Cote n° 161-2, pages 81–100

Cote n° 161-2 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Algèbre universelle [ou catégories] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1973]
Édition de démonstration

81la page est écrite sur deux colonnes ; la colonne de gauche d'abord

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
  \text{Thé}_{\Delta} \arrow[r, bend left=20, "\rho"] & \Delta \arrow[l, bend left=20, "\sigma"']
\end{tikzcd}

sous \(\sigma\) : « 2 fidèle »

\[ \sigma(R) = (C \mapsto \mathrm{Hom}(R, C)) \] On a \(\mathrm{Hom}(\sigma(R), T) \simeq T(R)\), en particulier \(\mathrm{Hom}(\sigma(R), \tau) \simeq \tau(R) = R\) sous \(\mathrm{Hom}(\sigma(R), \tau)\), relié par un double trait : \(\rho\sigma(R)\), donc \(\rho\sigma(R) \simeq R\) et \(\sigma\) est 2 fidèle [général dans tout 2-cat.]

colonne de droite \(\rho(T) = B_{T}\) cat. des constructions sur \(T\) \(= \mathrm{Hom}(T, \tau)\). On demande que \(\rho(T) \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) pour tout \(T\), et que si \(T \to T'\), alors \(\mathrm{Hom}(T', \tau) \to \mathrm{Hom}(T, \tau)\) sous le membre de gauche : \(\rho(T')\) soit une flèche de \(\Delta\). \underline{NB} \(\rho\) défini en termes des 2-foncteurs \(\Delta \xrightarrow{\ \tau\ } (\mathrm{Cat})\) i.e. la 2-catégorie cofibrée « fonctorielle » \(\tau\) sur \(\Delta\)…

\(\mathrm{Hom}_{\Delta}(R, R') \simeq\) \[ \mathrm{Hom}(\sigma(R), T) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\Delta}(\rho(T), R) = (\sigma(\rho(T)))(R) \] au-dessus du membre de gauche, relié par une flèche : \(\approx T(R)\) ; sous le \(R\) final, par un double trait : \(\rho\sigma(R)\) ; en regard à droite, sous une accolade marquée \(\Delta\) : \(T(R) \times \rho(T) \to R\) est-ce une équivalence ? Réponse : pour \(\forall R\) ssi \(T\) 2-repr. par \(\rho(T)\).

\(\sigma\rho(T) \to T\) encerclé : « can. à isom. canonique près » \(\mathrm{Hom}(\sigma\rho(T), T) \simeq T(\rho(T))\), peut-on décrire un objet à isom. unique près dans \(T(\rho(T))\) ??

encadré : \(T \to \sigma\rho(T)\).

C'est le morphisme universel des \(I\) objets pour […]. Théorème \(X\) 2-repr[…] […], on \(\mathrm{Hom}(T, \sigma(R)) \to\) […] un bloc de quatre lignes en bas de page, encadré puis biffé en diagonale

82\(\Delta\) (\(\in \mathrm{Cat}_{d}\)) \(\subset \mathrm{Cat}\).

en haut à droite : Question des générateurs de \((\mathrm{Cat}_{\Delta})\). On ne se soucie pas que les objets généraux de \(\Delta\) en aient, mais ceux qui définissent des théories algébriques, oui…

(1)Pour \(I \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat})\) (\(I\) petit ?), le 2-foncteur […] \(C \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(I, C)\) est 2-représentable [l'objet qui le 2-représente, soit \(\tilde{I}\), est « la » \(\Delta\)-enveloppe de \(C\)] sic ; lire sans doute \(I\) (voir \(\Delta\)-enveloppe de \(C\) ?) : \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(I, C) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(\tilde{I}, C) \] (i.e. l'inclusion \(\Delta \to \mathrm{Cat}\) admet un 2-adjoint à gauche) Pour […] \(I \mapsto \tilde{I}\) est un 2-foncteur \((\mathrm{Cat}) \to \Delta\).
(2)Pour \(J \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) et \(\Sigma \subset \mathrm{Fl}(J)\) (\(\Sigma\) petit), le 2-foncteur \(C \mapsto \mathrm{Hom}_{\Delta}(J, C; \Sigma) = \) sous-catégorie pleine de \(\mathrm{Hom}_{\Delta}(J, C)\) formée des \(u : J \to C\) tels que \(u(\alpha)\) inv. pour tt \(\alpha \in \Sigma\), est 2-représentable (par une catégorie notée \(J^{-1}_{\Sigma}\) ou \(J\Sigma^{-1}\)).

\underline{Conséquence} : Existence de 2-limites inductives dans \(\Delta\), pour un pseudo-foncteur \(I \to \Delta\), \(i \mapsto A_{i}\).

Soit en effet \(D = \varinjlim_{i, (\mathrm{Cat})} A_{i}\) [dans \((\mathrm{Cat})\)], avec \(\alpha_{i} : A_{i} \to D\) dans \((\mathrm{Cat})\), des tels pour [pour \(C \in \mathrm{Ob}\,\Delta\)] \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(D, C) \xrightarrow{\ \approx\ } \varprojlim \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(A_{i}, C) \] sous le membre de gauche : \(L(C)\) ; au-dessus du membre de droite : « dans Cat » dans […] « est » les sous-catégories pleines des Hom \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(D, C)\) […] \(\varprojlim \mathrm{Hom}_{\Delta}(A_{i}, C)\)) des \(D \xrightarrow{u} C\) tels que \(\forall i\), \(u \circ \alpha_{i} : A_{i} \to C\) est dans \(\mathrm{Hom}_{\Delta}(A_{i}, C)\), […] ou encore la sous-catégorie des \(\mathrm{Hom}_{\Delta}(\tilde{D}, C)\) [des \(\tilde{u} : \tilde{D} \to C\)] tels que pour \(\forall i\), […] soit \(\tilde{u} \circ \tilde{\alpha}_{i} \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Hom}_{\Delta} (A_{i}, C)\), […] où \(\tilde{\alpha}_{i}\) est le composé \(A_{i} \xrightarrow{\alpha_{i}} D \xrightarrow{\mathrm{can}} \tilde{D}\). Or les conditions

83[« \(\tilde{u} \circ \tilde{\alpha}_{i}\) sont \(\Delta\)-foncteurs »] s'expriment par la condition de rendre inversibles certaines flèches \(\Sigma\) de \(\tilde{D}\) [du moins si […] les \(\Delta\)-foncteurs sont définis par des prop. de commutation à certains types de \(\varprojlim\) qui existent dans toutes les cat. éléments de \(\Delta\)]. Il n'est pas clair qu'on puisse se ramener au cas \(\Sigma\) petit (si les \(A_{i}\) ne sont pas petits…), ce qui n'est guère le cas que si les types de diagrammes \(d'\), \(d''\) par rapport auxquels on veut prendre des \(\varprojlim\) et \(\varinjlim\) et y commuter sont petits) ; donc il faut alors travailler avec des sous-catégories « génératrices » petites, en un sens convenable…

