Fonds Grothendieck, cote n° 161-3, pages 41–54 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-08-16)Opus 5 (claude-opus-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)161-3
Topos : notes manuscrites (s.d.)
Pages 41 à 54 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 3 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1963-1973]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/161-3.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
… par des corps). La question a une solution affirmative ssi
tout anneau\mathcal{C} (\in \mathrm{Ob}(\mathrm{Ann})) tel que, pour
tout (u : A \to B) \in M, \operatorname{Hom}(B, \mathcal{C}) \xrightarrow{\ \sim\ }
\operatorname{Hom}(A, \mathcal{C}) bij., \mathcal{C} est un corps.
le début de la phrase est sur la page précédente, qui n'appartient pas à ce
lot
Prenons donc d'abord \lambda = \mathcal{E}\lambda_{0}, dans les
des S^{T}_{\lambda} (« R^{T}_{\lambda} »), et les anneaux de polynômes
sur \mathbb{Z} (i.e. une infinité de variables) \bigl[vgr. les
équations relations ( aux solutions) affines types
en types finis E^{\mathbb{Z}}_{\mathbb{Z}} sur \mathbb{Z}\bigr].
Si u : X \to Y est dans M^{\mathcal{C}}, on sait que
m = u, et que c'est une fibrée par fibre (Alors théorème de
Zariski) donc que c'est une bien fermée. Donc
M' est réduit aux isomorphismes, donc M aussi ; on aurait donc que
(\mathrm{Ann})^{*} = \mathrm{Ann}, absurde !
X et Y portent chacun en dessous la mention E^{m}, et X en outre un
\lambda
b) Supposons que \lambda = (\underleftarrow{\Sigma}, \underrightarrow{\lambda} = \emptyset), et que S^{T}_{\lambda} contient, en
plus de \mathbb{Z}[t], l'anneau \mathbb{Z}[t,t^{-1}] (ce qui
est vrai si \underleftarrow{\lambda} = ens. de tous les diagrammes finis
un seul cas S^{T}_{\lambda} = ens. des anneaux de types finis sur
\mathbb{Z}). Alors la flèche canonique
u_{0} : \mathbb{Z}[t] \longrightarrow \mathbb{Z}[t,t^{-1}] \times \mathbb{Z}
\qquad \Bigl( \simeq \mathbb{Z}[x,y] \big/
\bigl(x(xy-1),\, y(xy-1)\bigr) \Bigr)le quotient est d'abord écrit avec un autre système de générateurs, rayé
qui applique t dans (t,0), est dans M, et plus précisément, pour tout
anneau \mathcal{C}, le transformé de u_{0} par \operatorname{Hom}(-,
\mathcal{C}) est l'application (surjective) \mathcal{C}^{*} \times \{e\} \longrightarrow \mathcal{C}
de \mathcal{C} en \mathcal{C}_{1} \times \mathcal{C}_{2} (i.e. si
\mathcal{X} = \operatorname{Spec} \mathcal{C}, 2 \simeq 2_{1} \amalg
2_{2}) et : à un élément inversible \varepsilon de
\mathcal{C}_{1}^{\#}, associe l'élément (\varepsilon, 0) de \mathcal{C}.
l'annotation au-dessus de la ligne se lit « on aurait dans
\widetilde{\mathcal{X}} »
Cette application est bijective ssi \mathcal{C} est un corps
\bigl[ puisque d'abord que \mathbb{Z}/\operatorname{Spec}
\mathcal{C} est connexe i.e. \mathcal{C} n'est pas un produit \mathcal{C}_{1}
\times \mathcal{C}_{2} avec \mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2} \neq 0la page s'arrête ici, le crochet reste ouvert
c) Soit G un groupe d'un topos, topos classifiant \underline{B_{G}} (il
« classifie » les torseurs sous G — mais )
d) Topos induitE/X (on identifie E avec son objet
; E_{/X} ou X …)
La composition des morphismes est un morphismes de catégories,
m. associées. Les topos forment une « 2-catégorie » ( une
2-catégorie). Notion d'équivalence de topos : f : X \to Y est une
équivalence ssi \exists\, g : Y \to X t.q. gf \simeq \mathrm{id}_{X},
fg \simeq \mathrm{id}_{Y}.
