Fonds Grothendieck, cote n° 161-2, pages 1–20

Algèbre universelle

titre porté de sa main sur l'onglet de la chemise (feuillet 1, non transcrit)

Théorème Soient d = (d', d'') un couple de petits ens. de diagrammes, C une catégorie ess. petite, \delta = (\delta', \delta'') un petit ens. de cônes projectifs et inductifs dans C, \Delta = \Delta_{d} = \Delta_{d',d''} : la catégorie des catégories ayant des \lim de type d, avec foncteurs y commutant.

~~Alors il existe~~

Pour tout E \in \mathrm{Ob}\,\Delta, soit \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta}(C,E) la sous-cat. pleine de \underline{\mathrm{Hom}}(C,E) formée des foncteurs qui sont \delta-exacts. Si est de même de (\delta'_1, \delta''_1) et est \in \Delta, on définit de même \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta_1}(C_1,E). Ceci posé, il existe une catégorie \bar{C}_{\delta} \in \mathrm{Ob}\,\Delta, et un foncteur i : C \to \bar{C}_{\delta}, tel que

a)i soit \delta-exact, i.e. i \in \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, \bar{C}_{\delta}) ; b)il soit universel en le sens suivant : pour tout E \in \mathrm{Ob}\,\Delta, le foncteur \varphi \mapsto \varphi i induit une équivalence \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, i(\delta)}(\bar{C}_{\delta}, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E)

[i.e. (\bar{C}_{\delta}, i) est objet 2-initial de la 2-catégorie des ~~topos~~ \in \mathrm{Ob}\,\Delta, E tels que C \to E soit \delta-exact]. De plus, \bar{C}_{\delta} est ess. petite. le glyphe lu ici E a la forme du C qu'il trace ailleurs ; le sens exige un objet de \Delta

N.B. Ce Pb redonne à la fois le Pb 1 (\delta' = \delta'' = \emptyset) et le Pb 2 (C \in \mathrm{Ob}\,\Delta, \delta' = ~~diagrammes~~ cônes pr. de type d' exacts ~~égaux~~ \cup les diagrammes (x \to y) \in \Sigma, \delta'' = ~~diagrammes~~ cônes inductifs de type d'' exacts). On verra que le Th. permet aussi de traiter les cas de conditions d'exactitude.

Dém. On construit par récurrence transfinie une suite transfinie de petites catégories C_i sous C, munies de \delta_i = (\delta'_i, \delta''_i) (petit) : C \;\xrightarrow{\ \alpha_i\ }\; C_i \;\xrightarrow{\ \tau_i\ }\; C_{i+1} \begin{cases} C_0 = C, \quad \delta_0 = \delta = (\delta', \delta''), \\ (C_{i+1}, \delta_{i+1}) = K(C_i, \delta_i), \\ C_i = \varinjlim_{j<i,\ (\mathrm{Cat})} C_j \quad \text{si $i$ ordinal limite.} \end{cases} ~~(C_{i+1}, \delta'_{i+1}) déduit de (C_i, \delta_i) ainsi :~~ — K étant explicité ci-dessous ; et, pour i ordinal limite, \delta'_i = \bigcup \mathrm{Im.}\ \delta'_j dans C_i, \delta''_i = \bigcup \mathrm{Im.}\ \delta''_j dans C_i.

Les propriétés essentielles de K(C,\delta) sont résumées dans :

a)\tau_i : C_i \to C_{i+1} est ~~préexact~~ \delta_i-préexact_{\delta}, i.e. a'_1)~~Une double flèche z \rightrightarrows x~~ Pour (x \xrightarrow{\,p_\lambda\,} x_\lambda) \in d'_i, et tout ~~dans le~~ couple de flèches z \overset{u}{\underset{v}{\rightrightarrows}} x telles que p_\lambda u = p_\lambda v \forall \lambda, on a \tau_i(u) = \tau_i(v). il écrit ici d'_i ; plus bas, feuillet 5, la construction \rho porte sur \delta'' a'_2)Pour toute augmentation (z \xrightarrow{\,q_\lambda\,} x_\lambda) du syst. proj., il existe \tau_i(z) \dashrightarrow \tau_i(x) telle que \tau_i(p_\lambda) \circ q = \tau_i(q_\lambda) \forall \lambda. a'') les mêmes, avec d''_i au lieu de d'_i.

~~b) Tout diagramme d'_{i+1} \supset d' \to \delta_{i+1} \to \tau_i(\delta_i)~~

b')\forall diagramme \Theta' de type d' dans C_i, \exists une augmentation de \tau_i(\Theta') qui soit \in \delta'_{i+1} ; b'')\forall diagramme \Theta'' de type d'' dans C_i, \exists une augmentation de \tau_i(\Theta'') dans \delta''_{i+1}. c)\delta'_{i+1} = \tau_i(\delta'_i) \cup diagrammes de type d' ; \delta''_{i+1} = \tau_i(\delta''_i) \cup diagrammes de type d''. ~~de \delta'_{i+1} de type \Theta' et d' (\Theta'' \in d'') est dans \tau_i(\delta'_i), (\tau_i(\delta''_i))~~ d)\forall catégorie E \in \mathrm{Ob}\,\Delta, le foncteur \varphi \mapsto \varphi \circ \tau_i induit une équivalence \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i+1}}(C_{i+1}, E) \;\longrightarrow\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_i}(C_i, E).