\underline{NB} construction des 2-limites dans \((\mathrm{Cat})\) : elle est faite dans SGA 4 VI en prenant la catégorie totale de la 2-catégorie cofibrée envisagée et en rendant inversibles les morphismes cartésiens.

un trait horizontal sépare ce qui suit

\underline{« Théorie » \(T\) sur \(\Delta\)} : 2-catégorie cofibrée sur \(\Delta\) i.e. 2-pseudofoncteur \(\Delta \xrightarrow{\ T\ } \mathrm{Cat}\). Ils forment une 2-catégorie \(\text{Thé}(\Delta)\). Dedans, on a \(\tau \in \mathrm{Ob}\,\text{Thé}(\Delta)\), \(\tau(C) = C\). On pose \(\mathrm{Hom}(T, \tau) = B_{T}\) catégorie des constructions des […]. \underline{NB} Si \(T\) est 2-représenté par \(R \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), \(T(C) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C)\), alors on a [Équiv.] pour \(\forall\) Théorie \(T'\) sur \(\Delta\) \[ \mathrm{Hom}(T, T') \simeq T'(R) ; \] en particulier \(B_{T} = \mathrm{Hom}(T, \tau) \simeq \tau(R) = R\),

84ce qui explique en particulier que \(B_{T} \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) (si \(\Delta\) est défini par des propriétés d'exactitude, cela est clair, car dans \(B_{T} = \mathrm{Hom}(T, \tau)\) les \(\varprojlim\) du type \(d'\), \(d''\) se construisent argument par argument). Mais il y a un « grain de sel », c'est qu'il n'est pas clair que \(B_{T}\) soit une \(\mathcal{U}\)-catégorie. La description de \(B_{T}\) qui est la plus brutale ; on va définir pas à pas une catégorie \(B'_{T}\) de « constructions explicites » (sic) pour une catégorie [théorie] algébrique \(T\), pourvu […] on construit cette notion de théorie algébrique. Mais on […] aussi que \(B'_{T} \in \mathrm{Ob}\,\Delta\).

en marge gauche, au niveau de a) : il faut aussi préciser les axiomes des types « flèches rendues égales » (ceci ne résulte pas des précédents si on suppose p. ex. \(d' = d'' = \emptyset\)) ; encerclé au-dessous : égalité de flèches

en travers de la marge gauche, en diagonale, une note de sept lignes dont seuls des fragments se lisent : […] d'axiomes : […] de […], dans l'[…] on fait […] objets de base, mais on peut […] aussi […] (d) […]

a)\underline{Structure vide sur \(I\) objets} : correspond à […] la « théorie » \(\tau^{I}\). Elle est représentable par la catégorie discrète \(I\) Les objets de \(\tilde{I}\) sont sans doute obtenus la \(\Delta\)-enveloppe \(\tilde{I}\) de la catégorie discrète \(I\). On pose \(B'_{\tau^{I}} = \tilde{I}\). On peut expliciter \(\tilde{I}\) (si \(\Delta\) défini par ex. par des cond. d'exactitude) en […] prenant \(\varprojlim\) de type \(d\) à partir des objets \(i\), et des nouvelles flèches grâce aux axiomes d'exactitude ou inverses des […] d'exactitudes […] une ligne biffée
b)\underline{Structure déduite d'une structure \(T\)} (avec cat. des constructions explicites \(B'_{T}\)) \underline{en ajoutant} en ajoutant des flèches \(\Sigma\) [des axiomes] : « un ensemble \(\Sigma\) de flèches de \(B'_{T}\) doivent être rendues inversibles » : \(B'_{T'} = B'_{T}\Sigma^{-1}\) (dans \(\Delta\)). \underline{NB} Si on \(T\) est 2-rep. par \(R\), alors \(B'_{T} \simeq R\), donc \(B'_{T'} \simeq R'\) […] \(T'\) rep. par \(R'\) […] deux lignes biffées \underline{Re NB} Si on a foncteur fidèle \(T \to \tau^{I}\), le composé \(T' \to T \to \tau^{I}\) aussi.
c)\underline{Structure déduite d'une structure \(T\)} ((\(T' \to T\) pl. fid.)) \underline{en ajoutant des flèches} (nouvelles données) : \(\forall x, y \in B'_{T}\), un \(H_{x,y}\) On se donne \(H\) un ensemble d'indices, et \(H \to \mathrm{Ob}\,B'_{T} \times \mathrm{Ob}\,B'_{T}\), \(h \mapsto s(h)\), \(h \mapsto b(h)\), et on pose \(T'(C) = \) catégorie des objets \(x\) de \(T(C)\), munis d'une « opération » \(\varphi\) [de] \(H\) dans \(\mathrm{Fl}(C)\) telle que \(\forall h \in H\), \(\varphi(h) : s(h)(x) \to b(h)(x)\). en marge droite : NB On n'introduit pas de nouveaux objets, […] […] aussi dans une structure objet de base et un ensemble d'[…] !

85\(B'_{T'}\) est obtenu à partir de \(B'_{T}\) en rajoutant les flèches \(H\) — d'où catégorie, pas néc. \(\in \Delta\) — […] \((B'_{T}, H, s, b)\) (enveloppe d'un type de diagramme) et, en prenant la \(\Delta\)-enveloppe, soit \(B'^{0}_{T'}\) (au sens \(\Delta\)), en y « rendant inv. » les flèches qui expriment que le composé \(B_{T} \to B'^{0}_{T'} \to C\) est un \(\Delta\)-foncteur. sous la première flèche : « foncteur can (pas néc. un \(\Delta\)-foncteur) » ; sous la seconde : « \(\Delta\)-foncteur »

\underline{NB} Si \(T\) rep. par \(R\), alors [\(R\)] et \(B'_{T} \simeq R\), alors \(T'\) est rep. par \(B'_{T'}\) rep. par \(R'\) déduit de \(R = H_{R}\) (\(= H\), \(s_{R}\), \(b_{R}\), où \(s_{R}\), \(b_{R}\) déduits de \(s\), \(b : H \to \mathrm{Ob}\,B'_{T}\) en comp. avec […]). \underline{Re NB} \(T' \to T\) fidèle, donc si on a un foncteur fidèle \(T \to \tau^{I}\), le composé aussi.

d)[composition de structures] Si on a des théories \(T_{\alpha}\), avec \(B'_{T_{\alpha}}\), alors la théorie \(T = \prod T_{\alpha}\) : \(C \mapsto \prod T_{\alpha}(C)\) est une structure algébrique ; \(B'_{T} = \) 2-Somme des \(B'_{T_{\alpha}}\) dans \(\Delta\). \underline{NB} Si les \(T_{\alpha}\) rep. par les \(B'_{T_{\alpha}}\), alors \(T\) rep. par \(B'_{T}\). \underline{Re NB} Si \(T_{\alpha} \to \tau^{I_{\alpha}}\) fidèles, alors \(T \to \tau^{I}\) fidèle, où \(I = \bigsqcup I_{\alpha}\). en marge droite : […] insuffisant

Si on préfère ne pas changer en cours de route des objets de base, on peut vouloir se restreindre aux compositions de structures avec objets de base fixés :

d')Si on a des théories \(T_{\alpha}\) fidèles sur \(\tau^{I}\) \(\varphi_{\alpha} : T_{\alpha} \to \tau^{I}\), alors le produit 2-fibré des \(T_{\alpha}\) sur \(\tau^{I}\), \[ T'(C) = \prod^{(2)}_{\alpha, C^{I}} T_{\alpha}(C) \] (fidèle sur […]). On pose \(B'_{T'} = \) […] somme amalgamée des \(B'_{T_{\alpha}}\) sur \(B'_{\tau^{I}} = \tilde{I}\). \underline{NB} Si les \(T_{\alpha}\) rep. par les \(B'_{T_{\alpha}}\), \(T\) l'est par \(B_{T}\). \underline{Re NB} […] […] \(T_{\alpha} \to \tau^{I}\) fidèles, alors \(T' \to \tau^{I}\) est fidèle.

