Cote n° 161-4, pages 1–20

Cote n° 161-4 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Introduction à géométrie algébrique : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [après 1961] — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration

Introduction à la géométrie algébrique

titre porté au crayon, de sa main, sur l'onglet de la chemise (p. 1) : « Introduction à Géom. Alg. » ; la chemise ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page ici

2les pp. 2 à 5 sont une suite paginée par lui 1 à 4 en tête de page (p. 2 $=$ sa p. 1), écrite à l'encre bleue, avec des reprises à l'encre noire

Descente plate

Module plat sur un anneau […]

Algèbre plate $B/A$ | Faisceautisation de la notion de platitude pour des espaces i.e. pour $f : X \to Y$.

Proposition $B$ algèbre sur $A$. Alors $B$ fid. plat ssi $B$ est plat et $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ est surjectif ([…] fait, […]) [en outre, $\forall$ idéal [premier] $\mathfrak{J}$ de $A$, $A/\mathfrak{J}A \leftarrow B/\mathfrak{J}B$]la flèche est tracée ainsi, de $B/\mathfrak{J}B$ vers $A/\mathfrak{J}A$ ; la suite de la page établit l'injectivité de $A/\mathfrak{J} \to B/\mathfrak{J}B$

$N/c$ […] $A/\mathfrak{p}$ $\leftarrow$

$B$ fid. plat$/A$ $\Rightarrow$ $A \to B$ injectif (car si $\mathfrak{J} \subset A$ est un idéal non nul tel que $\mathfrak{J} \to A$ inj., le noyau $\mathfrak{J}$ doit satisfaire donc $\mathfrak{J} \otimes_A B \to B$ injectif donc $\mathfrak{J}B \neq 0$)

$\forall$ idéal $\mathfrak{J} \subset A$, $\mathfrak{J} = \mathfrak{J}B \cap A$ ($A/\mathfrak{J} \to B/\mathfrak{J}B$ injectif)

p.ex. si $\mathfrak{J}$ premier $A/\mathfrak{p} \hookrightarrow B/\mathfrak{p}B$ injectif

Donc $\operatorname{Spec} B/\mathfrak{p}B$ Ind.mot cerclé, écrit sur le début biffé de la ligne $\exists$ un idéal premier $\mathfrak{q}$ de $B$ qui induit $\mathfrak{p}$

Donc $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ surjectif

Inversement si $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ surj. et $B$ plat sur $A$, prouvons qu'il est fid. plat : $M$ un $A$-module $\neq 0$, prouvons $M \otimes_A B \neq 0$. On peut supposer $M$ de t.f. $\neq 0$, soit $M' \subset M$ de t.f. $\neq 0$, monogène de t.f. il suffit de prouver $M' \otimes B \neq 0$ (car il est $\subset M \otimes B$). Je me ramène aux quotients de la forme $A/\mathfrak{m}$ ($\mathfrak{m}$ idéal maximal), alors […] $M$ est monogène, prouvons que $B/\mathfrak{m}B \neq 0$, clair car $\mathfrak{m}$ induit par un idéal premier de $B$.

Déf Soit $f : X \to Y$ morphisme de espaces annelés schémas, $M$ […] $\mathcal{O}_X$ schémas. On dit que $M$ plat$/Y$ ssi $f$ est fid. plat ssi la définition s'arrête là ; un trait oblique suit

a) b) pour morphismes plats et fid. plats

Prop Si $f : X \to Y$ est plat, il induit des surjections

a)$\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{X,x} \to \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{Y,y}$ ;
b)Tout pt maximal de $X$ est au-dessus d'un pt maximal de $Y$.

$M$ $A$-module. $M$ fid. plat $\Longleftrightarrow$ $\forall \mathfrak{p}$ premier […] de $A$, $M \otimes_A k(\mathfrak{p}) \neq 0$ Nécessaire, suffisant : … Cor Cas $B$ une $A$-algèbre : $\Longleftrightarrow$ $B$ plat et $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ surj. Cor $A \to B$ local […] : $B$ plat $\Longleftrightarrow$ $B$ fid. plat ([…]) $M$ […]marge gauche, écrite en travers de la page, sur plusieurs colonnes ; d'autres bribes (« $B$ fid. plat$/A$ », « $A$ surj. », « $A \to$ ») s'y lisent sans ordre sûr

3sa p. 2

Cor Si $f$ est loc. de présentation finie et plat, $f$ est [univ.]« univ. » est ajouté au-dessus ouvert.

Prop Si $S' \xrightarrow{f} S$ est fid. plat, l'application $T \mapsto f^{-1}(T)$ des sous-schémas de $S$ vers les sous-schémas de $S'$ est injective et […].

Cor Si $X, Y$ sur $S$, alors $\operatorname{Hom}_S(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{S'}(X', Y')$ injective.

Lemme \[ \begin{array}{ccc} X & \longleftarrow & X' \\ {\scriptstyle f}\downarrow & \text{cart.} & \downarrow{\scriptstyle f'} \\ Y & \xleftarrow[\text{plat}]{} & Y' \end{array} \qquad\qquad f_*(F)' \xrightarrow{\ \sim\ } f'_*(F') \]

\[ \begin{array}{ccc} Z' & \longrightarrow & Z \\ {\scriptstyle g'}\swarrow & & \swarrow{\scriptstyle g} \text{ quasi-compact} \\ S' & \longrightarrow & S \end{array} \qquad g(Z) = T \]

Th Soit $f : S' \to S$ un morphisme plat. Pour […] […] fermée $T$ de $S$ telle que [image d'un morphisme] $Z \to S$ quasi-compact, … on a \[ f^{-1}(\overline{T}) = \overline{f^{-1}(T)} . \]

Dém Supposons $X, Y, Z$ affines. \[ \begin{array}{ccc} C' & \longleftarrow & C \\ \uparrow & & \uparrow{\scriptstyle u} \\ A' & \longleftarrow & A \end{array} \] \[ \text{Alors } \overline{T} = V(\mathfrak{J}) \ (\mathfrak{J} = \operatorname{Ker} u), \quad f^{-1}(\overline{T}) = V(\mathfrak{J}A'), \quad \overline{f^{-1}(T)} = V(K), \ K = \operatorname{Ker} u' \]

Autre dém On se ramène au […] : car $g$ dominant $\Rightarrow$ $g'$ dominant, et $g$ dominant, $S' \neq \emptyset$ $\Rightarrow$ $Z' \neq \emptyset$ ; $\overline{g'(Z')}$. Mais cela marche pour tout morphisme générisant, comme on s'en rendra compte aussitôt avec Cor. Mais : Soit $g : Z \to S$ qu.-cpt. Alors $g$ dominant Mais pour tout pt maximal $s$ de $S$, $Z_s \neq \emptyset$.deux ajouts de la colonne de droite, reliés par des traits au théorème ; l'ordre de lecture est incertain

Cor Si $f$ fid. plat [et quasi-compact], la topologie de $S$ est quotient de celle de $S'$. [$f(S')$ induite par $S$]

