Cote n° 161-3 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Topos : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1973]
Édition de démonstration

1Titre porté au crayon sur l'onglet de la chemise : « Topos ». chemise du dossier

Produits de topos

3\(\Pi(E,F) \simeq\) faisceaux sur \(E\) à valeurs dans \(F\), i.e. foncteurs \(E^{\circ} \to F\) […] aux \(\varprojlim\), i.e. qui ont un adjoint à gauche

\(\simeq\) faisceaux sur \(F\) à valeurs dans \(E\), i.e. foncteurs \(F^{\circ} \to E\) commutant aux \(\varprojlim\), i.e. qui ont un adjoint à g.

\(\simeq\) foncteurs \(E^{\circ} \times F^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) qui […] en chaque variable aux \(\varprojlim\) quelc. le mot biffé n'est remplacé par aucun autre

si \(E \simeq \widetilde{C}\) \(\simeq\) faisceaux sur \(C\) à valeurs dans \(F\), i.e. foncteurs \(\varphi : C^{\circ} \to F\) tels que pour tout \(R \to X\) couvrant dans \(C\), on a \(\varphi(X) \xrightarrow{\sim} \varprojlim_{C/R} \varphi(Z)\), i.e. tels que \(\forall\, y \in F\), \(X \mapsto \operatorname{Hom}_{F}(\varphi(X), y)\) […] sur \(C\) est un faisceau, (i.e. […] foncteurs \(\varphi^{\circ} : C \to F^{\circ}\) qui sont « continus » [i.e. se prolongent en foncteurs \(\widetilde{C} \to F^{\circ}\) commutant aux \(\varprojlim\) [quelc.]])

si \(F \simeq \widetilde{D}\) \(\simeq\) faisceaux sur \(D\) à valeurs dans \(E\), i.e. foncteurs \(\psi : D^{\circ} \to E\) tels que […], i.e. foncteurs « continus » \(\psi^{\circ} : D \to E^{\circ}\)

\(\simeq\) foncteurs \(C^{\circ} \times D^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) qui sont des « bifaisceaux » i.e. tels que ce soient des faisceaux séparément en chaque variable.

[…] \(E \to E'\), \(v : F \to F'\) […]

Prop. 1 \(\Pi(E,F)\) est un topos.

On peut supposer \(E = \widetilde{C}\), \(F = \widetilde{D}\), \(C\) et \(D\) petites stables par \(\varprojlim\) finies.

a) Cas des topologies discrètes : \(\Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \simeq \widehat{C \times D}\) : c'est un topos.

b) Plus généralement, \(\Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) \simeq \operatorname{Hom}(C^{\circ}, \widetilde{D})\) est un topos, de même \(\Pi(\widetilde{C}, \widehat{D}) \simeq \operatorname{Hom}(D^{\circ}, \widetilde{C})\).

Et L'inclusion naturelle \(\Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) \hookrightarrow \Pi(\widehat{C}, \widehat{D})\) (qui à \(\varphi\) associe \(i_{D} \circ \varphi\), où \(i_{D} : \widetilde{D} \to \widehat{D}\) est l'inclusion) est le foncteur image directe pour un morphisme de topos, dont le foncteur image inverse \(\Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \to \Pi(\widehat{C}, \widetilde{D})\) est donné par \(\varphi \mapsto a_{D} \circ \varphi\), où \(a_{D} : \widehat{D} \to \widetilde{D}\) est l'adjoint à g. de \(i_{D}\).

Donc \(\Pi(\widehat{C}, \widetilde{D})\) est un sous-topos (str. pleine) dans \(\Pi(\widehat{C}, \widehat{D})\), et par la raison symétrique \(\Pi(\widetilde{C}, \widehat{D})\) aussi. Mais \(\Pi(\widetilde{C}, \widetilde{D})\) est l'intersection de ces deux, donc c'est un sous-topos de \(\Pi(\widehat{C}, \widehat{D})\)

4— a fortiori un topos.

[…]

On va définir, pour deux morphismes de topos \[ u : E \longrightarrow E', \qquad v : F \longrightarrow F' \] un morphisme de topos \[ \Pi(u,v) : \Pi(E,F) \longrightarrow \Pi(E',F') \] dont l'interprétation intrinsèque symbolique est ainsi, en termes des « bifaisceaux » \(E^{\circ} \times F^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\), et \(E'^{\circ} \times F'^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\),

[…] \[ \Pi(u,v)_{*}(\varphi)(X',Y') = \varphi(u^{*}X', v^{*}Y') \qquad : \Pi(E,F) \longrightarrow \Pi(E',F') \] \[ \Pi(u,v)^{*}(\varphi)(X,Y) \overset{?}{=} \]

Pour prouver que […] le foncteur précédent est associé à un morphisme de topos, nous sommes ramenés, en le factorisant en \[ \Pi(E,F) \longrightarrow \Pi(E,F') \longrightarrow \Pi(E',F') \] au cas où l'un des deux morphismes \(u\), \(v\) est l'identité ; soit \(u\), d'où à étudier \[ \Pi(\mathrm{id}_{E}, v)_{*} : \Pi(E,F) \longrightarrow \Pi(E,F') \] On peut supposer \(v : F \to F'\) défini par un morphisme de sites \(v_{0}^{*} : C' \to C\), \(C\), \(C'\) stables par […] \(\varprojlim\) finies, munis d'une top. moins fine que la top. can. Donc on a […] un diagramme commutatif de topos

\(F \xrightarrow{\ \widetilde{v}_{0}\ } F'\)

\begin{tikzcd}
\widetilde{C} = F \arrow[r, "\widetilde{v}_{0}"] \arrow[d, hook] & \widetilde{C}' = F' \arrow[d, hook] \\
\widehat{C} \arrow[r, "\widehat{v}_{0}"] & \widehat{C}'
\end{tikzcd}

et par suite un diagramme. \(E = \widetilde{C}\), et on a alors \(\Pi(\mathrm{id}_{E}, v)_{*}\) s'inscrit dans un diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\Pi(\widetilde{C}, F) \arrow[r, "{\Pi(\mathrm{id}_{\widetilde{C}}, v)_{*}}"] \arrow[d, "{\Pi(i_{C}, \mathrm{id}_{F})_{*}}"'] & \Pi(\widetilde{C}, F') \arrow[d, "{\Pi(i_{C}, \mathrm{id}_{F'})_{*}}"] \\
\Pi(\widehat{C}, F) \arrow[r, "{\Pi(\mathrm{id}_{\widehat{C}}, v)_{*}}"'] & \Pi(\widehat{C}, F')
\end{tikzcd}

