Cote n° 161-2, pages 1–111 — Lecture modernisée

Cote n° 161-2 · pages 1–111 · Lecture modernisée · Algèbre universelle [ou catégories] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1973]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Une chemise dont l'onglet porte, de sa main, « Algèbre universelle », et que l'inventaire hésite à ranger sous « catégories » : cent onze pages sans date, où l'on reconnaît quatre ou cinq campagnes d'écriture — des feuillets lignés de brouillon, un cahier à spirale quadrillé, des feuillets jaunis d'une autre plume, et pour finir une copie au net paginée de ① à ⑩. Ce ne sont pas des notes de lecture ; c'est une théorie en train de se faire, et qui se refait quatre fois.

De quoi s'agit-il ? L'algèbre universelle, au sens classique, étudie ce que les structures algébriques — groupes, anneaux, modules, treillis — ont en commun : chacune est donnée par des opérations et des axiomes, et l'on peut raisonner sur « une structure quelconque » sans dire laquelle. La question de ces pages est la version que ce mot prend chez quelqu'un qui vient de passer dix ans à faire de la géométrie dans des catégories : que veut dire « une structure algébrique dans une catégorie $C$ » — un groupe dans les faisceaux sur un espace, un anneau dans un topos —, et qu'est-ce qu'une espèce de structure, prise indépendamment de la catégorie où on la réalise ?

L'idée qui arrive est d'une simplicité qui la rend difficile à voir. Une espèce de structure est une recette : elle demande certaines limites — des produits pour écrire une loi de composition, des égalisateurs pour écrire un axiome — et c'est tout. La recette elle-même est une petite catégorie $R$, celle des « constructions » que l'on peut faire à partir d'une structure de l'espèce ; un plat, c'est-à-dire une structure dans $C$, est un foncteur $R \to C$ qui respecte les limites en jeu. Toute l'algèbre universelle tient alors dans un dictionnaire, que le dossier écrit littéralement sous forme de tables (pages 90 et 91) : aux espèces de structures correspondent les catégories $R$, aux sous-espèces les localisations de $R$, aux structures « plus riches » les foncteurs qui engendrent, aux limites d'espèces les limites inductives de catégories.

Deux faits font de ce dictionnaire autre chose qu'un changement de vocabulaire, et les pages les découvrent l'un après l'autre. Le premier : les modèles déterminent la théorie. Si l'on connaît la catégorie $S$ de toutes les structures ensemblistes de l'espèce — tous les groupes, avec leurs homomorphismes —, on retrouve la recette $R$ à l'intérieur de $S$, comme la sous-catégorie des structures « de présentation finie », celles que l'on peut décrire par un nombre fini de générateurs et de relations (pages 77 et 78). La théorie n'est donc pas un choix de présentation : elle est une propriété de ses modèles. Le second : il existe un modèle universel. Pour chaque espèce il y a un topos — une catégorie de faisceaux sur un site convenable — qui contient une structure de l'espèce, et telle que toute structure de l'espèce, dans n'importe quel topos, s'en déduise par une unique image inverse. C'est le topos classifiant de l'espèce, et le cahier à spirale en fait la liste pour les anneaux : le topos des préfaisceaux sur les schémas affines classifie les anneaux, le topos de Zariski les anneaux locaux, le topos étale les anneaux strictement locaux, et ainsi de suite pour vingt-deux propriétés, réduit, intègre, corps, corps algébriquement clos, de caractéristique donnée. L'anneau « universel » y est le faisceau structural, et l'on peut lire l'ensemble du cahier comme la réponse à une seule question : quel est le corps universel — et pourquoi n'est-il pas un anneau universel comme les autres, parce que « être un corps » demande une disjonction, « nul ou inversible », que les limites seules ne savent pas dire (pages 92 à 95).

Ces pages ne citent presque personne — Lazard pour ses « analyseurs », Lawvere une fois, Schanuel pour une idée, et SGA 4 pour tout le reste. Ce qu'elles construisent porte aujourd'hui d'autres noms : les théories de Lawvere et les esquisses d'Ehresmann pour les recettes, les catégories localement présentables et la dualité de Gabriel–Ulmer pour « les modèles déterminent la théorie », les topos classifiants et la logique géométrique pour le modèle universel. Toutes ces théories datent des années 1963 à 1977, c'est-à-dire de la fourchette que l'inventaire propose pour le dossier ; la lecture qui suit dit, à chaque endroit, ce que la page établit, ce qu'elle affirme sans preuve, et où la littérature l'a retrouvé.

Ce qui tient lieu de conclusion, page 80, est une liste des cas à traiter, et la phrase : « Je m'attends à des ennuis (de sortie de l'Univers) ». Le mot revient : le « grain de sel » de la page 84, « on n'a pas encore prouvé que cela marche » de la page 111. La copie au net s'arrête au milieu d'une phrase. C'est un dossier où l'on voit, à la lettre, une notion arriver et se stabiliser — quatre énoncés successifs du même théorème d'enveloppe, pages 3, 15, 26 et 97 —, et où la prudence sur la taille des objets n'est pas une manie mais le lieu exact où le problème résiste.

Keywords — universal algebra, sketch, essentially algebraic theory, Lawvere theory, locally presentable category, accessible category, Gabriel–Ulmer duality, dense functor, free completion, transfinite construction, classifying topos, geometric theory, cartesian theory, coherent topos, enough points, subtopos, Zariski topos, local ring, von Neumann regular ring, generic field, fibre product of topoi, monadicity, descent, orthogonality

3–3

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier n'est pas relié dans l'ordre de sa composition, mais ses campagnes se distinguent au papier et à la plume, et l'argument, lui, est un. Voici ses stations, dans l'ordre des feuillets.

Pages 3 à 15. Le théorème de la $\Delta$-enveloppe : une petite catégorie munie de cônes se complète librement en une catégorie ayant des limites de types prescrits ; démonstration par récurrence transfinie ; extension aux conditions d'exactitude ; une typologie de celles-ci. Repris pages 26 à 31 sous sa forme la plus générale.
Pages 17 à 24. Le cas des topos : une théorie à limites finies a pour modèle universel un topos de préfaisceaux, ses sous-théories sont les sous-topos, et un objet d'une 2-catégorie de « bons topos » représente une théorie constructible si et seulement s'il est un topos de Grothendieck (Théorème 4). Produits fibrés et limites transfinies de topos. Le topos classifiant d'un objet.
Pages 33 et 34. Deux feuilles de travail : théories de Lawvere, monadicité, descente.
Pages 36 à 50. Le cahier des anneaux : vingt-deux propriétés d'anneaux et le sous-topos du classifiant qui les classifie ; la question des points ; le recollement de deux sous-topos.
Pages 51 et 52. Quelles propriétés de modules et d'algèbres sont « typiques » (géométriques).
Pages 54 à 61. L'outillage : catégories accessibles d'après SGA 4 I § 9, foncteurs strictement générateurs, et la caractérisation des catégories localement présentables.
Pages 62 à 68. « Compléments » : théories sur $\Delta$, constructibilité, changement de $\Delta$, limites dans $T(C)$, et le passage aux préfaisceaux $R^{\circ} \subset S \subset \widehat{R^{\circ}}$.
Pages 69 à 80. « Exemples » : les théories définies par des limites — toutes les limites, les limites d'un type $d'$, les limites finies — et pour ces dernières la dualité complète entre théories et catégories de modèles. La liste des cas à traiter.
Pages 81 à 87. L'adjonction entre théories et catégories, la catégorie des constructions $B_{T}$, sa construction explicite pas à pas, et la réciproque : toute catégorie à générateurs est classifiante.
Pages 89 à 91. Les dictionnaires.
Pages 92 à 95. Le corps universel.
Pages 97 à 106. La copie au net ① à ⑩ : $\lambda$-types, représentabilité, règles de formation, dualité, et le cas des limites projectives.
Pages 108 à 111. Le classifiant depuis le topos : image inverse de la structure universelle, image inverse d'un champ, et le topos modulaire relatif.

Conventions, valables pour tout le document. $\Delta$, ou $\mathrm{Cat}_{\lambda}$ dans la copie au net, est la 2-catégorie des catégories possédant les limites de types prescrits $d = (d', d'')$ (resp. $\lambda = (\overleftarrow{\lambda}, \overrightarrow{\lambda})$), avec les foncteurs qui y commutent. Une théorie (le manuscrit dit aussi type, espèce de structure) est un 2-foncteur $T : \Delta \to \mathrm{Cat}$, $T(C)$ étant la catégorie des structures de l'espèce dans $C$ ; elle est représentable par $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ si $T(C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, C)$, et $R$ — que le manuscrit note $R$, $R_{T}$, $R^{\lambda}_{T}$, $B_{T}$, et nomme « catégorie des constructions », « modelaire », « modulaire », « classifiante » selon les feuillets — est appelé ici sa catégorie modelante. Elle est algébrique (constructible) si elle s'obtient de la structure vide sur des objets de base par des ajouts de flèches, des égalités et des inversions, éventuellement transfinis. $S = T(\mathrm{Ens})$ est sa catégorie de modèles ensemblistes, $\Sigma = R^{\circ} \subset S$ la sous-catégorie des modèles représentables, et, pour une théorie à limites finies, $B = \widehat{R}$ son topos classifiant. Le topos est toujours un topos de Grothendieck, sauf dans « bon topos » (page 17), où la condition de taille est omise. Dans le cahier des anneaux, $R$ désigne la catégorie des schémas affines de type fini sur $\mathbb{Z}$ : c'est la catégorie modelante de la théorie des anneaux, et il n'y a donc pas conflit de notation ; $A$ y est l'anneau universel, $X_{P}$ le sous-topos classifiant la propriété $P$, $\widetilde{R}_{\mathrm{top}}$ les faisceaux pour une topologie. « Pb 1 » et « Pb 2 » désignent la $\Delta$-enveloppe d'une catégorie et la localisation dans $\Delta$ ; ils sont nommés dès la page 3 et jamais énoncés, et le sens retenu est justifié à cet endroit. Le 2-foncteur $R \mapsto T_{R}$ est contravariant : un morphisme de théories $T' \to T$ est un $\Delta$-foncteur $R \to R'$, et le foncteur d'oubli $T'(\mathrm{Ens}) \to T(\mathrm{Ens})$ va dans le sens de $T' \to T$.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas. L'opération $K$ de la construction transfinie est énumérée par ses propriétés (pages 4 à 8, 27 et 28) et jamais écrite ; le renvoi (*) de la page 31 s'arrête après trois lignes. L'équivalence $\Sigma \simeq R^{\circ}$ entre les modèles « représentables en toute construction » et la catégorie modelante est affirmée (pages 68 et 106) et démontrée seulement pour les limites finies (page 77). L'identification $X_{\mathrm{car}} \simeq \widehat{R_{\mathrm{car}}}$ (page 49) est posée sans preuve. Le § 9, « Relation avec analyseurs de Lazard », n'a qu'un titre. Le point (4) de la page 68 et le crochet de la page 66 sont abandonnés après quelques mots, et la copie au net s'arrête page 106 au milieu de sa dernière phrase. Enfin les « six sous-topos » de la page 24 ne sont pas tous les sous-topos du classifiant d'un objet, et la note le dit. \pagerange{3}{15}