La La construction de K : (C,\delta) \mapsto K(C,\delta) sera donnée plus bas. On ~~peut~~ voit maintenant comment elle permet de terminer.

de c) on conclut par récurrence transfinie : (c^{*}) \delta'_i = \alpha_i(\delta') \cup images des diagrammes de type d' ; \delta''_i = \alpha_i(\delta'') \cup de type d''.

~~De c) on conclut par récurrence transfinie~~

De d), on déduit par récurrence transfinie (d^{*}) \qquad \boxed{\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_i}(C_i, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E)\ } \qquad \varphi \mapsto \varphi \circ \alpha_i . ordinal ?

Donc on a terminé si on montre qu'il existe \omega tel que

1^{\circ})C_\omega \in \mathrm{Ob}\,\Delta ; 2^{\circ})\alpha_\omega : C \to C_\omega est \delta-exact ; 3^{\circ})\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_\omega}(C_\omega, E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, \uncertain{\alpha_\omega}(\delta)}(C_0, E).

Soit pour ceci \pi un cardinal tel que \pi > \mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,\Theta, si \Theta \in d' ou \Theta \in d'', ou \Theta indexe un \in \delta' ou un \in \delta'' ; et \omega le plus petit ordinal de cardinal \geqslant \pi. Donc

j < \omega est grand devant \mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,\Theta, pour tout \Theta comme dessus.

On va établir d'abord le point suivant, plus fort que 2^{\circ}) : (*) \qquad \forall\, j < \omega, \quad C_j \to C_\omega \ \text{est}\ \delta_j\text{-exact}. Cela résulte aisément de a) et c) et de la grandeur de \omega. Détailler la démonstration

On ~~peut~~ en conclut 1^{\circ}), utilisant (*) et b).

Pour prouver 3^{\circ}), on note que b) et c) et la grandeur de \omega indiquent (**) \qquad \delta_\omega = \text{(cônes exacts de types $d'$ et $d''$)} \ \cup\ \alpha_\omega(\delta).

Tout revient donc à construire K(C,\delta), de façon à satisfaire a) ; d).

On construit (C,\delta) \mapsto K(C,\delta) comme composé (C,\delta) \mapsto \sigma\rho(C,\delta) de deux constructions, dont chacune fait environ la moitié du boulot :

(C,\delta) \mapsto \rho(C,\delta) se fait en plusieurs étapes. On considère \Delta_{(\emptyset,\, d'')} = \Delta'', \Delta_{(d',\, \emptyset)} = \Delta'. Dans chacune, on doit vérifier l'analogue des c) et d) (ce qui sera vrai pour la composée)

~~plus précis :~~

\rho_1(C,\delta) = (C_1, \delta_1), où C_1 est la \Delta''-enveloppe de C, \tau_0 : C_0 \to C_1 ; \delta'_1 = \tau_0(\delta'), \delta''_1 = \tau_0(\delta'') \cup (diagrammes de type d'' de C_1). Cela assure b') c) et d) vérifiés

\rho_2(C_1, \delta_1) = (C_2, \delta_2), \tau_1 : C_1 \to C_2, avec C_2 déduit de C_1 en égalisant toutes les couples de flèches z \overset{u}{\underset{v}{\rightrightarrows}} x dans C_1, telles que x d'une (x \xrightarrow{\,p_\lambda\,} x_\lambda) \in \delta''_1, satisfaisant p_\lambda u = p_\lambda v pour tout \lambda. On a \delta_2 = \tau_1(\delta_1). Cela assure a'_1. c) et d) sont vérifiés

\rho_3(C_2, \delta_2) = (C_3, \delta_3), \tau_2 : C_2 \to C_3, avec C_3 déduit de C_2 en rajoutant, pour tout \Theta'' = (x \xrightarrow{\,p_\lambda\,} x_\lambda) \in \delta''_2 et toute augmentation q = (z \xrightarrow{\,q_\lambda\,} x_\lambda)_\lambda du système projectif (x_\lambda), une flèche u_{\Theta'',\, q} : z \to x dans C_3, satisfaisant p_\lambda u_{\Theta'',\, q} = q_\lambda \forall \lambda. On a \delta_3 = \tau_2(\delta_2). Cela assure a'_2. c) et d) vérifiés

\rho(C,\delta) = \rho_3 \rho_2 \rho_1 (C,\delta). On définit de façon analogue une ~~opération~~ construction \sigma = \sigma_3 \sigma_2 \sigma_1, assurant successivement b''), ~~b''_1~~ a''_1, a''_2. On pose K(C,\delta) = \sigma\rho(C,\delta) = \sigma_3 \sigma_2 \sigma_1 \rho_3 \rho_2 \rho_1 (C,\delta). Il a les propriétés a) à d) voulues.

