Cote n° 161-3 · batch 3 · pages 41–54 · Transcription · Topos : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1973]
Édition de démonstration

41… par […] […] des corps). La question a une solution affirmative ssi tout anneau \(\mathcal{C}\) (\(\in \mathrm{Ob}(\mathrm{Ann})\)) tel que, pour tout \((u : A \to B) \in M\), \(\operatorname{Hom}(B, \mathcal{C}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(A, \mathcal{C})\) bij., \(\mathcal{C}\) est un corps. le début de la phrase est sur la page précédente, qui n'appartient pas à ce lot

Prenons donc d'abord \(\lambda = \mathcal{E}\lambda_{0}\), dans les […] des \(S^{T}_{\lambda}\) (« \(R^{T}_{\lambda}\) »), et les anneaux de polynômes sur \(\mathbb{Z}\) (i.e. une infinité de variables) \(\bigl[\) vgr. les équations relations ([…] aux solutions) affines […] types en types finis \(E^{\mathbb{Z}}_{\mathbb{Z}}\) sur \(\mathbb{Z}\) \(\bigr]\).

Si \(u : X \to Y\) est dans \(M^{\mathcal{C}}\), on sait que \(m = u\), et que c'est une […] fibrée par fibre (Alors théorème de Zariski) donc que c'est une […] […] bien fermée. Donc \(M'\) est réduit aux isomorphismes, donc \(M\) aussi ; on aurait donc que \((\mathrm{Ann})^{*} = \mathrm{Ann}\), absurde ! \(X\) et \(Y\) portent chacun en dessous la mention \(E^{m}\), et \(X\) en outre un \(\lambda\)

b) Supposons […] que \(\lambda = (\underleftarrow{\Sigma}, \underrightarrow{\lambda} = \emptyset)\), et que \(S^{T}_{\lambda}\) contient, en plus […] de \(\mathbb{Z}[t]\), l'anneau \(\mathbb{Z}[t,t^{-1}]\) (ce qui est vrai si \(\underleftarrow{\lambda}\) = ens. de tous les diagrammes finis […] un seul cas \(S^{T}_{\lambda}\) = ens. des anneaux de types finis sur \(\mathbb{Z}\)). Alors la flèche canonique \[ u_{0} : \mathbb{Z}[t] \longrightarrow \mathbb{Z}[t,t^{-1}] \times \mathbb{Z} \qquad \Bigl( \simeq \mathbb{Z}[x,y] \big/ \bigl(x(xy-1),\, y(xy-1)\bigr) \Bigr) \] le quotient est d'abord écrit avec un autre système de générateurs, rayé qui applique \(t\) dans \((t,0)\), est dans \(M\), et plus précisément, pour tout anneau \(\mathcal{C}\), le transformé de \(u_{0}\) par \(\operatorname{Hom}(-, \mathcal{C})\) est l'application (surjective) […] […] \[ \mathcal{C}^{*} \times \{e\} \longrightarrow \mathcal{C} \] de \(\mathcal{C}\) en \(\mathcal{C}_{1} \times \mathcal{C}_{2}\) (i.e. si \(\mathcal{X} = \operatorname{Spec} \mathcal{C}\), […] \(2 \simeq 2_{1} \amalg 2_{2}\)) et : à un élément inversible \(\varepsilon\) de \(\mathcal{C}_{1}^{\#}\), associe l'élément \((\varepsilon, 0)\) de \(\mathcal{C}\). l'annotation au-dessus de la ligne se lit « on aurait dans \(\widetilde{\mathcal{X}}\) »

Cette application est bijective ssi \(\mathcal{C}\) est un corps \(\bigl[\) puisque d'abord que \(\mathbb{Z}/\) \(\operatorname{Spec} \mathcal{C}\) est connexe i.e. \(\mathcal{C}\) n'est pas un produit \(\mathcal{C}_{1} \times \mathcal{C}_{2}\) avec \(\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2} \neq 0\) la page s'arrête ici, le crochet reste ouvert

42c) Soit \(G\) un groupe d'un topos, topos classifiant \(\underline{B_{G}}\) (il « classifie » les torseurs sous \(G\) — mais […])

d) Topos induit \(E/X\) (on identifie […] \(E\) avec son objet […] ; \(E_{/X}\) ou \(X\) …)

3) Morphismes de topos : forment une catégorie.

\begin{tikzcd}
\underline{\mathrm{Mor}\,\mathrm{Top}}(X,Y) \arrow[r, hook, "\text{pl.\ fid.}"']
& \underline{\operatorname{Hom}}\,\underline{\mathrm{cat}}(X,Y)
\end{tikzcd}

[…] […] des flèches

La composition des morphismes est un […] morphismes de catégories, m. associées. Les topos forment une « 2-catégorie » ([…] une 2-catégorie). Notion d'équivalence de topos : \(f : X \to Y\) est une équivalence ssi \(\exists\, g : Y \to X\) t.q. \(gf \simeq \mathrm{id}_{X}\), \(fg \simeq \mathrm{id}_{Y}\).

