Cote n° 161-2, pages 61–80

Cote n° 161-2 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Algèbre universelle [ou catégories] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1973]
Édition de démonstration

61la démonstration du corollaire qui ferme la p. 60 ; les \(Y\), \(C\), \(E_{\pi}\) sont ceux de la p. 60 \underline{Dém} Soit \(\pi\) un cardinal [infini] tel que les objets de \(C\) soient \(\pi\)-accessibles. Je veux à prouver que la sous-catégorie \(E_{\pi}\) de \(E\) formée des objets \(\pi\)-accessibles est […] équiv. à une catégorie petite. Je sais Sps \(C\) stable par limites inductives finies (sinon on s'y ramène, \(C\) reste […] petite). Soit \(X\) un objet \(\pi\)-accessible, on a \(X = \varinjlim_{C/X} Y\), et \(C/X\) est filtrant. [(on a donc aussi \(X = \varinjlim_{I} X_{i}\), où \(I\) […] […] ordonné filtrant, les \(X_{i} \in C\))] Soit \(J\) l'un des sous-catégories [ensembles ordonnés] filtr. […] de \(C/X\) de cardinal \(\leqslant \pi\), alors \(J\) est […] grand devant \(\pi\), et on a \[ X = \varinjlim_{j \in J} Y_{j}, \qquad Y_{j} = \varinjlim_{I_{j}} \struck{\ill{}} Y_{i} . \] la seconde formule est écrite au-dessous de la première ; la lecture des indices est douteuse Comme \(X\) est \(\pi\)-accessible, […] l'identité \(X \xrightarrow{\ \sim\ } \varinjlim_{j \in J} Y_{j} = X\) se factorise par un \(Y_{j}\), donc \(X\) est isom à un facteur direct d'un \(Y_{j}\). Donc tout objet \(\pi\)-accessible est isom à un facteur direct d'un objet \(\varinjlim_{i \in I} Y_{i}\) (où \(I\) ens. ordonné) de card \(\leqslant \pi\), [relevant les \(Y_{i}\) dans \(C\)]. Ceci donne le résultat […] une ligne et demie biffées, avec des mots surajoutés qui ne se laissent pas lire

bloc encadré, relié par un trait au passage précédent : \(Y_{i,n} = Y_{i}\), \(Y_{i,m}\), \(Y_{j,m}\) trouver que on \(\simeq\) […] pour tt objet de \(C\) (Cat stable par \(\varinjlim\) finies) \(\pi\)-accessible, [limites des] systèmes inductifs filtrants \(E_{\pi}\) est l'ensemble des foncteurs \(\varinjlim_{I} Y_{i}\), les \(Y_{i} \in C\), card \(I \leqslant \pi\), […]

On va en conclure que tt objet \(X\) est […] limi[…] […] une telle limite, ou encore que la catégorie filtrante \(C/X\) admet un ensemble cofinal de card \(\leqslant \pi\). Donc […] […], la \(Y\) […] […] Je dis que […] sous-catégorie \(F^{\pi}_{\uncertain{\pi}}\) de \(E\) formée des \(\varinjlim_{i \in I} Y_{i}\), avec \(Y_{i} \in C\), \(I\) ens. ordonné tel que Card \(I \leqslant \pi\), est stable par \(\varinjlim\) de cardinal \(\leqslant \pi\). Il suffit de prouver que c'est stable par facteurs directs (car […] […]) puis aussi alors que \(F^{\pi} = E_{\pi}\), et […] -pliques SGA 4 I 9.9. Donc il suffit de prouver que c'est stable par \(\varinjlim\) filtrantes dénombrables (disons) …

Compléments

titre souligné en tête de la p. 62, de sa main ; les alinéas sont numérotés de 1 à 4 dans des cercles, en marge

(1)\underline{Pb} Pour \(R \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) et \(I \to R\), [\(I\) cat. discr.] caractériser la situation où cela correspond à une famille d'objets de base (indexée par \(I\)) pour une théorie \underline{algébrique} \(T_{R}\). (Il y a une caractérisation constructive transfinie : \(R\) est l'aboutissement d'une suite transfinie de catégories \(R_{\alpha}\) sur \(R\), faisant une (pseudo) […] objet inductif de catégories […] dans \(\Delta\), avec

(1)\(R_{0} = I\)
(2)\(R_{\alpha+1}\) déduit de \(R_{\alpha}\) soit en rendant inversible un petit ens. de flèches, soit en […] [égalisant] des couples de flèches, soit en ajoutant un petit ens. de flèches
(3)\(R_{\alpha} = \varinjlim_{\beta < \alpha} R_{\beta}\) si \(\alpha\) ordinal limite.)

en travers de la marge, en diagonale : […]

\underline{NB 1} […] une ligne biffée se pose seulement si \((d', d'')\) n'est pas « petit », ou du moins ne se ramène à un cas petit \(\mathcal{E}\)… Néanmoins, même si \((d', d'')\) petits, la question de caractériser les \(I \to R\), à partir d'une construction transfinie, se pose. Dans la définition récurrente des théories algébriques [(cas d)], il faut admettre des \(\varinjlim\) sur des ens. bien ordonnés … Il faudrait néanmoins prouver que rien à des \(I \to (R_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}\) satisfaisant la condition envisagée (disons « \(I\) \(\Delta\)-engendre \(R_{\lambda}\) ») dans l'un […] pourrait pas […] amalgamés des \(R_{\lambda}\) sous \(I\) dans \(\Delta\).

\underline{NB 2} Soit \(\tilde{I}\) la (petite) sous-catégorie pleine de \(R\) engendrée par les objets \(\in I\) et les [(image dans \(R\) des)] sources et buts de toutes les flèches rajoutées au cours de la construction transfinie. Il est plausible que \(\forall C \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), \[ \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(\tilde{I}, C) = T_{\tilde{I}}(C) \] au-dessus de la flèche : \(\simeq T_{R}(C)\), pour le membre de gauche est \underline{pleinement fidèle}. Or \(T_{\tilde{I}}\) est une théorie algébrique. Il est plausible [dès lors] que […] \(T_{R}\) se déduit de \(T_{\tilde{I}}\) […] en rajoutant seulement des axiomes. Mais il ne s'ensuit peut-être pas de la forme en une

63seule fois, mais qu'il faille remonter une construction transfinie.