$F = f^{-1}(\ldots) = \overline{F} \ldots f^{-1}(\overline{f(F)}) \ldots$ […]ligne entière biffée

Il faut prouver que si $\overline{T}'$ est une fermée de $S'$ saturée par $f$, alors $\overline{T} = f(Z')$ est rel. fermé dans $\Sigma = f(S')$, Or par $\overline{T} \cap Z = T$ i.e. $f^{-1}(T) = f^{-1}(\overline{T})$ ok.sous les deux membres de la dernière égalité, $T'$ est écrit avec des signes $=$ verticaux

Cor (si $f : S' \to S$ fid. plat qu.-cpt (ou univ. […])) \[ \begin{array}{l} F(S) \to F(S') \rightrightarrows F(S'') \\ O(S) \to O(S') \rightrightarrows O(S'') \\ LF_{rc}(S) \to LF_{rc}(S') \rightrightarrows LF_{rc}(S'') \\ {}[LF(S) \to LF \rightrightarrows LF(S'')\ ?] \end{array} \quad \left(\begin{array}{l} \text{où } F = \text{parties fermées} \\ O = \text{parties ouvertes} \\ LF \text{ parties loc. fermées \uncertain{rétrocompactes}} \\ S'' = S' \times_S S' \end{array}\right) \text{ est \emph{exact}} \] Vrai si $f$ surj. … $P(S) \to P(S') \rightrightarrows P(S'')$ ($P =$ parties)

structure induite […]marge gauche, en oblique, avec un trait vers la ligne des $LF$

car $S'' \to [S'] \times_{[S]} [S']$ surjectif. Donc l'exactitude des deux [deux] premières suites simples (car la top. de $S$ est quotient, […] car est injective).

Cor Une partie $T$ de $S$ est fermée (fermée, loc. fermée rétrocompacte) ssi $f^{-1}(T)$ l'est. Si $T$ est l'image d'un morphisme qu.-cpt, alors $T$ loc. f. ssi $f^{-1}(T)$ l'est…

Pour le troisième cas, on est ramené aux deux premiers en introduisant l'adhérence et réutilisant le Th.

4sa p. 3 ; un titre « Descente » est biffé en tête

(1) descente de propriétés de morphismes

Prop Soit $S' \to S$ surjectif. Pour qu'un $S$-morphisme $g : X \to Y$ soit surjectif (resp. radiciel) il f. et il s. que $g' : X' \to Y'$ le soit. [Si $f'$ inj. — bij. — […] ou quasi-injectif, de même $f$]

Prop Soit $f : S' \to S$ surjectif qu.-cpt [(resp. fid. plat qu.-cpt)]. Alors $f$ est quasi-compact (resp. de t.f., de prés. finie, loc. de t.f., loc. de prés. finie) ssi $f'$ l'est.« $f$ », « $f'$ » sur la page ; le contexte demande $g$, $g'$

Le premier […] immédiat. On est ramené […] […].

\[ \begin{array}{ccc} X' & & X \\ \downarrow{\scriptstyle g'} & & \downarrow{\scriptstyle g} \\ Y' & \longrightarrow & Y \\ & \searrow \quad \swarrow & \\ S' & \longrightarrow & S \end{array} \]

Lemme Soit $A \to A'$ fid. plat, $B$ $A$-algèbre. Alors $B$ est de t.f. [(resp. pr. f.)] ssi $B'$ l'est.

Les mêmes arguments, pour modules, donnent

Cor. Soit $f : S' \to S$ fid. plat qu.-cpt, $F$ faisceau qu.-coh. sur $S$. Alors $F$ de t.f. (pr. f.) ssi $F'$ l'est.

On prouve de même pour « loc. libre de t.f. » $\{$loc. libre de rang $n$ dém. : inversibilité$\}$

Prop $f$ fid. plat. Alors $g$ est plat (fid. plat) ssi $g'$ l'est [on peut prendre modules]

(2) descente de propriétés topologiques et conséquences

Th. …

Soit $S' \to S$ fid. plat (et quasi-compact) [(ou univ. générisant)]

Cor Soit $g : X \to Y$ un $S$-morphisme, […]. Alors si $g'$ est ouvert (resp. fermé [générisant], univ. homéom. dans, resp. un homéom.), $f$ de même.« $f$ de même » sur la page

\[ \begin{array}{ccc} X' & \longrightarrow & X \\ {\scriptstyle g'}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle g} \\ Y' & \xrightarrow[\ f_Y\ ]{} & Y \\ & & \\ S' & \xrightarrow[\ f\ ]{} & S \end{array} \] Quelques contre-exemples

Donc $f$ univ. ouvert (resp. univ. […] …) ssi $f'$ l'est.

Cor $f$ séparé (propre) ssi $f'$ l'est

Cor $f$ une imm. (ouverte) ssi $f'$ l'est. On se ramène au cas d'une imm., et pour cela il suffit […] […] ([…]), donc un homéomorphisme univ., reste à prouver que $\mathcal{O}_Y \to f_*(\mathcal{O}_X)$ est un isom., ce qui se déduit après chgt. de base, ok.

[…] Question […] […] … OK.bloc en partie biffé, à droite

surj., radiciel, […]
plat, fid. plat
[…]
qu.-cpt, qu.-sép., [coh.,] t.f., p.f., loc. t.f., loc. p.f.
séparé, propre, […] univ. fermé, univ. ouvert, homéo. univ., […]
Immersions (imm. fermées, imm. ouvertes)
[…]
affines, entiers, finis,
quasi-affines, quasi-finis
plat fid.
{}[lisse, net, étale
formellement lisse (?), formellement étale ….

un trait relie cette liste, en bas à gauche, aux corollaires de la page ; en bas à droite, « TSVP »

5sa p. 4

(3) Descente de […] faisceaux […] [des sous-schémas] qu.-coh., et des morphismes de morphismes de schémas, de schémas affines.

Prop $f : S' \to S$ fid. plat et qu.-cpt, $F$ qu.-coh. sur $S$. Alors $\mathrm{Ssf}(F) \to \mathrm{Ssf}(F') \rightrightarrows \mathrm{Ssf}(S'')$ est exact. On se ramène au cas $S$ affine, puis $S'$ affine, et au résultat conn. d'algèbre commutative.bloc cerclé et barré d'obliques ; à gauche, $N' \cap M = N_0$, et les lignes $M$, $\hat{M}'$, $M''$ au-dessus de $A \to A' \rightrightarrows A''$

Th Soit $f : S' \to S$ fid. plat qu.-cpt. Alors $f$ est de descente effective (univ.) pour la catégorie fibrée des Modules qu.-coh.

Expliquer ce que cela signifie.

Cor […] Soit $F$ qu.-coh. sur $S$. Alors suite exacte \[ \mathrm{Ssf}(F) \to \mathrm{Ssf}(F') \rightrightarrows \mathrm{Ssf}(F'') \]

Corollaire On a des suites exactes \[ \begin{array}{l} \struck{\mathrm{Ssf}(S)} \\ \mathrm{Ssf}(S) \to \mathrm{Ssf}(S') \rightrightarrows \mathrm{Ssf}(S'') \\ \mathrm{Sso}(S) \to \mathrm{Sso}(S') \rightrightarrows \mathrm{Sso}(S'') \\ \mathrm{Ssrc}(S) \to \mathrm{Ssrc}(S') \rightrightarrows \mathrm{Ssrc}(S'') \end{array} \] Peut-on descendre les sous-schémas pas nécess. rétroc., non ouverts ?

