Fonds Grothendieck, cote n° 161-3, pages 1–20

Titre porté au crayon sur l'onglet de la chemise : « Topos ». chemise du dossier

Produits de topos

\Pi(E,F) \simeq faisceaux sur E à valeurs dans F, i.e. foncteurs E^{\circ} \to F aux \varprojlim, i.e. qui ont un adjoint à gauche

\simeq faisceaux sur F à valeurs dans E, i.e. foncteurs F^{\circ} \to E commutant aux \varprojlim, i.e. qui ont un adjoint à g.

\simeq foncteurs E^{\circ} \times F^{\circ} \to (\mathrm{Ens}) qui en chaque variable aux \varprojlim quelc. le mot biffé n'est remplacé par aucun autre

si E \simeq \widetilde{C} \simeq faisceaux sur C à valeurs dans F, i.e. foncteurs \varphi : C^{\circ} \to F tels que pour tout R \to X couvrant dans C, on a \varphi(X) \xrightarrow{\sim} \varprojlim_{C/R} \varphi(Z), i.e. tels que \forall\, y \in F, X \mapsto \operatorname{Hom}_{F}(\varphi(X), y) sur C est un faisceau, (i.e. foncteurs \varphi^{\circ} : C \to F^{\circ} qui sont « continus » [i.e. se prolongent en foncteurs \widetilde{C} \to F^{\circ} commutant aux \varprojlim [quelc.]])

si F \simeq \widetilde{D} \simeq faisceaux sur D à valeurs dans E, i.e. foncteurs \psi : D^{\circ} \to E tels que , i.e. foncteurs « continus » \psi^{\circ} : D \to E^{\circ}

\simeq foncteurs C^{\circ} \times D^{\circ} \to (\mathrm{Ens}) qui sont des « bifaisceaux » i.e. tels que ce soient des faisceaux séparément en chaque variable.

~~E \to E', v : F \to F'~~

Prop. 1 \Pi(E,F) est un topos.

On peut supposer E = \widetilde{C}, F = \widetilde{D}, C et D petites stables par \varprojlim finies.

a) Cas des topologies discrètes : \Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \simeq \widehat{C \times D} : c'est un topos.

b) Plus généralement, \Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) \simeq \operatorname{Hom}(C^{\circ}, \widetilde{D}) est un topos, ~~de même~~ \Pi(\widetilde{C}, \widehat{D}) \simeq \operatorname{Hom}(D^{\circ}, \widetilde{C}).

Et L'inclusion naturelle \Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) \hookrightarrow \Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) (qui à \varphi associe i_{D} \circ \varphi, où i_{D} : \widetilde{D} \to \widehat{D} est l'inclusion) est le foncteur image directe pour un morphisme de topos, dont le foncteur image inverse \Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \to \Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) est donné par \varphi \mapsto a_{D} \circ \varphi, où a_{D} : \widehat{D} \to \widetilde{D} est l'adjoint à g. de i_{D}.

Donc \Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) est un sous-topos (str. pleine) dans \Pi(\widehat{C}, \widehat{D}), et par la raison symétrique \Pi(\widetilde{C}, \widehat{D}) aussi. Mais \Pi(\widetilde{C}, \widetilde{D}) est l'intersection de ces deux, donc c'est un sous-topos de \Pi(\widehat{C}, \widehat{D})

— a fortiori un topos.

On va définir, pour deux morphismes de topos u : E \longrightarrow E', \qquad v : F \longrightarrow F' un morphisme de topos \Pi(u,v) : \Pi(E,F) \longrightarrow \Pi(E',F') dont l'interprétation intrinsèque symbolique est ainsi, en termes des « bifaisceaux » E^{\circ} \times F^{\circ} \to (\mathrm{Ens}), et E'^{\circ} \times F'^{\circ} \to (\mathrm{Ens}),

\Pi(u,v)_{*}(\varphi)(X',Y') = \varphi(u^{*}X', v^{*}Y') \qquad : \Pi(E,F) \longrightarrow \Pi(E',F') \Pi(u,v)^{*}(\varphi)(X,Y) \overset{?}{=}

Pour prouver que le foncteur précédent est associé à un morphisme de topos, nous sommes ramenés, en le factorisant en \Pi(E,F) \longrightarrow \Pi(E,F') \longrightarrow \Pi(E',F') au cas où l'un des deux morphismes u, v est l'identité ; soit u, d'où à étudier \Pi(\mathrm{id}_{E}, v)_{*} : \Pi(E,F) \longrightarrow \Pi(E,F') On peut supposer v : F \to F' défini par un morphisme de sites v_{0}^{*} : C' \to C, C, C' stables par \varprojlim finies, munis d'une top. moins fine que la top. can. Donc on a un diagramme ~~commutatif~~ de topos

~~F \xrightarrow{\ \widetilde{v}_{0}\ } F'~~

\begin{tikzcd} \widetilde{C} = F \arrow[r, "\widetilde{v}_{0}"] \arrow[d, hook] & \widetilde{C}' = F' \arrow[d, hook] \\ \widehat{C} \arrow[r, "\widehat{v}_{0}"] & \widehat{C}' \end{tikzcd}

et par suite un diagramme. E = \widetilde{C}, et on a alors \Pi(\mathrm{id}_{E}, v)_{*} s'inscrit dans un diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \Pi(\widetilde{C}, F) \arrow[r, "{\Pi(\mathrm{id}_{\widetilde{C}}, v)_{*}}"] \arrow[d, "{\Pi(i_{C}, \mathrm{id}_{F})_{*}}"'] & \Pi(\widetilde{C}, F') \arrow[d, "{\Pi(i_{C}, \mathrm{id}_{F'})_{*}}"] \\ \Pi(\widehat{C}, F) \arrow[r, "{\Pi(\mathrm{id}_{\widehat{C}}, v)_{*}}"'] & \Pi(\widehat{C}, F') \end{tikzcd}

