Fonds Grothendieck, cote n° 161-2, pages 81–100

la page est écrite sur deux colonnes ; la colonne de gauche d'abord

\begin{tikzcd}[column sep=large] \text{Thé}_{\Delta} \arrow[r, bend left=20, "\rho"] & \Delta \arrow[l, bend left=20, "\sigma"'] \end{tikzcd} sous \sigma : « 2 fidèle »

\sigma(R) = (C \mapsto \mathrm{Hom}(R, C)) On a \mathrm{Hom}(\sigma(R), T) \simeq T(R), en particulier \mathrm{Hom}(\sigma(R), \tau) \simeq \tau(R) = R sous \mathrm{Hom}(\sigma(R), \tau), relié par un double trait : \rho\sigma(R), donc \rho\sigma(R) \simeq R et \sigma est 2 fidèle [général dans tout 2-cat.]

colonne de droite \rho(T) = B_{T} cat. des constructions sur T = \mathrm{Hom}(T, \tau). On demande que \rho(T) \in \mathrm{Ob}\,\Delta pour tout T, et que si T \to T', alors \mathrm{Hom}(T', \tau) \to \mathrm{Hom}(T, \tau) sous le membre de gauche : \rho(T') soit une flèche de \Delta. NB \rho défini en termes des 2-foncteurs \Delta \xrightarrow{\ \tau\ } (\mathrm{Cat}) i.e. la 2-catégorie cofibrée « fonctorielle » \tau sur \Delta…

~~\mathrm{Hom}_{\Delta}(R, R') \simeq~~ \mathrm{Hom}(\sigma(R), T) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\Delta}(\rho(T), R) = (\sigma(\rho(T)))(R) au-dessus du membre de gauche, relié par une flèche : \approx T(R) ; sous le R final, par un double trait : \rho\sigma(R) ; en regard à droite, sous une accolade marquée \Delta : T(R) \times \rho(T) \to R est-ce une équivalence ? Réponse : pour \forall R ssi T 2-repr. par \rho(T).

\sigma\rho(T) \to T encerclé : « can. à isom. canonique près » \mathrm{Hom}(\sigma\rho(T), T) \simeq T(\rho(T)), peut-on décrire un objet à isom. unique près dans T(\rho(T)) ??

encadré : T \to \sigma\rho(T).

~~C'est le morphisme universel des I objets pour . Théorème X 2-repr , on \mathrm{Hom}(T, \sigma(R)) \to~~ un bloc de quatre lignes en bas de page, encadré puis biffé en diagonale

\Delta (\in \mathrm{Cat}_{d}) \subset \mathrm{Cat}.

en haut à droite : Question des générateurs de (\mathrm{Cat}_{\Delta}). On ne se soucie pas que les objets généraux de \Delta en aient, mais ceux qui définissent des théories algébriques, oui…

(1)Pour I \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}) (I petit ?), le 2-foncteur C \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(I, C) est 2-représentable [l'objet qui le 2-représente, soit \tilde{I}, est « la » \Delta-enveloppe de C] sic ; lire sans doute I (voir \Delta-enveloppe de C ?) : \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(I, C) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(\tilde{I}, C) (i.e. l'inclusion \Delta \to \mathrm{Cat} admet un 2-adjoint à gauche) ~~Pour~~ I \mapsto \tilde{I} est un 2-foncteur (\mathrm{Cat}) \to \Delta. (2)Pour J \in \mathrm{Ob}\,\Delta et \Sigma \subset \mathrm{Fl}(J) (\Sigma petit), le 2-foncteur C \mapsto \mathrm{Hom}_{\Delta}(J, C; \Sigma) = sous-catégorie pleine de \mathrm{Hom}_{\Delta}(J, C) formée des u : J \to C tels que u(\alpha) inv. pour tt \alpha \in \Sigma, est 2-représentable (par une catégorie notée J^{-1}_{\Sigma} ou J\Sigma^{-1}).

Conséquence : Existence de 2-limites inductives dans \Delta, pour un pseudo-foncteur I \to \Delta, i \mapsto A_{i}.

Soit en effet D = \varinjlim_{i, (\mathrm{Cat})} A_{i} dans (\mathrm{Cat}), avec \alpha_{i} : A_{i} \to D dans (\mathrm{Cat}), ~~des tels pour~~ pour C \in \mathrm{Ob}\,\Delta \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(D, C) \xrightarrow{\ \approx\ } \varprojlim \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(A_{i}, C) sous le membre de gauche : L(C) ; au-dessus du membre de droite : « dans Cat » ~~dans~~ « est » les sous-catégories pleines des ~~Hom~~ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(D, C) ~~\varprojlim \mathrm{Hom}_{\Delta}(A_{i}, C))~~ des D \xrightarrow{u} C tels que \forall i, u \circ \alpha_{i} : A_{i} \to C est dans \mathrm{Hom}_{\Delta}(A_{i}, C), ou encore la sous-catégorie des \mathrm{Hom}_{\Delta}(\tilde{D}, C) des \tilde{u} : \tilde{D} \to C tels que pour \forall i, soit \tilde{u} \circ \tilde{\alpha}_{i} \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Hom}_{\Delta} (A_{i}, C), où \tilde{\alpha}_{i} est le composé A_{i} \xrightarrow{\alpha_{i}} D \xrightarrow{\mathrm{can}} \tilde{D}. Or les conditions

« \tilde{u} \circ \tilde{\alpha}_{i} sont \Delta-foncteurs » s'expriment par la condition de rendre inversibles certaines flèches \Sigma de \tilde{D} [du moins si les \Delta-foncteurs sont définis par des prop. de commutation à certains types de \varprojlim qui existent dans toutes les cat. éléments de \Delta]. Il n'est pas clair qu'on puisse se ramener au cas \Sigma petit (si les A_{i} ne sont pas petits…), ce qui n'est guère le cas que si les types de diagrammes d', d'' par rapport auxquels on veut prendre des \varprojlim et \varinjlim et y commuter sont petits) ; donc il faut alors travailler avec des sous-catégories « génératrices » petites, en un sens convenable…