Le théorème de la $\Delta$-enveloppe (pages 3 à 15, reprise pages 26 à 31)

3–3

Le cadre

On fixe un couple $d = (d', d'')$ de petits ensembles de types de diagrammes : chaque élément de $d'$ (resp. $d''$) est une petite catégorie d'indices, et l'on demandera les limites projectives (resp. inductives) indexées par ces catégories. On note $\Delta = \Delta_{d}$ la 2-catégorie dont les objets sont les catégories possédant les limites projectives de type $d'$ et les limites inductives de type $d''$, dont les 1-flèches sont les foncteurs commutant à ces limites (les $\Delta$-foncteurs), et dont les 2-flèches sont les transformations naturelles.¹

Une catégorie $C$ étant donnée, un paquet de cônes $\delta = (\delta', \delta'')$ sur $C$ est un petit ensemble de cônes projectifs $(x \to x_{\alpha})_{\alpha}$ de type $\in d'$ et de cônes inductifs de type $\in d''$. Un foncteur $u : C \to E$ vers un objet $E$ de $\Delta$ est $\delta$-exact s'il envoie chaque cône de $\delta$ sur un cône limite de $E$. On note $\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E)$ la sous-catégorie pleine de $\underline{\mathrm{Hom}}(C, E)$ formée des foncteurs $\delta$-exacts, et $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta}(C,E)$ la même chose lorsque $C$ est déjà un objet de $\Delta$ et que l'on demande de plus que $u$ soit un $\Delta$-foncteur.

En langage d'aujourd'hui, le couple $(C, \delta)$ est une esquisse (une esquisse à limites projectives et inductives, au sens d'Ehresmann), et le théorème qui suit est l'existence de la catégorie $\Delta$-libre engendrée par l'esquisse.²

3–3

L'énoncé

Théorème. Soient $d$, $\Delta = \Delta_{d}$ comme ci-dessus, $C$ une catégorie essentiellement petite et $\delta$ un paquet de cônes sur $C$. Il existe un objet $\overline{C}_{\delta}$ de $\Delta$ et un foncteur $i : C \to \overline{C}_{\delta}$ tels que

a)$i$ est $\delta$-exact ;
b)pour tout $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, le foncteur $\varphi \mapsto \varphi \circ i$ induit une équivalence de catégories \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, i(\delta)}(\overline{C}_{\delta}, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E). \]

Autrement dit, $(\overline{C}_{\delta}, i)$ est un objet 2-initial de la 2-catégorie des objets $E$ de $\Delta$ munis d'un foncteur $\delta$-exact $C \to E$. De plus $\overline{C}_{\delta}$ est essentiellement petite.³

Le N.B. de la page 3 dit ce que l'énoncé unifie : le « problème 1 » (pas de cônes du tout, $\delta' = \delta'' = \emptyset$ : la $\Delta$-enveloppe d'une catégorie nue) et le « problème 2 » ($C$ déjà dans $\Delta$, et $\delta$ formé des cônes limites de $C$ auxquels on adjoint des flèches $(x \to y)$ d'un ensemble $\Sigma$ vues comme cônes à un seul sommet : c'est la localisation $C\Sigma^{-1}$ prise dans $\Delta$). Ces deux problèmes sont nommés dès ici et jamais énoncés dans le dossier ; nous les prenons dans ce sens, qui est le seul compatible avec toutes leurs occurrences.⁴

3–6

La construction transfinie

La démonstration est une récurrence transfinie qui est devenue la méthode standard pour ce genre d'énoncé.⁵ On construit une suite transfinie de petites catégories sous $C$, chacune munie d'un paquet de cônes : \[ \begin{cases} (C_{0}, \delta_{0}) = (C, \delta), \\ (C_{i+1}, \delta_{i+1}) = K(C_{i}, \delta_{i}), \qquad \tau_{i} : C_{i} \to C_{i+1}, \\ C_{i} = \varinjlim_{j < i} C_{j} \ \text{(limite dans } \mathrm{Cat}), \quad \delta_{i} = \bigcup_{j<i} \mathrm{Im}\,\delta_{j} \ \text{ si $i$ est un ordinal limite,} \end{cases} \] où $K$ est une « opération » à expliciter, et l'on note $\alpha_{i} : C \to C_{i}$. L'opération $K$ doit avoir quatre propriétés, énoncées page 4 pour le pas $C_{i} \to C_{i+1}$ :

a)$\tau_{i}$ est $\delta_{i}$-préexact, ce qui signifie deux choses pour chaque cône projectif $(x \to x_{\alpha}) \in \delta'_{i}$ (et dualement pour les cônes inductifs) : deux flèches $u, v : z \rightrightarrows x$ égalisées par toutes les projections deviennent égales dans $C_{i+1}$ ; et toute famille compatible $(z \to x_{\alpha})_{\alpha}$ se factorise, dans $C_{i+1}$, par $\tau_{i}(x)$ ;
b)tout diagramme de type $d'$ (resp. $d''$) de $C_{i}$ acquiert dans $C_{i+1}$ un cône qui appartient à $\delta'_{i+1}$ (resp. $\delta''_{i+1}$) ;
c)$\delta_{i+1}$ est formé de l'image de $\delta_{i}$ et des cônes ajoutés en b) ;
d)pour tout $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, $\varphi \mapsto \varphi \circ \tau_{i}$ induit une équivalence $\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i+1}}(C_{i+1}, E) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i}}(C_{i}, E)$.

De d) on tire par récurrence l'équivalence $(d^{*})$ : $\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i}}(C_{i}, E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E)$ pour tout $i$. Il reste à trouver un ordinal $\omega$ tel que $C_{\omega} \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, que $\alpha_{\omega}$ soit $\delta$-exact, et que $\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{\omega}}(C_{\omega}, E)$ soit exactement $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\,\alpha_{\omega}(\delta)}(C_{\omega}, E)$. On prend un cardinal $\pi$ strictement plus grand que le nombre de flèches de toute catégorie d'indices en jeu (celles des types $d'$, $d''$ et celles des cônes de $\delta$), et $\omega$ le plus petit ordinal de cardinal $\geqslant \pi$ ; alors tout $j < \omega$ est « grand devant » ces cardinaux, ce qui donne : \[ (*) \qquad \forall j < \omega,\quad C_{j} \to C_{\omega} \ \text{est } \delta_{j}\text{-exact}, \] d'où $C_{\omega} \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ (par $(*)$ et b)) et \[ (**) \qquad \delta_{\omega} = (\text{cônes limites de types $d'$, $d''$ de } C_{\omega}) \cup \alpha_{\omega}(\delta), \] qui est le point 3^o.⁶

Tout revient donc à construire $K$. Elle est composée de six opérations élémentaires, trois pour les cônes projectifs ($\rho = \rho_{3}\rho_{2} \rho_{1}$) et trois pour les cônes inductifs ($\sigma = \sigma_{3}\sigma_{2} \sigma_{1}$), chacune « faisant environ la moitié du boulot » :

$\rho_{1}$ : prendre l'enveloppe de $C$ dans $\Delta'' = \Delta_{(\emptyset, d'')}$ — on ajoute librement les limites inductives de type $d''$ — et ajouter à $\delta''$ tous les cônes de type $d''$ ainsi créés ; cela assure b'') ;
$\rho_{2}$ : égaliser, pour chaque cône projectif $(x \to x_{\alpha}) \in \delta''_{1}$, les couples de flèches $z \rightrightarrows x$ que toutes les projections égalisent ; cela assure $a'_{1}$) ;
$\rho_{3}$ : ajouter, pour chaque cône projectif de $\delta''_{2}$ et chaque famille compatible $(z \to x_{\alpha})$, une flèche $z \to x$ la factorisant ; cela assure $a'_{2}$) ;⁷
$\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ : les mêmes, avec les rôles de $d'$ et $d''$ échangés.

Chaque opération conserve c) et d) — c'est la vérification à faire, notée en marge — et $K = \sigma\rho$ a les propriétés a) à d).

Le N.B. de la page 6 mérite d'être retenu : l'ordre des six opérations est indifférent, « on pourrait prendre $K' = \sigma_{1}\rho_{3} \sigma_{2}\rho_{1}\rho_{2}\sigma_{3}$ ! », et la seule chose qui ait un sens intrinsèque est la limite des itérés transfinis. C'est exactement ce que la théorie ultérieure des constructions transfinies formalise : le point fixe ne dépend pas de la présentation choisie de l'opération.

6–9

Conditions d'exactitude : la 2-catégorie $\Delta_{f}$

Les pages 6 à 9 étendent l'énoncé à des conditions plus fines que l'existence de limites. On se donne, pour $i = 0, 1, 2$, des familles $f^{(i)} = (f^{(i)}_{\lambda})$ de $\Delta$-foncteurs entre petits objets de $\Delta$, $f^{(i)}_{\lambda} : R^{(i)}_{\lambda} \to R'^{(i)}_{\lambda}$, et l'on définit $\Delta_{f}$ comme la sous-2-catégorie pleine de $\Delta$ formée des $E$ tels que, pour tout $\varphi$ de la famille, le foncteur $u \mapsto u \circ \varphi$, de $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R', E)$ vers $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E)$, soit

$a_{0}$)surjectif sur les Hom si $\varphi$ est un $f^{0}_{\lambda}$ ;
$a_{1}$)injectif sur les Hom (fidèle) si $\varphi$ est un $f^{1}_{\lambda}$ ;
$a_{2}$)essentiellement surjectif si $\varphi$ est un $f^{2}_{\lambda}$.⁸

Théorème. Sous les hypothèses du théorème précédent, il existe un $\Delta$-foncteur $\delta$-exact $C \to \overline{C}$ avec $\overline{C} \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{f}$, 2-universel pour ces propriétés, et $\overline{C}$ est essentiellement petite.

La démonstration suit le même schéma. Grâce au premier théorème on peut supposer $C \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ et $\delta$ formé de tous les cônes limites de types $d'$, $d''$, de sorte que $\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta}(C, E)$. On itère alors une opération $K$ à valeurs dans $\Delta$, dont le pas $\tau_{i} : C_{i} \to C_{i+1}$ doit :

$a_{0}$)pour $\varphi : R \to R'$ dans la famille et deux transformations $\lambda, \mu : u' \to v'$ entre foncteurs $R' \to C_{i}$, identifier $\tau_{i} * \lambda$ et $\tau_{i} * \mu$ dès que $\lambda * \varphi = \mu * \varphi$ ;
$a_{1}$)pour $\varphi$ parmi les $f^{1}$, $f^{2}$, relever toute transformation $\lambda' : u'\varphi \to v'\varphi$ en une transformation $\lambda : \tau_{i} u' \to \tau_{i} v'$ avec $\lambda * \varphi = \tau_{i} * \lambda'$ ;
$a_{2}$)pour $\varphi$ parmi les $f^{2}$, prolonger tout $u : R \to C_{i}$ en un $u' : R' \to C_{i+1}$ avec $\tau_{i} \circ u \simeq u' \circ \varphi$ ;
b)être $\delta_{i}$-exact ;
c)induire, pour $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{f}$, une équivalence $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta_{i+1}}(C_{i+1}, E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\delta_{i}}(C_{i}, E)$.