Ici, c'est la notion habituelle d'équivalence de catégories. (C'est la notion qui
remplace la notion d'isomorphisme (= homéomorphisme) pour les espaces
topologiques.
Attention : pour l'instant, d'isom pour de topos
4) Exemples de morphismes de topos
a) Cas de \mathrm{Top}(X) : déjà étudié : \mathrm{Top}(X) dépend de X de
façon covariante. On les identifie.
(\mathrm{Top} ord) peut être transformé en 2-catégorie. C'est un
foncteur 2-fidèle de dans la 2-catégorie (\mathrm{Top}).
d') (Cas de \mathrm{Top}(X,G)) (il n'y a plus de pleine fidélité)
b) \bigl[ Morphismes de Edans\mathrm{Top}(X) : pareil que
foutes applications
\mathrm{Ouv}(X) \longrightarrow \text{sous-objets de } e_{E}
\quad (\text{ouverts de } E),
commutant aux \sup quelconques et aux \cap finies \bigr]sous la ligne : « (\sim tous) D »
Ex. Si X est un doublet\bullet\!\!-\!\!\bullet
(X = \{x,y\}, x \in \overline{\{y\}}, \notin \{x\}, \{x\}x fermé, x \neq y, x \in \overline{\{y\}}), alors le domaine de E dans
\mathrm{Top}(X) : la donnée d'un ouvert de E (le topos des
doublets est topos classifiant pour l'objet de structure : sous-objet de l'objet
final). NB Tout espace top. se plonger dans un produit de
doublets D^{I} (i.e. un produit J = \mathrm{Ouv}(X)).
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& S' \arrow[dr, dashed] & \\
S \arrow[ur] \arrow[rr] & & R
\end{tikzcd}
T(\mathrm{Ens}) ; R^{\lambda}_{T} en fonction de T(\mathrm{Ens}) ?
\lambda \subset \lambda'
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(\mathrm{Cat}_{\lambda'}) \arrow[r] & (\mathrm{Cat}_{\lambda}) \\
\mathrm{Cat} \supset \mathrm{cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda}) \arrow[r] \arrow[d]
& \mathrm{Cat} \supset \mathrm{cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda'}) \\
(\lambda\text{-types}) \arrow[r, dashed, "?"] \arrow[d]
& (\lambda'\text{-types}) \arrow[u] \\
(\mathrm{Cat}_{\lambda}) \arrow[r, dashed]
& (\mathrm{Cat}_{\lambda'}) \arrow[u]
\end{tikzcd}la lecture de \mathrm{cofib} est douteuse aux deux sommets ; la flèche
horizontale du bas est tracée deux fois, la première rayée, la seconde en
pointillé
\lambda'-catégorie engendrée d'une \lambda-catégorie
\begin{tikzcd}[row sep=small]
C \arrow[r, hook] & (\check{C})^{\circ}
\end{tikzcd}sous ce plongement la page porte encore \bigvee puis X_{i}, dont le rôle
n'est pas explicité
\varinjlim\nolimits_{\lambda}(R, C^{\circ})^{\circ} \simeq
\varinjlim\nolimits_{\lambda}(R^{\circ}, C)
T(C)\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\operatorname{Hom}_{\lambda}(R, C) \arrow[r, hook, "\text{2-cart}"] \arrow[d, "\varphi_{C}"]
& \operatorname{Hom}_{\lambda}(R, \widehat{C}\,) \arrow[d, "\varphi_{\widehat{C}}"] \\
C^{I} \arrow[r, hook] & \widehat{C}^{\,I}
\end{tikzcd}au-dessus du carré la page porte C^{\circ\,I} et C \to C^{I}
À droite, pour C \hookrightarrow C' (\lambda-fidèle, pl. fid.) :
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
T_{\lambda}(C) \arrow[r, hook] \arrow[d] & T_{\lambda}(C') \arrow[d] \\
C^{+} \arrow[r, hook] & C'^{+}
\end{tikzcd}
1) Rigidité : \widehat{C}R_{T}
\xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{\lambda}\bigl((T(\mathrm{Ens}))_{\circ},
(\mathrm{Ens})\bigr) (quelque )2) Existence des \varinjlim de type \lambda dans T(C)
( cela \underrightarrow{\lambda} et \underleftarrow{\lambda})3) Existence des \varprojlim dans les T(C) ni … (?)4) Adjoint de \varphi : T(\mathrm{Ens}) \to (\mathrm{Ens})^{I} dans
T(\mathrm{Ens}) si \lambda est formé de diag. finis5) R_{T} \simeq \operatorname{Hom}_{\lambda}\bigl((T(\mathrm{Ens}))_{\circ},
(\mathrm{Ens})\bigr) ? ? (\hookrightarrow objets de t.f.)
