Cote n° 161-2, pages 1–20

Cote n° 161-2 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Algèbre universelle [ou catégories] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1973]
Édition de démonstration

Algèbre universelle

titre porté de sa main sur l'onglet de la chemise (feuillet 1, non transcrit)

3Théorème Soient $d = (d', d'')$ un [couple de] petits ens. de diagrammes, $C$ une catégorie ess. petite, $\delta = (\delta', \delta'')$ un [petit] ens. de cônes projectifs et inductifs dans $C$, $\Delta = \Delta_{d} = \Delta_{d',d''}$ : la catégorie des catégories ayant des $\lim$ de type $d$, avec foncteurs y commutant.

Alors il existe

Pour tout $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, soit $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta}(C,E)$ la sous-cat. pleine de $\underline{\mathrm{Hom}}(C,E)$ formée des foncteurs qui sont $\delta$-exacts. Si […] est de même de $(\delta'_1, \delta''_1)$ et est $\in \Delta$, on définit de même $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta_1}(C_1,E)$. Ceci posé, il existe une catégorie $\bar{C}_{\delta} \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, et un foncteur $i : C \to \bar{C}_{\delta}$, tel que

a)$i$ soit $\delta$-exact, i.e. $i \in \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, \bar{C}_{\delta})$ ;
b)il soit universel en le sens suivant : pour tout $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, le foncteur $\varphi \mapsto \varphi i$ induit une équivalence \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, i(\delta)}(\bar{C}_{\delta}, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E) \]

[i.e. $(\bar{C}_{\delta}, i)$ est objet $2$-initial de la $2$-catégorie des topos $\in \mathrm{Ob}\,\Delta$, $E$ tels que $C \to E$ soit $\delta$-exact]. De plus, $\bar{C}_{\delta}$ est ess. petite. le glyphe lu ici $E$ a la forme du $C$ qu'il trace ailleurs ; le sens exige un objet de $\Delta$

N.B. Ce Pb redonne à la fois le Pb 1 ($\delta' = \delta'' = \emptyset$) et le Pb 2 ($C \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, […] $\delta' = $ diagrammes [cônes pr. de type $d'$] exacts égaux $\cup$ les diagrammes $(x \to y) \in \Sigma$, $\delta'' = $ diagrammes cônes inductifs de type $d''$ exacts). On verra que le Th. permet aussi de traiter les cas de conditions d'exactitude.

Dém. On construit [par] […] récurrence transfinie [une] suite transfinie de [petites] catégories $C_i$ sous $C$, munies de $\delta_i = (\delta'_i, \delta''_i)$ (petit) : \[ C \;\xrightarrow{\ \alpha_i\ }\; C_i \;\xrightarrow{\ \tau_i\ }\; C_{i+1} \] \[ \begin{cases} C_0 = C, \quad \delta_0 = \delta = (\delta', \delta''), \\ (C_{i+1}, \delta_{i+1}) = K(C_i, \delta_i), \\ C_i = \varinjlim_{j<i,\ (\mathrm{Cat})} C_j \quad \text{si $i$ ordinal limite.} \end{cases} \] $(C_{i+1}, \delta'_{i+1})$ déduit de $(C_i, \delta_i)$ ainsi : — $K$ étant explicité ci-dessous ; et, pour $i$ ordinal limite, $\delta'_i = \bigcup \mathrm{Im.}\ \delta'_j$ dans $C_i$, $\delta''_i = \bigcup \mathrm{Im.}\ \delta''_j$ dans $C_i$.

4Les propriétés essentielles de $K(C,\delta)$ sont résumées dans :

a)$\tau_i : C_i \to C_{i+1}$ est préexact [$\delta_i$-]préexact$_{\delta}$, i.e.
$a'_1$)Une double flèche $z \rightrightarrows x$ Pour $(x \xrightarrow{\,p_\lambda\,} x_\lambda) \in d'_i$, et tout dans le couple de flèches $z \overset{u}{\underset{v}{\rightrightarrows}} x$ telles que $p_\lambda u = p_\lambda v$ $\forall \lambda$, on a $\tau_i(u) = \tau_i(v)$. il écrit ici $d'_i$ ; plus bas, feuillet 5, la construction $\rho$ porte sur $\delta''$
$a'_2$)Pour toute […] augmentation $(z \xrightarrow{\,q_\lambda\,} x_\lambda)$ du syst. proj., il existe $\tau_i(z) \dashrightarrow \tau_i(x)$ telle que $\tau_i(p_\lambda) \circ q = \tau_i(q_\lambda)$ $\forall \lambda$.
$a''$)[…] les mêmes, avec $d''_i$ au lieu de $d'_i$.

b) Tout diagramme $d'_{i+1} \supset d' \to \delta_{i+1} \to \tau_i(\delta_i)$

$b'$)$\forall$ diagramme [$\Theta'$] de type $d'$ dans $C_i$, $\exists$ une […] augmentation de $\tau_i(\Theta')$ qui soit $\in \delta'_{i+1}$ ;
$b''$)$\forall$ diagramme [$\Theta''$] de type $d''$ dans $C_i$, $\exists$ une augmentation de $\tau_i(\Theta'')$ [dans $\delta''_{i+1}$].
c)$\delta'_{i+1} = $ […] $\tau_i(\delta'_i) \cup$ diagrammes de type $d'$ […] ; $\delta''_{i+1} = \tau_i(\delta''_i) \cup$ diagrammes de type $d''$. […] de $\delta'_{i+1}$ de type $\Theta'$ […] et $d'$ ($\Theta'' \in d''$) est dans $\tau_i(\delta'_i)$, $(\tau_i(\delta''_i))$
d)$\forall$ catégorie $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, le foncteur $\varphi \mapsto \varphi \circ \tau_i$ induit une équivalence \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i+1}}(C_{i+1}, E) \;\longrightarrow\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_i}(C_i, E). \]