Le cardinal $\pi$ majore maintenant aussi les $\mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\, R$, $\mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,R'$ des sources et buts de la famille $f$, et pour $\omega$ le plus petit ordinal de cardinal $\pi$, $C_{\omega}$ est dans $\Delta_{f}$ : un foncteur $R \to C_{\omega}$ se factorise par un $C_{j}$, $j < \omega$, et les propriétés $a_{0}$)–$a_{2}$) au pas suivant donnent la surjectivité, la fidélité, la surjectivité essentielle voulues.⁹

10–14

Une typologie des conditions d'exactitude

Les pages 10 à 14 recommencent, sous le même titre, pour classer les conditions que l'on peut vouloir imposer et voir lesquelles suffisent. Sur une catégorie $C$, on distingue :

a)l'existence inconditionnelle de certaines limites (les types $d = (d', d'')$) ;
b)l'existence conditionnelle : on se donne un diagramme $\Theta$ muni de sous-diagrammes $\Theta'_{i} \to \Theta$, $\Theta''_{j} \to \Theta$, et l'on demande que pour tout $\Theta \to C$ les limites des restrictions aux $\Theta'_{i}$ et $\Theta''_{j}$ existent (par exemple : les produits fibrés existent dès que la somme amalgamée existe) ;
c)l'exactitude de cônes : un paquet $(\delta, \lambda)$ étant donné, tout foncteur $\delta$-exact doit être $\lambda$-exact ;
d)la forme la plus générale : un foncteur $\varphi : \Theta \to \overline{\Theta}$ entre catégories munies de paquets $\delta$, $\overline{\delta}$, et le foncteur de restriction \[ \varphi^{*}_{C} : \underline{\mathrm{Hom}}(\overline{\Theta}, C) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\Theta, C), \] dont on peut demander qu'il envoie $\underline{\mathrm{Hom}}_{\overline {\delta}}$ dans $\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}$ (i), qu'il y soit fidèle (i'), surjectif sur les Hom (ii), ou essentiellement surjectif (ii').

La page 11 observe que (i) est une condition d'existence de flèches et (ii') une condition d'existence d'objets et de diagrammes, et retient finalement deux types de conditions qui permettent d'exprimer les autres : \[ 1^{\circ})\ \ \mathrm{Im}\bigl(\varphi^{*}_{C} \mid \underline{\mathrm{Hom}}_{\overline{\delta}}\bigr) \subset \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}, \qquad 2^{\circ})\ \ \mathrm{Im}\bigl(\varphi^{*}_{C} \mid \underline{\mathrm{Hom}}_{\overline{\delta}}\bigr) \supset \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}, \] la première impliquant les conditions d'exactitude habituelles, la seconde les conditions d'existence (y compris conditionnelle) de limites.

Pour les foncteurs $F : C \to C'$, on se donne des triplets $(\Theta, \delta, \lambda)$ et l'on dit que $F$ est $\rho$-exact si pour tout $u : \Theta \to C$ qui est $\lambda$-exact, $F \circ u$ l'est. La page 12 vérifie ce qui fait de cette classe $\Sigma_{\rho} \subset \mathrm{Fl}(\mathrm{Cat})$ une bonne classe de flèches : stable par isomorphisme, contenant les équivalences, stable par composition, et stable par intersection. Symétriquement, un couple $\sigma = (\sigma_{1}, \sigma_{2})$ de familles de quadruplets $(R, \delta, \overline{R}, \overline{\delta}, \varphi)$ définit une classe d'objets $\Delta_{\sigma} \subset \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat})$ par les conditions $1^{\circ}$) pour $\sigma_{1}$ et $2^{\circ}$) pour $\sigma_{2}$ ; elle est stable par équivalence et par intersection. La 2-catégorie $\Delta_{\sigma,\rho}$ a pour objets $\Delta_{\sigma}$ et pour flèches $\Sigma_{\rho}$.¹⁰

C'est cette typologie qui est la vraie nouveauté des feuillets : la définition d'une classe de catégories par des propriétés de restriction le long de foncteurs entre esquisses recouvre à la fois les conditions d'existence et les conditions d'exactitude, et c'est sous cette forme que le théorème sera réénoncé.

26–31

La reprise générale : $\Delta_{\sigma,\rho}$ (pages 26 à 31)

La page 26 reprend le théorème depuis le début sous la forme la plus générale du dossier. On se donne

1)un ensemble $\sigma$ de couples $(S, \lambda)$, $S$ une petite catégorie et $\lambda = (\lambda', \lambda'')$ un petit paquet de cônes de $S$ ;
2)un ensemble $\rho$ de systèmes $(R_{1}, \delta_{1}, R_{2}, \delta_{2}, \varphi)$, avec $\varphi : R_{2} \to R_{1}$ un foncteur entre petites catégories munies de paquets, tel que $\varphi(\delta_{2}) \subset \delta_{1}$ ;

et $\Delta = \Delta_{\sigma,\rho}$ est la sous-2-catégorie de $\mathrm{Cat}$ dont les objets $E$ vérifient $a_{1}$) pour tout $(S, \lambda) \in \sigma$ et tout $u : S \to E$, les limites des cônes de $u(\lambda)$ existent, et $a_{2}$) pour tout système de $\rho$, $u \mapsto u \circ \varphi$ induit une équivalence $\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{1}}(R_{1}, E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{2}}(R_{2}, E)$ ; et dont les flèches $E \to E'$ sont les foncteurs qui envoient tout $u : S \to E$ $\lambda$-exact sur un foncteur $\lambda$-exact. On suppose (A) que tout est petit, et (B) que les $(R_{i}, \delta_{i})$ des systèmes de $\rho$ figurent dans $\sigma$.¹¹

Théorème. Pour $C$ essentiellement petite munie d'un petit paquet $\delta$, il existe $C' \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ et $i : C \to C'$ $\delta$-exact, 2-universels : pour tout $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, i(\delta)}(C', E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat},\,\delta}(C, E), \] et $C'$ est essentiellement petite.

La démonstration (pages 27 à 30) est celle des pages 3 à 5, mise au net. La construction $K$, indépendante de $i$, doit vérifier :

a)l'équivalence $\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i+1}}(C_{i+1}, E) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i}}(C_{i}, E)$ ;
b)$\tau_{i}(\delta_{i}) \subset \delta_{i+1} \subset \tau_{i}(\delta_{i}) \cup \bigcup_{(S,\lambda) \in \sigma} \bigcup_{u : S \to C_{i+1}} u(\lambda)$ ;
c)$\tau_{i}$ est préexact pour $\delta_{i}$ ;
d)pour $(S, \lambda) \in \sigma$ et $u : S \to C_{i}$, il existe un foncteur $\overline{v} : \overline{S} \to C_{i+1}$, avec $\overline{v} \beta = \tau_{i} u$ et $\overline{v}(\overline{\lambda}) \subset \delta_{i+1}$, où $\beta : (S, \lambda) \to (\overline{S}, \overline{\lambda})$ est obtenu en dédoublant les sommets des cônes critiques (voir ci-dessous) ;
$e_{0}$)–$e_{2}$)les trois propriétés de la page 7, relatives aux systèmes de $\rho$ : identification des 2-flèches, relèvement des 2-flèches, prolongement des foncteurs.

De a) et b) suivent par récurrence (1) $\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i}} (C_{i}, E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E)$ et (2) $\alpha_{i}(\delta) \subset \delta_{i} \subset \alpha_{i}(\delta) \cup \bigcup \tau_{ij} u(\lambda)$. Pour $\omega$ un ordinal limite grand devant le cardinal $\Pi$ qui majore toutes les catégories d'indices, on prouve successivement (3) que $\tau_{\omega,i} : C_{i} \to C_{\omega}$ est $\delta_{i}$-exact — c'est c) et la grandeur de $\omega$, en toutes lettres cette fois —, puis $A_{1}$) et $A_{2}$) (par d) et par e) respectivement), et enfin 4) : tout $u : S \to C_{\omega}$ $\lambda$-exact se factorise à isomorphisme près par un $u_{i} : S \to C_{i}$ avec $u_{i}(\lambda) \subset \delta_{i}$. Le point 4) est le seul délicat, et la page 30 le démontre par le dédoublement.

Le dédoublement des sommets (page 31). À $(S, \lambda)$ on associe $(\overline{S}, \overline{\lambda})$ en ajoutant, pour chaque cône $c : (x \to x_{\alpha})_{\alpha}$ de $\lambda'$, un nouvel objet $\overline{x}_{c}$, une flèche $i_{c} : x \to \overline{x}_{c}$ et des flèches $q_{\alpha} : \overline{x}_{c} \to x_{\alpha}$ avec $q_{\alpha} i_{c} = p_{\alpha}$ ; et dualement pour $\lambda''$ :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& x_{1} & \\
x \arrow[r, "i_{c}"] \arrow[ur, bend left=20, "p_{1}"] \arrow[dr, bend right=20, "p_{3}"'] & \overline{x}_{c} \arrow[u, "q_{1}"] \arrow[r, "q_{2}"] \arrow[d, "q_{3}"'] & x_{2} \\
& x_{3} &
\end{tikzcd}

Le paquet $\overline{\lambda}$ est formé des cônes de sommet $\overline {x}_{c}$. Alors, pour tout $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, tout foncteur $u : S \to E$ se prolonge de façon unique en un $\overline{u} : \overline{S} \to E$ qui soit $\overline{\lambda}$-exact (on envoie $\overline{x}_{c}$ sur la limite du diagramme $u(x_{\alpha})$), et $u$ est $\lambda$-exact si et seulement si $\overline{u}(i_{c})$ est un isomorphisme pour tout $c$. C'est la réduction, aujourd'hui classique, de l'exactitude d'un cône à l'inversibilité d'une flèche de comparaison ; elle ramène le point 4) à la propriété d) et à un argument de cardinalité sur les $\bar{u}_{j} (i_{c})$.¹²

17–24

Théories algébriques et topos classifiants (pages 17 à 24)

17–17

Le topos enveloppe d'une catégorie à limites finies

Le feuillet 17 applique ce qui précède au cas qui intéresse le dossier entier. On prend $\Delta_{0}$ = les catégories à limites projectives finies, avec les foncteurs exacts à gauche ; et $\Delta$ = les « bons topos », c'est-à-dire les catégories satisfaisant aux conditions d'exactitude de Giraud (limites projectives finies, sommes disjointes universelles, relations d'équivalence effectives universelles), avec pour flèches les foncteurs exacts à gauche commutant aux limites inductives — les foncteurs image inverse.¹³

Une théorie algébrique $T_{0}$ relative à $\Delta_{0}$ est représentée par une petite catégorie $C \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{0}$ : $T_{0}(E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta_{0}}(C, E)$ pour $E \in \Delta_{0}$. Pour $E \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ on a alors \[ T_{0}(E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta_{0}}(C, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(\widehat{C}, E) \;\simeq\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{top}}(E, \widehat{C})^{\circ} \quad (\text{si $E$ est un topos}), \] où $\widehat{C}$ est la catégorie des préfaisceaux sur $C$. C'est le théorème de Diaconescu sous sa forme la plus simple : un foncteur exact à gauche $C \to E$ se prolonge de façon unique en un foncteur image inverse $\widehat{C} \to E$, et les morphismes de topos $E \to \widehat{C}$ correspondent aux foncteurs plats $C \to E$, qui sont ici les foncteurs exacts à gauche puisque $C$ a les limites finies.¹⁴ Ainsi $\widehat{C}$ est le topos classifiant de la théorie $T_{0}$, et le passage $\Delta_{0} \to \Delta$ est le passage d'une théorie « à limites finies » à sa réalisation dans les topos.

