Cote n° 161-4 · pages 1–31 · Lecture modernisée · Introduction à géométrie algébrique : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [après 1961] — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–31

Le fil du dossier, et les conventions

Les strates. Le dossier est un assemblage de feuillets de papiers, d'encres et de moments différents, et l'ordre dans lequel les archivistes les ont numérotés n'est pas toujours celui de l'argument. Après la chemise, il se lit en sept ensembles de feuillets, qui sont les sept sections qui suivent.

1. Page 1, la chemise : « Introduction à Géom. Alg. », au crayon, sur l'onglet.
2. Pages 2 à 6 (paginées par lui 1 à 5, encre bleue) : la descente fidèlement plate, en rubriques numérotées (1) à (5). La rubrique (5) n'a que son titre. Section I.
3. Pages 7 à 9, feuilles volantes de même main : morphismes radiciels et universellement ouverts, morphismes quasi-affines avec un tableau encadré d'implications, faisceaux amples. Section II.
4. Pages 10 à 12 : trois plans de cours, très surchargés. Les règles de stabilité a), b), c) d'une classe de morphismes, deux programmes numérotés, puis au crayon un plan à rubriques (d) à (h) où apparaissent les schémas comme foncteurs et \(P(M)\). Section III.
5. Pages 14 et 16 : les schémas comme foncteurs — morphismes d'un espace localement annelé vers un schéma affine, le diagramme des catégories de faisceaux, le critère de représentabilité. Section IV.
6. Pages 22 à 24 et 26 à 28 : le cours lui-même. Une page de prérequis en anglais, puis un plan en français, rubriques (1) à (10), sur les schémas affines sur \(k\) vus comme foncteurs sur les \(k\)-algèbres. Section V.
7. Pages 28 à 31, et 21 : la rubrique (11), le spectre — ensemble sous-jacent, topologie, faisceau structural. La page 21, que les archivistes placent avant le plan, emploie la notation du plan (\(V_A\), les lettres gothiques) et traite la fonctorialité du spectre, qu'une marge de la page 30 annonce comme une rubrique « 10') » à insérer ; par son contenu elle vient donc après les pages 22 à 28. Section VI.
8. Pages 19 et 20, feuille titrée « Géom. Algébrique » : « Compléments sur le formalisme des \(\varprojlim\) et des sommes dans \(\mathrm{Aff}_k\) ». Elles emploient l'objet final \(e_k\) et la notation \(V_A\) des pages 22 à 26, et parlent des spectres de la rubrique (11) : on les lit en dernier. Section VII.
9. Pages 15, 17 et 25 : étrangères au cours. Les pages 15 et 17 sur le produit de deux topos — la page 15, qui commence par « Or », continue la page 17 et non l'inverse —, la page 25 au crayon, sur des topos aussi, lue seulement par fragments. Section VIII.

Les pages 13 et 18 sont blanches. Rien sur les pages ne date le cours ni ne le situe : on sait seulement qu'une marge de la page 9 renvoie à EGA II, ce qui place cette feuille après EGA II sans rien dire des autres, et que la page 22 prévoit un cours d'été en deux parties, enseigné en anglais. On ne cherche pas à l'identifier.

Deux niveaux. Les sections I à III supposent connue la théorie des schémas et en organisent les notions ; les sections IV à VII construisent l'objet depuis le début. Rien n'indique que les deux strates appartiennent au même cours, et on ne les confond pas.

Notations. Elles valent pour tout le document.

• \(k\) est un anneau commutatif, souvent un corps ; \(\mathrm{Alg}_k\) la catégorie des \(k\)-algèbres commutatives, \(\mathrm{Aff}_k\) celle des schémas affines sur \(k\), \(\mathrm{Sch}_k\) celle des \(k\)-schémas.
• Pour une \(k\)-algèbre \(A\), \(V_A\) est le foncteur \(k' \mapsto \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(A, k')\) sur \(\mathrm{Alg}_k\) ; c'est \(\operatorname{Spec} A\) vu par ses points. \(\mathbb{E}^I_k\) est le foncteur \(k' \mapsto k'^I\), c'est-à-dire l'espace affine \(V_{P_I}\) avec \(P_I = k[(T_i)_{i \in I}]\). On pose \(e_k = V_k\) (objet final) et \(\emptyset_k = V_0\).
• Ce que les pages appellent espace algébrique affine sur \(k\) est, dans la langue d'aujourd'hui, un \(k\)-schéma affine présenté par son foncteur des points.¹
• Descente : \(f : S' \to S\) est le morphisme de descente, \(g : X \to Y\) un \(S\)-morphisme, un accent désigne le changement de base à \(S'\) (\(X' = X \times_S S'\), \(g' = g \times_S S'\)), et \(S'' = S' \times_S S'\).
• Il dit cohérent pour « quasi-compact et quasi-séparé » ;² on écrit « qcqs ». « fpqc » abrège « fidèlement plat et quasi-compact ».
• \(\mathcal{M}\) désigne une classe de morphismes, et a), b), c) ses règles de stabilité, fixées à la section III.
• Topos : \(\widehat{C}\) est le topos des préfaisceaux sur \(C\), \(\widetilde{D}\) celui des faisceaux sur \(D\) pour une topologie donnée, et \(\pi(C, E) = \underline{\operatorname{Hom}}(C^{\circ}, E)\) le topos des préfaisceaux sur \(C\) à valeurs dans le topos \(E\).
• Sur un anneau \(A\), on écrit \(f \prec g\) lorsque \(f\) appartient à la racine de l'idéal \(gA\) ; c'est la notation de la page 30.

Ce que le dossier annonce sans l'établir. La rubrique (5) de la descente, sur l'effectivité des données de descente, n'a que son titre. La réciproque de la proposition de la page 7 est annoncée « nettement plus difficile » et n'est pas donnée. Le passage au quotient est promis à la page 28. Le caractère de faisceau du faisceau structural est laissé en points de suspension à la page 31. Sur les pages de topos, l'énoncé visé — que le morphisme de comparaison \(\gamma\) est une équivalence — n'est pas atteint.

2–6

I. La descente fidèlement plate (pages 2 à 6)

Cinq pages paginées de sa main, en rubriques numérotées : (1) descente de propriétés de morphismes, (2) descente de propriétés topologiques, (3) descente effective des faisceaux quasi-cohérents, des sous-schémas, des morphismes, des schémas affines, (4) descente de l'amplitude, (5) questions d'effectivité. Elles sont précédées de rappels sur la platitude. C'est, en abrégé, la matière que l'on trouve aujourd'hui dans l'exposé VIII de SGA 1 et au paragraphe 2 d'EGA IV ; la page n'y renvoie pas.

2–2

Platitude fidèle (page 2)

Soit \(A \to B\) un morphisme d'anneaux. On dit que \(B\) est fidèlement plat sur \(A\) si \(B\) est plat et si, pour tout \(A\)-module \(M\), \(M \otimes_A B = 0\) entraîne \(M = 0\).

Proposition. \(B\) est fidèlement plat sur \(A\) si et seulement si \(B\) est plat et \(\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A\) est surjectif.

Si \(B\) est fidèlement plat, alors pour tout \(A\)-module \(M\) l'application \(M \to M \otimes_A B\) est injective ; en particulier \(A \to B\) est injectif et \(\mathfrak{J} B \cap A = \mathfrak{J}\) pour tout idéal \(\mathfrak{J}\) de \(A\). Pour un idéal premier \(\mathfrak{p}\), la fibre \(B \otimes_A k(\mathfrak{p})\) n'est pas nulle, puisque \(k(\mathfrak{p}) \neq 0\) : il existe donc un idéal premier de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak{p}\).³ Réciproquement, si \(B\) est plat et le morphisme des spectres surjectif, et si \(M \neq 0\), on choisit un sous-module monogène \(A/I \neq 0\) de \(M\) et un idéal maximal \(\mathfrak{m} \supset I\) ; par platitude \(B/IB \subset M \otimes_A B\), et \(B/IB\) se surjecte sur \(B/\mathfrak{m}B\), qui n'est pas nul puisque \(\mathfrak{m}\) est induit par un premier de \(B\).⁴

La marge de la page ajoute deux critères, sous une forme qu'on complète : un \(A\)-module plat \(M\) est fidèlement plat si et seulement si \(M \otimes_A k(\mathfrak{p}) \neq 0\) pour tout premier \(\mathfrak{p}\) ; et si \(A \to B\) est un homomorphisme local d'anneaux locaux, \(B\) plat équivaut à \(B\) fidèlement plat.⁵

Un morphisme de schémas \(f : X \to Y\) est dit fidèlement plat s'il est plat et surjectif.⁶ Si \(f\) est plat, alors pour tout \(x \in X\) d'image \(y\), l'application \(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{X,x} \to \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{Y,y}\) est surjective (un homomorphisme local plat est fidèlement plat) ; par conséquent tout point maximal de \(X\) — point générique d'une composante irréductible — est au-dessus d'un point maximal de \(Y\). C'est le théorème de descente des générisations : un morphisme plat est générisant.

3–3

La topologie de \(S\), quotient de celle de \(S'\) (page 3)

Corollaire. Un morphisme plat et localement de présentation finie est universellement ouvert.⁷

Proposition. Soit \(f : S' \to S\) fidèlement plat. L'application \(T \mapsto f^{-1}(T)\), des sous-schémas de \(S\) vers ceux de \(S'\), est injective.⁸ Par conséquent, pour des \(S\)-schémas \(X\) et \(Y\), l'application \(\operatorname{Hom}_S(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{S'}(X', Y')\) est injective (on l'applique aux graphes).