86On peut passer à l'autre extrême :

d'')\(\varprojlim\) de théories (sans conditions particulières)… \(\leftarrow\) Il suffirait de le postuler pour une cat. d'indices bien ordonnée…

\underline{Remarque 1} On ne rencontre à aucun moment des théories 2-représentables par \(B_{T}\), où \(B_{T} = R\) admet une petite […] n'admet pas une sous-catégorie génératrice « faite » par \(I \to \mathrm{Ob}\,R\), i.e. telle que \(\forall C \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), \(\mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C) \to\) Hom \(C^{I}\) fidèle. Remarque

\underline{Remarque 2} Soit réciproquement \(R \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), avec \(\Delta\)-générateurs \(I \to \mathrm{Ob}\,R\). On va prouver que […] Soit Munissons \(T_{0}\) rep. par \(R_{0} = \tilde{I}\)

1°)\(R\) petite. On prend \(I = \mathrm{Ob}\,R\), ou plutôt […], \(T_{0} = \tau^{I}\) ; \(B'_{T_{0}} = \tilde{I} = R_{0}\). On prend ensuite \(H = \mathrm{Fl}(R)\), qui va dans \(\mathrm{Ob}\,R_{0} \times \mathrm{Ob}\,R_{0}\) au-dessus : \(I \times I\) par le composé \(H \to \mathrm{Ob}\,R \times \mathrm{Ob}\,R \to \mathrm{Ob}\,R_{0} \times \mathrm{Ob}\,R_{0}\), d'où \(T_{1}\), \(R_{1}\) avec \(R_{0} \to R_{1}\), \(T_{1} \to T_{0}\) fid en marge, verticalement : \(I \to R_{0}\). On exprime ensuite que les composition des flèches de \(R\) deviennent la comp. des flèches des \(R_{1}\) i.e. l'application « préfoncteur » \(R \to R_{1}\) devient un foncteur. On trouve ainsi \(T_{2}\), \(R_{2}\), \(R_{1} \to R_{2}\), où \(R_{2} = \tilde{R}\) (\(T_{2}(C) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(R, C)\)). On exprime enfin que les foncteurs \(R \to R_{2}\) devient un \(\Delta\)-foncteur, [i.e. commutent à certains types de \(\varprojlim\)] en écrivant que certaines flèches de \(R_{2}\) deviennent inversibles, d'où \(T_{3}\), \(R_{3}\), \(R_{3} = R\). [\underline{NB} On a appliqué 1 fois par a), une fois par c), deux fois par b), et pas du tout d).] en marge gauche, en diagonale, deux notes dont seuls des fragments se lisent : […] \((\mathrm{Cat}_{d})\) […] \(I\) petit […] \(\mathrm{Hom}(J, C)\) […] \(\varprojlim\) […] théorie […] — et : on utilise ici […] \(\Delta\)-foncteurs […] il faut inversibles […] les \((\mathrm{Cat}_{d})\) […] 3.) Soit \(C \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), \(C^{I}\) […] fid. […]
2°)\(R\) quelconque, mais avec \(I \to \mathrm{Ob}\,R\) « générateurs », plus précisément : Soit \(\rho_{0}\) la sous-catégorie pleine de \(R\) engendrée par \(I\). On a \[ \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C) \xrightarrow{\ \text{fid}\ } \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(\rho_{0}, C) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(\tilde{\rho}_{0}, R) \] sic pour le dernier \(R\), où l'on attend \(C\) ; sous une accolade au-dessous : « Théorie \(\rho_{0}\) »

87et prenant \(\tilde{\rho}_{0}\) Considérons \(R_{0} = \tilde{\rho}_{0} \to R\) et les flèches qui deviennent des isom., soit \(\Sigma\), […] \(\tilde{\rho}_{0}\Sigma^{-1}\). Soit […] \(\rho_{1} = R_{0} \Sigma^{-1}\) au-dessus : \(R_{1} = \rho_{1}\). Alors (\(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(R_{0}\Sigma^{-1}, C) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(R_{1}, C)\) […] 2° ?). \(R_{1} \to R\). On construit une suite transfinie de catégories \(R_{\alpha} \in \Delta\), et des \(R_{\alpha} \to R\) ; toutes les théories \(\sigma(R_{\alpha})\) sont algébriques (le passage aux lim ordinaux limites se faisant par le critère d ; ou d' !, au choix). On […] […] (dans Cat) une ligne biffée

en marge gauche : je ne sais s'il est 2-fidèle ?? pl. fidèle

4°)Soit \(R \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), et \(I \xrightarrow{u} R\) un foncteur […] (tel que \(\forall C \in \mathrm{Ob}\, \Delta\), le foncteur \(\mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C) \to \mathrm{Hom}_{\Delta}(R', C)\) fidèle […] (un ens. dit générateur) au-dessus, une correction : « foncteurs \(\Delta\)- » […]. Construisons, par une récurrence transfinie, de catégories \(R_{\alpha} \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) au-dessous : \(\rho_{\alpha} \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat})\) tel que les morphismes de transition \(R_{\alpha} \to R_{\beta}\) sont des \(\Delta\)-foncteurs, et les morphismes — foncteurs […] […] dans \(R\) par des \(u_{\alpha} : R_{\alpha} \to R\) (\(u_{\alpha} \in \mathrm{Fl}(\Delta)\)) au-dessus : \(u_{\alpha} : \rho_{\alpha} \to R\), en posant \(R_{0} = (\tilde{I}\), […] \(u_{0} : \tilde{I} \to R\) prolongeant \(u)\), \(\rho_{0} = R_{0}\), \(R_{\alpha+1}\) déduit de \(R_{\alpha} \to R\) en définissant \(\Sigma_{\alpha} = \) ens des flèches de \(R_{\alpha}\) qui deviennent inv. dans \(R\), \(R_{\alpha+1} = R_{\alpha}\Sigma^{-1}\) au-dessous : \(\rho_{\alpha+1}\) (au sens de \(\Delta\)), \(R_{\lim \alpha_{i}} = \varinjlim_{\Delta} R_{\alpha_{i}}\) (dans l'univers \(\mathcal{U}\)). en marge gauche, en diagonale : pourquoi […] \(R_{\alpha+1} = \) […] petit […] \(\rho_{\alpha+1}\) […] inversibles \(R_{\alpha}\Sigma^{-1}\) dans \(R\) […] (sous-cat. pleine de \(R\)) ; \(\rho_{\alpha+1} \to R_{\alpha+1} \to \rho_{\alpha+2} \to R_{\alpha+2}\)