NB construction des 2-limites dans (\mathrm{Cat}) : elle est faite dans SGA 4 VI en prenant la catégorie totale de la 2-catégorie cofibrée envisagée et en rendant inversibles les morphismes cartésiens.

un trait horizontal sépare ce qui suit

« Théorie » T sur \Delta : 2-catégorie cofibrée sur \Delta i.e. 2-pseudofoncteur \Delta \xrightarrow{\ T\ } \mathrm{Cat}. Ils forment une 2-catégorie \text{Thé}(\Delta). Dedans, on a \tau \in \mathrm{Ob}\,\text{Thé}(\Delta), \tau(C) = C. On pose \mathrm{Hom}(T, \tau) = B_{T} catégorie des constructions ~~des~~ . NB Si T est 2-représenté par R \in \mathrm{Ob}\,\Delta, T(C) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C), alors on a Équiv. pour \forall Théorie T' sur \Delta \mathrm{Hom}(T, T') \simeq T'(R) ; en particulier B_{T} = \mathrm{Hom}(T, \tau) \simeq \tau(R) = R,

ce qui explique en particulier que B_{T} \in \mathrm{Ob}\,\Delta (si \Delta est défini par des propriétés d'exactitude, cela est clair, car dans B_{T} = \mathrm{Hom}(T, \tau) les \varprojlim du type d', d'' se construisent argument par argument). Mais il y a un « grain de sel », c'est qu'il n'est pas clair que B_{T} soit une \mathcal{U}-catégorie. La description de B_{T} qui est la plus brutale ; on va définir pas à pas une catégorie B'_{T} de « constructions explicites » (sic) pour une ~~catégorie~~ théorie algébrique T, pourvu on construit cette notion de théorie algébrique. Mais on aussi que B'_{T} \in \mathrm{Ob}\,\Delta.

en marge gauche, au niveau de a) : il faut aussi préciser les axiomes des types « flèches rendues égales » (ceci ne résulte pas des précédents si on suppose p. ex. d' = d'' = \emptyset) ; encerclé au-dessous : égalité de flèches

en travers de la marge gauche, en diagonale, une note de sept lignes dont seuls des fragments se lisent : d'axiomes : de , dans l' on fait objets de base, mais on peut aussi (d)

a)Structure vide sur I objets : correspond à la « théorie » \tau^{I}. Elle est représentable par ~~la catégorie discrète I~~ ~~Les objets de \tilde{I} sont sans doute obtenus~~ la \Delta-enveloppe ~~\tilde{I}~~ de la catégorie discrète I. On pose B'_{\tau^{I}} = \tilde{I}. On peut expliciter \tilde{I} (si \Delta défini par ex. par des cond. d'exactitude) en prenant \varprojlim de type d à partir des objets i, et des nouvelles flèches grâce aux axiomes d'exactitude ou inverses des d'exactitudes une ligne biffée b)Structure déduite d'une structure T (avec cat. des constructions explicites B'_{T}) en ajoutant ~~en ajoutant des flèches \Sigma~~ des axiomes : « un ensemble \Sigma de flèches de B'_{T} doivent être rendues inversibles » : B'_{T'} = B'_{T}\Sigma^{-1} (dans \Delta). NB Si on T est 2-rep. par R, alors B'_{T} \simeq R, ~~donc B'_{T'} \simeq R' T' rep. par R'~~ deux lignes biffées Re NB Si on a foncteur fidèle T \to \tau^{I}, le composé T' \to T \to \tau^{I} aussi. c)Structure déduite d'une structure T ((T' \to T pl. fid.)) en ajoutant des flèches (nouvelles données) : ~~\forall x, y \in B'_{T}, un H_{x,y}~~ On se donne H un ensemble d'indices, et H \to \mathrm{Ob}\,B'_{T} \times \mathrm{Ob}\,B'_{T}, h \mapsto s(h), h \mapsto b(h), et on pose T'(C) = catégorie des objets x de T(C), munis d'une « opération » \varphi de H dans \mathrm{Fl}(C) telle que \forall h \in H, \varphi(h) : s(h)(x) \to b(h)(x). en marge droite : NB On n'introduit pas de nouveaux objets, aussi dans une structure objet de base et un ensemble d' !

B'_{T'} est obtenu à partir de B'_{T} en rajoutant les flèches H — d'où catégorie, pas néc. \in \Delta — (B'_{T}, H, s, b) (enveloppe d'un type de diagramme) et, en prenant la \Delta-enveloppe, soit B'^{0}_{T'} (au sens \Delta), en y « rendant inv. » les flèches qui expriment que le composé B_{T} \to B'^{0}_{T'} \to C est un \Delta-foncteur. sous la première flèche : « foncteur can (pas néc. un \Delta-foncteur) » ; sous la seconde : « \Delta-foncteur »

NB Si T rep. par ~~R, alors~~ R et B'_{T} \simeq R, alors T' est rep. par B'_{T'} ~~rep. par R' déduit de R = H_{R}~~ (= H, s_{R}, b_{R}, où s_{R}, b_{R} déduits de s, b : H \to \mathrm{Ob}\,B'_{T} en comp. avec ). Re NB T' \to T fidèle, donc si on a un foncteur fidèle T \to \tau^{I}, le composé aussi.

d)[composition de structures] Si on a des théories T_{\alpha}, avec B'_{T_{\alpha}}, alors la théorie T = \prod T_{\alpha} : C \mapsto \prod T_{\alpha}(C) est une structure algébrique ; B'_{T} = 2-Somme des B'_{T_{\alpha}} dans \Delta. NB Si les T_{\alpha} rep. par les B'_{T_{\alpha}}, alors T rep. par B'_{T}. Re NB Si T_{\alpha} \to \tau^{I_{\alpha}} fidèles, alors T \to \tau^{I} fidèle, où I = \bigsqcup I_{\alpha}. en marge droite : insuffisant