Il y a donc des énoncés possibles pour caractériser les \(R \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) tels que \(T_{R}\) soit une théorie \underline{algébrique} :

1)\(\exists\) \underline{petite} catégorie \(J\), et ensembles \(\Sigma\), \(\Sigma'\) de flèches de \(\tilde{J}\), tels que \(R\) se déduit de \(\tilde{J}\) en rendant inv. les flèches de \(\Sigma\) (et égalisant [couples de] flèches de \(\Sigma'\).) en regard, encerclé : \(+\) ens. \(\Sigma'\) de couples de flèches de \(\tilde{J}\)
2)\(\exists\) petite catégorie \(J\), et […] \(\exists\) famille [pseudo-syst. inductif] transfini \((R_{\alpha})\) dans \(\Delta\), tels que

(i)\(R_{0} = \tilde{J}\), \(J\) petite cat.
(ii)\(R_{\alpha+1}\) se déduit de \(R_{\alpha}\) en rendant inversibles un petit ens. de flèches, \underline{et} égalisant un ens. petit de couples de flèches
(iii)\(R_{\alpha} = \varinjlim_{\beta < \alpha} R_{\beta}\) si \(\alpha\) ordinal limite
(iv)\(R_{\alpha} = R\) pour \(\alpha\) assez grand, \(\alpha \in \mathcal{U}\) (l'Univers).

(2)\underline{Autre Pb} : conditionner les théories algébriques par des propriétés intrinsèques (plutôt que par « constructibilité » via une suite transfinie de constructions, ou la représentabilité par un \(R\) tel que …). La seule condition (probablement pas suffisante) que je vois est : \(T\) commute aux 2-limites projectives de \(\Delta\), i.e. : \(T\) transforme […] pl. fid (fid.) en idem, \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, C) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, T(C))\) … le membre de gauche est écrit sans \(T\) ; le contexte demande \(T(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, C))\)
(3)\underline{Conditions […] d'exactitude généralisées} (comme suggérées par Schanuel) : on donne […] \(\rho \to \sigma\) dans \(R\) et on demande sur \(C\) que \(\mathrm{Hom}_{\Delta}(\sigma, C) \to \mathrm{Hom}_{\Delta}(\rho, C)\) soit une équivalence (resp. [pl.] fidèle, resp. fidèle ?…). Cela inclut p. ex. rendre des flèches égales (cf. l'exemple 1-2). Les remarques sur l'existence de \(\varprojlim\) et \(\varinjlim\) dans \(\Delta\) ainsi obtenues restent applicables.

(4)Changement de \(\Delta \subset \Delta'\)

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  \text{Thé}_{\Delta'} \arrow[rr, "\text{restriction}"] \arrow[d] & & \text{Thé}_{\Delta} \arrow[d] \\
  \mathrm{Thal}_{\Delta'} \arrow[rr, "\text{restr.}"] \arrow[d, no head, "\wr\|" description] & & \mathrm{Thal}_{\Delta} \arrow[d, no head, "\wr\|" description] \\
  \Delta'_{\mathrm{al}} \arrow[rr] & & \Delta_{\mathrm{al}}
\end{tikzcd}

2-foncteur d'où \(\Delta'\)-enveloppe. C'est défini ainsi \[ \Delta' \to \Delta \qquad \rho_{\Delta', \Delta} \]

à droite du tableau, le cube dont il est la face de devant ; les verticales doubles portent une flèche dans chaque sens

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  \mathrm{Th}_{\Delta'} \arrow[rrr] \arrow[dr] \arrow[dd, bend right=20] & & & \mathrm{Th}_{\Delta} \\
  & \mathrm{Thal}_{\Delta'} \arrow[rrr] & & & \mathrm{Thal}_{\Delta} \arrow[ul] \arrow[dd, bend left=20] \\
  \Delta' \arrow[rrr] \arrow[uu, bend right=20] & & & \Delta \\
  & \Delta'_{\mathrm{al}} \arrow[ul] \arrow[uu] \arrow[rrr] & & & \Delta_{\mathrm{al}} \arrow[ul] \arrow[uu, bend left=20]
\end{tikzcd}

65\underline{Existence de \(\varprojlim\) et \(\varinjlim\) dans \(T(C)\)} [\(\simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C)\)], pour \(T\) 2-représentable.

Soit \(\delta\) un type de diagrammes, tel que

a)Les \(\varprojlim\) (finies) de type \(\delta\) existent dans \(C\)
b)Les \(\varprojlim\) de type \(\delta\) commutent, pour tt \(C' \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) [dans \(C\)], aux \(\varinjlim\) de type \(d\) (i.e. aux \(\varinjlim\) de type \(d''\))

Alors les \(\varprojlim\) de type \(\delta\) existent dans \(T(C)\), et se calculent dans \(\mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C)\) « argument par argument » (en d'autres termes, les foncteurs \(r_{c} : T(C) \to C\) associés aux constructions \(\Gamma_{c}\) commutent aux \(\varprojlim\) de type \(\delta\)).

De plus, pour un hom de théories \(T \to T'\), \(T(C) \to T'(C)\) commute aux \(\varprojlim\) de type \(\delta\). Idem pour \(C \to C'\), \(C'\) satisfaisant les mêmes hyp. que \(C\) : \(T(C) \to T(C')\) commute aux \(\varprojlim\) de type \(\delta\).

Donc, pour \(R\), […] \(\in \Delta\), […] et \(J \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}\), \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, R) \in \Delta\) (au moins si \(J\) petite) \[ \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, C)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, C)) \] i.e. \[ \boxed{\ T_{R}(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, C)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(J, T_{R}(C))\ } \] les lettres \(J\) et \(R\) de ces deux lignes sont repassées et surchargées ; la lecture \(J\) est celle du contexte

Faisons p. ex. \(C = (\mathrm{Ens})\) (supposant \((\mathrm{Ens}) \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) !), \(J\) remplacé par \(J^{\circ}\) : \[ T_{R}(\hat{J}) \simeq \mathrm{Hom}(J^{\circ}, T_{R}(\mathrm{Ens})) \]

Si \(C \to C'\) dans \(\Delta\) est pl. fidèle (resp. fid.) alors \(T(C) \to T(C')\) l'est aussi (pour \(T\) 2-repr.). et Si \(T \to T'\) est associé à \(R' \to R\) « [\(\Delta\)-]générateur » (tel que, donc, la sous-catégorie pleine \(\in \Delta\) de \(R'\) par laquelle se factorise soit […] \(\cong R\)] alors le diagramme

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\begin{tikzcd}
  T(C) \arrow[r, hook] \arrow[d] & T(C') \arrow[d] \\
  T'(C) \arrow[r, hook] & T'(C')
\end{tikzcd}

est 2-cartésien.