N.B. L'ordre dans lequel on a n'est pas d'importance. On pourrait prendre par ex. K'(C,\delta) = \sigma_1 \rho_3 \sigma_2 \rho_1 \rho_2 \sigma_3 (C,\delta)\ ! composé les 6 opérations \sigma_i, ~~et les~~ \rho_i . La ~~chose~~ ayant une signification intrinsèque est la limite des itérés transfinis de K

Conditions d'exactitude

On se donne des triplets ~~des petites catégories~~ des \Delta-foncteurs entre catégories dans \Delta = \Delta_d = \Delta_{(d',d'')}, f^{(i)}_\lambda : R^{(i)}_\lambda \longrightarrow R'^{(i)}_\lambda \qquad (i = 0,1,2), f^{i} = (f_\lambda), f = (f^{(0)}, f^{(1)}, f^{(2)}). (petits)

\Delta_f = la sous-2-catégorie pleine de \Delta formée des E \in \mathrm{Ob}\,\Delta tels que, ~~le foncteur \varphi \mapsto \varphi f~~ pour tout \varphi : R \to R' dans \Delta, les foncteurs u \mapsto u \circ \varphi, de \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R', E) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E), soient

a_0)surjectifs si \varphi est un f^0_\lambda ; a_1)~~sont~~ bijectifs injectifs si \varphi est un f^1_\lambda ; a_2) si \varphi est un f^2_\lambda.

(Les foncteurs sur E les foncteurs exacts)

Avec les notations précédentes :

Théorème [Soit (C,\delta) comme dans le Th. Alors on peut trouver un foncteur \delta-exact C \xrightarrow{\ i\ } \bar{C}, avec \bar{C} \in \mathrm{Ob}\,\Delta_f, et qui soit 2-universel pour ces propriétés. De plus, \bar{C} est ess. petite. Cela revient en particulier Pb 1 et Pb 2 et Pb 2' (pour \Delta_f).]

On peut faire la construction de K(\bar{C}, \bar{\delta}) en trois étapes, par construction transfinie comme K(C,\delta) = \rho_2 \rho_1 \rho_0 (C,\delta), avec \rho_0) précédemment, sont des conditions, \rho_2) aux a) b) c). \rho_0) Si R \xrightarrow{\varphi} R' est f^i_\lambda, et u, v : R' \rightrightarrows C_i. tout ce début de feuillet est biffé de deux longs traits diagonaux

Utilisant le Th. précédent, on peut supposer que C \in \mathrm{Ob}\,\Delta, et \delta' (\delta'') ~~contient les~~ ~~diagrammes~~ (exacts de type d' (d'')), de sorte que \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta}(C, E) \qquad \forall\, E \in \mathrm{Ob}\,\Delta . (petite)

On va faire une construction transfinie (C_i, \delta_i), C_i \in \mathrm{Ob}\,\Delta, foncteurs de transition dans \Delta : \begin{cases} (C_0, \delta_0) = (C, \delta), \\ (C_{i+1}, \delta_{i+1}) = K(C_i, \delta_i), \quad \tau_i : C_i \to C_{i+1}, \quad \delta_{i+1} = \tau_i(\delta_i), \\ C_i = \varinjlim_{j < i,\ (\Delta)} C_j \ \text{ si $i$ ordinal limite,} \quad \delta_i = \textstyle\bigcup_{j<i} \mathrm{Im.\ de\ } \delta_j \ \text{dans } C_i . \end{cases}

On construit (C,\delta) \mapsto K(C,\delta) de façon à satisfaire les conditions suivantes :

a_0)Pour tout foncteur R \xrightarrow{\ \varphi\ } R' parmi les f^{(i)}_\lambda (i = 0,1,2), et pour tout couple de foncteurs u', v' : R' \rightrightarrows C_i, et une double flèche \lambda, \mu : u' \to v', si \lambda * \varphi = \mu * \varphi, alors \tau_i(\lambda) = \tau_i(\mu). a_1)Pour tout \varphi ~~foncteur~~ \varphi : R \to R' parmi les f^1_\lambda et f^2_\lambda, et tout couple de 2-foncteurs u', v' : R' \to C_i, et \lambda' : u'\varphi \to v'\varphi, \exists considérant \tau_i \circ u' \xrightarrow{\ \tau_i * \lambda'\ } \tau_i \circ v', \Bigl( R \ \overset{\tau_i \circ u' \varphi} {\underset{\tau_i \circ v' \varphi}{\rightrightarrows}}\ C_{i+1} \Bigr), \exists\, \lambda : \tau_i \circ u' \varphi \to \tau_i \circ v' \varphi tel que \tau_i * \lambda' = \lambda * \varphi. a_2)Pour tout \varphi : R \to R' parmi les f^2_\lambda, et tout 2-foncteur u : R \to C_i, \exists \tau_i \circ u : R \to C_{i+1}, un 2-foncteur u' : R' \to C_{i+1} et un isomorphisme \tau_i \circ u \simeq u' \circ \varphi. b)\tau_i est \delta_i-exact. c)Pour tout E \in \mathrm{Ob}\,\Delta_f, le foncteur \varphi \mapsto \varphi \circ \tau_i, de \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(C_{i+1}, E) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(C_i, E), induit une équivalence \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta_{i+1}}(C_{i+1}, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta_i}(C_i, E).