Ici, c'est la notion habituelle d'équivalence de catégories. (C'est la notion qui remplace la notion d'isomorphisme (\(=\) homéomorphisme) pour les espaces topologiques.

Attention : pour l'instant, […] d'isom[…] pour […] de topos

4) Exemples de morphismes de topos

a) Cas de \(\mathrm{Top}(X)\) : déjà étudié : \(\mathrm{Top}(X)\) dépend de \(X\) de façon covariante. On les identifie.

(\(\mathrm{Top}\) ord) […] peut être transformé en 2-catégorie. C'est un foncteur 2-fidèle de […] dans la 2-catégorie \((\mathrm{Top})\).

d\('\)) (Cas de \(\mathrm{Top}(X,G)\)) (il n'y a plus de pleine fidélité)

b) \(\bigl[\) Morphismes de \(E\) dans \(\mathrm{Top}(X)\) : pareil que foutes […] applications \[ \mathrm{Ouv}(X) \longrightarrow \text{sous-objets de } e_{E} \quad (\text{ouverts de } E), \] commutant aux \(\sup\) quelconques et aux \(\cap\) finies \(\bigr]\) sous la ligne : « (\(\sim\) tous) \(D\) »

Ex. Si \(X\) est un doublet \(\bullet\!\!-\!\!\bullet\) (\(X = \{x,y\}\), \(x \in \overline{\{y\}}\), \(\notin \{x\}\), \(\{x\}\) \(x\) fermé, \(x \neq y\), \(x \in \overline{\{y\}}\)), alors le domaine de \(E\) dans \(\mathrm{Top}(X)\) […] : la donnée d'un ouvert de \(E\) (le topos des doublets est topos classifiant pour l'objet de structure : sous-objet de l'objet final). NB Tout espace top. se […] plonger dans un produit de doublets \(D^{I}\) (i.e. un […] produit \(J = \mathrm{Ouv}(X)\)).

43

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& S' \arrow[dr, dashed] & \\
S \arrow[ur] \arrow[rr] & & R
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
\operatorname{Hom}_{\underrightarrow{\lambda}}(R, \mathbb{Z}) \arrow[r, "\text{fid.}"]
& \operatorname{Hom}_{\underrightarrow{\lambda}}(S', \mathbb{Z}) \arrow[r, hook, "\text{pl.\ fid.}"]
& \operatorname{Hom}_{\underrightarrow{\lambda}}(S, \mathbb{Z})
\end{tikzcd}

\(T(\mathrm{Ens})\) ; \(R^{\lambda}_{T}\) en fonction de \(T(\mathrm{Ens})\) ?

\(\lambda \subset \lambda'\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
(\mathrm{Cat}_{\lambda'}) \arrow[r] & (\mathrm{Cat}_{\lambda}) \\
\mathrm{Cat} \supset \mathrm{cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda}) \arrow[r] \arrow[d]
& \mathrm{Cat} \supset \mathrm{cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda'}) \\
(\lambda\text{-types}) \arrow[r, dashed, "?"] \arrow[d]
& (\lambda'\text{-types}) \arrow[u] \\
(\mathrm{Cat}_{\lambda}) \arrow[r, dashed]
& (\mathrm{Cat}_{\lambda'}) \arrow[u]
\end{tikzcd}

\(\lambda'\)-catégorie engendrée […] d'une \(\lambda\)-catégorie

\begin{tikzcd}[row sep=small]
C \arrow[r, hook] & (\check{C})^{\circ}
\end{tikzcd}

\[ \varinjlim\nolimits_{\lambda}(R, C^{\circ})^{\circ} \simeq \varinjlim\nolimits_{\lambda}(R^{\circ}, C) \]

[…] \(T(C)\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\operatorname{Hom}_{\lambda}(R, C) \arrow[r, hook, "\text{2-cart}"] \arrow[d, "\varphi_{C}"]
& \operatorname{Hom}_{\lambda}(R, \widehat{C}\,) \arrow[d, "\varphi_{\widehat{C}}"] \\
C^{I} \arrow[r, hook] & \widehat{C}^{\,I}
\end{tikzcd}

À droite, pour \(C \hookrightarrow C'\) (\(\lambda\)-fidèle, pl. fid.) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
T_{\lambda}(C) \arrow[r, hook] \arrow[d] & T_{\lambda}(C') \arrow[d] \\
C^{+} \arrow[r, hook] & C'^{+}
\end{tikzcd}

\[ T(\mathrm{Ens}) \simeq \operatorname{Hom}_{\lambda}(R, (\mathrm{Ens})), \qquad R_{T} \Longrightarrow \operatorname{Hom}(T(\mathrm{Ens}), \mathrm{Ens}) \]