Si on préfère ne pas changer en cours de route des objets de base, on peut vouloir se restreindre aux compositions de structures avec objets de base fixés :

d')Si on a des théories T_{\alpha} ~~fidèles sur \tau^{I}~~ \varphi_{\alpha} : T_{\alpha} \to \tau^{I}, alors le produit 2-fibré des T_{\alpha} sur \tau^{I}, T'(C) = \prod^{(2)}_{\alpha, C^{I}} T_{\alpha}(C) ~~(fidèle sur )~~. On pose B'_{T'} = somme amalgamée des B'_{T_{\alpha}} sur B'_{\tau^{I}} = \tilde{I}. NB Si les T_{\alpha} rep. par les B'_{T_{\alpha}}, T l'est par B_{T}. Re NB T_{\alpha} \to \tau^{I} fidèles, alors T' \to \tau^{I} est fidèle.

On peut passer à l'autre extrême :

d'')\varprojlim de théories (sans conditions particulières)… \leftarrow Il suffirait de le postuler pour une cat. d'indices bien ordonnée…

Remarque 1 On ne rencontre à aucun moment des théories 2-représentables par B_{T}, où B_{T} = R ~~admet une petite~~ n'admet pas une sous-catégorie génératrice « faite » par I \to \mathrm{Ob}\,R, i.e. telle que \forall C \in \mathrm{Ob}\,\Delta, \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C) \to ~~Hom~~ C^{I} fidèle. ~~Remarque~~

Remarque 2 Soit réciproquement R \in \mathrm{Ob}\,\Delta, avec \Delta-générateurs I \to \mathrm{Ob}\,R. On va prouver ~~que Soit Munissons~~ ~~T_{0} rep. par R_{0} = \tilde{I}~~

1°)R petite. On prend I = \mathrm{Ob}\,R, ou plutôt , T_{0} = \tau^{I} ; B'_{T_{0}} = \tilde{I} = R_{0}. On prend ensuite H = \mathrm{Fl}(R), qui va dans \mathrm{Ob}\,R_{0} \times \mathrm{Ob}\,R_{0} au-dessus : I \times I par le composé H \to \mathrm{Ob}\,R \times \mathrm{Ob}\,R \to \mathrm{Ob}\,R_{0} \times \mathrm{Ob}\,R_{0}, d'où T_{1}, R_{1} avec R_{0} \to R_{1}, T_{1} \to T_{0} ~~fid~~ en marge, verticalement : I \to R_{0}. On exprime ensuite que les composition des flèches de R deviennent la comp. des flèches des R_{1} i.e. l'application « préfoncteur » R \to R_{1} devient un foncteur. On trouve ainsi T_{2}, R_{2}, R_{1} \to R_{2}, où R_{2} = \tilde{R} (T_{2}(C) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(R, C)). On exprime enfin que les foncteurs R \to R_{2} devient un \Delta-foncteur, [i.e. commutent à certains types de \varprojlim] en écrivant que certaines flèches de R_{2} deviennent inversibles, d'où T_{3}, R_{3}, R_{3} = R. [NB On a appliqué 1 fois par a), une fois par c), deux fois par b), et pas du tout d).] en marge gauche, en diagonale, deux notes dont seuls des fragments se lisent : (\mathrm{Cat}_{d}) I petit \mathrm{Hom}(J, C) \varprojlim théorie — et : on utilise ici \Delta-foncteurs il faut inversibles les (\mathrm{Cat}_{d}) 3.) Soit C \in \mathrm{Ob}\,\Delta, C^{I} fid. 2°)R quelconque, mais avec I \to \mathrm{Ob}\,R « générateurs », plus précisément : Soit \rho_{0} la sous-catégorie pleine de R engendrée par I. On a \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C) \xrightarrow{\ \text{fid}\ } \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(\rho_{0}, C) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(\tilde{\rho}_{0}, R) sic pour le dernier R, où l'on attend C ; sous une accolade au-dessous : « Théorie \rho_{0} »

~~et prenant~~ \tilde{\rho}_{0} Considérons R_{0} = \tilde{\rho}_{0} \to R et les flèches qui deviennent des isom., soit \Sigma, \tilde{\rho}_{0}\Sigma^{-1}. Soit \rho_{1} = R_{0} \Sigma^{-1} au-dessus : R_{1} = \rho_{1}. Alors (\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(R_{0}\Sigma^{-1}, C) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(R_{1}, C) 2° ?). R_{1} \to R. On construit une suite transfinie de catégories R_{\alpha} \in \Delta, et des R_{\alpha} \to R ; toutes les théories \sigma(R_{\alpha}) sont algébriques (le passage aux ~~lim~~ ordinaux limites se faisant par le critère d ; ou d' !, au choix). On (dans Cat) une ligne biffée

en marge gauche : je ne sais s'il est 2-fidèle ?? pl. fidèle

4°)Soit R \in \mathrm{Ob}\,\Delta, et I \xrightarrow{u} R un foncteur (tel que \forall C \in \mathrm{Ob}\, \Delta, le foncteur \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C) \to \mathrm{Hom}_{\Delta}(R', C) fidèle (un ens. dit générateur) au-dessus, une correction : « foncteurs \Delta- » . Construisons, par une récurrence transfinie, de catégories R_{\alpha} \in \mathrm{Ob}\,\Delta au-dessous : \rho_{\alpha} \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}) tel que les morphismes de transition R_{\alpha} \to R_{\beta} sont des \Delta-foncteurs, et ~~les morphismes — foncteurs~~ dans R par des u_{\alpha} : R_{\alpha} \to R (u_{\alpha} \in \mathrm{Fl}(\Delta)) au-dessus : u_{\alpha} : \rho_{\alpha} \to R, en posant R_{0} = (\tilde{I}, u_{0} : \tilde{I} \to R prolongeant u), \rho_{0} = R_{0}, R_{\alpha+1} déduit de R_{\alpha} \to R en définissant \Sigma_{\alpha} = ens des flèches de R_{\alpha} qui deviennent inv. dans R, R_{\alpha+1} = R_{\alpha}\Sigma^{-1} au-dessous : \rho_{\alpha+1} (au sens de \Delta), R_{\lim \alpha_{i}} = \varinjlim_{\Delta} R_{\alpha_{i}} (dans l'univers \mathcal{U}). en marge gauche, en diagonale : pourquoi R_{\alpha+1} = petit \rho_{\alpha+1} inversibles R_{\alpha}\Sigma^{-1} dans R (sous-cat. pleine de R) ; \rho_{\alpha+1} \to R_{\alpha+1} \to \rho_{\alpha+2} \to R_{\alpha+2}