NB Si l'ens. des parties de E est isomorphe (pour
la structure ordonnée) à l'ens. des ouverts \mathrm{Ouv}(X) pour quelque X,
alors E \to[i.e. E \to \mathrm{Top}(X)], et c'est
universel pour les morphismes de E dans un espace topologique.
c) \mathrm{Top}(X,G) pour les morphismes de E \to \operatorname{Hom}(\mathcal{A}(X), \mathrm{Ens})\to \operatorname{Hom}(E, (\mathrm{Ens}))
c) Morphismes d'un pt dans topos E : catégorie
\underline{\mathrm{Pt}}(E)\underline{\mathrm{Pt}}(E)^{\circ}
d) Catégories\widehat{C} : soit u : C \to
\widehat{C}' définit un foncteur en sens inverse F' \mapsto F \circ u
qui a des adjoints, notés u_{!} et u^{!} qui commutent aux
\varprojlim quelc. et \varinjlim quelc., donc est foncteur u^{*}. Les foncteurs image inverse pour un u : \widehat{C}
\to \widehat{C}' sont u_{!}, u^{*}, u_{*}.
dans \widehat{C} on retrouve C covariant
Elle peut avoir l'adjoint à droite u_{*} ; il a un adjoint \varphi, qu'on note
u_{!} …
Ex.B_{G} avec G variable, qui est aussi exemple de 4.1.
e) Morphismes de topos \widehat{C} \to E :
E \xrightarrow[\ \varprojlim \text{finies}\ ]{\ \varprojlim\ }
\operatorname{Hom}(C^{\circ}, \mathrm{Ens})
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
C^{\circ} \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\varprojlim\,\text{finies}}
(E, (\mathrm{Ens})) = \underline{\mathrm{Pt}}(E)^{\circ}\operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(\widehat{C}, E) \simeq
\operatorname{Hom}(C, \underline{\mathrm{Pt}}(E))le second membre est d'abord écrit
\operatorname{Hom}(C^{\circ}, \underline{\mathrm{Pt}}(E)^{\circ})
si E = \widehat{C}', on trouve
\operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(\widehat{C}, \widehat{C}') \simeq
\operatorname{Hom}(C, \mathrm{Pro}\,C')
\qquad \bigl(\operatorname{Hom}(C, C')\ \text{pl.\ fid.}\bigr)\mathrm{Pro} est précédé d'un \mathrm{Pt} rayé
si C stable par \varprojlim finies, on obtient
\operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(E, \widehat{C}) \simeq
\operatorname{Hom}_{\mathrm{ex.\,g.}}(C, E)^{\circ}
\lambda = (\underleftarrow{\lambda}, \emptyset)
muni des foncteurs de cat. 2-abstraites
b^{T}_{C} : T(C) \to C^{I}
1)T catégorie \lambda-abstraite sur (\mathrm{Cat}_{\lambda}), on
suppose que C
a) Pour tout foncteur pl. fidèle siC \to C' dans
\mathrm{Cat}_{\lambda}, T(i) : T(C) \to T(C') pl. fid.