5Nous avons déjà […] dans le dessin de (prop. 1) vérifié que les flèches verticales sont des inclusions de sous-topos [inclusion d'un sous-topos intersection dans un des facteurs] donc pour prouver que \(\Pi(\mathrm{id}_{\widetilde{C}}, v)_{*}\) est […] le foncteur adjoint pour un morphisme de topos, il suffit de vérifier qu'il en est ainsi de \(\Pi(\mathrm{id}_{\widehat{C}}, F')_{*}\). En effet, le second argument de \(\Pi(-,-)\) est partout ailleurs un morphisme ; la page porte bien \(F'\)

On aura alors un morphisme de topos \[ \Pi(\widetilde{C}, F) \longrightarrow \Pi(\widehat{C}, F') , \qquad\text{et} \] une flèche oblique, sous la précédente, la fait passer par \(\Pi(\widehat{C}, F)\)

on voit (en vérifiant sur les foncteurs images directs) qu'il se factorise par le sous-topos \(\Pi(\widetilde{C}, F')\), le foncteur image directe associé au morphisme de […] topos obtenu \(\Pi(\widetilde{C}, F) \to \Pi(\widetilde{C}, F')\) étant \(\Pi(\mathrm{id}_{\widetilde{C}}, v)_{*}\). une large tache d'encre couvre ici trois demi-lignes

Or \(\Pi(\mathrm{id}_{\widehat{C}}, \ill{})\) s'identifie au foncteur \[ \operatorname{Hom}(C, F) \longrightarrow \operatorname{Hom}(C, F') \] défini par […] \(\varphi \mapsto v_{*} \circ \varphi\) [car la bijection associée à \(\varphi\) est \(\varphi(X,Y) \to \operatorname{Hom}_{F}(Y, \varphi(X))\), qui se transforme par \(\operatorname{Hom}(X,Y') \to \operatorname{Hom}_{F}(v^{*}Y', \varphi(X)) \simeq \operatorname{Hom}_{F'}(Y', (v_{*}\varphi)(X))\), et pour \(\varphi' = v_{*}\varphi : C \to F'\), c'est bien la bijection sur \(C \times F'\) associée à \(\varphi'\)], dont l'adjoint à droite est \(\varphi \mapsto v^{*} \circ \varphi\), et celui-ci est bien exact à g. cqfd. c'est l'adjoint à gauche de \(\varphi \mapsto v_{*}\circ\varphi\) que demande la suite ; la page porte « droite »

Prenons \(v : F \to P\) (topos ponctuel \(\simeq \widehat{e}\), \(e\) catégorie finale) et notant que \(\Pi(E,P) \cong E\), on déduit un morphisme can. \[ \Pi(E,F) \longrightarrow E \] et on trouve de même un morphisme can. de topos \[ \Pi(E,F) \longrightarrow F \] d'où un morphisme de topos \[ \Pi(E,F) \longrightarrow E \times_{\mathrm{top}} F \] évidemment 2-fonctoriel en \(E\), \(F\). On veut prouver que c'est une […] équivalence, i.e. que \(\Pi(E,F)\) « est » un 2-produit des

6topos \(E\), \(F\). On suppose comme dans la dém. de prop. 1 \(E = \widetilde{C}\), \(F = \widetilde{D}\), donc on a vu que […] \[ \Pi(E,F) = \Pi(\widetilde{C}, \widetilde{D}) = \struck{\ill{}}\; \Pi(\widetilde{C}, \widehat{D}) \cap \Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) \] (intersection des sous-topos de \(\Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \simeq \widehat{C \times D}\))

et il est clair que les deux foncteurs \(\Pi(\widetilde{C}, \widehat{D})\) et \(\Pi(\widehat{C}, \widetilde{D})\) sont les images inverses des sous-topos \(\widetilde{C} \subset \widehat{C}\) resp. \(\widetilde{D} \subset \widehat{D}\) par les « projections » \(\Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \to \widehat{C}\) resp. \(\Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \to \widehat{D}\). Cela nous ramène à savoir prouver que \(\Pi(\widehat{C}, \widehat{D})\) est un 2-produit des topos \(\widehat{C}\), \(\widehat{D}\). Or pour un topos \(E\)\(X\), on a \[\begin{align} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \widehat{C}) &\cong \operatorname{Hom}'(C, X)^{\circ} \nonumber\\ \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \widehat{D}) &\cong \operatorname{Hom}'(D, X)^{\circ} \nonumber \end{align}\] où le \(\operatorname{Hom}'\) désigne les foncteurs exacts à g. [NB […] suppose \(C\) et \(D\) stables par \(\varprojlim\) finies], donc on a \[\begin{align} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \widehat{C}) \times \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \widehat{D}) &\cong \bigl[\operatorname{Hom}'(C,X) \times \operatorname{Hom}'(D,X)\bigr]^{\circ} \nonumber\\ &\cong \bigl(\operatorname{Hom}'(C \times D, X)\bigr)^{\circ} \nonumber\\ &\cong \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \widehat{C \times D}) \nonumber \end{align}\] cqfd

[si \(C\) et \(D\) sont stables par \(\varprojlim\) finies, il \(C\) en est de même de \(C \times D\) (Attention, […] des variables, non pas […] les variables séparément) et les foncteurs exacts à g. \(C \times D \xrightarrow{\ \sim\ } X\) [\(X\) une catégorie quelc.] correspondant aux deux couples de foncteurs exacts à gauche \(C \xrightarrow{\ u\ } X\), \(D \xrightarrow{\ v\ } X\), et leurs associés […] \((a,b) \mapsto u(a) \times v(b)\), et à \(w\) les foncteurs \(a \mapsto w(a, e_{D})\), \(b \mapsto w(e_{C}, b)\)