La La construction de $K : (C,\delta) \mapsto K(C,\delta)$ sera donnée plus bas. On peut voit maintenant comment elle permet de terminer.

de c) on conclut par récurrence transfinie : $(c^{*})$ $\delta'_i = \alpha_i(\delta') \cup$ […] [images] des diagrammes de type $d'$ […] ; $\delta''_i = \alpha_i(\delta'') \cup$ […] […] de type $d''$.

De c) on conclut par récurrence transfinie

De d), on déduit par récurrence transfinie \[ (d^{*}) \qquad \boxed{\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_i}(C_i, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E)\ } \qquad \varphi \mapsto \varphi \circ \alpha_i . \] ordinal ?

Donc on a terminé si on montre qu'il existe $\omega$ tel que

$1^{\circ}$)$C_\omega \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ ;
$2^{\circ}$)$\alpha_\omega : C \to C_\omega$ est $\delta$-exact ;
$3^{\circ}$)$\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_\omega}(C_\omega, E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, \uncertain{\alpha_\omega}(\delta)}(C_0, E)$.

[…] Soit pour ceci $\pi$ un cardinal tel que $\pi > \mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,\Theta$, […] si $\Theta \in d'$ ou $\Theta \in d''$, ou $\Theta$ […] indexe un $\in \delta'$ ou un $\in \delta''$ ; et $\omega$ le plus petit ordinal de cardinal $\geqslant \pi$. Donc […]

5$j < \omega$ est grand devant $\mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,\Theta$, pour tout $\Theta$ comme dessus.

On va établir d'abord le point suivant, plus fort que $2^{\circ}$) : \[ (*) \qquad \forall\, j < \omega, \quad C_j \to C_\omega \ \text{est}\ \delta_j\text{-exact}. \] Cela résulte aisément de a) et c) [et de la grandeur de $\omega$]. Détailler la démonstration

On peut [en conclut] $1^{\circ}$), utilisant $(*)$ et b).

Pour prouver $3^{\circ}$), on note que b) [et c)] et la grandeur de $\omega$ indiquent \[ (**) \qquad \delta_\omega = \text{(cônes exacts de types $d'$ et $d''$)} \ \cup\ \alpha_\omega(\delta). \]

Tout revient donc à construire $K(C,\delta)$, de façon à satisfaire a) ; d).

On construit [$(C,\delta) \mapsto$] $K(C,\delta)$ comme composé $(C,\delta) \mapsto \sigma\rho(C,\delta)$ de deux constructions, dont chacune fait environ la moitié du boulot :

$(C,\delta) \mapsto \rho(C,\delta)$ se fait en plusieurs étapes. On considère $\Delta_{(\emptyset,\, d'')} = \Delta''$, $\Delta_{(d',\, \emptyset)} = \Delta'$. Dans chacune, on doit vérifier l'analogue des c) et d) (ce qui sera vrai pour la composée)

plus précis :

$\rho_1(C,\delta) = (C_1, \delta_1)$, où $C_1$ est la $\Delta''$-enveloppe de $C$, $\tau_0 : C_0 \to C_1$ ; $\delta'_1 = \tau_0(\delta')$, $\delta''_1 = \tau_0(\delta'') \cup ($diagrammes de type $d''$ de $C_1)$. Cela assure b') c) et d) vérifiés

$\rho_2(C_1, \delta_1) = (C_2, \delta_2)$, [$\tau_1 : C_1 \to C_2$], avec $C_2$ déduit de $C_1$ en égalisant toutes les couples de flèches $z \overset{u}{\underset{v}{\rightrightarrows}} x$ dans $C_1$, telles que […] $x$ d'une $(x \xrightarrow{\,p_\lambda\,} x_\lambda) \in \delta''_1$, satisfaisant $p_\lambda u = p_\lambda v$ pour tout $\lambda$. On a $\delta_2 = \tau_1(\delta_1)$. Cela assure $a'_1$. c) et d) sont vérifiés

$\rho_3(C_2, \delta_2) = (C_3, \delta_3)$, [$\tau_2 : C_2 \to C_3$], avec $C_3$ déduit de $C_2$ en rajoutant, pour tout $\Theta'' = (x \xrightarrow{\,p_\lambda\,} x_\lambda) \in \delta''_2$ et toute augmentation $q = (z \xrightarrow{\,q_\lambda\,} x_\lambda)_\lambda$ du système projectif $(x_\lambda)$, une flèche $u_{\Theta'',\, q} : z \to x$ dans $C_3$, satisfaisant $p_\lambda u_{\Theta'',\, q} = q_\lambda$ $\forall \lambda$. On a $\delta_3 = \tau_2(\delta_2)$. Cela assure $a'_2$. c) et d) vérifiés

6\[ \rho(C,\delta) = \rho_3 \rho_2 \rho_1 (C,\delta). \] On définit de façon analogue une opération [construction] $\sigma = \sigma_3 \sigma_2 \sigma_1$, assurant successivement $b''$), $b''_1$ $a''_1$, $a''_2$. On pose \[ K(C,\delta) = \sigma\rho(C,\delta) = \sigma_3 \sigma_2 \sigma_1 \rho_3 \rho_2 \rho_1 (C,\delta). \] Il a les propriétés a) à d) voulues.