b) et de même
\begin{tikzcd}[row sep=small]
T(C) \arrow[r] \arrow[d, "b^{T}_{C}"] & T(C') \arrow[d, "b^{T}_{C'}"] \\
C^{I} \arrow[r] & C'^{I}
\end{tikzcd}
est 2-cartésien [il suffit pour C \hookrightarrow \widehat{C}\,]
Attention : \widehat{C} n'est pas une \mathcal{U}-catégorie !
b) Pour tout C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}, le foncteur canonique
T(\widehat{C}\,) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\lambda}(C^{\circ}, S)
\qquad \bigl( S \overset{\text{déf}}{=} T(\mathrm{Ens}) \bigr)
est une équivalence de catégories.
Alors T(C) se reconstitue à partir de la donnée de S et de
\beta = (b_{\mathrm{Ens}}) : S \longrightarrow (\mathrm{Ens})^{I},
\qquad \bigl( \beta = (\beta_{i})_{i \in I},\ \beta_{i} : S \to (\mathrm{Ens})
\bigr)T(C) = sous-catégorie pleine de \operatorname{Hom}_{\lambda}(C^{\circ}, S)
formée des \varphi : C^{\circ} \to S tels que \forall\, i \in I,
\beta_{i} \circ \varphi soit représentable.
Mais si f : C \to C' est un \lambda-foncteur, comment définir
T(f) : T(C) \to T(C') en fonction de S, (\beta_{i}) ?
La sous-catégorie pleine R de \operatorname{Hom}_{\lambda}(S,
(\mathrm{Ens})) formée des foncteurs \psi tels que pour tout C \in
\mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda} et \xi \in T(C), le composé
\psi \circ \xi : C^{\circ} \longrightarrow S \xrightarrow{\ \psi\ }
(\mathrm{Ens})
soit représentable, est stable par \varprojlim de type \in
\underleftarrow{\lambda}, À quelle condition et pour tout
C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}, on a un accouplement
T(C) \times R \longrightarrow C
commutant aux \varprojlim de type \underleftarrow{\lambda} sur R, d'où
T(C) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\lambda}(R, C)
(fonct. de cat. 2- sur (\lambda))
À quelle condition cela est-il une équivalence de catégories ? Il est nécessaire
que
a) R soit formé de foncteurs repr. i.e. R \simeq \Sigma^{\circ}, où
\Sigma est une sous-catégorie pleine de S[dans laquelle les
\varinjlim (inductibles) de type \lambda existent dans S, et
: \Sigma\,]. Donc la donnée de R équivaut à la donnée de
\Sigma \subset S.
b) \Sigma engendre S[\, S \to \operatorname{Hom}(\Sigma^{\circ},
(\mathrm{Ens})) = \widehat{\Sigma} pl. fidèle ]
e) Morphismes dans topos ponctuel\mathrm{Top}(1) : objet
constants, foncteur sections.
f) Morphismes du topos vide dans un topos. Morphisme dans le topos vide
E \to\mathrm{Ens}\mathrm{Top}(\emptyset) : c'est ssi
E \simeq \mathrm{Top}(\emptyset), i.e. E équivalent à cat. ponctuelle (on
aurait tous les objets isomorphes, on aurait morphisme
\emptyset_{E} \to e_{E} un …)
g) Classifiant B_{G} (G groupe d'un topos) variable objet G.