Nous avons déjà dans le dessin de (prop. 1) vérifié que les flèches verticales sont des inclusions de sous-topos [inclusion d'un sous-topos intersection dans un des facteurs] donc pour prouver que \Pi(\mathrm{id}_{\widetilde{C}}, v)_{*} est le foncteur adjoint pour un morphisme de topos, il suffit de vérifier qu'il en est ainsi de \Pi(\mathrm{id}_{\widehat{C}}, F')_{*}. En effet, le second argument de \Pi(-,-) est partout ailleurs un morphisme ; la page porte bien F'

On aura alors un morphisme de topos \Pi(\widetilde{C}, F) \longrightarrow \Pi(\widehat{C}, F') , \qquad\text{et} une flèche oblique, sous la précédente, la fait passer par \Pi(\widehat{C}, F)

on voit (en vérifiant sur les foncteurs images directs) qu'il se factorise par le sous-topos \Pi(\widetilde{C}, F'), le foncteur image directe associé au morphisme de topos obtenu \Pi(\widetilde{C}, F) \to \Pi(\widetilde{C}, F') étant \Pi(\mathrm{id}_{\widetilde{C}}, v)_{*}. une large tache d'encre couvre ici trois demi-lignes

Or \Pi(\mathrm{id}_{\widehat{C}}, \ill{}) s'identifie au foncteur \operatorname{Hom}(C, F) \longrightarrow \operatorname{Hom}(C, F') défini par \varphi \mapsto v_{*} \circ \varphi [car la bijection associée à \varphi est \varphi(X,Y) \to \operatorname{Hom}_{F}(Y, \varphi(X)), qui se transforme par \operatorname{Hom}(X,Y') \to \operatorname{Hom}_{F}(v^{*}Y', \varphi(X)) \simeq \operatorname{Hom}_{F'}(Y', (v_{*}\varphi)(X)), et pour \varphi' = v_{*}\varphi : C \to F', c'est bien la bijection sur C \times F' associée à \varphi'], dont l'adjoint à droite est \varphi \mapsto v^{*} \circ \varphi, et celui-ci est bien exact à g. cqfd. c'est l'adjoint à gauche de \varphi \mapsto v_{*}\circ\varphi que demande la suite ; la page porte « droite »

Prenons v : F \to P (topos ponctuel \simeq \widehat{e}, e catégorie finale) et notant que \Pi(E,P) \cong E, on déduit un morphisme can. \Pi(E,F) \longrightarrow E et on trouve de même un morphisme can. de topos \Pi(E,F) \longrightarrow F d'où un morphisme de topos \Pi(E,F) \longrightarrow E \times_{\mathrm{top}} F évidemment 2-fonctoriel en E, F. On veut prouver que c'est une équivalence, i.e. que \Pi(E,F) « est » un 2-produit des

topos E, F. On suppose comme dans la dém. de prop. 1 E = \widetilde{C}, F = \widetilde{D}, ~~donc~~ on a vu que \Pi(E,F) = \Pi(\widetilde{C}, \widetilde{D}) = \struck{\ill{}}\; \Pi(\widetilde{C}, \widehat{D}) \cap \Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) (intersection des sous-topos de \Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \simeq \widehat{C \times D})

et il est clair que les deux foncteurs \Pi(\widetilde{C}, \widehat{D}) et \Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) sont les images inverses des sous-topos \widetilde{C} \subset \widehat{C} resp. \widetilde{D} \subset \widehat{D} par les « projections » \Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \to \widehat{C} resp. \Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \to \widehat{D}. Cela nous ramène à savoir prouver que \Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) est un 2-produit des topos \widehat{C}, \widehat{D}. Or pour un topos EX, on a \begin{align} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \widehat{C}) &\cong \operatorname{Hom}'(C, X)^{\circ} \nonumber\\ \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \widehat{D}) &\cong \operatorname{Hom}'(D, X)^{\circ} \nonumber \end{align} où le \operatorname{Hom}' désigne les foncteurs exacts à g. [NB suppose C et D stables par \varprojlim finies], donc on a \begin{align} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \widehat{C}) \times \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \widehat{D}) &\cong \bigl[\operatorname{Hom}'(C,X) \times \operatorname{Hom}'(D,X)\bigr]^{\circ} \nonumber\\ &\cong \bigl(\operatorname{Hom}'(C \times D, X)\bigr)^{\circ} \nonumber\\ &\cong \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \widehat{C \times D}) \nonumber \end{align} cqfd