66[Cas particulier où \(T' = \tau^{I}\) … le feuillet ne porte que ce début de crochet

(4)le numéro, encerclé, est surchargé \(d'' = \emptyset\) : structures alg. définies seulement par \(\varprojlim\) : Faits particuliers :

1°)\(\exists\) \(\varprojlim\) quelc. dans les \(T(C)\), les \(T(C) \to T(C')\) y commutent, de même les \(T(C) \to T'(C)\) (\(T\), \(T'\) 2-repr.), ainsi que les \(T(C) \to C\) (foncteurs constructions).
2°)\(C \to \hat{C}\) est un \(\Delta\)-foncteur, […] (si \((\mathrm{Ens}) \in \mathrm{Ob}\,\Delta\)) donc on trouve que (si \(T\) 2-repr. par \(R\)) \[ T_{R}(C) \longrightarrow T_{R}(\hat{C}) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C^{\circ}, T_{R}(\mathrm{Ens})) \] sous \(T_{R}(\mathrm{Ens})\) : \(S\), avec un signe de répétition ; les indices \(R\) sont surchargés est pl. fidèle, et identifie \(T_{R}(C)\) à la sous-catégorie str. pleine de \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C^{\circ}, S)\) formée des \(\varphi : C^{\circ} \to S\) tels que, pour […] […] \underline{construction} \(r \in R\), [d'où \(F : S \to (\mathrm{Ens})\)], \(F \circ \varphi : C^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) soit repr. Et il suffit d'exiger cette condition pour […] […] \(r_{i}\) qui \(\Delta\)-engendrent (i.e. on a un diagramme 2-cartésien
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```
\begin{tikzcd}[column sep=small]
          T(C) \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C^{\circ}, T(\mathrm{Ens})) \arrow[d, "\varphi \mapsto (\tilde{r}_{i} \circ \varphi)"] \\
          C^{I} \arrow[r] & \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C^{\circ}, (\mathrm{Ens}))^{I}
        \end{tikzcd}
```

68Donc \(T\) est connu (à équiv. près) quand on connaît \(S\) et les \(r_{i} : S \to (\mathrm{Ens})\) [et on connaît alors \(T\) sur \(\tau^{I}\)…], ou de façon plus intrinsèque, si on connaît [l'image de \(R\) dans] […] \(\mathrm{Hom}(S, \mathrm{Ens}) = \widehat{S^{\circ}}\).

3°)On a \(S \cong \mathrm{Hom}_{\Delta}(R, (\mathrm{Ens})) \subset \widehat{R^{\circ}}\), et cette sous-catégorie \underline{contient} \(R^{\circ}\) [car les foncteurs repr. [cov.] commutent aux \(\varprojlim\) !) donc \[ \boxed{\ R^{\circ} \xrightarrow{\ \partial\ } S\ } \] la flèche est un crochet d'inclusion, marqué \(\partial\) et \(\xi\) au-dessus et le foncteur [\(\tilde{r} : S \to (\mathrm{Ens})\),] associé à un \(r \in \mathrm{Ob}\,R\) est le foncteur que le représente \underline{dans} \(S\). Ainsi \(R\) est connu quand on connaît \(S\) et son image ens. des \(\mathrm{Hom}(S, \mathrm{Ens}) = \widehat{S^{\circ}}\), car \(R \to \struck{\mathrm{Hom}}\, \widehat{S^{\circ}}\) est le composé \[ R \xrightarrow{\ \partial^{\circ}\ } S^{\circ} \longrightarrow \widehat{S^{\circ}} \] de deux foncteurs pl. fid. Ainsi \(S = T(\mathrm{Ens})\) est muni d'une sous-catégorie str. pleine \(\Sigma\), (\(\approx R^{\circ}\)) [formée des \(\varphi \in \mathrm{Ob}\,S\) tels que pour \(\forall C \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) et tout \(\xi \in T(C)\), définissant \(\tilde{\xi} : C^{\circ} \to S\), les composés \(\mathrm{Hom}(\varphi, \tilde{\xi}(x))\) [\(x \mapsto\)] de \(C^{\circ}\) dans Ens soit représentables] [la sous-catégorie] \(\Sigma\) est stable dans \(S\) par \(\varinjlim\) (\underline{inductives}) de type \(d'\), et pour tout les […] ainsi […] un équivalence [explicite] entre \(\Sigma^{\circ}\) et \(R\). d'où un foncteur \(T(C) \to C\), […]
4°)Soit […] \(\Theta\) l'une de toutes les catégories où les […] petits diagrammes, \(\Delta_{0}\) l'une […] catégorie […] ce qui suit est enfermé dans une accolade et traversé d'une longue diagonale que dans la définition de \(\Delta\) ne […] les \(\varprojlim\) de type \(\Theta'\) existent, Supposons ne figurent que des conditions de finitude, et sorte que \(\Delta_{0} \subset \Delta\) [les]. Donc la théorie \(T\) [\(= T_{\Theta R}\)] repr. pour […] pour \(\Delta_{0}\), dont nous allons montrer \(C \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{0}\), […] Si c'est représentable, on \(\mathrm{Hom}_{\Delta_{0}}(R, C) \simeq \mathrm{Hom}_{\varinjlim}(R^{\circ}, C^{\circ})^{\circ} \simeq\) soit que la catégorie \(R_{0}\) qui représente dans une catégorie avec \(\varinjlim\) les quelconques […] et le feuillet s'arrête ici

Exemples

titre souligné en tête de la p. 69, de sa main

(1)\(d' = d'' = \emptyset\). Alors Prenant \(\Delta = (\mathrm{Cat}_{d})\), les Pbs 1) et 2) ont une solution évidente resp. bien connue. Les théories algébriques sont exactement celles qui sont représentables par des \underline{petites} catégories. Les \(I \to R\) générateurs sont […] tous ens. surjectifs.
(2)\underline{Conditions d'exactitudes}. On peut par exemple prendre \(\Delta = (\uncertain{gr.-groupoïdes})\). Le Pb 1 a une solution […] (construction comme groupoïde fondamental d'une catégorie), le Pb 2) est trivial. Les théories alg. sont celles repr. par des petites catégories [gr.-groupoïdes]. Les \(I \to R\) générateurs sont les ens. surj. \(\rho = [a \xrightarrow{\ u\ } b]\), on rend \(u\) inv.
(3)Prenons \(\Delta = (\text{catégories ordonnées})\). Pb 1 a une solution évidente (catégorie ordonnée associée à une catégorie), Pb 2 une solution facile. Les théories algébriques sont celles repr. par petites cat. ordonnées. Les \(I \to R\) générateurs sont ens. surjectifs. \(\rho = [a \rightrightarrows b]\), flèches \(u\), \(v\) ; on rend \(u\) égal à \(v\)