7a) \(\widehat{C} \times \widehat{C}' \simeq \widehat{C \times C'}\)

\(C\), \(C'\) petites catégories avec \(\varprojlim\) finies

Plus généralement, si on a une famille de catégories \(C_{i}\) petites avec \(\varprojlim\) finies, soit \(\Pi' C_{i} \subset \Pi C_{i}\) la sous-catégorie […] pleine produit formée des systèmes \((x_{i})_{i \in I}\) (\(x_{i} \in \operatorname{Ob} C_{i}\)) tel que \(x_{i} \simeq e_{C_{i}}\) pour presque tout \(i\), alors \[ \prod_{i} \widehat{C_{i}} \;\approx\; \widehat{{\textstyle\prod}' C_{i}} \]

\(\varphi, \varphi'\) exacts à gauche ; \(C \xrightarrow{\varphi} X\), \(C' \xrightarrow{\varphi'} X\) (\(X\) catégorie aux \(\varprojlim\) finies) se factorisent en \(C \xrightarrow{i_{1}} C \times C' \xrightarrow{f} X\), \(C' \xrightarrow{i_{2}} C \times C'\), où \(i_{1}(x) = (x, e_{C'})\), \(i_{2}(x') = (e_{C}, x')\), par \(f(x,x') \simeq \varphi(x) \times \varphi'(x')\) ; \(f(\varprojlim(x_{i}, x'_{i})) = f(\varprojlim x_{i}, \varprojlim x'_{i}) = \varphi(\varprojlim x_{i}) \times \varphi'(\varprojlim x'_{i}) = \varprojlim_{i} \varphi(x_{i}) \times \varprojlim_{i} \varphi'(x'_{i}) = \varprojlim_{i} (\varphi(x_{i}) \times \varphi'(x'_{i}))\) OK

b) Soient \(E_{i}\) des topos (\(i \in I\)), \(E'_{i} \underset{\alpha_{i}}{\subset} E_{i}\) sous-topos, […] 2-produit strict

Supposons \(E = \prod_{i}^{\mathrm{top}} E_{i} \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_{i}\ } E_{i}\) existe

Soit pour tout \(i\), \(F_{i} \subset E\) le sous-topos \(\mathrm{pr}_{i}^{-1}(E'_{i})\)

Soit \(E' = \bigcap F_{i}\) le sous-topos intersection

Donc on a \(E' \xrightarrow{\ \mathrm{pr}'_{i}\ } E'_{i}\), \(E' \simeq \prod^{\mathrm{top}} E'_{i}\)

Ceci fait de \(E'\) un 2-produit des \(E'_{i}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\prod_{i} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E'_{i}) \arrow[r, hook, "\alpha"'] & \prod_{i} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E_{i}) \\
& \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E) \arrow[u, "\beta"']
\end{tikzcd}

8L'image [essentielle] par \(\alpha\) est la sous-catégorie [str.] pleine de \(\prod_{i} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E_{i})\) formée des systèmes \((f_{i} : X \to E_{i})\) tel que pour tout \(i\), \(f_{i}\) se factorise par \(E'_{i}\) ; […] […] par \(\beta\), et correspond […] la s.-cat. pleine de \(\operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E)\) formée des \(f : X \to E\) tel que \(\forall i\), \(\mathrm{pr}_{i} \circ f\) se factorise par \(E'_{i}\), i.e. tel que \(\forall i\), \(f\) se factorise par \(F_{i}\), i.e. tels que \(X\) se factorise par \(F\). Donc \[ \prod_{i} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, E'_{i}) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, F). \] la page écrit \(F\) là où le sous-topos intersection a été noté \(E'\) à la page précédente

Corollaire de a) et b) : Le 2-produit d'une famille de topos existe tjrs.

Pour avoir la \(\varprojlim^{\mathrm{top}}\) d'un topos fibré, il faut \(\mathcal{F} \to I\), \(\mathcal{F}_{j} \xrightarrow{\ f^{*}\ } \mathcal{F}_{i}\), \(j \xleftarrow{\ f\ } i\) : \[ \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \mathcal{F}_{i}) \;\simeq\; \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}'(\mathcal{F}_{i}, X) \;\simeq\; \ill{} \]

\((E_{i})_{i \in I}\) pseudo syst. projectif de topos, \(\mathcal{F}_{1} \rightrightarrows \mathcal{F}_{2} \rightrightarrows \mathcal{F}_{3}\) : \[ \varprojlim_{i}^{\mathrm{top}} E_{i} \longrightarrow \prod_{i \in \operatorname{Ob} I} E_{i} \rightrightarrows \prod_{\alpha \in \mathrm{Fl}_{1} I} E_{b(\alpha)} \rightrightarrows \prod_{(\alpha,\beta) \in \mathrm{Fl}_{2}(I)} E_{b(\beta)} \] les flèches étant \(\mathrm{pr}_{s(\alpha)}\), \(\mathrm{pr}_{s(\beta)}\) et \(E_{s(\alpha)} \to E_{b(\alpha)}\). tout ce bas de page est barré de deux longues diagonales ; le troisième terme porte trois flèches et non deux

9\(X\), \(Y\) deux espaces topologiques, considérons \(\operatorname{Top}(X) \overset{2}{\times}_{\mathrm{top}} \operatorname{Top}(Y)\) et \(\operatorname{Top}(X \times Y)\) (on vérifie facilement que ce dernier ne dépend que de \(\operatorname{Top}(X)\) et de \(\operatorname{Top}(Y)\), i.e. des […] espaces sobres associés à \(X\) et \(Y\)) d'où un morphisme canonique de topos \[ \struck{\text{Prop.}} \quad (*) \qquad \boxed{\;\operatorname{Top}(X \times Y) \longrightarrow \operatorname{Top}(X) \overset{2}{\times}_{\mathrm{top}} \operatorname{Top}(Y)\;} \] et on veut des conditions pour que ce soit une équivalence.