[si C et D sont stables par \varprojlim finies, il C en est de même de C \times D (Attention, des variables, non pas les variables séparément) et les foncteurs exacts à g. C \times D \xrightarrow{\ \sim\ } X [X une catégorie quelc.] correspondant aux ~~deux~~ couples de foncteurs exacts à gauche C \xrightarrow{\ u\ } X, D \xrightarrow{\ v\ } X, et leurs associés (a,b) \mapsto u(a) \times v(b), et à w les foncteurs a \mapsto w(a, e_{D}), b \mapsto w(e_{C}, b)

a) \widehat{C} \times \widehat{C}' \simeq \widehat{C \times C'}

C, C' petites catégories avec \varprojlim finies

Plus généralement, si on a une famille de catégories C_{i} petites avec \varprojlim finies, soit \Pi' C_{i} \subset \Pi C_{i} la sous-catégorie pleine produit formée des systèmes (x_{i})_{i \in I} (x_{i} \in \operatorname{Ob} C_{i}) tel que x_{i} \simeq e_{C_{i}} pour presque tout i, alors \prod_{i} \widehat{C_{i}} \;\approx\; \widehat{{\textstyle\prod}' C_{i}}

\varphi, \varphi' exacts à gauche ; C \xrightarrow{\varphi} X, C' \xrightarrow{\varphi'} X (X catégorie aux \varprojlim finies) se factorisent en C \xrightarrow{i_{1}} C \times C' \xrightarrow{f} X, C' \xrightarrow{i_{2}} C \times C', où i_{1}(x) = (x, e_{C'}), i_{2}(x') = (e_{C}, x'), par f(x,x') \simeq \varphi(x) \times \varphi'(x') ; f(\varprojlim(x_{i}, x'_{i})) = f(\varprojlim x_{i}, \varprojlim x'_{i}) = \varphi(\varprojlim x_{i}) \times \varphi'(\varprojlim x'_{i}) = \varprojlim_{i} \varphi(x_{i}) \times \varprojlim_{i} \varphi'(x'_{i}) = \varprojlim_{i} (\varphi(x_{i}) \times \varphi'(x'_{i})) OK

b) Soient E_{i} des topos (i \in I), E'_{i} \underset{\alpha_{i}}{\subset} E_{i} sous-topos, 2-produit strict

Supposons E = \prod_{i}^{\mathrm{top}} E_{i} \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_{i}\ } E_{i} existe

Soit pour tout i, F_{i} \subset E le sous-topos \mathrm{pr}_{i}^{-1}(E'_{i})

Soit E' = \bigcap F_{i} le sous-topos intersection

Donc on a E' \xrightarrow{\ \mathrm{pr}'_{i}\ } E'_{i}, E' \simeq \prod^{\mathrm{top}} E'_{i}

Ceci fait de E' un 2-produit des E'_{i}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \prod_{i} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E'_{i}) \arrow[r, hook, "\alpha"'] & \prod_{i} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E_{i}) \\ & \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E) \arrow[u, "\beta"'] \end{tikzcd} la flèche horizontale porte « pl. fid. », la verticale un « \simeq »

L'image essentielle ~~par~~ \alpha est la sous-catégorie str. pleine de \prod_{i} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E_{i}) formée des systèmes (f_{i} : X \to E_{i}) tel que pour tout i, f_{i} se factorise par E'_{i} ; par \beta, et correspond la s.-cat. pleine de \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E) formée des f : X \to E tel que \forall i, \mathrm{pr}_{i} \circ f se factorise par E'_{i}, i.e. tel que \forall i, f se factorise par F_{i}, i.e. tels que X se factorise par F. Donc \prod_{i} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E'_{i}) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, F). la page écrit F là où le sous-topos intersection a été noté E' à la page précédente

Corollaire de a) et b) : Le 2-produit d'une famille de topos existe tjrs.

Pour avoir la \varprojlim^{\mathrm{top}} d'un topos fibré, il faut \mathcal{F} \to I, \mathcal{F}_{j} \xrightarrow{\ f^{*}\ } \mathcal{F}_{i}, j \xleftarrow{\ f\ } i : \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \mathcal{F}_{i}) \;\simeq\; \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}'(\mathcal{F}_{i}, X) \;\simeq\; \ill{}

(E_{i})_{i \in I} pseudo ~~syst.~~ projectif de topos, \mathcal{F}_{1} \rightrightarrows \mathcal{F}_{2} \rightrightarrows \mathcal{F}_{3} : \varprojlim_{i}^{\mathrm{top}} E_{i} \longrightarrow \prod_{i \in \operatorname{Ob} I} E_{i} \rightrightarrows \prod_{\alpha \in \mathrm{Fl}_{1} I} E_{b(\alpha)} \rightrightarrows \prod_{(\alpha,\beta) \in \mathrm{Fl}_{2}(I)} E_{b(\beta)} les flèches étant \mathrm{pr}_{s(\alpha)}, \mathrm{pr}_{s(\beta)} et E_{s(\alpha)} \to E_{b(\alpha)}. tout ce bas de page est barré de deux longues diagonales ; le troisième terme porte trois flèches et non deux

X, Y deux espaces topologiques, considérons \operatorname{Top}(X) \overset{2}{\times}_{\mathrm{top}} \operatorname{Top}(Y) et \operatorname{Top}(X \times Y) (on vérifie facilement que ce dernier ne dépend que de \operatorname{Top}(X) et de \operatorname{Top}(Y), i.e. des espaces sobres associés à X et Y) d'où un morphisme canonique de topos \struck{\text{Prop.}} \quad (*) \qquad \boxed{\;\operatorname{Top}(X \times Y) \longrightarrow \operatorname{Top}(X) \overset{2}{\times}_{\mathrm{top}} \operatorname{Top}(Y)\;} et on veut des conditions pour que ce soit une équivalence.

