Fonds Grothendieck, cote n° 161-2, pages 61–80

la démonstration du corollaire qui ferme la p. 60 ; les Y, C, E_{\pi} sont ceux de la p. 60 Dém Soit \pi un cardinal infini tel que les objets de C soient \pi-accessibles. Je veux à prouver que la sous-catégorie E_{\pi} de E formée des objets \pi-accessibles est équiv. à une catégorie petite. ~~Je sais~~ Sps C stable par limites inductives finies (sinon on s'y ramène, C reste petite). Soit X un objet \pi-accessible, on a X = \varinjlim_{C/X} Y, et C/X est filtrant. (on a donc aussi X = \varinjlim_{I} X_{i}, où I ordonné filtrant, les X_{i} \in C) Soit J l'un des ~~sous-catégories~~ ensembles ordonnés filtr. de C/X de cardinal \leqslant \pi, alors J est grand devant \pi, et on a X = \varinjlim_{j \in J} Y_{j}, \qquad Y_{j} = \varinjlim_{I_{j}} \struck{\ill{}} Y_{i} . la seconde formule est écrite au-dessous de la première ; la lecture des indices est douteuse Comme X est \pi-accessible, l'identité X \xrightarrow{\ \sim\ } \varinjlim_{j \in J} Y_{j} = X se factorise par un Y_{j}, donc X est isom à un facteur direct d'un Y_{j}. Donc tout objet \pi-accessible est isom à un facteur direct d'un objet \varinjlim_{i \in I} Y_{i} (où I ens. ordonné) de card \leqslant \pi, relevant les Y_{i} dans C. ~~Ceci donne le résultat~~ une ligne et demie biffées, avec des mots surajoutés qui ne se laissent pas lire

bloc encadré, relié par un trait au passage précédent : ~~Y_{i,n} = Y_{i}, Y_{i,m}, Y_{j,m}~~ trouver ~~que~~ on \simeq pour tt objet de C (Cat stable par \varinjlim finies) \pi-accessible, limites des ~~systèmes inductifs filtrants~~ E_{\pi} est l'ensemble des foncteurs \varinjlim_{I} Y_{i}, les Y_{i} \in C, card I \leqslant \pi,

On va en conclure que ~~tt objet~~ X est limi une telle limite, ou encore que la catégorie filtrante C/X admet un ensemble cofinal de card \leqslant \pi. ~~Donc , la Y~~ Je dis que sous-catégorie F^{\pi}_{\uncertain{\pi}} de E formée des \varinjlim_{i \in I} Y_{i}, avec Y_{i} \in C, I ens. ordonné tel que Card I \leqslant \pi, est stable par \varinjlim de cardinal \leqslant \pi. Il suffit de prouver que c'est stable par facteurs directs (car ) puis aussi alors que F^{\pi} = E_{\pi}, et -pliques SGA 4 I 9.9. Donc il suffit de prouver que c'est stable par \varinjlim filtrantes dénombrables (disons) …

Compléments

titre souligné en tête de la p. 62, de sa main ; les alinéas sont numérotés de 1 à 4 dans des cercles, en marge

(1)Pb Pour R \in \mathrm{Ob}\,\Delta et I \to R, I cat. discr. caractériser la situation où cela correspond à une famille d'objets de base (indexée par I) pour une théorie algébrique T_{R}. (Il y a une caractérisation constructive transfinie : R est l'aboutissement d'une suite transfinie de catégories R_{\alpha} sur R, faisant une (pseudo) objet inductif de catégories ~~dans \Delta, avec~~ (1)R_{0} = I (2)R_{\alpha+1} déduit de R_{\alpha} soit en rendant inversible un petit ens. de flèches, soit en égalisant des couples de flèches, soit en ajoutant un petit ens. de flèches (3)R_{\alpha} = \varinjlim_{\beta < \alpha} R_{\beta} si \alpha ordinal limite.)

en travers de la marge, en diagonale :

NB 1 une ligne biffée se pose seulement si (d', d'') n'est pas « petit », ou du moins ne se ramène à un cas petit \mathcal{E}… Néanmoins, même si (d', d'') petits, la question de caractériser les I \to R, à partir d'une construction transfinie, se pose. Dans la définition récurrente des théories algébriques (cas d), il faut admettre des \varinjlim sur des ens. bien ordonnés … Il faudrait néanmoins prouver que rien à des I \to (R_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} satisfaisant la condition envisagée (disons « I \Delta-engendre R_{\lambda} ») dans l'un pourrait pas amalgamés des R_{\lambda} sous I dans \Delta.

NB 2 Soit \tilde{I} la (petite) sous-catégorie pleine de R engendrée par les objets \in I et les (image dans R des) sources et buts de toutes les flèches rajoutées au cours de la construction transfinie. Il est plausible que \forall C \in \mathrm{Ob}\,\Delta, \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(\tilde{I}, C) = T_{\tilde{I}}(C) au-dessus de la flèche : \simeq T_{R}(C), pour le membre de gauche est pleinement fidèle. Or T_{\tilde{I}} est une théorie algébrique. Il est plausible dès lors que T_{R} se déduit de T_{\tilde{I}} en rajoutant seulement des axiomes. Mais il ne s'ensuit peut-être pas de la forme en une

seule fois, mais qu'il faille remonter une construction transfinie.