Alors pour \(\alpha\) assez grand (dans l'univers \(\mathcal{U}\)) on a \(R_{\alpha} \xrightarrow{\ \sim\ } R\). \underline{NB} Pour un ordinal limite, on veut que \(\rho R_{\alpha} \to R\) soit conservatif ? Si les \(\Delta\)-foncteurs […] commutent aux noyaux (\(=\) quot. et cok.) dans le cas […] (i.e.), cela implique que les foncteurs \(R_{\alpha}\) sont pl. fid fidèles, donc les \(R_{\alpha}\) sont des sous-catégories. Pour \(\forall\) condition \(c\), si \(\alpha\) est plus élevé que \(c\), \(R_{\alpha}\) est stable sous les limites du type \(\delta' \in d'\) ou \(\delta'' \in d''\) pour \(\mathrm{card}(\delta')\), \(\mathrm{card}(\delta'') \leqslant c\). Donc si \(d'\) et \(d''\) sont petits en bas de page, en diagonale : on doit pouvoir prouver […] fidèle […] la question que […] pour […] : ça […], […] vrai […], si non grand […] la phrase reste inachevée ; la p. 88 est blanche

89demi-feuillet \(\lambda\) ens de diagrammes finis

\(R \in \mathrm{Cat}_{\lambda}\) […]

\[ \Sigma = R^{\circ}, \qquad S = \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, (\mathrm{Ens})) \subset \hat{\Sigma} \qquad\qquad \Sigma \subset S \subset \widehat{R^{\circ}} = \hat{\Sigma} \]

a)\(S\) admet des \(\varinjlim\) quelconques
b)\(S\) est « engendré » par ses objets « de type fini » [objets \(X\) tels que \(\mathrm{Hom}(X, -)\) commute aux \(\varinjlim\) filtrantes] i.e. si \(S_{0}\) est la sous-catégorie pl. de \(S\) formée de ces objets, alors \(S \to \hat{S}_{0}\) sous la flèche : « commutent aux \(\varprojlim\) quelc. et aux \(\varinjlim\) filtrantes » est conservatif [ou même pl. fidèle ?] [ou fidèle]
c)\(\Sigma \subset S_{0}\) et \(\Sigma\) engendre \(S_{0}\) par \(\varinjlim\) finies (resp. engendre \(S\) par \(\varinjlim\) quelc.)
d)Plus précisément, \(S_{0}\) est la catégorie stable par \(\varinjlim\) finies enveloppe de la \(\lambda\)-catégorie \(\Sigma\), et \(S\) est la \(\varinjlim\)-catégorie enveloppe de la \(\varinjlim_{0}\)-catégorie \(S_{0}\).

9. Relation avec « analyseurs » de Lazard

de sa main, seule ligne d'un feuillet blanc photographié avec le demi-feuillet de la p. 89 ; le nom se lit « Lazare »

90deux « dictionnaires » disposés en tableaux ; le premier sur deux colonnes, le second sur cinq colonnes qui se poursuivent p. 91. Chaque ligne du tableau est rendue par une liste dont les étiquettes nomment les colonnes : [T] type, [R] \(\lambda\)-catégorie, [S] \(\lambda^{\circ}\)-catégorie, [\(\tau\)] catégorie \(\tau\), [B] topos

\underline{Dictionnaire pour \(\lambda\) quelc} \([= (\lambda_{1}, \lambda_{2})]\)

{[T]}\(\lambda\)-théories, types Morphisme de structures types \(T_{\lambda} \to T'_{\lambda}\)
{[R]}\(\lambda\)-catégorie avec admettant (petite) famille \(\lambda\)-génératrice ; \(\lambda\)-foncteurs \(R^{\sharp} \to R\) le signe en exposant, ici et plus bas, se lit \(\sharp\)

{[T]}Morphisme pleinement fidèle […] Sous-théorie pleine \(T'_{\lambda} \subset T_{\lambda}\)
{[R]}\(\lambda\)-foncteur de localisation \(R^{\sharp} \to R'\) (p. r. à un ens. de flèches) […] ; Ens des flèches de \(R^{\sharp}\) stable par composition, et par \(\lambda\)-limites

{[T]}Morphisme fidèle \(T'_{\lambda} \to T_{\lambda}\) [« structure plus riche »]
{[R]}\(\lambda\)-foncteur \(f : R \to R'\) tel que \(f\) \(\lambda\)-engendre \(R'\) (épimorphisme ?)

{[T]}\(\lambda\)-structures [types] avec famille d'objets de base […] \((E_{i})_{i \in I}\)
{[R]}\(\lambda\)-catégorie \(R\) avec famille d'objets \(I \to \mathrm{Ob}\,R\) qui \(\lambda\)-engendre \(R\)

{[T]}\(\varprojlim\) de \(\lambda\)-théories
{[R]}\(\varinjlim^{(\lambda)}\) de \(\lambda\)-catégories

\underline{Dictionnaire} [multiple] \(\lambda = (\lambda_{1}, \emptyset)\)

{[T]}\(\lambda\)-type \(T\) ; \(T(C) = \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, C) = \mathrm{Hom}_{\lambda^{\circ}}(S^{\circ}, C) = \) \(\mathrm{Hom} (S, C)\) (si \(C\) admet \(\varprojlim\) quelc.) \(= \) sous-catégorie pleine de \(\mathrm{Hom}(C^{\circ}, \tau)\) formée des foncteurs \(u : C^{\circ} \to \tau\) commutant aux […] \(\mathrm{Hom}(x, -)\), \(x \in \mathrm{Ob}\,S\), […] représentables \(= \mathrm{Hom}_{\mathrm{top}} (C, B)^{\circ}\) (si \(C\) est un topos
{[R]}\(\lambda\)-catégorie \(R\) […] admettant petite famille \(\lambda\)-génératrice ; \(R = S^{\circ} = \mathrm{Pt\,ess}(B)\) entre parenthèses au-dessous : \(\mathrm{Cat}\) […] \(= \) […] […] ponctuels […] du topos \(B\)
{[S]}\(S\) (\(= R^{\circ}\)) \(\lambda^{\circ}\)-catégorie [avec] petite famille \(\lambda^{\circ}\)-génératrice ; \(S = R^{\circ} = \mathrm{Pt\,ess}(B)\)
{[\(\tau\)]}Catégorie \(\tau\) avec \(\varinjlim\) filtrantes (et \(\varprojlim\) quelc.) munie d'une sous-catégorie génératrice \(S\) (pour foncteurs cons.) [et même pl. fid.] stable par \(\lambda^{\circ}\) lim limites, formée d'objets \(A\) de prés. finie (i.e. \(\mathrm{Hom}(A, -)\) commute aux \(\varinjlim\) filtrantes) ; \(\tau = \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, \mathrm{Ens}) = T(\mathrm{Ens})\) ; \(S = \mathrm{Hom}_{\lambda^{\circ}}(S^{\circ}, \mathrm{Ens})\) (\(= \mathrm{Ind}(S)\) si \(\lambda_{1} = \) tous les diagrammes finis) ; \(\tau = \mathrm{Pt}(B)^{\circ}\) ; \(S = \mathrm{Pt\,ess}(B)^{\circ}\) ; (plutôt les diagrammes filtrants […]) \(B = \) topos classifiant pour \(T\)
{[B]}[…] trois lignes biffées Topos \(B\) ayant suffisamment de pts essentiels, et dont la cat. des pts ess. est stable par \(\varinjlim\) […] ; \(B = \hat{R} = \mathrm{Hom}(S, \mathrm{Ens})\) […] (\(= \mathrm{Hom}(\tau, \mathrm{Ens})\) si \(\lambda_{1} = \) ts les diagr. finis