Lemme (changement de base plat). Soit un carré cartésien de morphismes \(X' \to X\), \(f : X \to Y\), \(f' : X' \to Y'\), \(Y' \to Y\), avec \(Y' \to Y\) plat. Si \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé et \(F\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent, l'homomorphisme canonique \(f_*(F)' \to f'_*(F')\) est un isomorphisme.⁹

Théorème. Soit \(f : S' \to S\) un morphisme plat, et \(T \subset S\) l'image d'un morphisme quasi-compact \(g : Z \to S\). Alors \[ f^{-1}(\overline{T}) = \overline{f^{-1}(T)} . \]

La page en donne deux démonstrations. La première se ramène au cas affine : si \(Z = \operatorname{Spec} C\), \(S = \operatorname{Spec} A\) et \(u : A \to C\), l'adhérence \(\overline{T}\) est \(V(\operatorname{Ker} u)\), et la platitude de \(A \to A'\) donne \(\operatorname{Ker}(u \otimes A') = (\operatorname{Ker} u) A'\). La seconde est plus éclairante, et la page note elle-même qu'elle « marche pour tout morphisme générisant » : comme \(g\) est quasi-compact, \(\overline{T}\) est l'ensemble des spécialisations des points de \(T\), et de même pour \(f^{-1}(T)\), qui est l'image du morphisme quasi-compact \(Z \times_S S' \to S'\) ; si \(s' \in f^{-1}(\overline{T})\), le point \(f(s')\) est spécialisation d'un \(t \in T\), et comme \(f\) est générisant, \(t\) se relève en une générisation de \(s'\), qui est dans \(f^{-1}(T)\).¹⁰

Corollaire. Si \(f\) est fidèlement plat et quasi-compact, la topologie de \(S\) est la topologie quotient de celle de \(S'\) : une partie \(T\) de \(S\) est fermée si et seulement si \(f^{-1}(T)\) l'est. En effet, si \(f^{-1}(T)\) est fermé, \(T = f(f^{-1}(T))\) est l'image d'un morphisme quasi-compact, donc \(f^{-1}(\overline{T}) = \overline{f^{-1}(T)} = f^{-1}(T)\), et \(T = \overline{T}\) par surjectivité.¹¹

Corollaire. Si \(f\) est fpqc, les suites \[ \begin{array}{l} F(S) \to F(S') \rightrightarrows F(S''), \\ O(S) \to O(S') \rightrightarrows O(S''), \\ LF_{\mathrm{rc}}(S) \to LF_{\mathrm{rc}}(S') \rightrightarrows LF_{\mathrm{rc}}(S'') \end{array} \] sont exactes, où \(F\), \(O\), \(LF_{\mathrm{rc}}\) désignent respectivement les parties fermées, ouvertes, localement fermées rétrocompactes. Pour l'ensemble \(P\) de toutes les parties, l'exactitude vaut dès que \(f\) est surjectif, parce que \(S'' \to S' \times_S S'\) (produit des ensembles sous-jacents) est surjectif : une partie de \(S'\) qui a même image réciproque par les deux projections est saturée. Les deux premières suites s'en déduisent par le corollaire précédent. Pour la troisième, on se ramène aux deux premières en passant à l'adhérence et en utilisant le théorème : une partie \(T\) qui est l'image d'un morphisme quasi-compact est localement fermée si et seulement si \(f^{-1}(T)\) l'est.¹²

Ce qui sert dans toute la suite n'est pas la platitude en tant que telle, mais le fait que \(f\) et tous ses changements de base sont des applications quotients. On dit aujourd'hui que \(f\) est universellement submersif. La page note deux fois que cela vaut aussi pour \(f\) surjectif, quasi-compact et universellement générisant, ce que la démonstration du théorème confirme.¹³

4–4

(1) et (2) : descente de propriétés de morphismes (page 4)

Soit \(g : X \to Y\) un \(S\)-morphisme et \(g' : X' \to Y'\) son changement de base. La question est : si \(g'\) a une propriété, \(g\) l'a-t-il ?¹⁴

• Si \(f\) est surjectif, \(g\) est surjectif (resp. radiciel) si et seulement si \(g'\) l'est.
• Si \(f\) est surjectif et quasi-compact, \(g\) est quasi-compact si et seulement si \(g'\) l'est. Si \(f\) est fpqc, il en va de même pour « de type fini », « de présentation finie », « localement de type fini », « localement de présentation finie ».¹⁵
• Lemme. Si \(A \to A'\) est fidèlement plat et \(B\) une \(A\)-algèbre, \(B\) est de type fini (resp. de présentation finie) si et seulement si \(B \otimes_A A'\) l'est sur \(A'\). Les mêmes arguments pour les modules donnent : si \(f\) est fpqc et \(F\) quasi-cohérent sur \(S\), \(F\) est de type fini (resp. de présentation finie, localement libre de type fini, localement libre de rang \(n\)) si et seulement si \(F'\) l'est.
• Si \(f\) est fidèlement plat, \(g\) est plat (resp. fidèlement plat) si et seulement si \(g'\) l'est.

Sous l'hypothèse que \(f\) est fpqc, \(Y' \to Y\) est une application quotient universelle, ce qui donne la descente des propriétés topologiques (rubrique (2)) : si \(g'\) est ouvert (resp. fermé, générisant, un homéomorphisme sur son image, un homéomorphisme), \(g\) l'est ; donc \(g\) est universellement ouvert (resp. universellement fermé, un homéomorphisme universel) si et seulement si \(g'\) l'est.¹⁶ Il suit que \(g\) est séparé (resp. propre) si et seulement si \(g'\) l'est, et que \(g\) est un isomorphisme si et seulement si \(g'\) l'est : \(g\) est alors un homéomorphisme universel, et \(\mathcal{O}_Y \to g_*\mathcal{O}_X\) est un isomorphisme parce qu'il le devient après le changement de base plat \(Y' \to Y\).

Les immersions ouvertes, les immersions fermées et plus généralement les immersions quasi-compactes descendent de même.¹⁷

La page se termine par une liste, reliée par un trait aux corollaires : c'est l'inventaire des propriétés qui descendent le long d'un morphisme fpqc.

• surjectif, radiciel ;
• plat, fidèlement plat ;
• quasi-compact, quasi-séparé, qcqs, de type fini, de présentation finie, localement de type fini, localement de présentation finie ;
• séparé, propre, universellement fermé, universellement ouvert, homéomorphisme universel ;
• immersion fermée, immersion ouverte ;
• affine, entier, fini ;
• quasi-affine, quasi-fini ;
• lisse, non ramifié, étale ; formellement lisse, formellement étale.¹⁸

5–6

(3) Descente effective (pages 5 et 6)

Théorème. Si \(f : S' \to S\) est fpqc, \(f\) est un morphisme de descente effective, universellement, pour la catégorie fibrée des modules quasi-cohérents.

Autrement dit — et c'est ce que la page se donne à faire, « Expliquer ce que cela signifie » —, se donner un module quasi-cohérent \(F\) sur \(S\) revient au même que se donner un module quasi-cohérent \(F'\) sur \(S'\) muni d'un isomorphisme \(\varphi : p_1^* F' \simeq p_2^* F'\) sur \(S''\) qui vérifie la condition de cocycle sur \(S' \times_S S' \times_S S'\) ; et cela reste vrai après tout changement de base \(T \to S\).¹⁹

Les corollaires en découlent en appliquant le théorème à des sous-objets.

• Pour \(F\) quasi-cohérent sur \(S\), la suite des ensembles de sous-modules quasi-cohérents \(\mathrm{Ssf}(F) \to \mathrm{Ssf}(F') \rightrightarrows \mathrm{Ssf}(F'')\) est exacte.²⁰
• Les suites analogues pour les sous-schémas fermés (\(\mathrm{Ssf}\)), ouverts (\(\mathrm{Sso}\)) et rétrocompacts, c'est-à-dire dont l'immersion est quasi-compacte (\(\mathrm{Ssrc}\)), sont exactes. La page demande si l'on peut descendre les sous-schémas non rétrocompacts ; la question reste ouverte sur la page.
• \(f\) est un morphisme de descente, universellement, pour la catégorie fibrée des schémas : la suite \[ \operatorname{Hom}_S(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{S'}(X', Y') \rightrightarrows \operatorname{Hom}_{S''}(X'', Y'') \] est exacte. Lorsque \(Y\) est quasi-séparé sur \(S\), cela suit du corollaire précédent appliqué aux graphes, qui sont des sous-schémas rétrocompacts de \(X \times_S Y\) ; en général on se ramène à \(S\) et \(Y\) affines. En langage d'aujourd'hui : les foncteurs représentables sont des faisceaux pour la topologie fpqc.
• Une immersion fermée (resp. ouverte) descend ; les algèbres quasi-cohérentes descendent.

Théorème. Si \(f\) est fpqc, \(f\) est un morphisme de descente effective, universellement, pour la catégorie fibrée des schémas affines sur la base.

Corollaire. \(g\) est affine (resp. quasi-affine, entier, fini, fini localement libre) si et seulement si \(g'\) l'est. Pour « quasi-affine », on utilise que \(g\) est quasi-affine si et seulement si \(g\) est qcqs et \(X \to \operatorname{Spec} g_*(\mathcal{O}_X)\) est une immersion ouverte.²¹ Pour « fini » et « entier », on est ramené au lemme de la page 6 : si \(A \to A'\) est fidèlement plat, une \(A\)-algèbre \(B\) est finie (resp. entière) si et seulement si \(B \otimes_A A'\) l'est sur \(A'\). « Fini est une histoire de module » ; entier s'y ramène en regardant les sous-algèbres \(A[x]\), \(x \in B\).