(2)\(d''\) \(=\) tous les « petits » diagrammes, [\(d'' = \emptyset\).] Pas de conditions d'exactitude. ce (2) reprend la numérotation des « Compléments » plutôt que celle des exemples ; le (1) de la p. 69 lui répond \underline{Pb 1} \(I\) une petite catégorie, on a pour \(C \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) \[ \mathrm{Hom}(I, C) \simeq \mathrm{Hom}(I^{\circ}, C^{\circ})^{\circ} \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta^{\circ}}(\widehat{I^{\circ}}, C^{\circ})^{\circ} \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta} (\widehat{I^{\circ}}{}^{\circ}, C) \] sous le second membre : « sans \(\varinjlim\) quelc. » ; l'indice \(\Delta^{\circ}\) du troisième est surchargé donc \(I\) a la \(\Delta\)-enveloppe \(\tilde{I} = \mathrm{Hom}(I, C)^{\circ}\) (qui est l'opposé d'un topos). le \(C\) de \(\mathrm{Hom}(I, C)^{\circ}\) est ce qui est écrit ; la chaîne précédente demande \(\widehat{I^{\circ}}{}^{\circ}\) Notons que \(I \to \tilde{I}\) définit les objets de \(I\) comme famille \underline{cogénératrice} (donc \(I^{\circ} \to \tilde{I}^{\circ}\) comme famille génératrice). \underline{Pb 2} \(C \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), \(\Sigma \subset \mathrm{Fl}\,C\) [\(\Sigma\) petit]. Rendre inversibles les flèches de \(\Sigma\) ? [est défini, montrons que c'est une solution (au sens de Cat)]. Supposons que On peut supposer que \(\Sigma\) contient les isom, et tel que \(\Sigma\) un ens. plus petit après solution ! \(\Sigma\) est stable par composition, pour chaque […] \(vu \in \Sigma\), \(v \in \Sigma \Rightarrow u \in \Sigma\). Mais alors \(\Sigma\) donne lieu à un « calcul de fractions à g. », et il est connu [dans \(C\Sigma^{-1}\)] que les \(\varprojlim\) [des types des petites \(\varprojlim\)] qui existent dans \(C\) existent dans \(C\Sigma^{-1}\), et \(C \to C\Sigma^{-1}\) y commute. Il reste à examiner les produits (infinis). Pour ceci, on peut supposer aussi que \(\Sigma\) est stable par produits \underline{infinis} de morphismes. Mais alors on voit tout de suite que les produits de \(C\) sont des produits de \(C\Sigma^{-1}\). OK ! Mais, il faut […] voir que la catégorie obtenue est une \(\mathcal{U}\)-catégorie Notons que si \(I\) est une famille « cogénératrice par mono strict » dans […] \(C\) [pour tt \(X \in \mathrm{Ob}\,C\), \(X \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim_{X/C} X'\)], alors il en est encore des \(\varprojlim\) dans \(C\Sigma^{-1}\). Donc on voit Supposons qu'on ait un [pseudo-]syst. inductif filtrant \((R_{\alpha})\) dans \(\Delta\), avec \(I \to R_{\alpha}\) cogénérateur. Soit \(R = \varinjlim_{\alpha}^{\Delta} R_{\alpha}\). Alors \(I \to R\) est-il cogénérateur ? Soit \(R' = \varinjlim_{\alpha}^{\mathrm{Cat}} R_{\alpha}\). Donc \(R'\), les \(\varprojlim\) […] des […] une ligne et demie biffées Donc \(R\) s'obtient à partir de \(R'\) en rendant inversibles certaines flèches, dont \(\mathrm{Ob}\, R \xrightarrow{\ \sim\ } \bigcup_{\alpha} \mathrm{Im}\, R_{\alpha}\). De ceci on déduit aussitôt ce qu'on a dit. Mais, attention : le fait d'être strictement cogénérateur n'est pas transitif Il faut aussi étudier les cas où on « rajoute des flèches » à \(R\) muni de \(I\), d'où \(R \to R'\). Ce \(\Delta\)-foncteur […] est ens. surjectif, et […] ce qu'on veut !

71\underline{Th.} Les théories algébriques pour \(\Delta\) sont celles qui sont 2-représentables par des \(R \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) admettant des petites familles [str.] \underline{cogénératrices}. Pour que \(I \xrightarrow{\ \rho\ } R\) […] une ligne biffée soit [\(\Delta\)-]basique, il f. et s. que ses images soient [str. \(\Delta\)-]cogénératrices (c'est plus faible que [str.] cogénératrices !). en haut à droite, relié au mot « cogénératrices » : passe bien dans la construction transfinie, […] […] par […]

La nécessité dans la première assertion est claire par ce qui précède. Pour la suffisance, on peut supposer résultat des résultats de la deuxième assertion. Or soit \(I'\) la catégorie [muni d'un foncteur pl. fid. \(I' \to R\)] (telle que \(\mathrm{Ob}\,I' = I\), \(\mathrm{Ob}\,\varphi = \varphi_{0}\). Considérons On sait que \(T_{\tilde{I}'}\) est une théorie \underline{algébrique} de base \(I\). Or \(\widehat{I'^{\circ}} \to R^{\circ}\) [et surjectif sur les Hom] puisque \(\rho : I' \to R\) est ens. surjectif, donc \(\tilde{I}' \to R\) aussi. Donc il suffit de […] […] à rendre iso des […] certaines flèches des iso. la fin de la phrase est surchargée ; le sens est que \(R\) se déduit de \(\tilde{I}'\) en rendant inversibles certaines flèches

\underline{Remarques}\

(1)On procède [obtient] ici à la construction les étapes successives : 1°) Objets de base \(I\) 2°) rajouter des flèches 3°) axiomes d'égalité sur des [couples de] flèches (on a maintenant \(T_{\tilde{I}'}\)), 4°) axiomes [rendre inversibles des flèches, ou encore] d'égalité sur d'autres flèches, ou encore ces derniers mots portent des surcharges qui ne se laissent pas démêler On peut d'ailleurs condenser 3° et 4°) en une seule étape, […] (lorsque des axiomes successives ne se font […] en une seule fois, grâce au calcul de fractions [comme catégorie de fractions, […]] topos) par un ens. de flèches satisfaisant les conditions de restriction déjà dites.
(2)Soit \(R \in \mathrm{Ob}\,\Delta\). Les catégories quotients \(R' \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) déduites de \(R\) par rendre inversibles des flèches sont exactement celles qui [correspondent 1-1 aux] ens. de flèches \(\Sigma\) [\(\Sigma\)] telles que

a)\(\Sigma\) stable par composition, par changement de base, contient les iso