Corollaire $f$ est de descente (univ.) pour la catégorie fibrée des schémas sur d'autres : \[ \operatorname{Hom}_S(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{S'}(X', Y') \rightrightarrows \operatorname{Hom}_{S''}(X'', Y'') \] \[ \begin{array}{ccccc} X \times_S Y = Z & & Z' & & Z'' \\ \uparrow\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ Y & & Y' & & Y'' \end{array} \qquad S \to S' \rightrightarrows S'' \] On le voit par le corollaire précédent si $Y$ est qu.-sép. sur $S$. Mais on se ramène aisément au cas $S$, $Y$ affines…

On retrouve que $g'$ un iso $\Rightarrow$ $g$ un iso

Corollaire Pour que $f'$ soit imm. fermée resp. ouverte, [arbitraire] il f. et il s. que $f$ le soit […]un bloc à droite est rayé de hachures obliques et ne se lit pas

Corollaire Descente d'Algèbres qu.-coh.

Cor Th [Si $f$ fid. plat qu.-cpt, alors] […] $f$ est un morphisme de descente eff. (univ.) pour la cat. des schémas relatifs affines

Cor $g$ […] affine $\Longleftrightarrow$ $g'$ affine

$g$ quasi-affine $\Longleftrightarrow$ $g'$ quasi-affine [car $g$ qu.-affine $\Longleftrightarrow$ $g$ coh. et $X \to \operatorname{Spec} g_*(\mathcal{O}_X)$ immersion]

$g$ entier [(fini, fini loc. libre)] $\Longleftrightarrow$ $g'$ entier (fini, fini loc. libre)

6sa p. 5, dernière de la suite ; le bas de la feuille est vide

Pour ce dernier point, on est ramené au

Lemme. $A'$ fid. plat sur $A$, $B$ une $A$-algèbre. Alors $B$ fini (entier) sur $A$ ssi $B'$ l'est sur $A'$.

Fini est une histoire de module. Entier s'y ramène en regardant les $A[x]$, $x \in B$.

(4) Descente de l'amplitude

\[ \begin{array}{ccc} X & & X' \\ \downarrow & & \downarrow \\ Y & \longleftarrow & Y' \\ \downarrow & & \\ S & \longleftarrow & S' \end{array} \qquad f \text{ fid. plat qu.-cpt} \]

$L$ (très) ample rel$/Y$ $\Longleftrightarrow$ $L'$ (très) ample rel.$/Y'$

On peut supposer $X$ cohérent sur $Y$, donc $g_*(L)$ qu.-coh. et $g_*(L)' \simeq g'_*(L')$.

Très ample signifie que 1) $g^*(g_*(L)) \to L$ épim., donc $X \to P(g_*(L))$ défini ; 2) $g^*(g_*(L)) \ldots$ $X \to P(g_*(L))$ une immersion.

Si $g$ de t.f., « ample » se ramène à « très ample », d'où descente.

Pour le cas général, on utilise le critère que pour $F$ qu.-coh. de t.f. sur $S$ [pourvu que $Y$ qu.-cpt], à $n$ grand, $f^*(f_*(F(n))) \to F(n)$ épi.

On retrouve que $g$ quasi-affine $\Longleftrightarrow$ $g'$ qu.-affine.

NB Les seuls exemples de propriétés de morphismes que l'on ne descende pas […] sont les morphismes projectifs et quasi-projectifs.

(5) Questions d'effectivité de données de descente

7Morphismes radiciels. Soit $f : X \to Y$ un morphisme de schémas. Conditions équivalentes :

a)$f$ univ. injectif ;
b)$\forall y \in Y$, $X_y$ est radiciel sur $k(y)$, i.e. […] a au plus un point $x$, et $k(x)$ est une ext. radicielle de $k(y)$ ;
c)$\forall$ corps $K$, $X(K) \to Y(K)$ est injective ;
d)$\delta_f : X \to X \times_Y X$ est surjective.

Ces morphismes sont dits radiciels. (Une immers. est radicielle, donc une immers., comme $\delta_f$, l'est.) Satisfont a) b) et c) ($gf$ radiciel $\Rightarrow$ $f$ radiciel).

Prop Soit $f : X \to Y$ un morphisme entier radiciel [surjectif]« surjectif » est ajouté au-dessus de la ligne, avec un trait de renvoi. Alors c'est un homéom. […] universel.

On peut prouver la réciproque — mais c'est nettement plus difficile.

Exemples 1) $k'/k$ ext. radicielle (p. ex. clôture parfaite) : $X_{k'} \to X_k$ est entier radiciel surjectif, donc un homéom. (universel).

2) Courbe : cusp, et sa normalisation.

Morphismes univ. ouverts

Condition néc. pour qu'un morphisme soit ouvert : il est générisant. Cette condition est suffisante si $f$ loc. de prés. finie. Donc morphismes univ. ouverts sont univ. générisants, et réciproquement si $f$ est loc. de prés. finie.

Morphismes univ. ouverts et univ. générisants satisfont 1), 2).

8Schémas quasi-affines / morphismes quasi-affines (quasi-compacts, et donc isom. à des sous-schémas ouverts d'un schéma affine)

Conditions équivalentes sur schéma $X$ cohérent, $A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ :

a)$X$ quasi-affinele mot est repris par-dessus ; on lit « quasi-affine » ;
b)$X \to \operatorname{Spec} A$ une immers. ouverte ;
b')$X \to \operatorname{Spec} A$ un homéomorphisme dans ;
c)$\mathcal{O}_X$ est ample, i.e.

c')les $X_f$ forment une base top. de $X$ ;
c'')les $X_f$ affines forment base top. de $X$ ;
c''')tout $F$ quasi-cohérent engendré par ses sections ;
c'''')id. pour $F$ qu.-coh. $\subset \mathcal{O}_X$ ;

d)$\exists$ faisceau ample [inversible]« inversible » (abrégé) est écrit au-dessus du mot biffé $L$ tel que $L$ et $L^{-1}$ amples ;
d')tout Module inv. $L$ est ample.

Morphismes quasi-affines : stable par changement de base, par composition. Les immers. quasi-compactes sont quasi-affines, donc si $f$ qu.-sép., $\delta_f$ qu.-affine. $gf$ qu.-affine et $g$ qu.-sép. $\Rightarrow$ $f$ qu.-affine.

Th Si $f$ de type fini, […] à fibres finies ($f$ quasi-fini) et $f$ séparé, alors $f$ quasi-affine (donc quasi-projectif).

Morph. quasi-projectif : de t.f. $+$ $\exists L$ $f$-ample.