6–6

(4) Descente de l'amplitude, et (5) la rubrique vide (page 6)

Soient \(g : X \to Y\) un \(S\)-morphisme qcqs, \(L\) un faisceau inversible sur \(X\), et \(f : S' \to S\) fpqc. Alors \(L\) est très ample (resp. ample) relativement à \(Y\) si et seulement si \(L'\) l'est relativement à \(Y'\).

La démonstration de la page est la suivante. Comme \(g\) est qcqs, \(g_*(L)\) est quasi-cohérent et \(g_*(L)' \simeq g'_*(L')\). « Très ample » signifie que \(g^* g_*(L) \to L\) est surjectif, ce qui définit \(X \to \mathbf{P}(g_*(L))\), et que ce morphisme est une immersion ; la surjectivité descend, et l'immersion, qui est quasi-compacte, aussi. Si \(g\) est de type fini, « ample » se ramène à « très ample », localement sur \(Y\). En général, on utilise le critère : pour \(Y\) quasi-compact, \(L\) est ample relativement à \(Y\) si et seulement si, pour tout module quasi-cohérent de type fini \(F\) sur \(X\), \(g^* g_*(F \otimes L^{\otimes n}) \to F \otimes L^{\otimes n}\) est surjectif pour \(n\) assez grand.²² On retrouve la descente des morphismes quasi-affines, puisque \(g\) est quasi-affine si et seulement si \(\mathcal{O}_X\) est ample relativement à \(Y\).

NB. Parmi les propriétés usuelles de morphismes, les seules de la liste qui ne descendent pas sont « projectif » et « quasi-projectif ».²³

La page se clôt sur un titre : « (5) Questions d'effectivité de données de descente ». Rien n'est écrit dessous, et le bas de la feuille est vide.²⁴

7–9

II. Trois classes de morphismes (pages 7 à 9)

7–7

Morphismes radiciels, homéomorphismes universels, morphismes universellement ouverts (page 7)

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :²⁵

• (i)\(f\) est universellement injectif ;
• (ii)pour tout \(y \in Y\), la fibre \(X_y\) a au plus un point \(x\), et \(k(x)\) est une extension radicielle de \(k(y)\) ;
• (iii)pour tout corps \(K\), l'application \(X(K) \to Y(K)\) est injective ;
• (iv)le morphisme diagonal \(\delta_f : X \to X \times_Y X\) est surjectif.

Ces morphismes sont dits radiciels. Une immersion est radicielle ; donc le morphisme diagonal, qui est une immersion, l'est. La classe des morphismes radiciels satisfait les trois règles a), b), c) : stabilité par changement de base, par composition, et si \(gf\) est radiciel, \(f\) l'est.

Proposition. Un morphisme entier, radiciel et surjectif est un homéomorphisme universel. La page ajoute qu'on peut démontrer la réciproque, « mais c'est nettement plus difficile », et ne la démontre pas.²⁶

Exemples : si \(k'/k\) est une extension radicielle (par exemple la clôture parfaite), \(X_{k'} \to X\) est entier, radiciel et surjectif, donc un homéomorphisme universel ; de même la normalisation d'une courbe à point de rebroussement, \(t \mapsto (t^2, t^3)\) de la droite vers la cubique \(y^2 = x^3\).

Morphismes universellement ouverts. Un morphisme ouvert est générisant ; la réciproque vaut pour un morphisme localement de présentation finie. Donc un morphisme universellement ouvert est universellement générisant, et réciproquement s'il est localement de présentation finie. Les deux classes sont stables par changement de base et par composition.²⁷

8–8

Morphismes quasi-affines (page 8)

Un schéma est quasi-affine s'il est quasi-compact et isomorphe à un ouvert d'un schéma affine. Pour un schéma \(X\) qcqs, d'anneau \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\), les conditions suivantes sont équivalentes :

• (a)\(X\) est quasi-affine ;
• (b)\(X \to \operatorname{Spec} A\) est une immersion ouverte ;
• (b')\(X \to \operatorname{Spec} A\) est un homéomorphisme sur son image ;
• (c)\(\mathcal{O}_X\) est ample, c'est-à-dire : les \(X_f\) (\(f \in A\)) forment une base de la topologie ; ou : les \(X_f\) affines en forment une ; ou : tout module quasi-cohérent est engendré par ses sections globales ; ou : tout idéal quasi-cohérent l'est ;
• (d)il existe un faisceau inversible \(L\) tel que \(L\) et \(L^{-1}\) soient amples ;
• (d')tout faisceau inversible est ample.²⁸

Les morphismes quasi-affines sont stables par changement de base et par composition ; une immersion quasi-compacte est quasi-affine, donc la diagonale d'un morphisme quasi-séparé l'est ; si \(gf\) est quasi-affine et \(g\) quasi-séparé, \(f\) est quasi-affine.

Théorème. Un morphisme séparé et quasi-fini (de type fini, à fibres finies) est quasi-affine, donc quasi-projectif. C'est une forme du Main Theorem de Zariski.²⁹

Les définitions sont celles d'EGA II :³⁰ \(f\) est quasi-projectif s'il est de type fini et s'il existe un faisceau inversible \(f\)-ample ; propre s'il est séparé, de type fini et universellement fermé ; et, lorsque \(Y\) est quasi-compact, \(f\) est projectif si et seulement s'il est propre et quasi-projectif, ou encore universellement fermé et quasi-projectif.³¹

Le tableau encadré de la page se lit ainsi, chaque flèche étant une implication :

\begin{tikzcd}
\text{imm. fermée} \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] & \text{fini} \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] & \text{entier} \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] & \text{affine} \arrow[d, Rightarrow] \\
\text{imm. quasi-compacte} \arrow[d, Rightarrow] & \text{projectif} \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d, Rightarrow] & \text{univ. fermé} & \text{séparé} \\
\text{quasi-affine de t.f.} \arrow[r, Rightarrow] & \text{quasi-projectif} &  &
\end{tikzcd}

avec en outre : projectif \(\Rightarrow\) propre \(\Rightarrow\) universellement fermé ; propre \(\Rightarrow\) séparé ; quasi-projectif \(\Rightarrow\) séparé ; fini \(\Rightarrow\) affine de type fini \(\Rightarrow\) quasi-affine de type fini.³²

Théorème. Un morphisme est fini si et seulement s'il est propre et à fibres finies, si et seulement s'il est projectif et à fibres finies.³³

9–9

Faisceaux amples (page 9)

La marge porte « EGA II 4.5 », et la page résume en effet ce paragraphe d'EGA. Soient \(X\) un schéma qcqs et \(L\) un faisceau inversible ; pour \(f \in \Gamma(X, L^{\otimes n})\), \(n \geqslant 1\), on note \(X_f\) l'ouvert où \(f\) ne s'annule pas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

• (a)les \(X_f\) forment une base de la topologie de \(X\) ;
• (a')les \(X_f\) affines en forment une ;
• (b)pour tout module quasi-cohérent de type fini \(F\), \(F \otimes L^{\otimes n}\) est engendré par ses sections globales pour \(n\) grand ; autrement dit \(F\) est quotient d'une somme de copies de \(L^{\otimes -n}\) ;
• (b')la même chose pour les idéaux quasi-cohérents de type fini.

Si \(X\) est au-dessus d'un schéma affine \(S\), il suffit pour cela qu'une puissance \(L^{\otimes n}\), \(n > 0\), soit très ample relativement à \(S\) ; la condition est nécessaire si \(X\) est de type fini sur \(S\), et alors \(L^{\otimes n}\) est très ample pour tout \(n\) assez grand. On dit que \(L\) est ample s'il satisfait ces conditions ; si \(f : X \to Y\) est qcqs, \(L\) est \(f\)-ample s'il existe un recouvrement de \(Y\) par des ouverts affines \(Y_i\) au-dessus desquels \(L\) est ample ; c'est alors vrai au-dessus de tout ouvert affine. Si une puissance de \(L\) est très ample relativement à \(Y\), \(L\) est \(f\)-ample ; la réciproque vaut si \(f\) est de type fini et \(Y\) quasi-compact.

Proposition. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) qcqs, avec \(Z\) quasi-compact, \(L\) ample relativement à \(Y\) et \(M\) ample relativement à \(Z\). Il existe \(n_0\) tel que \(L \otimes f^*(M^{\otimes n})\) soit ample relativement à \(Z\) pour tout \(n \geqslant n_0\). De même pour « très ample ».³⁴

10–12

III. Plans de cours (pages 10 à 12)

Trois pages de plans, les deux premières à l'encre, la troisième au crayon, surchargées de flèches, d'accolades et de reprises. On n'en donne pas une lecture ligne à ligne — la transcription le fait —, mais ce qu'elles fixent : une manière d'organiser les classes de morphismes, et deux ordres de traitement.

10–11

Les règles de stabilité a), b), c) (pages 10 et 11)

Soit \(\mathcal{M}\) une classe de morphismes de schémas contenant les isomorphismes.³⁵

• a)Si \(f \in \mathcal{M}\), tout changement de base \(f'\) de \(f\) est dans \(\mathcal{M}\).
• b)Si \(f, g \in \mathcal{M}\), alors \(gf \in \mathcal{M}\).
• c)Si \(gf \in \mathcal{M}\), alors \(f \in \mathcal{M}\).