\(\mathcal{O}_{X} =\) cat. des ouverts de \(X\)

Or on voit que \(\operatorname{Top}(X \times Y) = \widetilde{\mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{Y}}\), où la topologie à mettre sur \(\mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{Y}\) est la « topologie produit » \(\pi\), i.e. celle pour laquelle les faisceaux sont les foncteurs contravariants \((\mathcal{O}_{X} \overset{2}{\times} \mathcal{O}_{Y})^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) qui sont des faisceaux séparément. Il Il y a aussi la topologie \(\pi'\) […] « induite » par la précédente \(X \times Y\) en utilisant l'injection (supposons \(X \neq \emptyset\) et \(Y \neq \emptyset\)) \(\mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{Y} \subset \mathcal{O}_{X \times Y}\). Il est clair que tout faisceau pour cette topologie (faisceau sur \(X \times Y\)) est un bifaisceau […] donc la 2e top. \(\pi'\) est plus fine que \(\pi\). On voit déjà que […] le morphisme (*) est un plongement de topos, et […] est ramené à voir si ce plongement est une équivalence, i.e. \(\pi = \pi'\). Donc on est ramené à voir si tout recouvrement pour \(\pi'\) \(U \times V\) (\(U \in \mathcal{O}_{X}\), \(V \in \mathcal{O}_{Y}\)) par des \(U_{i} \times V_{i}\) [i.e. rec. ensembliste dans \(X \times Y\)] est un rec. pour \(\pi\), i.e. si si \[ \bigcup_{i} U_{i} \times V_{i} = U \times V \implies \operatorname*{Sup}_{i} U_{i} \times V_{i} = U \times V \] le Sup étant pris dans l'ensemble des sous-objets de \(U \times V\) […] le topos \(\widetilde{\mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{Y}}\) (top. \(\pi\)).

Proposition Pour qu'il en soit ainsi, il suffit que tout […] point de \(U\) (ou de \(V\)) admette un voisinage ([…]) quasi-compact

Corollaire Si tous points de \(X\) (ou de \(Y\)) admettant un syst. fond. de voisinages qui sont quasi-compacts, alors (*) est une équivalence.

NB les \(U \times V\) (\(U \in \mathcal{O}_{X}\), \(V \in \mathcal{O}_{Y}\)) forment une base de la top. de \(X \times Y\)

NB comme \(\operatorname{Top}(X \times Y)\) […] \(\operatorname{Top}(X) \overset{2}{\times}_{\mathrm{top}} \operatorname{Top}(Y)\) […]

une longue note marginale, écrite en diagonale le long de toute la marge de gauche et recoupant les deux précédentes, reste en grande partie illisible

10Dém. Pour tout \(x \in X\), soit \(U_{x}\) un voisinage quasi-compact. Donc \(\forall\, y \in Y\) il existe \(I_{x,y} \subset I\), \(I_{x,y}\) partie finie, telle que […] \(U_{x} \times \{y\}\) soit recouvert par les \(U_{i} \times V_{i}\) (\(i \in I_{x,y}\)). Soit \(V_{x,y}\) l'intersection […] des \(V_{i}\), \(V_{x,y} = \bigcap_{i \in I_{x,y}} V_{i}\), donc on a \[ \begin{cases} \mathring{U}_{x} = U'_{x} \subset \bigcup_{i \in I_{x,y}} U_{i}, \\ V_{i} \supset V_{x,y} \text{ pour } i \in I_{x,y} \end{cases} \] Donc \[ S \overset{\text{déf}}{=} \operatorname*{Sup}_{i \in I}(U_{i} \times V_{i}) \;\geqslant\; \operatorname*{Sup}_{i \in I_{x,y}}(U_{i} \times V_{i}) \;\geqslant\; \Bigl(\operatorname*{Sup}_{i \in I_{x,y}} U_{i}\Bigr) \times V_{x,y} \;\geqslant\; U'_{x} \times V_{x,y} \] donc comme ceci est vrai pour tout \(y\), on a \[ S \geqslant \operatorname*{Sup}_{y} \mathring{U}'_{x} \times V_{x,y} = \mathring{U}'_{x} \times \operatorname*{Sup}_{y} V_{x,y} = \mathring{U}'_{x} \times V \] d'où \[ S \geqslant \operatorname*{Sup}_{x} (\mathring{U}'_{x} \times V) = \Bigl(\operatorname*{Sup}_{x} \mathring{U}'_{x}\Bigr) \times V = U \times V \] cqfd.

Réciproquement Supposons que \(X\) (ou \(Y\)) ne contienne pas de parties loc. fermées non vides dont aucun point n'ait de voisinage [relatif] quasi-compact. Je dis qu'alors a) est une équivalence.

Considérons en effet les ouverts \(U'\) dans \(U\) tels que \(S \geqslant U' \times V\) ; il suffit de prouver que \(U\) en est parmi. Or la […] […] ouverts, en est un \(=\) sup, donc il y a un plus grand ouvert […] \(=\) sup [N.B. \(\emptyset\) en est un !]