Propre $=$ univer. fermé, séparé, de t.f. projectif $=$ propre $+$ quasi-projectif $=$ […] fermé $+$ quasi-projectif

entier

tableau encadré, flèches doubles d'implication ; « affine de t.f. » est écrit contre une flèche oblique qui descend de « fini » vers « quasi-affine de t.f. » : on en fait un nœud intermédiaire. Dans la marge gauche, une flèche barrée venant de « affine de t.f. » entre dans le cadre

\[ \begin{array}{ccccccc} \text{imm. fermée} & \Longrightarrow & \text{fini} & \Longrightarrow & \text{entier} & \Longrightarrow & \text{affine} \\ \Downarrow & & \Downarrow & & \Downarrow & & \Downarrow \\ \text{imm. qu.-cpte} & & \text{proj} & \Longrightarrow \text{ propre } \Longrightarrow & \text{univ. fermé} & & \\ \Downarrow & & \Downarrow & & & & \\ \text{quasi-affine de t.f.} & \Longrightarrow & \text{qu.-proj} & & & & \text{séparé} \end{array} \] avec, en outre : $\text{fini} \Rightarrow \text{affine de t.f.} \Rightarrow \text{quasi-affine de t.f.}$ ; $\text{propre} \Rightarrow \text{séparé}$ ; $\text{qu.-proj} \Rightarrow \text{séparé}$.

Th. (a) fini $=$ propre à fibres finies (cas noethérien)

$=$ projectif à fibres finies

(b) séparé […] $\Rightarrow$ […] affine […] à fibres finiesligne entière biffée ; « affine » y est récrit au-dessus

9EGA II 4.5

$X$ cohérent, $L$ inversible. Conditions équivalentes :

a)les $X_f$ forment base de la topologie de $X$ ($f \in S_n = \Gamma(X, L^{\otimes n})$, $n \geqslant 1$) ;
a')les $X_f$ affines forment une base … ;
b)pour tt $F$ quasi-cohérent [de t.f.] sur $X$, $F(n)$ est engendré par ses sections, pour $n$ grand [en somme : $F$ quotient d'un $\mathcal{O}_X^N(-n)$] ;
b')comme b), avec $F \subset \mathcal{O}_X$.

Si Il suffit que, si $X$ est au-dessus de $S$ affine, qu'il […] :

c)$\exists n > 0$ tel que $L^{\otimes n}$ très ample rel$/S$ ;
c')$\exists n_0 > 0$ tel que $L^{\otimes n}$ très ample pour $n \geqslant n_0$.

Cette condition est aussi nécessaire si $X$ de t.f. sur $S$.

Définition $L$ est dit ample s'il satisfait les conditions équivalentes a) à b'). Si $Y$ […] On[…]. $f : X \to Y$, morphisme cohérent on dit que $L$ est $f$-ample (ou ample rel$/Y$) ssi si $\exists$ recouvrement ouvert affine de $Y$ par des $Y_i$, tel que ($X|Y_i$ cohérents) $L|(X|Y_i)$ ample pour tt $i$.

Il suffit Alors c'est vrai pour tt $i$, et on peut utiliser aisément les […] critères b), b') (pour $Y$ qu.-cpt dans ce cas).

NB Très ample Si $\exists n$ tel que $L^{\otimes n}$ soit très ample rel$/Y$, alors il est ample rel$/Y$ ; la réciproque est vraie si $f$ est de t.f. et $Y$ qu.-cpt.

Prop Soit \[ X \xrightarrow{\ f\ } Y \xrightarrow{\ g\ } Z, \qquad L \text{ sur } X,\ M \text{ sur } Y, \quad g \text{ qu.-cpt.} \] \[ \left.\begin{array}{l} L \text{ ample rel}/Y \\ M \text{ ample rel}/Z \end{array}\right\} \Longrightarrow \exists\, n_0 \text{ tel que } n \geqslant n_0 \text{ implique } L \otimes f^{*}(M^{\otimes n}) \text{ ample rel}/Z . \] (idem avec très amples)

10page de plan, très chargée : listes, accolades, renvois fléchés d'un bloc à l'autre, taches d'encre. On transcrit les blocs dans l'ordre de lecture, de haut en bas, la colonne de droite après celle de gauche ; les notes marginales tournées de la gauche ne se lisent qu'en partie

Schémas irréductibles, connexes, noethériens (attention !), loc. noeth. / réduits, intègres ($=$ irréd $+$ réduits) / normaux réguliers (anneaux locaux n.) réguliers ([…])

globalMorphismes qu.-cpts, de type fini : a) b) (cas de $V(M)$, $P(M)$)
localloc. de t.f. : a) b) c) ; loc. de prés. f. : a) b) c)

[$f$ […] loc. de t.f. $\Rightarrow$ $\operatorname{diag}_f$ loc. de prés. finie]

immersions : a) b) c) ; imm. fermées, ouvertes [surjectives] a) b)

Sous-schémas ouverts, fermés [transitivité, stable par im. inverse]

Morphismes séparés [a) b) c)] : diagonale fermée $\Longleftrightarrow$ noyaux de couples dedans fermés $\Longleftrightarrow$ principe d'identité pour morphismes des schémas réduits dedans.

Ex $\{$immo — donc applic. diag., noyaux, diag. ; morphismes affines ; $P(V) \to S\}$

[…]

Schémas séparés (i.e. séparés sur n'importe quoi). $\Rightarrow$ toute intersection […] de $S$-affines […] affines sur $S$ i.e. $X, Y$ […] $\Rightarrow$ $X \times_S Y$ affine.

Morphismes quasi-séparés (a) b) c)) ([…] schémas quasi-séparés) : diagonale quasi-compacte $\Longleftrightarrow$ noyaux de couples dedans quasi-compacts $\Longleftrightarrow$ sections qu.-cpts ; [si base quasi-sép. : $\Longleftrightarrow$ […] l'intersection de deux ouverts qu.-cpts est qu.-cpte] $\Longleftrightarrow$ tout schéma […] $X$ qu.-cpt […] qu.-compact […] $X$]

[…] qu.-cpt (de t.f.) et qu.-sép. $\Rightarrow$ […] (qu.-sép.)marge gauche, écrite en oblique, avec plusieurs mots biffés ; une ligne biffée à droite de la marge ne se lit pas

Morphismes cohérents $=$ qu.-cpt qu.-sép. : a) b) [$gf$ coh. et $g$ qu.-sép. $\Rightarrow$ $f$ coh.]

Si $f : X \to Y$ qu.-coh.sic, pour « cohérent » et $F$ qu.-coh. sur $X$, alors $f_*(F)$ (et les $R^i f_*(F)$) quasi-cohérents. (schémas cohérents)

NB Tous les schémas envisagés par les Anciens étaient de t.f. et séparés sur des corps. La plupart des schémas qu'on envisage couramment on pourrait les supposer séparés ; pratiquement tous ceux qu'on rencontre sont quasi-séparés. Beaucoup sont qu.-cpts — mais il y en a d'importants qui ne le sont pas.