De a) et b) suit que \(f_1 \times_S f_2 \in \mathcal{M}\) si \(f_1, f_2 \in \mathcal{M}\), et la règle \[ (*) \qquad gf \in \mathcal{M} \text{ et } \Delta_g \in \mathcal{M} \ \Longrightarrow\ f \in \mathcal{M} . \] En effet, pour \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to S\), \(f\) se factorise en \(X \xrightarrow{\Gamma_f} X \times_S Y \xrightarrow{\mathrm{pr}_2} Y\) ; le graphe \(\Gamma_f\) est le changement de base de \(\Delta_g : Y \to Y \times_S Y\) par \(f \times \mathrm{id}_Y\), et \(\mathrm{pr}_2\) celui de \(gf : X \to S\) par \(g\).

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "\Gamma_f"] \arrow[d, "f"'] & X \times_S Y \arrow[d, "f \times \mathrm{id}_Y"] \\
Y \arrow[r, "\Delta_g"'] & Y \times_S Y
\end{tikzcd}

Sous a) et b), pour un morphisme \(g : Y \to S\), les conditions suivantes sont équivalentes :

• (i)\(\Delta_g \in \mathcal{M}\) ;
• (ii)pour tout \(S' \to S\), toute section de \(Y' \to S'\) est dans \(\mathcal{M}\) ;
• (iii)pour tout couple de \(S\)-morphismes \(u, v : X \rightrightarrows Y\), le noyau \(\operatorname{Ker}(u, v) \to X\) est dans \(\mathcal{M}\) ;
• (iv)pour tout \(S\)-morphisme \(f : X \to Y\), le graphe \(\Gamma_f\) est dans \(\mathcal{M}\) ;
• (v)pour tout \(S' \to S\) et tout \(S'\)-morphisme \(f : X \to Y'\), \(g'f \in \mathcal{M}\) entraîne \(f \in \mathcal{M}\).

Et c) équivaut, sous a) et b), à : toutes les diagonales sont dans \(\mathcal{M}\).³⁶

Les plans passent alors les classes en revue, en notant pour chacune les règles qu'elle satisfait. Morphismes quasi-compacts, de type fini : a) et b). Localement de type fini, immersions, morphismes séparés : a), b), c) ; si \(f\) est localement de type fini, sa diagonale est localement de présentation finie. Morphismes séparés : la diagonale est fermée, ou les noyaux de couples sont fermés, ou encore vaut le principe de prolongement des identités — deux \(S\)-morphismes d'un schéma réduit \(Z\) vers \(X\) qui coïncident sur un ouvert dense sont égaux.³⁷ Morphismes quasi-séparés : la diagonale est quasi-compacte ; sur une base quasi-séparée, cela revient à dire que l'intersection de deux ouverts quasi-compacts est quasi-compacte. Morphismes qcqs : a), b), et si \(gf\) est qcqs avec \(g\) quasi-séparé, \(f\) l'est ; si \(f\) est qcqs et \(F\) quasi-cohérent, \(f_*(F)\) et les \(R^i f_*(F)\) sont quasi-cohérents.³⁸ Morphismes de présentation finie (localement de présentation finie et qcqs) : a), b), et si \(gf\) est de présentation finie avec \(g\) de type fini et quasi-séparé, \(f\) l'est. Toutes ces notions sont locales sur la base.

Au milieu de la page 10, un NB mérite d'être rapporté pour lui-même : tous les schémas envisagés par « les Anciens » étaient de type fini et séparés sur des corps ; ceux qu'on envisage couramment pourraient être supposés séparés, pratiquement tous ceux qu'on rencontre sont quasi-séparés, et beaucoup sont quasi-compacts — « mais il y en a d'importants qui ne le sont pas ».

10–11

Deux programmes (pages 10 et 11)

Le bas de la page 10 donne un plan en quatre temps :

• a)Traversée du désert ;
• b)Passage au quotient, et langage faisceautique (descente fidèlement plate) ;
• c)Notion « géométrique » sur un corps ;
• d)Ensembles constructibles, passage à la limite.

C'est à peu près, sans que la page le dise, l'ordre de la première moitié d'EGA IV.³⁹

La page 11 dresse un autre programme, en trois blocs. I : morphismes quasi-compacts, de type fini, localement de présentation finie ; immersions ouvertes et fermées ; morphismes séparés ; les règles de stabilité. II : schémas noethériens, localement noethériens, artiniens ; irréductibles, connexes ; intègres ; normaux, réguliers ; puis les schémas locaux — un schéma quasi-compact qui n'a qu'un point fermé est le spectre d'un anneau local, puisque tout ouvert affine contenant ce point contient tous les autres.⁴⁰ III : les morphismes affines, quasi-séparés, qcqs, de présentation finie ; finis, entiers, quasi-finis ; projectifs, quasi-projectifs, quasi-affines ; radiciels, homéomorphismes universels ; propres. Des lettres cerclées (a) à (d) y fixent un ordre de traitement qui n'est pas celui de la liste : projectifs, puis propres, puis finis, puis radiciels. Une rubrique « Oubli » rappelle trois points : la cohérence du faisceau structural d'un schéma localement noethérien, la structure réduite induite sur un fermé, et qu'un schéma localement noethérien est quasi-séparé. Une bulle ajoute : « on verra tôt les schémas non séparés ». Suivent le prolongement d'un module quasi-cohérent, ou d'un sous-module, depuis un ouvert rétrocompact, et une accolade où « plat, fidèlement plat » est encadré.⁴¹

12–12

Le plan au crayon : schémas comme foncteurs, et \(P(M)\) (page 12)

La page 12 est la suite d'un plan à rubriques cerclées, dont se lisent (d) à (h). On y voit apparaître le point de vue que les pages 14 et 16 développeront.

(d) Schémas de type fini sur \(S\).⁴² Puis : « Schémas comme foncteurs : avantages respectifs des arguments anneaux (schémas affines) et des arguments schémas (vrais espaces localement annelés) ». La rubrique (e), biffée, annonçait un « corollaire du théorème de représentabilité ».

(f) Le schéma \(P(M)\), pour \(M\) quasi-cohérent sur \(S\). Il représente un foncteur « remarquable » sur la catégorie des espaces localement annelés au-dessus de \(S\) : celui qui associe à \(T\) l'ensemble des quotients inversibles de \(M_T\). La page ajoute entre parenthèses « univ. des topos loc. annelés sur \(S\) ».⁴³ Ses dépendances : par changement de base, fonctorielle en \(S\), et en \(M\) pour les épimorphismes. Les schémas quasi-projectifs sur \(S\) affine se plongent dans un \(P(M)\), avec \(M\) de type fini.

Relation avec le fibré vectoriel \(V(M) = \operatorname{Spec}(\operatorname{Sym} M)\), dont les points à valeurs dans \(T\) sont les formes linéaires \(M_T \to \mathcal{O}_T\). Soit \(V(M)^{*} \subset V(M)\) le sous-foncteur ouvert des formes surjectives. Le morphisme \(V(M)^{*} \to P(M)\) qui envoie une forme surjective sur le quotient qu'elle définit est un épimorphisme de faisceaux pour la topologie de Zariski — tout quotient inversible admet localement une telle forme, là où il est trivial. Le groupe \(\mathbb{G}_{m,S}\) opère sur \(V(M)\) par homothéties, laisse \(V(M)^{*}\) stable et y opère librement, et \[ P(M) \simeq V(M)^{*} / \mathbb{G}_m \qquad \text{(isomorphisme de faisceaux de Zariski).} \] C'est la présentation de l'espace projectif comme quotient de « l'espace affine privé de l'origine » par les homothéties, écrite pour un module quelconque.⁴⁴

(g) Limites projectives finies dans la catégorie des schémas. (h) Spectre d'une algèbre quasi-cohérente, et morphismes affines.

14–14

IV. Les schémas comme foncteurs (pages 14 et 16)

Morphismes vers un schéma affine, et le diagramme des faisceaux (page 14)

Proposition. Soient \(\mathcal{X}\) un espace localement annelé au-dessus de \(k\) et \(A\) une \(k\)-algèbre. L'application \[ \operatorname{Hom}_k(\mathcal{X}, \operatorname{Spec} A) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}\bigl(A, \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\bigr) \] est bijective.

La page construit l'inverse. Soit \(u : A \to \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\). Pour \(x \in \mathcal{X}\), on pose \(\varphi(x) = \) le noyau du composé \(A \to \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}}) \to k(x)\), qui est un idéal premier. Pour \(f \in A\), \(\varphi^{-1}(Y_f)\) est l'ensemble des \(x\) où \(u(f)_x\) est inversible, c'est-à-dire l'ouvert \(\mathcal{X}_{u(f)}\) : \(\varphi\) est continue. Les homomorphismes \(A_f \to \Gamma(\mathcal{X}_{u(f)}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\), qui rendent \(f\) inversible, sont compatibles aux restrictions et définissent un morphisme d'espaces annelés,⁴⁵ qui est local sur les fibres parce que \(\mathcal{X}\) est localement annelé.⁴⁶

Conséquence. La catégorie des \(k\)-schémas est la catégorie des schémas au-dessus de \(S = \operatorname{Spec} k\) ; mais la catégorie \(\mathrm{Sch}_{/S}\) est importante sans que \(S\) soit nécessairement affine.

