Cote n° 161-3 · pages 1–54 · Lecture modernisée · Topos : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1973]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

3–3

Le produit de deux topos (pages 3 à 8)

Dans tout ce qui suit, \(C\) et \(D\) sont de petits sites, \(\widehat{C}\) la catégorie des préfaisceaux d'ensembles sur \(C\) et \(\widetilde{C}\) celle des faisceaux ; \(i_{C} : \widetilde{C} \to \widehat{C}\) est l'inclusion, \(a_{C}\) son adjoint à gauche, le foncteur « faisceau associé », qui est exact à gauche.¹ Les topos sont les topos de Grothendieck ; \(E\), \(F\) en désignent deux.

3–3

Quatre descriptions du même objet

La page 3 pose, sans le nommer autrement que par la lettre, l'objet \[ \Pi(E,F) \;=\; \bigl\{\, \varphi : E^{\circ} \to F \ \text{commutant aux limites} \,\bigr\}, \] et en donne aussitôt quatre lectures équivalentes :

• les foncteurs \(E^{\circ} \to F\) commutant aux limites — c'est-à-dire transformant les colimites de \(E\) en limites de \(F\) — ou, ce qui revient au même, admettant un adjoint à gauche ;²
• symétriquement, les foncteurs \(F^{\circ} \to E\) commutant aux limites ;
• les foncteurs \(E^{\circ} \times F^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) commutant aux limites en chaque variable séparément ;
• et, si \(E \simeq \widetilde{C}\) et \(F \simeq \widetilde{D}\), les foncteurs \(C^{\circ} \times D^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) qui sont des faisceaux séparément en chaque variable — ce que la page appelle des bifaisceaux.³

La dernière description est celle qui porte tout : un objet du produit est une donnée locale à deux variables, locale séparément en chacune.

3–4

\(\Pi(E,F)\) est un topos

Proposition 1. \(\Pi(E,F)\) est un topos.

La démonstration est un emboîtement de sous-topos, et elle est complète. On peut supposer \(E = \widetilde{C}\), \(F = \widetilde{D}\) avec \(C\), \(D\) petites et stables par limites projectives finies.

1. [a)] Topologies discrètes. Un bifaisceau sur \((\widehat{C}, \widehat{D})\) n'est astreint à rien, donc \[ \Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \;\simeq\; \widehat{C \times D}, \] qui est un topos.
2. [b)] Un cran plus loin, \(\Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) \simeq \operatorname{Hom}(C^{\circ}, \widetilde{D})\), et l'inclusion \[ \Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) \hookrightarrow \Pi(\widehat{C}, \widehat{D}), \qquad \varphi \longmapsto i_{D} \circ \varphi, \] est le foncteur image directe d'un plongement de topos : son adjoint à gauche est \(\varphi \mapsto a_{D} \circ \varphi\), qui est exact à gauche puisque \(a_{D}\) l'est et que limites finies et composition se calculent argument par argument. Donc \(\Pi(\widehat{C}, \widetilde{D})\) est un sous-topos de \(\Pi(\widehat{C}, \widehat{D})\), et \(\Pi(\widetilde{C}, \widehat{D})\) aussi, par la raison symétrique.

Enfin \[ \Pi(\widetilde{C}, \widetilde{D}) \;=\; \Pi(\widetilde{C}, \widehat{D}) \,\cap\, \Pi(\widehat{C}, \widetilde{D}) \] à l'intérieur de \(\Pi(\widehat{C}, \widehat{D})\) : un bifaisceau est un faisceau en chaque variable, ce qui est exactement l'appartenance aux deux sous-topos à la fois. Or l'intersection de deux sous-topos est un sous-topos. Donc \(\Pi(E,F)\) est un topos.⁴

4–5

Fonctorialité

Pour deux morphismes de topos \(u : E \to E'\) et \(v : F \to F'\), on veut \(\Pi(u,v) : \Pi(E,F) \to \Pi(E',F')\). En termes de bifaisceaux, l'image directe est immédiate : \[ \Pi(u,v)_{*}(\varphi)(X',Y') \;=\; \varphi(u^{*}X',\, v^{*}Y'). \] La page laisse en regard « \(\Pi(u,v)^{*}(\varphi)(X,Y) \overset{?}{=}\) » sans la remplir.⁵

Que ce couple de foncteurs soit bien un morphisme de topos se ramène, en factorisant \(\Pi(E,F) \to \Pi(E,F') \to \Pi(E',F')\), au cas où l'un des deux morphismes est l'identité. Restent alors deux vérifications, dont la seconde est le cœur : sur \(\operatorname{Hom}(C, F) \to \operatorname{Hom}(C, F')\), le foncteur en jeu est \(\varphi \mapsto v_{*} \circ \varphi\), et son adjoint à gauche est \(\varphi \mapsto v^{*} \circ \varphi\), qui est exact à gauche puisque \(v^{*}\) l'est. C'est bien un morphisme de topos.⁶

5–8

C'est le 2-produit

Prenant pour \(v\) le morphisme \(F \to P\) vers le topos ponctuel et notant que \(\Pi(E,P) \simeq E\), on obtient deux projections canoniques \(\Pi(E,F) \to E\) et \(\Pi(E,F) \to F\), d'où un morphisme de topos \[ \Pi(E,F) \longrightarrow E \times_{\mathrm{top}} F, \] 2-fonctoriel en \(E\) et \(F\). C'est une équivalence, et c'est là le théorème : \(\Pi(E,F)\) « est » le 2-produit des topos \(E\) et \(F\).

La démonstration se réduit encore. On a vu que \(\Pi(\widetilde{C}, \widetilde{D})\) est l'intersection, dans \(\Pi(\widehat{C}, \widehat{D}) \simeq \widehat{C \times D}\), des images inverses des sous-topos \(\widetilde{C} \subset \widehat{C}\) et \(\widetilde{D} \subset \widehat{D}\) par les deux projections. Il suffit donc de savoir que \(\widehat{C \times D}\) est le 2-produit de \(\widehat{C}\) et \(\widehat{D}\), et cela résulte du calcul suivant : pour tout topos \(X\), \[ \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(X, \widehat{C}) \;\simeq\; \operatorname{Hom}_{\mathrm{ex.g.}}(C, X)^{\circ}, \] où \(\operatorname{Hom}_{\mathrm{ex.g.}}\) désigne les foncteurs exacts à gauche.⁷ On a alors \[ \operatorname{Hom}_{\mathrm{ex.g.}}(C, X) \times \operatorname{Hom}_{\mathrm{ex.g.}}(D, X) \;\simeq\; \operatorname{Hom}_{\mathrm{ex.g.}}(C \times D, X), \] qui est le point de fond : un foncteur exact à gauche \(w\) sur \(C \times D\) équivaut au couple \(\bigl(a \mapsto w(a, e_{D}),\ b \mapsto w(e_{C}, b)\bigr)\), de reconstitution \(w(a,b) \simeq u(a) \times v(b)\). La vérification que ce \(w\) est encore exact à gauche est le calcul que la page mène en marge, et il n'y a là de subtil qu'un point : les limites dans \(C \times D\) se calculent composante par composante, mais elles portent sur des diagrammes de couples et non sur les deux variables séparément — mise en garde que la page prend soin d'écrire.

Deux corollaires suivent :

1. [a)] pour une famille \((C_{i})_{i \in I}\) de petites catégories à limites finies, \[ \prod_{i} \widehat{C_{i}} \;\simeq\; \widehat{\textstyle\prod'_{i} C_{i}}, \] où \(\prod'\) est le produit restreint : la sous-catégorie pleine du produit formée des systèmes \((x_{i})\) tels que \(x_{i} \simeq e_{C_{i}}\) pour presque tout \(i\) ;
2. [b)] si \(E'_{i} \subset E_{i}\) sont des sous-topos et \(E = \prod_{i} E_{i}\), alors \(\bigcap_{i} \mathrm{pr}_{i}^{-1}(E'_{i})\) est un 2-produit des \(E'_{i}\).

Corollaire. Le 2-produit d'une famille quelconque de topos existe toujours.⁸

9–9

Le produit d'espaces contre le produit de topos (pages 9 à 12)

Soient \(X\) et \(Y\) deux espaces topologiques, \(\mathcal{O}_{X}\) la catégorie (l'ensemble ordonné) de leurs ouverts. Le produit cartésien \(X \times Y\) porte sa topologie usuelle, dont les rectangles \(U \times V\) forment une base ; d'où un morphisme canonique de topos \[ (*) \qquad \operatorname{Top}(X \times Y) \longrightarrow \operatorname{Top}(X) \times_{\mathrm{top}} \operatorname{Top}(Y), \] et la question : quand est-ce une équivalence ?

La réponse ne va pas de soi, et c'est ce qui rend ces quatre pages intéressantes. Le membre de droite est, par ce qui précède, le topos des bifaisceaux sur \(\mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{Y}\) ; le membre de gauche est le topos des faisceaux sur \(X \times Y\). Les deux sont des topos de faisceaux sur le même site \(\mathcal{O}_{X} \times \mathcal{O}_{Y}\), mais pour deux topologies distinctes :⁹

• la topologie produit \(\pi\), dont les faisceaux sont les bifaisceaux ;
• la topologie \(\pi'\) induite par celle de \(X \times Y\), où recouvrir veut dire recouvrir ensemblistement.

Tout faisceau sur \(X \times Y\) est un bifaisceau, donc \(\pi'\) est plus fine que \(\pi\), et \((*)\) est un plongement de topos. Reste à savoir s'il est une équivalence, c'est-à-dire si \(\pi = \pi'\), c'est-à-dire enfin si tout recouvrement ensembliste \[ \bigcup_{i} U_{i} \times V_{i} \;=\; U \times V \qquad\text{entraîne}\qquad \operatorname*{Sup}_{i} U_{i} \times V_{i} \;=\; U \times V, \] le \(\operatorname{Sup}\) étant pris dans le treillis des sous-objets de \(U \times V\) dans le topos produit.¹⁰

9–10

Le critère, et sa démonstration

Proposition. Pour qu'il en soit ainsi, il suffit que tout point de \(U\) — ou tout point de \(V\) — admette un voisinage quasi-compact contenu dans l'ouvert.