Alors pour \alpha assez grand (dans l'univers \mathcal{U}) on a R_{\alpha} \xrightarrow{\ \sim\ } R. NB Pour un ordinal limite, on veut que \rho R_{\alpha} \to R soit conservatif ? Si les \Delta-foncteurs commutent aux noyaux (= quot. et cok.) ~~dans le cas~~ (i.e.), cela implique que les foncteurs R_{\alpha} sont ~~pl. fid~~ fidèles, donc les R_{\alpha} sont des sous-catégories. Pour \forall condition c, si \alpha est plus élevé que c, R_{\alpha} est stable sous les limites du type \delta' \in d' ou \delta'' \in d'' pour \mathrm{card}(\delta'), \mathrm{card}(\delta'') \leqslant c. Donc si d' et d'' sont petits en bas de page, en diagonale : on doit pouvoir prouver fidèle la question que pour : ça , vrai , si non grand la phrase reste inachevée ; la p. 88 est blanche

demi-feuillet \lambda ens de diagrammes finis

R \in \mathrm{Cat}_{\lambda}

\Sigma = R^{\circ}, \qquad S = \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, (\mathrm{Ens})) \subset \hat{\Sigma} \qquad\qquad \Sigma \subset S \subset \widehat{R^{\circ}} = \hat{\Sigma}

a)S admet des \varinjlim quelconques b)S est « engendré » par ses objets « de type fini » [objets X tels que \mathrm{Hom}(X, -) commute aux \varinjlim filtrantes] i.e. si S_{0} est la sous-catégorie pl. de S formée de ces objets, alors S \to \hat{S}_{0} sous la flèche : « commutent aux \varprojlim quelc. et aux \varinjlim filtrantes » est conservatif [ou même pl. fidèle ?] [ou fidèle] c)\Sigma \subset S_{0} et \Sigma engendre S_{0} par \varinjlim finies (resp. engendre S par \varinjlim quelc.) d)Plus précisément, S_{0} est la catégorie stable par \varinjlim finies enveloppe de la \lambda-catégorie ~~\Sigma~~, et S est la \varinjlim-catégorie enveloppe de la \varinjlim_{0}-catégorie S_{0}.

9. Relation avec « analyseurs » de Lazard

de sa main, seule ligne d'un feuillet blanc photographié avec le demi-feuillet de la p. 89 ; le nom se lit « Lazare »

deux « dictionnaires » disposés en tableaux ; le premier sur deux colonnes, le second sur cinq colonnes qui se poursuivent p. 91. Chaque ligne du tableau est rendue par une liste dont les étiquettes nomment les colonnes : [T] type, [R] \lambda-catégorie, [S] \lambda^{\circ}-catégorie, [\tau] catégorie \tau, [B] topos

Dictionnaire pour \lambda quelc [= (\lambda_{1}, \lambda_{2})]

[T]~~\lambda-théories, types~~ Morphisme de ~~structures~~ types T_{\lambda} \to T'_{\lambda} [R]\lambda-catégorie ~~avec~~ admettant (petite) famille \lambda-génératrice ; \lambda-foncteurs R^{\sharp} \to R le signe en exposant, ici et plus bas, se lit \sharp [T]Morphisme pleinement fidèle Sous-théorie pleine T'_{\lambda} \subset T_{\lambda} [R]\lambda-foncteur de localisation R^{\sharp} \to R' (p. r. à un ens. de flèches) ; Ens des flèches de R^{\sharp} stable par composition, et par \lambda-limites [T]Morphisme fidèle T'_{\lambda} \to T_{\lambda} [« structure plus riche »] [R]\lambda-foncteur f : R \to R' tel que f \lambda-engendre R' (épimorphisme ?) [T]\lambda-~~structures~~ types avec famille d'objets de base (E_{i})_{i \in I} [R]\lambda-catégorie R avec famille d'objets I \to \mathrm{Ob}\,R qui \lambda-engendre R [T]\varprojlim de \lambda-théories [R]\varinjlim^{(\lambda)} de \lambda-catégories

Dictionnaire [multiple] \lambda = (\lambda_{1}, \emptyset)