Les deux problèmes suivent. Problème 1 : la $\Delta_{0}$-enveloppe d'une petite catégorie $I$ est la sous-catégorie pleine $\rho_{\Delta_{0}}(I) \subset \underline{\mathrm{Hom}}(I, \mathrm{Ens})^{\circ}$ engendrée par $I$ sous les limites finies — les foncteurs « de présentation finie » —, et sa $\Delta$-enveloppe est $\widehat{\rho_{\Delta_{0}}(I)}$. Problème 2 : une sous-théorie d'une $\Delta$-théorie représentable par un topos $R$ correspond à un sous-topos. Précisément, $\Sigma$ étant un ensemble de flèches de $R$, on considère $E \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta, \Sigma}(R, E)$ (les images inverses rendant inversibles les flèches de $\Sigma$) ; on sature $\Sigma$ par les trois conditions ST1 (deux des trois flèches d'un triangle commutatif), ST2 (stabilité par changement de base), ST3 (nature locale) de SGA 4 I 9.1.1, d'où $\Sigma'$, et $R' = R\Sigma'^{-1}$ est un sous-topos de $R$ avec \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\Sigma}(R, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R', E) ; \] tout sous-topos s'obtient ainsi, et si $R \simeq \widehat{C}$ les sous-topos correspondent aux topologies $T'$ sur $C$.¹⁵ Un sous-topos donné se décrit par un petit $\Sigma$ ; et la page 18 « corrige » : si $T_{R}$ est algébrique, la sous-théorie $T_{R'}$ l'est aussi, déduite par un petit ensemble d'axiomes. Un plongement de théories $T_{R'} \to T_{R}$ (i.e. $T_{R'}(E) \to T_{R}(E)$ pleinement fidèle pour tout $E$) correspond à un morphisme $R \to R'$ de $\Delta$ tel que $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R', E) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{ \Delta}(R, E)$ soit pleinement fidèle pour tout $E$ : c'est la caractérisation des plongements de topos $R' \to R$.

18–22

Le théorème : théories algébriques et topos

Théorème 4. a) Un objet $R$ de $\Delta$ représente une théorie algébrique si et seulement si $R$ est un topos, c'est-à-dire admet une petite sous-catégorie génératrice. b) Soient $I$ un ensemble, $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ et $b : I \to R$ une famille d'objets. Alors $b$ est basique pour $T_{R}$ si et seulement si la sous-catégorie pleine de $R$ engendrée par les produits finis d'objets de $b(I)$ est strictement génératrice.¹⁶

La démonstration (pages 18 à 22), dans le sens « suffisance », construit la théorie représentée par $(R, b)$ en trois pas, qui sont ceux de toute présentation :

$1^{\circ}$)la structure vide sur des objets de base $(X_{i})_{i \in I}$, représentée par le topos $R_{0} = \widehat{J_{0}}$, $J_{0} = \rho_{\Delta_{0}}(I)$ (problème 1 ; $R_{0}$ est le topos des ensembles $I$-multisimpliciaux, le classifiant de $I$ objets) ;¹⁷
$2^{\circ}$)on ajoute des flèches : $J_{1}$ est la sous-catégorie pleine de $R$ engendrée par $b(I)$ et ses produits finis, et $R_{1} = \rho_{\Delta}(J_{1})$ ;
$3^{\circ}$)on met les axiomes d'égalité entre composés, en vertu de $R$, d'où $R_{2}$ et $T_{R_{2}}(E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(J_{1}, E)$, et $T_{R} \to T_{R_{2}}$ est pleinement fidèle ;
$4^{\circ}$)on ajoute les axiomes explicites qui expriment la continuité des foncteurs $J_{1} \to E$ : transformer les cônes inductifs exacts de $R$ et les familles couvrantes en cônes exacts et familles couvrantes.

On obtient $I \to R_{0} \to R_{1} \to R_{2} \to R_{3} \simeq R$, les morphismes $R_{1} \to R_{2} \to R_{3}$ étant des localisations (le schéma de la page 22 les note « loc »), et $\widehat{J_{1}} \to R$ est un foncteur de localisation. Le N.B. de la page 19 condense $3^{\circ}$ et $4^{\circ}$ en un seul pas : trois pas minimum, objets, flèches (aux produits finis), axiomes sur les flèches. Le Re N.B. de la page 20 donne le raccourci si l'on veut seulement qu'un topos soit « algébrique » : choisir $C$ petite à limites finies avec $R \simeq \widehat{C}$, prendre la théorie $T^{\Delta_{0}}_{C}$ représentée par $\widehat{C}$, et ajouter les axiomes de continuité. C'est le mode d'emploi, aujourd'hui standard, pour présenter un topos $\widetilde{C}$ comme classifiant : la théorie « à limites finies » de $C$, plus les axiomes de recouvrement.

La nécessité (page 20) demande trois lemmes de construction, tous ramenés au théorème d'enveloppe : a) la structure vide sur $I$ est représentée par $\widehat{\widetilde{I}}$, $\widetilde{I} = \rho_{\Delta_{0}} (I)$, et $\widetilde{I}$ $\Delta$-engendre $\widehat{\widetilde{I}}$ « en deux pas » (produits, puis limites inductives quelconques) ; b) mettre des axiomes sur $T_{R}$ est le problème 2 ; c) ajouter un petit ensemble $H$ de flèches revient à un produit 2-fibré de théories \[ T' \simeq T_{R} \times^{(2)}_{T_{I}} T_{C}, \] où $C$ est la catégorie libre engendrée par les objets de base et les flèches de $H$, $T_{C}(E) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(C, E)$ et $T_{I}$ de même. Comme $T_{C}$ et $T_{I}$ sont représentables (problème 1), il faut savoir que les produits 2-fibrés de topos existent — ce que la page 21 démontre — et d) que les 2-limites inductives transfinies de topos existent (page 22).

21–22

Produits 2-fibrés de topos et passage à la limite

Pour $f^{*} : T \to R$ et $g^{*} : T \to S$ deux images inverses, on choisit de petites sous-catégories génératrices $T_{0}$, $R_{0}$, $S_{0}$ avec $f^{*}(T_{0}) \subset R_{0}$, $g^{*}(T_{0}) \subset S_{0}$, et $U_{0}$ la 2-somme amalgamée de $R_{0}$ et $S_{0}$ sous $T_{0}$ dans $\mathrm{Cat}$, de sorte que $\underline{\mathrm{Hom}}(U_{0}, E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}} (R_{0}, E) \times^{2}_{\underline{\mathrm{Hom}}(T_{0}, E)} \underline{\mathrm{Hom}}(S_{0}, E)$. Si $R_{0}$, $S_{0}$ sont stables par limites finies, la condition qu'un $h : U_{0} \to E$ provienne de $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E) \times^{2}_{\underline{\mathrm{Hom}} _{\Delta}(T,E)} \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(S, E)$ s'exprime par des axiomes d'exactitude et de continuité sur $h$ ; la théorie $T_{R} \times^{(2)}_{T_{T}} T_{S}$ est donc une sous-théorie pleine de $T_{\rho_{\Delta}(U_{0})}$, et par le problème 2 elle est représentée par un sous-topos de $\rho_{\Delta}(U_{0})$ : le produit 2-fibré $R \times^{2}_{T} S$ existe dans $(\mathrm{Top})$, et c'est une 2-limite amalgamée $R \amalg_{T} S$ dans $\Delta$.¹⁸

Le passage à la limite transfinie (page 22) est le point où la méthode tire sur sa taille : une 2-limite inductive transfinie de topos dans $\Delta$ est un topos, pourvu que l'on choisisse des petites catégories génératrices stables par les morphismes de transition — « par exemple à l'aide des filtrations cardinales, mais c'est un mauvais moyen » — et que l'on prenne $C = \varinjlim_{\alpha} C_{\alpha}$ dans $\mathrm{Cat}$, la limite étant un sous-topos de $\widehat{C}$ ; l'énoncé utile est que si $J \to R_{\alpha}$ engendre $R_{\alpha}$ pour tout $\alpha$, alors $J \to R$ engendre $R$. La page reporte le schéma des trois pas, avec en marge l'idée qui gouverne les feuillets 81 à 87 : « $R$ apparaît comme une catégorie de fractions de $\widehat{J_{1}}$, i.e. $J_{1}$ est l'analyseur libre sur $I$ engendré par les flèches induites par $R$ ».¹⁹

23–24

Deux feuillets d'exemples : le topos d'un objet

La page 23 note d'abord ce que ces théories ont en commun : $T(E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{top}}(E, R)^{\circ} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E)$ est stable par limites inductives filtrantes — les conditions sur les structures « convergent » — et $T_{R}(\mathrm{Ens}) \simeq \underline{\mathrm{Pt}}(R)$ est la catégorie des points du topos $R$.²⁰ La Question qui suit est la bonne : si $T(E)$ a des limites projectives finies pour tout $E$, et si les $T(E) \to T(E')$ y commutent, $T$ est-elle la restriction à $\Delta$ d'une théorie algébrique sur $\Delta_{0}$, i.e. $R \simeq \widehat{C}$ avec $C$ stable par limites finies ? C'est la question de savoir quand un topos classifiant est un topos de préfaisceaux, i.e. quand une théorie géométrique est équivalente à une théorie cartésienne (à limites finies) ; les pages 77 et 78 y répondront pour les théories définies par des limites, et la réponse générale est la même : lorsque les modèles ont assez d'objets de présentation finie.