[Morphismes de prés. finie a) b) [$gf$ de prés. finie et $g$ de t.f. et qu.-sép.] ($=$ loc. de prés. finie et cohérents)]

Toutes les notions sont locales en basun trait fléché relie ce cadre au bloc des morphismes de prés. finie et à la ligne suivante

$\to$ Yoga des […] : […] limite.

colonne de droite de la page

a)si $f \in \mathcal{M}$, $f' \in \mathcal{M}$ ($\Rightarrow$ tout isom. $\in \mathcal{M}$) ;
b)si $f, g \in \mathcal{M}$, $gf \in \mathcal{M}$ ;

\[ \begin{array}{ccc} X & \longleftarrow & X' \\ \downarrow & \text{cart.} & \downarrow \\ Y & \longleftarrow & Y' \end{array} \qquad\qquad X \xrightarrow{\ f\ } Y \xrightarrow{\ g\ } Z \] $\Longrightarrow$ ($f_1 \in \mathcal{M}$, $f_2 \in \mathcal{M}$ $\Rightarrow$ $f_1 \times f_2 \in \mathcal{M}$)

$\Longrightarrow$ ($gf \in \mathcal{M}$, $\operatorname{diag}(g) \in \mathcal{M}$ $\Rightarrow$ $f \in \mathcal{M}$) $(*)$

c)si $gf \in \mathcal{M}$, $f \in \mathcal{M}$ [en présence de a) et b), équivaut à : toute section est $\in \mathcal{M}$, donc diagonales $\in \mathcal{M}$] ; ou : noyaux $\in \mathcal{M}$ [si c'est local en bas et vrai pour imm. ouv. et vrai au cas affine].

Ex : morphisme diagonal, sections, noyaux.

\[ \begin{array}{lcl} \operatorname{diag} g \in \mathcal{M} & \Longleftrightarrow & \forall S' \to S, \text{ les sections de } Y' \text{ sur } S' \text{ sont } \in \mathcal{M} \\ g : Y \to S & \Longleftrightarrow & \forall (u, v) : X \rightrightarrows Y \text{ sur } S,\ \operatorname{Ker}(u, v) \to X \text{ est } \in \mathcal{M} \\ & \Longleftrightarrow & \forall f : X \to Y,\ \Gamma_f : X \to X \times_S Y \text{ est } \in \mathcal{M} \\ & \Longleftrightarrow & gf \in \mathcal{M} \Rightarrow f \in \mathcal{M} \end{array} \]

$(*)$

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"'] \arrow[dr, "\Gamma_f"] & \\
Y \arrow[d, "g"'] & X \times_S Y \arrow[l, "\mathrm{pr}_2"'] \arrow[d, "\mathrm{pr}_1"] \\
S & X \arrow[l, "gf"]
\end{tikzcd}

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "\Gamma_f"] \arrow[d, "f"'] & X \times_S Y \arrow[d, "f \times \mathrm{id}_Y"] \\
Y \arrow[r, "\operatorname{diag}_Y"'] & Y \times_S Y
\end{tikzcd}

Généralités : local en bas ; stable par chang. de base ; stable par composition $\Longrightarrow$ la flèche double ne mène à rien sur la page

Plan

a)Traversée du désert
b)Passage au quotient [et langage faisceautique] $\{$descente fid. plat$\}$
c)Notion « géométrique » sur un corps
d)[…] Ensembles constructibles, passage à la limite

11autre plan, où de longues barres obliques traversent le premier bloc, comme pour le marquer fait ; il reste lisible

Localisé d'un schéma en un point, schéma local, morphisme d'un schéma local dans un schémaligne de tête reprise plus bas, au I) de la colonne de droite

I Morphismes quasi-compacts, de type fini, loc. de prés. finie

immersions $\{$ouvertes, fermées$\}$ immersions surjectivesmarge gauche, sous un bloc noirci

Sous-schémas ouverts — fermés

morphismes séparés : diagonale fermée — noyaux fermés — principe de prolongement des identités $Z \to X$ pour $X$ réduit ( $X$ séparé sur $S$ )

morphismes qu[…]

\[ \begin{array}{ccc} X & \longleftarrow & X' \\ {\scriptstyle f}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle f'} \\ Y & \longleftarrow & Y' \end{array} \qquad \begin{array}{c} X \xrightarrow{\ f\ } Y \\ \searrow \quad \swarrow{\scriptstyle g} \\ S \end{array} \] [Si $f$ est $\mathcal{M}$, $f'$ est $\mathcal{M}$ ; si $f$ et $g$ sont $\mathcal{M}$, $gf$ aussi ; $\Rightarrow$ si $f_1$ et $f_2$ sont $\mathcal{M}$, $f_1 \times_S f_2$ est $\mathcal{M}$ ; si $gf$ est $\mathcal{M}$, $f$ est $\mathcal{M}$ — loc. t.f., […] vrai pour imm., morphismes séparés]

Ex $\{$Morphisme diagonal — noyaux ; sections$\}$

Schémas noeth., loc. noeth., artiniens, loc. artiniens
Schémas irréd., connexes
Schémas réduits, intègres
Schémas normaux, réguliers

I) Schémas localisés d'un […] schéma en un point ; schémas locaux ($\exists !$ pt fermé, et quasi-compact) ; morphismes d'un schéma local dans un schéma.

III Morphismes : affines, [mono, surjectifs] [qu.-cpts, de t.f., loc. de t.f., loc. de […]], imm. loc. fermées, surjections], séparés, [quasi-séparés, cohérents, de prés. finie]

[entiers] (c) morphismes finis, [quasi-finis] […]

(a) projectifs, quasi-projectifs [quasi-affines]

(d) radiciels, homéom. universels, univ. ouverts, univ. fermés

(b) propresles lettres cerclées (a)–(d) et des flèches fixent un ordre de traitement différent de l'ordre de la liste

Oubli

Cohérence du faisceau structural sur un schéma loc. noeth.
Structure induite réduite sur un fermé
Un schéma loc. noeth. est qu.-sép.

et on verra tôt les schémas non séparésdans une bulle reliée à la dernière ligne ; une seconde bulle, au-dessus, ne se lit qu'en partie : « Attention, […] immersions […] ouvertes […] : cas […] » Sur base cohérente

$f$ cohérent, $F$ qu.-coh. $\Rightarrow$ $f_*(F)$ qu.-coh.

