramené, grâce à l'utilisation analogue C \mathbin{\underset{\mathrm{Top}}{\times}} \widetilde{D} = \Bigl(C' \mathbin{\underset{\mathrm{Top}}{\times}} \widetilde{D}\Bigr) \cap \Bigl(C \mathbin{\underset{\mathrm{Top}}{\times}} \widehat{D}\Bigr) au-dessus du premier \times, un petit signe () surmonté du \sim

à prouver que \gamma(C, \widehat{D}) et \gamma(C', \widetilde{D}) sont des équivalences i.e. que les foncteurs \gamma(C, \widehat{D})_* et \gamma(C', \widetilde{D})_* sont ess. surj.

ou encore

le haut de la page est au crayon, la suite à l'encre

[Caractérisation des foncteurs (\mathrm{Sch})_k^{\circ} \to \mathrm{Ens} qui sont représentables. Idem : \widehat{\ } \mathrm{Alg}_k \to \mathrm{Ens} ]deux blancs sont laissés en ligne, soulignés, dans la seconde ligne du crochet

a) Immersions ouvertes de faisceaux [stable par chgt. de base, par composition]

b) Sup de sous-faisceaux d'un faisceau.

Prop. Soit F un foncteur (\mathrm{Sch})_{/S} \to (\mathrm{Ens}). Pour que F soit repr. (i.e. un schéma …) il f. et il s. qu'il satisfasse les conditions suivantes :

F un faisceau ; \exists (F_i)_{i \in I} famille de sous-faisceaux ouverts (ds cat. des faisceaux), tel que F = \operatorname{Sup} F_i () et chacun des F_i repr. i.e. un schéma ;

Cor On peut remplacer b) par

comme b), les F_i étant de plus des schémas affines.

Cor (Supposant S = \operatorname{Spec} k) Pour qu'un foncteur \mathrm{Alg}_k \to (\mathrm{Ens}) soit un faisceausic, pour « schéma » : la phrase exige la notion définie, non la condition a) ; le mot est bien « faisceau » sur la page, suivi d'un signe (lettre ou croix) qu'on ne lit pas il f. et il s. que ce soit un faisceau, et qu'on le puisse recouvrir par des sous-faisceaux ouverts affines …

Ainsi, la notion de schéma est explicitée sans recours à la notion d'espaces topologiques, faisceau d'anneaux, espaces loc. annelés ….

Applications a) Représentabilité du foncteur P(E) (E un module loc. libre sur S — p.ex. S = \operatorname{Spec} k, E un module de t.f. sur k)

b) Représentabilité de \operatorname{Spec} A

c) Produits fibrés (des \varprojlim finies)

d) \varprojlim filtrantes par des schémas affines au-dessus d'un schéma.

sommes disjointes et disjointes universellesdans une bulle en marge gauche, reliée par une flèche à c)

à l'encre ; la page reprend en cours de raisonnement, sur le produit de deux topos, et se rattache au fragment de la p. 15 plutôt qu'au plan de géométrie algébrique. Un long trait au crayon la traverse en diagonale

donc la question est si c'est une équiv. de topos (2) \qquad \widehat{C \times D} \overset{?}{\approx} \widehat{C} \times \widehat{D}

Si C et D sont stables par \varprojlim finies, alors C \times D l'est aussi ; et soit A de façon générale A est une telle catégorie, … sachant que \underline{\operatorname{Homtop}}(E, \widehat{A}) \simeq \bigl(\underline{\operatorname{Hom}}^{*}_{\mathrm{gex}}(A, E)\bigr)^{\circ}, \qquad u \longmapsto u^{*} on conclut et dans ce cas, (2) est une équivalence.

« Hom » souligné, indice « gex » (exact à gauche) ; l'astérisque en exposant est lu u^{*}

c) Dans le cas général, on peut écrire grâce à des morphismes \ill{} : C \to D \quad j : E \to \widehat{D} i : C \to C' \qquad j : E \hookrightarrow \widehat{D} \quad (\text{i.e. } E \approx \widetilde{D} \text{ pour une top. conv. sur } D) C' et D stables par \varprojlim finies, i pl. fidèle, j plongement de topos, et on en conclut un diagramme commutatif mod. is. can.

\begin{tikzcd} \pi(C, \widetilde{D}) \arrow[r, "{\alpha = \pi(i, j)}"] \arrow[d, "\gamma"'] & \pi(C', \widehat{D}) \approx \widehat{C' \times D} \arrow[d, "\gamma'"] \\ \widehat{C} \times \widetilde{D} \arrow[r, hook, "\beta = i \times j"'] & \widehat{C'} \times \widehat{D} \end{tikzcd}

sur la flèche verticale de droite, un signe \wr\wr ; sous \beta : « plongement de topos comme 2-produit de tels »

Si \gamma est une équivalence, donc \alpha est un plongement. Peut-on vérifier que \alpha l'est en fait ? à droite du diagramme

Or \alpha = \pi(i, j) est un composé \pi(C, \widetilde{D}) \xrightarrow{\ \alpha_0\ } \underset{\substack{\wr\wr \\ \widehat{C \times D}}}{\pi(C, \widehat{D})} \xrightarrow{\ \alpha_1\ } \underset{\substack{\wr\wr \\ \widehat{C' \times D}}}{\pi(C', \widehat{D})} où \widehat{C \times D} \to \widehat{C' \times D} est un plongement car C \times D \to C' \times D pl. fid.

donc on est ramené à voir seulement si \alpha_0 : \pi(C, \widetilde{D}) \longrightarrow \pi(C, \widehat{D}) \simeq \widehat{C \times D} est un plongement, à le foncteur image inverse associé est directe associé est F \longmapsto (X \longmapsto a(FX)) u \longmapsto j_* \circ u qui est bien pl. fidèle.