• 1) Rigidité : \(\widehat{C}\) \(R_{T} \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{\lambda}\bigl((T(\mathrm{Ens}))_{\circ}, (\mathrm{Ens})\bigr)\) (quelque […])
• 2) Existence des \(\varinjlim\) […] de type \(\lambda\) dans \(T(C)\) ([…] cela \(\underrightarrow{\lambda}\) et \(\underleftarrow{\lambda}\))
• 3) Existence des \(\varprojlim\) dans les \(T(C)\) ni … (?)
• 4) Adjoint de \(\varphi : T(\mathrm{Ens}) \to (\mathrm{Ens})^{I}\) dans \(T(\mathrm{Ens})\) si \(\lambda\) est formé de diag. finis
• 5) \(R_{T} \simeq \operatorname{Hom}_{\lambda}\bigl((T(\mathrm{Ens}))_{\circ}, (\mathrm{Ens})\bigr)\) ? ? (\(\hookrightarrow\) objets de t.f.)

44NB Si l'ens. des parties de \(E\) est […] isomorphe (pour la structure ordonnée) à l'ens. des ouverts \(\mathrm{Ouv}(X)\) pour quelque \(X\), alors \(E \to\) […] \([\)i.e. \(E \to \mathrm{Top}(X)]\), et c'est universel pour les morphismes de \(E\) dans un espace topologique.

c) \(\mathrm{Top}(X,G)\) pour […] les morphismes de […] \(E \to \operatorname{Hom}(\mathcal{A}(X), \mathrm{Ens})\) […] \(\to \operatorname{Hom}(E, (\mathrm{Ens}))\)

c) Morphismes d'un pt dans […] topos \(E\) : catégorie \(\underline{\mathrm{Pt}}(E)\) \(\underline{\mathrm{Pt}}(E)^{\circ}\)

d) Catégories \(\widehat{C}\) : soit […] \(u : C \to \widehat{C}'\) définit un foncteur en sens inverse \(F' \mapsto F \circ u\)

\begin{tikzcd}
\widehat{C}' \arrow[r, "u^{*}"] & \widehat{C}
\end{tikzcd}

qui a des adjoints, notés \(u_{!}\) et \(u^{!}\) qui commutent aux \(\varprojlim\) quelc. et […] \(\varinjlim\) quelc., donc est […] foncteur \(u^{*}\). Les foncteurs image inverse pour un \(u : \widehat{C} \to \widehat{C}'\) sont \(u_{!}\), \(u^{*}\), \(u_{*}\).

dans \(\widehat{C}\) […] on retrouve […] \(C\) […] covariant

Elle peut avoir l'adjoint à droite \(u_{*}\) ; il a un adjoint \(\varphi\), qu'on note \(u_{!}\) …

Ex. \(B_{G}\) avec \(G\) variable, qui est aussi exemple de 4.1.

e) Morphismes […] de topos \(\widehat{C} \to E\) : \[ E \xrightarrow[\ \varprojlim \text{finies}\ ]{\ \varprojlim\ } \operatorname{Hom}(C^{\circ}, \mathrm{Ens}) \qquad \Longleftrightarrow \qquad C^{\circ} \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\varprojlim\,\text{finies}} (E, (\mathrm{Ens})) = \underline{\mathrm{Pt}}(E)^{\circ} \] \[ \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(\widehat{C}, E) \simeq \operatorname{Hom}(C, \underline{\mathrm{Pt}}(E)) \] le second membre est d'abord écrit \(\operatorname{Hom}(C^{\circ}, \underline{\mathrm{Pt}}(E)^{\circ})\) si \(E = \widehat{C}'\), on trouve \[ \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(\widehat{C}, \widehat{C}') \simeq \operatorname{Hom}(C, \mathrm{Pro}\,C') \qquad \bigl(\operatorname{Hom}(C, C')\ \text{pl.\ fid.}\bigr) \] \(\mathrm{Pro}\) est précédé d'un \(\mathrm{Pt}\) rayé si \(C\) stable par \(\varprojlim\) finies, on obtient \[ \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(E, \widehat{C}) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{ex.\,g.}}(C, E)^{\circ} \]

45\(\lambda = (\underleftarrow{\lambda}, \emptyset)\)

muni des foncteurs de cat. 2-abstraites \(b^{T}_{C} : T(C) \to C^{I}\)

1) \(T\) catégorie \(\lambda\)-abstraite sur \((\mathrm{Cat}_{\lambda})\), on suppose que […] \(C\)

a) Pour tout foncteur pl. fidèle si \(C \to C'\) dans \(\mathrm{Cat}_{\lambda}\), \(T(i) : T(C) \to T(C')\) pl. fid.

b) et de même

\begin{tikzcd}[row sep=small]
T(C) \arrow[r] \arrow[d, "b^{T}_{C}"] & T(C') \arrow[d, "b^{T}_{C'}"] \\
C^{I} \arrow[r] & C'^{I}
\end{tikzcd}

Attention : […] \(\widehat{C}\) n'est pas une \(\mathcal{U}\)-catégorie !

b) Pour tout \(C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\), le foncteur canonique \[ T(\widehat{C}\,) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\lambda}(C^{\circ}, S) \qquad \bigl( S \overset{\text{déf}}{=} T(\mathrm{Ens}) \bigr) \] est une équivalence de catégories.