Cor

Extension de faisceaux qu.-coh. d'un ouvert rétrocompact
Extension de sous-faisceaux […] ( $U$ rétrocompact )

$\{$net, lisse, étale ; plat, fid. platencadré$\}$

Propriétés géom. des fibres …

12au crayon, sur papier jaune ; suite d'un plan à rubriques cerclées, dont (a), (d), (e), (f), (g), (h) se lisent sur cette page. Le haut de la feuille est barré de longs traits obliques et de plusieurs biffures

[…] épimorphismes universels (Zar.) de schémas (${}=$ foncteurs représentables)ligne soulignée puis barrée, avec deux mots biffés en tête et une rubrique cerclée qui ne se lit pas

(d) Schéma de type fini sur un autre [$S$] [quasi-comp. et qu.-sép. sur $S$ et loc. de type fini sur $S$]

rep. […]marge gauche, en oblique, barrée

Schémas comme foncteurs : avantages respectifs des arguments anneaux (a) (schémas affines) et des arguments schémas (vrais espaces localement annelés)

(e) Corollaire du th. de représentabilité : notion locale […] (par rec. affine) du Pb.la ligne est barrée ; la parenthèse cerclée est reliée par un trait au $S$ de la ligne suivante

(f) Schéma $P(M)$, $M$ module qu.-coh. sur $S$ : il représente un foncteur remarquable […] dans la catégorie des espaces loc. annelés sur $S$ (univ. des topos loc. annelés sur $S$). Sa structure essentielle : Dépendance p.r. au changement de base ; dépendance fonctorielle en $S$ / Dépendance en $M$ (pour épi) [de t.f. sur $S$,]

cor. de th. de représentabilitémarge gauche, de biais, contre l'accolade qui borde (f)

[Schémas projectifs [quasi-proj.] sur $S$ ($S$ affine disons) [(on peut alors choisir $V$ de type fini)] qui se plongent dans un $P(M)$, […] ]

Relation avec $V(M)$ (fibré vectoriel sur $S$ associé à $M$)

$V(M)^* \subset V(M)$ (les épi $M_{k'} \to k'$)

$V(M)^* \longrightarrow P(M)$ épi de faisceaux [i.e. il y a une section loc. pour Zar.]

En fait, $\mathbb{G}_{m,S}$ opère sur $V(M)^*$, laissant $V(M)^*$ stable, i.e. y opère librement, et \[ P(M) \simeq V(M)^* / \mathbb{G}_m \qquad (\text{isom. de faisceaux Zar.}) \]

(g) $\varprojlim$ finies« lim » avec une flèche vers la gauche dessous, et « finies » au-dessus ; une tache couvre le mot dans (Sch)

(h) Spec d'Algèbre qu.-coh. et […] morphismes affines (des schémas affines sur $S$)

14à l'encre, sur papier jaune ; le bas de la page repasse au crayon

1) Morphismes d'un espace loc. annelé dans [un] schéma affine \[ \operatorname{Hom}_k(\mathcal{X}, \underset{\substack{\wr\wr \\ \operatorname{Spec} A}}{Y}) \xrightarrow{\ \simeq\ } \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(\underset{\substack{\wr\wr \\ \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)}}{A}, \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})) \] une flèche de retour, sans étiquette, est tracée sous la flèche $\simeq$

$\forall x \in$ Soit $u : A \to \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})$

Pour tout $x \in \mathcal{X}$, soit $\varphi(x)$ [$\in Y = \operatorname{Spec}(A)$] […] le noyau de $A \xrightarrow{u} \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}) \xrightarrow{\varepsilon_x} k(x)$ ( $\Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}) \to \mathcal{O}_{\mathcal{X},x} \to k(x)$ )

d'où $\varphi : \mathcal{X} \to Y$

Si $f \in A$, $\varphi^{-1}(U_f) = $ ens. des $x \in \mathcal{X}$ tels que $\varepsilon_x(u(f)) \neq 0$ i.e. tels que $u(f)_x$ inversible, i.e. $\mathcal{X}_{u(f)}$ : il est ouvert, donc $\varphi$ continue.

De plus, on a des \[ A_f \longrightarrow \Gamma(U_f, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}) \] rendant $f$ inversible, en homomorphismes \[ \Gamma(U_f, \mathcal{O}_Y) \simeq A_f \longrightarrow \Gamma(U_f, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}) \] avec compatibilités pour restrictions, d'où un morphisme annelé.

$\mathcal{X}$ est loc. annelé, car […], […] […] … $\varphi^{-1}(Y_f) = \mathcal{X}_{u(f)}$ et donc $=$ quasi-rationnellement […] […] suivant…

Conséquence La catégorie $(\mathrm{Sch})_{/k}$ se reconstitue connaissant $\mathrm{Sch} = (\mathrm{Sch})_{/\mathbb{Z}}$ — et $S = \operatorname{Spec} k$ comme $(\mathrm{Sch})_{/S}$ : les k-schémas sont les $S$-schémas. Mais $\mathrm{Sch}_{/S}$ important sans que $S$ soit néc. affine.

grand diagramme : une première ligne d'inclusions, puis des chapeaux ($\widetilde{\ }$ et $\widehat{\ }$) désignant des catégories de foncteurs ; un long contour trace un parallélogramme autour de la colonne centrale. On le donne par lignes

\[ \begin{array}{ccccc} \underset{\substack{\wr\wr \\ (\mathrm{Alg}_k)^{\circ}}}{\overset{\substack{(\mathrm{Sch}\text{-}\mathrm{Aff})^{\circ} \\ \wr\wr}}{(\mathrm{Aff}_k)}} & \xhookrightarrow{\ \mathrm{incl}\ } & (\mathrm{Sch})_k & \hookleftarrow & (\mathrm{Locan})_k \end{array} \] au-dessus de $(\mathrm{Aff}_k)$, « $(\mathrm{Sch}\text{-}\mathrm{Aff})^{\circ}$ » est à demi lisible ; sous $(\mathrm{Locan})_k$, une flèche descend vers $\widetilde{(\mathrm{Sch})_k}$

\[ \begin{array}{lcl} \widetilde{(\mathrm{Aff}_k)} \simeq \underline{\operatorname{Hom}}^{\sim}(\mathrm{Alg}_k, \mathrm{Ens}) & & \\ \widetilde{(\mathrm{Sch})_k} \xrightarrow{\ \mathrm{restr.}\ } \widetilde{\mathrm{Aff}_k} \simeq \underline{\operatorname{Hom}}^{\sim}(\mathrm{Alg}_k, \mathrm{Ens}) & & \text{(faisceaux pour la top. « de Zariski »)} \\ \qquad \downarrow \text{inc.} \qquad\qquad \downarrow \text{inc.} & & \\ \widehat{(\mathrm{Sch})_k} \xrightarrow{\ \mathrm{restr.}\ } \widehat{\mathrm{Aff}_k} \simeq \underline{\operatorname{Hom}}(\mathrm{Alg}_k, \mathrm{Ens}) & & \text{(pas plein\uncertain{fid.})} \\ \widehat{(\mathrm{Aff}_k)} \simeq \underline{\operatorname{Hom}}(\mathrm{Alg}_k, \mathrm{Ens}) & & \end{array} \] les flèches marquées « inc. » partent de $\widetilde{\ }$ vers $\widehat{\ }$ ; dans la dernière égalité de la deuxième ligne, un premier nom ([…]) est biffé avant $\underline{\operatorname{Hom}}^{\sim}$, et « $\mathrm{Alg}_k$ » est écrit, en surcharge, dans les deux $\underline{\operatorname{Hom}}$ de droite

Comment exprimer en termes d'algèbre commutative qu'un objet foncteur sur $\mathrm{Aff}_k$ est un faisceau, i.e. un foncteur [$\mathrm{Aff}$]« Aff » ajouté sous la ligne, le mot suivant manque