N.B. L'ordre dans lequel on a […] n'est pas d'importance. On pourrait […] prendre par ex. \[ K'(C,\delta) = \sigma_1 \rho_3 \sigma_2 \rho_1 \rho_2 \sigma_3 (C,\delta)\ ! \] […] composé les [$6$ opérations] $\sigma_i$, et les $\rho_i$ […]. La chose […] ayant une signification intrinsèque est la limite des itérés transfinis de $K$ […]

Conditions d'exactitude

On se donne [des triplets] des petites catégories [des $\Delta$-foncteurs entre catégories] dans $\Delta = \Delta_d = \Delta_{(d',d'')}$, \[ f^{(i)}_\lambda : R^{(i)}_\lambda \longrightarrow R'^{(i)}_\lambda \qquad (i = 0,1,2), \] […] $f^{i} = (f_\lambda)$, $f = (f^{(0)}, f^{(1)}, f^{(2)})$. (petits)

$\Delta_f$ = la sous-$2$-catégorie pleine de $\Delta$ formée des $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ tels que, le foncteur $\varphi \mapsto \varphi f$ pour tout $\varphi : R \to R'$ dans $\Delta$, les foncteurs $u \mapsto u \circ \varphi$, de $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R', E) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E)$, soient

$a_0$)surjectifs si $\varphi$ est un $f^0_\lambda$ ;
$a_1$)sont bijectifs […] [injectifs] si $\varphi$ est un $f^1_\lambda$ ;
$a_2$)[…] si $\varphi$ est un $f^2_\lambda$.

(Les foncteurs [sur $E$] […] les foncteurs […] exacts)

Avec les notations précédentes :

Théorème [Soit $(C,\delta)$ comme dans le Th. Alors on peut trouver un foncteur [$\delta$-exact] $C \xrightarrow{\ i\ } \bar{C}$, avec $\bar{C} \in \mathrm{Ob}\,\Delta_f$, et qui soit [$2$-]universel pour ces propriétés. De plus, $\bar{C}$ est ess. petite. Cela revient en particulier […] Pb 1 et Pb 2 [et Pb $2'$] (pour $\Delta_f$).]

7On peut faire la construction de $K(\bar{C}, \bar{\delta})$ en trois étapes, par construction transfinie comme $K(C,\delta) = \rho_2 \rho_1 \rho_0 (C,\delta)$, avec $\rho_0$) précédemment, […] sont des conditions, $\rho_2$) aux […] a) b) c). $\rho_0$) Si $R \xrightarrow{\varphi} R'$ est […] $f^i_\lambda$, et $u, v : R' \rightrightarrows C_i$. tout ce début de feuillet est biffé de deux longs traits diagonaux

Utilisant le Th. précédent, on peut supposer que $C \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, et $\delta'$ $(\delta'')$ contient les diagrammes […] (exacts de type $d'$ $(d'')$), de sorte que \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta}(C, E) \qquad \forall\, E \in \mathrm{Ob}\,\Delta . \] (petite)

On va faire une construction transfinie $(C_i, \delta_i)$, $C_i \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, foncteurs de transition dans $\Delta$ : \[ \begin{cases} (C_0, \delta_0) = (C, \delta), \\ (C_{i+1}, \delta_{i+1}) = K(C_i, \delta_i), \quad \tau_i : C_i \to C_{i+1}, \quad \delta_{i+1} = \tau_i(\delta_i), \\ C_i = \varinjlim_{j < i,\ (\Delta)} C_j \ \text{ si $i$ ordinal limite,} \quad \delta_i = \textstyle\bigcup_{j<i} \mathrm{Im.\ de\ } \delta_j \ \text{dans } C_i . \end{cases} \]

On construit $(C,\delta) \mapsto K(C,\delta)$ de façon à satisfaire les conditions suivantes :

$a_0$)Pour tout foncteur $R \xrightarrow{\ \varphi\ } R'$ parmi les $f^{(i)}_\lambda$ $(i = 0,1,2)$, et pour tout [couple de] foncteurs $u', v' : R' \rightrightarrows C_i$, et une double flèche $\lambda, \mu : u' \to v'$, si $\lambda * \varphi = \mu * \varphi$, alors $\tau_i(\lambda) = \tau_i(\mu)$.
$a_1$)Pour tout […] [$\varphi$] foncteur $\varphi : R \to R'$ parmi les $f^1_\lambda$ et $f^2_\lambda$, et tout couple de [$2$-]foncteurs $u', v' : R' \to C_i$, et $\lambda' : u'\varphi \to v'\varphi$, $\exists$ […] considérant $\tau_i \circ u' \xrightarrow{\ \tau_i * \lambda'\ } \tau_i \circ v'$, \[ \Bigl( R \ \overset{\tau_i \circ u' \varphi} {\underset{\tau_i \circ v' \varphi}{\rightrightarrows}}\ C_{i+1} \Bigr), \] $\exists\, \lambda : \tau_i \circ u' \varphi \to \tau_i \circ v' \varphi$ tel que $\tau_i * \lambda' = \lambda * \varphi$.
$a_2$)Pour tout $\varphi : R \to R'$ parmi les $f^2_\lambda$, et tout $2$-foncteur $u : R \to C_i$, $\exists$ […] $\tau_i \circ u : R \to C_{i+1}$, un $2$-foncteur $u' : R' \to C_{i+1}$ et un isomorphisme $\tau_i \circ u \simeq u' \circ \varphi$.