Prouvons \(U' = U\). Soit \(Z\) Sinon, la partie loc. fermée \(Z\) de \(U\) […] non vide, doit avoir un \(x \in Z\) ayant un voisinage relatif \(T_{x} \subset Z\) quasi-compact. Soit \(U'' \subset U\) un ouvert contenant \(x\) tel que \(U'' \cap Z \subset T\). Donc Il existe \(\forall\, y \in Y\) une partie finie \(I_{y}\) de \(I\) telle que \[ T \times \{y\} \subset \bigcup_{i \in I_{y}} U_{i} \times V_{i}, \qquad\text{et pour } V_{y} = \bigcap_{i \in I_{y}} V_{i}, \quad \struck{\ill{}} \] \(T \times V_{y} \subset \bigcup_{i \in I} U_{i} \times V_{i}\) donc \(T \subset \bigcup_{i \in I_{y}} U_{i}\), \(i \in I_{y} \implies V_{i} \supset V_{y}\) donc on a \[ S \geqslant \operatorname*{Sup}_{i \in I_{y}}(U_{i} \times V_{i}) \geqslant \operatorname*{Sup}_{i \in I_{y}} U_{i} \times V_{y} \geqslant \Bigl(\operatorname*{Sup}_{i \in I_{y}} U_{i}\Bigr) \times V_{y} \] Mais on sait déjà que \(S \geqslant U' \times V \geqslant U' \times V_{y}\) donc \[ S \geqslant \operatorname*{Sup}(U'_{i}, U_{i}\ i \in I_{y}) \times V_{y} \geqslant (U' \cup U'') \times V_{y} \]

11Comme ceci est vrai pour tout \(y\), on a \[ S \geqslant \operatorname*{Sup}_{y}\bigl((U' \cup U'') \times V_{y}\bigr) = (U' \cup U'') \times \operatorname*{Sup}_{y} V_{y} = (U' \cup U'') \times V \] contredisant au caractère maximal de \(U'\), OK.

Cas de produits infinis d'une famille quelconque de topos

On trouve que si tous les facteurs sauf un seul [au plus] sont tels que tout pt ait un système fond. de voisinages (q-s vois. ouverts) quasi-compacts, et si tous sauf au plus un seul, ont […] voisinages quasi-compacts, alors \[ \operatorname{Top}\Bigl(\prod_{i \in I} X_{i}\Bigr) \longrightarrow \prod_{i}^{(2)}{}_{(\mathrm{top})} \operatorname{Top}(X_{i}) \] est une équivalence de topos.

C'est essentiellement le même argument, travaillant sur la cat. produit restreint \(\prod' \mathcal{O}_{X_{i}}\) (familles des \((U_{i})_{i \in I}\), \(U_{i} \in \mathcal{O}_{X_{i}}\) […] \(U_{i}\) ; \(U_{i} = X_{i}\) ([…] pour [presque] tout […] de \(\mathcal{O}_{X_{i}}\)) pour presque tout \(i\)) et la « topologie produit » sur ce produit.

Dans le cas où \(I\) est fini, c'est un corollaire immédiat de ce qui précède. Dans le cas général, on a \(I = \varinjlim_{\alpha} J_{\alpha}\) (\(J_{\alpha}\) parties finies de \(I\)) d'où \[\begin{align} \prod_{i}^{\mathrm{top}} \operatorname{Top}(X_{i}) &\cong \varprojlim_{\alpha}{}^{\mathrm{top}} \Bigl(\prod_{i \in J_{\alpha}} \operatorname{Top}(X_{i})\Bigr) \nonumber\\ &\cong \varprojlim_{\alpha}{}^{\mathrm{top}} \Bigl(\operatorname{Top}\bigl({\textstyle\prod_{i \in J_{\alpha}}} X_{i}\bigr)\Bigr) \qquad\Bigl[{\textstyle\prod_{i \in J_{\alpha}}} X_{i} = Z_{\alpha}\Bigr] \nonumber\\ &\approx \Bigl(\underbrace{\varinjlim_{\alpha} \mathcal{O}_{Z_{\alpha}}}_{\mathcal{O}'_{Z}}\Bigr)^{\sim} \nonumber \end{align}\]

\(\mathcal{O}'_{Z}\) est la catégorie des ouverts de \(Z\) [\(= \prod X_{i}\)] (qui sont images inverses des d'ouverts de produits finis \(\prod_{i \in J_{\alpha}} X_{i} = Z_{\alpha}\). Ils la forment une alors la topologie […] (\(\varprojlim\), qui définit […] le foncteur précédent, mais aussi la top. plus fine \(\pi'\) provenant de la top. de \(Z\). Si tous les \(X_{i}\) sauf un nb fini sont quasi-compacts [les autres étant ce qu'ils veulent] on trouve par un argument analogue [à dessus] que les top. sont

12\(W \in \mathcal{O}'_{Z}\), donc de la forme \(U \times Z'_{\alpha}\), les mêmes. Soit en effet (\(U\) un ouvert de \(Z_{\alpha}\), et \(Z'_{\alpha} = \prod_{i \in I - J_{\alpha}} X_{i}\), […] (d'où \(Z = Z_{\alpha} \times Z'_{\alpha}\)), et soient \((V_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}\), \(V_{\lambda} \in \mathcal{O}'_{Z}\), avec \(W \subset \bigcup_{\lambda} V_{\lambda}\) […] prouvons qu'il […] \(\operatorname*{Sup}_{\lambda} W \geqslant U \times Z'_{\alpha}\). […] \(J_{\alpha}\) […] pour les \(X_{i}\) (\(i \in I - J_{\alpha}\)) soient […] quelconques, alors \(Z'_{\alpha}\) est quasi-compact. deux taches d'encre couvrent la fin de deux lignes de ce paragraphe

\(\forall\, z \in \struck{\ill{}} W\), \(\{z\} \times Z'_{\alpha}\) est recouvert par un nb fini de \(V_{\lambda}\), disons pour \(\lambda \in \Lambda_{z}\), donc \(\exists\) […] \(J_{\beta(z)} \supset J_{\alpha}\) tel que chaque \(V_{\lambda}\) (\(\lambda \in \Lambda_{z}\)) de la forme \(V'_{\lambda} \times Z'_{\beta(z)}\), avec \(V'_{\lambda} \subset \mathcal{O}_{Z_{\beta(z)}}\). […] Comme \(\{z\} \times Z'_{\alpha} \subset \bigcup(V'_{\lambda} \times Z'_{\beta(z)})\), cela […] signifie \[ \{z\} \times \prod_{i \in J_{\beta(z)} - J_{\alpha}} X_{i} \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{z}} V'_{\lambda} , \] donc il existe un voisinage ouvert \(U_{z} \ni z\) dans \(Z_{\alpha}\) tel que \(U_{z} \times Z'_{\alpha} \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{z}} V_{\lambda}\). Mais alors […] on aura l'inclusion \[ U_{z} \times \prod_{i \in J_{\beta(z)} - J_{\alpha}} X_{i} \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{z}} V'_{\lambda} \] d'où \[ S \overset{\text{déf}}{=} \operatorname*{Sup}_{\lambda \in \Lambda}(V_{\lambda}) \geqslant \operatorname*{Sup}_{\lambda \in \Lambda_{z}} V_{\lambda} \geqslant U_{z} \times Z'_{\alpha} . \] Comme ceci est vrai pour tout \(z\), […] \[ S \geqslant \operatorname*{Sup}_{z}\bigl(U_{z} \times Z'_{\alpha}\bigr) = \Bigl(\operatorname*{Sup}_{z \in Z} U_{z}\Bigr) \times Z'_{\alpha} = W \times Z'_{\alpha} , \] cqfd.