Il y a donc des énoncés possibles pour caractériser les R \in \mathrm{Ob}\,\Delta tels que T_{R} soit une théorie algébrique :

1)\exists petite catégorie J, et ensembles \Sigma, ~~\Sigma'~~ de flèches de \tilde{J}, tels que R se déduit de \tilde{J} en rendant inv. les flèches de \Sigma (et égalisant couples de flèches de \Sigma'.) en regard, encerclé : + ens. \Sigma' de couples de flèches de \tilde{J} 2)~~\exists petite catégorie J, et~~ \exists ~~famille~~ pseudo-syst. inductif transfini (R_{\alpha}) dans \Delta, tels que (i)R_{0} = \tilde{J}, J petite cat. (ii)R_{\alpha+1} se déduit de R_{\alpha} en rendant inversibles un petit ens. de flèches, et égalisant un ens. petit de couples de flèches (iii)R_{\alpha} = \varinjlim_{\beta < \alpha} R_{\beta} si \alpha ordinal limite (iv)R_{\alpha} = R pour \alpha assez grand, \alpha \in \mathcal{U} (l'Univers). (2)Autre Pb : conditionner les théories algébriques par des propriétés intrinsèques (plutôt que par « constructibilité » via une suite transfinie de constructions, ou la représentabilité par un R tel que …). La seule condition (probablement pas suffisante) que je vois est : T commute aux 2-limites projectives de \Delta, i.e. : T transforme pl. fid (fid.) en idem, \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, C) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, T(C)) … le membre de gauche est écrit sans T ; le contexte demande T(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, C)) (3)Conditions d'exactitude généralisées (comme suggérées par Schanuel) : on donne \rho \to \sigma dans R et on demande sur C que \mathrm{Hom}_{\Delta}(\sigma, C) \to \mathrm{Hom}_{\Delta}(\rho, C) soit une équivalence (resp. pl. fidèle, resp. fidèle ?…). Cela inclut p. ex. rendre des flèches égales (cf. l'exemple 1-2). Les remarques sur l'existence de \varprojlim et \varinjlim dans \Delta ainsi obtenues restent applicables. (4)Changement de \Delta \subset \Delta'

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \text{Thé}_{\Delta'} \arrow[rr, "\text{restriction}"] \arrow[d] & & \text{Thé}_{\Delta} \arrow[d] \\ \mathrm{Thal}_{\Delta'} \arrow[rr, "\text{restr.}"] \arrow[d, no head, "\wr\|" description] & & \mathrm{Thal}_{\Delta} \arrow[d, no head, "\wr\|" description] \\ \Delta'_{\mathrm{al}} \arrow[rr] & & \Delta_{\mathrm{al}} \end{tikzcd}

2-foncteur d'où \Delta'-enveloppe. C'est défini ainsi \Delta' \to \Delta \qquad \rho_{\Delta', \Delta}

à droite du tableau, le cube dont il est la face de devant ; les verticales doubles portent une flèche dans chaque sens

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathrm{Th}_{\Delta'} \arrow[rrr] \arrow[dr] \arrow[dd, bend right=20] & & & \mathrm{Th}_{\Delta} \\ & \mathrm{Thal}_{\Delta'} \arrow[rrr] & & & \mathrm{Thal}_{\Delta} \arrow[ul] \arrow[dd, bend left=20] \\ \Delta' \arrow[rrr] \arrow[uu, bend right=20] & & & \Delta \\ & \Delta'_{\mathrm{al}} \arrow[ul] \arrow[uu] \arrow[rrr] & & & \Delta_{\mathrm{al}} \arrow[ul] \arrow[uu, bend left=20] \end{tikzcd}

Existence de \varprojlim et \varinjlim dans T(C) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C), pour T 2-représentable.

Soit \delta un type de diagrammes, tel que

a)Les \varprojlim (finies) de type \delta existent dans C b)Les \varprojlim de type \delta commutent, ~~pour tt C' \in \mathrm{Ob}\,\Delta~~ dans C, aux \varinjlim de type d (i.e. aux \varinjlim de type d'')

Alors les \varprojlim de type \delta existent dans T(C), et se calculent dans \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C) « argument par argument » (en d'autres termes, les foncteurs r_{c} : T(C) \to C associés aux constructions \Gamma_{c} commutent aux \varprojlim de type \delta).

De plus, pour un hom de théories T \to T', T(C) \to T'(C) commute aux \varprojlim de type \delta. Idem pour C \to C', C' satisfaisant les mêmes hyp. que C : T(C) \to T(C') commute aux \varprojlim de type \delta.

Donc, pour R, \in \Delta, et J \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}, \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, R) \in \Delta (au moins si J petite) \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, C)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C)) i.e. \boxed{\ T_{R}(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, C)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, T_{R}(C))\ } les lettres J et R de ces deux lignes sont repassées et surchargées ; la lecture J est celle du contexte

Faisons p. ex. C = (\mathrm{Ens}) (supposant (\mathrm{Ens}) \in \mathrm{Ob}\,\Delta !), J remplacé par J^{\circ} : T_{R}(\hat{J}) \simeq \mathrm{Hom}(J^{\circ}, T_{R}(\mathrm{Ens}))

Si C \to C' dans \Delta est pl. fidèle (resp. fid.) alors T(C) \to T(C') l'est aussi (pour T 2-repr.). et Si T \to T' est associé à R' \to R « \Delta-générateur » (tel que, donc, la sous-catégorie pleine \in \Delta de R' par laquelle se factorise soit \cong R] alors le diagramme

\begin{tikzcd} T(C) \arrow[r, hook] \arrow[d] & T(C') \arrow[d] \\ T'(C) \arrow[r, hook] & T'(C') \end{tikzcd}

est 2-cartésien.