b)$\tau_i$ est $\delta_i$-exact.
c)Pour tout $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta_f$, le foncteur $\varphi \mapsto \varphi \circ \tau_i$, de $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(C_{i+1}, E) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(C_i, E)$, induit une équivalence \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta_{i+1}}(C_{i+1}, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta_i}(C_i, E). \]

On pose

De c) on déduit par récurrence transfinie, pour $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta_f$, \[ (c^{*}) \qquad \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta_i}(C_i, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta}(C, E), \] et de la définition des $\delta_i$, on déduit par réc. transfinie $\delta_i = \alpha_i(\delta)$ $(\alpha_i : C \to C_i)$.

Donc tout revient à prouver qu'on obtient il existe un $i$ [limite] tel que [(petit)] $C_\omega \in \mathrm{Ob}\,\Delta_f$, et $C \to C_\omega$ soit $\delta$-exact. Pour ceci, soit $\pi$ un cardinal majorant strictement $\mathrm{Fl}\,R$ et $\mathrm{Fl}\,R'$, $\mathrm{Fl}\,\Theta$ pour les $R$, $R'$ qui interviennent dans $f$, ainsi que les $\mathrm{Fl}\,\Theta$ où $\Theta$ intervient dans $\delta'$ ou $\delta''$ ; soit $\omega$ le plus petit ordinal de cardinal $\pi$. Donc […] $\delta_\omega$ […] $j < \omega$ […] est grand devant $\mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,R$, $\mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,R'$, $\mathrm{Fl}\,\Theta$.

[…] déjà sont […] indépendants de catégories […]

Mais on voit que $C \to C_\omega$ est $\delta$-exact en utilisant [card] $\omega$ grand devant les $\mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,\Theta$. Et on […] b) et le fait que $\delta_\omega$ soit […] est que pour $\varphi : R \to R'$, $\underline{\mathrm{Hom}}(R', C_\omega) \to \underline{\mathrm{Hom}}(R, C_\omega)$ est surj. […] ([…] $f^{(i)}_\lambda$ […] $(i = 0,1,2)$) […] pleinement fidèle $(i = 1,2)$ […], en utilisant respectivement $a_0$, $a_1$, $a_2$ plus le fait que $\omega$ est grand devant […] $\mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,R$ et $\mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,R'$.

9Il reste donc à faire la construction de $K(C,\delta)$.

Conditions d'exactitude

il reprend le titre du feuillet 6, et recommence

$1$)Sur catégories $C$.
a)Existence inconditionnelle [dans $C$] de certaines $\varprojlim$ ou $\varinjlim$, correspondant à certains types de diagrammes $d = (d', d'')$.
b)Existence conditionnelle des types de $\varprojlim$ ou $\varinjlim$. On se donne […] [un] diagramme $\Theta$, et des sous-[…] […] $\Theta'_i \xrightarrow{\ u'_i\ } \Theta$, $\Theta''_j \xrightarrow{\ u''_j\ } \Theta$, et on demande que pour tout $\Theta \to C$ (satisfaisant éventuellement des conditions supplémentaires : commutativité de certains diagrammes, si on remplace les $\Theta \to$ […], ce qui revient à demander que $\Theta$ soit une catégorie, et $\Theta \to C$ un foncteur) [[…] il existe des conditions « d'exactitude » plus subtiles, cf. plus bas] les $\varprojlim$ ($\varinjlim$) des foncteurs correspondants aux types $\Theta'_i$ ($\Theta''_j$) existent dans $C$.
c)Exactitude de cônes projectifs diagrammes […] et inductifs. On se donne […] un paquet $(\delta', \lambda', \delta'', \lambda'')$ de cônes projectifs et inductifs, et on demande que tout foncteur $\delta = (\delta',\delta'')$-exact soit $\lambda = (\lambda', \lambda'')$-exact. C'est un type d'exactitude […]
d)On se donne un [foncteur] catégorie $\Theta \xrightarrow{\ \varphi\ } \bar\Theta$ entre catégories, et dans $\Theta$ un paquet $\delta = (\delta', \delta'')$, dans $\bar\Theta$ un paquet $\bar\delta = (\bar\delta', \bar\delta'')$. On considère [$u \mapsto u \circ \varphi$]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\underline{\mathrm{Hom}}(\bar\Theta, C) \arrow[r, "\varphi^{*}"] & \underline{\mathrm{Hom}}(\Theta, C) \\
\underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}(\bar\Theta, C) \arrow[u, hook] & \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(\Theta, C) \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

Exiger […] l'existence […] ?

11et on peut demander des conditions du type suivant :

(i)$\varphi^{*}_C$ envoie $\underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}$ dans $\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}$ (on particularise […] $C$) ;
(i$'$)[…] la restriction de $\varphi^{*}_C$ : $\underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta} \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}$ est fidèle ;
(ii)[…] la restriction de $\varphi^{*}_C$ est surjective sur les $\underline{\mathrm{Hom}}$ ;
(ii$'$)[…] $\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}$ est dans l'image essentielle de $\underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}$.

N.B. (i) et (ii) est dans le contexte [d'une condition] d' d'existence de flèches ([…] explicites de flèches) dans $C$, et (ii$'$) dans le contexte d'existence d'objets et de diagrammes […]. Ainsi (ii$'$) (ii) par […] des conditions de type (i$'$).