Contre-exemples pour des produits infinis

Prenons \(X_{i}\) discret pour tout \(i\), on aura \[ \prod_{i \in I} \operatorname{Top}(X_{i}) = \Bigl(\underbrace{\varinjlim_{\alpha} \mathcal{O}_{Z_{\alpha}}}_{\mathcal{O}'_{Z}}\Bigr)^{\sim} , \] munie par la top.

14\(\pi\) de \(\mathcal{O}'_{Z}\) ainsi que la topologie déduite de la top. produit sur \(Z = \struck{\prod X_{i}} = \varprojlim_{\alpha} Z_{\alpha}\) (si \(I\) infini et les \(X_{i}\) ne sont pas presque tous finis). […] On a une famille fond. de voisinages […] de \(Z\) par un objet de \(\mathcal{O}'\) en associant à tt \(z = (x_{i})_{i \in I} \in Z\) une partie finie \(J(z)\) de \(J\), telle [très] \[ \struck{\ill{}\ W(z) =} \qquad V_{z} = \{\, z' \in Z \mid z'_{i} = z_{i} \text{ si } i \in J - J(z) \,\} . \] La question est de voir si tous ces \((V_{z})_{z \in Z}\) [pas] rec. pour \(\pi\), ou encore la page s'arrête ici ; le reste du feuillet est vierge, et un « ? » est porté en marge

\(\varprojlim\) filtrantes de topos essentiels \(\widehat{C}\)

15On est intéressé aux \(\varprojlim\) pour un topos fibré, i.e. les fibres sont des topos \(\widehat{C}\) (\(C\) […] [arbitr.]) et les morphismes de transition \(f : \widehat{C}' \to \widehat{C}\) sont essentiels, i.e. associés à des foncteurs \[ f_{0} : C \longrightarrow C' \] Il est […] que alors \(\mathcal{X} = \varprojlim^{\mathrm{top}} \widehat{C_{i}}\) soit un topos essentiel et ses projections \(\mathcal{X} \to \widehat{C_{i}}\) des morphismes essentiels.

Mais pour le calcul commode de \(\mathcal{X}\) on va supposer que les \(\widehat{f}_{ij} : \widehat{C_{j}} \to \widehat{C_{i}}\) […] (associés aux \(f_{ij} : C_{j} \to C_{i}\)) soient ess., i.e. des morph. de sites donnés par des foncteurs \[ g_{ji} : C_{i} \longrightarrow C_{j} \] (i.e. induits par \(\widehat{f}_{ij}^{*}\) i.e. précis, et adjoints à droite des \(f_{ij}\)).

On trouve alors \[ \mathcal{X} = \varprojlim_{i, \widehat{f}_{ij}}{}^{\mathrm{top}} \widehat{C_{i}} \;\simeq\; \Bigl(\operatorname*{colim}_{i, g_{ij}} C_{i}\Bigr)^{\wedge} \] et les morphismes \(\mathcal{X} \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_{i}\ } \widehat{C_{i}}\) sont associés aux morphismes de sites donnés par le foncteur can. \[ C_{i} \xrightarrow{\ \alpha_{i}\ } C = \operatorname*{colim} C_{j} , \] donc pour \(F \in \widehat{C} = \mathcal{X}\), […] \[ \mathrm{pr}_{i*}(F) = F \circ \alpha_{i} , \qquad\text{et pour } G \in \widehat{C_{i}} \ \ill{} \] \[ \mathrm{pr}_{i}^{*}(G) = \] la formule reste inachevée ; la page s'arrête ici

Foncteurs sur un topos \(\widetilde{C}\) commutant aux \(\varinjlim\)

17Soient \(C\) un \(U\)-site, \(E\) une catégorie aux petites \(\varinjlim\), considérons les catégories \[ \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) \qquad \operatorname{Hom}(C, E) \] et soit \(\operatorname{Hom}'(\widetilde{C},E)\) désigner la sous-catégorie pleine de \(\operatorname{Hom}\) formée des foncteurs qui commutent aux petites \(\varinjlim\). On va définir des foncteurs

\begin{tikzcd}
\operatorname{Hom}(\widetilde{C}, E) \arrow[r, bend left=20, "\alpha"] & \operatorname{Hom}(C,E) \arrow[l, bend left=20, "\beta"]
\end{tikzcd}

en posant \[\begin{align} \alpha(u) &= u \circ \varepsilon_{C} \nonumber\\ \beta(u_{0}) &= \Bigl[F \mapsto \varinjlim_{C/F} u_{0}(X)\Bigr] \nonumber \end{align}\] (\(\varepsilon_{C} : C \to \widetilde{C}\) le foncteur canonique ; \(= \widehat{\beta} \mid \widetilde{C}\), i.e. \(\widehat{\beta} : \widehat{C} \to E\) est le prolongement can. de \(\beta\) défini par commutation aux \(\varinjlim\))