{[T]}morphisme \(T' \to T\)
{[R]}\(\lambda\)-foncteur \(R^{\sharp} \to R'\)
{[S]}\(\lambda^{\circ}\)-foncteur \(S \to S'\)
{[\(\tau\)]}foncteurs \(\tau^{\sharp} \to \tau\) […] […] \(\varinjlim\) finies dans […] un bloc biffé \(\varinjlim\) quelconques (donc ayant un adjoint […]) dont l'adjoint envoie \(S\) dans \(S'\) ; ou : foncteurs \(\tau \to \tau'\) commutant aux \(\varinjlim\) quelc. et envoyant \(S\) dans \(S'\)
{[B]}Morphisme de topos \(B' \xrightarrow{f} B\) […] \(f^{*}\) transforme objets ponctuels en objets ponctuels [déduit par localisation des \(B\) par rapport à un ens. de flèches des \(R \subset B\) […] objets ponctuels]

{[T]}morphisme pl. fidèle \(T' \to T\)
{[R]}\(\lambda\)-foncteur de localisation \(R^{\sharp} \to R'\)
{[S]}\(\lambda^{\circ}\)-foncteur de localisation \(S \to S'\)
{[\(\tau\)]}foncteur \(\tau' \to \tau\) […] pl. fidèle (ou foncteur \(\tau \to \tau'\) […] de localisation)
{[B]}Morphisme de topos \(B' \to B\) […] qui est un plongement i.e. \(f_{*} : B' \to B\) pl. fid.

{[T]}sous-théorie pleine des \(T_{\lambda}\)
{[R]}Ens des flèches \(M\) des \(R\) stable par comp. et par \(\varinjlim\) type \(\lambda\)
{[S]}Ens des flèches \(M'\) de \(S'\) stable par comp. et par \(\varprojlim\) type \(\lambda^{\circ}\)
{[\(\tau\)]}Sous-catégorie pleine stable par limites projectives […] qui est telle que \(\tau' = \) ens des objets \(X\) de \(\tau\) tels que pour […] […] avec \(\mathrm{Hom}(u, X)\) bij. pour tous \(Y \in \mathrm{Ob}\,\tau'\), on ait \(\mathrm{Hom}(u, X)\) bijectif
{[B]}Sous-topos \(B'\) de \(B\) tel que, si \(f : B' \to B\) est le plongement, \(f^{*}\) transforme objets ponctuels en objets ponctuels

{[T]}[…] morphisme fidèle de théories \(T' \to T\)
{[R]}\(R \to R'\) \(\lambda\)-engendre \(R'\)
{[S]}\(S \to S'\) \(\lambda\)-engendre \(S'\)
{[\(\tau\)]}\(\tau' \to \tau\) fidèle (ou plutôt ??) ou \(\tau \to \tau'\) \(\lambda\)-engendre \(S'\) […] induit \(S \to S'\) quasi-[…]
{[B]}\(f^{*} : B' \to B\) est fidèle l'exposant de \(f\) est douteux

{[T]}\(\varprojlim\) de \(\lambda\)-types \(T_{i}\)
{[R]}\(\varinjlim\) de \(\lambda\)-cat. \(R_{i}\)
{[S]}\(\varinjlim\) de \(\lambda^{\circ}\)-cat \(S_{i}\)
{[\(\tau\)]}\(\varprojlim\) de […] catégories \(\tau_{i}\) (au moins […] des […] ; mais […] si \(\lambda_{1} = \) tous les d. finis […])
{[B]}\(\varprojlim\) des topos

92brouillon rapide, écrit sur deux colonnes qui se répondent ; les raccords entre colonnes sont incertains

[…] un alinéa biffé Soit \(T\) l'espèce des structures « anneau » au-dessus : (anneau — […]), \(T^{\circ}\) l'espèce des structure « corps ». Celle des unions n'est pas définissable par \(\varprojlim\) (car la catégorie des corps (canoniquement) n'est pas stable par \(\varprojlim\), pas \(=\) par produits ([…])). Les sous-types pleins […] sont définissables par \(\varprojlim\) et le plus petit qui […] admettent par la sous-catégorie \(\tau'\) des […] […] \(\tau'\) de \(\tau\) […] : \(C \in \mathrm{Ob}\,\tau' \Longrightarrow \forall\) Hom. \(A \to B\) des \((\mathrm{Ens})\) tel que \(X = h(B) \to Y = h(A)\) soit bijectif : cad. si […] doubles triviales, \(\mathrm{Hom}(B, C) \to \mathrm{Hom}(A, C)\) bijectif.

Chaque tel \(C\) […] [\(\mathrm{Spec}\,C\) compact […], […] locaux […] corps) et les \(C\) […] l'hom. divisant \(/((xy-1)x, (xy-1)y)\) […] en \(x\) : [le réciproque […] la catégorie des \(\tau'\) pseudocorps […] est bijectif […] \(C\) est […] pseudocorps […] \(C\) réduit \(\Longrightarrow\) les anneaux locaux des \(C\) des […] qui transforment \(\mathbb{Z}[H] \to \mathbb{Z}[t, t^{-1}] \times \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}[x, y]\) […] transforme ([…] \((t, 0)\) resp. et […]) réciproque qui est nôtre, — donc […] \(\Longrightarrow\) alors des […]

[Mais le structure […] par \(\varprojlim\) et \(\varinjlim\), catégories satisfaisant […] convenables ?] Le sous-objet (commun) d'un catégorie […] par \(\varprojlim\) ou par \(\varprojlim\) […] premier cas, on est ramené dans \(R\) […] corps peut elle se définir des univers dans des conditions d'exactitude […] \(A^{*}\) (des éléments inversibles) d'un catégorie \(A\) le \(A\) est encerclé, peut-elle se définir en \(\varprojlim\) et \(\varinjlim\)) ? Dans le […] revenir au cas [où] l'objet \(R = (\mathrm{Ann})^{\circ}\) [\(= (\mathrm{Sch\,aff})\)] qui est l'objet \(\mathbb{Z}[t]\).