Le grand diagramme de la page met en place trois catégories et leurs catégories de préfaisceaux et de faisceaux de Zariski : \[ \mathrm{Aff}_k \simeq (\mathrm{Alg}_k)^{\circ} \subset \mathrm{Sch}_k \subset \mathrm{Locan}_k , \] où \(\mathrm{Locan}_k\) est la catégorie des espaces localement annelés au-dessus de \(k\), chaque inclusion étant pleine. Les préfaisceaux sur \(\mathrm{Aff}_k\) sont les foncteurs covariants \(\mathrm{Alg}_k \to \mathrm{Ens}\). La restriction des préfaisceaux de \(\mathrm{Sch}_k\) à \(\mathrm{Aff}_k\) n'est pas pleinement fidèle, et la page le note.⁴⁷ En revanche la restriction des faisceaux de Zariski est une équivalence : \[ \widetilde{\mathrm{Sch}_k} \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{\mathrm{Aff}_k} \simeq \{\text{faisceaux de Zariski } \mathrm{Alg}_k \to \mathrm{Ens}\} , \] parce que tout schéma est recouvert par des schémas affines.⁴⁸

La page pose alors la question : comment exprimer en algèbre commutative qu'un foncteur \(F : \mathrm{Alg}_k \to \mathrm{Ens}\) est un faisceau de Zariski ? La réponse est : pour toute \(k\)-algèbre \(A\) et toute famille finie \((f_i)\) d'éléments engendrant l'idéal unité, la suite \[ F(A) \to \prod_i F(A_{f_i}) \rightrightarrows \prod_{i,j} F(A_{f_i f_j}) \] est exacte.⁴⁹ Un ajout au crayon rappelle que \(\widehat{C}_{/S} \simeq \widehat{C_{/S}}\) pour \(C = \mathrm{Aff}_k\) : préfaisceaux au-dessus d'un objet et préfaisceaux sur la catégorie au-dessus.⁵⁰ Suivent deux notes : les sommes s'interprètent en termes de faisceaux (sup de sous-faisceaux), et les limites projectives finies ne posent pas de difficulté.

16–16

Le critère de représentabilité (page 16)

Un sous-foncteur \(F_i \subset F\) est ouvert si, pour tout schéma \(T\) et tout \(T \to F\), le produit fibré \(T \times_F F_i\) est représenté par un ouvert de \(T\). Une famille de sous-foncteurs ouverts recouvre \(F\) si, pour tout \(T \to F\), les ouverts correspondants recouvrent \(T\) ; c'est ce que la page écrit \(F = \operatorname{Sup} F_i\), le sup étant pris dans la catégorie des faisceaux.

Proposition. Un foncteur \(F : (\mathrm{Sch}_{/S})^{\circ} \to \mathrm{Ens}\) est représentable si et seulement si (a) \(F\) est un faisceau de Zariski, et (b) \(F\) est recouvert par une famille de sous-foncteurs ouverts représentables.

Corollaire. On peut exiger en (b) que les \(F_i\) soient des schémas affines. En particulier, pour \(S = \operatorname{Spec} k\), un foncteur \(\mathrm{Alg}_k \to \mathrm{Ens}\) est un schéma si et seulement si c'est un faisceau de Zariski qu'on peut recouvrir par des sous-foncteurs ouverts affines.⁵¹

Et la page conclut : « Ainsi, la notion de schéma est explicitée sans recours à la notion d'espaces topologiques, faisceau d'anneaux, espaces loc. annelés ». C'est la définition des schémas par leur foncteur des points, qu'on trouve ainsi rédigée dans le traité de Demazure et Gabriel (1970).⁵²

Applications annoncées : (a) représentabilité du foncteur \(P(E)\), \(E\) localement libre sur \(S\) — par exemple un espace vectoriel de dimension finie sur un corps — ; (b) représentabilité de \(\operatorname{Spec}\) d'une algèbre ; (c) produits fibrés, et plus généralement limites projectives finies ; (d) limites projectives filtrantes de schémas affines au-dessus d'un schéma. Une bulle en marge ajoute : sommes disjointes, et disjointes universelles.

22–24

V. Le cours : prérequis et plan (pages 22 à 24, 26 à 28)

22–22

La page anglaise (page 22)

La page s'ouvre en anglais : « Prerequisites for the courses I and II ». Le cours I est une introduction à la géométrie algébrique, qui suppose la théorie des catégories et de l'algèbre de base, y compris un peu d'algèbre commutative — la page renvoie à Bourbaki et promet de rappeler la plupart des faits utilisés. Le cours II est une introduction aux groupes algébriques, qui suppose les notions de base de la géométrie algébrique. Le sujet, dit la page, est « messy » ; on ne pourra en donner, dans ce cours d'été, qu'un survol de quelques points clés, en esquissant des démonstrations le plus souvent directes, et un travail personnel sera nécessaire à qui n'a pas déjà une bonne formation. Et, pour finir : « The content of I are prerequisites for II! ».

Le plan, en français, commence aussitôt dessous.

(1)–(3) Équations, et le point de vue géométrique (page 22)

Soient \(k\) un anneau, \(I\) et \(J\) des ensembles finis ou infinis, et \(P_I = k[(T_i)_{i \in I}]\).⁵³ Un point \(x \in k^I\) est la même chose qu'un homomorphisme de \(k\)-algèbres \(\varepsilon_x : P_I \to k\), et \(f(x) = \varepsilon_x(f)\). On considère un système d'équations \(F_j(T) = 0\), \(j \in J\).

Il y a deux points de vue. Le point de vue arithmétique étudie les solutions dans \(k\) lui-même, et il dépend fortement de la nature de \(k\). Le point de vue géométrique, issu de la géométrie sur \(\mathbb{R}\) et sur \(\mathbb{C}\), étudie les solutions dans toutes les \(k\)-algèbres \(k'\), la manière dont elles varient, et les propriétés du système qui sont stables par changement de \(k'\). On introduit donc le foncteur \[ \mathbb{E}^I_k : \mathrm{Alg}_k \to \mathrm{Ens}, \qquad k' \longmapsto k'^I , \] et son sous-foncteur \(V_S \subset \mathbb{E}^I_k\) des solutions du système \(S = (F_j)\). On peut étudier \(V_S\) indépendamment de son plongement, ou étudier le plongement lui-même.

23–23

(4)–(5) Les schémas affines comme foncteurs représentables (page 23)

Un sous-foncteur fermé de \(\mathbb{E}^I_k\), c'est-à-dire de la forme \(V_S\), est ce que la page appelle un espace algébrique affine. On a \(V_S = V_J\), où \(J\) est l'idéal engendré par \(S\), et c'est le système d'équations le plus naturel.⁵⁴ Avec \(A_J = P_I / J\) : \[ V_J(k') = \{ u : P_I \to k' \mid u(J) = 0 \} \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(A_J, k') , \] c'est-à-dire \(V_J = V_{A_J}\). Toute \(k\)-algèbre étant quotient d'une algèbre de polynômes, les foncteurs \(V_S\) sont, à isomorphisme près, exactement les foncteurs représentables \(V_A\) ; se donner un isomorphisme \(V_A \simeq V_S\) revient à se donner un isomorphisme \(A \simeq P_I / J\). Plus précisément, un monomorphisme de foncteurs \(V_A \to \mathbb{E}^I_k\) correspond à un épimorphisme d'anneaux \(P_I \to A\), qui n'est pas nécessairement surjectif — ainsi \(k[T] \to k[T, T^{-1}]\) ; les plongements fermés correspondent aux homomorphismes surjectifs, c'est-à-dire aux systèmes de générateurs \((a_i)_{i \in I}\) de la \(k\)-algèbre \(A\).⁵⁵

Corollaire (5). La catégorie des schémas affines sur \(k\) est anti-équivalente à celle des \(k\)-algèbres.⁵⁶ Ceux qui se plongent comme sous-foncteurs fermés dans un \(\mathbb{E}^n_k\), \(n\) fini, correspondent aux \(k\)-algèbres de type fini. Les sous-foncteurs fermés de \(\mathbb{E}^I_k\) correspondent aux idéaux de \(P_I\), en renversant l'ordre : \(V_J \subset V_{J'}\) si et seulement si \(J' \subset J\), puisque \[ J = \{ f \in P_I \mid f(x) = 0 \text{ pour toute } k\text{-algèbre } k' \text{ et tout } x \in V_J(k') \} ; \] il suffit en effet de prendre \(k' = A_J\) et pour \(x\) le point universel.

24–24

(6)–(8) Restriction aux corps, Nullstellensatz, fonctions (page 24)

(6) Que se passe-t-il si l'on ne regarde que les points à valeurs dans des corps ? Notons \(V'_S\) la restriction de \(V_S\) aux corps sur \(k\). Alors \(V'_S = V'_J = V'_{\sqrt{J}}\), et \(J \mapsto V'_J\) n'est plus injective ; mais elle l'est sur les idéaux radicaux, car \[ \sqrt{J} = \{ f \in P_I \mid f(x) = 0 \text{ pour tout corps } k' \text{ sur } k \text{ et tout } x \in V_J(k') \} . \] C'est l'énoncé d'algèbre commutative : dans tout anneau, l'intersection des noyaux des homomorphismes vers des corps — l'intersection des idéaux premiers — est le nilradical. Donc \(\sqrt{J} \subset \sqrt{J'}\) si et seulement si \(V'_{J'} \subset V'_J\).⁵⁷

(6') Les mêmes conclusions valent si l'on se restreint à une classe plus petite de corps, pourvu qu'elle soit assez grande : pour \(I\) fini, les extensions finies des corps résiduels de \(k\) suffisent, et si \(k\) est un corps algébriquement clos, \(k\) lui-même suffit. C'est le Nullstellensatz, que la marge nomme : dans une algèbre de type fini sur un corps, tout idéal premier (ou radical) est intersection d'idéaux maximaux.⁵⁸

(7) « Importance des … » : le reste est illisible.