Alors \(T(C)\) se reconstitue à partir de la donnée de \(S\) et de \[ \beta = (b_{\mathrm{Ens}}) : S \longrightarrow (\mathrm{Ens})^{I}, \qquad \bigl( \beta = (\beta_{i})_{i \in I},\ \beta_{i} : S \to (\mathrm{Ens}) \bigr) \] \(T(C)\) = sous-catégorie pleine de \(\operatorname{Hom}_{\lambda}(C^{\circ}, S)\) formée des \(\varphi : C^{\circ} \to S\) tels que \(\forall\, i \in I\), \(\beta_{i} \circ \varphi\) soit représentable.

Mais si \(f : C \to C'\) est un \(\lambda\)-foncteur, comment définir \(T(f) : T(C) \to T(C')\) en fonction de \(S\), \((\beta_{i})\) ?

[…] La sous-catégorie pleine \(R\) de \(\operatorname{Hom}_{\lambda}(S, (\mathrm{Ens}))\) formée des foncteurs \(\psi\) tels que pour tout \(C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\) et \(\xi \in T(C)\), le composé \[ \psi \circ \xi : C^{\circ} \longrightarrow S \xrightarrow{\ \psi\ } (\mathrm{Ens}) \] soit représentable, est stable par \(\varprojlim\) de type \(\in \underleftarrow{\lambda}\), À quelle condition et pour tout \(C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\), on a un accouplement \[ T(C) \times R \longrightarrow C \] commutant aux \(\varprojlim\) de type \(\underleftarrow{\lambda}\) sur \(R\), d'où \[ T(C) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\lambda}(R, C) \] (fonct. de cat. 2-[…] sur \((\lambda)\))

À quelle condition cela est-il une équivalence de catégories ? Il est nécessaire que

a) \(R\) soit formé de foncteurs repr. i.e. \(R \simeq \Sigma^{\circ}\), où \(\Sigma\) est une sous-catégorie pleine de \(S\) \([\)dans laquelle les \(\varinjlim\) (inductibles) de type \(\lambda\) existent dans \(S\), et […] : \(\Sigma\,]\). Donc la donnée de \(R\) équivaut à la donnée de \(\Sigma \subset S\).

b) \(\Sigma\) engendre \(S\) \([\, S \to \operatorname{Hom}(\Sigma^{\circ}, (\mathrm{Ens})) = \widehat{\Sigma}\) pl. fidèle \(]\)

46e) Morphismes dans topos ponctuel \(\mathrm{Top}(1)\) : objet constant[s], foncteur sections.

f) Morphismes du topos vide dans un topos. Morphisme dans le topos vide \(E \to\) \(\mathrm{Ens}\) \(\mathrm{Top}(\emptyset)\) : c'est ssi \(E \simeq \mathrm{Top}(\emptyset)\), i.e. \(E\) équivalent à cat. ponctuelle (on aurait tous les objets isomorphes, on aurait […] morphisme \(\emptyset_{E} \to e_{E}\) un […] …)

g) Classifiant \(B_{G}\) (\(G\) groupe d'un topos) […] variable […] objet \(G\). \[ E \rightleftarrows B_{G} \quad \text{correspond à} \quad e \rightleftarrows S \]

h) Morphismes \(E_{/X} \longrightarrow E\) d'induction \[ \begin{cases} u^{*}(Y) = Y_{X} & \\ u_{!}(Y) = Y & (\text{oubli de plus structure}) \\ u_{*}(Y) & \text{plus compliqué} \end{cases} \] Ici […] \(u_{!}\), \(u^{*}\), \(u_{*}\) ; \(u^{*}\) commute aux \(\varprojlim\) quelconques …

morphismes \(E' \to E\), \(2^{\circ}\) des […] […] locaux […] (\(=\) […])

foncteurs de localisation, morphismes du localisé

\(E_{/X}\) […] comme foncteur en \(X\) : on […] que \(\operatorname{Hom}_{\mathrm{top}_{E}}(E_{/X}, E_{/Y}) \simeq\) catégorie discrète de « \(u_{!}\) » \(\operatorname{Hom}(X,Y)\)

i) Topos somme de topos le titre seul ; le reste de la page est vierge

47Donc \(\beta\) \((\beta_{i})\) s'interprète en termes de cat. des […], (vgr. constr. […])