[Cas particulier où T' = \tau^{I} … le feuillet ne porte que ce début de crochet

(4)le numéro, encerclé, est surchargé d'' = \emptyset : structures alg. définies seulement par \varprojlim : Faits particuliers : 1°)\exists \varprojlim quelc. dans les T(C), les T(C) \to T(C') y commutent, de même les T(C) \to T'(C) (T, T' 2-repr.), ainsi que les T(C) \to C (foncteurs constructions). 2°)

C \to \hat{C} est un \Delta-foncteur, (si (\mathrm{Ens}) \in \mathrm{Ob}\,\Delta) donc on trouve que (si T 2-repr. par R) T_{R}(C) \longrightarrow T_{R}(\hat{C}) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C^{\circ}, T_{R}(\mathrm{Ens})) sous T_{R}(\mathrm{Ens}) : S, avec un signe de répétition ; les indices R sont surchargés est pl. fidèle, et identifie T_{R}(C) à la sous-catégorie str. pleine de \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C^{\circ}, S) formée des \varphi : C^{\circ} \to S tels que, pour construction r \in R, d'où F : S \to (\mathrm{Ens}), F \circ \varphi : C^{\circ} \to (\mathrm{Ens}) soit repr. Et il suffit d'exiger cette condition pour r_{i} qui \Delta-engendrent (i.e. on a un diagramme 2-cartésien

\begin{tikzcd}[column sep=small] T(C) \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C^{\circ}, T(\mathrm{Ens})) \arrow[d, "\varphi \mapsto (\tilde{r}_{i} \circ \varphi)"] \\ C^{I} \arrow[r] & \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C^{\circ}, (\mathrm{Ens}))^{I} \end{tikzcd}

Donc T est connu (à équiv. près) quand on connaît S et les r_{i} : S \to (\mathrm{Ens}) [et on connaît alors T sur \tau^{I}…], ou de façon plus intrinsèque, si on connaît l'image de R dans \mathrm{Hom}(S, \mathrm{Ens}) = \widehat{S^{\circ}}.

3°)

On a S \cong \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, (\mathrm{Ens})) \subset \widehat{R^{\circ}}, et cette sous-catégorie contient R^{\circ} [car les foncteurs repr. cov. commutent aux \varprojlim !) donc \boxed{\ R^{\circ} \xrightarrow{\ \partial\ } S\ } la flèche est un crochet d'inclusion, marqué \partial et \xi au-dessus et le foncteur \tilde{r} : S \to (\mathrm{Ens}), associé à un r \in \mathrm{Ob}\,R est le foncteur que le représente dans S. Ainsi R est connu quand on connaît S et son image ens. des \mathrm{Hom}(S, \mathrm{Ens}) = \widehat{S^{\circ}}, car R \to \struck{\mathrm{Hom}}\, \widehat{S^{\circ}} est le composé R \xrightarrow{\ \partial^{\circ}\ } S^{\circ} \longrightarrow \widehat{S^{\circ}} de deux foncteurs pl. fid.

Ainsi S = T(\mathrm{Ens}) est muni d'une sous-catégorie str. pleine \Sigma, (\approx R^{\circ}) [formée des \varphi \in \mathrm{Ob}\,S tels que pour \forall C \in \mathrm{Ob}\,\Delta et tout \xi \in T(C), définissant \tilde{\xi} : C^{\circ} \to S, les composés \mathrm{Hom}(\varphi, \tilde{\xi}(x)) x \mapsto de C^{\circ} dans Ens soit représentables] la sous-catégorie \Sigma est stable dans S par \varinjlim (inductives) de type d', ~~et pour tout les ainsi~~ un équivalence explicite entre \Sigma^{\circ} et R. d'où un foncteur T(C) \to C,

4°)Soit \Theta l'une de toutes les catégories où les petits diagrammes, \Delta_{0} l'une catégorie ce qui suit est enfermé dans une accolade et traversé d'une longue diagonale que dans la définition de \Delta ne les \varprojlim de type \Theta' existent, Supposons ne figurent que des conditions de finitude, et sorte que \Delta_{0} \subset \Delta les. Donc la théorie T = T_{\Theta R} repr. pour pour \Delta_{0}, dont nous allons montrer ~~C \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{0},~~ Si c'est représentable, on ~~\mathrm{Hom}_{\Delta_{0}}(R, C) \simeq \mathrm{Hom}_{\varinjlim}(R^{\circ}, C^{\circ})^{\circ} \simeq~~ soit que la catégorie R_{0} qui représente dans une catégorie avec \varinjlim ~~les~~ quelconques et le feuillet s'arrête ici

Exemples

titre souligné en tête de la p. 69, de sa main

(1)d' = d'' = \emptyset. ~~Alors~~ Prenant \Delta = (\mathrm{Cat}_{d}), les Pbs 1) et 2) ont une solution évidente resp. bien connue. Les théories algébriques sont exactement celles qui sont représentables par des petites catégories. Les I \to R générateurs sont tous ens. surjectifs. (2)Conditions d'exactitudes. On peut par exemple prendre \Delta = (\uncertain{gr.-groupoïdes}). Le Pb 1 a une solution (construction comme groupoïde fondamental d'une catégorie), le Pb 2) est trivial. Les théories alg. sont celles repr. par des petites ~~catégories~~ gr.-groupoïdes. Les I \to R générateurs sont les ens. surj. \rho = [a \xrightarrow{\ u\ } b], on rend u inv. (3)Prenons \Delta = (\text{catégories ordonnées}). Pb 1 a une solution évidente (catégorie ordonnée associée à une catégorie), Pb 2 une solution facile. Les théories algébriques sont celles repr. par petites cat. ordonnées. Les I \to R générateurs sont ens. surjectifs. \rho = [a \rightrightarrows b], flèches u, v ; on rend u égal à v (2)

d'' = tous les « petits » diagrammes, d'' = \emptyset. Pas de conditions d'exactitude. ce (2) reprend la numérotation des « Compléments » plutôt que celle des exemples ; le (1) de la p. 69 lui répond

Pb 1 I une petite catégorie, on a pour C \in \mathrm{Ob}\,\Delta \mathrm{Hom}(I, C) \simeq \mathrm{Hom}(I^{\circ}, C^{\circ})^{\circ} \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta^{\circ}}(\widehat{I^{\circ}}, C^{\circ})^{\circ} \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta} (\widehat{I^{\circ}}{}^{\circ}, C) sous le second membre : « sans \varinjlim quelc. » ; l'indice \Delta^{\circ} du troisième est surchargé donc I a la \Delta-enveloppe \tilde{I} = \mathrm{Hom}(I, C)^{\circ} (qui est l'opposé d'un topos). le C de \mathrm{Hom}(I, C)^{\circ} est ce qui est écrit ; la chaîne précédente demande \widehat{I^{\circ}}{}^{\circ} Notons que I \to \tilde{I} définit les objets de I comme famille cogénératrice (donc I^{\circ} \to \tilde{I}^{\circ} comme famille génératrice).