Corollaire. Si tout point de \(X\) (ou de \(Y\)) admet un système fondamental de voisinages quasi-compacts, \((*)\) est une équivalence.

La démonstration tient en trois passages à la borne supérieure, et il vaut de la donner : elle est complète sur la page, et c'est le lemme du tube.

Pour \(x \in X\), soit \(U_{x} \subset U\) un voisinage quasi-compact de \(x\), et \(\mathring{U}_{x}\) son intérieur. Fixons \(y \in V\). Comme \(U_{x} \times \{y\}\) est quasi-compact, il est recouvert par un nombre fini des \(U_{i} \times V_{i}\), disons pour \(i \in I_{x,y}\) ; posons \(V_{x,y} = \bigcap_{i \in I_{x,y}} V_{i}\), voisinage ouvert de \(y\). On a alors \(U_{x} \subset \bigcup_{i \in I_{x,y}} U_{i}\) et \(V_{i} \supset V_{x,y}\) pour \(i \in I_{x,y}\), d'où, en posant \(S = \operatorname*{Sup}_{i \in I}(U_{i} \times V_{i})\) : \[ S \;\geqslant\; \operatorname*{Sup}_{i \in I_{x,y}}(U_{i} \times V_{i}) \;\geqslant\; \operatorname*{Sup}_{i \in I_{x,y}}(U_{i} \times V_{x,y}) \;=\; \Bigl(\operatorname*{Sup}_{i \in I_{x,y}} U_{i}\Bigr) \times V_{x,y} \;\geqslant\; \mathring{U}_{x} \times V_{x,y}. \] La seule égalité de cette chaîne est celle qui fait marcher tout l'argument : \(W \mapsto W \times V'\) commute aux bornes supérieures quelconques dans le produit de locales.¹¹ Faisant maintenant varier \(y\), puis \(x\) : \[ S \;\geqslant\; \operatorname*{Sup}_{y \in V} \bigl(\mathring{U}_{x} \times V_{x,y}\bigr) = \mathring{U}_{x} \times V, \qquad S \;\geqslant\; \operatorname*{Sup}_{x \in U} \bigl(\mathring{U}_{x} \times V\bigr) = U \times V, \] puisque les \(V_{x,y}\) recouvrent \(V\) et les \(\mathring{U}_{x}\) recouvrent \(U\). D'où l'égalité cherchée.

10–11

Le sens réciproque

La page 10 poursuit par une réciproque, sous une hypothèse plus faible que la compacité locale : supposons que toute partie localement fermée non vide de \(X\) possède un point admettant, dans elle, un voisinage relatif quasi-compact. Alors \((*)\) est encore une équivalence.

L'argument est un argument de maximalité, et il faut le compléter d'un pas que la page passe. Soit \(U'\) le plus grand ouvert de \(U\) tel que \(S \geqslant U' \times V\) — il existe, la famille de ces ouverts étant stable par réunion et contenant \(\emptyset\). Supposons \(U' \neq U\). Alors \(Z = U \setminus U'\) est localement fermé et non vide, donc contient un point \(x\) admettant dans \(Z\) un voisinage relatif quasi-compact \(T\) ; soit \(U'' \subset U\) un ouvert contenant \(x\) avec \(U'' \cap Z \subset T\). Pour chaque \(y \in V\), la quasi-compacité de \(T\) donne une partie finie \(I_{y}\) avec \(T \subset \bigcup_{i \in I_{y}} U_{i}\), et \(V_{y} = \bigcap_{i \in I_{y}} V_{i}\) est un voisinage de \(y\) ; comme au paragraphe précédent, \[ S \;\geqslant\; \Bigl(\operatorname*{Sup}_{i \in I_{y}} U_{i}\Bigr) \times V_{y}. \] Or \(U'' \setminus U' \subset U'' \cap Z \subset T \subset \bigcup_{i \in I_{y}} U_{i}\), donc \(U'' \subset U' \cup \bigcup_{i \in I_{y}} U_{i}\), et comme par ailleurs \(S \geqslant U' \times V \geqslant U' \times V_{y}\), il vient \(S \geqslant (U' \cup U'') \times V_{y}\).¹² Faisant varier \(y\), on obtient \(S \geqslant (U' \cup U'') \times V\), ce qui contredit la maximalité de \(U'\) puisque \(x \in U'' \setminus U'\). Donc \(U' = U\).

11–14

Produits infinis

Les pages 11 et 12 passent à une famille quelconque \((X_{i})_{i \in I}\), avec la conclusion suivante : si tous les facteurs sauf au plus un ont des systèmes fondamentaux de voisinages quasi-compacts, et si tous sauf au plus un sont quasi-compacts, alors \[ \operatorname{Top}\Bigl(\prod_{i \in I} X_{i}\Bigr) \longrightarrow \prod_{i}{}^{\mathrm{top}} \operatorname{Top}(X_{i}) \] est une équivalence.¹³

L'argument est le même, mené sur le produit restreint \(\prod' \mathcal{O}_{X_{i}}\) — les familles \((U_{i})\) avec \(U_{i} = X_{i}\) pour presque tout \(i\) — et sur \(I = \varinjlim_{\alpha} J_{\alpha}\), réunion filtrante de ses parties finies. Le cas fini étant acquis, on écrit \[ \prod_{i}{}^{\mathrm{top}} \operatorname{Top}(X_{i}) \;\simeq\; \varprojlim_{\alpha}{}^{\mathrm{top}} \operatorname{Top}\bigl(\textstyle\prod_{i \in J_{\alpha}} X_{i}\bigr) \;\simeq\; \bigl(\varinjlim_{\alpha} \mathcal{O}_{Z_{\alpha}}\bigr)^{\sim}, \] et l'on reprend le même dévissage : tout \(W\) du produit restreint est de la forme \(U \times Z'_{\alpha}\) avec \(Z'_{\alpha} = \prod_{i \notin J_{\alpha}} X_{i}\) quasi-compact, et une famille \((V_{\lambda})\) le recouvrant se raffine, en chaque point, sur un \(J_{\beta} \supset J_{\alpha}\) fini.

La page 14 aborde enfin les contre-exemples, avec tous les \(X_{i}\) discrets, écrit le système fondamental de voisinages \(V_{z} = \{z' \mid z'_{i} = z_{i}\ \text{hors d'une partie finie}\}\), se demande si ces \(V_{z}\) recouvrent pour \(\pi\) — et s'arrête, un point d'interrogation en marge.¹⁴

15–15

Limites filtrantes de topos essentiels (page 15)

Une note d'une page, indépendante de ce qui précède, et laissée inachevée.

Un morphisme de topos est dit essentiel lorsque son image inverse admet elle-même un adjoint à gauche. Pour les topos de préfaisceaux, ce sont exactement les morphismes provenant d'un foncteur entre les sites. Soit donc un système projectif filtrant de topos \(\widehat{C_{i}}\), dont les morphismes de transition \(\widehat{f}_{ij} : \widehat{C_{j}} \to \widehat{C_{i}}\) proviennent de foncteurs \(f_{ij} : C_{j} \to C_{i}\) admettant des adjoints à droite \(g_{ji} : C_{i} \to C_{j}\). Alors \[ \mathcal{X} \;=\; \varprojlim_{i}{}^{\mathrm{top}} \widehat{C_{i}} \;\simeq\; \widehat{C}, \qquad C = \operatorname*{colim}_{i, g} C_{i}, \] et les projections \(\mathrm{pr}_{i} : \mathcal{X} \to \widehat{C_{i}}\) sont associées aux foncteurs canoniques \(\alpha_{i} : C_{i} \to C\), avec \[ \mathrm{pr}_{i*}(F) = F \circ \alpha_{i}, \qquad \mathrm{pr}_{i}^{*}(G) = \alpha_{i!}(G), \] \(\alpha_{i!}\) désignant l'extension de Kan à gauche le long de \(\alpha_{i}\).^{15 16} Une limite filtrante de topos se calcule comme une colimite filtrante de sites : c'est l'énoncé, et l'hypothèse d'essentialité est ce qui permet de le lire au niveau des sites plutôt qu'à celui des topos.

17–17

Les foncteurs cocontinus sur un topos de faisceaux (pages 17 à 20)

La dernière note de cette série est la plus achevée, et c'est elle qui court jusqu'à la page 21. Soient \(C\) un site et \(E\) une catégorie où les petites colimites existent. On veut décrire les foncteurs \(u : \widetilde{C} \to E\) commutant aux petites colimites, à partir de leur seule restriction à \(C\).

17–18

L'adjonction

Notons \(\varepsilon_{C} = a_{C} \circ j_{0} : C \to \widetilde{C}\) le foncteur canonique (\(j_{0} : C \to \widehat{C}\) étant Yoneda), et posons \[ \alpha(u) = u \circ \varepsilon_{C}, \qquad \beta(u_{0}) = \Bigl[\, F \longmapsto \varinjlim_{C/F} u_{0}(X) \,\Bigr], \] deux foncteurs entre \(\operatorname{Hom}(\widetilde{C}, E)\) et \(\operatorname{Hom}(C, E)\).¹⁷

Deux morphismes fonctoriels s'écrivent alors sans effort. Le premier, \[ i_{u} : \beta\alpha(u) \longrightarrow u, \qquad \varinjlim_{C/F} u(\varepsilon_{C}X) \longrightarrow u(F), \] est déduit de l'isomorphisme canonique \(\varinjlim_{C/F} \varepsilon_{C}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } F\) en lui appliquant \(u\). Le second, \[ j_{u_{0}} : u_{0} \longrightarrow \alpha\beta(u_{0}), \] envoie \(u_{0}(Z)\) dans \(\varinjlim_{C/\varepsilon_{C}(Z)} u_{0}(X)\) par la composante d'indice \(Z\) lui-même. Ce sont les morphismes d'adjonction d'une adjonction \(\beta \dashv \alpha\) : \(i\) en est la coünité, \(j\) l'unité.