[T]\lambda-type T ; T(C) = \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, C) = \mathrm{Hom}_{\lambda^{\circ}}(S^{\circ}, C) = ~~\mathrm{Hom} (S, C)~~ (si C admet \varprojlim quelc.) = sous-catégorie pleine de \mathrm{Hom}(C^{\circ}, \tau) formée des foncteurs u : C^{\circ} \to \tau commutant aux \mathrm{Hom}(x, -), x \in \mathrm{Ob}\,S, représentables = \mathrm{Hom}_{\mathrm{top}} (C, B)^{\circ} (si C est un topos [R]\lambda-catégorie R admettant petite famille \lambda-génératrice ; R = S^{\circ} = \mathrm{Pt\,ess}(B) entre parenthèses au-dessous : \mathrm{Cat} = ponctuels du topos B [S]S (= R^{\circ}) \lambda^{\circ}-catégorie avec petite famille \lambda^{\circ}-génératrice ; S = R^{\circ} = \mathrm{Pt\,ess}(B) [\tau]Catégorie \tau avec \varinjlim filtrantes (et \varprojlim quelc.) munie d'une sous-catégorie génératrice S (pour foncteurs cons.) [et même pl. fid.] stable par \lambda^{\circ} ~~lim~~ limites, formée d'objets A de prés. finie (i.e. \mathrm{Hom}(A, -) commute aux \varinjlim filtrantes) ; \tau = \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, \mathrm{Ens}) = T(\mathrm{Ens}) ; S = \mathrm{Hom}_{\lambda^{\circ}}(S^{\circ}, \mathrm{Ens}) (= \mathrm{Ind}(S) si \lambda_{1} = tous les diagrammes finis) ; \tau = \mathrm{Pt}(B)^{\circ} ; S = \mathrm{Pt\,ess}(B)^{\circ} ; (plutôt les diagrammes filtrants ) B = topos classifiant pour T [B] trois lignes biffées Topos B ayant suffisamment de pts essentiels, et dont la cat. des pts ess. est stable par \varinjlim ; B = \hat{R} = \mathrm{Hom}(S, \mathrm{Ens}) (= \mathrm{Hom}(\tau, \mathrm{Ens}) si \lambda_{1} = ts les diagr. finis [T]morphisme T' \to T [R]\lambda-foncteur R^{\sharp} \to R' [S]\lambda^{\circ}-foncteur S \to S' [\tau]foncteurs \tau^{\sharp} \to \tau ~~\varinjlim finies dans~~ un bloc biffé \varinjlim quelconques (donc ayant un adjoint ) dont l'adjoint envoie S dans S' ; ou : foncteurs \tau \to \tau' commutant aux \varinjlim quelc. et envoyant S dans S' [B]Morphisme de topos B' \xrightarrow{f} B f^{*} transforme objets ponctuels en objets ponctuels [déduit par localisation des B par rapport à un ens. de flèches des R \subset B objets ponctuels] [T]morphisme pl. fidèle T' \to T [R]\lambda-foncteur de localisation R^{\sharp} \to R' [S]\lambda^{\circ}-foncteur de localisation S \to S' [\tau]foncteur \tau' \to \tau pl. fidèle (ou foncteur \tau \to \tau' de localisation) [B]Morphisme de topos B' \to B qui est un plongement i.e. f_{*} : B' \to B pl. fid. [T]sous-théorie pleine des T_{\lambda} [R]Ens des flèches M des R stable par comp. et par \varinjlim type \lambda [S]Ens des flèches M' de S' stable par comp. et par \varprojlim type \lambda^{\circ} [\tau]Sous-catégorie pleine stable par limites projectives qui est telle que \tau' = ens des objets X de \tau tels que pour avec \mathrm{Hom}(u, X) bij. pour tous Y \in \mathrm{Ob}\,\tau', on ait \mathrm{Hom}(u, X) bijectif [B]Sous-topos B' de B tel que, si f : B' \to B est le plongement, f^{*} transforme objets ponctuels en objets ponctuels [T] morphisme fidèle de théories T' \to T [R]R \to R' \lambda-engendre R' [S]S \to S' \lambda-engendre S' [\tau]\tau' \to \tau fidèle (ou plutôt ??) ou \tau \to \tau' \lambda-engendre S' induit S \to S' quasi- [B]f^{*} : B' \to B est fidèle l'exposant de f est douteux [T]\varprojlim de \lambda-types T_{i} [R]\varinjlim de \lambda-cat. R_{i} [S]\varinjlim de \lambda^{\circ}-cat S_{i} [\tau]\varprojlim de catégories \tau_{i} (au moins des ; mais si \lambda_{1} = tous les d. finis ) [B]\varprojlim des topos

brouillon rapide, écrit sur deux colonnes qui se répondent ; les raccords entre colonnes sont incertains

un alinéa biffé Soit T l'espèce des structures « anneau » au-dessus : (anneau — ), T^{\circ} l'espèce des structure « corps ». Celle des unions n'est pas définissable par \varprojlim (car la catégorie des corps (canoniquement) n'est pas stable par \varprojlim, pas = par produits ()). Les sous-types pleins sont définissables par \varprojlim et le plus petit qui ~~admettent par la sous-catégorie \tau' des~~ \tau' de \tau : C \in \mathrm{Ob}\,\tau' \Longrightarrow \forall Hom. A \to B des (\mathrm{Ens}) tel que X = h(B) \to Y = h(A) soit bijectif : cad. si doubles triviales, \mathrm{Hom}(B, C) \to \mathrm{Hom}(A, C) bijectif.

Chaque tel C [\mathrm{Spec}\,C ~~compact~~ , locaux corps) et les C l'hom. divisant /((xy-1)x, (xy-1)y) en x : [le réciproque la catégorie des \tau' pseudocorps est bijectif C est pseudocorps C réduit ~~\Longrightarrow~~ les anneaux locaux des C des qui transforment \mathbb{Z}[H] \to \mathbb{Z}[t, t^{-1}] \times \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}[x, y] transforme ( (t, 0) resp. et ) réciproque qui est nôtre, — donc \Longrightarrow alors des

[Mais le structure par \varprojlim et \varinjlim, catégories satisfaisant convenables ?] Le sous-objet (commun) d'un catégorie par \varprojlim ou par \varprojlim premier cas, on est ramené dans R corps peut elle se définir des univers dans des conditions d'exactitude A^{*} (des éléments inversibles) d'un catégorie A le A est encerclé, peut-elle se définir en \varprojlim et \varinjlim) ? Dans le revenir au cas où l'objet R = (\mathrm{Ann})^{\circ} [= (\mathrm{Sch\,aff})] qui est l'objet \mathbb{Z}[t].

de R. objet dans R est un ~~objet~~ (Sch.aff), en fait \mathbb{Z}[t, t^{-1}] sous-objet dans \mathbb{Z}[t, t^{-1}] = \mathbb{Z}[x, y]/(xy - 1). Donc OK. ou \varprojlim finies Ceci dit, en par un objet A Un morphisme A^{*} \to A, où est l'objet final. On pourra dire que A (dans une catégorie ~~quelconque~~ avec \varprojlim finies) est un objet corps si ce morphisme est un isom.