[Interprétation en termes de foncteurs d'anneaux de \[ \begin{array}{ccc} (\mathrm{Sch})_k & \simeq & \mathrm{Sch}_{/\operatorname{Spec} k = S} \\ \cap & & \cap \\ \widehat{C}_{/S} & \approx & \widehat{C}_{/S} \end{array} \qquad C = \mathrm{Aff}_k \] ]bloc au crayon ; le signe $\approx$ est souligné d'un trait épais

$\{$Interprétation des sommes en termes faisceautiques $\{$(Notion de Sup de sous-faisceaux)$\}$

$\{$(pas d'ennui pour les produits $\varprojlim$ (finies, disons) …)

15fragment isolé en haut de la feuille, à l'encre, traversé de deux longs traits verticaux au crayon ; il ne se rattache pas au plan des pages voisines. Le reste de la feuille est vide

Or on vérifie facilement directement que (pour les sous-catégories str. pleines correspondantes $\pi(C', \widehat{D})$ des diagrammes) $\pi(C, \widetilde{D}) =$ (le faire …)

on a \[ \pi(C, \widetilde{D}) = \pi(C', \widetilde{D}) \cap \pi(C, \widehat{D}) \qquad\qquad \begin{array}{ccc} & \pi(C, \widetilde{D}) & \\ \swarrow & & \searrow \\ \pi(C', \widetilde{D}) & & \pi(C, \widehat{D}) \\ \searrow & & \swarrow \\ & \pi(C', \widehat{D}) & \end{array} \] les traits du losange sont tracés sans pointe, sauf celui qui descend de $\pi(C, \widetilde{D})$ vers $\pi(C, \widehat{D})$

donc on est ramené, grâce à l'utilisation analogue \[ C \mathbin{\underset{\mathrm{Top}}{\times}} \widetilde{D} = \Bigl(C' \mathbin{\underset{\mathrm{Top}}{\times}} \widetilde{D}\Bigr) \cap \Bigl(C \mathbin{\underset{\mathrm{Top}}{\times}} \widehat{D}\Bigr) \] au-dessus du premier $\times$, un petit signe ([…]) surmonté du $\sim$

à prouver que $\gamma(C, \widehat{D})$ et $\gamma(C', \widetilde{D})$ sont des équivalences i.e. que les foncteurs $\gamma(C, \widehat{D})_*$ et $\gamma(C', \widetilde{D})_*$ sont ess. surj.

ou encore

16le haut de la page est au crayon, la suite à l'encre

[Caractérisation des foncteurs $(\mathrm{Sch})_k^{\circ} \to \mathrm{Ens}$ qui sont représentables. Idem : $\widehat{\ }$ $\mathrm{Alg}_k \to \mathrm{Ens}$ […] ]deux blancs sont laissés en ligne, soulignés, dans la seconde ligne du crochet

a) Immersions ouvertes de faisceaux [stable par chgt. de base, par composition]

b) Sup de sous-faisceaux d'un faisceau.

Prop. Soit $F$ un foncteur $(\mathrm{Sch})_{/S} \to (\mathrm{Ens})$. Pour que $F$ soit repr. [(i.e. un schéma …)] il f. et il s. qu'il satisfasse les conditions suivantes :

a)$F$ un faisceau ;
b)$\exists$ $(F_i)_{i \in I}$ famille de sous-faisceaux ouverts [(ds cat. des faisceaux)], tel que $F = \operatorname{Sup} F_i$ ([…]) et chacun des $F_i$ repr. i.e. un schéma ;

Cor On peut […] remplacer b) par

b')comme b), les $F_i$ étant de plus des schémas affines.

Cor (Supposant $S = \operatorname{Spec} k$) Pour qu'un foncteur $\mathrm{Alg}_k \to (\mathrm{Ens})$ soit un faisceausic, pour « schéma » : la phrase exige la notion définie, non la condition a) ; le mot est bien « faisceau » sur la page, suivi d'un signe (lettre ou croix) qu'on ne lit pas il f. et il s. que […] [ce soit un] faisceau, et qu'on le puisse recouvrir par des sous-faisceaux ouverts affines …

Ainsi, la notion de schéma est explicitée sans recours à la notion d'espaces topologiques, faisceau d'anneaux, espaces loc. annelés ….

Applications a) Représentabilité du foncteur $P(E)$ ($E$ un module loc. libre sur $S$ — p.ex. $S = \operatorname{Spec} k$, $E$ un module de t.f. sur $k$)

b) Représentabilité de $\operatorname{Spec} A$

c) Produits fibrés (des $\varprojlim$ finies)

d) $\varprojlim$ [filtrantes] par des schémas affines au-dessus d'un schéma.

sommes disjointes et disjointes universellesdans une bulle en marge gauche, reliée par une flèche à c)

17à l'encre ; la page reprend en cours de raisonnement, sur le produit de deux topos, et se rattache au fragment de la p. 15 plutôt qu'au plan de géométrie algébrique. Un long trait au crayon la traverse en diagonale

donc la question est si c'est une équiv. de topos \[ (2) \qquad \widehat{C \times D} \overset{?}{\approx} \widehat{C} \times \widehat{D} \]

Si $C$ et $D$ sont stables par $\varprojlim$ finies, alors $C \times D$ l'est aussi ; et soit $A$ de façon générale A est une telle catégorie, … sachant que \[ \underline{\operatorname{Homtop}}(E, \widehat{A}) \simeq \bigl(\underline{\operatorname{Hom}}^{*}_{\mathrm{gex}}(A, E)\bigr)^{\circ}, \qquad u \longmapsto u^{*} \] [on conclut] et dans ce cas, (2) est une équivalence.

« Hom » souligné, indice « gex » (exact à gauche) ; l'astérisque en exposant est lu $u^{*}$

c) Dans le cas général, on peut écrire grâce à des morphismes $\ill{} : C \to D \quad j : E \to \widehat{D}$ \[ i : C \to C' \qquad j : E \hookrightarrow \widehat{D} \quad (\text{i.e. } E \approx \widetilde{D} \text{ pour une top. conv. sur } D) \] [$C'$ et $D$ stables par $\varprojlim$ finies,] $i$ pl. fidèle, $j$ plongement de topos, et on en conclut un diagramme commutatif mod. is. can.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\pi(C, \widetilde{D}) \arrow[r, "{\alpha = \pi(i, j)}"] \arrow[d, "\gamma"'] & \pi(C', \widehat{D}) \approx \widehat{C' \times D} \arrow[d, "\gamma'"] \\
\widehat{C} \times \widetilde{D} \arrow[r, hook, "\beta = i \times j"'] & \widehat{C'} \times \widehat{D}
\end{tikzcd}

sur la flèche verticale de droite, un signe $\wr\wr$ ; sous $\beta$ : « plongement de topos comme 2-produit de tels »

Si $\gamma$ est une équivalence, donc $\alpha$ est un plongement. Peut-on vérifier que $\alpha$ l'est en fait ? […]à droite du diagramme

Or $\alpha = \pi(i, j)$ est un composé \[ \pi(C, \widetilde{D}) \xrightarrow{\ \alpha_0\ } \underset{\substack{\wr\wr \\ \widehat{C \times D}}}{\pi(C, \widehat{D})} \xrightarrow{\ \alpha_1\ } \underset{\substack{\wr\wr \\ \widehat{C' \times D}}}{\pi(C', \widehat{D})} \] où $\widehat{C \times D} \to \widehat{C' \times D}$ est un plongement car $C \times D \to C' \times D$ pl. fid.

donc on est ramené à voir seulement si \[ \alpha_0 : \pi(C, \widetilde{D}) \longrightarrow \pi(C, \widehat{D}) \simeq \widehat{C \times D} \] est un plongement, à le foncteur image inverse associé est directe associé est $F \longmapsto$ $(X \longmapsto a(FX))$ $u \longmapsto j_* \circ u$ qui est bien pl. fidèle.