\mathcal{O}_{X} = cat. des ouverts de X

Or on voit que \operatorname{Top}(X \times Y) = \widetilde{\mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{Y}}, où la topologie à mettre sur \mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{Y} est la « topologie produit » \pi, i.e. celle pour laquelle les faisceaux sont les foncteurs contravariants (\mathcal{O}_{X} \overset{2}{\times} \mathcal{O}_{Y})^{\circ} \to (\mathrm{Ens}) qui sont des faisceaux séparément. Il Il y a aussi la topologie \pi' « induite » par la précédente X \times Y en utilisant l'injection (supposons X \neq \emptyset et Y \neq \emptyset) \mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{Y} \subset \mathcal{O}_{X \times Y}. Il est clair que tout faisceau pour cette topologie (faisceau sur X \times Y) est un bifaisceau donc la 2e top. \pi' est plus fine que \pi. On voit déjà que le morphisme (*) est un plongement de topos, et est ramené à voir si ce plongement est une équivalence, i.e. \pi = \pi'. Donc on est ramené à voir si tout recouvrement pour \pi' U \times V (U \in \mathcal{O}_{X}, V \in \mathcal{O}_{Y}) par des U_{i} \times V_{i} [i.e. rec. ensembliste dans X \times Y] est un rec. pour \pi, i.e. si si \bigcup_{i} U_{i} \times V_{i} = U \times V \implies \operatorname*{Sup}_{i} U_{i} \times V_{i} = U \times V le Sup étant pris dans l'ensemble des sous-objets de U \times V le topos \widetilde{\mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{Y}} (top. \pi).

Proposition Pour qu'il en soit ainsi, il suffit que tout point de U (ou de V) admette un voisinage () quasi-compact

Corollaire Si tous points de X (ou de Y) admettant un syst. fond. de voisinages qui sont quasi-compacts, alors (*) est une équivalence.

NB les U \times V (U \in \mathcal{O}_{X}, V \in \mathcal{O}_{Y}) forment une base de la top. de X \times Y

NB comme \operatorname{Top}(X \times Y) \operatorname{Top}(X) \overset{2}{\times}_{\mathrm{top}} \operatorname{Top}(Y)

une longue note marginale, écrite en diagonale le long de toute la marge de gauche et recoupant les deux précédentes, reste en grande partie illisible

Dém. Pour tout x \in X, soit U_{x} un voisinage quasi-compact. Donc \forall\, y \in Y il existe I_{x,y} \subset I, I_{x,y} partie finie, telle que U_{x} \times \{y\} soit recouvert par les U_{i} \times V_{i} (i \in I_{x,y}). Soit V_{x,y} l'intersection des V_{i}, V_{x,y} = \bigcap_{i \in I_{x,y}} V_{i}, donc on a \begin{cases} \mathring{U}_{x} = U'_{x} \subset \bigcup_{i \in I_{x,y}} U_{i}, \\ V_{i} \supset V_{x,y} \text{ pour } i \in I_{x,y} \end{cases} Donc S \overset{\text{déf}}{=} \operatorname*{Sup}_{i \in I}(U_{i} \times V_{i}) \;\geqslant\; \operatorname*{Sup}_{i \in I_{x,y}}(U_{i} \times V_{i}) \;\geqslant\; \Bigl(\operatorname*{Sup}_{i \in I_{x,y}} U_{i}\Bigr) \times V_{x,y} \;\geqslant\; U'_{x} \times V_{x,y} donc comme ceci est vrai pour tout y, on a S \geqslant \operatorname*{Sup}_{y} \mathring{U}'_{x} \times V_{x,y} = \mathring{U}'_{x} \times \operatorname*{Sup}_{y} V_{x,y} = \mathring{U}'_{x} \times V d'où S \geqslant \operatorname*{Sup}_{x} (\mathring{U}'_{x} \times V) = \Bigl(\operatorname*{Sup}_{x} \mathring{U}'_{x}\Bigr) \times V = U \times V cqfd.

Réciproquement Supposons que X (ou Y) ne contienne pas de parties loc. fermées non vides dont aucun point n'ait de voisinage relatif quasi-compact. Je dis qu'~~alors~~ a) est une équivalence.

Considérons en effet les ouverts U' dans U tels que S \geqslant U' \times V ; il suffit de prouver que U en est parmi. Or la ouverts, en est un = sup, donc il y a un plus grand ouvert = sup [N.B. \emptyset en est un !]

Prouvons U' = U. ~~Soit Z~~ Sinon, la partie loc. fermée Z de U non vide, doit avoir un x \in Z ayant un voisinage relatif T_{x} \subset Z quasi-compact. Soit U'' \subset U un ouvert contenant x tel que U'' \cap Z \subset T. ~~Donc~~ Il existe \forall\, y \in Y une partie finie I_{y} de I telle que T \times \{y\} \subset \bigcup_{i \in I_{y}} U_{i} \times V_{i}, \qquad\text{et pour } V_{y} = \bigcap_{i \in I_{y}} V_{i}, \quad \struck{\ill{}} ~~T \times V_{y} \subset \bigcup_{i \in I} U_{i} \times V_{i} donc~~ T \subset \bigcup_{i \in I_{y}} U_{i}, i \in I_{y} \implies V_{i} \supset V_{y} donc on a S \geqslant \operatorname*{Sup}_{i \in I_{y}}(U_{i} \times V_{i}) \geqslant \operatorname*{Sup}_{i \in I_{y}} U_{i} \times V_{y} \geqslant \Bigl(\operatorname*{Sup}_{i \in I_{y}} U_{i}\Bigr) \times V_{y} Mais on sait déjà que S \geqslant U' \times V \geqslant U' \times V_{y} donc S \geqslant \operatorname*{Sup}(U'_{i}, U_{i}\ i \in I_{y}) \times V_{y} \geqslant (U' \cup U'') \times V_{y}