[…] généralisation de a) et b) [(ii) […] peut-on [ainsi] exprimer […] comme condition de type (ii$'$) ?]

Donc finalement on considère deux types de conditions permettant d'exprimer les autres :

$1^{\circ}$)[…] $\mathrm{Image}\bigl(\varphi^{*}_C \mid \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}\bigr) \subset \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}$ : impliquent conditions d'exactitude habituelles ;
$2^{\circ}$)$\mathrm{Image}\bigl(\varphi^{*}_C \mid \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}\bigr) \supset \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}$ : impliquent [conditions d'] existence (y compris conditionnelle) des limites.

Vérifier que cela permet d'exprimer l'égalité […] resp. la surjectivité de $\varphi^{*}_C \mid \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}$ sur les $\underline{\mathrm{Hom}}$ […]

$2^{\circ}$) Conditions d'exactitude sur les foncteurs $F : C \to C'$.

On a déjà vu comment on peut en exprimer avec des paquets de diagrammes [cônes] de $C$. Mais on veut des conditions d'exactitude […] pour tout $C$, sans donner de […] supplémentaires sur $C$ — […] : [un $C$] […] paquets de diagrammes [cônes] de $C$. Une façon de le faire est de partir des $\Theta$, muni de $\delta = (\delta',\delta'')$ et $\lambda = (\lambda',\lambda'')$ [(paquets de cônes)], […] les $u : \Theta \to C$ qui sont $\delta$-exacts, et de demander que $F$ soit $u(\lambda)$-exact pour tout tel $u$ […]. On peut prendre un […] de […] $(\Theta_\alpha, \delta_\alpha, \lambda_\alpha) = T_\alpha$, et $T = (T_\alpha)$. On dirait que […] la $T$-exactitude est proprement […]

12Vu la composition [de foncteurs] entre catégories […] satisfaisant aux mêmes conditions […] demande de conditions d'exactitude. Pour ceci, il est bon naturel d'exiger que les foncteurs […] $\lambda' \supset \delta'$, $\lambda'' \supset \delta''$.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
C \arrow[r, "F"] & C' \arrow[r, "G"] & C'' \\
\Theta \arrow[u, "u"] & J' \arrow[l, "g'"'] & \\
\bar{I}' \arrow[u, "\xi'"] & \bar{I}'' \arrow[ul, "\xi''"'] & J'' \arrow[ull, "g''"']
\end{tikzcd}

les deux $\bar{I}$ portent le paquet $\delta = (\delta',\delta'')$, les deux $J$ le paquet $\lambda = (\lambda',\lambda'')$

Si on veut que les foncteurs identiques satisfassent les conditions, il est naturel d'exiger qu'on se borne aux $C$ qui satisfont les conditions d'exactitude […] que $\forall\, \Theta \to C$ $\delta$-exact est $\lambda$-exact. Mais alors la condition sur $F$ devient que $\forall\, \Theta \xrightarrow{\ u\ } C$ $\lambda$-exact, $F \circ u$ est $\lambda$-exact.

On a ainsi donné […] et une […] de définir : $1^{\circ}$) […] [une classe $\Sigma_0$] de parties [$\Delta_0$] de $\mathrm{Ob}(\mathrm{Cat})$, chacune stable par l'équivalence des catégories ($C \in \Delta_0$, et $C' \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}$, $C' \simeq C$, alors $C' \in \Delta_0$) ; $\Sigma$ est stable par […] construction. $2^{\circ}$) Une classe $\Sigma_1$ de parties $\Delta_1$ de $\mathrm{Fl}(\mathrm{Cat})$, chaque $\Delta_1$ stable par isomorphisme ($C \rightrightarrows C'$ par $u, v$, et $u \simeq v$, alors $u \in \Delta_1 \Rightarrow v \in \Delta_1$), compatible avec l'identité, les équivalences et la composition. ce bloc est biffé d'un long trait diagonal

$(1)$Donnée d'un paquet [$P_1$] [de] catégories $\Theta$, avec $\lambda = (\lambda', \lambda'')$. Je dirai que […] $(\Theta, \lambda)$ $\Delta_\rho \subset (\mathrm{Cat})$ : les catégories […] $\Sigma_\rho \subset \mathrm{Fl}(\mathrm{Cat})$ : un foncteur $F : C \to C'$ est $\rho$-exact [$(\Theta,\lambda)$ dans $\rho$ et $\forall$] si pour […] [tout foncteur] $u : \Theta \to C$ qui est $\lambda$-exact, $F \circ u$ est $\lambda$-exact.

Alors

a)$\Sigma_\rho$ est stable par isom. (i.e. si $F, G : C \to C'$, et $F \simeq G$, alors $F \in \Sigma_\rho \Rightarrow G \in \Sigma_\rho$) ;
b)$\Sigma_\rho$ contient les équivalences de catégories ;
c)$\Sigma_\rho$ stable par composition ;
d)Une intersection des parties $\Sigma_\rho$ de $\mathrm{Fl}\,\mathrm{Cat}$ est de [ce] même type.