~~On pose~~

De c) on déduit par récurrence transfinie, pour E \in \mathrm{Ob}\,\Delta_f, (c^{*}) \qquad \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta_i}(C_i, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta}(C, E), et de la définition des \delta_i, on déduit par réc. transfinie \delta_i = \alpha_i(\delta) (\alpha_i : C \to C_i).

Donc tout revient à prouver qu'~~on obtient~~ il existe un i limite tel que (petit) C_\omega \in \mathrm{Ob}\,\Delta_f, et C \to C_\omega soit \delta-exact. Pour ceci, soit \pi un cardinal majorant strictement \mathrm{Fl}\,R et \mathrm{Fl}\,R', ~~\mathrm{Fl}\,\Theta~~ pour les R, R' qui interviennent dans f, ainsi que les \mathrm{Fl}\,\Theta où \Theta intervient dans \delta' ou \delta'' ; soit \omega le plus petit ordinal de cardinal \pi. Donc \delta_\omega j < \omega est grand devant \mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,R, \mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,R', \mathrm{Fl}\,\Theta.

déjà sont indépendants de catégories

Mais on voit que C \to C_\omega est \delta-exact en utilisant card \omega grand devant les \mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,\Theta. Et on b) et le fait que \delta_\omega soit est que pour \varphi : R \to R', \underline{\mathrm{Hom}}(R', C_\omega) \to \underline{\mathrm{Hom}}(R, C_\omega) est surj. ( f^{(i)}_\lambda (i = 0,1,2)) pleinement fidèle (i = 1,2) , en utilisant respectivement a_0, a_1, a_2 plus le fait que \omega est grand devant \mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,R et \mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,R'.

Il reste donc à faire la construction de K(C,\delta).

Conditions d'exactitude

il reprend le titre du feuillet 6, et recommence

1)Sur catégories C. a)Existence inconditionnelle dans C de certaines \varprojlim ou \varinjlim, correspondant à certains types de diagrammes d = (d', d''). b)Existence conditionnelle des types de \varprojlim ou \varinjlim. On se donne un diagramme \Theta, et ~~des sous-~~ \Theta'_i \xrightarrow{\ u'_i\ } \Theta, \Theta''_j \xrightarrow{\ u''_j\ } \Theta, et on demande que pour tout \Theta \to C (satisfaisant éventuellement des conditions supplémentaires : commutativité de certains diagrammes, si on remplace les \Theta \to , ce qui revient à demander que \Theta soit une catégorie, et \Theta \to C un foncteur) [ il existe des conditions « d'exactitude » plus subtiles, cf. plus bas] les \varprojlim (\varinjlim) des foncteurs correspondants aux types \Theta'_i (\Theta''_j) existent dans C. c)Exactitude de cônes projectifs ~~diagrammes~~ et inductifs. On se donne un paquet (\delta', \lambda', \delta'', \lambda'') de cônes projectifs et inductifs, et on demande que tout foncteur \delta = (\delta',\delta'')-exact soit \lambda = (\lambda', \lambda'')-exact. C'est un type d'exactitude d)On se donne un foncteur ~~catégorie~~ \Theta \xrightarrow{\ \varphi\ } \bar\Theta entre catégories, et dans \Theta un paquet \delta = (\delta', \delta''), dans \bar\Theta un paquet \bar\delta = (\bar\delta', \bar\delta''). On considère u \mapsto u \circ \varphi

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \underline{\mathrm{Hom}}(\bar\Theta, C) \arrow[r, "\varphi^{*}"] & \underline{\mathrm{Hom}}(\Theta, C) \\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}(\bar\Theta, C) \arrow[u, hook] & \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(\Theta, C) \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

Exiger l'existence ?

et on peut demander des conditions du type suivant :

(i)\varphi^{*}_C envoie \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta} dans \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta} (on particularise C) ; (i') la restriction de \varphi^{*}_C : \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta} \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta} est fidèle ; (ii) la restriction de \varphi^{*}_C est surjective sur les \underline{\mathrm{Hom}} ; (ii') \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta} est dans l'image essentielle de \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}.