Et l'on lit aussitôt sur eux la partie fixe de l'adjonction, au sens usuel :

• \(i_{u}\) est un isomorphisme si et seulement si \(u\) commute aux colimites de la forme \(\varinjlim_{C/F} X \xrightarrow{\sim} F\), c'est-à-dire si et seulement si \(u\) est cocontinu ;
• \(j_{u_{0}}\) est un isomorphisme si et seulement si, pour tout \(Z \in C\), \(u_{0}(Z) \to \varinjlim_{C/\varepsilon_{C}(Z)} u_{0}(X)\) l'est — condition vide dès que \(\varepsilon_{C}\) est pleinement fidèle, c'est-à-dire dès que la topologie de \(C\) est moins fine que la topologie canonique, car \(C/\varepsilon_{C}(Z) \simeq C/Z\) admet alors \(Z\) pour objet final.

L'adjonction se restreint donc en une équivalence entre ses deux parties fixes, et en particulier \(\alpha\) induit un foncteur pleinement fidèle \(\operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E) \to \operatorname{Hom}(C, E)\), où \(\operatorname{Hom}'\) désigne partout les foncteurs commutant aux petites colimites.

19–20

L'image essentielle, et la question du bas de page

Reste à décrire cette image essentielle, et c'est ici que les pages 19 et 20 prennent le détour qui porte. On identifie d'abord \(\operatorname{Hom}(C, E) \simeq \operatorname{Hom}'(\widehat{C}, E)\) — propriété universelle de \(\widehat{C}\) comme cocomplétion libre de \(C\) — ce qui transporte \(\alpha\) et \(\beta\) en \[ \alpha'(u) = u \circ a, \qquad \beta'(v) = v \mid \widetilde{C}, \] avec \(\beta'\alpha'(u) \simeq u\). La pleine fidélité de \(\alpha'\) tient à ce que \(\widetilde{C}\) est, par \(a\), une catégorie de fractions de \(\widehat{C}\) : \(\operatorname{Hom}(\widetilde{C}, E)\) s'identifie à la sous-catégorie pleine de \(\operatorname{Hom}(\widehat{C}, E)\) des foncteurs qui inversent les flèches que \(a\) inverse — les morphismes bicouvrants. Et la cocontinuité se transporte dans cette identification, par le calcul de la page 20 : si \(\mathcal{U} \circ a\) commute aux colimites, alors \[ \mathcal{U}\Bigl(\varinjlim_{\alpha}{}^{\widetilde{C}} X_{\alpha}\Bigr) = \mathcal{U}a\Bigl(\varinjlim_{\alpha}{}^{\widehat{C}} X_{\alpha}\Bigr) = \varinjlim_{\alpha} (\mathcal{U}a)(X_{\alpha}) = \varinjlim_{\alpha} \mathcal{U}(X_{\alpha}), \] puisque les colimites de \(\widetilde{C}\) sont celles de \(\widehat{C}\) suivies de \(a\).

D'où l'énoncé, qui est la conclusion de la note :

Théorème. \(\alpha'\) induit une équivalence de \(\operatorname{Hom}'(\widetilde{C}, E)\) sur la sous-catégorie pleine de \(\operatorname{Hom}(\widehat{C}, E)\) formée des foncteurs qui a) commutent aux petites colimites, et b) transforment les morphismes bicouvrants en isomorphismes.¹⁸

La page 20 s'achève sur une tentative d'affaiblissement. La condition b) est malcommode : elle porte sur \(\widehat{C}\) et non sur \(C\). Ne suffirait-il pas de demander que toute famille couvrante \(X_{\alpha} \to X\) aille sur une famille épimorphique de \(E\) ? « Cela est-il suffisant ? », écrit-il — et, en bas de page, au crayon, non.

Le « non » est juste. Une famille épimorphique ne contrôle que la surjectivité du morphisme de comparaison \(\varinjlim_{C/R} u_{0} \to u_{0}(X)\), alors que b) en demande la bijectivité : un crible couvrant \(R \subset X\) doit aller sur un isomorphisme, ce qui exige en outre le recollement, c'est-à-dire l'injectivité.¹⁹

21–21

La phrase interrompue (page 21)

La page 20 s'achevait sur une question — la condition « toute famille couvrante va sur une famille épimorphique » suffit-elle à caractériser les foncteurs cocontinus sur \(\widetilde{C}\) ? — et sur un « non » porté au crayon en bas de page. La page 21 en commence la démonstration : « soit \(F \to G\) dans \(\widehat{C}\), bicouvrant, prouvons que \(\widehat{u}_{0}(F) \to \widehat{u}_{0}(G)\) est un isomorphisme. On a … » La ligne suivante est entièrement raturée, et rien ne poursuit.

Nous n'y suppléons pas. La raison pour laquelle la réponse est négative a été donnée à sa place, plus haut : une famille épimorphique ne contrôle que la surjectivité du morphisme de comparaison, là où le caractère bicouvrant en demande la bijectivité.

23–23

Espaces essentiels et ensembles préordonnés (pages 23 à 26)

23–23

Le dictionnaire

Soit \(X\) un ensemble, \(\mathcal{T}(X)\) l'ensemble des topologies sur \(X\) et \(\underline{\omega}(X)\) celui des préordres. Deux constructions les relient, fonctorielles en \(X\) pour les images inverses.

D'une topologie à un préordre. On pose \[ x \leq y \iff x \in \overline{\{y\}} \] — le préordre de spécialisation : \(x\) est une spécialisation de \(y\), et \(y\) le point le plus générique des deux.²⁰

D'un préordre à une topologie. On déclare ouvertes les parties stables vers le haut, \[ \mathrm{Ouv} = \{\, U \subset X \mid x \in U,\ x \leq y \Rightarrow y \in U \,\}, \] qui sont exactement les réunions quelconques des \(O_{x} = \{\, y \mid y \geq x \,\}\) ; les fermés sont les parties stables vers le bas. C'est ce qu'on appelle aujourd'hui la topologie d'Alexandrov du préordre, et \(O_{x}\) y est le plus petit voisinage ouvert de \(x\).

Une application entre espaces topologiques qui est continue est croissante ; une application entre préordres qui est croissante est continue pour les topologies associées. D'où deux foncteurs, et deux morphismes fonctoriels :

• \(\rho : \beta\alpha \to \mathrm{id}_{(\mathrm{Esp})}\), qui traduit le fait que tout ouvert est stable par générisation — c'est-à-dire que la topologie de départ est moins fine que la topologie d'Alexandrov de son préordre de spécialisation ;
• \(\sigma : \mathrm{id}_{(\text{Préord})} \xrightarrow{\ \sim\ } \alpha\beta\), qui est un isomorphisme : le préordre de spécialisation de la topologie d'Alexandrov de \(\omega\) est \(\omega\).

Ce sont les morphismes d'adjonction d'une adjonction \(\beta \dashv \alpha\) : \[ \operatorname{Hom}_{(\mathrm{Esp})}(\beta I, X) \;\simeq\; \operatorname{Hom}_{(\text{Préord})}(I, \alpha X). \]

24–24

Ce que le dictionnaire attrape

\(\sigma\) étant un isomorphisme, \(\beta\) est pleinement fidèle : les préordres forment une sous-catégorie coréflexive de celle des espaces. Son image essentielle est décrite exactement :

Corollaire. \(\beta\) est pleinement fidèle, et son image essentielle est formée des espaces où tout point \(x\) possède un plus petit voisinage ouvert \(O_{x}\) — de façon équivalente, où toute intersection d'ouverts est ouverte.

La seule chose à vérifier est que \(O_{x}\), lorsqu'il existe, coïncide avec \(\{y \mid y \geq x\}\), et cela tient en une ligne : \(y \in O_{x}\) signifie que tout ouvert contenant \(x\) contient \(y\), c'est-à-dire \(x \in \overline{\{y\}}\). Ces espaces sont ceux qu'on appelle aujourd'hui d'Alexandrov ; le manuscrit les dira essentiels, pour une raison qui apparaîtra plus bas.²¹

Deux compléments de la même page :

• la relation de spécialisation est une relation d'ordre — c'est-à-dire antisymétrique — si et seulement si \(X\) vérifie \(\overline{\{x\}} = \overline{\{y\}} \Rightarrow x = y\) ;²²
• pour \(X\) d'Alexandrov, en notant \(\underline{X}\) la catégorie du préordre (une flèche \(x \to y\) lorsque \(x \leq y\)), le foncteur \(F \mapsto (x \mapsto F(O_{x}))\) est une équivalence \[ \operatorname{Top}(X) \;\simeq\; \operatorname{Hom}(\underline{X}, (\mathrm{Ens})), \] la catégorie des foncteurs covariants sur \(\underline{X}\).²³ Sous cette équivalence, les ouverts de \(X\) correspondent aux sous-objets de l'objet final, ce qui est la description d'un topos localique.

25–26

Points, points génériques, points essentiels

La page 25 poursuit sur les fermés irréductibles. Pour \(X\) d'Alexandrov, \(X\) est irréductible si et seulement si deux ouverts non vides se rencontrent, c'est-à-dire si et seulement si l'ensemble ordonné est filtrant, et les fermés irréductibles sont donc les parties \(Y\) qui sont a) stables vers le bas et b) filtrantes.²⁴ On retrouve ainsi le sobrifié \(\widetilde{X}\) — l'ensemble des fermés irréductibles, ordonné — et l'application canonique \[ x \longmapsto \overline{\{x\}} = \{\, y \mid y \leq x \,\}, \qquad X \longrightarrow \widetilde{X}, \] qui s'identifie au foncteur canonique \(\underline{X} \to \mathrm{Pro}(\underline{X})\) et à l'application de \(X\) dans l'espace sobre associé.

Un point générique d'un fermé irréductible \(Y\) est alors un plus grand élément de \(Y\), et la page 26 énumère les conditions équivalentes :

1. [\(\alpha\))] \(X \to \widetilde{X}\) est surjective ;
2. [\(\beta\))] toute partie fermée filtrante de \(X\) a un plus grand élément ;
3. [\(\gamma\))] toute suite croissante de \(X\) est stationnaire ;
4. [\(\delta\))] tout point de \(\widetilde{X}\) est essentiel.