Pb 2 C \in \mathrm{Ob}\,\Delta, \Sigma \subset \mathrm{Fl}\,C [\Sigma petit]. Rendre inversibles les flèches de \Sigma ? est défini, montrons que c'est une solution (au sens de Cat). ~~Supposons que~~ On peut supposer que \Sigma contient les isom, et tel que \Sigma un ens. plus petit après solution ! \Sigma est stable par composition, pour chaque vu \in \Sigma, v \in \Sigma \Rightarrow u \in \Sigma. Mais alors \Sigma donne lieu à un « calcul de fractions à g. », et il est connu dans C\Sigma^{-1} que les \varprojlim des types des petites \varprojlim qui existent dans C existent dans C\Sigma^{-1}, et C \to C\Sigma^{-1} y commute. Il reste à examiner les produits (infinis). Pour ceci, on peut supposer aussi que \Sigma est stable par produits infinis de morphismes. Mais alors on voit tout de suite que les produits de C sont des produits de C\Sigma^{-1}. OK ! Mais, il faut voir que la catégorie obtenue est une \mathcal{U}-catégorie

Notons que si I est une famille « cogénératrice par mono strict » dans C [pour tt X \in \mathrm{Ob}\,C, X \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim_{X/C} X'], alors il en est encore des \varprojlim dans C\Sigma^{-1}. ~~Donc on voit~~

Supposons qu'on ait un pseudo-syst. inductif filtrant (R_{\alpha}) dans \Delta, avec I \to R_{\alpha} cogénérateur. Soit R = \varinjlim_{\alpha}^{\Delta} R_{\alpha}. Alors I \to R est-il cogénérateur ? Soit R' = \varinjlim_{\alpha}^{\mathrm{Cat}} R_{\alpha}. ~~Donc R', les \varprojlim des~~ une ligne et demie biffées Donc R s'obtient à partir de R' en rendant inversibles certaines flèches, dont \mathrm{Ob}\, R \xrightarrow{\ \sim\ } \bigcup_{\alpha} \mathrm{Im}\, R_{\alpha}. De ceci on déduit aussitôt ce qu'on a dit. Mais, attention : le fait d'être strictement cogénérateur n'est pas transitif

Il faut aussi étudier les cas où on « rajoute des flèches » à R muni de I, d'où R \to R'. Ce \Delta-foncteur est ens. surjectif, et ce qu'on veut !

Th. Les théories algébriques pour \Delta sont celles qui sont 2-représentables par des R \in \mathrm{Ob}\,\Delta admettant des petites familles str. cogénératrices. Pour que I \xrightarrow{\ \rho\ } R une ligne biffée soit \Delta-basique, il f. et s. que ses images soient str. \Delta-cogénératrices (c'est plus faible que str. cogénératrices !). en haut à droite, relié au mot « cogénératrices » : passe bien dans la construction transfinie, par

La nécessité dans la première assertion est claire par ce qui précède. Pour la suffisance, ~~on peut supposer~~ résultat des résultats de la deuxième assertion. Or soit I' la catégorie muni d'un foncteur pl. fid. I' \to R (telle que \mathrm{Ob}\,I' = I, \mathrm{Ob}\,\varphi = \varphi_{0}. ~~Considérons~~ On sait que T_{\tilde{I}'} est une théorie algébrique de base I. Or \widehat{I'^{\circ}} \to R^{\circ} et surjectif sur les Hom puisque \rho : I' \to R est ens. surjectif, donc \tilde{I}' \to R aussi. Donc il ~~suffit de~~ à rendre iso des certaines flèches des iso. la fin de la phrase est surchargée ; le sens est que R se déduit de \tilde{I}' en rendant inversibles certaines flèches

Remarques\

(1)On ~~procède~~ obtient ici à la construction les étapes successives : 1°) Objets de base I 2°) rajouter des flèches 3°) axiomes d'égalité sur des couples de flèches (on a maintenant T_{\tilde{I}'}), 4°) ~~axiomes~~ rendre inversibles des flèches, ou encore ~~d'égalité sur d'autres flèches, ou encore~~ ces derniers mots portent des surcharges qui ne se laissent pas démêler On peut d'ailleurs condenser 3° et 4°) en une seule étape, (lorsque des axiomes successives ne se font en une seule fois, grâce au calcul de fractions comme catégorie de fractions, topos) par un ens. de flèches satisfaisant les conditions de restriction déjà dites. (2)Soit R \in \mathrm{Ob}\,\Delta. Les catégories quotients R' \in \mathrm{Ob}\,\Delta déduites de R par rendre inversibles des flèches ~~sont exactement celles qui~~ correspondent 1-1 aux ens. de flèches \Sigma \Sigma telles que a)\Sigma stable par composition, par changement de base, contient les iso b)\Sigma stable par produits quelconques. (3)Supposons que R ait une petite famille cogénératrice I. Alors les \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, \mathrm{Ens}) \simeq R^{\circ} [les foncteurs de R

dans (Ens) qui commutent aux \varprojlim sont les foncteurs représentables), i.e. si T = T_{R}, on a R = S^{\circ}, où S = T(\mathrm{Ens}). ~~Donc,~~ ou encore R^{\circ} = S. Donc :