Comme ceci est vrai pour tout y, on a S \geqslant \operatorname*{Sup}_{y}\bigl((U' \cup U'') \times V_{y}\bigr) = (U' \cup U'') \times \operatorname*{Sup}_{y} V_{y} = (U' \cup U'') \times V contredisant au caractère maximal de U', OK.

Cas de produits ~~infinis~~ d'une famille quelconque de topos

On trouve que si tous les facteurs sauf ~~un seul~~ au plus sont tels que tout pt ait un système fond. de voisinages (q-s vois. ouverts) quasi-compacts, et si tous sauf au plus un seul, ont voisinages quasi-compacts, alors \operatorname{Top}\Bigl(\prod_{i \in I} X_{i}\Bigr) \longrightarrow \prod_{i}^{(2)}{}_{(\mathrm{top})} \operatorname{Top}(X_{i}) est une équivalence de topos.

C'est essentiellement le même argument, travaillant sur la cat. produit ~~restreint~~ \prod' \mathcal{O}_{X_{i}} (familles des (U_{i})_{i \in I}, U_{i} \in \mathcal{O}_{X_{i}} U_{i} ; U_{i} = X_{i} ( pour presque tout de \mathcal{O}_{X_{i}}) pour presque tout i) et la « topologie produit » sur ce produit.

Dans le cas où I est fini, c'est un corollaire immédiat de ce qui précède. Dans le cas général, on a I = \varinjlim_{\alpha} J_{\alpha} (J_{\alpha} parties finies de I) d'où \begin{align} \prod_{i}^{\mathrm{top}} \operatorname{Top}(X_{i}) &\cong \varprojlim_{\alpha}{}^{\mathrm{top}} \Bigl(\prod_{i \in J_{\alpha}} \operatorname{Top}(X_{i})\Bigr) \nonumber\\ &\cong \varprojlim_{\alpha}{}^{\mathrm{top}} \Bigl(\operatorname{Top}\bigl({\textstyle\prod_{i \in J_{\alpha}}} X_{i}\bigr)\Bigr) \qquad\Bigl[{\textstyle\prod_{i \in J_{\alpha}}} X_{i} = Z_{\alpha}\Bigr] \nonumber\\ &\approx \Bigl(\underbrace{\varinjlim_{\alpha} \mathcal{O}_{Z_{\alpha}}}_{\mathcal{O}'_{Z}}\Bigr)^{\sim} \nonumber \end{align}

\mathcal{O}'_{Z} est la catégorie des ouverts de Z = \prod X_{i} (qui sont images inverses ~~des~~ d'ouverts de produits finis \prod_{i \in J_{\alpha}} X_{i} = Z_{\alpha}. Ils la forment ~~une~~ alors la topologie (~~\varprojlim~~, qui définit le foncteur précédent, mais aussi la top. plus fine \pi' provenant de la top. de Z. Si tous les X_{i} sauf un nb fini sont quasi-compacts [les autres étant ce qu'ils veulent] on trouve par un argument analogue à dessus que les top. sont

W \in \mathcal{O}'_{Z}, donc de la forme U \times Z'_{\alpha}, les mêmes. ~~Soit en effet~~ (U un ouvert de Z_{\alpha}, et Z'_{\alpha} = \prod_{i \in I - J_{\alpha}} X_{i}, (d'où Z = Z_{\alpha} \times Z'_{\alpha}), et soient (V_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}, V_{\lambda} \in \mathcal{O}'_{Z}, avec W \subset \bigcup_{\lambda} V_{\lambda} prouvons qu'il \operatorname*{Sup}_{\lambda} W \geqslant U \times Z'_{\alpha}. J_{\alpha} pour les X_{i} (i \in I - J_{\alpha}) soient quelconques, alors Z'_{\alpha} est quasi-compact. deux taches d'encre couvrent la fin de deux lignes de ce paragraphe

\forall\, z \in \struck{\ill{}} W, \{z\} \times Z'_{\alpha} est recouvert par un nb fini de V_{\lambda}, disons pour \lambda \in \Lambda_{z}, donc \exists J_{\beta(z)} \supset J_{\alpha} tel que chaque V_{\lambda} (\lambda \in \Lambda_{z}) de la forme V'_{\lambda} \times Z'_{\beta(z)}, avec V'_{\lambda} \subset \mathcal{O}_{Z_{\beta(z)}}. Comme \{z\} \times Z'_{\alpha} \subset \bigcup(V'_{\lambda} \times Z'_{\beta(z)}), cela signifie \{z\} \times \prod_{i \in J_{\beta(z)} - J_{\alpha}} X_{i} \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{z}} V'_{\lambda} , donc il existe un voisinage ouvert U_{z} \ni z dans Z_{\alpha} tel que U_{z} \times Z'_{\alpha} \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{z}} V_{\lambda}. Mais alors on aura l'inclusion U_{z} \times \prod_{i \in J_{\beta(z)} - J_{\alpha}} X_{i} \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{z}} V'_{\lambda} d'où S \overset{\text{déf}}{=} \operatorname*{Sup}_{\lambda \in \Lambda}(V_{\lambda}) \geqslant \operatorname*{Sup}_{\lambda \in \Lambda_{z}} V_{\lambda} \geqslant U_{z} \times Z'_{\alpha} . Comme ceci est vrai pour tout z, S \geqslant \operatorname*{Sup}_{z}\bigl(U_{z} \times Z'_{\alpha}\bigr) = \Bigl(\operatorname*{Sup}_{z \in Z} U_{z}\Bigr) \times Z'_{\alpha} = W \times Z'_{\alpha} , cqfd.