(8) Par Yoneda, \[ A \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(k[T], A) \simeq \operatorname{Hom}(V_A, \mathbb{E}^1_k) : \] \(A\) est l'anneau des fonctions sur le schéma affine \(V_A\). Si \(A = P_I / J\) et si \(f \in A\) se relève en \(g \in P_I\), la fonction \(f_{k'} : V_A(k') \to k'\) est induite par \(g_{k'} : k'^I \to k'\). La structure d'anneau de \(A\) provient de la structure d'anneau du foncteur \(\mathbb{E}^1_k\), c'est-à-dire de la droite affine vue comme schéma en anneaux.⁵⁹

26–27

(9) Limites projectives dans \(\mathrm{Aff}_k\) (pages 26 et 27)

Les limites projectives dans \(\mathrm{Aff}_k\) correspondent aux limites inductives dans \(\mathrm{Alg}_k\). Le point de vue adapté est celui de \(\mathrm{Aff}_k\) comme sous-catégorie pleine des préfaisceaux : le plongement de Yoneda commute aux limites projectives qui existent, et les limites se calculent donc point par point.

• Les produits correspondent aux produits tensoriels : \(\prod_i V_{A_i} = V_{\bigotimes_i A_i}\). L'objet final est \(e_k = V_k\) ; ses sections dans \(X\) sont les points de \(X\) à valeurs dans \(k\).
• Les produits fibrés correspondent à \(B \otimes_A C\), produit dans \(\mathrm{Aff}_{k/S}\), somme dans \(\mathrm{Alg}_A\). Le changement de base \(\mathrm{Aff}_{/S} \to \mathrm{Aff}_{/S'}\) est adjoint à droite de l'oubli \(\mathrm{Aff}_{/S'} \to \mathrm{Aff}_{/S}\) ; en termes de foncteurs, c'est la restriction d'un foncteur sur les \(k\)-algèbres aux \(k'\)-algèbres.
• Produits et produits fibrés donnent toutes les limites. Le noyau d'une double flèche \(u, v : X \rightrightarrows Y\) est \(X \times_{Y \times Y} Y\), pris le long de \((u, v)\) et de la diagonale. Du côté des algèbres, le conoyau de \(u, v : A \rightrightarrows B\) est \(B\) divisé par l'idéal engendré par les \(u(x) - v(x)\), ou encore \(B \otimes_{A \otimes A} A\), puisque la multiplication \(A \otimes A \to A\) est surjective de noyau engendré par les \(x \otimes 1 - 1 \otimes x\).
• Les limites projectives filtrantes correspondent aux limites inductives filtrantes d'algèbres, qui se calculent sur les ensembles sous-jacents.

Exemples, vers les groupes. Le noyau d'un homomorphisme de groupes algébriques affines \(G \to G'\) est un groupe algébrique affine ; ainsi \(\mathrm{SL}(n)_k = \operatorname{Ker}\bigl(\mathrm{GL}(n)_k \xrightarrow{\det} \mathbb{G}_{m,k}\bigr)\). Si \(G\) opère sur \(X\) et \(x \in X(k) = \operatorname{Hom}(e_k, X)\), le stabilisateur \(G_{(x)}\) est le produit fibré de \(G \to X\), \(g \mapsto g.x\), et de \(x : e_k \to X\). Pour plusieurs points \(x_i \in X_i(k)\), l'intersection des stabilisateurs — un produit fibré encore — est le stabilisateur de \((x_i)\) dans \(\prod X_i\). Ce sont des schémas en groupes affines définis par leur foncteur des points.

27–28

(10) Limites inductives dans \(\mathrm{Aff}_k\) (pages 27 et 28)

Les limites inductives dans \(\mathrm{Aff}_k\) ne s'interprètent pas commodément en termes de foncteurs sur les algèbres et n'ont guère de sens géométrique, sauf dans des cas très particuliers. Elles correspondent aux limites projectives d'algèbres, qui se calculent sur les ensembles — « nous fait une belle jambe ! ».

L'exemple. Soient \(G = \mathrm{GL}(n)_k\) et \(B \subset G\) le sous-groupe des matrices triangulaires. \(B\) définit une relation d'équivalence sur \(G\), et le quotient \(G/B\) calculé dans \(\mathrm{Aff}_k\) est \(e_k\) — « ce qui est idiot ! ». En effet ce quotient est le spectre de l'algèbre des fonctions sur \(G\) invariantes par \(B\), qui sont les fonctions globales sur la variété des drapeaux ; celle-ci est projective et connexe, et ses seules fonctions globales sont les constantes.⁶⁰

Sommes. Les sommes dans \(\mathrm{Aff}_k\) correspondent aux produits d'algèbres. Seules les sommes finies ont une interprétation géométrique simple. Pour \(I\) fini et \(X = V_{\prod A_i}\), l'application \[ \coprod_i \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(A_i, k') \longrightarrow \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}\Bigl(\prod_i A_i,\ k'\Bigr) \] est injective si \(k' \neq 0\), mais pas bijective en général : un homomorphisme \(\prod A_i \to k'\) est la donnée d'une famille \((e_i)\) d'idempotents de \(k'\) orthogonaux deux à deux et de somme \(1\), et d'homomorphismes \(A_i \to k' e_i\).⁶¹ Si \(k'\) est connexe, c'est-à-dire non nul et sans idempotent autre que \(0\) et \(1\) — par exemple intègre, ou local, ou tel que \(k' / \mathrm{Nil}(k')\) soit intègre —, l'application est bijective.

Pour \(I = \emptyset\) on trouve l'objet initial \(\emptyset_k = V_0\), spectre de l'algèbre nulle : \(\emptyset_k(k')\) est vide si \(k' \neq 0\) et réduit à un point si \(k' = 0\). C'est un objet initial strict — tout objet qui a une flèche vers lui lui est isomorphe —, le « \(k\)-espace algébrique vide ».

Conoyaux. Le conoyau de \(u, v : R \rightrightarrows X\) dans \(\mathrm{Aff}_k\) correspond au noyau de \(A \rightrightarrows B\) ; il n'a en général pas beaucoup de sens. La page le juge « O.K. » si \(R\) est une relation d'équivalence sur \(X\) finie sur \(X\), et renvoie à « la question des passages au quotient », qui n'est pas traitée dans le dossier.⁶²

Enfin, les sous-schémas fermés d'un schéma affine \(V_A\) correspondent aux idéaux de \(A\), l'ordre étant renversé.

28–29

VI. Le spectre (pages 28 à 31, et 21)

La rubrique (11) associe à un schéma affine \(\mathfrak{X} = V_A\) un objet géométrique, en trois temps : un ensemble, une topologie, un faisceau d'anneaux.⁶³

(a) L'ensemble sous-jacent (pages 28 et 29)

Deux points géométriques de \(\mathfrak{X}\), à valeurs dans des corps, ont même « lieu » s'ils proviennent d'un même point à valeurs dans un corps plus petit ; l'ensemble des lieux est en bijection avec l'ensemble \(\operatorname{Spec} A\) des idéaux premiers de \(A\), le point \(u : A \to k'\) ayant pour lieu \(\operatorname{Ker} u\). À chaque point \(x\) est attaché son corps résiduel \(k(x)\), qui représente le foncteur « ensemble des points à valeurs dans le corps \(k'\) de lieu \(x\) » : ces points sont les \(k\)-plongements \(k(x) \to k'\).

29–30

(b) La topologie de Zariski (pages 29 et 30)

Les fermés de \(X = \operatorname{Spec} A\) sont les \(V(S)\), pour \(S \subset A\) : \(V(S)\) est l'ensemble des idéaux premiers qui contiennent \(S\), c'est-à-dire des lieux des points géométriques où tous les éléments de \(S\) s'annulent.⁶⁴ On a \(V(S) = V(J_S) = V(\sqrt{J_S})\), où \(J_S\) est l'idéal engendré, et il est bon de se borner aux idéaux radicaux : \(V(S) \subset V(S')\) si et seulement si \(\sqrt{J_S} \supset \sqrt{J_{S'}}\), ce qui est l'énoncé (6) de la page 24 relu dans le spectre. De plus \[ V\Bigl(\bigcup_i S_i\Bigr) = V\Bigl(\sum_i J_i\Bigr) = \bigcap_i V(J_i) \quad (I \text{ quelconque}), \] \[ V\Bigl(\bigcap_i J_i\Bigr) = V\Bigl(\prod_i J_i\Bigr) = \bigcup_i V(J_i) \quad (I \text{ fini}), \] la seconde parce qu'un premier qui contient un produit fini d'idéaux contient l'un d'eux. La somme de deux idéaux radicaux n'est pas nécessairement radicale, note la page ; ainsi \((y) + (y - x^2) = (y, x^2)\) dans \(k[x, y]\).⁶⁵

C'est donc une topologie. L'adhérence d'un point \(x\), d'idéal \(\mathfrak{p}_x\), est \(V(\mathfrak{p}_x)\), et \(x \in \overline{\{y\}}\) si et seulement si \(\mathfrak{p}_x \supset \mathfrak{p}_y\). Les ouverts \(X_f = X \setminus V(f)\) forment une base stable par intersections finies : \(X_1 = X\), \(X_{fg} = X_f \cap X_g\). L'espace \(X\) est quasi-compact : si \(A = \sum_{i \in I} J_i\), il existe une partie finie \(I_0 \subset I\) telle que \(A = \sum_{i \in I_0} J_i\).⁶⁶ Si \(J\) est un idéal, \(\operatorname{Spec}(A/J)\) s'identifie au sous-espace fermé \(V(J)\), qui ne change pas si l'on remplace \(J\) par \(\sqrt{J}\) : tout fermé est homéomorphe au spectre d'un anneau réduit.