E \rightleftarrows B_{G} \quad \text{correspond à} \quad e \rightleftarrows S
h) Morphismes E_{/X} \longrightarrow E d'induction\begin{cases}
u^{*}(Y) = Y_{X} & \\
u_{!}(Y) = Y & (\text{oubli de plus structure}) \\
u_{*}(Y) & \text{plus compliqué}
\end{cases}
Ici u_{!}, u^{*}, u_{*} ; u^{*} commute aux
\varprojlim quelconques …
morphismes E' \to E, 2^{\circ} des locaux (=)
foncteurs de localisation, morphismes du localisé
E_{/X} comme foncteur en X : on que
\operatorname{Hom}_{\mathrm{top}_{E}}(E_{/X}, E_{/Y}) \simeq catégorie discrète
de « u_{!} » \operatorname{Hom}(X,Y)
i) Topos somme de toposle titre seul ; le reste de la page est vierge
Donc \beta(\beta_{i}) s'interprète en termes de cat. des ,
(vgr. constr. )
\lambda = ens. des types de diagrammes finis
\Sigma catégorie stable par \varprojlim de type \lambdaR = \Sigma^{\circ}S = \operatorname{Hom}_{\underrightarrow{\lambda}}(R, \mathrm{Ens})
\supset \widehat{\Sigma} \supset \Sigma, avec un \mathrm{Ens}
rayé après la parenthèse
Je dis que
a) S admet des \varinjlim quelc.
b) Pour les catégories \mathcal{T} ayant des \varinjlim quelc., on a
\operatorname{Hom}_{\underrightarrow{\lambda}}(\Sigma, \mathcal{T})
\xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{\lambda'}(S, \mathcal{T})
où \operatorname{Hom}_{\lambda'} désigne les foncteurs commutant aux
\varinjlim quelconques ; et
\operatorname{Hom}_{\underleftarrow{\lambda}}(R, \mathcal{T}^{\circ})
\qquad \parallel(\mathcal{T}^{\circ}) \xrightarrow{\ \sim\ }
\operatorname{Hom}_{\lambda'}(S, \mathcal{T})
S engendré par \varinjlim par \Sigma.
les pages 48 puis 52 à 54 sont rédigées en anglais ; la transcription suit
la langue de la page
Comparison between topoi \widehat{C} and \mathrm{Top}(X).
\widehat{C} is \simeq to a \mathrm{Top}(X) iff C is an ordered category
(i.e. \forall\, x \in \mathrm{Ob}\,C, x \to e_{\widehat{C}} is a
monomorphism). When this is so, we can take X to be C with the topology
generated by the sets O_{x} = \{ y \in C \mid y \leq x \}, i.e. arbitrary
unions (of intersections) of such sets: in fact the O_{x}'s form
a basis of the topology \mathcal{T}, and open On the other
hand, if X is an sets are those which the sieve's
\bigl( \forall\, x \in O,\ (y \leq x \text{ and }
x \in O \implies y \in O) \bigr).un \Longleftrightarrow rayé précède la seconde parenthèsesous cette ligne : « and O = \bigcup O_{x} »
If F is a functor on C, thenF(O) \Longrightarrow \prod F(O_{x})
\rightrightarrows \prod F. Thus sheaves on C are just the sheaves this
basis of open sets, i.e. contravariant functors O_{x} \mapsto F(O_{x}) = F(x)
from C' (category of the O_{x}, O_{y} \hookrightarrow O_{x}
iff y \leq x) \simeq C to sets, satisfying the sheaf property
with respect to coverings of O_{j}, but these
are trivial [for if O_{x_{i}} cover O_{x}, \exists\, i s.th.
x \in O_{x_{i}}, i.e. x_{i}x \leq x_{i}, hence x \approx x_{i}
(as x_{i} \leq x)] then we'll get arbitrary products.
Conversely, if X is a sober space, then \mathrm{Top}(X) is
\simeq (\widehat{C} for some ) iff the essential points
of X (i.e. those which have a smallest open neighbourhood — or those for
which the fiber functor commutes with products) are very dense [and we
may take for C the category of these pts)la parenthèse fermante est écrite à la place du crochet
\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=small]
C \arrow[r, "f"] & C' \\
C & C' \arrow[l, dashed, "g"'] \\
C \arrow[r, dashed, "h"] & C'
\end{tikzcd}sur la page les trois flèches sont superposées entre C et C', f
pleine, g et h en pointillé
\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=small]
\widehat{C} \arrow[r, "f_{!}"] & \widehat{C}' \\
\widehat{C} & \widehat{C}' \arrow[l, "f^{*}"'] \\
\widehat{C} \arrow[r, "f_{*}"] & \widehat{C}'
\end{tikzcd}sur la page les trois foncteurs sont superposés entre les deux mêmes
sommets
f_{!} prolonge f ; f^{*} prolonge g (si g existe) ; f_{*} prolonge h
(si h existe).