Cor Les 2-théories algébriques définissables par \varprojlim (sans axiomes d'exactitude) ~~correspondent aux catégories~~ sont 2-équiv. par T \mapsto T(\mathrm{Ens}) à celle des \mathcal{U}-catégories S avec \varprojlim quelc. et ~~familles~~ petites sous-ens. génératrices par épi. stricts [i.e. telles que S \to \widehat{I^{\circ}} soit conservatif]. La donnée d'une base de T équivaut à celle dans d'une famille d'objets cogénératrice de S. le corollaire est marqué d'un trait vertical en marge

Pour toute C \in \mathrm{Ob}\,\Delta, on a T(C) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(S^{\circ}, C) L'équivalence est obtenue en notant que le deuxième est la catégorie formée des foncteurs tels que \forall X \in C, le composé avec \mathrm{Hom}_{C}(X, -) est représentable, donc le deuxième s'interprète comme les foncteurs S^{\circ} \times C^{\circ} \to (\mathrm{Ens}) qui sont représentables par chaque argument fixé, ou comme les foncteurs C^{\circ} \to S qui sont tels que pour tout Y \in S, sa composé avec \mathrm{Hom}(Y, -) soit représentable. Or on a T(C) \longrightarrow \mathrm{Hom}(C^{\circ}, T(\mathrm{Ens})) = \mathrm{Hom}(C^{\circ}, S) (déduit de C^{\circ} \to \mathrm{Hom}_{\Delta}(C, \mathrm{Ens}) \subset \widehat{C^{\circ}} induisant C^{\circ} \to \mathrm{Hom}(T(C), T(\mathrm{Ens})), i.e. T(C) \to \struck{\ill{}} \mathrm{Hom}(C^{\circ}, T(\mathrm{Ens}))).

(4)Comme S = T(\mathrm{Ens}) a des \varprojlim quelc. et S \cong R^{\circ}, R a aussi des \varinjlim quelc., donc R \to R' \varprojlim et \varinjlim entre objets de \Delta. la ligne est écrite en surcharge sur une amorce biffée (5)Soit un foncteur \varphi : R \to R' S et R ont toutes les \varprojlim. Si R a une petite famille cogénératrice, alors \varphi est un \Delta-foncteur, i.e. commute aux \varprojlim, ssi il admet un adjoint à gauche \psi \mathrm{Hom}(\psi(Y'), X) \simeq \mathrm{Hom}(Y', \varphi(X)) Alors \varphi est un plongement à une sous-catégorie ~~R' est une sous-catégorie \psi est~~ ssi \psi est pl. fidèle, (et alors R' a une p. famille cog.). ~~Ainsi les sous-catégories~~ Les théories de la th. algébrique R R_{0} correspondent ~~aux sous~~ à : certaines sous-catégories pleines de R, savoir celles qui ont des \varprojlim et pleines par des foncteurs d'inclusion \varphi ont un adjoint à gauche. En termes de S = R^{\circ} = T(\mathrm{Ens}), et S' = R'^{\circ} = T'(\mathrm{Ens}) ~~ce sont les sous-catégo-~~ ainsi les \Delta-foncteurs \varphi : R \to R' (i.e. T' \to T) correspondent aux foncteurs \psi : S' \to S qui admettent un adjoint ;

en tête : S' = R'^{\circ}, S = R^{\circ}, au-dessus des deux membres de la ligne suivante ries \varphi^{\circ} : T'(\mathrm{Ens}) \to T(\mathrm{Ens}) est simplement le foncteur associé à T' \to T déduit de \varphi. Ce foncteur doit donc commuter aux \varprojlim quelc. [donc ce qui exprime simplement que \psi commute aux \varinjlim, ~~alors~~ et c'est un adjoint à g.] Donc les sous-théories de T correspondent aux sous-catégories pleines S' de S, ~~admettant des~~ [stables par \varprojlim, en un certain sens par les autres conditions] admettant des \varprojlim quelconques (mais pas nécessairement stables par les dites) et telles que le foncteur d'inclusion S' \xrightarrow{\ i\ (=\varphi^{\circ})\ } S ait un adjoint à gauche j (= \psi^{\circ}) \mathrm{Hom}_{S}(x, i(y')) \simeq \mathrm{Hom}(jx, y') ~~Alors on a des foncteurs adjoints~~ ~~[Mais en général ? (Structure (foncteurs S' S-structure)~~ deux lignes biffées, une amorce de crochet abandonnée S' \to structure « libre » définie par une S-structure) Mais en général, il n'y a pas moyen de définir pour tt C \in \mathrm{Ob}\,\Delta un foncteur T(C) \to T'(C) qui les redonne pour C = \mathrm{Ens} [NB Cependant, si C est un topos, et si T, T' se définissent au st. des \varprojlim finies, c'est OK …]

NB La 2-catégorie des théories algébriques pour \Delta est 2-équivalente à la 2-catégorie des cat. S qui sont stables par \varprojlim petites ~~quelc.~~ et qui ont une petite sous-catégorie str. génératrice, dans les foncteurs qui commutent aux \varprojlim (mais, en renversant les flèches pour les morphismes ?). ~~Ce sont aussi les catégories telles que les foncteurs qui transforment \varprojlim quelc. en~~ une ligne et demie biffées

(3)

d' ~~toutes les~~ d' ~~famille de diagrammes~~ quelconque, ~~les~~ finis d'' = \emptyset, pas de conditions d'exactitude. d'_{0} l'ens. de tous les diagrammes finis, d'_{1} l'ens. de tous les petits diagrammes, et \Delta \supset \Delta_{0} \supset \Delta_{1} les solutions correspondantes. les indices 0 et 1 des deux d' se lisent mal ; l'ordre \Delta \supset \Delta_{0} \supset \Delta_{1} demande que d'_{0} soit le plus petit