b)\(\Sigma\) stable par produits quelconques.

(3)Supposons que \(R\) ait une petite famille \underline{cogénératrice} \(I\). Alors les \(\mathrm{Hom}_{\Delta}(R, \mathrm{Ens}) \simeq R^{\circ}\) [les foncteurs de \(R\)

72dans (Ens) qui commutent aux \(\varprojlim\) sont les foncteurs représentables), i.e. si \(T = T_{R}\), on a \(R = S^{\circ}\), où \(S = T(\mathrm{Ens})\). […] Donc, […] ou encore \(R^{\circ} = S\). Donc :

\underline{Cor} Les [2-]théories algébriques définissables par \(\varprojlim\) [(sans axiomes d'exactitude)] correspondent aux catégories sont 2-équiv. par \(T \mapsto T(\mathrm{Ens})\) à celle des \(\mathcal{U}\)-catégories \(S\) avec \(\varprojlim\) quelc. et familles [petites] sous-ens. génératrices par épi. stricts [i.e. telles que \(S \to \widehat{I^{\circ}}\) soit conservatif]. La donnée d'une base [de \(T\)] équivaut à celle dans […] d'une famille d'objets cogénératrice de \(S\). le corollaire est marqué d'un trait vertical en marge

Pour toute \(C \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), on a \[ T(C) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta}(S^{\circ}, C) \] L'équivalence est obtenue en notant que le deuxième est la catégorie formée des foncteurs tels que \(\forall X \in C\), le composé avec \(\mathrm{Hom}_{C}(X, -)\) est représentable, donc le deuxième s'interprète comme les foncteurs \(S^{\circ} \times C^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) qui sont représentables par chaque argument fixé, ou comme les foncteurs \(C^{\circ} \to S\) qui sont tels que pour tout \(Y \in S\), sa composé avec \(\mathrm{Hom}(Y, -)\) soit représentable. Or on a \[ T(C) \longrightarrow \mathrm{Hom}(C^{\circ}, T(\mathrm{Ens})) = \mathrm{Hom}(C^{\circ}, S) \] (déduit de \(C^{\circ} \to \mathrm{Hom}_{\Delta}(C, \mathrm{Ens}) \subset \widehat{C^{\circ}}\) induisant \(C^{\circ} \to \mathrm{Hom}(T(C), T(\mathrm{Ens}))\), i.e. \(T(C) \to \struck{\ill{}} \mathrm{Hom}(C^{\circ}, T(\mathrm{Ens}))\)).

(4)Comme \(S = T(\mathrm{Ens})\) a des \(\varprojlim\) quelc. et \(S \cong R^{\circ}\), \(R\) a aussi des \(\varinjlim\) quelc., donc \(R \to R'\) [\(\varprojlim\) et \(\varinjlim\)] entre objets de \(\Delta\). la ligne est écrite en surcharge sur une amorce biffée
(5)Soit un foncteur \(\varphi : R \to R'\) [\(S\) et \(R\) ont toutes les \(\varprojlim\)]. Si \(R\) a une petite famille cogénératrice, alors \(\varphi\) est un \(\Delta\)-foncteur, i.e. commute aux \(\varprojlim\), ssi il admet un adjoint à gauche \(\psi\) \[ \mathrm{Hom}(\psi(Y'), X) \simeq \mathrm{Hom}(Y', \varphi(X)) \] Alors \(\varphi\) est un plongement à une sous-catégorie \(R'\) est une sous-catégorie \(\psi\) est […] […] ssi \(\psi\) est pl. fidèle, (et alors \(R'\) a une p. famille cog.). Ainsi les sous-catégories […] Les théories de la th. algébrique \(R\) [\(R_{0}\)] correspondent aux sous à : \underline{certaines} sous-catégories pleines de \(R\), savoir celles qui ont des \(\varprojlim\) et pleines par des foncteurs d'inclusion \(\varphi\) ont un adjoint à gauche. En termes de \(S = R^{\circ} = T(\mathrm{Ens})\), [et \(S' = R'^{\circ} = T'(\mathrm{Ens})\)] ce sont les sous-catégo- ainsi les \(\Delta\)-foncteurs \(\varphi : R \to R'\) (i.e. \(T' \to T\)) correspondent aux foncteurs \(\psi : S' \to S\) […] qui admettent un adjoint […] ; […] […]

73en tête : \(S' = R'^{\circ}\), \(S = R^{\circ}\), au-dessus des deux membres de la ligne suivante ries \(\varphi^{\circ} : T'(\mathrm{Ens}) \to T(\mathrm{Ens})\) est simplement le foncteur associé à \(T' \to T\) déduit de \(\varphi\). Ce foncteur doit donc commuter aux \(\varprojlim\) quelc. [donc ce qui exprime simplement que \(\psi\) commute aux \(\varinjlim\), alors et c'est un adjoint à g.] Donc les sous-théories de \(T\) correspondent aux sous-catégories pleines \(S'\) de \(S\), admettant des [stables par \(\varprojlim\), en un certain sens […] par les autres conditions] admettant des \underline{\(\varprojlim\)} quelconques (mais pas nécessairement stables par les dites) et telles que le foncteur d'inclusion \(S' \xrightarrow{\ i\ (=\varphi^{\circ})\ } S\) ait un adjoint à \underline{gauche} \(j\) (\(= \psi^{\circ}\)) \[ \mathrm{Hom}_{S}(x, i(y')) \simeq \mathrm{Hom}(jx, y') \] Alors on a des foncteurs […] adjoints […] [Mais en général ? […] (Structure (foncteurs \(S'\) \(S\)-structure) deux lignes biffées, une amorce de crochet abandonnée \(S' \to\) structure « libre » définie par une \(S\)-structure) Mais en général, il n'y a pas moyen de définir pour tt \(C \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) un foncteur \(T(C) \to T'(C)\) qui les redonne pour \(C = \mathrm{Ens}\) [\underline{NB} Cependant, si \(C\) est un \underline{topos}, et si \(T\), \(T'\) se définissent au st. des \(\varprojlim\) finies, c'est OK …]

\underline{NB} La 2-catégorie des théories algébriques pour \(\Delta\) est 2-équivalente à la 2-catégorie des cat. \(S\) qui sont stables par \(\varprojlim\) [petites] quelc. et qui ont une petite sous-catégorie str. génératrice, dans les foncteurs qui commutent aux \(\varprojlim\) (mais, en renversant les flèches pour les morphismes ?). Ce sont aussi les catégories telles que les foncteurs qui transforment \(\varprojlim\) quelc. en […] […] une ligne et demie biffées