Contre-exemples pour des produits infinis

Prenons X_{i} discret pour tout i, on aura \prod_{i \in I} \operatorname{Top}(X_{i}) = \Bigl(\underbrace{\varinjlim_{\alpha} \mathcal{O}_{Z_{\alpha}}}_{\mathcal{O}'_{Z}}\Bigr)^{\sim} , munie par la top.

\pi de \mathcal{O}'_{Z} ainsi que la topologie déduite de la top. produit sur Z = \struck{\prod X_{i}} = \varprojlim_{\alpha} Z_{\alpha} (si I infini et les X_{i} ne sont pas presque tous finis). On a une famille fond. de voisinages de Z par un objet de \mathcal{O}' en associant à tt z = (x_{i})_{i \in I} \in Z une partie finie J(z) de J, ~~telle~~ très \struck{\ill{}\ W(z) =} \qquad V_{z} = \{\, z' \in Z \mid z'_{i} = z_{i} \text{ si } i \in J - J(z) \,\} . ~~La question est de voir si tous ces (V_{z})_{z \in Z}~~ pas rec. pour \pi, ou encore la page s'arrête ici ; le reste du feuillet est vierge, et un « ? » est porté en marge

\varprojlim filtrantes de topos essentiels \widehat{C}

On est intéressé aux \varprojlim pour un topos fibré, i.e. les fibres sont des topos \widehat{C} (C arbitr.) et les morphismes de transition ~~f : \widehat{C}' \to \widehat{C}~~ ~~sont~~ essentiels, i.e. associés à des foncteurs f_{0} : C \longrightarrow C' Il est ~~que alors~~ \mathcal{X} = \varprojlim^{\mathrm{top}} \widehat{C_{i}} soit un topos essentiel et ses projections \mathcal{X} \to \widehat{C_{i}} des morphismes essentiels.

Mais pour le calcul commode de \mathcal{X} on va supposer que les \widehat{f}_{ij} : \widehat{C_{j}} \to \widehat{C_{i}} (associés aux f_{ij} : C_{j} \to C_{i}) soient ess., i.e. des morph. de sites donnés par des foncteurs g_{ji} : C_{i} \longrightarrow C_{j} (i.e. induits par \widehat{f}_{ij}^{*} i.e. précis, et adjoints à droite des f_{ij}).

On trouve alors \mathcal{X} = \varprojlim_{i, \widehat{f}_{ij}}{}^{\mathrm{top}} \widehat{C_{i}} \;\simeq\; \Bigl(\operatorname*{colim}_{i, g_{ij}} C_{i}\Bigr)^{\wedge} et les morphismes \mathcal{X} \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_{i}\ } \widehat{C_{i}} sont associés aux morphismes de sites donnés par le foncteur can. C_{i} \xrightarrow{\ \alpha_{i}\ } C = \operatorname*{colim} C_{j} , donc pour F \in \widehat{C} = \mathcal{X}, \mathrm{pr}_{i*}(F) = F \circ \alpha_{i} , \qquad\text{et pour } G \in \widehat{C_{i}} \ \ill{} \mathrm{pr}_{i}^{*}(G) = la formule reste inachevée ; la page s'arrête ici

Foncteurs sur un topos \widetilde{C} commutant aux \varinjlim

Soient C un U-site, E une catégorie aux petites \varinjlim, considérons les catégories \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) \qquad \operatorname{Hom}(C, E) et soit \operatorname{Hom}'(\widetilde{C},E) ~~désigner~~ la sous-catégorie pleine de \operatorname{Hom} formée des foncteurs qui commutent aux petites \varinjlim. On va définir des foncteurs

\begin{tikzcd} \operatorname{Hom}(\widetilde{C}, E) \arrow[r, bend left=20, "\alpha"] & \operatorname{Hom}(C,E) \arrow[l, bend left=20, "\beta"] \end{tikzcd}

en posant \begin{align} \alpha(u) &= u \circ \varepsilon_{C} \nonumber\\ \beta(u_{0}) &= \Bigl[F \mapsto \varinjlim_{C/F} u_{0}(X)\Bigr] \nonumber \end{align} (\varepsilon_{C} : C \to \widetilde{C} le foncteur canonique ; = \widehat{\beta} \mid \widetilde{C}, i.e. \widehat{\beta} : \widehat{C} \to E est le prolongement can. de \beta défini par commutation aux \varinjlim)