$(2)$Donnée d'un [couple $(\sigma_1, \sigma_2)$] de foncteurs [de paquets de] foncteurs $R \xrightarrow{\ \varphi\ } \bar{R}$, avec […] $R$ muni de $\delta = (\delta', \delta'')$, $\bar{R}$ de $\bar\delta = (\bar\delta', \bar\delta'')$, […] […] définit $\Delta_\sigma \subset \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}$ par :

13$C \in \Delta_\sigma$ ssi

a)si $(R, \delta\,;\ \bar{R}, \bar\delta,\ \varphi : R \to \bar{R}) \in \sigma_1$, alors \[ \mathrm{Im}\bigl(\varphi^{*}_C \mid \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}(\bar{R}, C)\bigr) \ \subset\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(R, C) ; \]
b)si $(\ \cdots\ ) \in \sigma_2$, alors on a l'inclusion inverse $\supset$.

Alors

a)$\Delta_\sigma$ est stable par équivalences de catégories ;
b)Une intersection de catégories […] de la forme $\Delta_\sigma$ est de la même forme.

$(3)$$\Delta_{\sigma,\rho}$ est la […] sous-$2$-catégorie de $\mathrm{Cat}$ dont les objets sont les $\Delta_\sigma$ […]

Remarque Soient $\Delta \subset \Delta'$ de la […] ; pour $C \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, [un] $R \xrightarrow{\ \varphi\ } \bar{R}$ dans $\Delta'$, et considérons \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta'}(\bar{R}, C) \ \xrightarrow{\ \varphi^{*}_{\Delta',C} \,=\, \Psi\ }\ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta'}(R, C). \] Considérons l'une des conditions suivantes (sur $C$ brevité de $\mathrm{Ob}\,\Delta$) :

a)$\Psi$ est fidèle ;
b)$\Psi$ est surjectif sur les $\underline{\mathrm{Hom}}$ ;
c)$\Psi$ est ess. surjectif sur objets.

à droite, deux accolades de sa main : a) et b) donnent « $\varphi$ pleinement fidèle », les trois ensemble « $\varphi$ est une équivalence »

Soit $\Delta_0 \subset \Delta$ la sous-$2$-catégorie $2$-pleine définie par l'une des trois conditions précédentes. Alors $\Delta_0$ est-elle distinguée ?

Soit $\Delta$ $\delta$ $(\bar\delta)$ l'un des diagrammes [cônes exacts] dans $R$ $(\bar{R})$ qui sont images des […] […] comme $\Theta$ pour $\Theta \to R$ ($\Theta \to \bar{R}$) $\lambda$-exacts […] distinctes des conditions dites $(\Theta, \lambda) \in \rho'$. Donc $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta'}(\bar{R}, C) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\bar\delta}(\bar{R}, C)$, $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta'}(R, C) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(R, C)$.

(a)$D = (D', D'')$ ens. de […] catégories.
(b)$\sigma = (\sigma_1, \sigma_2)$, $\sigma_i$ $(i = 1,2)$ ens. de [quadruplets] $(R, \delta,\ \bar{R}, \bar\delta,\ \varphi : R \to \bar{R})$, $R$, $\bar{R}$ cat., $\varphi$ foncteur, i.e. $\delta = (\delta',\delta'')$ paires [ens.] de cônes proj. et ind. de $R$ [$\bar{R}$] de types $\in D$, $\bar\delta = (\bar\delta', \bar\delta'')$ de même.
(c)$\rho$ = paquet de $(\Theta, \lambda)$, avec $\Theta$ cat., $\lambda = (\lambda', \lambda'')$ ens. de cônes projectifs et ind. de types $\in D$, et un foncteur $\rho$ contenant […] au moins des $(R, \delta)$ et $(\bar{R}, \bar\delta)$ provenant de $\sigma$.

15feuillet biffé de deux grands traits en croix : une rédaction antérieure du théorème du feuillet 3

On […] [les] conditions découlant facilement de la suivante : tout diagramme $\delta$ de type $\Theta \in d'$ ($\Theta \in d''$) dans $D$ parties d'un diagramme $\delta_j$ dans un des $C_j$ $(j < i)$, et que l'un des indices $j < i$ [est] grand devant $\mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,\Theta$ : on voit alors que la $\varinjlim$ des $D$ dans $C_j$ donne une limite de […] des $D$ [ou les $\varinjlim$ de type $\Theta$ commutent aux $\varinjlim$ grandes devant $\mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,\Theta$]. b) $\alpha_i : C \to C_i$ est $\delta$-exact, i.e. si $(x \xrightarrow{p_\lambda} x_\lambda)$ est dans $\delta'$, alors $(\alpha_i(x) \xrightarrow{\alpha_i(p_\lambda)} \alpha_i(x_\lambda))$ est un cône proj. exact. On est visiblement amené à la description des flèches de […]

[…] comme le Pb 1, […] est le Pb 2

Th. Soient $d'$, $d''$ des petits ensembles de diagrammes, $\Delta = \Delta_{(d',d'')}$, $C$ une petite catégorie, munie d'un $(\delta', \delta'')$ de cônes projectifs et inductifs. Alors il existe une $\Delta$-enveloppe de $(C, \delta', \delta'') = (\bar{C}, \ldots)$, i.e. $i$ $(\delta',\delta'')$-exact, et universel vis-à-vis de cette propriété, i.e. équivalence $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta, (\delta',\delta'')}(\bar{C}, \ldots) \to \underline{\mathrm{Hom}} \ldots$ Soit $\rho$ le foncteur $\Delta_{(\emptyset, d'')} \to \ldots$, $\sigma$ de même $\Delta_{(d', \emptyset)}$ — i.e. un foncteur $v : C \to C'$ avec $C' \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, et telle […] est petite, vérifiant la propriété [qui + universel] [i.e. $\forall\, E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, (i(\delta'), i(\delta''))}(C', E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, (\delta',\delta'')}(C, E)\ ]. \]