\(\alpha\)) et \(\beta\)) sont deux façons de dire la même chose. L'équivalence avec \(\gamma\)) tient à ce qu'un ensemble filtrant sans élément maximal contient une suite strictement croissante, et qu'un ensemble filtrant avec un élément maximal a celui-ci pour plus grand élément.²⁵ Quant à \(\delta\)), il repose sur ce que la page note en marge, d'un trait et d'un point d'exclamation : l'image de \(X\) dans \(\widetilde{X}\) est exactement l'ensemble des points essentiels de \(\widetilde{X}\).

Un point essentiel d'un topos est un point dont le foncteur image inverse — le foncteur fibre — admet lui-même un adjoint à gauche ; pour un espace, c'est un point qui a un plus petit voisinage ouvert, et c'est encore un point dont le foncteur fibre commute aux produits quelconques.²⁶

La page 26 clôt le dictionnaire par sa forme la plus forte. Pour un topos \(E\), sont équivalentes :

1. [\(\alpha\))] \(E\) est équivalent à la fois à un \(\operatorname{Top}(X)\) et à un \(\widehat{C}\) ;
2. [\(\beta\))] \(E \simeq \operatorname{Top}(X)\) avec \(X\) d'Alexandrov ;
3. [\(\gamma\))] \(E \simeq \widehat{I}\) avec \(I\) un ensemble ordonné ;
4. [\(\delta\))] \(E\) est engendré par les sous-objets de son objet final, et a suffisamment de points essentiels.

Un tel \(E\) est appelé espace topologique essentiel, et l'on a des équivalences de 2-catégories entre les topos spatiaux essentiels, les préordres et les espaces d'Alexandrov. Deux tests accompagnent l'énoncé : \(\widehat{C}\) est de ce type si et seulement si \(C\) est préordonnée ; \(\operatorname{Top}(X)\) l'est si et seulement si l'ensemble des points essentiels de \(X\) est très dense.²⁷

28–28

Le produit, du côté des treillis (page 28)

Un feuillet isolé, dont la moitié supérieure porte un calcul de quaternions et de formules de duplication trigonométriques sans aucun rapport — le dossier est fait de papiers réemployés. Le bas de la page revient au produit des pages 9 à 12, et en donne la face manquante.

Soient \(\sigma\) un treillis à bornes supérieures quelconques et bornes inférieures finies distributives par rapport à elles — un cadre, dirait-on aujourd'hui — et \(\alpha : \mathcal{O}_{X} \to \sigma\), \(\beta : \mathcal{O}_{Y} \to \sigma\) deux morphismes de cadres. La question est de savoir si le couple \((\alpha,\beta)\) provient d'un unique morphisme \(\gamma\) défini sur les ouverts de \(X \times Y\).

L'injectivité est immédiate : \(\gamma\) est connu dès que l'on connaît \(\gamma(U \times V) = \alpha(U) \wedge \beta(V)\), puisque tout ouvert de \(X \times Y\) est borne supérieure de rectangles. Pour la surjectivité, on pose \[ \gamma(W) \;=\; \operatorname*{Sup}_{U \times V \subset W} \alpha(U) \wedge \beta(V), \] et tout revient à vérifier que \(\gamma\) commute aux bornes inférieures finies. Le calcul de la page est complet et correct : \[ \gamma(W) \wedge \gamma(W') = \operatorname*{Sup}_{\substack{U \times V \subset W \\ U' \times V' \subset W'}} \alpha(U \cap U') \wedge \beta(V \cap V') = \gamma(W \cap W'), \] la première égalité par distributivité dans \(\sigma\) et parce que \(\alpha\), \(\beta\) commutent aux intersections finies, la seconde parce que \((U \cap U') \times (V \cap V')\) est bien contenu dans \(W \cap W'\) et que tout rectangle contenu dans \(W \cap W'\) est de cette forme. Reste \(\gamma(X \times Y) = \alpha(X) \wedge \beta(Y) = 1\), et le calcul \(\gamma(X' \times Y) = \alpha(X')\) que la page mène en supposant \(Y \neq \emptyset\).

C'est donc oui, et l'objet ainsi caractérisé est le produit de locales \(\mathcal{O}_{X} \otimes \mathcal{O}_{Y}\) : le treillis des ouverts du produit de topos, celui que les pages 9 à 12 appelaient la topologie \(\pi\).²⁸

30–30

Un lemme sur les algèbres d'Azumaya (pages 30 à 32)

Ce lemme n'a rien à voir avec le reste du dossier, et il faut le prendre pour ce qu'il est : une page d'algèbre, rangée là par accident de classement.

Soit \(E\) un topos localement annelé. On considère deux catégories fibrées sur \(E\) :

• \(C\), dont les objets sont les couples \((\mathcal{G}, \mathcal{E})\) de modules localement libres de type fini, partout non nuls ;
• \(C'\), dont les objets sont les quadruplets \((A, \mathcal{E}, \mathcal{F}, \varphi)\) où \(A\) est une algèbre localement isomorphe à une algèbre de matrices — une algèbre d'Azumaya —, où \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{F}\) sont localement libres de type fini et partout non nuls, et où \(\varphi\) est un isomorphisme \[ A \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \;\simeq\; \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{F}). \]

Lemme. Le foncteur \[ F : (\mathcal{G}, \mathcal{E}) \longmapsto \bigl(\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}),\ \mathcal{E},\ \mathcal{G} \otimes \mathcal{E},\ \varphi_{\mathcal{G},\mathcal{E}}\bigr) \] — où \(\varphi_{\mathcal{G},\mathcal{E}}\) est l'isomorphisme canonique \(\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \simeq \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E})\) — est une équivalence.²⁹

30–32

La démonstration

Elle procède par dévissage sur les rangs, ce qui est l'idée juste : \(F\) provient d'un morphisme de champs \(\underline{C} \to \underline{C}'\), et il suffit de prouver que celui-ci est une équivalence. En décomposant selon les rangs, \[ \underline{C} \simeq \coprod_{g,e} \underline{C}_{g,e}, \qquad \underline{C}' \simeq \coprod_{a,e,f} \underline{C}'_{a,e,f}, \] le foncteur induit est \(F_{g,e} : \underline{C}_{g,e} \to \underline{C}'_{g^{2},\,e,\,ge}\).³⁰ On est ramené à prouver que chaque \(F_{g,e}\) est une équivalence, et comme il s'agit de champs en groupoïdes, cela se scinde en deux vérifications : deux objets sont localement isomorphes, et \(F\) est bijectif sur les automorphismes.

La première est le point où le vocabulaire hésite. La page écrit « \(\underline{C}_{g,e}\) est une gerbe (liée par \(Gl(e) \times Gl(g)\)) », puis barre entièrement les deux lignes et reprend : « c'est essentiellement un champ en groupoïdes, donc reste à prouver que deux objets sont localement isomorphes ».³¹ La vérification elle-même est courte : deux isomorphismes \(\varphi, \varphi'\) diffèrent par un automorphisme de \(\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{F})\), lequel est localement intérieur, donc provient localement d'un automorphisme de \(\mathcal{F}\).

Pour la seconde, un automorphisme \((u,v)\) de \(\xi = (\mathcal{G}, \mathcal{E})\) a pour image \(\bigl(\underline{\operatorname{End}}(u),\ v,\ u \otimes v\bigr)\). L'injectivité est immédiate : \(v\) est lu directement, \(u \otimes v\) aussi, d'où \(u\) puisque \(\mathcal{E}\) est partout non nul. Pour la surjectivité, on part d'un automorphisme \(\tau = (\lambda, v, w)\) de \(\xi'\), dont la compatibilité s'écrit

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, "\lambda \otimes \underline{\operatorname{End}}(v)"'] & \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E}) \arrow[d, "\underline{\operatorname{End}}(w)"] \\
\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \arrow[r, "\varphi"'] & \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E})
\end{tikzcd}

et il s'agit de trouver localement \(u\) avec \(\lambda = \underline{\operatorname{End}}(u)\) et \(w = u \otimes v\). Le premier point est encore le caractère localement intérieur de \(\lambda\) ; quitte à composer par \(F(u,v)^{-1}\), on peut donc supposer \(\lambda = \mathrm{id}\), et il reste à voir que \(w = \mathrm{id}_{\mathcal{G}} \otimes v\). La commutativité donne \[ w\,(\mathrm{id}_{\mathcal{G}} \otimes X)\,w^{-1} = \mathrm{id}_{\mathcal{G}} \otimes v X v^{-1} \qquad \text{pour tout endomorphisme } X \text{ de } \mathcal{E}, \] c'est-à-dire que \(w\,(\mathrm{id} \otimes v)^{-1}\) centralise le facteur \(\mathrm{id}_{\mathcal{G}} \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E})\) — et la page devient ici trop surchargée pour être suivie.³²

35–35

Espèces de structure et types de limites (pages 35 à 39)

L'autre manuscrit, celui des pages impaires. Il prend les théories elles-mêmes pour objets, et sa question finale est de savoir si les corps en forment une.

35–35

Une espèce de structure comme foncteur

Soit \(T\) une espèce de structure définie par limites projectives finies (resp. quelconques) sur une famille d'ensembles de base \((E_{i})_{i \in I}\), \(I\) fixé. Pour toute catégorie \(C\) à limites finies, on dispose de la catégorie \(T(C)\) des structures d'espèce \(T\) dans \(C\), et du foncteur « famille d'objets sous-jacente » \[ \varphi^{T}_{C} : T(C) \longrightarrow C^{I} ; \] pour tout foncteur \(u : C \to C'\) commutant aux limites finies, un \(T(u) : T(C) \to T(C')\) au-dessus de \(u^{I}\). Ces données étant fonctorielles, \(T\) est un foncteur \[ T : L_{0} = (\mathrm{Cat} \text{ à } \varprojlim \text{ finies}) \longrightarrow \mathrm{Cat}, \] d'où une catégorie fibrée \(\mathcal{T}\) munie de \(\varphi^{T} : \mathcal{T} \to \mathcal{T}_{I}\).³³ Pour deux espèces \(T\), \(T'\) on définit \(\underline{\operatorname{Hom}}_{L}(T,T')\), et si elles portent le même \(I\), la catégorie \(\underline{\operatorname{Hom}}_{L}(I;T,T')\) des homomorphismes munis d'une donnée de compatibilité entre \(\varphi^{T}\) et \(\varphi^{T'}\).