Plaçons nous p. ex. dans le topos universel \hat{R} (R \simeq \mathrm{Sch\,aff}) L'objet anneau O = E'_{\mathbb{Z}} = \mathrm{Sp}(\mathbb{Z}[t]). Il faut donc rendre inversible la flèche O^{*} \to O (ce n'est pas (dans R, D \to O) [i.e. le ] n'est pas une flèche dans R !) (dans \hat{R}, resp dans ) de la flèche ; voit que cela implique

X \to Y dans R qui devient un classifiant B' (X \in \hat{R} ) que f X \sqcup (V(f)) \to X dont un f X \xrightarrow{f} O = E'_{\mathbb{Z}} quotients de R par les (qui les \varprojlim) \to la catégorie ; qui est un morphisme ext. résiduelles triviales dans le nouveau topos X \in \hat{R} et f \in \Gamma(X, O_{X}), est dans un précédents par objet Or la catégorie (par \varprojlim des flèches maintenant stable par complet toute la moitié inférieure de la page, sur les deux colonnes, est cancellée par de longs traits diagonaux ; ce qui s'en lit est donné ci-dessus

~~qui sont monoïdes des relations de v.f. sur \mathbb{Z} ; Ce la catégorie des des relations ; qu'il schémas \mathbb{Z}] dans que B' = \hat{R'} Ainsi, B' — une factorisation~~ bloc de sept lignes en haut de page, encadré et cancellé en diagonale

\begin{tikzcd} e \sqcup O^{*} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, "j"'] & O \\ D \arrow[ur, "i"'] & \end{tikzcd}

rendre \varphi inversible revient à rendre D inversible (car un isomorphisme dans un topos est un Passons d'abord rendus les morphismes i (qui sont dans R) inversibles, si R' est la catégorie des fractions de R [i.e. la catégorie des associés à des relations de v.f. sur \mathbb{Z}], — le topos \hat{R'} (Corps ? pseudo-corps). Il faut ensuite rendre e \sqcup O^{\alpha} \to O l'exposant se lit \alpha un monomorphisme i.e. e \cap O^{*} \subset R \to R' est le vide ; crible des foncteurs (\mathrm{Ens}) ; idées, représent donc il faut rendre dont f \varepsilon(X) = \begin{cases} \emptyset & \text{si } X \neq \emptyset \\ \{e\} & \text{si } X = \emptyset \end{cases} \emptyset \to \varepsilon au-dessus de la flèche : \hat{R'} un

On trouve : si C est une catégorie avec \varprojlim finies et \varinjlim quelconques (réflex. — il faut des sommes finies ?) les \varinjlim finies, voire des sommes les « corps » dans C correspondent aux foncteurs F : R' \to C qui commutant aux exacts à gauche et aux sommes en marge gauche : bien préciser ; plus bas : des pointes

la catégorie C avec \varprojlim (\varinjlim quelc.) universelles pour ceci est la catégorie des faisceaux sur R' pour la top. de Zariski (= foncteurs contravariants R \to \mathrm{Ens} + qui transforment sommes en produits ) c'est un topos \circledast Le corps universel est le faisceau structural sur ce topos…

un trait horizontal précédente avec anneaux intègres. Soit O' \subset O le sous-type « qui opère régulièrement sur O », (O' \supset O^{*}) est-il définissable par \varprojlim et \varinjlim ? Comment ? Si Sch.ff est que quatre lignes dont la moitié est biffée

Dans le cas des universel d'un topos, O \in \hat{R}, O'(X) est le sous- ens des f \in A tels que f soit par A A \to A' ; A = O(X) des régulières, et les restes par A \to A' A il n'est pas f \notin M pour M \in \mathrm{Max}\,A, donc O' = O^{*} ! Or sur \hat{R} est un anneau par voie qu'un tel c'est un corps, donc O'_{p} = O^{*}_{p} i.e. A' = A^{*} ! la p. 96 est blanche

author's p. ① ; feuillets paginés ① à ④ de sa main, jusqu'à la p. 100, d'une écriture posée ; les alinéas sont numérotés dans des carrés

[1]Soit \begin{equation} \lambda = (\overleftarrow{\lambda}, \overrightarrow{\lambda}) \tag{1.1} \end{equation} un couple, où \overleftarrow{\lambda} et \overrightarrow{\lambda} sont des ens. de diagrammes de l'Univers fixé \mathcal{U}. On veut préciser la notion des « structures algébriques définies ~~par les~~ à l'aide des \varprojlim de type \overleftarrow{\lambda}, de \varinjlim de type \overrightarrow{\lambda} » (ou \lambda-types ). \begin{equation} (\mathrm{Cat}_{\lambda}) = \text{2-catégorie} \tag{1.2} \end{equation} suivi d'une accolade ouvrant sur trois lignes : objets = catégories ayant \varinjlim type \overrightarrow{\lambda}, \varprojlim type \overleftarrow{\lambda} = \lambda-catégories morphismes : foncteurs commutant aux \varprojlim et \varinjlim des types : ces \lambda-foncteurs morphismes de morphismes : comme dans (\mathrm{Cat})