Proposition. Si \(A\) est réduit, \(\operatorname{Spec} A\) est irréductible si et seulement si \(A\) est intègre. En effet, \(X = V(J') \cup V(J'')\) équivaut à \(J'J'' \subset \mathrm{Nil}(A) = 0\), et \(V(J') = X\) à \(J' = 0\).

Corollaire. Pour \(A\) quelconque, les fermés irréductibles de \(X\) sont les \(V(\mathfrak{p})\), \(\mathfrak{p}\) premier, en bijection décroissante avec les idéaux premiers, et \(V(\mathfrak{p})\) est l'adhérence du point \(\mathfrak{p}\). En particulier tout fermé irréductible a un unique point générique : \(X\) est sobre.

Avec la quasi-compacité des \(X_f \simeq \operatorname{Spec} A_f\), que la marge de la page 30 rappelle, ce sont exactement les propriétés qui caractérisent aujourd'hui les espaces spectraux.⁶⁷ Enfin, l'espace \(\operatorname{Spec} A\) ne dépend que de la structure d'anneau de \(A\), et non de sa structure de \(k\)-algèbre.

30–31

(c) Le faisceau structural (pages 30 et 31)

« On ne peut reconstituer \(A\) à partir du seul espace topologique » : tous les corps ont le même spectre. Il faut donc un faisceau d'anneaux, et la page le construit sur la base des \(X_f\).

On a \(X_f \subset X_g\) si et seulement si \(f \in \sqrt{gA}\), c'est-à-dire s'il existe \(n \in \mathbb{N}\) et \(h \in A\) avec \(f^n = gh\) ; on écrit \(f \prec g\). C'est un préordre. Un préfaisceau sur la base est la donnée d'un ensemble \(P(f)\) pour chaque \(f\) et d'une restriction \(P(g) \to P(f)\) pour \(f \prec g\), transitives, et l'identité pour \(f = g\). On a \(X_f = \bigcup_{i \in I} X_{f_i}\) si et seulement si \(f_i \prec f\) pour tout \(i\) et s'il existe \(n\) et des \(h_i\), presque tous nuls, avec \(f^n = \sum_i f_i h_i\) ; et le préfaisceau est un faisceau si, pour tout tel recouvrement, la suite \[ P(f) \longrightarrow \prod_i P(f_i) \rightrightarrows \prod_{i,j} P(f_i f_j) \] est exacte.⁶⁸

Soit \(M\) un \(A\)-module. Pour \(f \in A\), on pose \(M_f = \varinjlim_n M\), les flèches de transition étant la multiplication par \(f^{n'-n}\) ; les éléments de \(M_f\) sont les \(m/f^n\), avec les règles de calcul habituelles, et \(M \to M_f\) est la solution universelle du problème de rendre \(f\) inversible. On a \(M_f \simeq M \otimes_A A_f\).

Lemme. Si \(f \prec g\), il existe un unique homomorphisme \(M_g \to M_f\) compatible aux applications canoniques ; car \(f^n = gh\) étant inversible sur \(M_f\), \(g\) l'est aussi.

On obtient ainsi un préfaisceau \(\widetilde{M}\) sur la base des \(X_f\), qui est un préfaisceau de modules sur le préfaisceau d'anneaux \(f \mapsto A_f\). C'est un faisceau : la suite \(M_f \to \prod_i M_{f_i} \rightrightarrows \prod_{i,j} M_{f_i f_j}\) est exacte dès que \(X_f = \bigcup X_{f_i}\). Comme \((M_f)_g \simeq M_g\) pour \(g \prec f\), on se ramène au cas \(f = 1\), \(\sum f_i h_i = 1\), qui est l'argument classique de partition de l'unité.⁶⁹

En particulier, \(X\) est annelé par \(\mathcal{O}_X = \widetilde{A}\), faisceau de \(A\)-algèbres. Sa fibre en \(x\), d'idéal \(\mathfrak{p}\), est la limite inductive des \(A_f\) pour \(f \notin \mathfrak{p}\) ; comme \(A \setminus \mathfrak{p}\) est filtrant pour \(\succ\), c'est le localisé \(A_{\mathfrak{p}}\), et c'est un anneau local. De même la fibre de \(\widetilde{M}\) est \(M_{\mathfrak{p}}\).

21–21

Fonctorialité et topologie des spectres (page 21)

La page 21, sous le titre « Topologie des spectres », appartient à cette rubrique, et plus précisément à la « 10') Fonctorialité de \(\operatorname{Spec} A\) » qu'annonce la marge de la page 30 : elle emploie les lettres gothiques et les \(V_A\) du plan, et suppose connue la base des \(X_f\).

Un espace est noethérien si toute suite décroissante de fermés est stationnaire ; il est alors quasi-compact, et tout fermé n'a qu'un nombre fini de composantes irréductibles.⁷⁰ Dans un espace dont les composantes irréductibles sont en nombre fini — ou plus généralement forment une famille localement finie —, les composantes connexes sont ouvertes.

Soient \(u : A \to B\) et \(\varphi : X = \operatorname{Spec} B \to Y = \operatorname{Spec} A\). Alors⁷¹ \[ \varphi(\mathfrak{q}) = u^{-1}(\mathfrak{q}), \qquad \varphi^{-1}(V(J)) = V(u(J)B), \qquad \varphi^{-1}(Y_f) = X_{u(f)} . \]

• a)Si \(u\) est surjectif, \(\varphi\) est une immersion fermée.
• b)Pour \(u : A \to A_f\), \(\varphi\) est une immersion ouverte, et \(\operatorname{Spec}(A_f) \simeq Y_f\). Dans ces deux cas les extensions résiduelles sont triviales ; il en va de même dès que \(u\) est un épimorphisme d'anneaux, c'est-à-dire dès que \(V_B \to V_A\) est un monomorphisme.
• c)Pour \(I\) fini, \(\operatorname{Spec} \prod_{i \in I} A_i \simeq \coprod_i \operatorname{Spec} A_i\).⁷²
• d)Le foncteur « espace sous-jacent » ne commute pas aux produits fibrés : l'application \[ \lvert \mathfrak{X} \times_S \mathfrak{Y} \rvert \longrightarrow \lvert \mathfrak{X} \rvert \times_{\lvert S \rvert} \lvert \mathfrak{Y} \rvert \] est surjective mais non injective ; sa fibre au-dessus de \((x, y)\), avec \(x\) et \(y\) au-dessus de \(s\), est \(\operatorname{Spec}\bigl(k(x) \otimes_{k(s)} k(y)\bigr)\), qui n'est pas vide. Ses points correspondent aux corps composés \(K'\) de \(k(x)\) et \(k(y)\) au-dessus de \(k(s)\) ; la page les dessine en quatre croquis, et la marge renvoie à l'exemple du plan \(\mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^1\).

Sur un corps algébriquement clos et pour des schémas de type fini, c'est le spectre maximal qui commute aux produits finis, en tant qu'ensemble — ses points sont les points rationnels —, mais sa topologie n'est pas la topologie produit.⁷³

19–20

VII. Compléments : sommes, limites et spectres dans \(\mathrm{Aff}_k\) (pages 19 et 20)

La feuille est titrée de sa main « Géom. Algébrique » et annonce des « compléments sur le formalisme des \(\varprojlim\) et des sommes dans \(\mathrm{Aff}_k\) ». Elle complète les rubriques (9) et (10), dont elle emploie les notations, et suppose le spectre de la rubrique (11).

a) Les sommes finies sont disjointes et universelles. Soit \(X = \coprod_{i \in I} X_i\), \(I\) fini, c'est-à-dire \(A = \prod_i A_i\). Alors : chaque \(X_i \to X\) est un monomorphisme, et même une immersion fermée, puisque \(A \to A_i\) est surjectif ; \(X_i \times_X X_j = \emptyset\) pour \(i \neq j\), puisque \(A_i \otimes_A A_j = 0\) (l'idempotent de \(A_i\) vaut \(1\) dans \(A_i\) et \(0\) dans \(A_j\)) ; et pour tout \(X' \to X\), \(X' \simeq \coprod_i X'_i\) avec \(X'_i = X' \times_X X_i\), puisque toute \(A\)-algèbre \(B\) se décompose en \(\prod_i B e_i\). Donc les produits, et les produits fibrés, sont distributifs par rapport aux sommes finies.