37–37

Quand la théorie est représentable

La page 37 pose la condition qui donne à tout cela sa forme définitive. Supposons \(T\) 2-représentable : il existe \(\beta^{T}\), catégorie à limites, telle que \[ T(C) \;\simeq\; \underline{\operatorname{Hom}}_{\varprojlim}(\beta^{T},\, C) \qquad \text{pour toute } C \text{ à limites.} \] Alors trois choses suivent.

1. [a)] \(\beta^{T}\) est unique à équivalence près, et l'équivalence unique à isomorphisme unique près.
2. [b)] Pour toute catégorie 2-cofibrée \(\mathcal{F}\) sur \((\mathrm{Cat}\ \varprojlim)\), on a \(\underline{\operatorname{Hom}}(T, \mathcal{F}) \simeq \mathcal{F}(\beta)\) ; en particulier, si \(\mathcal{F}\) est définie par une espèce \(T'\), \[ \underline{\operatorname{Hom}}(T, T') \;\simeq\; T'(\beta). \]
3. [c)] En prenant pour \(T'\) l'espèce « ensemble de base sans structure », pour laquelle \(T'(\beta) = \beta\), on trouve \[ \beta \;=\; \underline{\operatorname{Hom}}(T,\, i) \;=\; \Gamma^{T}. \]

Ce dernier énoncé est le cœur du fragment, et il vaut d'être dit en clair : la théorie se retrouve comme la catégorie de ses propres opérations naturelles. \(\Gamma^{T}\) est ce que toute structure d'espèce \(T\) sait fabriquer, uniformément en la structure ; l'énoncé dit que cela suffit à reconstituer la théorie.³⁴

39–39

Les corps forment-ils une espèce de structure ? (page 39)

Vient enfin la question qui occupe la fin du manuscrit, et qui est posée avec une netteté remarquable.

L'espèce de structure « anneau commutatif » est définie par limites finies ; notons \(\lambda_{0}\) le type correspondant. Fixons pour tout le dossier la notation : un type \(\lambda\) est un couple \(\lambda = (\underleftarrow{\lambda}, \underrightarrow{\lambda})\) formé d'une classe de types de diagrammes dont on exige les limites et d'une classe dont on exige les colimites ; \(\mathrm{Cat}_{\lambda}\) est la 2-catégorie des catégories qui les possèdent et des foncteurs qui y commutent ; et tout \(\lambda\) recevant \(\lambda_{0}\) définit une espèce \(T_{\lambda}\).

Question. Pour quels \(\lambda\) existe-t-il un sous-type plein \(T^{*}_{\lambda}\) — c'est-à-dire \(T^{*}_{\lambda}(C) \to T_{\lambda}(C)\) pleinement fidèle pour tout \(C\) — tel que, pour \(C = (\mathrm{Ens})\), on retrouve exactement la catégorie des corps commutatifs ? Et un tel sous-type est-il unique ?

La machinerie de réponse est en place dès cette page. \(T_{\lambda}\) est \(\lambda\)-représentable par la sous-catégorie pleine \(S^{T}_{\lambda}\) de \((\mathrm{Ann})\) engendrée, par les colimites de type \(\lambda\), par l'objet libre à un générateur \(\mathbb{Z}[t]\) ; et les sous-types pleins de \(T_{\lambda}\) correspondent aux catégories de fractions de \(S^{T}_{\lambda}\) par un ensemble \(M\) de flèches stable par composition et par les colimites de type \(\lambda\). La traduction de la condition « les modèles ensemblistes sont les corps » est alors : \[ M \;=\; \bigl\{\, u : A \to B \ \bigm|\ \operatorname{Hom}(B,k) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(A,k) \ \text{pour tout corps } k \,\bigr\}, \] c'est-à-dire, géométriquement, les morphismes de schémas affines \(X \to Y\) tels que \(X(k) \simeq Y(k)\) pour tout corps \(k\) — les morphismes bijectifs à extensions résiduelles triviales. Cet ensemble de flèches est manifestement stable par composition et par colimites de type \(\lambda\), et il le serait pour n'importe quelle sous-catégorie de \((\mathrm{Ann})\).

L'unicité est acquise dès que \(\underrightarrow{\lambda} = \emptyset\). Reste l'existence, et la page ouvre l'énumération des cas : a) si \(\lambda = \lambda_{0}\), il n'existe pas de tel sous-type — la démonstration est page 41, qui reprend l'énumération là où celle-ci l'abandonne.³⁵

41–41

Les corps sont-ils une espèce de structure ? (page 41)

Cette page reprend l'argument de la page 39 — la page 40 qui les sépare physiquement appartient à l'autre manuscrit — mais elle ne s'y raccorde pas mot à mot : son premier membre de phrase, « … des corps) », appartient à un feuillet qui n'est pas dans le dossier. Ce qui se poursuit d'une page à l'autre est l'énumération des cas, non la phrase.³⁶

Rappelons la mise en place. Un type est un couple \(\lambda = (\underleftarrow{\lambda}, \underrightarrow{\lambda})\) — les diagrammes dont on exige les limites, ceux dont on exige les colimites ; \(T\) est l'espèce de structure « anneau commutatif », de type \(\lambda_{0}\) ; \(S^{T}_{\lambda}\) est la sous-catégorie pleine de \((\mathrm{Ann})\) engendrée par \(\mathbb{Z}[t]\) sous les colimites de type \(\lambda\) ; et l'on cherche un sous-type plein \(T^{*}_{\lambda}\) dont les modèles ensemblistes soient les corps. Le critère est celui qu'énonce la première phrase de la page :

La question a une solution affirmative si et seulement si tout anneau \(\mathcal{C}\) qui rend bijective l'application \(\operatorname{Hom}(B,\mathcal{C}) \to \operatorname{Hom}(A,\mathcal{C})\) pour toute flèche \(u : A \to B\) de \(M\), est un corps.

\(M\) désignant, comme à la page 39, l'ensemble des flèches que tout corps inverse.

41–41

a) Avec les seuls moyens qui définissent les anneaux : non

Si \(\lambda = \lambda_{0}\), la catégorie \(S^{T}_{\lambda}\) se réduit aux anneaux de polynômes \(\mathbb{Z}[t_{1}, \ldots, t_{n}]\), et une flèche entre deux d'entre eux qui induit une bijection sur les \(k\)-points pour tout corps \(k\) est un isomorphisme — la page invoque là le théorème principal de Zariski.³⁷ Donc \(M\) est réduit aux isomorphismes ; tout anneau inverse \(M\) ; le critère demanderait que tout anneau soit un corps. Absurde : il n'existe pas de tel sous-type.

41–41

b) Avec la localisation en plus : oui

Supposons maintenant que \(S^{T}_{\lambda}\) contienne, à côté de \(\mathbb{Z}[t]\), l'anneau \(\mathbb{Z}[t,t^{-1}]\) — ce qui a lieu dès que \(\lambda\) autorise toutes les limites finies de schémas affines, auquel cas \(S^{T}_{\lambda}\) est la catégorie des anneaux de type fini sur \(\mathbb{Z}\).³⁸ Considérons alors la flèche canonique \[ u_{0} : \mathbb{Z}[t] \longrightarrow \mathbb{Z}[t,t^{-1}] \times \mathbb{Z}, \qquad t \longmapsto (t,\,0), \] et notons que le but est de présentation finie : \(\mathbb{Z}[t,t^{-1}] \times \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}[x,y] \big/ \bigl(x(xy-1),\, y(xy-1)\bigr)\), l'idempotent \(e = xy\) découpant les deux facteurs.³⁹

Appliquons \(\operatorname{Hom}(-,\mathcal{C})\). Un homomorphisme d'un produit d'anneaux dans \(\mathcal{C}\) équivaut à une décomposition \(\mathcal{C} = \mathcal{C}_{1} \times \mathcal{C}_{2}\) — c'est-à-dire à un idempotent, c'est-à-dire à une partition de \(\operatorname{Spec}\mathcal{C}\) en deux ouverts-fermés — accompagnée d'un élément inversible \(\varepsilon \in \mathcal{C}_{1}^{\times}\) ; et \(u_{0}\) l'envoie sur l'élément \((\varepsilon, 0)\) de \(\mathcal{C}\). La transformée de \(u_{0}\) est donc \[ \coprod_{\mathcal{C} = \mathcal{C}_{1} \times \mathcal{C}_{2}} \mathcal{C}_{1}^{\times} \longrightarrow \mathcal{C}, \] et elle est bijective si et seulement si \(\mathcal{C}\) est un corps : tout élément doit s'écrire, d'une seule manière, comme inversible sur une pièce et nul sur la pièce complémentaire — ce qui force \(\operatorname{Spec} \mathcal{C}\) connexe, c'est-à-dire \(\mathcal{C}\) sans idempotent non trivial, et tout élément inversible ou nul.⁴⁰

En particulier \(u_{0}\) appartient à \(M\), et à lui seul il force le critère : tout anneau inversant \(M\) est un corps. Le sous-type existe. La réponse du dossier n'est donc pas un refus mais une ligne de partage — les corps échappent aux moyens qui définissent les anneaux, et sont récupérés dès qu'on ajoute la localisation.⁴¹

43–43

Catégories \(\lambda\)-abstraites (pages 43, 45, 47)

Les trois pages impaires suivantes reprennent la machinerie des pages 35 et 37 — une espèce de structure \(T\), la catégorie \(T(C)\) de ses modèles dans \(C\), le foncteur d'oubli \(b^{T}_{C} : T(C) \to C^{I}\) — et la poussent jusqu'à un énoncé de reconstitution.