Le second feuillet prend $R = \widehat{C}$ avec $C$ la catégorie opposée aux ensembles finis, de sorte que $R = \underline{\mathrm{Hom}}(\mathrm{Ens}_{f}, \mathrm{Ens})$ est le topos classifiant d'un objet : ses points sont les ensembles, et un morphisme $E \to R$ est un objet de $E$.²¹ On cherche ses sous-topos, « classés par leurs points » : le feuillet en trouve six, rangés en un treillis,

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& R & & \\
R^{+} \arrow[ur, no head] & & V \arrow[ul, no head] & \\
& R^{+} \wedge V = \varphi_{1} \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] & & \overline{(\varphi_{0})} \arrow[ul, no head] \\
& & \emptyset \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}

où $R^{+}$ classifie les objets $X$ tels que $X \to e$ soit épimorphique (les objets « habités »), $V$ ceux tels que $X \to e$ soit un monomorphisme (les sous-objets de l'objet final : $V$ représente $E \mapsto \mathcal{P}(e_{E})$), $\varphi_{1} = R^{+} \wedge V$ le point « $X \simeq e$ », $\overline{(\varphi_{0})}$ le point « $X = \emptyset$ », et $\emptyset$ le topos vide. $V$ est un sous-topos fermé qui n'est pas ouvert ; $V$ et $\varphi_{1}$ ne sont pas des complémentaires mais ont pour « complémentaires faibles » $\emptyset$ et $\varphi_{0}$.²²

Le feuillet se ferme sur une liste de questions — les topos classifiants et sous-topos pour les structures « $f : X \to Y$ sans plus », « $f : X \to X$ » (c'est $B_{\mathbb{N}}$, le classifiant du monoïde libre à un générateur), « $e \to X$ », « $X \times Y \to Z$ », « $X \times X \to X$ (!) », « $X \times X \rightrightarrows X$ (!!) » — qui sont, chacune, le classifiant d'une signature sans axiomes. La marque d'insistance sur les deux dernières est justifiée : le classifiant d'une loi de composition binaire sans axiome, et celui d'un couple de lois, sont les premiers cas où la question des sous-topos rejoint l'algèbre universelle proprement dite.

33–34

Deux feuilles de travail : théories de Lawvere, monades, descente (pages 33 et 34)

Deux feuillets sans ordre linéaire, en anglais et en français, notent ce que la littérature du moment offre au projet. Le premier pose une théorie de Lawvere $\mathcal{L}$ — une petite catégorie dont les objets sont les puissances $n = \mathbb{1}^{n}$ d'un objet $\mathbb{1}$ — et l'adjonction entre les modèles $\underline{\mathrm{Hom}}'(\mathcal{L}^{\circ}, \mathrm{ENS})$ (foncteurs conservant les produits) et les algèbres $\mathrm{Alg}(\mathfrak{T})$ d'une monade ; il note les propriétés de l'objet $P$ qui rend $\mathrm{Hom}(P, -)$ un bon foncteur fibre (puissances $P_{I} = \coprod_{I} P$, relations d'équivalence effectives, $f : X \to Y$ effectif si et seulement si $\mathrm{Hom}(P, X) \to \mathrm{Hom}(P, Y)$ est surjectif, produits fibrés), et enfin le théorème de monadicité : un foncteur $U : A \to B$ admettant un adjoint à gauche $F$ est monadique ($A \simeq \mathrm{Alg}(\mathbb{T})$, $\mathbb{T} = UF$) si $U$ est conservatif et si $A$ a et $U$ préserve les coégalisateurs des paires réflexives — le critère de Beck, dont les noms de Beck, Barr et Linton sont notés au bas de la feuille.²³

Le second feuillet est le critère de descente pour un morphisme de topos $f : B \to B'$, d'image inverse $f^{*} : B' \to B$. On forme la comonade $\pi = f^{*}f_{*}$ sur $B$, exacte à gauche et accessible, la catégorie $B_{\pi}$ de ses coalgèbres, et le foncteur de comparaison $B' \to B_{\pi}$, $X \mapsto f^{*}X$. Le théorème est que ce foncteur est une équivalence dès que $f^{*}$ est conservatif : c'est le théorème de Beck appliqué à l'adjonction $f^{*} \dashv f_{*}$, la seconde condition du critère — que $f^{*}$ préserve les noyaux de couples coréflexifs — étant acquise parce que $f^{*}$ est exact à gauche. Un morphisme de topos dont l'image inverse est conservative est donc un morphisme de descente effective.²⁴ Le dernier alinéa dit l'usage prévu : un topos $B$ étant donné, on cherche un topos $B'$ ayant assez de points et un morphisme $B \to B'$ auquel appliquer le critère, avec le croquis $C \subset \widehat{C}$. C'est l'amorce d'une question constante dans le cahier des anneaux : un sous-topos « a-t-il assez de points », auquel cas ses propriétés se vérifient sur les modèles ensemblistes. \pagerange{36}{50}

Le cahier des axiomes d'anneaux et de leurs topos classifiants (pages 36 à 50)

36–38

Le dispositif

Un cahier à spirale, quadrillé, fait fonctionner la machine des pages 17 à 22 sur l'exemple qui la justifie : les anneaux commutatifs et leurs propriétés. Les conventions sont fixées une fois pour toutes :

$R$ est la catégorie des schémas affines de type fini sur $\mathbb{Z}$, opposée à celle des algèbres de type fini sur $\mathbb{Z}$ ; elle a les limites projectives finies ;
$X_{\mathrm{ann}} = \widehat{R}$ est le topos classifiant des anneaux : un anneau $A$ d'un topos $\varepsilon$ est un foncteur exact à gauche $R \to \varepsilon$, $X \mapsto X(A)$, i.e. un morphisme de topos $\varepsilon \to \widehat{R}$ ; les anneaux ensemblistes sont les points de $\widehat{R}$, et $T(\mathrm{Ens}) = \mathrm{Ind}(R^{\circ})$ est la catégorie des anneaux, limite inductive filtrante de ses sous-anneaux de type fini ;²⁵
pour une propriété $P$ d'anneaux, $X_{P} \subset X_{\mathrm{ann}}$ est le sous-topos classifiant les anneaux ayant la propriété $P$, et l'on cherche à l'écrire comme $\widetilde{R}_{\mathrm{top}\,P}$, catégorie des faisceaux sur $R$ pour une topologie « $\mathrm{top}\,P$ », ou, mieux, comme $\widehat{R_{P}}$, préfaisceaux sur une catégorie $R_{P}$ déduite de $R$ par localisation.

Le principe qui donne les topologies est énoncé une fois, page 38, au cas « anneau local », et appliqué partout : un axiome de la forme « pour toute section $f$ de $A$ sur $U$, telle famille de $U$ est couvrante » se vérifie sur le cas universel $U = A$, $f$ = la section identique, et la famille couvrante universelle engendre la topologie. Le sous-topos $X_{P}$ est alors $\widetilde{R}_{\mathrm{top}\,P}$, et $P$ est vérifiée par $A$ dans $\varepsilon$ si et seulement si le morphisme $\varepsilon \to \widehat{R}$ se factorise par $\widetilde{R}_{\mathrm{top}\,P}$, i.e. si le foncteur $X \mapsto X(A)$ transforme familles couvrantes en familles épimorphiques.²⁶

Une carte des implications ouvre le cahier (page 36) : local $\Rightarrow$ anneau $\Leftarrow$ réduit $\Leftarrow$ intègre $\Leftarrow$ corps $\Rightarrow$ pseudo-corps $\Rightarrow$ réduit et à spectre compact ; strictement local $\Rightarrow$ local.²⁷

37–37

Sous-topos ouverts du classifiant

La page 37 rappelle comment les sous-topos ouverts de $B = \widehat{R}$ se lisent en termes de structures. Un ouvert de $B$ est un sous-objet $S$ de l'objet final $e_{B}$, i.e. un crible $C_{R}$ de $R$ ; le sous-topos ouvert correspondant est $B' = B_{/S} \xrightarrow{i} B$, avec $i_{!}(\mathbb{1} _{B'}) = S$, et il classifie la sous-structure $T'$ de $T = T_{B}$ définie par \[ T'(\varepsilon) = \{\, f : \varepsilon \to B \mid f^{*}(S) \simeq e_{\varepsilon} \,\}, \] c'est-à-dire les anneaux $A$ tels que la « condition ouverte » $S$ soit vérifiée partout. Les exemples 16) de la page 43 ($n$ inversible, $n = 0$) sont de ce type.

38–43

La liste

Nous donnons les vingt-deux articles dans l'ordre du cahier, avec pour chacun l'axiome, le cas universel, et le topos classifiant proposé.