Il en résulte que le foncteur \[ (\text{ensembles finis}) \longrightarrow \mathrm{Aff}_k, \qquad \Gamma \longmapsto \Gamma_k = \coprod_{\Gamma} e_k = V_{k^{\Gamma}} \] commute aux produits finis et aux produits fibrés, donc aux limites projectives finies. Il transforme donc un monoïde (un groupe) fini en un monoïde (un groupe) algébrique affine : c'est le schéma en groupes constant \(\Gamma_k\). Son algèbre est l'algèbre \(k^{\Gamma}\) des fonctions sur \(\Gamma\), contravariante en \(\Gamma\) ; si \(\Gamma\) a une loi \(\Gamma \times \Gamma \to \Gamma\), elle définit la comultiplication \(k^{\Gamma} \to k^{\Gamma \times \Gamma} \simeq k^{\Gamma} \otimes k^{\Gamma}\).⁷⁴ Le foncteur \(\Gamma_k\) associe à \(k'\) l'ensemble des décompositions de \(1\) en idempotents orthogonaux indexées par \(\Gamma\),⁷⁵ ce qui redonne l'ensemble \(\Gamma\) lorsque \(k'\) est connexe ; et \(\operatorname{Spec} k^{\Gamma} = \coprod_{\Gamma} \operatorname{Spec} k\).

b) Produits fibrés le long d'un monomorphisme. Si l'un des deux morphismes est un monomorphisme, le carré des espaces sous-jacents est encore cartésien, en tant que carré d'ensembles : les extensions résiduelles d'un monomorphisme sont triviales (page 21), et les fibres \(\operatorname{Spec}\bigl(k(x) \otimes_{k(y)} k(y')\bigr)\) sont réduites à un point. Si de plus \(\mathfrak{Y}' \to \mathfrak{Y}\) est une immersion fermée, une immersion ouverte, ou plus généralement correspond à une localisation \(A \to S^{-1}A\) — trois classes stables par changement de base, et formées d'homéomorphismes sur l'image —, la topologie de \(X'\) est la topologie induite par celle de \(X\).⁷⁶ Cas particulier : l'intersection de deux sous-objets.

c) Adhérence de l'image. Pour \(u : A \to B\) et \(\varphi : X = \operatorname{Spec} B \to Y = \operatorname{Spec} A\), et \(Z = V(J) \subset X\), on a \(\overline{\varphi(Z)} = V(u^{-1}(J))\). En particulier \(\varphi\) est dominant si et seulement si \(\operatorname{Ker} u \subset \mathrm{Nil}(A)\).⁷⁷

15–17

VIII. Feuillets étrangers au cours : le produit de deux topos (pages 17 et 15), et la page 25

Les pages 15 et 17 ne parlent pas de géométrie algébrique. Elles portent sur une question de théorie des topos, et on les lit dans l'ordre de l'argument : la page 17, qui reprend en cours de raisonnement, puis la page 15, qui la continue.⁷⁸

Le cadre est posé ailleurs. Dans le dossier 161-6, à la page 22 — une page barrée d'une croix, mais lisible —, on lit : pour un topos \(E\) et une petite catégorie \(C\), \(\pi(C, E) = \underline{\operatorname{Hom}}(C^{\circ}, E)\) est un topos, qui dépend 2-fonctoriellement de \((C, E)\) ; on définit un morphisme de topos \(\gamma(C, E) : \pi(C, E) \to \widehat{C} \times E\) vers le produit dans la 2-catégorie des topos ; et l'on demande si \(\gamma(C, E)\) est toujours une équivalence, en notant trois cas : les sommes, les groupoïdes, et \(E = \widehat{D}\), où \(\pi(C, E) \simeq \widehat{C \times D}\).⁷⁹ La page 17 de notre dossier s'y enchaîne par le contenu : elle s'ouvre sur « donc la question est si c'est une équiv. de topos », traite le cas \(E = \widehat{D}\), puis le cas général. Rien sur les feuillets ne dit laquelle des deux pages a été écrite la première.⁸⁰

17–17

Le cas des préfaisceaux, puis la réduction (page 17)

Pour \(E = \widehat{D}\), la question devient : \[ (2) \qquad \widehat{C \times D} \overset{?}{\simeq} \widehat{C} \times \widehat{D} . \] Si \(C\) et \(D\) ont des limites projectives finies, \(C \times D\) aussi, et l'on conclut par la propriété universelle des topos de préfaisceaux : pour une catégorie \(A\) à limites finies et un topos \(E\), \[ \underline{\operatorname{Homtop}}(E, \widehat{A}) \simeq \bigl(\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{lex}}(A, E)\bigr)^{\circ}, \qquad u \longmapsto u^{*}|_A , \] les morphismes de topos \(E \to \widehat{A}\) correspondant aux foncteurs exacts à gauche \(A \to E\).⁸¹ Un foncteur exact à gauche sur \(C \times D\) est la même chose qu'un couple de foncteurs exacts à gauche sur \(C\) et sur \(D\), et (2) est une équivalence.

Dans le cas général, on choisit un plongement pleinement fidèle \(i : C \to C'\) dans une petite catégorie à limites finies, et un plongement de topos \(j : E \hookrightarrow \widehat{D}\), c'est-à-dire une présentation \(E \simeq \widetilde{D}\) par un site \(D\), qu'on peut prendre à limites finies. On obtient un carré commutatif à isomorphisme près :

\begin{tikzcd}
\pi(C, \widetilde{D}) \arrow[r, "{\alpha = \pi(i, j)}"] \arrow[d, "\gamma"'] & \pi(C', \widehat{D}) \simeq \widehat{C' \times D} \arrow[d, "\gamma'"] \\
\widehat{C} \times \widetilde{D} \arrow[r, hook, "{\beta = i \times j}"'] & \widehat{C'} \times \widehat{D}
\end{tikzcd}

où \(\gamma'\) est une équivalence par le cas précédent, et \(\beta\) un plongement de topos, produit de deux plongements. Le morphisme \(\alpha\) se factorise en \[ \pi(C, \widetilde{D}) \xrightarrow{\ \alpha_0\ } \pi(C, \widehat{D}) \simeq \widehat{C \times D} \xrightarrow{\ \alpha_1\ } \pi(C', \widehat{D}) \simeq \widehat{C' \times D} ; \] \(\alpha_1\) est un plongement parce que \(C \times D \to C' \times D\) est pleinement fidèle, et \(\alpha_0\) en est un parce que son image directe, \(u \mapsto j_* \circ u\), est pleinement fidèle.

Corollaire. \(\gamma(C, E) : \pi(C, E) \to \widehat{C} \times E\) est un plongement de topos. En effet \(\beta\gamma \simeq \gamma'\alpha\) est un plongement, et \(\beta\) aussi, donc l'image directe de \(\gamma\) est pleinement fidèle.

Reste à montrer que \(\gamma\) est essentiellement surjectif, c'est-à-dire que l'image de \(\pi(C, \widetilde{D})\) dans \(\widehat{C' \times D}\) est tout le sous-topos \(\widehat{C} \times \widetilde{D}\). La page propose de décrire ce sous-topos comme la sous-catégorie pleine des \(F\) tels que \(p_*(F)\) soit dans l'image essentielle de \(\widehat{C}\) et \(q_*(F) \in \widetilde{D}\), où \(p\) et \(q\) sont les deux projections. Cette description est trop faible. La bonne est : \(F(c, -) \in \widetilde{D}\) pour tout objet \(c\) de \(C'\), et \(F(-, d)\) dans l'image essentielle de \(\widehat{C}\) pour tout objet \(d\) de \(D\).⁸² C'est exactement l'image de \(\pi(C, \widetilde{D})\) — ce que la page voulait établir, « ce qui prouvera que \(\gamma\) est une équivalence ». Elle s'arrête sur ces mots.

15–15

Une autre route (page 15)

La page 15 prend la route correcte. Elle vérifie « directement » que, comme sous-catégories strictement pleines de \(\pi(C', \widehat{D})\), \[ \pi(C, \widetilde{D}) = \pi(C', \widetilde{D}) \cap \pi(C, \widehat{D}), \] et, de l'autre côté, que le produit se décompose de même comme intersection de sous-topos : \[ \widehat{C} \times \widetilde{D} = \bigl(\widehat{C'} \times \widetilde{D}\bigr) \cap \bigl(\widehat{C} \times \widehat{D}\bigr). \] Les deux égalités sont justes : l'intersection de deux sous-topos est la sous-catégorie des objets qui sont des faisceaux pour les deux topologies, et un produit de sous-topos est l'intersection de leurs images réciproques. On est ainsi ramené à montrer que \(\gamma(C, \widehat{D})\) et \(\gamma(C', \widetilde{D})\) sont des équivalences, c'est-à-dire, puisque ce sont des plongements, que leurs images directes sont essentiellement surjectives. La page s'arrête là.⁸³

La réponse. La question posée sur ces feuilles et dans le dossier 161-6 a une réponse positive : pour toute petite catégorie \(C\) et tout topos \(E\), le topos \(\underline{\operatorname{Hom}}(C^{\circ}, E)\) des préfaisceaux sur \(C\) à valeurs dans \(E\) est le produit \(\widehat{C} \times E\) dans la 2-catégorie des topos. C'est un fait classique de la théorie des topos — le changement de base d'un topos de préfaisceaux est un topos de préfaisceaux —, qu'on trouve dans les traités de Johnstone.⁸⁴

25–25

La page 25

Une feuille au crayon, barrée de longs traits diagonaux croisés, sur un autre sujet que les pages qui l'entourent : on y lit, par fragments, un topos \(X\) et un objet \(F\), le topos induit \(X/F\), un \(\underline{\operatorname{Hom}}_X(F, \mathbb{L}_X)\), des puissances \(I^E\) indexées par un ensemble ordonné \(E\), et la ligne « Topos associé à l'espace compact \(I^E\) ». Les fragments ne suffisent pas à reconstituer un énoncé, et l'on n'en propose pas.⁸⁵