Si f commute aux \varprojlim finies, alors f_{!} aussi ;
\varphi^{*}, \varphi : \widehat{C}' \to \widehat{C} un
morphisme de topos.
\widehat{f}_{!} = \varphi^{*}, \qquad
\widehat{f}^{\,*} = \varphi_{*}, \qquad
\widehat{f}_{*} = \varphi^{!}
\widehat{f} : \widehat{C} \to \widehat{C}' morphisme de topos, avec
\widehat{f}^{\,*} = f^{*}, \widehat{f}_{*} = f_{*}, \widehat{f}_{!} = f_{!}.
\operatorname{Hom}_{\widehat{C}'}(f_{!}(F), F') \simeq
\operatorname{Hom}_{\widehat{C}}(F, f^{*}F')
si F = X \in \mathrm{Ob}\,C, cela signifie
\operatorname{Hom}_{\widehat{C}'}(f_{!}(X), F') = f^{*}(F')(X) = F'(f(x))
= \operatorname{Hom}_{\widehat{C}'}(f(x), F')
i.e. f_{!}(x) = f(x).
\operatorname{Hom}_{\widehat{C}'}(F', f_{*}F) \simeq
\operatorname{Hom}_{\widehat{C}}(f^{*}F', F)
si F = x \in \mathrm{Ob}\,C, cela signifie
\operatorname{Hom}_{\widehat{C}'}(F', f_{*}(x)) =
\operatorname{Hom}_{\widehat{C}}(f^{*}F', x)
et faisant F' = x' \in \mathrm{Ob}\,C' :
f_{*}(x)(x') = \operatorname{Hom}_{\widehat{C}}
(x' \circ f^{\circ}, x), \qquad
f_{*}(x) = \bigl( x' \longmapsto \operatorname{Hom}_{\widehat{C}}
(x' \circ f^{\circ}, x) \bigr)x' \circ f^{\circ} = \bigl( y \longmapsto \operatorname{Hom}(f(y), x') \bigr)
\ \parallel\ \operatorname{Hom}(y, g\,x')f_{*}(x) = \bigl( x' \longmapsto \operatorname{Hom}_{C}(g(x'), x) \bigr)
\ \wr\ \operatorname{Hom}_{C}(x', h(x))
La page porte encore, à part, (\mathbb{Z}, G) et B_{G} \to B_{e}.
ce fragment annonce les pp. 50-51
Exemples de morphismes et de foncteurs de localisation
E, G ; B_{G} ; H \subset G ; X = G/H ; G \in \mathrm{Ob}\,B_{G}, muni
de \varepsilon \in \Gamma(X).
\begin{tikzcd}[row sep=small]
E \arrow[r] & X \\
F \arrow[u] \arrow[r, dashed] & e_{E} \arrow[u, "\varepsilon"']
\end{tikzcd}
\varphi(E) = E \times_{X} (e_{E}, \varepsilon),
\psi(F) = G \wedge_{H} F
\varphi(j^{*}(E)) = (E \times X) \times_{X} (e_{E}, \varepsilon) \simeq E
oubli partiel des opérations de G — ou plutôt de H
Donc j_{X}, via l'équivalence \varphi, s'interprète comme B_{i}. On a
j_{X!} s'interprète comme F \mapsto G \wedge_{H} F, et j_{X*} s'interprète
comme F \mapsto \operatorname{Hom}_{H}(G, F).
plus généralement, si Z \in \mathrm{Ob}\,B_{G}, foncteur
« oubli » (B_{G})_{/(Z,G)} \to B_{G} \to B_{H}(B_{H})_{(Z,H)} \to B_{H} sont des foncteurs de localisation
Cas des groupes discrets (E = (\mathrm{Ens})) : si G est le groupe fondamental
d'un espace topologique Z connexe, loc. connexe et loc. 1-connexe
et plus connexe, B_{G} \simeq revêtements de Z, et le domaine
de X s'identifie à la donnée d'un revêtement de Z, pointé au
dessus de e (i.e. un x \in X).
théorie de Galois pour Z locaux
Alors la équivalence \varphi s'interprète comme
l'équivalence entre \mathrm{Rev}(X) (pour (B_{G})_{/X}) et
la théorie deB_{H}, dont c'est la théorie de Galois pour X et le pt
base x (compte tenu que \pi_{1}(X, x) \simeq H \subset G).