Pb 1 \Delta-Enveloppe \rho_{\Delta}(I) d'une catégorie I. Soit \bar{I} = \widehat{I^{\circ}}{}^{\circ} sa \Delta_{1}-enveloppe, et soit \tilde{I} la ~~sous-~~catégorie pl. de \bar{I} formée des \varprojlim des types d' d'objets de I [NB I \to \bar{I} pl. fid. !]. Je dis que cela marche, pourvu que les objets \tilde{I} est stable pour les \varprojlim des diagrammes finis discrets, ou d' \ni un d' [C c'est le cas si d' = ens. des de tous les diagrammes finis (!)…) sinon on doit prévoir et prendre pour \tilde{I} la plus petite sous-catégorie str. pleine de \bar{I} contenant I et stable par \varprojlim de type d'. en diagonale, dans la marge : pb 1 et pb 1' petits diagrammes finis En effet, on a pour C \in \mathrm{Ob}\,\Delta \mathrm{Hom}_{\struck{\mathrm{Cat}}}(I, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\Delta_{1}}(\bar{I}, \bar{C}), le premier Hom porte un indice biffé et repassé « Cat » ; le second est marqué \Delta_{1} et l'iso. gén. de foncteurs [pl. fidèles ] fournie de(s) foncteurs \bar{I} \xrightarrow{\ \bar{\varphi}\ } \bar{C} tels que \bar{\varphi}(I) \subset \struck{\ill{}} C (ess.). Mais Soit \rho(C) la \Delta-\Delta_{1} enveloppe de C i.e. la \Delta_{1}-catégorie \varphi'(C) avec \Delta-foncteur C \xrightarrow{\ i\ } \rho(C) universel [c'est une catégorie pleine de foncteurs de \bar{C}]. ~~Admettons que~~ ~~le foncteur est pleinement fidèle (Pb auxiliaire)~~ ~~I \to C se prolonge en foncteurs~~ une ligne et demie biffées Alors les foncteurs \varphi : I \to C ~~En effet, les foncteurs à \varphi les f. I dans l'image ess.~~ correspondent aux foncteurs \psi = i\varphi : \tilde{I} \to \rho(C) qui envoient I dans l'image essentielle de C par i, ou encore les foncteurs \bar{\psi} : \bar{I} \to \rho(C) tels que \bar{\psi}(I) soit contenu dans l'image essentielle de C ; de tels \bar{\psi} envoient \tilde{I} dans C, d'où \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(I, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\Delta}(\tilde{I}, C), donc un foncteur « restriction » en sens inverse. Il est clair que les composés dans les deux sens sont l'identité, OK.

Pb 1' ou Pb auxiliaire Si C \in \mathrm{Ob}\,\Delta, montrer que C \to \rho(C) est pl. fidèle. Je dis qu'on a \rho(C) = \mathrm{Hom}_{\Delta}(C, \mathrm{Ens})^{\circ} = T_{C}(\mathrm{Ens})^{\circ},

le foncteur C \to \rho(C) = \mathrm{Hom}(C, \mathrm{Ens})^{\circ} = \widehat{C^{\circ}}{}^{\circ} ~~donné~~ donné par un associant : tt objet de C le foncteur covariant qu'il représente (donc il est clair que C \to \rho(C) est pl. fidèle !). On a en effet, si D est une ~~catégorie où les \varprojlim quelc. et si \rho(C) est définie comme le~~ \Delta \to \Delta_{1} enveloppe \begin{gather*} \mathrm{Hom}_{\Delta_{1}}(C, D) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta_{1}} (\rho(C), D) \simeq \ill{}, \\ \rho(C) \cong T_{\rho(C), \Delta_{1}}(\mathrm{Ens})^{\circ} \cong T_{C, \Delta}(\mathrm{Ens})^{\circ} = \mathrm{Hom}_{\Delta}(C, \mathrm{Ens})^{\circ} : \text{OK.} \end{gather*} les deux lignes sont reliées par des traits d'insertion ; l'ordre donné ici est celui que les traits indiquent

Pb 2 C \in \Delta, \Sigma \subset \mathrm{Fl}, construire C\Sigma^{-1} dans \Delta, et des ens. de couples de flèches qu'on veut égaliser. ~~Tout marche bien si~~ ~~quotient~~ d'où Soit \rho(C, \Sigma) la \Delta_{1}-catégorie de fractions de \rho(C), définie par \Sigma, et soit C' la plus petite \Delta-sous-catégorie str. pleine de \rho(C, \Sigma) ~~qui~~ telle que C \to \rho(C, \Sigma) se factorise par C', i.e. telle que C' contienne la sous-catégorie pleine C\Sigma^{-1}. (Soit D \in \mathrm{Ob}\,\Delta, alors les \Delta-foncteurs \varphi : C \to D correspondent aux \Delta_{1}-foncteurs \psi : \rho(C) \to \rho(D) tels que \psi envoie C dans (la ss-cat. pleine) D, et les \Delta-\Sigma-foncteurs « i.e. » tels que les foncteurs \psi' : \rho(C, \Sigma) \to \rho(D) qui envoient C dans D, ou ou qui envoient aussi C' dans D. Donc \mathrm{Hom}_{\Delta, \Sigma}(C, D) \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Hom}_{\Delta}(C', D), sous la flèche, une flèche en sens inverse marquée \beta et \beta le foncteur restriction en sens inverse. Il est clair que les deux composés \beta\alpha les foncteurs identiques, pour \alpha\beta on note que ~~\beta est pl. fidèle~~ \beta est pl. fidèle. OK. C'est déduit de C\Sigma^{-1} \subset \rho(C, \Sigma) en rajoutant transfiniment des \varprojlim de type d', et que sait que \mathrm{Hom}_{\Delta}(C', D) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C, D) est pl. fidèle (car \mathrm{Hom}_{\Delta}(C', D) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C', D) l'est …). en diagonale, dans la marge, sur deux registres : i.e. \Sigma contient les diagrammes produits et dans C\Sigma^{-1}, les ; p. ex. finis discrets

NB Dans les deux cas envisagés (Pb 1 et Pb 2), la catégorie résultante (de I, resp. de C) se déduit de la sous-catégorie pleine de I (resp. de C) en rajoutant des \varprojlim de type d' (transfiniment au besoin). On trouve sauf erreur : en regard, en diagonale : il faudrait encore regarder des \varprojlim fibres

Th. Les théories algébriques de type \Delta sont celles qui sont 2-représentées par des R \in \mathrm{Ob}\,\Delta ayant une petite sous-catégorie I' ~~qui~~ d'-génératrice [i.e. ~~tous objets de~~ R est la réunion d'une suite transfinie de sous-catégories str. pleines de R déduites en rajoutant des \varprojlim de type d']. Un foncteur I \to R (I discret) est basique ssi il est d'-cogénérateur.