43–43

Une page de travail

La page 43 est un feuillet de notes : le carré comparant \(\mathrm{Cat}_{\lambda}\) et \(\mathrm{Cat}_{\lambda'}\) pour \(\lambda \subset \lambda'\), le carré 2-cartésien \[ \operatorname{Hom}_{\lambda}(R, C) \hookrightarrow \operatorname{Hom}_{\lambda}(R, \widehat{C}\,) \quad\text{au-dessus de}\quad C^{I} \hookrightarrow \widehat{C}^{\,I}, \] et une liste de cinq questions ouvertes qu'il vaut de garder telle quelle : rigidité de \(R_{T}\) ; existence des colimites de type \(\lambda\) dans \(T(C)\) ; existence des limites ; existence d'un adjoint au foncteur d'oubli \(\varphi : T(\mathrm{Ens}) \to (\mathrm{Ens})^{I}\) lorsque \(\lambda\) est formé de diagrammes finis ; et enfin \[ R_{T} \;\overset{?}{\simeq}\; \operatorname{Hom}_{\lambda} \bigl((T(\mathrm{Ens}))_{\circ},\, (\mathrm{Ens})\bigr), \] avec deux points d'interrogation de sa main.⁴²

45–45

La reconstitution

La page 45 pose les hypothèses. Soit \(T\) une catégorie \(\lambda\)-abstraite sur \(\mathrm{Cat}_{\lambda}\), munie de ses foncteurs \(b^{T}_{C} : T(C) \to C^{I}\), et supposons :

1. [a)] pour tout foncteur pleinement fidèle \(C \to C'\) dans \(\mathrm{Cat}_{\lambda}\), \(T(i) : T(C) \to T(C')\) est pleinement fidèle, et le carré qu'il forme avec les \(b^{T}\) est 2-cartésien — il suffit de l'exiger pour \(C \hookrightarrow \widehat{C}\) ;
2. [b)] pour tout \(C\), le foncteur canonique \[ T(\widehat{C}\,) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\lambda}(C^{\circ}, S), \qquad S \overset{\text{déf}}{=} T(\mathrm{Ens}), \] est une équivalence de catégories.⁴³

Alors \(T(C)\) se reconstitue à partir de deux données seulement : la catégorie \(S\) des modèles ensemblistes, et la famille \(\beta = (\beta_{i})_{i \in I}\) des foncteurs fibres \(\beta_{i} : S \to (\mathrm{Ens})\). Précisément, \[ T(C) \;=\; \bigl\{\, \varphi : C^{\circ} \to S \ \text{dans} \ \operatorname{Hom}_{\lambda} \ \bigm| \ \beta_{i} \circ \varphi \ \text{représentable pour tout } i \,\bigr\}, \] sous-catégorie pleine de \(\operatorname{Hom}_{\lambda}(C^{\circ}, S)\).⁴⁴

Reste à identifier la théorie elle-même. Soit \(R\) la sous-catégorie pleine de \(\operatorname{Hom}_{\lambda}(S, (\mathrm{Ens}))\) formée des \(\psi\) tels que \(\psi \circ \xi\) soit représentable pour tout \(C\) et tout \(\xi \in T(C)\) : elle est stable par les limites de type \(\underleftarrow{\lambda}\), et l'on dispose d'un accouplement \(T(C) \times R \to C\), d'où \[ T(C) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\lambda}(R, C). \] À quelle condition est-ce une équivalence ? Deux conditions sont nécessaires, et ce sont elles qui donnent sa forme finale à l'énoncé :

1. [a)] \(R\) doit être formé de foncteurs représentables, c'est-à-dire \(R \simeq \Sigma^{\circ}\) pour une sous-catégorie pleine \(\Sigma \subset S\) — la donnée de \(R\) équivaut alors à celle de \(\Sigma\) ;
2. [b)] \(\Sigma\) doit engendrer \(S\), au sens où \(S \to \operatorname{Hom}(\Sigma^{\circ}, (\mathrm{Ens})) = \widehat{\Sigma}\) est pleinement fidèle.

47–47

La forme finale

La page 47 prend \(\lambda\) = l'ensemble des types de diagrammes finis et énonce le résultat dans l'autre sens : on part de \(\Sigma\) et l'on fabrique \(S\). Soient donc \(\Sigma\) une catégorie stable par limites de type \(\lambda\), \(R = \Sigma^{\circ}\), et \[ S \;=\; \operatorname{Hom}_{\underrightarrow{\lambda}}(R, \mathrm{Ens}), \qquad \Sigma \;\subset\; S \;\subset\; \widehat{\Sigma}, \] les foncteurs sur \(R\) commutant aux colimites de type \(\underrightarrow{\lambda}\).⁴⁵ Alors :

1. [a)] \(S\) admet des colimites quelconques ;
2. [b)] pour toute catégorie \(\mathcal{T}\) à colimites quelconques, la restriction \[ \operatorname{Hom}_{\underrightarrow{\lambda}}(\Sigma, \mathcal{T}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{\lambda'}(S, \mathcal{T}) \] est une équivalence, \(\operatorname{Hom}_{\lambda'}\) désignant les foncteurs cocontinus ;
3. [c)] \(S\) est engendré par \(\Sigma\) sous les colimites.

Autrement dit : \(S\) est la cocomplétion libre de \(\Sigma\) respectant les colimites que \(\Sigma\) possède déjà, et \(\Sigma\) s'y retrouve comme la sous-catégorie des objets de présentation finie. La théorie \(R = \Sigma^{\circ}\) et la catégorie de modèles \(S\) se déterminent donc l'une l'autre, et la correspondance est celle des propriétés universelles.⁴⁶

34–34

Notes de cours : les topos contre les espaces (pages 34 à 40)

À partir d'ici, deux manuscrits alternent. Les pages paires — 34, 36, 38, 40, puis 42, 44, 46 et 48 — portent des notes de cours sur les topos ; les pages impaires, un tout autre sujet, repris plus bas.

Ces pages-ci sont écrites en anglais. Ce qui suit n'en est pas une traduction mais une restatement en français, comme tout le reste de cette édition ; qui veut les mots de la page ira à la transcription, qui suit la langue du feuillet.⁴⁷

34–34

Ce que \(\operatorname{Top}(X)\) retient de \(X\)

Le cours part d'un rappel — images directes et inverses, foncteur fibre comme image inverse, faisceaux à structures algébriques, définis par limites finies et préservés en sens contraire par les deux images — puis pose sa thèse : la catégorie \(\operatorname{Top}(X)\) contient toute l'information topologique exploitable sur \(X\). La liste qui l'appuie vaut d'être gardée telle quelle : les faisceaux à structures algébriques, la notion de champ sur \(X\), la connexité, la cohomologie et l'homotopie, le rapport entre \(\pi_{1}\) et les revêtements, l'algèbre homologique non commutative de \(H^{1}\), la connexité locale, la totale discontinuité, la quasi-compacité, et les opérations sur les espaces (sommes, sommes amalgamées) telles que les opérations sur les topos les reflètent.

Le point technique est le suivant. Notons \(\mathrm{Fib}(E)\) l'ensemble des classes d'isomorphie de foncteurs fibres généralisés. Pour \(E = \operatorname{Top}(X)\), il s'identifie à l'ensemble \(\widetilde{X}\) des fermés irréductibles de \(X\), muni de la topologie évidente, et l'application canonique est \(x \mapsto \overline{\{x\}}\). D'où trois équivalences, que la page énonce avec la précision qui manquait à la page 24 :

• elle est injective si et seulement si \(\overline{\{x\}} = \overline{\{y\}} \Rightarrow x = y\) — l'axiome \(T_{0}\) ;
• elle est surjective si et seulement si tout fermé irréductible a un point générique ;
• elle est bijective si et seulement si \(X\) est sobre.

Enfin \(X \mapsto \widetilde{X}\) est l'adjoint à gauche de l'inclusion des espaces sobres dans les espaces : \[ \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sp}}(X,\, i Z) \;\simeq\; \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sp\ sob}}(\widetilde{X},\, Z), \] c'est-à-dire que \(X \to \widetilde{X}\) est l'application universelle de \(X\) dans un espace sobre.⁴⁸

36–36

Pourquoi les topos

« En d'autres termes, \(X\) et \(\widetilde{X}\) ont la même théorie des faisceaux » : pour tous les usages pratiques, ou presque, on peut remplacer l'un par l'autre. De même l'application \[ \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sp}}(X, Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}\bigl(\operatorname{Top}(X), \operatorname{Top}(Y)\bigr) \] est bijective dès que \(Y\) est sobre, la catégorie de droite étant rigide et associée à l'ordre de spécialisation.

Puis vient la seule page du dossier où Grothendieck dise ce qu'il cherche, et elle mérite d'être suivie de près. Pourquoi la notion de topos est-elle une généralisation naturelle et utile de celle d'espace ?

1. [a)] parce que c'est le cadre naturel de la plupart des structures algébriques, et de bien des structures non algébriques ;
2. [b)] parce que, à ce titre, elle permet de construire des topos classifiants pour ces structures — peut-être pour toutes : « algèbre \(=\) topologie ! » ;⁴⁹
3. [c)] parce que la classe des topos est stable par des opérations qui, dans les espaces, n'auraient pas de sens : le passage au quotient par des relations d'équivalence sauvages, dont le quotient topologique serait pathologique, et le recollement de morceaux à la manière d'Artin ;
4. [d)] parce qu'ils apparaissent d'eux-mêmes, comme topos modulaires, dans diverses questions de géométrie ;
5. [e)] parce qu'ils fournissent le cadre le plus commode partout où l'on passe systématiquement au quotient ;
6. [f)] parce qu'ils donnent son aboutissement à la notion intuitive de localisation ;
7. [g)] parce qu'ils sont l'outil technique des théories cohomologiques en géométrie algébrique.

L'ordre de cette liste est à noter : la géométrie algébrique, qui est le motif historique, y vient en dernier.

38–40

Spécialisations, générateurs, et la question laissée ouverte

La page 38 revient sur le lien entre \(X\) et \(\operatorname{Top}(X)\) par les spécialisations. Si \(x \in \overline{\{y\}}\), tout voisinage de \(y\) contient \(x\), d'où un homomorphisme fonctoriel de foncteurs fibres \(F_{x} \to F_{y}\), et donc un foncteur de \(X\) ordonné par la spécialisation vers \(\mathrm{Fib}(\operatorname{Top}(X))\).

Proposition. Ce foncteur est pleinement fidèle : \(\operatorname{Hom}(\xi_{x}, \xi_{y})\) est vide si \(x \not\leq y\), et réduit à l'homomorphisme de spécialisation sinon.

Corollaire. C'est une équivalence si et seulement si \(X \to \widetilde{X}\) est surjective — en particulier si \(X\) est sobre.