Corollaire , \gamma(C, E) : \pi(C, E) \to \widehat{C} \times \widetilde{D} est un plongement. (Car \gamma' l'est, et \beta aussi, donc \beta\gamma l'est, \gamma aussi.)

Notons que \widehat{C} \times \widetilde{D} est la sous-catégorie str. pleine de \widehat{C'} \times \widehat{D} \approx \widehat{C' \times D}, celle formée des F \in \operatorname{Ob} \widehat{C' \times D} tels que (désignant par p et q les deux projections \widehat{C' \times D} \rightrightarrows \widehat{C'}, \widehat{D}) on ait \begin{cases} p_*(F) \in \widehat{C} & (\text{identifié à la sous-catégorie str. pleine image essentielle de } i_* : \widehat{C} \to \widehat{C'}) \\ q_*(F) \in \widetilde{D} \end{cases}

Prouvons que c'est (l'image ess. de) \pi(C, D) — ce qui prouvera que \gamma est une équivalence.

à l'encre, sur papier blanc réglé ; titre souligné de sa main

Géom. Algébrique

Compléments sur le formalisme des \varprojlim et des sommes dans \mathrm{Aff}_k.

a) Les sommes finies sont disjointes et universelles X = \coprod_{i \in I} X_i \longleftarrow X_i

X_i \to X un mono et = une imm. fermée (A = \prod A_i \to A_i surjectif) X_i \times_X X_j = \emptyset si i \neq j i.e. A_i \otimes_A A_j = 0 si i \neq j (car égal à 1 dans A_i, 0 dans A_j ) \forall X' \to X, avec X'_i \to X_i on a X' \xleftarrow{\ \simeq\ } \coprod X'_i i.e. \forall A = \prod A_i \to B, B décompose en \prod B_i, et …

\begin{array}{ccc} X' & \longrightarrow & X \\ \uparrow & & \uparrow \\ X'_i & \longrightarrow & X_i \end{array}

b) Dans le cas où Donc les produits (ou produits fibrés) sont distributifs par rapport aux sommes \Bigl(\coprod_i X_i\Bigr) \times \Bigl(\coprod_j Y_j\Bigr) \simeq \coprod_{i,j} (X_i \times Y_j) \Bigl[\; X \times \underbrace{\coprod Y_i}_{Y} \longleftarrow \coprod_i X \times Y_i \quad \ldots \;\Bigr] \qquad \begin{array}{ccccc} X \times Y_i & \longrightarrow & X \times Y & & X \\ \downarrow & & \downarrow & & | \\ Y_i & \longrightarrow & Y & \text{---} & e \end{array}

Donc le foncteur (\mathrm{Ens\ finis}) \longrightarrow \mathrm{Aff}_k, \qquad \Gamma \longmapsto \Gamma_k = \coprod_{\Gamma} e_k commute aux \varprojlim finies produits finis, en particulier aux et = aux produits fibrés, donc aux \varprojlim finies. Donc transforme monoïde (groupe) fini en monoïde (groupe) algébrique affine.

Du point de vue alg. comm., on a \Gamma_k = V_{k^{\Gamma}} \qquad k \to k^{\Gamma} \ \text{contravariant en } \Gamma \ (\text{algèbre produit} \simeq \operatorname{Fonc}(\Gamma, k)) il écrit tantôt \Gamma, tantôt I, pour le même ensemble fini ; on garde \Gamma dans la formule, I là où il l'écrit

k^{I} ou k[I] (gare aux confusions avec polynômes), si I a une loi de composition I \times I \to I, cela définit k[I] \to k[I \times I] \simeq k[I] \otimes k[I] la comultiplication ….

Le foncteur I_k est le foncteur « ensemble des décompositions idempotentes parfaites indexées par I »marge gauche, reliée par un trait à I_k = V_{k^I}

\operatorname{Spec} I_k = \operatorname{Spec} k^{I} = \coprod_{I} \underbrace{\operatorname{Spec}(k)}_{S} \qquad \text{\uncertain{envoyé} dans $S$ \uncertain{à} \uncertain{façon} \uncertain{évidente}.}

b) Produits fibrés dans le cas où l'un des deux morphismes est un monomorphisme. Alors les diagrammes correspondants sur les spectres sont cartésiens \begin{array}{ccc} \mathfrak{X} & \dashrightarrow & \mathfrak{X}' \\ \downarrow & & \vdots \\ \mathfrak{Y} & \longleftrightarrow & \mathfrak{Y}' \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{ccc} X & \longrightarrow & X' \\ \downarrow & & \downarrow \\ Y & \longrightarrow & Y' \end{array} à gauche, des lettres gothiques — le même tracé qu'à la p. 21, où \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y} est un monomorphisme d'espaces algébriques affines — ; à droite, des romaines, X, Y, qui sont les spectres dont la phrase dit que le carré est cartésien. La flèche du haut et celle de droite du carré gothique sont en pointillé, celle du bas porte deux pointes

De plus, si \mathfrak{Y}' \to \mathfrak{Y} est une imm. fermée (resp. ouverte) — plus généralement si celle correspond à A \to A_S^{-1}lu A S^{-1}, localisation, disons l'homéomorphisme dans, le diagramme des = pour \mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}, donc la top. de X' est la top. induite.

Cas particulier Intersection de deux sous-objets —

c) \begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{\ u\ } & B \\ Y & \xleftarrow[\ \varphi\ ]{} & X \end{array} \qquad \text{formule pour } \overline{\varphi(Z)}, \ Z = V(J) Condition pour que \varphi soit dominant : \operatorname{Ker} \varphi \subset \operatorname{Nil} A « \operatorname{Ker}\varphi » sur la page ; il s'agit du noyau de u