On est encore ramené à prouver ce dernier énoncé. On procède comme dans 2°), en introduisant la sous-cat. pleine I' de R telle que \mathrm{Ob}\,I' = I, d'où T_{R} \to T_{\tilde{I}'} pl. fidèle. Regardons \tilde{I}' \to R, il est ess. ~~surjectif sur les objets et surjectif sur~~ les Hom, est-il ens. surjectif ? OK. Si ~~la fonction~~ d' satisfait aux conditions écrites plus haut, car alors on trouve un \Delta-foncteur pl. fidèle \tilde{I}'\Sigma^{-1} \longrightarrow R, sous \tilde{I}'\Sigma^{-1} : « catégorie de fractions » qui donc est ens. surjectif. Donc on trouve

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \tilde{I}' \arrow[dr] \arrow[ddl] & \\ I' \arrow[ur] \arrow[rr] \arrow[d, "\text{pl. fid.}"'] & & \bar{I}' \arrow[d, "\text{ess. surj., et surjectif sur les Hom}"] \\ R & & \rho(R) \arrow[ll, hook'] \end{tikzcd}

I' cogénérateur strict R qui cogénérateur str. \rho(R) donc I' cogénérateur str. \rho(R) (?) ces trois lignes sont disposées en escalier sous le diagramme ; le point d'interrogation est le sien

Si d' satisfait aux conditions envisagées (p. ex. d' = ens. des diagrammes finis)

Cor Main On peut construire les théories algébriques pour \Delta en trois pas, comme pour \Delta_{1} : on prend une catégorie I' ayant I comme ens. d'objets (pas 1° et 2°) et prend une catégorie des fractions de \tilde{I}'.

marqué d'un double trait en marge : Mais la conclusion est valable si p. ex. d' est formé des diagrammes discrets, stable par passage à un sous-diagramme (

Néanmoins, dans le cas d'un d' général (= formé de diagrammes finis) il semble qu'il faille une construction récurrente transfinie

Question Supposons d' petit. Alors une R ~~telle que R~~ admettant une petite ss-catégorie d'-cogénératrice (donc ~~2-rep~~ correspondant à une théorie algébrique pour \Delta) est petite, car … les membres de la phrase sont reliés par des traits de renvoi ; l'ordre donné est celui des traits

4°)

Cas d' = ens. des diagrammes finis, d'' = \emptyset, pas de conditions d'exactitude.

Comme d' est petite, les R \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{0} qui 2-représentent des th. algébriques sont les R ens. petites (stables par \varprojlim finies). une ligne et demie biffées

T théorie algébrique pour \Delta R \in \mathrm{Ob}\,\Delta qui représente T S = T(\mathrm{Ens}) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(R, \mathrm{Ens}) \Sigma \subset S (structures représentables)

les quatre lignes sont réunies par une accolade Tout se détermine mutuellement \begin{align*} R :\quad & T = T_{R} : C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(R, C) \\ & S = \struck{\ill{}}\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(R, \mathrm{Ens}) \\ & \Sigma \cong R^{\circ} \subset S \text{ par foncteurs repr.} \\ \Sigma :\quad & R = \Sigma^{\circ} \\ & T : C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}} (\Sigma^{\circ}, C) \\ & S = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(S^{\circ}, C), \text{ contient } \Sigma \text{ comme sous-catégorie pleine.} \end{align*} la dernière ligne est écrite ainsi, avec S^{\circ} et C ; la ligne symétrique demande \Sigma^{\circ} et Ens ; un mot biffé suit

~~Reste à voir~~ Autre façon de déduire S de R ou \Sigma

Lemme : Le foncteur inclusion \Sigma \to S définit une équivalence \mathrm{Ind}(\Sigma) \longrightarrow S en diagonale, dans la marge : cf. SGA 4 I 8.7.5 (a) \Sigma \in S \subset \underline{\mathrm{Hom}}(\ill{}, \mathrm{Ens}) ; (ii) \Sigma stable par \varprojlim finies ; (iii) \Sigma petits En effet, on sait que \Sigma \to S est universel pour des foncteurs \Sigma \to D D à \varinjlim filtrantes exacts à gauche. Or montrons que \Sigma \to \mathrm{Ind}(\Sigma) (On sait que \mathrm{Ind}(\Sigma) a des \varinjlim filtrantes et des \varprojlim finies (donc quelc.) car \Sigma les a, et \Sigma \to \mathrm{Ind}(\Sigma) y commute.) ~~En effet les~~ SGA 4 I 8.9.5 ; puis, plus bas : SGA 4 I 8.7.3 Les foncteurs exacts \Sigma \to D correspondent aux foncteurs \mathrm{Ind}(\Sigma) \to D qui commutent aux \varinjlim filtrantes et aux \varprojlim finies, soit ceux qui, sur \Sigma, y commutent [nécessité triviale, pour la suffisance, \mathrm{Ind}(\Sigma) \to \mathrm{Ind}(D) ~~commute aux~~ est exact à droite, ~~finies (, , )~~ (c'est un adjoint à g, qui commute à ) et par I 8.9.8 \mathrm{Ind}\,D \to D l'est aussi (c'est ~~aux limites inductives~~) ok]