[de sorte que \mathrm{Cat}_{\lambda} \hookrightarrow (\mathrm{Cat}) est 1-fidèle] Si T est une espèce de ~~structure~~ \lambda-type, i.e. une pour C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda} ~~les~~ la catégorie T(C) des structures de type T dans C, et on trouve ainsi une catégorie cofibrée sur \mathrm{Cat}_{\lambda}, soit T_{\lambda} \begin{equation} T_{\lambda} \text{ cat. cofibrée sur } \mathrm{Cat}_{\lambda} \tag{1.3} \end{equation} Si T' est une autre ~~structure~~ \lambda-type, on pose \begin{equation} \mathrm{Hom}_{\lambda}(T, T') = \mathrm{Hom}_{\mathrm{fib\ sur\ }(\mathrm{Cat}_{\lambda})} (T_{\lambda}, T'_{\lambda}) \tag{1.4} \end{equation} et on voit que les \lambda-types forment une (2-cat) \begin{equation} (\lambda\text{-types}) \xrightarrow{\ \text{2-fidèle}\ } \text{2-Cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda}) \tag{1.5} \end{equation} la flèche est un crochet d'inclusion

[2]Si on se donne T avec « T structure sur I objets de base », on introduit la théorie \tau^{I} (structure vide sur I ens. de base) donnant lieu à la catégorie cofibrée sur (\mathrm{Cat}_{\lambda}) donnée par les \begin{equation} \tau^{I}(C) = C^{I} \tag{2.1} \end{equation} et on trouve ~~des~~ pour tt C un foncteur canonique « système des objets de base » à droite, entre crochets : et transposition \begin{equation} T_{\lambda}(C) \xrightarrow{\ b^{C,T}_{\lambda}\ } C^{I} \qquad [\text{foncteur 0-fidèle}] \tag{2.2} \end{equation} définissant pour C variable (0-fidèle) \begin{equation} b^{T}_{\lambda} : T_{\lambda} \longrightarrow \tau^{I} \tag{2.3} \end{equation}

author's p. ② On définit, si T' est de = relatif à I \begin{equation} \mathrm{Hom}_{\lambda}(I; T, T') = \text{catégorie des} \left(\text{morphismes } u : T_{\lambda} \to T'_{\lambda} \ \struck{\text{avec}}\ \text{isom. de } \struck{\text{commutation}}\ \alpha\right) \tag{2.4} \end{equation} au-dessus, en petit : « couples (u, \alpha), avec… »

\begin{tikzcd} T_{\lambda} \arrow[rr, "u"] \arrow[dr, "b^{T}_{\lambda}"'] & & T'_{\lambda} \arrow[dl, "b^{T'}_{\lambda}"] \\ & \tau^{I} & \end{tikzcd}

On a une ~~foncteur~~ 2-cat. \begin{equation} (\lambda\text{-}I\text{-types}) \hookrightarrow \text{Cat 2-cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda})/\tau^{I} \tag{2.5} \end{equation} et un 2-foncteur \begin{equation} (\lambda\text{-}I\text{-types}) \longrightarrow (\lambda\text{-types}) \tag{2.6} \end{equation} relié par un trait à (2.6) : qui est -fidèle.

[3]Si I est réduit à un élément, \tau^{I} est noté \tau, donc \begin{equation} \tau(C) = C \tag{3.1} \end{equation} ~~catégorie~~ On pose \begin{equation} \mathrm{Hom}_{\lambda}(T, \tau) \simeq R^{\lambda}_{T} \qquad \struck{(\text{ou } R_{T}(\ldots))} \tag{3.2} \end{equation} cat. des \lambda-constructions pour T. On ne sait pas à priori si R^{\lambda}_{T} est une \mathcal{U}-catégorie. Mais c'est une \lambda-catégorie, et les \lambda-limites se calculent « argument par argument », donc pour toute C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda} et \xi \in T(C), le foncteur \begin{equation} \xi^{\lambda} : R^{\lambda}_{T} \longrightarrow C \tag{3.3} \end{equation} au-dessus de (3.3) : « On. (pour définir (3.3)) » est un \lambda-foncteur. \begin{equation} R^{\lambda}_{T} \times T(C) \longrightarrow C \qquad \struck{\ill{}} \qquad \text{pour } C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda} \tag{3.4} \end{equation} i.e. \begin{equation} R^{\lambda}_{T} \longrightarrow \mathrm{Hom}(T(C), C) \tag{3.5} \end{equation} (3.5) est écrit au-dessus d'une ligne biffée : « Notons les foncteurs (définissant 3., » ; le numéro (3.5) est repris deux lignes plus bas (qui est un \lambda-foncteur) Bien entendu, la catégorie R^{\lambda}_{T} dépend de I des \lambda-foncteurs quand I est donné avec T, on a \begin{equation} I \longrightarrow \mathrm{Ob}\,R^{\lambda}_{T} \qquad (\text{fonctoriel en } T \in \mathrm{Ob}(\lambda\text{-}I\text{-types})) \tag{3.5} \end{equation} un mot encerclé et biffé devant la parenthèse en marge gauche, verticalement : Notons aussi, de , (3.7) T(C) \to ; (3.8) les foncteurs (R^{\lambda}_{T}, C) , \mathrm{Hom}((\mathrm{Cat}_{\lambda} \ldots) R^{\lambda} définis \mathrm{Hom}_{\lambda}(R^{\lambda}_{T}, C) T(C) \mathrm{Hom}(R^{\lambda}, C) [4]Théories \lambda-représentables ~~(3.4)~~ « Vu redonnons (2.2), et dont la donnée équivaut à (2.3) i.e. (2.2) pour tt C » : deux lignes écrites en petit entre l'alinéa [3] et le titre de [4] On dit que T est \lambda-représentable si ~~la catégorie~~ la catégorie 2-cofibrée T_{\lambda} sur (\mathrm{Cat}_{\lambda}) est 2-repr., l'objet R_{T} qui la représente est appelé catégorie \lambda-modelaire de T : \begin{equation} T(C) \cong \mathrm{Hom}_{\lambda}(R_{T}, C) \tag{4.1} \end{equation} via une ~~objet~~ T-structure \lambda-universelle \begin{equation} \xi^{\lambda}_{T} \in T(R_{T}) \tag{4.2} \end{equation} en marge gauche, en diagonale : (qui dans la cat. 2-cofibrée (\mathrm{Cat}_{\lambda}) 2-représentable R^{\lambda}_{T} )