Soit \(u \in \operatorname{Ob} \operatorname{Hom}(\widetilde{C},E)\), on a un hom \[ i_{u} : \beta\alpha(u) \longrightarrow u \] donné par \(\forall\, F \in \operatorname{Ob} \widetilde{C}\) par \[ i_{u}(F) : \bigl(\beta(\alpha(u))\bigr)(F) = \varinjlim_{C/F} u(\varepsilon_{C}(X)) \longrightarrow u(F) \] \(C \xrightarrow{j_{0}} \widehat{C}\), \(\widetilde{C} \xrightarrow{i_{0}} \widehat{C}\), \(a : \widehat{C} \to \widetilde{C}\) ; \(\varepsilon_{C} = a j_{0}\) déduit de l'isom. can. \(\varinjlim_{C/F} (\varepsilon_{C}) X \xrightarrow{\sim} F\) en appliquant \(u\)

On trouve que l'homom. \(i_{u}(F)\) est bien fonctoriel en \(F\), d'où \(i_{u}\), et que \(i_{u}\) est fonctoriel en \(u\), d'où \[ \boxed{\;\beta\alpha \xrightarrow{\ i\ } \mathrm{id}_{\operatorname{Hom}(\widetilde{C},E)}\;} \]

Notons tout de suite que […] \(i_{u} : \beta\alpha(u) \to u\) est un isom. sss \(u : \widetilde{C} \to E\) commute aux \(\varinjlim\) du type \(\varinjlim_{C/F} X \xrightarrow{\sim} F\) (\(F \in \operatorname{Ob} \widetilde{C}\)), […] [donc que] \(u \in \operatorname{Ob} \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E)\).

Soit \(u_{0} \in \operatorname{Hom}(C,E)\), on va définir \[ j_{u_{0}} : \struck{\ill{}}\; u_{0} \longrightarrow \alpha\beta(u_{0}) \] […] [donné] pour \(Z \in \operatorname{Ob} C\), par \[ j_{u_{0}}(Z) : \quad u_{0}(Z) \longrightarrow \bigl(\alpha(\beta(u_{0}))\bigr)(Z) = \beta(u_{0})(\varepsilon_{C}(Z)) = \varinjlim_{C/\varepsilon_{C}(Z)} u_{0}(X) \] en notant que \((Z, \text{morphisme can. de } Z \text{ dans } \varepsilon_{C}(Z))\) est un objet de \(C/\varepsilon_{C}(Z)\), soit \(X_{0}\), et par suite \(u_{0}(X_{0}) = u_{0}(Z)\) s'envoie dans la \(\varinjlim\).

18On vérifie que cette application est fonctorielle en \(Z\), donc définit \(j_{u_{0}} : u_{0} \to \alpha\beta(u_{0})\), et que cette dernière est fonctorielle en \(u_{0}\), d'où un hom. de foncteurs \[ \boxed{\;j : \mathrm{id}_{\operatorname{Hom}(C,E)} \longrightarrow \alpha\beta\;} \] Signalons Notons tout de suite que pour que ce dernier, \(j_{u_{0}} : u_{0} \to \alpha\beta(u_{0})\), soit un isom. sss […] \(\forall\, Z \in \operatorname{Ob} C\), \[ u_{0}(Z) \longrightarrow \varinjlim_{C/\varepsilon_{C}(Z)} u_{0}(X) \] est un isom, ou encore sss pour tout tel \(Z\) et \(\xi \in \operatorname{Ob} E\), la flèche déduite de la précédente en appliquant \(\operatorname{Hom}(-, \xi)\) est bijective, i.e. \[ \varprojlim_{C/\varepsilon_{C}(Z)} \operatorname{Hom}(u_{0}(X), \xi) \longrightarrow \operatorname{Hom}(u_{0}(Z), \xi) \quad\text{bijective.} \] On sait […], \[ u'_{0} : E \longrightarrow \widehat{C} \] le foncteur défini par \[ u'_{0}(\xi)(Y) = \operatorname{Hom}(u_{0}(Y), \xi) \] de sorte que l'application précédente devient, posant \(P = u'_{0}(\xi)\) : \[ \varprojlim_{C/\varepsilon_{C}(Z)} P(X) \longrightarrow P(Z) \qquad\text{un isom.} \] […] Cette condition est vide si \(\varepsilon_{C}\) est pl. fidèle i.e. la top. de \(C\) est moins fine que la top. canonique (car alors \(C/\varepsilon_{C}(Z) \simeq C/Z\) admet \(Z\) comme objet final).

On va prouver que \(i\), \(j\) sont des homom. d'adjonction associés pour les foncteurs \(\alpha\) et \(\beta\). [Ce qui prouve que \(\alpha\) et \(\beta\) induisent établissent des équivalences entre les sous-catégories [str. pleines] de \(\operatorname{Hom}(\widetilde{C},E)\) et \(\operatorname{Hom}(C,E)\) qu'on a décrites au préal. On […] […] (on a induit un foncteur pl. fidèle \[ \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) \longrightarrow \operatorname{Hom}(C,E) \] dont l'image essentielle est formée des […] \(u_{0} : C \to E\) satisfaisant la condition ci-dessus, et telle que \(\beta(u_{0}) \in \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E)\) — condition qu'on remplacera par une autre plus simple]

19\(C\) un \(U\)-site, \(E\) catégorie où les petites \(\varinjlim\) sont repr. Déterminer les foncteurs \[ u : \widetilde{C} \longrightarrow E \] commutant aux \(\varinjlim\) (petites) ? Comme […] \[ u \circ \varepsilon_{C} = u_{0} , \qquad u_{0} : C \longrightarrow E \] \(C \xrightarrow{\varepsilon_{C}} \widetilde{C} \xrightarrow{u} E\), le composé étant \(u_{0}\) car pour \(F \in \widetilde{C}\), on a un isom. fonctoriel en \(F\) \[ F = \varinjlim_{C/F} \varepsilon_{C}(X) \] d'où \[ u(F) = \varinjlim_{C/F} u_{0}(X) . \] De façon précise, on trouve un foncteur \(u \mapsto u \circ \varepsilon_{C}\) \[ a : \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) \longrightarrow \operatorname{Hom}(C,E) \] qui est pl. fid., le signe \(\operatorname{Hom}'\) désignant les foncteurs commutant aux petites \(\varinjlim\). En fait, on a un foncteur « prolongement à \(\widetilde{C}\) » \[ \beta : \operatorname{Hom}(C,E) \longrightarrow \operatorname{Hom}(C,E) \] le but devrait être \(\operatorname{Hom}(\widetilde{C},E)\) ; la page écrit \(C\) des deux côtés défini par \[ \beta(u_{0}) = F \mapsto \varinjlim_{C/F} u_{0}(X) \] et on a un isom. canonique \[ \beta \circ \alpha \simeq i \qquad (\text{inclusion de } \operatorname{Hom}'(\widetilde{C},E) \hookrightarrow \operatorname{Hom}(\widetilde{C},E)) \] Mais il n'est pas clair que \(\forall\, u_{0} : C \to E\), \(\beta(u_{0})\) soit dans \(\operatorname{Hom}'\). À vrai dire, \(\beta(u_{0})\) est induit par \(\widehat{\beta}(u_{0}) : \widehat{C} \to E\) défini de la \(=\) façon, et on sait que \(\widehat{\beta}(u_{0})\) commute aux \(\varinjlim\), on a donc