Corollaire ~~Pour tout~~ Soit X \in S. Pour que X \in \Sigma, il f. et s. que X \in \Sigma, le foncteur \mathrm{Hom}(X, -) sur S commute aux \varinjlim filtrantes. la phrase est récrite par-dessus une première rédaction ; les membres sont donnés dans l'ordre des traits de renvoi

C'est évidemment nécessaire, par construction des Hom dans \mathrm{Ind}(S). C'est suffisant, car ~~si X \in S,~~ on aura X = \varinjlim_{i} X_{i} (X_{i} \in \mathrm{Ob}\,\Sigma), filtrantes, le morphisme identique se factorise par un des X_{i}, donc un X_{i} \to X ayant une section, donc X est un composant p. ex. donc stable (c'est un noyau) ~~donc \Sigma \to S~~ OK. en bas à gauche, en diagonale : NB Montrer catégorie ? cf. aussi SGA 4 I 8.7.8

Donc \Sigma se reconstitue à partir de S comme ~~l'ensemble des ob.~~ sous-catégorie (str.) pleine des objets « de présentation finie » ! \begin{align*} S :\quad & \Sigma = S_{\mathrm{pf}} \subset S \\ & R = \Sigma^{\circ} \\ & T : C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}} (S_{\mathrm{pf}}{}^{\circ}, C) \\ T :\quad & S = T(\mathrm{Ens}) \\ & \Sigma = S_{\mathrm{pf}} = T(\mathrm{Ens})_{\mathrm{pf}} \\ & R = \Sigma^{\circ} \end{align*}

Corollaire Pour qu'une ~~théorie~~ \Delta_{1}-théorie T (par \varprojlim quelc.) provienne d'une théorie définissable par \varprojlim finies, il f. et s. que S = S_{T} = T(\mathrm{Ens}) soit strictement engendrée par ses la sous-catégorie pleine des objets de prés. finie, ou encore que S \to \struck{\ill{}}\ \hat{\Sigma} soit pleinement fidèle. (Alors \Sigma^{\circ} est la catégorie classifiante pour la théorie sur \Delta_{0} qui donne naissance à T).

Corollaire Le 2-foncteur de restriction : \Delta_{1} des théories algébriques sur \Delta_{0} est 1-fidèle, i.e. pour deux théories T, T' sur \Delta_{0}, \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Th}_{\Delta_{0}}}(T, T') \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Th}_{\Delta_{1}}} (T_{1}, T'_{1}) \quad \text{pl. fidèle.} L'image essentielle est formée des foncteurs T_{1} \to T'_{1} qui sont tels que S = T(\mathrm{Ens}) \add{= T_{1}(\mathrm{Ens})} \longrightarrow S' = T'(\mathrm{Ens}) = T'_{1}(\mathrm{Ens}) transforme objets de P.F. en objets de P.F. [On pourrait les appeler les morphismes de prés. finie, ou cohérents, de théories…].

Question Considérons \Delta défini par d' = ens. des diagrammes finis discrets, d'' = \emptyset, pas de condition d'exactitude. Soit R une petite cat. \in \mathrm{Ob}\, \Delta, \Sigma = R^{\circ} \subset S = T_{R}(\mathrm{Ens}) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{prod}}(R, \mathrm{Ens}). Peut-il se faire que S soit défini par des sous-catégories str. pleines ~~essentielles~~ ~~on voit aussi~~ Comment trouver des \Sigma_{0} telles que S \cong \rho_{\Delta, \Delta_{1}}(\Sigma) ? On aura évidemment \Sigma \subset S_{\mathrm{pf}} = \Sigma_{0} et S_{\mathrm{pf}} \cong \rho_{\Delta, \Delta_{0}}(\Sigma) (conditions nécessaires) et suffisantes ? Donc la question se ramène en termes d'une \Sigma_{0} \in \mathrm{Ob}\, \Delta_{0} et d'une sous-catégorie pleine ~~famille génératrice dans \Sigma_{0} de~~ \Sigma, stable par sommes finies… le paragraphe est marqué d'un trait vertical en marge ; le « question » de tête est surchargé

en diagonale, en haut à gauche, au crayon : traiter le cas avec quelques d' distincts liste de cas, numérotés dans des cercles ; des flèches en marge renvoient (4') au-dessus de (4'') et (5') au-dessus de (5), et le numéro de la ligne « Topos » est repassé

(1)\varprojlim finies, foncteurs exacts (1')\varprojlim de type d', foncteurs qui y commutent (1'')Catégories préordonnées avec Inf finis, foncteurs qui y commutent (2)\varinjlim finies et \varprojlim finies, foncteurs exacts (2')Prétopos (axiomes « finis » des topos) foncteurs exacts (2'')Catégories semi-additives, foncteurs additifs (2''')Catégories additives, foncteurs additifs (2'''')Catégories abéliennes, foncteurs exacts [foncteurs additifs ?] un numéro biffé précède (3)(\mathrm{Cat}_{d}), avec (d', d'') petits (4)Cat avec \varprojlim finies, \varinjlim filtrantes exactes, foncteurs qui y commutent et + ? (4'')Cat. préordonnées avec inf finis, sup quelconques, que inf distributifs par sup quelc., foncteurs commutant aux inf finis et sup quelc. (4')\varprojlim finies, \varinjlim quelc., sommes disjointes universelles, \varinjlim filtrantes exactes, foncteurs exacts commutant aux \varinjlim (5)\varprojlim et \varinjlim quelc., foncteurs qui y commutent (5')Topos (6')Topos essentiels (\cong \hat{C}, i.e. ayant assez de pts essentiels, i.e. ayant les propriétés d'exactitude (pour \varinjlim et \varprojlim de la cat. des ens.), morphismes essentiels de topos.

le numéro de « Topos » se lit (5') ou (6) ; la dernière ligne parle de (6) et (6')

Je m'attends à des ennuis (de sortie de l'Univers) des ennuis avec (6) et (6')