On construit une suite transfinie de catégories $C_i$ sous $C$, chacune munie d'un ens. $\delta_i = (\delta'_i, \delta''_i)$ de cônes proj. et inductifs. On pose $C_0 = C$, $\delta'_0, \delta''_0 = \ldots$ $(\delta'_0, \delta''_0) = (\delta', \delta'')$ ; $(C_{i+1}, \delta_{i+1})$ déduit de $(C_i, \delta_i)$ ainsi :

Topos et structures algébriques

$1$)Topos et structures algébriques […]

$\Delta_0$ = cat. avec $\varprojlim$ finies ; $\Delta$ = bons topos (conditions $\supset$ b) c) de Giraud), foncteurs commutant aux $\varprojlim$, et exacts à g. $T_0$ th. algébrique rel. $\Delta_0$, défini [représentable] par une petite $C \in \mathrm{Ob}\,\Delta_0$ [définissable par $\varprojlim$ finies] ; $T_0(E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta_0}(C, E)$ si $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta_0$. Si $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, on sait qu'on […] \[ T_0(E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta_0}(C, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(\hat{C}, E) \quad \bigl[\ \xrightarrow{\ \approx\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{top}}(E, \hat{C})^{\circ} \ \text{si $E$ un topos}\ \bigr]. \] Ainsi [le topos $\hat{C}$ est] […] la topos $\Delta_0 \to \Delta$ enveloppe de $C$.

$2$)$\Delta_0$-Enveloppe d'une [petite] catégorie $I$ (Pb. 1)

On prend la $\Delta_0$-enveloppe $\rho_{\Delta_0}(I) \subset \underline{\mathrm{Hom}}(I, \mathrm{Ens})^{\circ}$ (sous-cat. pleine des foncteurs « de présentation finie » — sous-catégorie engendrée par $I$ […] $\underline{\varprojlim}$ finies — on peut le former en rajoutant les $\underline{\varprojlim}$ finies des diagrammes dans $I$, puis prenant […]). Puis on prend la $\Delta_0 \to \Delta$-enveloppe de $\rho_{\Delta_0}(I)$, savoir $\widehat{\rho_{\Delta_0}(I)}$.

$3$)Sous-théorie d'une $\Delta$-théorie (représentable par un topos) et sous-topos (Pb 2.)

Soit $R$ un topos, $\Sigma$ un ensemble de flèches de $R$. On considère \[ E \;\longmapsto\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta, \Sigma}(R, E), \qquad E \in \mathrm{Ob}\,\Delta . \] On satisfait $\Sigma$ par ST1, ST2, ST3 (SGA 4 I 9.1.1 c)), d'où $\Sigma'$, et on trouve $R\Sigma'^{-1}$, qui est un topos [$R'$], et on a \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta, \Sigma}(R, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R', E). \] On sait que $R'$ est un sous-topos de $R$, et tout sous-topos de $R$ s'obtient ainsi (loc. cit.). Si $R \simeq \hat{C}$, $C$ petite […]

ST1 Si $w = vu$, […] et […] des flèches […] sont dans $\Sigma$, […] le troisième l'est. Contravariance ST2 Stabilité par changement de base ([…] par $\underline{\varprojlim}$ finies) ST3 Nature locale ($\iff$ stabilité par $\underline{\varprojlim}$)

18ils correspondent aux topologies $T'$ [sur $C$] plus plus fines que la top. donnée, par $R' \longleftrightarrow (C, T')$.

Remarquons que pour un sous-topos donné [$R'$], on peut toujours le décrire à l'aide d'un petit ens. $\Sigma \subset \mathrm{Fl}\,R$. En effet, sur $C \subset R$ [petite et] génératrice […]. Alors les flèches $\in \Delta$, $R \to \bar{R}$, qui se factorisent par $R'$ sont celles qui transforment familles couvrantes $S_i \to S$ […] [dans $C$, couvrantes pour la topologie $T'$ définissant $R'$] en familles couvrantes [ […] [une] telle que $\forall\, S \in \mathrm{Ob}\,C$ et $S' \to S$ monomorphisme de […] $R$, $S' \to S$ soit transformé en mono ].

Corrigeons Supposons $R$ « algébrique » i.e. $T_R$ [théorie] « algébrique » ; alors $T_{R'} \subset T_R$ (sous-catégorie […] théorie « pleine ») est algébrique, déduite de $T_R$ par un petit ensemble d'axiomes.

D'ailleurs, si on a deux théories représentables $T_R$, $T_{R'}$ ($R$, $R'$ des topos) et un foncteur $T_{R'} \to T_R$ qui est un plongement de théories, i.e. tel que […] $T_{R'}(E) \to T_R(E)$ pl. fid. pour $\forall\, E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, ici […] […] dans le […] correspondant $R \to R'$ de $\Delta$ est telle que $\forall\, E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R', E) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E)$ est pl. fidèle. On […] caractérise les morphismes de topos $R' \to R$ qui sont des plongements.

$4$)Théorème
a)Un $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ est […] algébrique, i.e. représente une théorie algébrique, ssi $R$ est un topos, i.e. admet une petite sous-catégorie génératrice.
b)Soit $I$ un ens. discret, $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, $I \xrightarrow{\ b\ } R$ un foncteur. Alors $b$ est basique (i.e. …) ssi disque $b(I)$ est génératrice ssi les sous-catégories pleines de $R$ engendrées par produits finis d'objets de $b(I)$ sont strictement génératrices.