Soit u \in \operatorname{Ob} \operatorname{Hom}(\widetilde{C},E), on a un hom i_{u} : \beta\alpha(u) \longrightarrow u donné par \forall\, F \in \operatorname{Ob} \widetilde{C} par i_{u}(F) : \bigl(\beta(\alpha(u))\bigr)(F) = \varinjlim_{C/F} u(\varepsilon_{C}(X)) \longrightarrow u(F) C \xrightarrow{j_{0}} \widehat{C}, \widetilde{C} \xrightarrow{i_{0}} \widehat{C}, a : \widehat{C} \to \widetilde{C} ; \varepsilon_{C} = a j_{0} déduit de l'isom. can. \varinjlim_{C/F} (\varepsilon_{C}) X \xrightarrow{\sim} F en appliquant u

On trouve que l'homom. i_{u}(F) est bien fonctoriel en F, d'où i_{u}, et que i_{u} est fonctoriel en u, d'où \boxed{\;\beta\alpha \xrightarrow{\ i\ } \mathrm{id}_{\operatorname{Hom}(\widetilde{C},E)}\;}

Notons tout de suite que i_{u} : \beta\alpha(u) \to u est un isom. sss u : \widetilde{C} \to E commute aux \varinjlim du type \varinjlim_{C/F} X \xrightarrow{\sim} F (F \in \operatorname{Ob} \widetilde{C}), donc que u \in \operatorname{Ob} \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E).

Soit u_{0} \in \operatorname{Hom}(C,E), on va définir j_{u_{0}} : \struck{\ill{}}\; u_{0} \longrightarrow \alpha\beta(u_{0}) donné pour Z \in \operatorname{Ob} C, par j_{u_{0}}(Z) : \quad u_{0}(Z) \longrightarrow \bigl(\alpha(\beta(u_{0}))\bigr)(Z) = \beta(u_{0})(\varepsilon_{C}(Z)) = \varinjlim_{C/\varepsilon_{C}(Z)} u_{0}(X) en notant que (Z, \text{morphisme can. de } Z \text{ dans } \varepsilon_{C}(Z)) est un objet de C/\varepsilon_{C}(Z), soit X_{0}, et par suite u_{0}(X_{0}) = u_{0}(Z) s'envoie dans la \varinjlim.

On vérifie que cette application est fonctorielle en Z, donc définit j_{u_{0}} : u_{0} \to \alpha\beta(u_{0}), et que cette dernière est fonctorielle en u_{0}, d'où un hom. de foncteurs \boxed{\;j : \mathrm{id}_{\operatorname{Hom}(C,E)} \longrightarrow \alpha\beta\;} ~~Signalons~~ Notons tout de suite que pour ~~que~~ ce dernier, j_{u_{0}} : u_{0} \to \alpha\beta(u_{0}), soit un isom. sss \forall\, Z \in \operatorname{Ob} C, u_{0}(Z) \longrightarrow \varinjlim_{C/\varepsilon_{C}(Z)} u_{0}(X) est un isom, ou encore sss pour tout tel Z et \xi \in \operatorname{Ob} E, la flèche déduite de la précédente en appliquant \operatorname{Hom}(-, \xi) est bijective, i.e. \varprojlim_{C/\varepsilon_{C}(Z)} \operatorname{Hom}(u_{0}(X), \xi) \longrightarrow \operatorname{Hom}(u_{0}(Z), \xi) \quad\text{bijective.} On sait , u'_{0} : E \longrightarrow \widehat{C} le foncteur défini par u'_{0}(\xi)(Y) = \operatorname{Hom}(u_{0}(Y), \xi) de sorte que l'application précédente devient, posant P = u'_{0}(\xi) : \varprojlim_{C/\varepsilon_{C}(Z)} P(X) \longrightarrow P(Z) \qquad\text{un isom.} Cette condition est vide si \varepsilon_{C} est pl. fidèle i.e. la top. de C est moins fine que la top. canonique (car alors C/\varepsilon_{C}(Z) \simeq C/Z admet Z comme objet final).

On va prouver que i, j sont des homom. d'adjonction associés pour les foncteurs \alpha et \beta. [Ce qui prouve que \alpha et \beta ~~induisent~~ ~~établissent~~ des équivalences entre les sous-catégories str. pleines de \operatorname{Hom}(\widetilde{C},E) et \operatorname{Hom}(C,E) qu'on a décrites au préal. On (on a induit un foncteur pl. fidèle \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) \longrightarrow \operatorname{Hom}(C,E) dont l'image essentielle est formée des u_{0} : C \to E satisfaisant la condition ci-dessus, et telle que \beta(u_{0}) \in \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) — condition qu'on remplacera par une autre plus simple]

C un U-site, E catégorie où les petites \varinjlim sont repr. Déterminer les foncteurs u : \widetilde{C} \longrightarrow E commutant aux \varinjlim (petites) ? Comme u \circ \varepsilon_{C} = u_{0} , \qquad u_{0} : C \longrightarrow E C \xrightarrow{\varepsilon_{C}} \widetilde{C} \xrightarrow{u} E, le composé étant u_{0} car pour F \in \widetilde{C}, on a un isom. fonctoriel en F F = \varinjlim_{C/F} \varepsilon_{C}(X) d'où u(F) = \varinjlim_{C/F} u_{0}(X) . De façon précise, on trouve un foncteur u \mapsto u \circ \varepsilon_{C} a : \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) \longrightarrow \operatorname{Hom}(C,E) qui est pl. fid., le signe \operatorname{Hom}' désignant les foncteurs commutant aux petites \varinjlim. En fait, on a un foncteur « prolongement à \widetilde{C} » \beta : \operatorname{Hom}(C,E) \longrightarrow \operatorname{Hom}(C,E) le but devrait être \operatorname{Hom}(\widetilde{C},E) ; la page écrit C des deux côtés défini par \beta(u_{0}) = F \mapsto \varinjlim_{C/F} u_{0}(X) et on a un isom. canonique \beta \circ \alpha \simeq i \qquad (\text{inclusion de } \operatorname{Hom}'(\widetilde{C},E) \hookrightarrow \operatorname{Hom}(\widetilde{C},E)) Mais il n'est pas clair que \forall\, u_{0} : C \to E, \beta(u_{0}) soit dans \operatorname{Hom}'. À vrai dire, \beta(u_{0}) est induit par \widehat{\beta}(u_{0}) : \widehat{C} \to E défini de la = façon, et on sait que \widehat{\beta}(u_{0}) commute aux \varinjlim, on a donc