\(\lambda\) = ens. des types de diagrammes finis

• \(\Sigma\) catégorie stable par \(\varprojlim\) de type \(\lambda\)
• \(R = \Sigma^{\circ}\)
• \(S = \operatorname{Hom}_{\underrightarrow{\lambda}}(R, \mathrm{Ens}) \supset \widehat{\Sigma} \supset \Sigma\), avec un \(\mathrm{Ens}\) rayé après la parenthèse

Je dis que

a) \(S\) admet des \(\varinjlim\) quelc.

b) Pour les catégories \(\mathcal{T}\) ayant des \(\varinjlim\) quelc., on a \[ \operatorname{Hom}_{\underrightarrow{\lambda}}(\Sigma, \mathcal{T}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{\lambda'}(S, \mathcal{T}) \] où \(\operatorname{Hom}_{\lambda'}\) désigne les foncteurs commutant aux \(\varinjlim\) quelconques ; et \[ \operatorname{Hom}_{\underleftarrow{\lambda}}(R, \mathcal{T}^{\circ}) \qquad \parallel \] […] \((\mathcal{T}^{\circ}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{\lambda'}(S, \mathcal{T})\)

\(S\) engendré par \(\varinjlim\) par \(\Sigma\).

48les pages 48 puis 52 à 54 sont rédigées en anglais ; la transcription suit la langue de la page

Comparison between topoi \(\widehat{C}\) and \(\mathrm{Top}(X)\).

\(\widehat{C}\) is \(\simeq\) to a \(\mathrm{Top}(X)\) iff \(C\) is an ordered category (i.e. \(\forall\, x \in \mathrm{Ob}\,C\), \(x \to e_{\widehat{C}}\) is a monomorphism). When this is so, we can take \(X\) to be \(C\) with the topology generated by the sets \(O_{x} = \{ y \in C \mid y \leq x \}\), i.e. arbitrary unions (of intersections) of such sets: in fact […] the \(O_{x}\)'s form a basis of the topology \(\mathcal{T}\), and open On the other hand, if \(X\) is an sets are those which the […] sieve's \[ \bigl( \forall\, x \in O,\ (y \leq x \text{ and } x \in O \implies y \in O) \bigr). \] un \(\Longleftrightarrow\) rayé précède la seconde parenthèse sous cette ligne : « and \(O = \bigcup O_{x}\) »

If \(F\) is a functor on \(C\), then \(F(O) \Longrightarrow \prod F(O_{x}) \rightrightarrows \prod F\). Thus sheaves on \(C\) are just the sheaves […] this basis of open sets, i.e. contravariant functors \(O_{x} \mapsto F(O_{x}) = F(x)\) from \(C'\) […] (category of the \(O_{x}\), \(O_{y} \hookrightarrow O_{x}\) iff \(y \leq x\)) \(\simeq C\) to sets, satisfying the sheaf property […] with respect to […] coverings of \(O_{j}\), but these are trivial \([\)for if \(O_{x_{i}}\) cover \(O_{x}\), \(\exists\, i\) s.th. \(x \in O_{x_{i}}\), i.e. \(x_{i}\) \(x \leq x_{i}\), hence \(x \approx x_{i}\) (as \(x_{i} \leq x\))\(]\) then we'll get arbitrary products.

Conversely, if \(X\) is a sober space, then \(\mathrm{Top}(X)\) is \(\simeq\) (\(\widehat{C}\) for some […]) iff the […] essential points of \(X\) (i.e. those which have a smallest open neighbourhood — or those for which the fiber functor commutes with products) are very dense \([\)and we may take for \(C\) the category of these pts\()\) la parenthèse fermante est écrite à la place du crochet

49

\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=small]
C \arrow[r, "f"] & C' \\
C & C' \arrow[l, dashed, "g"'] \\
C \arrow[r, dashed, "h"] & C'
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=small]
\widehat{C} \arrow[r, "f_{!}"] & \widehat{C}' \\
\widehat{C} & \widehat{C}' \arrow[l, "f^{*}"'] \\
\widehat{C} \arrow[r, "f_{*}"] & \widehat{C}'
\end{tikzcd}

\(f_{!}\) prolonge \(f\) ; \(f^{*}\) prolonge \(g\) (si \(g\) existe) ; \(f_{*}\) prolonge \(h\) (si \(h\) existe).