Dém. […] Évidemment b) $\Rightarrow$ a), donc […] précisons […] b).

Suffisance On va construire la théorie alg. [basique] représentée par $R$, $b$ en plusieurs pas.

$1^{\circ}$)Théorie Structures vides sur objets de base $(X_i)_{i \in I}$. Représentables par un topos $R_0 =$ (Pb 1 ; on a $R_0$ = ens. […] $I$-multisimpliciaux [$\omega$]). $J$ est génératrice dans $R$ : $I \to J_0 \to R_0 = \hat{J_0} \to R$. […] un objet de $R_0$ provenant de […]
$2^{\circ}$)On rajoute des flèches […] $J_1$ et $R_1 = \rho_\Delta(J_1)$ ; $J_0$ (celles de $R$), d'où $R_0$ […]
$3^{\circ}$)on met des axiomes d'égalité sur des composés (en vertu de $R$), d'où $J \to R_0 \to R_1 \to R_2 \to R$ et \[ T_{R_2}(E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R_2, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}(J_1, R) \;\longleftrightarrow\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E) = T_R(E) \] où $J_1$ est la sous-catégorie pleine de $R$ définie par $b : I \to R$, dans la petite catégorie $J_1$ (cf. Pb. 1). $R_2$ est la $\Delta$-enveloppe de la […]. [Comme] $T_R \to T_{R_2}$ est pl. fidèle, on sait qu'on a fini par […]

catégorie […] $\rho(J_0) = \rho(J'_1)$, $J'_1$ analogue engendré par $J_0$ et les flèches données

[…] Maintenant […] [les foncteurs] […] ne prennent que […] […] que la structure. [on peut

$4^{\circ}$)On met d'autres axiomes […] explicites, lesquels : a) foncteurs \underline{continus} $I_1 \to E$, i.e. […] qui transforment certaines systèmes [(aux cônes exacts dans $R$)] cônes inductifs de $I_1$ sans cônes exacts ; b) foncteurs en […] un des foncteurs […] qui ne peuvent […] correspondent aux \underline{$\varprojlim$} $R \to E$, plus la condition de transformer certains diagrammes de cônes projectifs […] de $R'_2$, le type classifiant par […] cônes exacts …

On trouve $I \to R_0 \to R_1 \to R_2 \to R_3 \simeq R$.

$\hat{J_1} \to R$ est un foncteur de \underline{localisation}

N.B. Comme on a rajouté […] $3^{\circ}$ et $4^{\circ}$ des axiomes, on peut les condenser en un seul pas, […] qu'en fait $R_1 \to R_2$ est surjectif […] objets et flèches (cf. Pb 2). Donc on peut faire […] par les trois pas minimum : objets, […] flèches [aux produits finis], axiomes sur les flèches ; exprimables en termes explicites d'insertion de flèches entre […] en produits) […] […] telles familles qu'aux flèches introduites dans les données.

20[…]

Re N.B. Si on veut seulement […] [une théorie] pour […] un topos $R$ soit « algébrique », c'est encore plus court : on choisit $C$ petite avec $\underline{\varprojlim}$ finies, telle que $R \simeq \hat{C}$, et on voit que par la structure algébrique $T^{\Delta_0}_C$ — sa restriction […], $\Delta$ est […] algébrique, elle est représentée par $\hat{C}$, sauf [$n = 1$] — puis on rajoute des axiomes exprimant la \underline{continuité} d'un foncteur $C \to E$ (commutant déjà aux $\underline{\varprojlim}$ finies) par le fait de transformer les familles couvrantes en […] familles couvrantes … […]

Nécessité Il faut prouver que :

a)Structure vide sur un ens. de base $I$ [par la construction transfinie]. Représentée par $\hat{\tilde{I}}$ (cf. Pb 1), où $\tilde{I} = \rho_{\Delta_0}(I)$. $\tilde{I}$ $\Delta$-engendre N.B. $\tilde{I}$ $\Delta$-engendre $\hat{\tilde{I}}$ — deux pas : […] rajouter aux produits, puis aux $\underline{\varprojlim}$ quelc.
b)[…] Mettre axiomes sur théorie algébrique $T_R$, $R$ un topos, i.e. […] trouver $R'$ et $R \to R'$ en surjectif (et […] plus), ainsi surjectif sur les flèches […] des Pb 2 traité. On trouve […]
c)Reporter flèches (petit ensemble [$H$]) : $R$ […] théorie algébrique $T_R$, $R$ déjà topos. Soit $C$ l'ens. des Soit $C \subset R$ la petite sous-catégorie [$C$ $\mathrm{Ob}\,R$] […] d'une des sources et buts des […] flèches, $C$ la catégorie libre engendrée par les objets et les flèches […] $H$ ; $\rho_\Delta(C)$ la catégorie […] ne modifiant […] dans la théorie $T'$ est le produit $2$-fibré \[ T' \simeq T_R \times^{2}_{T_I} T_C \] […] où $T_C(E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(C, E)$, et $T_I(E)$ se définit de même, $I$ considéré comme catégorie discrète. Or (Pb 1) $T_C \simeq T_{R_1}$, $T_I \simeq T_S$, $R$ et $S$ deux topos, donc il faut prouver l'existence […]