\begin{tikzcd} \operatorname{Hom}(C,E) \arrow[r, bend left=20, "\widehat{\beta}"] & \operatorname{Hom}'(\widehat{C}, E) \arrow[l, bend left=20, "\widehat{\alpha}"] \end{tikzcd}

(cf. rappel plus bas). Identifions, dorénavant (une double équivalence) \operatorname{Hom}(C,E) à \operatorname{Hom}'(\widehat{C},E), alors \alpha et \beta deviennent des foncteurs \alpha', \beta' \begin{align} \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) &\xrightarrow{\ \alpha'\ } \operatorname{Hom}'(\widehat{C}, E) \nonumber\\ \operatorname{Hom}'(\widehat{C}, E) &\xrightarrow{\ \beta'\ } \operatorname{Hom}(\widetilde{C}, E) \nonumber \end{align}

qui s'explicitent ainsi : soit (a : \widehat{C} \to \widetilde{C} le foncteur « faisceau associé »), donc \varepsilon_{C} = a\, i_{C} (i_{C} : C \to \widehat{C}) donc pour u \in \operatorname{Hom}'(\widetilde{C},E), u \circ \varepsilon_{C} = (ua)\, i_{C}, donc ( que a, donc ua, commute aux petites \varinjlim) \alpha'(u) = u \circ a ~~Donc~~ D'autre part, on que pour v \in \operatorname{Hom}'(\widehat{C}, E) (correspondant à u_{0} : C \to E) \beta'(v) = v \circ j_{a} = v \mid \widetilde{C} \qquad (\text{où } j : \widetilde{C} \to \widehat{C} \text{ est l'inclusion}) On a bien \beta'\alpha'(u) = u \circ a \mid \widetilde{C} \simeq u Le fait que \alpha' soit pl. fidèle provient du fait que \widetilde{C} est, moyennant a, une catégorie de quotients de \widehat{C}, de sorte que \operatorname{Hom}(\widetilde{C},E) (sans ') s'identifie à la sous-catégorie pleine de \operatorname{Hom}(\widehat{C},E) formée des foncteurs F qui sont tels que \struck{\ill{}}\quad u \in \mathrm{Fl}\,\widehat{C},\ a(u) \text{ inversible} \implies F(u) \text{ inversible.} Est-il vrai que dans cette identification, les foncteurs qui commutent aux \varinjlim petites se correspondent ? Il vaut à voir que si \mathcal{U} : \widetilde{C} \to E est tel que \mathcal{U} \circ a commute aux \varinjlim, on aura \mathcal{U} = (\mathcal{U} \circ a)\, i, et si X_{\alpha} de \widetilde{C}, \varinjlim_{\alpha}^{\widetilde{C}} X_{\alpha} = a\bigl(\varinjlim_{\alpha}^{\widehat{C}} X_{\alpha}\bigr), donc \mathcal{U}\Bigl(\varinjlim_{\alpha}{}^{\widetilde{C}} X_{\alpha}\Bigr) = \mathcal{U}\, a \Bigl(\varinjlim_{\alpha}{}^{\widehat{C}} X_{\alpha}\Bigr) = (\mathcal{U}a)\Bigl(\varinjlim_{\alpha} X_{\alpha}\Bigr) = \varinjlim_{\alpha} (\mathcal{U} \circ a)(X_{\alpha}) = \varinjlim_{\alpha} \mathcal{U}(X_{\alpha}) O.K.

Donc on trouve que \alpha' induit \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) \xrightarrow{\ \simeq\ } \text{sous-catégorie pleine de } \operatorname{Hom}(\widehat{C}, E) formée des foncteurs qui a) commutent aux \varinjlim petites, b) transforment les morphismes « bicouvrants » de \widehat{C} (i.e. tels que a(u) inv.) en isom.

Donc on cherche \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) \xrightarrow[\ \simeq\ ]{\ \alpha_{0}\ } \struck{\ill{}} \text{ sous-catégorie pleine de } \operatorname{Hom}(C, \struck{\widetilde{E}}\,E) formée des u_{0} : C \to E tels que \widehat{u}_{0} : \widehat{C} \to E transforme les morphismes « bicouvrants » en isom.

Mais cette condition implique que tt famille couvrante X_{\alpha} \to X de \widetilde{C} (a fortiori d'une ~~famille~~ famille épimorphique de \widetilde{C}) soit transformée en famille épimorphique de E. Cela est-il suffisant ? Supposons cette condition remplie,

non ce « non » est porté au crayon en bas de page, et répond à la question qui précède