Si \(f\) commute aux \(\varprojlim\) finies, alors \(f_{!}\) aussi ; […] \(\varphi^{*}\), \(\varphi : \widehat{C}' \to \widehat{C}\) un morphisme de topos. \[ \widehat{f}_{!} = \varphi^{*}, \qquad \widehat{f}^{\,*} = \varphi_{*}, \qquad \widehat{f}_{*} = \varphi^{!} \]

\(\widehat{f} : \widehat{C} \to \widehat{C}'\) morphisme de topos, avec \(\widehat{f}^{\,*} = f^{*}\), \(\widehat{f}_{*} = f_{*}\), \(\widehat{f}_{!} = f_{!}\).

\[ \operatorname{Hom}_{\widehat{C}'}(f_{!}(F), F') \simeq \operatorname{Hom}_{\widehat{C}}(F, f^{*}F') \] si \(F = X \in \mathrm{Ob}\,C\), cela signifie \[ \operatorname{Hom}_{\widehat{C}'}(f_{!}(X), F') = f^{*}(F')(X) = F'(f(x)) = \operatorname{Hom}_{\widehat{C}'}(f(x), F') \] i.e. \(f_{!}(x) = f(x)\). \[ \operatorname{Hom}_{\widehat{C}'}(F', f_{*}F) \simeq \operatorname{Hom}_{\widehat{C}}(f^{*}F', F) \] si \(F = x \in \mathrm{Ob}\,C\), cela signifie \[ \operatorname{Hom}_{\widehat{C}'}(F', f_{*}(x)) = \operatorname{Hom}_{\widehat{C}}(f^{*}F', x) \] et faisant \(F' = x' \in \mathrm{Ob}\,C'\) : […] \[ f_{*}(x)(x') = \operatorname{Hom}_{\widehat{C}} (x' \circ f^{\circ}, x), \qquad f_{*}(x) = \bigl( x' \longmapsto \operatorname{Hom}_{\widehat{C}} (x' \circ f^{\circ}, x) \bigr) \] \[ x' \circ f^{\circ} = \bigl( y \longmapsto \operatorname{Hom}(f(y), x') \bigr) \ \parallel\ \operatorname{Hom}(y, g\,x') \] \[ f_{*}(x) = \bigl( x' \longmapsto \operatorname{Hom}_{C}(g(x'), x) \bigr) \ \wr\ \operatorname{Hom}_{C}(x', h(x)) \]

La page porte encore, à part, \((\mathbb{Z}, G)\) et \(B_{G} \to B_{e}\). ce fragment annonce les pp. 50-51

50

Exemples de morphismes et de foncteurs de localisation

\(E\), \(G\) ; \(B_{G}\) ; \(H \subset G\) ; \(X = G/H\) ; \(G \in \mathrm{Ob}\,B_{G}\), muni de \(\varepsilon \in \Gamma(X)\).

\begin{tikzcd}[row sep=large]
(B_{G})_{/X} \arrow[r, "\varphi\ \approx"] \arrow[d, "j_{X}"]
& B_{H} \arrow[d, "B_{i}"] \\
B_{G} & B_{G}
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[row sep=small]
E \arrow[r] & X \\
F \arrow[u] \arrow[r, dashed] & e_{E} \arrow[u, "\varepsilon"']
\end{tikzcd}

\(\varphi(E) = E \times_{X} (e_{E}, \varepsilon)\), \(\psi(F) = G \wedge_{H} F\)

\[ \varphi(j^{*}(E)) = (E \times X) \times_{X} (e_{E}, \varepsilon) \simeq E \]

oubli partiel des opérations de \(G\) — ou plutôt de \(H\)

Donc \(j_{X}\), via l'équivalence \(\varphi\), s'interprète comme \(B_{i}\). On a \(j_{X!}\) s'interprète comme \(F \mapsto G \wedge_{H} F\), et \(j_{X*}\) s'interprète comme \(F \mapsto \operatorname{Hom}_{H}(G, F)\).

plus généralement, si \(Z \in \mathrm{Ob}\,B_{G}\), […] foncteur « oubli » \((B_{G})_{/(Z,G)} \to B_{G} \to B_{H}\) […] \((B_{H})_{(Z,H)} \to B_{H}\) […] sont des foncteurs de localisation

Cas des groupes discrets (\(E = (\mathrm{Ens})\)) : si \(G\) est le groupe fondamental d'un espace topologique \(Z\) connexe, loc. connexe et loc. 1-connexe et […] plus connexe, \(B_{G} \simeq\) revêtements de \(Z\), et le domaine de \(X\) s'identifie à la donnée d'un revêtement […] de \(Z\), pointé au dessus de \(e\) (i.e. un \(x \in X\)).

théorie de Galois pour \(Z\) locaux

Alors la […] équivalence \(\varphi\) […] s'interprète comme l'équivalence entre \(\mathrm{Rev}(X)\) (pour \((B_{G})_{/X}\)) et la théorie de \(B_{H}\), dont c'est la théorie de Galois pour \(X\) et le pt base \(x\) (compte tenu que \(\pi_{1}(X, x) \simeq H \subset G\)).