93de \(R\). […] objet dans \(R\) est un objet […] (Sch.aff), en fait \(\mathbb{Z}[t, t^{-1}]\) [sous-objet dans] \(\mathbb{Z}[t, t^{-1}] = \mathbb{Z}[x, y]/(xy - 1)\). Donc OK. […] […] ou \(\varprojlim\) finies […] Ceci dit, en […] par un objet \(A\) […] Un morphisme […] \(A^{*} \to A\), où […] est l'objet final. On pourra dire que \(A\) (dans une catégorie quelconque avec \(\varprojlim\) finies) est un objet corps si ce morphisme est un isom.

Plaçons nous p. ex. dans le topos universel […] \(\hat{R}\) […] (\(R \simeq \mathrm{Sch\,aff}\)) L'objet anneau \(O = E'_{\mathbb{Z}} = \mathrm{Sp}(\mathbb{Z}[t])\). Il faut donc rendre inversible la flèche […] \(O^{*} \to O\) (ce n'est pas (dans \(R\), \(D \to O\)) [i.e. le […]] n'est pas une flèche dans \(R\) !) (dans \(\hat{R}\), resp dans […]) de la flèche […] ; voit que cela implique […]

\(X \to Y\) dans \(R\) qui […] devient un […] classifiant \(B'\) […] (\(X \in \hat{R}\) […]) que […] \(f\) […] \(X \sqcup (V(f)) \to X\) dont […] un \(f\) […] \(X \xrightarrow{f} O = E'_{\mathbb{Z}}\) […] quotients de \(R\) par les […] (qui […] les \(\varprojlim\)) \(\to\) la catégorie ; qui est un morphisme […] ext. résiduelles triviales […] dans le nouveau topos […] \(X \in \hat{R}\) et \(f \in \Gamma(X, O_{X})\), est dans un […] précédents par objet […] Or la catégorie […] (par \(\varprojlim\) des flèches […] maintenant […] stable par […] complet toute la moitié inférieure de la page, sur les deux colonnes, est cancellée par de longs traits diagonaux ; ce qui s'en lit est donné ci-dessus

94qui sont […] monoïdes […] des relations de v.f. sur \(\mathbb{Z}\) ; Ce […] la catégorie des […] des relations […] ; qu'il […] schémas \(\mathbb{Z}\)] […] dans […] que \(B' = \hat{R'}\) […] Ainsi, \(B'\) — […] une factorisation bloc de sept lignes en haut de page, encadré et cancellé en diagonale

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\begin{tikzcd}
  e \sqcup O^{*} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, "j"'] & O \\
  D \arrow[ur, "i"'] &
\end{tikzcd}

rendre \(\varphi\) inversible revient à rendre \(D\) inversible (car un […] isomorphisme dans un topos est un […] […] Passons d'abord rendus les morphismes \(i\) (qui sont dans \(R\)) inversibles, […] si \(R'\) est […] la catégorie des fractions de \(R\) [i.e. la catégorie des […] associés à des relations de v.f. sur \(\mathbb{Z}\)], — […] le topos \(\hat{R'}\) (Corps ? […] pseudo-corps). Il faut ensuite rendre \(e \sqcup O^{\alpha} \to O\) l'exposant se lit \(\alpha\) un monomorphisme i.e. \(e \cap O^{*} \subset R \to R'\) est le […] vide ; […] crible […] des […] foncteurs \((\mathrm{Ens})\) […] ; idées, représent[…] donc il faut rendre […] […] dont \(f\) \[ \varepsilon(X) = \begin{cases} \emptyset & \text{si } X \neq \emptyset \\ \{e\} & \text{si } X = \emptyset \end{cases} \] \(\emptyset \to \varepsilon\) au-dessus de la flèche : \(\hat{R'}\) un […]

On trouve : si \(C\) est une catégorie avec \(\varprojlim\) finies et \(\varinjlim\) quelconques (réflex. — il faut […] des sommes finies ?) […] […] les \(\varinjlim\) finies, voire des sommes […] […] […] les « corps » dans \(C\) correspondent aux foncteurs \(F : R' \to C\) qui […] […] commutant aux […] exacts à gauche et aux sommes […] en marge gauche : bien préciser […] ; plus bas : […] des […] pointes […]

95la catégorie \(C\) avec \(\varprojlim\) (\(\varinjlim\) quelc.) universelles pour ceci est la catégorie des faisceaux sur \(R'\) pour la top. de Zariski (\(=\) foncteurs contravariants \(R \to \mathrm{Ens}\) \(+\) […] qui transforment sommes en produits […]) c'est un topos \(\circledast\) Le corps universel est le faisceau structural sur ce topos…

un trait horizontal […] précédente avec anneaux intègres. Soit \(O' \subset O\) le sous-type « qui opère régulièrement sur \(O\) », (\(O' \supset O^{*}\)) est-il définissable par \(\varprojlim\) et \(\varinjlim\) ? Comment […] […] ? Si Sch.ff […] est […] […] […] que […] […] […] quatre lignes dont la moitié est biffée

Dans le cas des […] universel d'un topos, \(O \in \hat{R}\), \(O'(X)\) est le sous-[…] ens des \(f \in A\) tels que \(f\) soit […] par \(A\) […] \(A \to A'\) ; \(A = O(X)\) […] des […] régulières, et les restes […] par \(A \to A'\) \(A\) […] il n'est pas […] […] \(f \notin M\) pour \(M \in \mathrm{Max}\,A\), donc \(O' = O^{*}\) ! Or sur \(\hat{R}\) est un anneau […] par voie […] qu'un tel […] […] c'est un corps, donc \(O'_{p} = O^{*}_{p}\) i.e. \(A' = A^{*}\) ! la p. 96 est blanche

97author's p. ① ; feuillets paginés ① à ④ de sa main, jusqu'à la p. 100, d'une écriture posée ; les alinéas sont numérotés dans des carrés

{[1]}Soit \[\begin{equation} \lambda = (\overleftarrow{\lambda}, \overrightarrow{\lambda}) \tag{1.1} \end{equation}\] un couple, où \(\overleftarrow{\lambda}\) et \(\overrightarrow{\lambda}\) sont des ens. de diagrammes de l'Univers fixé \(\mathcal{U}\). On veut préciser la notion des « structures algébriques définies par les à l'aide des \(\varprojlim\) de type \(\overleftarrow{\lambda}\), de \(\varinjlim\) de type \(\overrightarrow{\lambda}\) » (ou \(\lambda\)-types […]). \[\begin{equation} (\mathrm{Cat}_{\lambda}) = \text{2-catégorie} \tag{1.2} \end{equation}\] suivi d'une accolade ouvrant sur trois lignes :

objets \(=\) catégories […] ayant \(\varinjlim\) type \(\overrightarrow{\lambda}\), \(\varprojlim\) type \(\overleftarrow{\lambda}\) \(= \lambda\)-catégories
morphismes : foncteurs commutant aux \(\varprojlim\) et \(\varinjlim\) [des] type[s] […] : ces \(\lambda\)-foncteurs
morphismes de morphismes : comme dans \((\mathrm{Cat})\)