N.B. (i) ~~et (ii)~~ est dans le contexte d'une condition d' d'existence de flèches ( explicites de flèches) dans C, et (ii') dans le contexte d'existence d'objets et de diagrammes . Ainsi (ii') ~~(ii)~~ ~~par~~ des conditions de type (i').

généralisation de a) et b) [~~(ii)~~ peut-on ainsi exprimer comme condition de type (ii') ?]

Donc finalement on considère deux types de conditions permettant d'exprimer les autres :

1^{\circ}) \mathrm{Image}\bigl(\varphi^{*}_C \mid \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}\bigr) \subset \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta} : impliquent conditions d'exactitude ~~habituelles~~ ; 2^{\circ})\mathrm{Image}\bigl(\varphi^{*}_C \mid \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}\bigr) \supset \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta} : impliquent conditions d' existence (y compris conditionnelle) des limites.

Vérifier que cela permet d'exprimer l'égalité resp. la surjectivité de \varphi^{*}_C \mid \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta} sur les \underline{\mathrm{Hom}}

2^{\circ}) Conditions d'exactitude sur ~~les~~ foncteurs F : C \to C'.

On a déjà vu comment on peut en exprimer avec des paquets de ~~diagrammes~~ cônes de C. Mais on veut des conditions d'exactitude pour tout C, sans donner de supplémentaires sur C — : un C paquets de ~~diagrammes~~ cônes de C. Une façon de le faire est de partir des \Theta, muni de \delta = (\delta',\delta'') et \lambda = (\lambda',\lambda'') (paquets de cônes), les u : \Theta \to C qui sont \delta-exacts, et de demander que F soit u(\lambda)-exact pour tout tel u . On peut prendre un de (\Theta_\alpha, \delta_\alpha, \lambda_\alpha) = T_\alpha, et T = (T_\alpha). On dirait que la T-exactitude est proprement

Vu la composition de foncteurs ~~entre~~ catégories satisfaisant aux mêmes conditions demande de conditions d'exactitude. Pour ceci, il est ~~bon~~ naturel d'exiger que ~~les foncteurs~~ \lambda' \supset \delta', \lambda'' \supset \delta''.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] C \arrow[r, "F"] & C' \arrow[r, "G"] & C'' \\ \Theta \arrow[u, "u"] & J' \arrow[l, "g'"'] & \\ \bar{I}' \arrow[u, "\xi'"] & \bar{I}'' \arrow[ul, "\xi''"'] & J'' \arrow[ull, "g''"'] \end{tikzcd}

les deux \bar{I} portent le paquet \delta = (\delta',\delta''), les deux J le paquet \lambda = (\lambda',\lambda'')

Si on veut que les foncteurs identiques satisfassent les conditions, il est naturel d'exiger qu'on se borne aux C qui satisfont les conditions d'exactitude que \forall\, \Theta \to C \delta-exact est \lambda-exact. Mais alors la condition sur F devient que \forall\, \Theta \xrightarrow{\ u\ } C \lambda-exact, F \circ u est \lambda-exact.

On a ainsi donné et une de définir : 1^{\circ}) une classe \Sigma_0 de parties \Delta_0 de \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}), chacune stable par l'équivalence des catégories (C \in \Delta_0, et C' \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}, C' \simeq C, alors C' \in \Delta_0) ; \Sigma est stable par construction. 2^{\circ}) Une classe \Sigma_1 de parties \Delta_1 de \mathrm{Fl}(\mathrm{Cat}), chaque \Delta_1 stable par isomorphisme (C \rightrightarrows C' par u, v, et u \simeq v, alors u \in \Delta_1 \Rightarrow v \in \Delta_1), compatible avec l'identité, les équivalences et la composition. ce bloc est biffé d'un long trait diagonal

(1)Donnée d'un paquet P_1 de catégories \Theta, avec \lambda = (\lambda', \lambda''). Je dirai que (\Theta, \lambda) ~~\Delta_\rho \subset (\mathrm{Cat}) : les catégories~~ \Sigma_\rho \subset \mathrm{Fl}(\mathrm{Cat}) : un foncteur F : C \to C' est \rho-exact (\Theta,\lambda) dans \rho et \forall si pour tout foncteur u : \Theta \to C qui est \lambda-exact, F \circ u est \lambda-exact.