(3)\(d'\) toutes les [\(d'\)] famille de diagrammes [quelconque], […] les […] finis \(d'' = \emptyset\), pas de \underline{conditions d'exactitude}. \(d'_{0}\) l'ens. de tous les diagrammes finis, \(d'_{1}\) l'ens. de tous les petits diagrammes, et \(\Delta \supset \Delta_{0} \supset \Delta_{1}\) les solutions correspondantes. les indices \(0\) et \(1\) des deux \(d'\) se lisent mal ; l'ordre \(\Delta \supset \Delta_{0} \supset \Delta_{1}\) demande que \(d'_{0}\) soit le plus petit \underline{Pb 1} \(\Delta\)-Enveloppe [\(\rho_{\Delta}(I)\)] d'une catégorie \(I\). Soit \(\bar{I}\) […] [\(= \widehat{I^{\circ}}{}^{\circ}\)] sa \(\Delta_{1}\)-enveloppe, et soit \(\tilde{I}\) la sous-catégorie pl. de \(\bar{I}\) formée des \(\varprojlim\) des types \(d'\) d'objets de \(I\) [\underline{NB} \(I \to \bar{I}\) pl. fid. !]. Je dis que cela marche, \underline{pourvu que} […] les objets […] \(\tilde{I}\) est stable pour les \(\varprojlim\) des diagrammes finis discrets, ou \(d' \ni\) un \(d'\) […] [\(C\) c'est le cas si \(d' =\) ens. des […] de tous les diagrammes finis (!)…) sinon on doit prévoir et prendre pour \(\tilde{I}\) la plus petite sous-catégorie [str.] pleine de \(\bar{I}\) contenant \(I\) et stable par \(\varprojlim\) de type \(d'\). en diagonale, dans la marge : pb 1 et pb 1' […] […] petits […] diagrammes finis En effet, on a pour \(C \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) \[ \mathrm{Hom}_{\struck{\mathrm{Cat}}}(I, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\Delta_{1}}(\bar{I}, \bar{C}), \] le premier Hom porte un indice biffé et repassé « Cat » ; le second est marqué \(\Delta_{1}\) et l'iso. gén. [de foncteurs [pl. fidèles […]]] fournie [de(s) foncteurs \(\bar{I} \xrightarrow{\ \bar{\varphi}\ } \bar{C}\) tels que \(\bar{\varphi}(I) \subset \struck{\ill{}} C\) (ess.)]. Mais […] Soit \(\rho(C)\) la \(\Delta\)-\(\Delta_{1}\) enveloppe de \(C\) i.e. la \(\Delta_{1}\)-catégorie [\(\varphi'(C)\)] avec \(\Delta\)-foncteur \(C \xrightarrow{\ i\ } \rho(C)\) \underline{universel} [c'est une catégorie pleine de foncteurs de \(\bar{C}\)]. Admettons que le foncteur est pleinement fidèle (Pb auxiliaire) \(I \to C\) se prolonge en foncteurs une ligne et demie biffées Alors les foncteurs \(\varphi : I \to C\) En effet, […] les foncteurs […] […] à \(\varphi\) les f. […] \(I\) dans l'image ess. correspondent aux foncteurs \(\psi = i\varphi : \tilde{I} \to \rho(C)\) [qui envoient \(I\) dans l'image essentielle de \(C\) par \(i\)], ou encore les foncteurs \(\bar{\psi} : \bar{I} \to \rho(C)\) tels que \(\bar{\psi}(I)\) soit contenu dans l'image essentielle de \(C\) ; de tels \(\bar{\psi}\) envoient \(\tilde{I}\) dans \(C\), d'où \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(I, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\Delta}(\tilde{I}, C), \] donc un foncteur « restriction » en sens inverse. Il est clair que les composés dans les deux sens sont l'identité, OK. \underline{Pb 1'} \underline{ou} Pb \underline{auxiliaire} Si \(C \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), montrer que \(C \to \rho(C)\) est pl. fidèle. Je dis qu'on a \[ \rho(C) = \mathrm{Hom}_{\Delta}(C, \mathrm{Ens})^{\circ} = T_{C}(\mathrm{Ens})^{\circ}, \]

75le foncteur \(C \to \rho(C)\) [\(= \mathrm{Hom}(C, \mathrm{Ens})^{\circ} = \widehat{C^{\circ}}{}^{\circ}\)] donné donné par un associant : tt objet de \(C\) le foncteur covariant qu'il représente (donc il est clair que \(C \to \rho(C)\) est pl. fidèle !). On a en effet, si \(D\) est une catégorie où les \(\varprojlim\) quelc. […] et si \(\rho(C)\) est définie comme le [\(\Delta \to \Delta_{1}\) enveloppe] \[\begin{gather*} \mathrm{Hom}_{\Delta_{1}}(C, D) \simeq \mathrm{Hom}_{\Delta_{1}} (\rho(C), D) \simeq \ill{}, \\ \rho(C) \cong T_{\rho(C), \Delta_{1}}(\mathrm{Ens})^{\circ} \cong T_{C, \Delta}(\mathrm{Ens})^{\circ} = \mathrm{Hom}_{\Delta}(C, \mathrm{Ens})^{\circ} : \text{OK.} \end{gather*}\] les deux lignes sont reliées par des traits d'insertion ; l'ordre donné ici est celui que les traits indiquent

\underline{Pb 2} \(C \in \Delta\), \(\Sigma \subset \mathrm{Fl}\), construire \(C\Sigma^{-1}\) \underline{dans \(\Delta\)}, et des ens. de couples de flèches qu'on veut égaliser. Tout marche bien si quotient [d'où] Soit \(\rho(C, \Sigma)\) la [\(\Delta_{1}\)-]catégorie de [fractions] de \(\rho(C)\), définie par \(\Sigma\), et soit \(C'\) la plus petite [\(\Delta\)-]sous-catégorie [str. pleine] de \(\rho(C, \Sigma)\) qui telle que \(C \to \rho(C, \Sigma)\) se factorise par \(C'\), [i.e. telle que \(C'\) contienne la sous-catégorie \underline{pleine} \(C\Sigma^{-1}\)]. (Soit \(D \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), alors les \(\Delta\)-foncteurs \(\varphi : C \to D\) correspondent aux \(\Delta_{1}\)-foncteurs \(\psi : \rho(C) \to \rho(D)\) tels que \(\psi\) envoie \(C\) dans (la ss-cat. pleine) \(D\), et les \(\Delta\)-\(\Sigma\)-foncteurs « i.e. » tels que les foncteurs \(\psi' : \rho(C, \Sigma) \to \rho(D)\) […] qui envoient \(C\) dans \(D\), ou […] ou qui envoient aussi \(C'\) dans \(D\). Donc \[ \mathrm{Hom}_{\Delta, \Sigma}(C, D) \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Hom}_{\Delta}(C', D), \] sous la flèche, une flèche en sens inverse marquée \(\beta\) et \(\beta\) le foncteur restriction en sens inverse. Il est clair que les deux composés […] \(\beta\alpha\) […] les foncteurs identiques, […] pour \(\alpha\beta\) on note que […] \(\beta\) est pl. fidèle \(\beta\) est pl. fidèle. OK. C'est déduit de \(C\Sigma^{-1} \subset \rho(C, \Sigma)\) en rajoutant transfiniment des \(\varprojlim\) de type \(d'\), et que sait que \(\mathrm{Hom}_{\Delta}(C', D) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C, D)\) est pl. fidèle (car \(\mathrm{Hom}_{\Delta}(C', D) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{Cat}}(C', D)\) l'est …). en diagonale, dans la marge, sur deux registres : i.e. \(\Sigma\) contient […] les diagrammes […] produits et […] […] dans \(C\Sigma^{-1}\), les […] […] ; […] p. ex. […] finis discrets