1)Anneau (commutatif unitaire) : $X_{\mathrm{ann}} = \widehat{R}$.
2)Anneau local : pour toute section $f$ de $A$ sur $U$, $U$ est réunion des ouverts $U_{f}$ et $U_{1-f}$ ; cas universel $U = A$, $f$ la diagonale. $X_{\mathrm{anloc}} = \widetilde{R}_{\mathrm{zar}}$, le topos de Zariski.²⁸
4)Anneau strictement local : local, et tout revêtement étale surjectif $U' \to U$ a localement une section. Cas universel $U = \mathbb{A}^{n}$, $U' = \mathrm{Spec}(\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{n}}[T]/(F))_{F'}$ avec $F(T) = T^{n} + a_{1}T^{n-1} + \cdots + a_{n}$ le polynôme unitaire universel. $X_{\mathrm{anstrloc}} = \widetilde{R}_{\mathrm{et}}$, le topos étale.²⁹
3)Anneau local hensélien : $X_{\mathrm{anlochen}} = \widetilde{R}_{\mathrm{hen}}$, pour la topologie où $(X_{i} \to X)$ est couvrante si et seulement si $X_{i}(A) \to X(A)$ est surjectif pour tout anneau local hensélien $A$. La définition est ici tautologique ; le cas universel est celui de 4) sans la condition de séparabilité.
5)Anneau ultralocal : tout recouvrement fppf $X' \to X$ de $R$ induit une surjection $X'(A) \to X(A)$. $X_{\mathrm{anultloc}} = \widetilde{R}_{\mathrm{fppf}}$, cas universel $U = \mathbb{A}^{n}$, $U' = \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{n}}[T]/(F)$. Le mot est du cahier et n'a pas de nom reçu ; la Question posée (tout anneau de type fini a-t-il une $\mathcal{O}$-algèbre ultralocale qui soit limite inductive d'algèbres fidèlement plates de type fini ?) demande si le topos fppf a assez de points, et reste ouverte sur la page.³⁰
6)Anneau réduit : $\mathcal{O}_{A} \simeq \varinjlim_{n} \mathrm{Ker}(x \mapsto x^{n})$ ; cas universel : les $V(f^{n}) \to V(f)$. $X_{\mathrm{red}} \simeq \widetilde{R}_{\mathrm{topred}} \simeq \widehat{R_{\mathrm{red}}}$, où topred est la topologie où $(X_{i} \to Y)$ est couvrante si l'une des $X_{i}$ a une section sur $Y_{\mathrm{red}}$, et $R_{\mathrm{red}}$ la catégorie des schémas réduits de $R$, qui est aussi la catégorie de fractions de $R$ pour les immersions $X_{\mathrm{red}} \to X$.³¹
7)Anneau intègre : a) le morphisme $u : A \amalg A \to D$ vers le produit fibré $D = \{(x,y) : xy = 0\}$ est un épimorphisme ($xy = 0$ implique $x = 0$ ou $y = 0$, localement) ; b) $\mathrm{Ker}(0_{A}, 1_{A} : e \rightrightarrows A) = \emptyset$ ($0 \neq 1$). $X_{\mathrm{int}} \simeq \widetilde{R}_{\mathrm{topint}}$, topint étant la topologie où $(X_{i} \to Y)$ est couvrante si, pour toute composante irréductible $Y_{\alpha}$ de $Y$ munie de sa structure réduite, l'une des $X_{i}$ a une section au-dessus de $Y_{\alpha}$. Les faisceaux sont les $F \in \widehat{R}$ tels que $F(X) \to \prod_{i} F(X_{i}) \rightrightarrows \prod_{i,j} F(X_{i} \times_{X} X_{j})$ soit exacte pour la famille des composantes irréductibles.³²
8)Anneau irréductible : $A_{\mathrm{red}}$ est intègre ; la condition s'écrit avec le nilradical $N$ comme en 7), et donne $X_{\mathrm{irr}} \simeq \widetilde{R}_{\mathrm{topirr}}$, la topologie où $(X_{i} \to X)$ est couvrante si pour toute composante irréductible $Y$ de $X$ l'une des $X_{i}$ a une section sur $Y_{\mathrm{red}}$. Le N.B. qui suit est le premier signal de la limite de la méthode : cette topologie n'est pas quasi-compacte — un schéma à une infinité de composantes irréductibles a des recouvrements sans sous-recouvrement fini —, de sorte que $X_{\mathrm{irr}}$ n'est pas un topos cohérent.³³
10)Anneau compact, i.e. à spectre compact (Hausdorff) : pour toute section $f$, il existe un unique idempotent $e$ tel que $ef$ soit inversible dans $eA$ et $(1-e)f$ nilpotent. Cas universel : pour chaque $n$, soit $D_{n} \subset A \times A \times A$ le lieu des $(g, f, e)$ avec $e^{2} = e$, $f^{n}(1-e) = 0$, $g(1-e) = 0$, $f^{n}g = e$ ; la projection $D_{n} \to A$ sur $f$ est un monomorphisme ($e$ et $g$ sont déterminés par $f$), et la condition est que la famille $(D_{n} \to A)_{n}$ soit couvrante.³⁴ $X_{\mathrm{cpct}} \simeq \widetilde{R}_{\mathrm{top\,cpct}}$ : $(X_{i} \to X)$ couvrante si $X_{i}(\mathcal{O}) \to X(\mathcal{O})$ est surjectif pour tout anneau artinien local $\mathcal{O}$. Marge : « topologie non cohérente ! A-t-elle assez de points ?? », et « encore un topos non cohérent (bien que sous-topos d'un topos cohérent) ».³⁵
11)Corps : $A^{*} \amalg e \to A$ (l'inclusion des inversibles et la section nulle) est épimorphique — tout élément est inversible ou nul. $X_{\mathrm{corps}} \simeq \widetilde{R}_{\mathrm{top\, corps}}$, la topologie où les familles couvrantes sont celles qui ont des sections sur chaque fibre.³⁶
12)–13)Corps $=$ compact et intègre $=$ pseudo-corps intègre $=$ pseudo-corps local, et pseudo-corps $=$ anneau compact réduit : pour toute section $f$, $A \xrightarrow{\sim} A_{f} \times A/fA$, i.e. il existe un unique idempotent $e$ avec $ef$ inversible dans $eA$ et $(1-e)f = 0$ ; le cas universel dit que $i_{1} : D_{1} \hookrightarrow A$ est un isomorphisme. $X_{\mathrm{ps.corps}} \simeq \widetilde{R}_{\mathrm{top\,ps\, corps}} \simeq \widehat{R_{\mathrm{cons}}}$, où $R_{\mathrm{cons}}$ est la catégorie des « schémas compacts réduits associés aux schémas de type fini sur $\mathbb{Z}$ », localisée de $R$ pour les flèches à extensions résiduelles triviales.³⁷
14)Corps séparablement clos $=$ corps strictement hensélien : $X \simeq \widetilde{R}_{\mathrm{top\,corps\,sépclos}} \simeq \widetilde{(R_{\mathrm{cons}})}_{\mathrm{et}}$, faisceaux sur $R_{\mathrm{cons}}$ pour la topologie étale.
15)Corps algébriquement clos $=$ corps ultralocal : $X \simeq \widetilde{(R_{\mathrm{cons}})}_{\mathrm{fppf}}$, la topologie fppf sur $R_{\mathrm{cons}}$ étant celle des familles finies surjectives.³⁸
16)Anneaux annulés par $n$, où $n$ est inversible, $\Lambda$-algèbres : trois sous-topos ouverts. Pour $n1_{A} = 0$ : $X_{\mathbb{Z}/n} \simeq \widetilde{R}_{\mathrm{top}\,n\text{-tors}} \simeq \widehat{R_{\mathbb{Z}/n}}$, $R_{\mathbb{Z}/n}$ la sous-catégorie pleine des $\mathbb{Z}/n$-schémas ; pour $n$ inversible, de même avec $\mathbb{Z}[1/n]$. Plus généralement (pages 43 à 45), soit $S \to e_{R}$ un monomorphisme de $\mathrm{Pro}\,R$, i.e. un épimorphisme d'anneaux $\mathbb{Z} \to \Lambda$ ; les $\Lambda$-algèbres de $\varepsilon$ sont les anneaux $A$ dont la structure de $\Lambda$-algèbre existe, et elle est alors unique ; $R_{/S} \subset R$ est la sous-catégorie pleine des schémas qui sont des $\Lambda$-schémas, avec $X \mapsto X \times S$ pour adjoint, et \[ X_{\Lambda\text{-alg}} \simeq \widetilde{R}_{\Lambda\text{-top}} \simeq \widehat{R_{\Lambda}} = \widehat{R_{/S}}, \] sous-topos ouvert de $\widehat{R}$ défini par $S$. Exemples : $X_{\mathbb{Z} /n}$, $X_{\mathrm{car}\,p}$, $X_{\mathbb{Z}[1/n]}$, et $X_{\mathbb{Q}} = X_{\mathrm{car}\,0} = \bigcap_{n \geqslant 2} X_{\mathbb{Z}[1/n]}$.³⁹ La page 45 traite le cas d'une famille filtrante décroissante $S_{\alpha}$ de sous-objets de $e_{R}$ : la sous-structure $\bigcap_{\alpha} T_{S_{\alpha}}$ est classifiée par $\bigcap _{\alpha} \widehat{R_{/S_{\alpha}}} = \widetilde{\varprojlim_{\alpha} R_{/S_{\alpha}}}$, la catégorie $\varprojlim_{\alpha} R_{/S_{\alpha}}$ étant une catégorie de fractions de $R$ pour les flèches $i$ telles que $i \times S$ soit inversible ; c'est le cas de $X_{\mathbb{Q}}$, qui est un sous-topos non ouvert, intersection d'ouverts.
17)–19)Anneau parfait de caractéristique $p$ ($p1_{A} = 0$ et $x \mapsto x^{p}$ bijectif) : $X_{p\text{-parf}} \simeq \widehat{R_{p\text{-parf}}}$, $R_{p\,\mathrm{parf}}$ la catégorie des clôtures parfaites des schémas de type fini sur $\mathbb{F}_{p}$ ; compact parfait et corps parfait, en croisant avec 13) et 11).⁴⁰

46–49

Caractéristique, et le recollement de deux sous-topos

L'article 20), anneau à caractéristique (localement, $A$ est de caractéristique $p > 0$ ou de caractéristique $0$), est celui où la méthode achoppe et où le cahier fait sa meilleure observation. La condition s'écrit : la famille \[ \bigl\{\, V(p \cdot 1_{A}) \hookrightarrow e_{\varepsilon}\ (p \text{ premier}),\quad \textstyle\bigcap_{n \geqslant 1} (e_{\varepsilon})_{n1_{A}} \hookrightarrow e_{\varepsilon} \,\bigr\} \] est épimorphique, et le second membre est une intersection infinie de sous-objets : « donc ne donne pas l'existence d'un topos classifiant », c'est-à-dire pas par la voie ouverte (les conditions ouvertes de la page 37). Ce que l'on peut dire est que $\varepsilon \to \widehat{R}$ se factorise localement sur $\varepsilon$ par la « réunion » $V = X_{\mathrm{car} > 0}$ des sous-topos ouverts $\widehat{R_{\mathbb{Z}/p}}$ et par le sous-topos $W = X_{\mathbb{Q}}$, qui n'est pas ouvert. On pose $X_{\mathrm{car}} = \widetilde{R}_{\mathrm{top.car}}$, où « top car » est la borne inférieure des « top car $p$ » : $(X_{i} \to X)$ est couvrante si pour tout $p$ il existe $i(p)$ tel que $(X_{i(p)})_{p} \to X_{p}$ ait une section. C'est un topos non cohérent : les familles $(X_{p} \to X)_{p}$ sont couvrantes et, si $X_{\mathbb{Q}} \neq \emptyset$, n'ont pas de sous-famille finie couvrante.⁴¹

Le problème général est alors posé (pages 47 et 48) : $B$ un topos, $V$ et $W$ deux sous-topos, décrire le sous-topos $Z = \sup(V, W)$ classifiant les structures qui sont localement de type $V$ ou de type $W$. On cherche $Z$ muni de deux ouverts $Z' = Z_{/e'}$, $Z'' = Z_{/e''}$ avec $Z' \subset V$, $Z'' \subset W$ et $e_{Z} = \sup(e', e'')$ ; alors $Z' = Z \cap V$ est un ouvert de $V$ et $Z''$ un ouvert de $W$, et la condition nécessaire et suffisante trouvée page 48 est qu'il existe un ouvert $Z'$ de $V$ et un ouvert $Z''$ de $W$ tels que $Z'' \wedge V$ soit un ouvert de $V$, $Z' \wedge W$ un ouvert de $W$, et \[ V = \sup(Z', Z'' \wedge V), \qquad W = \sup(Z'', Z' \wedge W) ; \] $Z$ s'obtient alors en recollant $Z'$ et $Z''$ le long de leur intersection. Dans le cas $B = \widehat{R}$, $V = X_{\mathrm{car} > 0}$, $W = X_{\mathrm{car}\,0}$, la condition est satisfaite, $V \wedge W$ étant l'ouvert correspondant à l'anneau nul : « donc OK ».⁴² La page 49 conclut par une description en préfaisceaux : \[ X_{\mathrm{car}} \simeq \widehat{R_{\mathrm{car}}}, \] $R_{\mathrm{car}}$ étant la « somme amalgamée » sous le schéma vide des catégories $R_{p}$ de schémas de type fini sur les corps premiers, $\mathbb{Q}$ compris.⁴³