Alors

a)\Sigma_\rho est stable par isom. (i.e. si F, G : C \to C', et F \simeq G, alors F \in \Sigma_\rho \Rightarrow G \in \Sigma_\rho) ; b)\Sigma_\rho contient les équivalences de catégories ; c)\Sigma_\rho stable par composition ; d)Une intersection des parties \Sigma_\rho de \mathrm{Fl}\,\mathrm{Cat} est de ce même type. (2)Donnée d'un couple (\sigma_1, \sigma_2) ~~de foncteurs~~ de paquets de foncteurs R \xrightarrow{\ \varphi\ } \bar{R}, avec R muni de \delta = (\delta', \delta''), \bar{R} de \bar\delta = (\bar\delta', \bar\delta''), définit \Delta_\sigma \subset \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat} par :

C \in \Delta_\sigma ssi

a)si (R, \delta\,;\ \bar{R}, \bar\delta,\ \varphi : R \to \bar{R}) \in \sigma_1, alors \mathrm{Im}\bigl(\varphi^{*}_C \mid \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}(\bar{R}, C)\bigr) \ \subset\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(R, C) ; b)si (\ \cdots\ ) \in \sigma_2, alors on a l'inclusion inverse \supset.

Alors

a)\Delta_\sigma est stable par équivalences de catégories ; b)Une intersection de ~~catégories~~ de la forme \Delta_\sigma est de la même forme. (3)\Delta_{\sigma,\rho} est la sous-2-catégorie de \mathrm{Cat} dont les objets sont les \Delta_\sigma

Remarque Soient \Delta \subset \Delta' de la ; pour C \in \mathrm{Ob}\,\Delta, un R \xrightarrow{\ \varphi\ } \bar{R} dans \Delta', et considérons \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta'}(\bar{R}, C) \ \xrightarrow{\ \varphi^{*}_{\Delta',C} \,=\, \Psi\ }\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta'}(R, C). Considérons l'une des conditions suivantes (sur C brevité de \mathrm{Ob}\,\Delta) :

a)\Psi est fidèle ; b)\Psi est surjectif sur les \underline{\mathrm{Hom}} ; c)\Psi est ess. surjectif sur objets.

à droite, deux accolades de sa main : a) et b) donnent « \varphi pleinement fidèle », les trois ensemble « \varphi est une équivalence »

Soit \Delta_0 \subset \Delta la sous-2-catégorie 2-pleine définie par l'une des trois conditions précédentes. Alors \Delta_0 est-elle distinguée ?

Soit ~~\Delta~~ \delta (\bar\delta) l'un des ~~diagrammes~~ cônes exacts dans R (\bar{R}) qui sont images des comme \Theta pour \Theta \to R (\Theta \to \bar{R}) \lambda-exacts ~~distinctes des conditions dites~~ (\Theta, \lambda) \in \rho'. Donc \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta'}(\bar{R}, C) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}(\bar{R}, C), \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta'}(R, C) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(R, C).

(a)D = (D', D'') ens. de catégories. (b)\sigma = (\sigma_1, \sigma_2), \sigma_i (i = 1,2) ens. de quadruplets (R, \delta,\ \bar{R}, \bar\delta,\ \varphi : R \to \bar{R}), R, \bar{R} cat., \varphi foncteur, i.e. \delta = (\delta',\delta'') ~~paires~~ ens. de cônes proj. et ind. de R \bar{R} de types \in D, \bar\delta = (\bar\delta', \bar\delta'') de même. (c)\rho = paquet de (\Theta, \lambda), avec \Theta cat., \lambda = (\lambda', \lambda'') ens. de cônes projectifs et ind. de types \in D, et un foncteur \rho contenant au moins des (R, \delta) et (\bar{R}, \bar\delta) provenant de \sigma.

feuillet biffé de deux grands traits en croix : une rédaction antérieure du théorème du feuillet 3

On les conditions découlant facilement de la suivante : tout diagramme \delta de type \Theta \in d' (\Theta \in d'') dans D parties d'un diagramme \delta_j dans un des C_j (j < i), et que l'un des indices j < i est grand devant \mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,\Theta : on voit alors que la \varinjlim des D dans C_j donne une limite de des D [ou les \varinjlim de type \Theta commutent aux \varinjlim grandes devant \mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,\Theta]. b) \alpha_i : C \to C_i est \delta-exact, i.e. si (x \xrightarrow{p_\lambda} x_\lambda) est dans \delta', alors (\alpha_i(x) \xrightarrow{\alpha_i(p_\lambda)} \alpha_i(x_\lambda)) est un cône proj. exact. On est visiblement amené à la description des flèches de

comme le Pb 1, est le Pb 2

Th. Soient d', d'' des petits ensembles de diagrammes, \Delta = \Delta_{(d',d'')}, C une petite catégorie, munie d'un (\delta', \delta'') de cônes projectifs et inductifs. ~~Alors~~ il existe une \Delta-enveloppe de (C, \delta', \delta'') = (\bar{C}, \ldots), i.e. i (\delta',\delta'')-exact, et universel vis-à-vis de cette propriété, i.e. équivalence \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta, (\delta',\delta'')}(\bar{C}, \ldots) \to \underline{\mathrm{Hom}} \ldots ~~Soit \rho le foncteur \Delta_{(\emptyset, d'')} \to \ldots, \sigma de même \Delta_{(d', \emptyset)}~~ — i.e. un foncteur v : C \to C' avec C' \in \mathrm{Ob}\,\Delta, ~~et telle est petite~~, vérifiant la propriété qui + universel [i.e. \forall\, E \in \mathrm{Ob}\,\Delta, \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, (i(\delta'), i(\delta''))}(C', E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, (\delta',\delta'')}(C, E)\ ].