\underline{NB} Dans les deux cas envisagés (Pb 1 et Pb 2), la catégorie résultante (de \(I\), resp. de \(C\)) se déduit de la sous-catégorie pleine de \(I\) (resp. de \(C\)) […] en rajoutant des \(\varprojlim\) de type \(d'\) (transfiniment au besoin). On trouve sauf erreur : en regard, en diagonale : il faudrait encore regarder […] des \(\varprojlim\) […] […] fibres

\underline{Th.} Les théories algébriques de type \(\Delta\) sont celles qui sont 2-représentées par des \(R \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) ayant une petite sous-catégorie [\(I'\)] qui \(d'\)-génératrice [i.e. tous objets de \(R\) est la réunion d'une suite transfinie de sous-catégories str. pleines de \(R\) déduites en rajoutant des \(\varprojlim\) de type \(d'\)]. Un foncteur \(I \to R\) [(\(I\) discret)] est basique ssi il est \(d'\)-cogénérateur.

76On est encore ramené à prouver ce dernier énoncé. On procède comme dans 2°), en introduisant la sous-cat. pleine \(I'\) de \(R\) telle que \(\mathrm{Ob}\,I' = I\), d'où \(T_{R} \to T_{\tilde{I}'}\) \underline{pl. fidèle}. Regardons \(\tilde{I}' \to R\), il est [ess.] surjectif sur les objets et surjectif sur les Hom, […] est-il ens. surjectif ? OK. Si la fonction \(d'\) […] satisfait aux conditions écrites plus haut, car alors on trouve un [\(\Delta\)-]foncteur pl. fidèle \[ \tilde{I}'\Sigma^{-1} \longrightarrow R, \] sous \(\tilde{I}'\Sigma^{-1}\) : « catégorie de fractions […] » […] qui donc est ens. surjectif. Donc on trouve

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & \tilde{I}' \arrow[dr] \arrow[ddl] & \\
  I' \arrow[ur] \arrow[rr] \arrow[d, "\text{pl. fid.}"'] & & \bar{I}' \arrow[d, "\text{ess. surj., et surjectif sur les Hom}"] \\
  R & & \rho(R) \arrow[ll, hook']
\end{tikzcd}

\(I'\) cogénérateur strict \(R\) \\ qui cogénérateur str. \(\rho(R)\) \\ donc \(I'\) cogénérateur str. \(\rho(R)\) (?) ces trois lignes sont disposées en escalier sous le diagramme ; le point d'interrogation est le sien

Si \(d'\) satisfait aux conditions envisagées (p. ex. \(d' =\) ens. des diagrammes finis)

\underline{Cor Main} On peut construire les théories algébriques pour \(\Delta\) en trois pas, comme pour \(\Delta_{1}\) : on prend une catégorie \(I'\) ayant \(I\) comme ens. d'objets (pas 1° et 2°) et prend une catégorie des fractions de \(\tilde{I}'\).

marqué d'un double trait en marge : Mais la conclusion est valable si p. ex. \(d'\) est formé des diagrammes discrets, stable par passage à un sous-diagramme ( […]

Néanmoins, dans le cas d'un \(d'\) général (\(=\) formé de diagrammes finis) il semble qu'il faille une construction récurrente transfinie

\underline{Question} […] Supposons \(d'\) petit. Alors une \(R\) telle que \(R\) admettant une petite ss-catégorie \(d'\)-cogénératrice (donc 2-rep correspondant à une théorie algébrique pour \(\Delta\)) est petite, car … les membres de la phrase sont reliés par des traits de renvoi ; l'ordre donné est celui des traits

4°)Cas \(d' =\) ens. des diagrammes finis, \(d'' = \emptyset\), pas de \underline{conditions d'exactitude}. Comme \(d'\) est petite, les \(R \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{0}\) qui 2-représentent des th. algébriques sont les \(R\) ens. petites (stables par \(\varprojlim\) finies). […] une ligne et demie biffées

\(T\) théorie algébrique pour \(\Delta\) \\ \(R \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) qui représente \(T\) \\ \(S = T(\mathrm{Ens}) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(R, \mathrm{Ens})\) \\ \(\Sigma \subset S\) (structures représentables)

les quatre lignes sont réunies par une accolade Tout se détermine mutuellement \[\begin{align*} R :\quad & T = T_{R} : C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(R, C) \\ & S = \struck{\ill{}}\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(R, \mathrm{Ens}) \\ & \Sigma \cong R^{\circ} \subset S \text{ par foncteurs repr.} \\ \Sigma :\quad & R = \Sigma^{\circ} \\ & T : C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}} (\Sigma^{\circ}, C) \\ & S = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(S^{\circ}, C), \text{ contient } \Sigma \text{ comme sous-catégorie pleine.} \end{align*}\] la dernière ligne est écrite ainsi, avec \(S^{\circ}\) et \(C\) ; la ligne symétrique demande \(\Sigma^{\circ}\) et Ens ; un mot biffé suit

Reste à voir […] Autre façon de déduire \(S\) de \(R\) ou \(\Sigma\)

\underline{Lemme} : […] Le foncteur inclusion \(\Sigma \to S\) définit une \underline{équivalence} \[ \mathrm{Ind}(\Sigma) \longrightarrow S \] en diagonale, dans la marge : cf. SGA 4 I 8.7.5 (a) \(\Sigma \in S \subset \underline{\mathrm{Hom}}(\ill{}, \mathrm{Ens})\) […] ; (ii) \(\Sigma\) stable par \(\varprojlim\) finies ; (iii) \(\Sigma\) […] petits […] En effet, […] on sait que \(\Sigma \to S\) est universel pour des foncteurs \(\Sigma \to D\) [[…] \(D\) à \(\varinjlim\) filtrantes] exacts à gauche. Or montrons que \(\Sigma \to \mathrm{Ind}(\Sigma)\) [(On sait que \(\mathrm{Ind}(\Sigma)\) a des \(\varinjlim\) filtrantes et des \(\varprojlim\) finies (donc quelc.) car \(\Sigma\) les a, et \(\Sigma \to \mathrm{Ind}(\Sigma)\) y commute.)] En effet les SGA 4 I 8.9.5 ; puis, plus bas : SGA 4 I 8.7.3 Les foncteurs \underline{exacts} \(\Sigma \to D\) correspondent aux foncteurs \(\mathrm{Ind}(\Sigma) \to D\) qui commutent aux \(\varinjlim\) [filtrantes] et aux \(\varprojlim\) finies, soit ceux qui, sur \(\Sigma\), y commutent [nécessité triviale, pour la suffisance, \(\mathrm{Ind}(\Sigma) \to \mathrm{Ind}(D)\) commute aux est exact à droite, […] finies ([…], […], […]) (c'est un adjoint à g, qui commute à […]) et par I 8.9.8 \(\mathrm{Ind}\,D \to D\) l'est aussi (c'est aux limites inductives) ok]