[de sorte que \(\mathrm{Cat}_{\lambda} \hookrightarrow (\mathrm{Cat})\) est 1-fidèle] Si \(T\) est une espèce de structure \(\lambda\)-type, i.e. une […] […] pour \(C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\) les la catégorie \(T(C)\) des structures de type \(T\) dans \(C\), et on trouve ainsi une catégorie cofibrée sur \(\mathrm{Cat}_{\lambda}\), soit \(T_{\lambda}\) \[\begin{equation} T_{\lambda} \text{ cat. cofibrée sur } \mathrm{Cat}_{\lambda} \tag{1.3} \end{equation}\] Si \(T'\) est une autre structure \(\lambda\)-type, on pose \[\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\lambda}(T, T') = \mathrm{Hom}_{\mathrm{fib\ sur\ }(\mathrm{Cat}_{\lambda})} (T_{\lambda}, T'_{\lambda}) \tag{1.4} \end{equation}\] et on voit que les \(\lambda\)-types forment une (2-cat) \[\begin{equation} (\lambda\text{-types}) \xrightarrow{\ \text{2-fidèle}\ } \text{2-Cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda}) \tag{1.5} \end{equation}\] la flèche est un crochet d'inclusion

{[2]}Si on se donne \(T\) avec « \(T\) structure sur \(I\) objets de base », on introduit la théorie \(\tau^{I}\) (structure vide sur \(I\) ens. de base) donnant lieu à la catégorie cofibrée sur \((\mathrm{Cat}_{\lambda})\) donnée par les \[\begin{equation} \tau^{I}(C) = C^{I} \tag{2.1} \end{equation}\] et on trouve des [pour tt \(C\) un] […] foncteur canonique « système des objets de base » à droite, entre crochets : et […] transposition \[\begin{equation} T_{\lambda}(C) \xrightarrow{\ b^{C,T}_{\lambda}\ } C^{I} \qquad [\text{foncteur 0-fidèle}] \tag{2.2} \end{equation}\] définissant pour \(C\) variable (0-fidèle) \[\begin{equation} b^{T}_{\lambda} : T_{\lambda} \longrightarrow \tau^{I} \tag{2.3} \end{equation}\]

98author's p. ② On définit, si \(T'\) est de \(=\) relatif à \(I\) \[\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\lambda}(I; T, T') = \text{catégorie des} \left(\text{morphismes } u : T_{\lambda} \to T'_{\lambda} \ \struck{\text{avec}}\ \text{isom. de } \struck{\text{commutation}}\ \alpha\right) \tag{2.4} \end{equation}\] au-dessus, en petit : « couples \((u, \alpha)\), avec… »

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\begin{tikzcd}
  T_{\lambda} \arrow[rr, "u"] \arrow[dr, "b^{T}_{\lambda}"'] & &
  T'_{\lambda} \arrow[dl, "b^{T'}_{\lambda}"] \\
  & \tau^{I} &
\end{tikzcd}

On a une foncteur 2-cat. \[\begin{equation} (\lambda\text{-}I\text{-types}) \hookrightarrow \text{Cat 2-cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda})/\tau^{I} \tag{2.5} \end{equation}\] et un 2-foncteur \[\begin{equation} (\lambda\text{-}I\text{-types}) \longrightarrow (\lambda\text{-types}) \tag{2.6} \end{equation}\] relié par un trait à (2.6) : qui est […]-fidèle.

{[3]}Si \(I\) est réduit à un élément, \(\tau^{I}\) est noté \(\tau\), donc \[\begin{equation} \tau(C) = C \tag{3.1} \end{equation}\] […] catégorie On pose \[\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\lambda}(T, \tau) \simeq R^{\lambda}_{T} \qquad \struck{(\text{ou } R_{T}(\ldots))} \tag{3.2} \end{equation}\] \underline{cat. des \(\lambda\)-constructions} pour \(T\). On […] ne sait pas à priori si \(R^{\lambda}_{T}\) est une \(\mathcal{U}\)-catégorie. Mais c'est une […] \(\lambda\)-catégorie, et les \(\lambda\)-limites se calculent « argument par argument », donc pour toute \(C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\) et \(\xi \in T(C)\), le foncteur \[\begin{equation} \xi^{\lambda} : R^{\lambda}_{T} \longrightarrow C \tag{3.3} \end{equation}\] au-dessus de (3.3) : « On. (pour définir (3.3)) » […] est un \(\lambda\)-foncteur. \[\begin{equation} R^{\lambda}_{T} \times T(C) \longrightarrow C \qquad \struck{\ill{}} \qquad \text{pour } C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda} \tag{3.4} \end{equation}\] i.e. \[\begin{equation} R^{\lambda}_{T} \longrightarrow \mathrm{Hom}(T(C), C) \tag{3.5} \end{equation}\] (3.5) est écrit au-dessus d'une ligne biffée : « Notons les foncteurs […] (définissant 3.[…], […] » ; le numéro (3.5) est repris deux lignes plus bas (qui est un \(\lambda\)-foncteur) Bien entendu, la catégorie \(R^{\lambda}_{T}\) dépend de \(I\) des \(\lambda\)-foncteurs […] quand \(I\) est donné avec \(T\), on a \[\begin{equation} I \longrightarrow \mathrm{Ob}\,R^{\lambda}_{T} \qquad (\text{fonctoriel en } T \in \mathrm{Ob}(\lambda\text{-}I\text{-types})) \tag{3.5} \end{equation}\] un mot encerclé et biffé devant la parenthèse en marge gauche, verticalement : Notons aussi, de […], […] (3.7) \(T(C) \to\) […] ; (3.8) […] les foncteurs […] \((R^{\lambda}_{T}, C)\) […], \(\mathrm{Hom}((\mathrm{Cat}_{\lambda} \ldots) R^{\lambda}\) […] définis […] \(\mathrm{Hom}_{\lambda}(R^{\lambda}_{T}, C)\) […] \(T(C)\) […] \(\mathrm{Hom}(R^{\lambda}, C)\) […]
{[4]}\underline{Théories \(\lambda\)-représentables} (3.4) […] « Vu[…] redonnons (2.2), et dont la donnée équivaut à (2.3) i.e. (2.2) pour tt \(C\) » : deux lignes écrites en petit entre l'alinéa [3] et le titre de [4] On dit que \(T\) est \(\lambda\)-représentable si la catégorie la catégorie 2-cofibrée \(T_{\lambda}\) sur \((\mathrm{Cat}_{\lambda})\) est 2-repr., l'objet \(R_{T}\) qui la représente est appelé \underline{catégorie \(\lambda\)-modelaire} de \(T\) : […] \[\begin{equation} T(C) \cong \mathrm{Hom}_{\lambda}(R_{T}, C) \tag{4.1} \end{equation}\] via une objet \(T\)-structure \(\lambda\)-universelle \[\begin{equation} \xi^{\lambda}_{T} \in T(R_{T}) \tag{4.2} \end{equation}\] en marge gauche, en diagonale : (qui […] dans la cat. 2-cofibrée […] \((\mathrm{Cat}_{\lambda})\) […] 2-représentable […] \(R^{\lambda}_{T}\) […])