Les articles 21) et 22) élargissent. 21) : reprendre 1) à 19) au-dessus d'un sous-topos $Z(p)$ de $\widehat{R}$ pour chaque caractéristique, et recoller. 22) Anneaux quasi-connexes de rang $\leqslant n$ : le spectre a au plus $n$ composantes connexes, i.e. localement $A \simeq A_{1} \times \cdots \times A_{n}$ avec les $A_{i}$ connexes, i.e. il existe localement des idempotents orthogonaux $e_{1}, \ldots, e_{n}$ de somme $1$ avec $A/\sum_{j \neq i} e_{j}A$ connexe. On forme le sous-objet $\Pi_{n} \subset A^{n}$ des tels $n$-uples, et pour chaque $j$ le plus grand sous-objet $\Pi_{n,j}$ sur lequel $A_{j}$ est connexe ; la condition est que $\Pi'_{n} = \bigcap_{j} \Pi_{n,j} \to e_{\varepsilon}$ soit épimorphique. La page 50 note que la formation de $\Pi_{n,j}$ ne commute pas visiblement aux changements de topos de base, « donc il n'est pas clair qu'on a un topos modérateur », et propose la structure plus riche — un $\mathfrak{S}_{n}$-torseur $P$ et une décomposition de $A_{P}$ en $n$ facteurs connexes — pour laquelle la classification est claire.⁴⁴

41–41

La question des points

Le N.B. de la page 41 formule la contrainte qui pèse sur tout le cahier : les sous-topos 1) à 11) ont des points — ils sont même définis par leurs points, puisque chacun a été défini par une condition sur les modèles ensemblistes —, mais il n'est pas clair qu'une intersection de plusieurs d'entre eux en ait assez ; pour vérifier que deux intersections coïncident, ou s'incluent, il ne suffit donc pas de le vérifier sur les structures ensemblistes, « sauf si on vérifie à chaque fois que les intersections précédentes ont assez de points ! ». C'est la raison des marges « topologie non cohérente, a-t-elle assez de points ?? » des articles 8) et 10).⁴⁵

51–52

Propriétés typiques (pages 51 et 52)

Deux feuillets de questions demandent, pour des propriétés de modules et d'algèbres, si elles sont typiques — le mot du manuscrit pour : définissables par un sous-topos du classifiant, ce qui exige d'être stable par limites inductives filtrantes et par changement de topos.⁴⁶ Les réponses :

$M$ plat est typique : $N \mapsto M \otimes N$ exact se ramène à l'injectivité de $(\sum f_{i}A) \otimes M \to M$ pour toute famille finie de sections, et il suffit de l'exiger pour les sections universelles $t_{i}$ sur $U_{n} = A^{n}$.⁴⁷
$M$ fidèlement plat : « est-ce typique ? », encerclé ; la condition $M \otimes N \neq 0$ pour tout $N \neq 0$ n'est pas de la forme voulue.
Algèbres de type fini, de présentation finie, lisses, étales, nettes : pas typiques ; radicielles (monomorphiques), plates, entières, formellement nettes : oui ; surjectives : « ?! ».
Modules localement libres, libres, projectifs, de type fini, de présentation finie, monogènes : les trois derniers « ne passent pas à la limite inductive filtrante, donc pas typiques ».

Un encadré démontre que $M$ inversible ($M \otimes N \simeq A$ pour un $N$) entraîne $M$ de type fini : $M = \varinjlim M_{i}$ sur ses sous-modules de type fini, $M \otimes N = \varinjlim M_{i} \otimes N$ et $M_{i} \otimes N \subset A$ par platitude, donc l'un des $M_{i} \otimes N$ est $A$ et $M_{i} = M$. Mais « $M$ inversible » n'est pas exprimable par limites inductives et ne commute pas au changement de base, à cause du foncteur $\underline{\mathrm{Hom}}$ ; la propriété typique voisine est « localement libre de rang un », dont le classifiant est le topos $X_{\mathrm{mod}} = \widehat{\mathrm{Mod}_{\mathrm{pf}} ^{\circ}}$ des modules de présentation finie sur les algèbres de présentation finie, restreint par une condition ouverte.⁴⁸

54–61

Catégories accessibles (pages 54 à 61)

54–55

Le relevé

Des feuillets jaunis, d'une autre plume, recopient et complètent les énoncés de SGA 4, exposé I, § 8 et § 9 — les renvois numérotés en marge (8.7.5, 8.9.5, 8.13.2, 9.1–9.3, 9.6, 9.12, 9.16, 9.22) sont ceux de l'exposé — sur les catégories accessibles. C'est l'outillage des sections « Exemples » et « Compléments » : la catégorie $S = T(\mathrm{Ens})$ des modèles d'une théorie y sera reconnue comme une catégorie de ce type, et c'est ce qui permettra de reconstruire la théorie à partir de ses modèles.⁴⁹

Les définitions : un ensemble ordonné filtrant est grand devant $\pi$ si toute partie de cardinal $\leqslant \pi$ est majorée ; une catégorie satisfait $L_{\pi}$ si les limites inductives indexées par de tels ensembles y existent ; un objet $X$ est $\pi$-accessible si $\mathrm{Hom}(X, -)$ commute à ces limites ; une catégorie $E$ est $\pi$-accessible si elle satisfait $L_{\pi}$ et admet une petite sous-catégorie strictement génératrice formée d'objets $\pi$-accessibles, et accessible s'il existe un tel $\pi$. Pour $\mathcal{C}$ petite, $\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})$ est la sous-catégorie pleine de $\mathrm{Ind}(\mathcal{C})$ des ind-objets indexés par des ensembles ordonnés grands devant $\pi$, et $E_{\pi}$ la sous-catégorie pleine des objets $\pi$-accessibles de $E$.

Théorème. Pour une catégorie $E$, sont équivalentes : a) $E$ est $\pi$-accessible ; b) $E$ est équivalente à $\mathrm{Ind}_{\pi} (\mathcal{C})$, $\mathcal{C}$ petite ; c) $E_{\pi}$ est équivalente à une petite catégorie et strictement génératrice. Sous ces conditions, $E_{\pi'} \simeq \mathrm{Ind}_{\pi}(E_{\pi})_{\pi'}$ pour $\pi' \geqslant \pi$, et les $E_{\pi'}$ forment une filtration cardinale de $E$.

Les corollaires : un foncteur $f : E \to F$ entre catégories accessibles est accessible si et seulement si $f \simeq \mathrm{Ind}_{\pi}(f_{\pi})$ pour un $\pi$, si et seulement s'il est dans l'image essentielle de $\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}, F) \to \underline{\mathrm{Hom}}(E, F)$ pour une petite $\mathcal{C} \subset E$ ; pour $E$ $\pi$-accessible et $F$ satisfaisant $L_{\pi}$, $\underline{\mathrm{Hom}}(E, F)_{\pi} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(E_{\pi}, F)$ ; pour $\mathcal{C}$ accessible, les foncteurs $\mathcal{C} \to (\mathrm{Ens})$ exacts à gauche et accessibles sont pro-représentables, et un foncteur $f : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ admet un adjoint à gauche si et seulement s'il commute aux petites limites projectives et est accessible ; enfin limites projectives et sections d'une catégorie fibrée en catégories accessibles sur une petite base sont accessibles (9.22).⁵⁰

55–55

Accessibilité et générateurs

La page 55 ajoute une Proposition de stabilité — pour $F$ satisfaisant $L_{\pi}$, $\underline{\mathrm{Hom}}(E, F)_{\pi}$ est stable par les petites limites inductives représentables dans $F$, et, si $F$ est $\pi$-accessible, par les limites de type $I$ avec $\mathrm{card}\,I \leqslant \pi$ — et une réciproque partielle : une catégorie $E$ satisfaisant $L$, stable par noyaux de doubles flèches à foncteur $\mathrm{Ker}$ accessible et par produits fibrés, et admettant une petite sous-catégorie génératrice par épimorphismes stricts universels, est accessible. D'où le Corollaire : une catégorie $E$ stable par petites limites inductives est accessible si et seulement si elle admet une petite sous-catégorie génératrice par épimorphismes stricts universels et si le foncteur noyau sur ses doubles flèches est accessible. Exemples : les topos ; toute catégorie à limites filtrantes exactes et petit générateur. Contre-exemples : $(\mathrm{Ens})^{\circ}$ et $(\mathrm{Ab})^{\circ}$ ne sont pas accessibles, parce que leurs foncteurs noyau ne commutent pas aux limites inductives grandes devant $\pi$ (une limite inductive d'épimorphismes n'est pas nécessairement un épimorphisme dans ces catégories).⁵¹

56–56

Foncteurs strictement générateurs

La page 56 est un énoncé complet, sous forme de liste, sur un foncteur $\varphi : \mathcal{C} \to E$ d'une petite catégorie. Il définit $\hat{\varphi} : E \to \widehat{\mathcal{C}}$, $X \mapsto \mathrm{Hom}_{E} (\varphi(-), X)$, et, si $E$ a des petites limites inductives, $\bar{\varphi} : \widehat{\mathcal{C}} \to E$, $F \mapsto \varinjlim_{\mathcal{C}_{/F}} \varphi$, adjoint à gauche de $\hat\varphi$. Sont équivalentes :

a)pour tout $X$, $\varinjlim_{\mathcal{C}_{/X}} \varphi(Y) \xrightarrow{\sim} X$ ;
b)$\hat\varphi$ est pleinement fidèle ;

et l'on dit alors que $\varphi$ est strictement générateur. Conditions équivalentes sous hypothèses : b') si $E$ est cocomplète, $\bar\varphi$ est un foncteur de localisation ; c') si $E$ a les limites filtrantes et les $\mathcal{C}_{/X}$ sont filtrantes (par exemple $\mathcal{C}$ à limites finies et $\varphi$ exact à gauche), $\mathrm{Ind} (\mathcal{C}) \to E$ est une localisation ; c) si $\hat\varphi$ prend ses valeurs dans $\mathrm{Ind}(\mathcal{C})$, le foncteur ${}^{i}\varphi : E \to \mathrm{Ind}(\mathcal{C})$ est pleinement fidèle ; d) si $\varphi$ a un adjoint $\psi$, $\psi$ est pleinement fidèle ; e) si $\varphi$ est pleinement fidèle, $\varphi(\mathcal{C})$ engendre par épimorphismes stricts ; f) pour toute $F$ cocomplète, la restriction $\underline{\mathrm{Hom}}' (E, F) \to \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}, F)$ des foncteurs cocontinus est pleinement fidèle ; g) si $\mathcal{C}$ a les limites inductives finies et $\varphi$ y commute et est pleinement fidèle, cette restriction identifie $\underline{\mathrm{Hom}}'(E, F)$ aux foncteurs $\mathcal{C} \to F$ commutant aux limites inductives finies ; h) si $E$ est un topos, $\mathcal{C}$ stable par limites finies et $\varphi$ exact à gauche, $\varphi$ définit $E$ comme sous-topos de $\widehat{\mathcal{C}}$.⁵²