On construit une suite transfinie de catégories C_i sous C, chacune munie d'un ens. \delta_i = (\delta'_i, \delta''_i) de cônes proj. et inductifs. On pose C_0 = C, ~~\delta'_0, \delta''_0 = \ldots~~ (\delta'_0, \delta''_0) = (\delta', \delta'') ; (C_{i+1}, \delta_{i+1}) déduit de (C_i, \delta_i) ainsi :

Topos et structures algébriques 1)Topos et structures algébriques

\Delta_0 = cat. avec \varprojlim finies ; \Delta = bons topos (conditions \supset b) c) de Giraud), foncteurs commutant aux \varprojlim, et exacts à g. T_0 th. algébrique rel. \Delta_0, ~~défini~~ représentable par une petite C \in \mathrm{Ob}\,\Delta_0 définissable par \varprojlim finies ; T_0(E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta_0}(C, E) si E \in \mathrm{Ob}\,\Delta_0. Si E \in \mathrm{Ob}\,\Delta, on sait qu'on T_0(E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta_0}(C, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(\hat{C}, E) \quad \bigl[\ \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{top}}(E, \hat{C})^{\circ} \ \text{si $E$ un topos}\ \bigr]. Ainsi le topos \hat{C} est la ~~topos~~ \Delta_0 \to \Delta enveloppe de C.

2)\Delta_0-Enveloppe d'une petite catégorie I (Pb. 1)

On prend la \Delta_0-enveloppe \rho_{\Delta_0}(I) \subset \underline{\mathrm{Hom}}(I, \mathrm{Ens})^{\circ} (sous-cat. pleine des foncteurs « de présentation finie » — sous-catégorie engendrée par I \underline{\varprojlim} finies — on peut le former en rajoutant les \underline{\varprojlim} finies des diagrammes dans I, puis prenant ). Puis on prend la \Delta_0 \to \Delta-enveloppe de \rho_{\Delta_0}(I), savoir \widehat{\rho_{\Delta_0}(I)}.

3)Sous-théorie d'une \Delta-théorie (représentable par un topos) et sous-topos (Pb 2.)

Soit R un topos, \Sigma un ensemble de flèches de R. On considère E \;\longmapsto\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta, \Sigma}(R, E), \qquad E \in \mathrm{Ob}\,\Delta . On satisfait \Sigma par ST1, ST2, ST3 (SGA 4 I 9.1.1 c)), d'où \Sigma', et on trouve R\Sigma'^{-1}, qui est un topos R', et on a \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta, \Sigma}(R, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R', E). On sait que R' est un sous-topos de R, et tout sous-topos de R s'obtient ainsi (loc. cit.). Si R \simeq \hat{C}, C petite

ST1 Si w = vu, et des flèches ~~sont~~ dans \Sigma, le troisième l'est. Contravariance ST2 Stabilité par changement de base ( par \underline{\varprojlim} finies) ST3 Nature locale (\iff stabilité par \underline{\varprojlim})

ils correspondent aux topologies T' sur C ~~plus~~ plus fines que la top. donnée, par R' \longleftrightarrow (C, T').

Remarquons que pour un sous-topos donné R', on peut toujours le décrire à l'aide d'un petit ens. \Sigma \subset \mathrm{Fl}\,R. En effet, sur C \subset R petite et ~~génératrice~~ . Alors les flèches \in \Delta, R \to \bar{R}, qui se factorisent par R' sont celles qui transforment familles ~~couvrantes~~ S_i \to S dans C, couvrantes pour la topologie T' définissant R' en familles couvrantes [ une telle que \forall\, S \in \mathrm{Ob}\,C et S' \to S monomorphisme de R, S' \to S soit transformé en mono ].

Corrigeons Supposons R « algébrique » i.e. T_R théorie « algébrique » ; alors T_{R'} \subset T_R (~~sous-catégorie~~ théorie « pleine ») est algébrique, déduite de T_R par un petit ensemble d'axiomes.

D'ailleurs, si on a deux théories représentables T_R, T_{R'} (R, R' des topos) et un foncteur T_{R'} \to T_R qui est un plongement de théories, i.e. tel que T_{R'}(E) \to T_R(E) pl. fid. pour \forall\, E \in \mathrm{Ob}\,\Delta, ici dans le correspondant R \to R' de \Delta est telle que \forall\, E \in \mathrm{Ob}\,\Delta, \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R', E) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E) est pl. fidèle. On caractérise les morphismes de topos R' \to R qui sont des plongements.