\begin{tikzcd}
\operatorname{Hom}(C,E) \arrow[r, bend left=20, "\widehat{\beta}"] & \operatorname{Hom}'(\widehat{C}, E) \arrow[l, bend left=20, "\widehat{\alpha}"]
\end{tikzcd}

(cf. rappel plus bas). Identifions, dorénavant (une double équivalence) \(\operatorname{Hom}(C,E)\) à \(\operatorname{Hom}'(\widehat{C},E)\), alors \(\alpha\) et \(\beta\) deviennent des foncteurs \(\alpha'\), \(\beta'\) \[\begin{align} \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) &\xrightarrow{\ \alpha'\ } \operatorname{Hom}'(\widehat{C}, E) \nonumber\\ \operatorname{Hom}'(\widehat{C}, E) &\xrightarrow{\ \beta'\ } \operatorname{Hom}(\widetilde{C}, E) \nonumber \end{align}\]

20qui s'explicitent ainsi : soit (\(a : \widehat{C} \to \widetilde{C}\) le foncteur « faisceau associé »), donc \(\varepsilon_{C} = a\, i_{C}\) (\(i_{C} : C \to \widehat{C}\)) donc pour \(u \in \operatorname{Hom}'(\widetilde{C},E)\), \(u \circ \varepsilon_{C} = (ua)\, i_{C}\), donc ([…] que \(a\), donc \(ua\), commute aux petites \(\varinjlim\)) \[ \alpha'(u) = u \circ a \] Donc D'autre part, on […] que pour \(v \in \operatorname{Hom}'(\widehat{C}, E)\) (correspondant à \(u_{0} : C \to E\)) \[ \beta'(v) = v \circ j_{a} = v \mid \widetilde{C} \qquad (\text{où } j : \widetilde{C} \to \widehat{C} \text{ est l'inclusion}) \] On a bien \[ \beta'\alpha'(u) = u \circ a \mid \widetilde{C} \simeq u \] Le fait que \(\alpha'\) soit pl. fidèle provient du fait que \(\widetilde{C}\) est, moyennant \(a\), une catégorie de quotients de \(\widehat{C}\), de sorte que \(\operatorname{Hom}(\widetilde{C},E)\) (sans \('\)) s'identifie à la sous-catégorie pleine de \(\operatorname{Hom}(\widehat{C},E)\) formée des foncteurs \(F\) qui sont tels que \[ \struck{\ill{}}\quad u \in \mathrm{Fl}\,\widehat{C},\ a(u) \text{ inversible} \implies F(u) \text{ inversible.} \] Est-il vrai que dans cette identification, les foncteurs qui commutent aux \(\varinjlim\) petites se correspondent ? Il vaut à voir que si \(\mathcal{U} : \widetilde{C} \to E\) est tel que \(\mathcal{U} \circ a\) commute aux \(\varinjlim\), […] on aura \(\mathcal{U} = (\mathcal{U} \circ a)\, i\), et si […] \(X_{\alpha}\) de \(\widetilde{C}\), \(\varinjlim_{\alpha}^{\widetilde{C}} X_{\alpha} = a\bigl(\varinjlim_{\alpha}^{\widehat{C}} X_{\alpha}\bigr)\), donc \[ \mathcal{U}\Bigl(\varinjlim_{\alpha}{}^{\widetilde{C}} X_{\alpha}\Bigr) = \mathcal{U}\, a \Bigl(\varinjlim_{\alpha}{}^{\widehat{C}} X_{\alpha}\Bigr) = (\mathcal{U}a)\Bigl(\varinjlim_{\alpha} X_{\alpha}\Bigr) = \varinjlim_{\alpha} (\mathcal{U} \circ a)(X_{\alpha}) = \varinjlim_{\alpha} \mathcal{U}(X_{\alpha}) \] O.K.

Donc on trouve que \(\alpha'\) induit \[ \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) \xrightarrow{\ \simeq\ } \text{sous-catégorie pleine de } \operatorname{Hom}(\widehat{C}, E) \] formée des foncteurs qui a) commutent aux \(\varinjlim\) petites, b) transforment les morphismes « bicouvrants » de \(\widehat{C}\) (i.e. tels que \(a(u)\) inv.) en isom.

Donc on cherche \[ \operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) \xrightarrow[\ \simeq\ ]{\ \alpha_{0}\ } \struck{\ill{}} \text{ sous-catégorie pleine de } \operatorname{Hom}(C, \struck{\widetilde{E}}\,E) \] formée des \(u_{0} : C \to E\) tels que \(\widehat{u}_{0} : \widehat{C} \to E\) transforme les morphismes « bicouvrants » en isom.

Mais cette condition implique que tt famille couvrante \(X_{\alpha} \to X\) de \(\widetilde{C}\) (a fortiori d'une famille famille épimorphique de \(\widetilde{C}\)) soit transformée en famille épimorphique de \(E\). Cela est-il suffisant ? Supposons cette condition remplie,

non ce « non » est porté au crayon en bas de page, et répond à la question qui précède