TSVP

51Soit de même \(\mathbb{Z}\) \(X\) un espace topologique avec […] un groupe [discret \(G\)] qui opère, d'où \(\mathrm{Top}\) \(\mathrm{Top}(\mathbb{Z}, G)\) ; si \(H\) est un sous-groupe de \(G\), on a un foncteur « restriction des opérations à \(H\) » \[ \mathrm{Top}(\mathbb{Z}, G) \longrightarrow \mathrm{Top}(\mathbb{Z}, H) \] qui s'identifie à un foncteur de localisation, à savoir : l'objet […] pour \(X = G/H\), on prend \(\mathbb{Z}' = \mathbb{Z} \times X\) avec opérations diagonales de \(G\), et on considère le relatif \(\mathbb{Z}'\) sur \(\mathbb{Z}\) (c.-à-d. \(\mathrm{Top}(\mathbb{Z})\)) défini par l'élément marqué \(x\) de \(X\). Cela dit, on prend le foncteur \[ \mathrm{Top}(\mathbb{Z}, G)_{/\mathbb{Z}'} \longrightarrow \mathrm{Top}(\mathbb{Z}, H), \qquad E \longmapsto E \times_{\mathbb{Z}'}(X, e) \] est une équivalence de catégories … (En fait, \(\mathbb{Z}'\) est un « revêtement topologique » de \(\mathbb{Z}\) …) la phrase est laissée bancale sur la page : « on le foncteur … est une équivalence »

52

Sites

• (1) Notion of localisation: yoga.
• (2) localisation [data] (in a category (a « topology »))

a) In terms of « coverings » (when fibered products exist)

• Cov 1 base change
• Cov 2 composition
• Cov 3 identity
• \([\) Cov 4 saturation \(]\)

une accolade réunit Cov 1 à Cov 3 : « postulating, assuming only the \(X_{\alpha} \to X\) squarable »

b) In terms of « sieves » [covering]

• T1 base change
• T2 local nature
• T3 […]

• order relation (\(=\) […] inclusion)
• Intersection of topologies / […] supremum
• Topology generated by sieves, or families of morphisms

notion of a sieve of \(C\) (two versions) of \(C_{/X}\) (a \(X\)). Operations: base change, intersection, order relation, intersection, union; sieve generated by a covering, and interpretation of operations […] in terms of these

\[ \operatorname{Hom}_{\widehat{C}}(R, F) = \varprojlim\nolimits_{C/R} F(X) \simeq \operatorname{Ker}\Bigl( F(X_{\alpha}) \rightrightarrows \prod\nolimits_{\alpha, \beta} F(X_{\alpha} \times_{X} X_{\beta}) \Bigr) \] sous la formule : « family \(J_{\rho}(X)\) »

If Cov 1 to Cov 3 is satisfied, then the sieves generated by the objects of \(\mathrm{Cov}(X)\), are cofinal in \(J_{\mathcal{F}}(X)\) (\(\mathcal{T}\) top. \(J\)-generated).

(3) Sheaves (and separated [pre]sheaves) \[ \operatorname{Hom}(X, F) \longrightarrow \operatorname{Hom}(R, F) \quad \text{mono. (biun.)} \quad \text{for } \forall\, R \subset X,\ R \in J(X) \] \[ \Bigl[ \operatorname{Hom}(X, F) \longrightarrow \operatorname{Ker} \Bigl( \prod F(X_{\alpha}) \rightrightarrows F(X_{\alpha} \times_{X} X_{\beta}) \Bigr) \Bigr] \quad \text{mono. / biun.} \quad \forall\, (X_{\alpha} \to X) \in \mathrm{Cov}(X) \]

Topology defined by a family \(\Phi\) of presheaves, to become sheaves (resp. separated presheaves): topology \(T_{\Phi}\) where \((R \hookrightarrow X) \in T_{\Phi}(X)\) iff \(\forall\, X' \to X\) in \(C\), if \(R' = R \times_{X} X'\), \(\forall\, F \in \Phi\), \(F(X') \to F(R')\) bij. (inj.). This topology is the finest […] among those turning \(F \in \Phi\) into sheaves (resp. presheaves).

Cor If T1 is defined by a family of sieves, then cat. of sheaves (resp. presheaves) for topology generated is easy \([\)if T1 not satisfied one has first to saturate by T1\(]\)

53la numérotation des théorèmes de cette page fait suite à celle de la p. 54 : Th. 1 et Th. 2 y sont énoncés

the objects of \(\widetilde{C}\) are sheaves (or only separated presheaves). In fact, we get

Th. 3 (Giraud) \(T \longrightarrow \widetilde{C}_{T}\) is a bijective correspondence between topologies on \(C\) and [strictly] full subcategories \(E\) of \(\widehat{C}\) s.th. the inclusion functor \(i : E \to \widehat{C}\) has a left adjoint which is left exact. It is order reversing (\(T \leq T' \Longleftrightarrow \widetilde{C}_{T'} \subset \widetilde{C}_{T}\)).