De même, l'ensemble ordonné des applications continues \(X \to Y\), pour l'ordre \(f \leq g\) lorsque \(f(x) \in \overline{\{g(x)\}}\) pour tout \(x\), se plonge pleinement fidèlement dans \(\underline{\operatorname{Hom}}\bigl( \operatorname{Top}(X), \operatorname{Top}(Y)\bigr)\).⁵⁰

Le cours aborde alors la définition d'un topos, sous deux formes : par des propriétés et des générateurs, ou bien par un plongement \[ E \overset{f_{*}}{\hookrightarrow} \widehat{C}, \qquad C \text{ petite}, \] pleinement fidèle et admettant un adjoint à gauche \(f^{*}\) exact à gauche. Grothendieck note en marge que plusieurs jeux d'axiomes équivalents sont possibles et se demande, dans une phrase à demi lisible, ce qui gouverne le choix.

La page 40 précise le second point : on peut prendre pour \(C\) n'importe quelle sous-catégorie génératrice de \(E\) et poser \(f_{*}(X) = \bigl(A \mapsto \operatorname{Hom}(A,X)\bigr)\) ; dire que ce foncteur est conservatif signifie que \(C\) est génératrice, et cela équivaut à la pleine fidélité de \(f_{*}\), laquelle entraîne l'existence de l'adjoint à gauche.⁵¹ Suivent les usages des générateurs — existence d'adjoints, représentabilité des foncteurs contravariants transformant les colimites en limites — puis les exemples : le topos vide \(\operatorname{Top}(\emptyset)\) et le topos ponctuel \(\operatorname{Top}(1)\) ; \(\operatorname{Top}(X,G)\), avec \(\operatorname{Top}(*,G) = B_{G}\) et \(H^{i}(B_{G}, -) = H^{i}(G,-)\), le foncteur fibre de \(B_{G}\) étant le foncteur d'oubli ; et les \(\widehat{C}\), avec le plongement pleinement fidèle \(C^{\circ} \to \mathrm{Fib}(\widehat{C})\), qui est même une équivalence \(\mathrm{Ind}(C^{\circ}) \simeq \mathrm{Fib}(\widehat{C})\).

La page s'achève sur une question, et c'est elle qui court d'un bout à l'autre du dossier :

Peut-on avoir une équivalence \(\widehat{C} \simeq \operatorname{Top}(X)\) ?

Il en esquisse aussitôt la réponse : il suffirait que \(C\) soit une catégorie ordonnée et que \(X\) ait des points admettant un plus petit voisinage — des points essentiels — qui soient denses ; on prendrait alors \(X = \mathrm{Ind}(C)\). La page s'arrête là, plusieurs mots illisibles.⁵²

42–42

Morphismes de topos (pages 42, 44, 46)

L'autre manuscrit, celui des pages paires, reprend son cours. Il est ici en français ; les pages 48, 52, 53 et 54 seront en anglais, et l'on en donne comme plus haut une restatement française et non une traduction.

42–42

Les topos forment une 2-catégorie

Un morphisme de topos \(f : X \to Y\) est déterminé par son image directe, le foncteur \[ \underline{\mathrm{Mor\,Top}}(X,Y) \hookrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{cat}}(X,Y), \qquad f \mapsto f_{*}, \] étant pleinement fidèle ; la composition en fait une 2-catégorie. La notion d'équivalence de topos — \(f\) tel qu'il existe \(g\) avec \(gf \simeq \mathrm{id}\) et \(fg \simeq \mathrm{id}\) — y remplace exactement la notion d'homéomorphisme pour les espaces, et c'est l'équivalence usuelle de catégories. La page prend soin de le noter en marge : il n'y a plus d'isomorphisme, seulement de l'équivalence.

42–44

Les exemples, un à un

• Les espaces. \(\operatorname{Top}(X)\) dépend de \(X\) de façon covariante, et c'est un foncteur 2-fidèle des espaces vers les topos ; pour \(\operatorname{Top}(X,G)\) la pleine fidélité tombe.
• Morphismes vers un topos spatial. Se donner \(E \to \operatorname{Top}(X)\), c'est se donner une application \[ \mathrm{Ouv}(X) \longrightarrow \{\text{sous-objets de } e_{E}\} \] commutant aux bornes supérieures quelconques et aux intersections finies — c'est-à-dire un morphisme de cadres, c'est-à-dire un morphisme de locales.⁵³
• Le doublet. Soit \(D = \{x,y\}\) l'espace à deux points dont l'un est fermé et l'autre générique. Un morphisme \(E \to \operatorname{Top}(D)\) est exactement la donnée d'un ouvert de \(E\) : \(\operatorname{Top}(D)\) est le topos classifiant de l'espèce de structure « sous-objet de l'objet final ». Et tout espace topologique se plonge dans un produit \(D^{I}\), avec \(I = \mathrm{Ouv}(X)\).⁵⁴
• La réflexion localique. Si l'ensemble ordonné des sous-objets de \(e_{E}\) est isomorphe à \(\mathrm{Ouv}(X)\) pour un espace \(X\), alors le morphisme \(E \to \operatorname{Top}(X)\) ainsi obtenu est universel parmi les morphismes de \(E\) vers un espace.
• Les points. Les morphismes d'un point dans \(E\) forment la catégorie \(\underline{\mathrm{Pt}}(E)^{\circ}\).
• Les topos de préfaisceaux. Un foncteur \(u : C \to C'\) donne la restriction \(u^{*} : \widehat{C}' \to \widehat{C}\), laquelle possède un adjoint à gauche \(u_{!}\) et un adjoint à droite \(u_{*}\) — les deux extensions de Kan : \[ u_{!} \dashv u^{*} \dashv u_{*}. \] ⁵⁵
• Sortir d'un topos de préfaisceaux. Pour tout topos \(E\), \[ \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(\widehat{C}, E) \;\simeq\; \operatorname{Hom}(C, \underline{\mathrm{Pt}}(E)), \] et en particulier \(\operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(\widehat{C}, \widehat{C}') \simeq \operatorname{Hom}(C, \mathrm{Pro}\,C')\), le sous-ensemble \(\operatorname{Hom}(C,C')\) y étant plongé pleinement fidèlement. Et si \(C\) est stable par limites finies, on retrouve dans l'autre sens la formule de la page 6 : \(\operatorname{Hom}_{\mathrm{top}}(E, \widehat{C}) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{ex.g.}}(C, E)^{\circ}\).⁵⁶

46–46

Les cas dégénérés, et l'induction

La page 46 achève l'énumération. Vers le topos ponctuel, l'image inverse donne les objets constants et l'image directe le foncteur des sections globales. Quant au topos vide, un morphisme \(E \to \operatorname{Top}(\emptyset)\) n'existe que si \(E \simeq \operatorname{Top}(\emptyset)\) lui-même : l'image inverse devrait envoyer l'unique objet à la fois sur l'objet initial et sur l'objet final de \(E\), ce qui les identifie et rend \(E\) ponctuel.

Vient enfin le morphisme d'induction \(j_{X} : E_{/X} \to E\), qui portera tout ce qui suit : \[ j_{X}^{*}(Y) = Y \times X, \qquad j_{X!}(Y \to X) = Y, \] le troisième, \(j_{X*}\), étant « plus compliqué » de l'aveu de la page, et n'y étant pas explicité. On a \(j_{X!} \dashv j_{X}^{*} \dashv j_{X*}\) — d'où le fait, que la page souligne, que \(j_{X}^{*}\) commute aux limites et aux colimites quelconques. Comme foncteur en \(X\), \[ \operatorname{Hom}_{\mathrm{top}_{E}}(E_{/X}, E_{/Y}) \;\simeq\; \operatorname{Hom}_{E}(X,Y) \quad \text{(catégorie discrète)}. \] Un dernier titre, « topos somme de topos », reste sans texte.

48–48

Quand un topos de préfaisceaux est-il spatial ? (page 48)

C'est la réponse à la question laissée ouverte au bas de la page 40, et il faut la lire d'affilée avec elle : deux pages éloignées, une seule question.

Sens direct. \(\widehat{C}\) est équivalent à un \(\operatorname{Top}(X)\) si et seulement si \(C\) est une catégorie ordonnée, c'est-à-dire si \(x \to e_{\widehat{C}}\) est un monomorphisme pour tout objet \(x\). On prend alors pour \(X\) l'ensemble \(\mathrm{Ob}\,C\), muni de la topologie engendrée par les \(O_{x} = \{ y \mid y \leq x \}\), lesquels en forment une base ; les ouverts sont les cribles.⁵⁷

La démonstration tient en une observation : les recouvrements sont triviaux. Si les \(O_{x_{i}}\) recouvrent \(O_{x}\), l'un d'eux contient \(x\), donc \(x \leq x_{i}\) ; mais \(x_{i} \leq x\) puisque \(O_{x_{i}} \subset O_{x}\), d'où \(x \approx x_{i}\) et \(O_{x_{i}} = O_{x}\). Un faisceau sur cette base n'est donc astreint à rien de plus qu'un préfaisceau sur \(C\), et l'on a bien \(\operatorname{Top}(X) \simeq \widehat{C}\).

Sens réciproque. Si \(X\) est un espace sobre, \(\operatorname{Top}(X)\) est équivalent à un \(\widehat{C}\) si et seulement si les points essentiels de \(X\) — ceux qui ont un plus petit voisinage ouvert, ou, ce qui revient au même, ceux dont le foncteur fibre commute aux produits quelconques — sont très denses, et l'on peut prendre pour \(C\) la catégorie de ces points.