TSVP
Soit de même\mathbb{Z}X un espace topologique avec
un groupe discret G qui opère, d'où
\mathrm{Top}\mathrm{Top}(\mathbb{Z}, G) ; si H est un sous-groupe
de G, on a un foncteur « restriction des opérations à H »
\mathrm{Top}(\mathbb{Z}, G) \longrightarrow \mathrm{Top}(\mathbb{Z}, H)
qui s'identifie à un foncteur de localisation, à savoir : l'objet pour
X = G/H, on prend \mathbb{Z}' = \mathbb{Z} \times X avec opérations
diagonales de G, et on considère le relatif \mathbb{Z}' sur \mathbb{Z}
(c.-à-d. \mathrm{Top}(\mathbb{Z})) défini par l'élément marqué x de X. Cela
dit, on prend le foncteur
\mathrm{Top}(\mathbb{Z}, G)_{/\mathbb{Z}'} \longrightarrow
\mathrm{Top}(\mathbb{Z}, H), \qquad E \longmapsto E \times_{\mathbb{Z}'}(X, e)
est une équivalence de catégories … (En fait, \mathbb{Z}' est un
« revêtement topologique » de \mathbb{Z} …)
la phrase est laissée bancale sur la page : « on le foncteur … est une
équivalence »
Sites
(1) Notion of localisation: yoga.(2) localisation data (in a category (a
« topology »))
a) In terms of « coverings » (when fibered products exist)
une accolade réunit Cov 1 à Cov 3 : « postulating, assuming only the
X_{\alpha} \to X squarable »
b) In terms of « sieves » covering
T1 base changeT2 local natureT3 order relation (= inclusion)Intersection of topologies / supremumTopology generated by sieves, or families of morphisms
notion of a sieve of C (two versions) of C_{/X} (a X).
Operations: base change, intersection, order relation, intersection, union; sieve
generated by a covering, and interpretation of operations in terms
of these
\operatorname{Hom}_{\widehat{C}}(R, F) = \varprojlim\nolimits_{C/R} F(X)
\simeq \operatorname{Ker}\Bigl( F(X_{\alpha}) \rightrightarrows
\prod\nolimits_{\alpha, \beta} F(X_{\alpha} \times_{X} X_{\beta}) \Bigr)sous la formule : « family J_{\rho}(X) »
If Cov 1 to Cov 3 is satisfied, then the sieves generated by the objects of
\mathrm{Cov}(X), are cofinal in J_{\mathcal{F}}(X) (\mathcal{T} top.
J-generated).
Topology defined by a family \Phi of presheaves, to become sheaves
(resp. separated presheaves): topology T_{\Phi} where
(R \hookrightarrow X) \in T_{\Phi}(X) iff \forall\, X' \to X in C, if
R' = R \times_{X} X', \forall\, F \in \Phi, F(X') \to F(R') bij. (inj.).
This topology is the finest among those turning F \in \Phi into
sheaves (resp. presheaves).
Cor If T1 is defined by a family of sieves, then cat. of sheaves
(resp. presheaves) for topology generated is easy [if T1 not satisfied one has
first to saturate by T1]
la numérotation des théorèmes de cette page fait suite à celle de la
p. 54 : Th. 1 et Th. 2 y sont énoncés
the objects of \widetilde{C}are sheaves (or only separated
presheaves). In fact, we get
Th. 3 (Giraud) T \longrightarrow \widetilde{C}_{T} is a bijective
correspondence between topologies on C and strictly full subcategories E
of \widehat{C} s.th. the inclusion functor i : E \to \widehat{C} has a left
adjoint which is left exact. It is order reversing (T \leq T' \Longleftrightarrow
\widetilde{C}_{T'} \subset \widetilde{C}_{T}).