Th. 5 Let \(E\) be a category. Then \(E \simeq \widetilde{C}\) for some (small) \(C\) iff \(E\) satisfies a) b) c) d). We can simply choose take for \(C\) the class […] the canonical a category \(C\) with a topology of a top. \(T\) in \(E\), (i.e. \(C \subset \widehat{C}\)). The choice […] \(\widetilde{C}_{T} \simeq E\) is equivalent to a full subcategory of \(E\) and the topology […] is generating fully faithful functor \(C \to E\) such that the image of \(C\) is generating \(E\); the topology of \(C\) is induced by the canonical topology of \(E\), via the given functor … (for instance by \(C \xrightarrow{\ \varepsilon_{C}\ } E = \widehat{C}\))

Continuous functors between sites, induced topology and:

Th. 4 Comparison lemma \(C \hookrightarrow C'\) (\(\mathcal{U}\)-cat.) […] de sites, \(i'\) pleinement fidèle, top. de \(C\) induite. Si tout objet de \(C'\) peut être couvert par des objets de \(C\), alors \(\widetilde{C}' \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{C}\). (Il y a réciproque si \(C\) est une \(\mathcal{U}\)-cat. dont la top. est moins fine que la top. can.)

Analogue bien connu en top. ordinaire ; possibilité de définir des \(\widetilde{C}\) équivalents […] de bien des façons différentes

54by taking as \(K'(X) =\) set of all inverse images of \(R' \in K(X')\) by any \(X \to X'\) in \(C\), then \(F\) separated sheaf (separated presheaf) for \(T\) iff […] \(\forall\, X \to X'\), \(R' \in K(X')\), and taking \(R = X \times_{X'} R'\), \(F(X) \to F(R)\) is inj. (bij.).

canonical top. \(J_{T}\) and strict universal epimorphic families. Most usual topologies are less fine than can., hence \(C \to \widetilde{C}\) fully faithful.

canonical topology is important in \(E = \widetilde{C}\), where it will mean that the covering families are those which have epimorphic […]

(4) Sheaf associated to a presheaf \[ \mathrm{id} \longrightarrow L, \qquad F \xrightarrow{\ \ell(F)\ } LF \] \[ LF(X) = \varinjlim\nolimits_{R \in T(X)} \operatorname{Hom}(R, F) \]

• a) \(L\) is left exact: \(\widehat{C} \to \widehat{C}\)
• b) \(\forall\, F\), \(LF\) is separated
• c) \(F\) separated \(\Longleftrightarrow F \to LF\) mono. If so, \(LF\) is a sheaf
• d) \(F \to LF\) is an isom. iff \(F\) is a sheaf

bounding the size of […] \(T(X)\) : […] restrict to \(\mathcal{U}\)-[…] […] ([…] […] or […] de topoi […] […] sites …)

Th. 1 Existence of \(a : \widehat{C} \to \widetilde{C}\), left adjoint of inclusion, and […] \(a\) is left exact. Indeed, \(a = L \circ L\) …

Cor a) Projective limits exist in \(\widetilde{C}\), and \(\widetilde{C} \subset \widehat{C}\) commutes with them. b) Direct limits exist, \(\varinjlim_{i}^{\widetilde{C}} F_{i} \simeq a\bigl(\varinjlim_{i}^{\widehat{C}} F_{i}\bigr)\). d'où toutes les propriétés d'exactitude de (Ens) qui n'engagent que des \(\varprojlim\) finies et des \(\varinjlim\) quelconques

Cor \(F \simeq \varinjlim_{C/F} a(X)\) pour \(F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{C}\).

Th. 2 Consider \(C \xrightarrow{\ \varepsilon_{C}\ } \widetilde{C}\) (\(X \mapsto a(X)\), left exact). Then

a) \(a\) fully faithful \(X_{\alpha} \to X\) is covering \([\)i.e. for every \(F \in \mathrm{Ob}\,\widetilde{C}\), \(F(X) \to \prod F(X_{\alpha})\) is injective\(]\) iff \(\coprod \varepsilon_{C}(X_{\alpha}) \to \varepsilon_{C}(X)\) is epimorphic

b) \(R \subset X\) is a covering sieve iff \(\varepsilon_{C}(R) \xrightarrow{\ \sim\ } \varepsilon_{C}(X)\).

Thus we recover topology \(T\) from the knowledge of \(\widetilde{C} \subset \widehat{C}\); indeed, it is the finest topology for which […] la page s'arrête au milieu de la phrase