Corollaire […], $\gamma(C, E) : \pi(C, E) \to \widehat{C} \times \widetilde{D}$ est un plongement. (Car $\gamma'$ l'est, et $\beta$ aussi, donc $\beta\gamma$ l'est, $\gamma$ aussi.)

Notons que […] $\widehat{C} \times \widetilde{D}$ est la sous-catégorie [str.] pleine de $\widehat{C'} \times \widehat{D} \approx \widehat{C' \times D}$, […] celle formée des $F \in \operatorname{Ob} \widehat{C' \times D}$ tels que (désignant par $p$ et $q$ les deux projections $\widehat{C' \times D} \rightrightarrows \widehat{C'}, \widehat{D}$) on ait \[ \begin{cases} p_*(F) \in \widehat{C} & (\text{identifié à la sous-catégorie str. pleine image essentielle de } i_* : \widehat{C} \to \widehat{C'}) \\ q_*(F) \in \widetilde{D} \end{cases} \]

Prouvons que c'est […] (l'image ess. de) $\pi(C, D)$ — ce qui prouvera que $\gamma$ est une équivalence.

19à l'encre, sur papier blanc réglé ; titre souligné de sa main

Géom. Algébrique

Compléments sur le formalisme des $\varprojlim$ et des sommes dans $\mathrm{Aff}_k$.

a) Les sommes [finies] sont disjointes et universelles \[ X = \coprod_{i \in I} X_i \longleftarrow X_i \]

1)$X_i \to X$ un mono [et $=$ une imm. fermée] ($A = \prod A_i \to A_i$ surjectif)
2)$X_i \times_X X_j = \emptyset$ si $i \neq j$ i.e. $A_i \otimes_A A_j = 0$ si $i \neq j$ (car égal à $1$ dans $A_i$, $0$ dans $A_j$ […])
3)$\forall$ $X' \to X$, avec $X'_i \to X_i$ on a $X' \xleftarrow{\ \simeq\ } \coprod X'_i$ i.e. $\forall$ $A = \prod A_i \to B$, $B$ décompose en $\prod B_i$, et …

\[ \begin{array}{ccc} X' & \longrightarrow & X \\ \uparrow & & \uparrow \\ X'_i & \longrightarrow & X_i \end{array} \]

b) Dans le cas où Donc les produits [(ou produits fibrés)] sont distributifs par rapport aux sommes \[ \Bigl(\coprod_i X_i\Bigr) \times \Bigl(\coprod_j Y_j\Bigr) \simeq \coprod_{i,j} (X_i \times Y_j) \] \[ \Bigl[\; X \times \underbrace{\coprod Y_i}_{Y} \longleftarrow \coprod_i X \times Y_i \quad \ldots \;\Bigr] \qquad \begin{array}{ccccc} X \times Y_i & \longrightarrow & X \times Y & & X \\ \downarrow & & \downarrow & & | \\ Y_i & \longrightarrow & Y & \text{---} & e \end{array} \]

Donc le foncteur \[ (\mathrm{Ens\ finis}) \longrightarrow \mathrm{Aff}_k, \qquad \Gamma \longmapsto \Gamma_k = \coprod_{\Gamma} e_k \] commute aux $\varprojlim$ finies produits [finis], en particulier aux [et $=$ aux] produits fibrés, donc aux $\varprojlim$ finies. Donc transforme monoïde (groupe) fini en monoïde (groupe) algébrique affine.

Du point de vue alg. comm., on a \[ \Gamma_k = V_{k^{\Gamma}} \qquad k \to k^{\Gamma} \ \text{contravariant en } \Gamma \ (\text{algèbre produit} \simeq \operatorname{Fonc}(\Gamma, k)) \] il écrit tantôt $\Gamma$, tantôt $I$, pour le même ensemble fini ; on garde $\Gamma$ dans la formule, $I$ là où il l'écrit

$k^{I}$ ou $k[I]$ (gare aux confusions avec polynômes), si […] $I$ a une […] [loi de composition] $I \times I \to I$, cela définit \[ k[I] \to k[I \times I] \simeq k[I] \otimes k[I] \] la comultiplication ….

Le foncteur $I_k$ est le foncteur « ensemble des décompositions idempotentes [parfaites] indexées par $I$ »marge gauche, reliée par un trait à $I_k = V_{k^I}$

\[ \operatorname{Spec} I_k = \operatorname{Spec} k^{I} = \coprod_{I} \underbrace{\operatorname{Spec}(k)}_{S} \qquad \text{\uncertain{envoyé} dans $S$ \uncertain{à} \uncertain{façon} \uncertain{évidente}.} \]

b) Produits fibrés dans le cas où l'un des deux morphismes est un monomorphisme. Alors les diagrammes correspondants sur les spectres sont cartésiens \[ \begin{array}{ccc} \mathfrak{X} & \dashrightarrow & \mathfrak{X}' \\ \downarrow & & \vdots \\ \mathfrak{Y} & \longleftrightarrow & \mathfrak{Y}' \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{ccc} X & \longrightarrow & X' \\ \downarrow & & \downarrow \\ Y & \longrightarrow & Y' \end{array} \] à gauche, des lettres gothiques — le même tracé qu'à la p. 21, où $\mathfrak{X} \to \mathfrak{Y}$ est un monomorphisme d'espaces algébriques affines — ; à droite, des romaines, $X$, $Y$, qui sont les spectres dont la phrase dit que le carré est cartésien. La flèche du haut et celle de droite du carré gothique sont en pointillé, celle du bas porte deux pointes

De plus, si $\mathfrak{Y}' \to \mathfrak{Y}$ est une imm. fermée (resp. ouverte) — plus généralement si celle correspond à $A \to A_S^{-1}$lu $A S^{-1}$, localisation, disons l'homéomorphisme dans, le diagramme des $=$ pour $\mathfrak{X}' \to \mathfrak{X}$, donc la top. de $X'$ est la top. induite.

Cas particulier Intersection de deux sous-objets —

c) \[ \begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{\ u\ } & B \\ Y & \xleftarrow[\ \varphi\ ]{} & X \end{array} \qquad \text{formule pour } \overline{\varphi(Z)}, \ Z = V(J) \] Condition pour que $\varphi$ soit dominant : \[ \operatorname{Ker} \varphi \subset \operatorname{Nil} A \] « $\operatorname{Ker}\varphi$ » sur la page ; il s'agit du noyau de $u$