\underline{Corollaire} Pour tout [Soit \(X \in S\). Pour que \(X \in \Sigma\), il f. et s. que] [\(X \in \Sigma\),] le foncteur \(\mathrm{Hom}(X, -)\) sur \(S\) commute aux \(\varinjlim\) filtrantes. la phrase est récrite par-dessus une première rédaction ; les membres sont donnés dans l'ordre des traits de renvoi

C'est évidemment nécessaire, par construction des Hom dans \(\mathrm{Ind}(S)\). C'est suffisant, car si \(X \in S\), on aura \(X = \varinjlim_{i} X_{i}\) (\(X_{i} \in \mathrm{Ob}\,\Sigma\)), [filtrantes], le morphisme identique se factorise par un des \(X_{i}\), donc […] un \(X_{i} \to X\) ayant une section, donc \(X\) est un composant […] [p. ex.] […] donc stable (c'est un noyau) donc \(\Sigma \to S\) OK. en bas à gauche, en diagonale : NB Montrer […] catégorie […] ? cf. aussi SGA 4 I 8.7.8

78Donc \(\Sigma\) se reconstitue à partir de \(S\) comme l'ensemble des ob. sous-catégorie (str.) pleine des objets « de présentation finie » ! \[\begin{align*} S :\quad & \Sigma = S_{\mathrm{pf}} \subset S \\ & R = \Sigma^{\circ} \\ & T : C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}} (S_{\mathrm{pf}}{}^{\circ}, C) \\ T :\quad & S = T(\mathrm{Ens}) \\ & \Sigma = S_{\mathrm{pf}} = T(\mathrm{Ens})_{\mathrm{pf}} \\ & R = \Sigma^{\circ} \end{align*}\]

\underline{Corollaire} Pour qu'une théorie \(\Delta_{1}\)-théorie [\(T\)] (par \(\varprojlim\) quelc.) provienne d'une théorie définissable par \(\varprojlim\) finies, il f. et s. que \(S = S_{T} = T(\mathrm{Ens})\) soit […] strictement engendrée par ses [la sous-catégorie pleine des] objets de prés. finie, ou encore que \(S \to \struck{\ill{}}\ \hat{\Sigma}\) soit pleinement fidèle. (Alors \(\Sigma^{\circ}\) est la catégorie classifiante pour la théorie sur \(\Delta_{0}\) qui donne naissance à \(T\)).

\underline{Corollaire} Le 2-foncteur de restriction : \(\Delta_{1}\) des théories algébriques sur \(\Delta_{0}\) est 1-fidèle, i.e. pour […] deux théories \(T\), \(T'\) sur \(\Delta_{0}\), \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Th}_{\Delta_{0}}}(T, T') \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Th}_{\Delta_{1}}} (T_{1}, T'_{1}) \quad \text{pl. fidèle.} \] L'image essentielle est formée des foncteurs \(T_{1} \to T'_{1}\) qui sont tels que \[ S = T(\mathrm{Ens}) \add{= T_{1}(\mathrm{Ens})} \longrightarrow S' = T'(\mathrm{Ens}) = T'_{1}(\mathrm{Ens}) \] transforme objets de P.F. en objets de P.F. [On pourrait les appeler les morphismes de prés. finie, ou cohérents, de théories…].

\underline{Question} Considérons \(\Delta\) défini par \(d' =\) ens. des diagrammes finis \underline{discrets}, \(d'' = \emptyset\), pas de condition d'exactitude. Soit \(R\) une petite cat. \(\in \mathrm{Ob}\, \Delta\), \[ \Sigma = R^{\circ} \subset S = T_{R}(\mathrm{Ens}) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{prod}}(R, \mathrm{Ens}). \] Peut-il se faire que \(S\) soit défini par des sous-catégories [str. pleines] essentielles […] […] on voit aussi Comment trouver [des] \(\Sigma_{0}\) telles que \(S \cong \rho_{\Delta, \Delta_{1}}(\Sigma)\) ? On aura évidemment \(\Sigma \subset S_{\mathrm{pf}} = \Sigma_{0}\) et \(S_{\mathrm{pf}} \cong \rho_{\Delta, \Delta_{0}}(\Sigma)\) (conditions nécessaires) [et suffisantes ?] Donc la question se ramène en termes d'une \(\Sigma_{0} \in \mathrm{Ob}\, \Delta_{0}\) et d'une [sous-catégorie pleine] famille génératrice dans \(\Sigma_{0}\) de \(\Sigma\), stable par sommes finies… le paragraphe est marqué d'un trait vertical en marge ; le « question » de tête est surchargé

80en diagonale, en haut à gauche, au crayon : traiter le cas avec quelques \(d'\) distincts liste de cas, numérotés dans des cercles ; des flèches en marge renvoient (4') au-dessus de (4'') et (5') au-dessus de (5), et le numéro de la ligne « Topos » est repassé

(1)\(\varprojlim\) finies, foncteurs exacts
(1')\(\varprojlim\) de type \(d'\), foncteurs qui y commutent
(1'')Catégories [pré]ordonnées avec Inf finis, foncteurs qui y commutent
(2)\(\varinjlim\) finies et \(\varprojlim\) finies, foncteurs exacts
(2')Prétopos (axiomes « finis » des topos) foncteurs exacts
(2'')Catégories semi-additives, foncteurs additifs
(2''')Catégories additives, foncteurs additifs
(2'''')Catégories abéliennes, foncteurs exacts [foncteurs additifs ?] un numéro biffé précède
(3)\((\mathrm{Cat}_{d})\), avec \((d', d'')\) petits
(4)Cat avec \(\varprojlim\) finies, \(\varinjlim\) filtrantes exactes, foncteurs qui y commutent [et \(+\) […] ?]
(4'')Cat. préordonnées avec inf finis, sup quelconques, que inf distributifs par sup quelc., foncteurs commutant aux inf finis et sup quelc.
(4')\(\varprojlim\) finies, \(\varinjlim\) quelc., sommes disjointes universelles, \(\varinjlim\) filtrantes exactes, foncteurs [exacts] commutant aux \(\varinjlim\)
(5)\(\varprojlim\) et \(\varinjlim\) quelc., foncteurs qui y commutent
(5')Topos
(6')Topos essentiels (\(\cong \hat{C}\), i.e. ayant assez de pts essentiels, i.e. ayant les propriétés [d'exactitude] (pour \(\varinjlim\) et \(\varprojlim\) de la cat. des ens.), morphismes essentiels de topos.

le numéro de « Topos » se lit (5') ou (6) ; la dernière ligne parle de (6) et (6')

Je m'attends à des ennuis (de sortie de l'Univers) [des ennuis avec (6) et (6')]