author's p. ③ On sait que R_{T} est défini à équivalence près (unique à isom. unique près), et que pour toute catégorie cofibrée \mathcal{F} sur (\mathrm{Cat}_{\lambda}), on a une équivalence de catégories (unique à isom. unique près) \begin{equation} \mathrm{Hom}_{\mathrm{fib}/(\mathrm{Cat}_{\lambda})}(T_{\lambda}, \mathcal{F}) \cong \mathcal{F}(R_{T}) \tag{4.3} \end{equation} Faisant \mathcal{F} = T'_{\lambda}, on trouve \begin{equation} \mathrm{Hom}_{\lambda}(T, T') \cong T'(R_{T}) \qquad (\text{unique à isom. unique près}) \tag{4.4} \end{equation} l'indice de Hom, d'abord « fib.Cat », est biffé et remplacé par \lambda et faisant en particulier T' = \tau, on trouve \begin{equation} \struck{(4.5)}\qquad \mathrm{Hom}_{\lambda}(T, \tau) \cong \tau(R_{T}) = R_{T} \end{equation} sous le membre de gauche, relié par un trait : « défn R^{\lambda}_{T} » ; à droite : « d'où » \begin{equation} R_{T} = R^{\lambda}_{T} \quad (\text{catégorie des } \lambda\text{-constructions}) \tag{4.5} \end{equation} ~~( près) (3.8). Faisant~~ deux lignes biffées Donc, dans le cas envisagé ici, la cat. des \lambda-constructions est une \mathcal{U}-cat.

Faisant C = (\mathrm{Ens}) dans (4.1), on trouve \begin{equation} T(\mathrm{Ens}) \cong \mathrm{Hom}_{\lambda}(R^{\lambda}_{T}, (\mathrm{Ens})) \quad \struck{\cong (R^{\lambda}_{T})^{\circ} \ldots} \tag{4.6} \end{equation} [Si T n'est pas \lambda-représentable, on a seulement (mod équivalence), ] la ligne est cancellée d'un trait ondulé

[5]Je veux préciser quelles sont les catégories (cofibrées sur \mathrm{Cat}_{\lambda} (resp. munies d'un hom dans \lambda^{I}) sic ; on attend \tau^{I}) qui proviennent des « théories de type de structures » au-dessus : relatifs à \lambda — donc explicites une définition de la cat. (\lambda-types) (1.5) ~~précises~~ On va d'abord préciser un I et regarder les \lambda-types sur I. On va préciser les règles de formation : en marge gauche : On introduit S^{\lambda}_{T,I} \subset R^{\lambda}_{T} (la sous-catégorie pleine engendrée par \lambda-lim des I ) a)(structure vide) On a, pour I \in \mathcal{U}, \tau^{I} \in \mathrm{Ob}(\lambda\text{-}I\text{-types}) b)(Rajouter des axiomes) () si T est un (\lambda-type) sur I, et A une partie de \mathrm{Fl}(S^{\lambda}_{T,I}) (\subset \mathrm{Fl} (R^{\lambda}_{T})), alors la sous-catégorie 2-cofibrée pleine T'_{A}(C) ~~\subset~~ (C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}) formée des \xi \in T(C) tels que (3.3) transforme A en des isom, est un \lambda-I-type.

NB peut-être faut-il aussi se donner d'égalisation des couples de flèches… en bas à gauche : « 2 possibilités … »

author's p. ④

c)(Rajouter des données — flèches) Si T est un \lambda-Type sur I et si on se donne B et une application B \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Ob}\,S^{\lambda}_{T,I} \times \mathrm{Ob}\,S^{\lambda}_{T,I} [donc avec des familles B_{\rho,\sigma} d'ens disjoints , indexés par les couples d'objets de S^{\lambda}_{T,I}], alors la catégorie cofibrée sur (\mathrm{Cat}_{\lambda}) suivante est un \lambda-I-type : T_{B,\alpha}(C) = ~~\prod_{\rho,\sigma} \mathrm{Hom}_{C}(\ldots)~~ catégorie des \begin{cases} \text{couples } (\xi, (u_{\rho,\sigma})_{\rho,\sigma \in \mathrm{Ob}\,S^{\lambda}_{T,I}}) \\ \text{avec } \xi \in \mathrm{Ob}\,T(C) \text{ et } u_{\rho,\sigma} \in \mathrm{Hom}_{C}(\rho(\xi), \sigma(\xi)) \\ (\forall \rho, \sigma \in \mathrm{Ob}\,S^{\lambda}_{T,I}) \end{cases} d) (Composition de structures) Si on a une famille (T_{j})_{j \in J} de \lambda-types sur I, J petit, alors la catégorie cofibrée sur (\mathrm{Cat}_{\lambda}) suivante est un \lambda-I-type : \struck{\prod}\ \prod_{I}((T_{j})_{j \in J})(C) = \text{produit } \uncertain{\text{2-}}\text{fibré des } T_{j}(C) \text{ sur } C^{I}

Définition 5.1 La 2-catégorie des \lambda-I-types est, par définition, la sous-2-catégorie 2-pleine de ~~Cat~~ \text{2-Cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda})/\tau^{I} ~~cat. déf.~~ la plus petite qui soit stable par les op. a) b) c) d).

NB On peut en donner une construction transfinie.

Question 5.1 ~~La 2-catégorie~~ Les ~~catégories~~ I-cat. cofibrées sur (\mathrm{Cat}_{\lambda}) qui sont des \lambda-I-types sont-elles exactement celles qui sont \lambda-représentables par un R^{\lambda}_{T} \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}, munies d'un I \to \mathrm{Ob}\,R^{\lambda}_{T} tel que ~~\mathrm{Ob}\,R~~ \mathrm{Ob}\,R soit la plus petite partie de \mathrm{Ob}\,R stable les \lambda-limites.