99author's p. ③ On sait que \(R_{T}\) est défini à équivalence près (unique à isom. unique près), et que pour toute catégorie cofibrée \(\mathcal{F}\) sur \((\mathrm{Cat}_{\lambda})\), on a une équivalence de catégories (unique à isom. unique près) \[\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\mathrm{fib}/(\mathrm{Cat}_{\lambda})}(T_{\lambda}, \mathcal{F}) \cong \mathcal{F}(R_{T}) \tag{4.3} \end{equation}\] Faisant \(\mathcal{F} = T'_{\lambda}\), on trouve \[\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\lambda}(T, T') \cong T'(R_{T}) \qquad (\text{unique à isom. unique près}) \tag{4.4} \end{equation}\] l'indice de Hom, d'abord « fib.Cat », est biffé et remplacé par \(\lambda\) et faisant en particulier \(T' = \tau\), on trouve \[\begin{equation} \struck{(4.5)}\qquad \mathrm{Hom}_{\lambda}(T, \tau) \cong \tau(R_{T}) = R_{T} \end{equation}\] sous le membre de gauche, relié par un trait : « défn \(R^{\lambda}_{T}\) » ; à droite : « d'où » \[\begin{equation} R_{T} = R^{\lambda}_{T} \quad (\text{catégorie des } \lambda\text{-constructions}) \tag{4.5} \end{equation}\] […] ([…] près) […] (3.8). Faisant […] deux lignes biffées Donc, dans le cas envisagé ici, la cat. des \(\lambda\)-constructions est une \(\mathcal{U}\)-cat.

Faisant \(C = (\mathrm{Ens})\) dans (4.1), on trouve \[\begin{equation} T(\mathrm{Ens}) \cong \mathrm{Hom}_{\lambda}(R^{\lambda}_{T}, (\mathrm{Ens})) \quad \struck{\cong (R^{\lambda}_{T})^{\circ} \ldots} \tag{4.6} \end{equation}\] [Si \(T\) n'est pas \(\lambda\)-représentable, on a seulement […] (mod équivalence), […]] la ligne est cancellée d'un trait ondulé

{[5]}Je veux préciser quelles sont les catégories (cofibrées sur \(\mathrm{Cat}_{\lambda}\) (resp. munies d'un hom dans \(\lambda^{I}\)) sic ; on attend \(\tau^{I}\)) qui proviennent des « théories de type de structures » au-dessus : relatifs à \(\lambda\) — donc explicites une définition de la cat. (\(\lambda\)-types) (1.5) précises On va d'abord […] [préciser] un \(I\) et regarder les \(\lambda\)-types sur \(I\). On va préciser les règles de formation : en marge gauche : On introduit \(S^{\lambda}_{T,I} \subset R^{\lambda}_{T}\) (la sous-catégorie pleine engendrée par […] \(\lambda\)-lim des \(I\) […])

a)(structure vide) On a, pour \(I \in \mathcal{U}\), […] \(\tau^{I} \in \mathrm{Ob}(\lambda\text{-}I\text{-types})\)
b)(Rajouter des axiomes) ([…]) si \(T\) est un (\(\lambda\)-type) sur \(I\), et \(A\) une partie de \(\mathrm{Fl}(S^{\lambda}_{T,I})\) (\(\subset \mathrm{Fl} (R^{\lambda}_{T})\)), alors la sous-catégorie 2-cofibrée [pleine] \(T'_{A}(C)\) \(\subset\) (\(C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\)) […] formée des \(\xi \in T(C)\) tels que (3.3) transforme \(A\) en des isom, est un \(\lambda\)-\(I\)-type.

\underline{NB} peut-être faut-il aussi se donner […] d'égalisation des couples de flèches… en bas à gauche : « […] 2 possibilités […]… »

100author's p. ④

c)(Rajouter des données — flèches) Si \(T\) est un \(\lambda\)-Type [sur \(I\)] et si on se donne […] \(B\) et une application \[ B \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Ob}\,S^{\lambda}_{T,I} \times \mathrm{Ob}\,S^{\lambda}_{T,I} \] […] [donc avec des familles \(B_{\rho,\sigma}\) d'ens disjoints […], indexés par les couples d'objets de \(S^{\lambda}_{T,I}\)], alors la catégorie cofibrée sur \((\mathrm{Cat}_{\lambda})\) suivante est un \(\lambda\)-\(I\)-type : \(T_{B,\alpha}(C) = \) \(\prod_{\rho,\sigma} \mathrm{Hom}_{C}(\ldots)\) catégorie des \[ \begin{cases} \text{couples } (\xi, (u_{\rho,\sigma})_{\rho,\sigma \in \mathrm{Ob}\,S^{\lambda}_{T,I}}) \\ \text{avec } \xi \in \mathrm{Ob}\,T(C) \text{ et } u_{\rho,\sigma} \in \mathrm{Hom}_{C}(\rho(\xi), \sigma(\xi)) \\ (\forall \rho, \sigma \in \mathrm{Ob}\,S^{\lambda}_{T,I}) \end{cases} \]
d)[…] (Composition de structures) Si on a une famille \((T_{j})_{j \in J}\) de \(\lambda\)-types sur \(I\), \(J\) petit, […] alors la catégorie cofibrée sur \((\mathrm{Cat}_{\lambda})\) suivante est un \(\lambda\)-\(I\)-type : \[ \struck{\prod}\ \prod_{I}((T_{j})_{j \in J})(C) = \text{produit } \uncertain{\text{2-}}\text{fibré des } T_{j}(C) \text{ sur } C^{I} \]

\underline{Définition 5.1} La 2-catégorie des \(\lambda\)-\(I\)-types est, par définition, la sous-2-catégorie 2-pleine de Cat \(\text{2-Cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda})/\tau^{I}\) cat. déf. la plus petite qui soit stable par les op. a) b) c) d).

\underline{NB} On peut en donner une construction transfinie.

\underline{Question 5.1} La 2-catégorie Les catégories \(I\)-cat. cofibrées sur \((\mathrm{Cat}_{\lambda})\) qui sont des \(\lambda\)-\(I\)-types sont-elles exactement celles qui sont \(\lambda\)-représentables par un \(R^{\lambda}_{T} \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\), munies d'un \(I \to \mathrm{Ob}\,R^{\lambda}_{T}\) tel que […] \(\mathrm{Ob}\,R\) […] \(\mathrm{Ob}\,R\) soit la plus petite partie de \(\mathrm{Ob}\,R\) […] stable […] les \(\lambda\)-limites.