4)Théorème a)Un R \in \mathrm{Ob}\,\Delta est algébrique, i.e. représente une théorie algébrique, ssi R est un topos, i.e. admet une petite sous-catégorie génératrice. b)Soit I un ens. discret, R \in \mathrm{Ob}\,\Delta, I \xrightarrow{\ b\ } R un foncteur. Alors b est basique (i.e. …) ~~ssi~~ ~~disque~~ ~~b(I) est génératrice~~ ssi les sous-catégories pleines de R engendrées par produits finis d'objets de b(I) sont strictement génératrices.

Dém. Évidemment b) \Rightarrow a), donc précisons b).

Suffisance On va construire la théorie alg. basique représentée par R, b en plusieurs pas.

1^{\circ})~~Théorie~~ Structures vides sur objets de base (X_i)_{i \in I}. Représentables par un topos R_0 = (Pb 1 ; on a R_0 = ens. I-multisimpliciaux \omega). J est génératrice dans R : I \to J_0 \to R_0 = \hat{J_0} \to R. un objet de R_0 provenant de 2^{\circ})On rajoute des flèches J_1 et R_1 = \rho_\Delta(J_1) ; J_0 (celles de R), d'où R_0 3^{\circ})on met des axiomes d'égalité sur des composés (en vertu de R), d'où J \to R_0 \to R_1 \to R_2 \to R et T_{R_2}(E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R_2, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}(J_1, R) \;\longleftrightarrow\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E) = T_R(E) où J_1 est la sous-catégorie pleine de R définie par b : I \to R, dans la petite catégorie J_1 (cf. Pb. 1). R_2 est la \Delta-enveloppe de la . Comme T_R \to T_{R_2} est pl. fidèle, on sait qu'on a fini par

catégorie \rho(J_0) = \rho(J'_1), J'_1 analogue engendré par J_0 et les flèches données

Maintenant les foncteurs ne prennent que que la structure. [on peut

4^{\circ})On met d'autres axiomes explicites, lesquels : a) foncteurs continus I_1 \to E, i.e. qui transforment certaines ~~systèmes~~ (aux cônes exacts dans R) cônes inductifs de I_1 ~~sans cônes~~ exacts ; ~~b) foncteurs~~ en un des foncteurs qui ne peuvent correspondent aux \varprojlim R \to E, plus la condition de transformer certains ~~diagrammes de~~ cônes projectifs de R'_2, le type classifiant par cônes exacts …

On trouve I \to R_0 \to R_1 \to R_2 \to R_3 \simeq R.

\hat{J_1} \to R est un foncteur de localisation

N.B. Comme on a rajouté 3^{\circ} et 4^{\circ} des axiomes, on peut les condenser en un seul pas, qu'en fait R_1 \to R_2 est surjectif objets et flèches (cf. Pb 2). Donc on peut faire par les trois pas minimum : objets, flèches aux produits finis, axiomes sur les flèches ; exprimables en termes ~~explicites~~ d'insertion de flèches entre en produits) telles familles qu'aux flèches introduites dans les données.

Re N.B. Si on veut seulement une théorie pour un topos R soit « algébrique », c'est encore plus court : on choisit C petite avec \underline{\varprojlim} finies, telle que R \simeq \hat{C}, et ~~on voit que~~ par la structure algébrique T^{\Delta_0}_C — sa restriction , \Delta est algébrique, elle est représentée par \hat{C}, ~~sauf~~ n = 1 — puis on rajoute des axiomes exprimant la continuité d'un foncteur C \to E (commutant déjà aux \underline{\varprojlim} finies) par le fait de transformer les familles couvrantes en familles couvrantes …

~~Nécessité~~ Il faut prouver que :

a)Structure vide sur un ens. de base I par la construction transfinie. Représentée par \hat{\tilde{I}} (cf. Pb 1), où \tilde{I} = \rho_{\Delta_0}(I). ~~\tilde{I} \Delta-engendre~~ N.B. \tilde{I} \Delta-engendre \hat{\tilde{I}} — deux pas : rajouter aux produits, puis aux \underline{\varprojlim} quelc. b) Mettre axiomes sur théorie algébrique T_R, R un topos, i.e. trouver R' et R \to R' en surjectif (et plus), ainsi surjectif sur les flèches des Pb 2 traité. On trouve c)Reporter flèches (petit ensemble H) : R théorie algébrique T_R, R déjà topos. ~~Soit C l'ens. des~~ Soit ~~C \subset R la petite sous-catégorie~~ C \mathrm{Ob}\,R d'une des sources et buts des flèches, C la catégorie libre engendrée par les objets et les flèches H ; \rho_\Delta(C) la catégorie ne modifiant dans la théorie T' est le produit 2-fibré T' \simeq T_R \times^{2}_{T_I} T_C où T_C(E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(C, E), et T_I(E) se définit de même, I considéré comme catégorie discrète. Or (Pb 1) T_C \simeq T_{R_1}, T_I \simeq T_S, R et S deux topos, donc il faut prouver l'existence