Cet énoncé referme exactement la liste de conditions équivalentes de la page 26, et lui donne sa forme constructive : la page 26 disait qu'un topos est à la fois spatial et de préfaisceaux si et seulement s'il est engendré par les sous-objets de son objet final et a suffisamment de points essentiels ; la page 48 dit comment fabriquer \(X\) à partir de \(C\), et \(C\) à partir de \(X\).⁵⁸

49–49

Images directes et inverses, localisation, Galois (pages 49 à 51)

49–49

Les trois foncteurs et leurs prolongements

Soit \(f : C \to C'\) un foncteur, \(g\) son adjoint à droite et \(h\) celui de \(g\), lorsqu'ils existent. Les trois foncteurs entre topos de préfaisceaux se répartissent alors ainsi : \(f_{!}\) prolonge \(f\), \(f^{*}\) prolonge \(g\), \(f_{*}\) prolonge \(h\). Si \(f\) commute aux limites projectives finies, \(f_{!}\) y commute encore, et l'on obtient un morphisme de topos \(\varphi : \widehat{C}' \to \widehat{C}\) avec \[ \varphi^{*} = f_{!}, \qquad \varphi_{*} = f^{*}. \] ⁵⁹

Les deux calculs de la page sont les identités d'adjonction lues sur les représentables : \(f_{!}(x) = f(x)\) d'une part, et de l'autre \[ f_{*}(x) = \bigl(x' \longmapsto \operatorname{Hom}_{\widehat{C}} (x' \circ f^{\circ},\, x)\bigr) = \bigl(x' \longmapsto \operatorname{Hom}_{C}(g(x'),\, x)\bigr) \] lorsque \(g\) existe. La page porte enfin, à part, « \((\mathbb{Z}, G)\) » et « \(B_{G} \to B_{e}\) » : c'est l'annonce des deux pages suivantes.

50–50

Un sous-groupe, c'est une localisation

Voici le morceau le plus frappant du dossier. Soient \(G\) un groupe d'un topos \(E\), \(B_{G}\) son topos classifiant, \(H \subset G\) un sous-groupe et \(X = G/H\), muni de son point marqué \(\varepsilon \in \Gamma(X)\). On a alors un carré

\begin{tikzcd}[row sep=large]
(B_{G})_{/X} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, "j_{X}"'] & B_{H} \arrow[d, "B_{i}"] \\
B_{G} & B_{G}
\end{tikzcd}

dans lequel \(\varphi\) est une équivalence, donnée dans les deux sens par \[ \varphi(E') = E' \times_{X} (e, \varepsilon), \qquad \psi(F) = G \wedge_{H} F, \] et l'on vérifie \(\varphi(j_{X}^{*}(E')) = (E' \times X) \times_{X} (e, \varepsilon) \simeq E'\).⁶⁰

Le sens de tout cela est que se restreindre à un sous-groupe et se localiser au-dessus de \(G/H\) sont la même opération. Via \(\varphi\), le morphisme d'induction \(j_{X}\) s'interprète comme \(B_{i}\), et les trois foncteurs deviennent les trois opérations classiques de la théorie des représentations : \[ j_{X}^{*} = \text{restriction}, \qquad j_{X!} : F \mapsto G \wedge_{H} F \ (\text{induction}), \qquad j_{X*} : F \mapsto \operatorname{Hom}_{H}(G, F) \ (\text{coinduction}). \]

50–51

Et c'est la théorie de Galois

La page tire aussitôt le cas des groupes discrets, et c'est là que l'énoncé formel devient une théorie connue. Si \(G = \pi_{1}(Z)\) est le groupe fondamental d'un espace \(Z\) connexe, localement connexe et localement 1-connexe, alors \(B_{G}\) est la catégorie des revêtements de \(Z\) ; la donnée de \(X = G/H\) est celle d'un revêtement pointé au-dessus du point base ; et l'équivalence \(\varphi\) ci-dessus devient l'équivalence \[ \mathrm{Rev}(X) \;\simeq\; B_{H}, \qquad H \simeq \pi_{1}(X,x), \] c'est-à-dire la théorie de Galois du revêtement \(X\). Le dictionnaire entre sous-groupes du groupe fondamental et revêtements tombe comme cas particulier d'une remarque sur les topos induits.⁶¹

La page 51 refait le même calcul avec un espace : si un groupe discret \(G\) opère sur un espace \(Z\), le foncteur « restriction des opérations à \(H\) » \[ \operatorname{Top}(Z, G) \longrightarrow \operatorname{Top}(Z, H) \] est encore un foncteur de localisation. On pose \(Z' = Z \times G/H\) avec l'action diagonale, et le foncteur \(\operatorname{Top}(Z,G)_{/Z'} \to \operatorname{Top}(Z,H)\), \(E' \mapsto E' \times_{Z'} (X,e)\), est une équivalence — \(Z'\) étant, comme le note la page, un « revêtement topologique » de \(Z\).⁶²

52–52

Sites (pages 52, 54, 53)

Les trois dernières pages sont un condensé de la théorie des sites, en anglais. Elles sont reliées dans le désordre : la page 54 précède la page 53, et c'est dans cet ordre qu'on les lit ici.⁶³

52–52

Ce qu'est une topologie

Le plan est celui d'un cours : (1) la notion de localisation, « yoga » ; (2) la donnée d'une localisation sur une catégorie, c'est-à-dire une topologie, sous deux formes équivalentes.

En termes de familles couvrantes, lorsque les produits fibrés existent : stabilité par changement de base (Cov 1), par composition (Cov 2), présence des identités (Cov 3), et, entre crochets, la saturation (Cov 4). La page note en accolade qu'il suffit de supposer les \(X_{\alpha} \to X\) carrables.

En termes de cribles couvrants : changement de base (T1), caractère local (T2), et une troisième condition biffée. Les topologies sont alors ordonnées par l'inclusion, se coupent, ont des bornes supérieures, et sont engendrées par des familles de cribles ou de morphismes.

Le lien entre les deux formes est l'identité \[ \operatorname{Hom}_{\widehat{C}}(R, F) \;=\; \varprojlim_{C/R} F(X) \;\simeq\; \operatorname{Ker}\Bigl( \prod_{\alpha} F(X_{\alpha}) \rightrightarrows \prod_{\alpha,\beta} F(X_{\alpha} \times_{X} X_{\beta}) \Bigr), \] qui dit qu'un crible engendré par une famille impose exactement la condition de recollement de cette famille.⁶⁴ Sous Cov 1 à Cov 3, les cribles engendrés par les familles couvrantes sont cofinaux parmi les cribles couvrants — c'est ce qui rend les deux présentations interchangeables.

Vient (3) la notion de faisceau, et celle de préfaisceau séparé, données d'un seul geste : \(F\) est un faisceau (resp. séparé) lorsque \(\operatorname{Hom}(X,F) \to \operatorname{Hom}(R,F)\) est bijective (resp. injective) pour tout crible couvrant \(R \subset X\). Enfin, étant donnée une famille \(\Phi\) de préfaisceaux, il existe une plus fine topologie \(T_{\Phi}\) faisant de tout \(F \in \Phi\) un faisceau, décrite explicitement par changement de base.

54–54

Le faisceau associé

La page 54 construit le foncteur \(L\) : \[ LF(X) \;=\; \varinjlim_{R \in T(X)} \operatorname{Hom}(R, F), \qquad \ell : \mathrm{id} \longrightarrow L, \] avec les quatre propriétés qui font toute la construction : a) \(L\) est exact à gauche ; b) \(LF\) est toujours séparé ; c) \(F\) est séparé si et seulement si \(F \to LF\) est un monomorphisme, et alors \(LF\) est un faisceau ; d) \(F \to LF\) est un isomorphisme si et seulement si \(F\) est un faisceau.

Théorème 1. L'inclusion \(\widetilde{C} \subset \widehat{C}\) admet un adjoint à gauche \(a\), et \(a\) est exact à gauche — car \(a = L \circ L\), b) et c) donnant la conclusion en deux applications.⁶⁵

Corollaires. Les limites projectives existent dans \(\widetilde{C}\) et l'inclusion y commute ; les colimites existent, données par \(\varinjlim^{\widetilde{C}} F_{i} \simeq a\bigl(\varinjlim^{\widehat{C}} F_{i}\bigr)\) ; et tout faisceau est colimite de ses représentables, \(F \simeq \varinjlim_{C/F} a(X)\).⁶⁶

Théorème 2. Soit \(\varepsilon_{C} : C \to \widetilde{C}\), \(X \mapsto a(X)\), qui est exact à gauche. Alors a) une famille \(X_{\alpha} \to X\) est couvrante si et seulement si \(\coprod \varepsilon_{C}(X_{\alpha}) \to \varepsilon_{C}(X)\) est un épimorphisme ; b) un crible \(R \subset X\) est couvrant si et seulement si \(\varepsilon_{C}(R) \xrightarrow{\ \sim\ } \varepsilon_{C}(X)\).⁶⁷

On récupère ainsi la topologie \(T\) à partir de la seule donnée de \(\widetilde{C} \subset \widehat{C}\) : c'est la topologie la plus fine pour laquelle les objets de \(\widetilde{C}\) sont des faisceaux.⁶⁸

53–53

Les théorèmes de Giraud

Théorème 3 (Giraud). \(T \mapsto \widetilde{C}_{T}\) est une correspondance bijective entre les topologies sur \(C\) et les sous-catégories strictement pleines \(E \subset \widehat{C}\) dont l'inclusion admet un adjoint à gauche exact à gauche. Elle renverse l'ordre : \(T \leq T' \iff \widetilde{C}_{T'} \subset \widetilde{C}_{T}\).⁶⁹

Théorème 5. Une catégorie \(E\) est équivalente à un \(\widetilde{C}\), pour une petite \(C\), si et seulement si elle vérifie les axiomes a) b) c) d)⁷⁰ . On peut alors prendre pour \(C\) n'importe quelle sous-catégorie pleine génératrice de \(E\), munie de la topologie induite par la topologie canonique de \(E\) ; et la donnée d'une équivalence \(\widetilde{C}_{T} \simeq E\) équivaut à celle d'un foncteur pleinement fidèle \(C \to E\) d'image génératrice.

Théorème 4 (lemme de comparaison). Soit \(C \hookrightarrow C'\) un foncteur pleinement fidèle entre sites, la topologie de \(C\) étant induite. Si tout objet de \(C'\) peut être couvert par des objets de \(C\), alors \(\widetilde{C}' \xrightarrow{\ \sim\ } \widetilde{C}\). La page ajoute qu'il y a une réciproque lorsque la topologie de \(C\) est moins fine que la topologie canonique.

La marge porte les derniers mots du dossier, et ils sont d'un praticien : « analogue bien connu en topologie ordinaire ; possibilité de définir des \(\widetilde{C}\) équivalents de bien des façons différentes ». C'est là que la chemise s'arrête.⁷¹