Th. 5 Let E be a category. Then E \simeq \widetilde{C} for some
(small) C iff E satisfies a) b) c) d). We can simply choose
take for C the class the canonical a category C with a
topology of a top. T in E, (i.e. C \subset \widehat{C}). The choice
\widetilde{C}_{T} \simeq E is equivalent to a
full subcategory of Eand the topology is
generating fully faithful functor C \to E such that the image of C is
generating E; the topology of C is induced by the canonical
topology of E, via the given functor … (for instance by
C \xrightarrow{\ \varepsilon_{C}\ } E = \widehat{C})
Continuous functors between sites, induced topology and:
Th. 4Comparison lemmaC \hookrightarrow C'
(\mathcal{U}-cat.) de sites, i' pleinement fidèle, top. de C
induite. Si tout objet de C' peut être couvert par des objets de C, alors
\widetilde{C}' \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{C}. (Il y a réciproque si C
est une \mathcal{U}-cat. dont la top. est moins fine que la top. can.)
Analogue bien connu en top. ordinaire ; possibilité de définir des
\widetilde{C} équivalents de bien des façons différentes
by taking asK'(X) = set of all inverse images of R' \in K(X') by any
X \to X' in C, then Fseparated sheaf (separated presheaf) for T
iff \forall\, X \to X', R' \in K(X'), and taking
R = X \times_{X'} R', F(X) \to F(R) is inj. (bij.).
canonical top. J_{T} and strict universal epimorphic families. Most usual
topologies are less fine than can., hence C \to \widetilde{C} fully faithful.
canonical topology is important in E = \widetilde{C}, where it will
mean that the covering families are those which have epimorphic
(4) Sheaf associated to a presheaf\mathrm{id} \longrightarrow L, \qquad F \xrightarrow{\ \ell(F)\ } LFLF(X) = \varinjlim\nolimits_{R \in T(X)} \operatorname{Hom}(R, F)
a) L is left exact: \widehat{C} \to \widehat{C}b) \forall\, F, LF is separatedc) F separated \Longleftrightarrow F \to LF mono. If so, LF is a
sheafd) F \to LF is an isom. iff F is a sheaf
bounding the size of T(X) : restrict to
\mathcal{U}- ( or de topoi
sites …)
Th. 1 Existence of a : \widehat{C} \to \widetilde{C}, left adjoint
of inclusion, and a is left exact. Indeed,
a = L \circ L …
Cor a) Projective limits exist in \widetilde{C}, and
\widetilde{C} \subset \widehat{C} commutes with them.
b) Direct limits exist, \varinjlim_{i}^{\widetilde{C}} F_{i} \simeq
a\bigl(\varinjlim_{i}^{\widehat{C}} F_{i}\bigr).
d'où toutes les propriétés d'exactitude de (Ens) qui n'engagent que des
\varprojlim finies et des \varinjlim quelconques
CorF \simeq \varinjlim_{C/F} a(X) pour F \in
\mathrm{Ob}\,\widetilde{C}.
Th. 2 Consider C \xrightarrow{\ \varepsilon_{C}\ } \widetilde{C}
(X \mapsto a(X), left exact). Then
a) a fully faithfulX_{\alpha} \to X is covering
[i.e. for every F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{C}, F(X) \to \prod
F(X_{\alpha}) is injective] iff \coprod \varepsilon_{C}(X_{\alpha})
\to \varepsilon_{C}(X) is epimorphic
b) R \subset X is a covering sieve iff \varepsilon_{C}(R)
\xrightarrow{\ \sim\ } \varepsilon_{C}(X).
Thus we recover topology T from the knowledge of \widetilde{C} \subset
\widehat{C}; indeed, it is the finest topology for which
la page s'arrête au milieu de la phrase