58–58

Cocomplète à générateur dense : la question de l'accessibilité

La page 58 caractérise les catégories $E$ vérifiant l'une des conditions équivalentes : a) $E$ est cocomplète et admet une petite sous-catégorie pleine strictement génératrice ; a') $E$ est cocomplète et il existe $\varphi : \mathcal{C} \to E$ strictement générateur, $\mathcal{C}$ petite ; a'') il existe une petite $\mathcal{C}$ et un foncteur pleinement fidèle $E \to \widehat{\mathcal{C}}$ admettant un adjoint à gauche. Dans une telle catégorie tout foncteur contravariant vers $(\mathrm{Ens})$ qui transforme les petites limites inductives en limites projectives est représentable, donc $E$ a les petites limites projectives, et dans a'') le foncteur $E \to \widehat{\mathcal{C}}$ y commute ; si de plus $E$ est accessible, un foncteur $E \to \widehat{\mathcal{C}}$ a un adjoint à gauche si et seulement s'il est accessible et commute aux petites limites projectives.⁵³ La Question : une telle catégorie est-elle accessible ? Il faut et suffit que $E \to \widehat{\mathcal{C}}$ soit accessible, i.e. que $E$ soit stable dans $\widehat{\mathcal{C}}$ par les limites filtrantes grandes devant un cardinal $\pi$. La marge propose $(\mathrm{Ens})^{\circ}$ comme contre-exemple.⁵⁴ Suivent les exemples qui motivent le tout — a) les topos et leurs opposés, b) $T(\mathrm{Ens})$ pour $T$ une structure algébrique définissable par petites limites projectives, c) $T(\mathcal{C})$ pour $\mathcal{C}$ accessible — et deux conséquences : un morphisme de structures $T \to T'$ donne un foncteur accessible $T(\mathcal{C}) \to T'(\mathcal{C})$ commutant aux petites limites projectives, qui a donc un adjoint à gauche (les structures $T'$-$T$-libres) ; et un foncteur accessible $\mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ commutant aux limites donne de même $T(\mathcal{C}) \to T(\mathcal{C}')$ avec adjoint à gauche. À prouver, enfin : pour $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ accessibles, la catégorie $\underline{\mathrm{Hom}}^{*}(\mathcal{C}^{\circ} \times \mathcal{C}'^{\circ}, \mathrm{Ens})$ des bifoncteurs commutant aux limites en chaque variable est accessible, et c'est $T_{\mathcal{C}^{\circ}}T_{\mathcal{C}'^{\circ}} (\mathcal{D}) \simeq T_{\mathcal{C}'^{\circ}}T_{\mathcal{C}^{\circ}}(\mathcal{D})$, théorie « définie par $(\mathcal{C} \times \mathcal{C}')^{\circ}$ », universelle pour les couplages commutant aux limites en chaque argument.⁵⁵

59–61

Le lemme sur $\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})$, et la caractérisation

Lemme. Soient $\mathcal{C}$ petite, $\pi$ un cardinal, $E = \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})$. Alors (i) $E$ satisfait $L_{\pi}$, et l'inclusion $E \to \mathrm{Ind}(\mathcal{C})$ est $\pi$-accessible ; (ii) les objets $\pi$-accessibles de $E$ sont les facteurs directs d'objets de $\mathcal{C}$, de sorte que $E_{\pi}$ est l'enveloppe karoubienne de $\mathcal{C}$, et $E_{\pi} = \mathcal{C}$ si $\mathcal{C}$ est karoubienne ; (iii) $\mathcal{C}$ est strictement génératrice dans $E$ ; (iv) pour tout $X$, $\mathcal{C}_{/X}$ est filtrante et grande devant $\pi$. Réciproquement, une $\mathcal{U}$-catégorie $E$ est équivalente à un $\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})$ dès que : (i) $E$ satisfait $L_{\pi}$ ; (ii) $E_{\pi}$ est petite et strictement génératrice ; (iii) pour tout $X$, $E_{\pi/X}$ est filtrante et grande devant $\pi$ — et (iii) résulte de (i), (ii) si $E$ est cocomplète.

Puis les filtrations cardinales : pour $\pi' \geqslant \pi$, $\mathrm{Fil}^{\pi'}(E) = \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})_{\pi'}$ est formé des ind-objets indexés par des $I$ grands devant $\pi$ et admettant une partie cofinale de cardinal $\leqslant \pi'$ ; a) $\mathrm{Fil}^{\pi'}(E) \subset E_{\pi'}$ ; b) si $\pi' = 2^{c}$ avec $c \geqslant \pi$, il y a égalité ; c) si $E$ est cocomplète, les $\mathrm{Fil}^{\pi'}(E)$ forment une filtration cardinale ; d) $E \simeq \mathrm{Ind}(E_{\pi'})$. La page 60 démontre l'axiome c) des filtrations cardinales pour les $\mathrm{Fil}^{\pi'}$ (tout $X = \varinjlim_{I} X_{i}$ est la limite des $X_{I'} = \varinjlim_{I'} X_{i}$ sur les parties filtrantes $I' \subset I$ de cardinal $\leqslant \pi'$, l'ensemble $J$ de ces parties étant filtrant et grand devant $\pi'$), et la page 61, la démonstration du Corollaire : une $\mathcal{U}$-catégorie cocomplète $E$ est équivalente à un $\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})$, $\mathcal{C}$ petite, si et seulement si elle admet une petite sous-catégorie strictement génératrice formée d'objets accessibles. « Ce sont ces $E$ qu'il faudrait appeler accessibles. »⁵⁶ \pagerange{62}{68}

Compléments : théories sur $\Delta$, et le passage aux préfaisceaux (pages 62 à 68)

Les feuillets « Compléments » (titre de sa main, page 62) reprennent le projet des pages 17 à 22 au niveau de généralité des pages 26 à 31 : $\Delta$ est une 2-catégorie de catégories à limites de type $d = (d', d'')$, une théorie sur $\Delta$ est un 2-foncteur $T : \Delta \to \mathrm{Cat}$, elle est 2-représentable s'il existe $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ avec $T(C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, C)$, et $T_{R}$ désigne la théorie représentée par $R$.⁵⁷

62–63

Caractériser les familles d'objets de base

Problème (1). Pour $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ et $I \to R$ une famille d'objets, caractériser la situation où $I$ est une famille d'objets de base pour une théorie algébrique $T_{R}$. La réponse constructive : $R$ est l'aboutissement d'une suite transfinie $(R_{\alpha})$ de catégories sur $R$, pseudo-système inductif dans $\Delta$, avec $R_{0} = I$, $R_{\alpha+1}$ déduit de $R_{\alpha}$ soit en rendant inversible un petit ensemble de flèches, soit en égalisant des couples de flèches, soit en ajoutant un petit ensemble de flèches, et $R_{\alpha} = \varinjlim_{\beta < \alpha} R_{\beta}$ aux ordinaux limites. Deux N.B. précisent : (1) la question ne se pose vraiment que si $(d', d'')$ n'est pas petit, mais même alors la construction transfinie a un sens, pourvu qu'on admette dans la définition récurrente des limites indexées par des ensembles bien ordonnés ; (2) si $\widetilde{I}$ est la petite sous-catégorie pleine de $R$ engendrée par $I$ et par les sources et buts des flèches ajoutées, il est plausible que $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, C) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(\widetilde{I}, C) = T_{\widetilde{I}} (C)$ soit pleinement fidèle, de sorte que $T_{R}$ se déduise de la théorie algébrique $T_{\widetilde{I}}$ « en rajoutant seulement des axiomes » — peut-être pas en une fois, mais par une construction transfinie. D'où deux énoncés candidats pour « $T_{R}$ est algébrique » : 1) $R$ se déduit de $\widetilde{J}$, $J$ petite, en rendant inversibles les flèches d'un ensemble $\Sigma$ et en égalisant les couples d'un ensemble $\Sigma'$ ; 2) il existe un pseudo-système inductif transfini $(R_{\alpha})$ dans $\Delta$ avec $R_{0} = \widetilde{J}$, chaque pas rendant inversibles et égalisant de petits ensembles, et $R_{\alpha} = R$ pour $\alpha$ assez grand dans l'univers.⁵⁸

63–64

Conditions intrinsèques, conditions à la Schanuel, changement de $\Delta$

Problème (2). Conditionner les théories algébriques par des propriétés intrinsèques plutôt que par la constructibilité. La seule condition nécessaire visible : $T$ commute aux 2-limites projectives de $\Delta$, en particulier transforme les foncteurs pleinement fidèles (resp. fidèles) en foncteurs pleinement fidèles (resp. fidèles), et $T(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(J, C)) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{ \mathrm{Cat}}(J, T(C))$ ; « probablement pas suffisante ».⁵⁹

Problème (3). Conditions d'exactitude généralisées, « comme suggérées par Schanuel » : on se donne $\rho \to \sigma$ dans $R$ — un morphisme entre petites catégories de $\Delta$ — et l'on demande sur $C$ que $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(\sigma, C) \to \underline{\mathrm{Hom}} _{\Delta}(\rho, C)$ soit une équivalence, ou pleinement fidèle, ou fidèle. Cela inclut l'égalisation de flèches, et les remarques sur l'existence des limites restent valables.⁶⁰

Problème (4). Changement de $\Delta \subset \Delta'$. Le diagramme de la page 64 place les théories $\mathrm{Th}_{\Delta}$, les théories algébriques $\mathrm{Thal}_{\Delta}$ et les catégories $\Delta_{\mathrm{al}}$ qui les représentent, avec la restriction $\mathrm{Th}_{\Delta'} \to \mathrm{Th}_{\Delta}$ en haut et la $\Delta'$-enveloppe $\rho_{\Delta', \Delta} : \Delta \to \Delta'$ en bas, les verticales étant les 2-équivalences $\mathrm{Thal} \simeq \Delta_{\mathrm{al}}$ :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathrm{Th}_{\Delta'} \arrow[rr, "\text{restriction}"] \arrow[d] & & \mathrm{Th}_{\Delta} \arrow[d] \\
\mathrm{Thal}_{\Delta'} \arrow[rr, "\text{restr.}"] \arrow[d, no head, "\wr" description] & & \mathrm{Thal}_{\Delta} \arrow[d, no head, "\wr" description] \\
\Delta'_{\mathrm{al}} \arrow[rr] & & \Delta_{\mathrm{al}}
\end{tikzcd}

La flèche du bas est l'enveloppe $\rho_{\Delta',\Delta} : \Delta' \to \Delta$, et elle va dans le même sens que la restriction : si $T'$ est représentée par $R' \in \Delta'$, sa restriction à $\Delta$ est représentée par la $\Delta$-enveloppe de $R'$, puisque $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta'}(R', C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta} (\rho(R'), C)$ pour $C \in \mathrm{Ob}\,\Delta$. Le cube dessiné à droite est le même diagramme avec les inclusions $\mathrm{Thal} \subset \mathrm{Th}$ et $\Delta_{\mathrm{al}} \subset \Delta$ en profondeur.⁶¹

65–65

Limites dans $T(C)$, et le carré 2-cartésien

Proposition. Soit $T = T_{R}$ 2-représentable, et $\delta$ un type de diagrammes tel que a) les limites projectives de type $\delta$ existent dans $C$, b) elles y commutent aux limites inductives de type $d''$. Alors les limites projectives de type $\delta$ existent dans $T(C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, C)$ et se calculent « argument par argument » : les foncteurs construction $r_{c} : T(C) \to C$, $\xi \mapsto \xi(c)$, y commutent. Un morphisme de théories $T \to T'$ induit $T(C) \to T'(C)$ commutant à ces limites, et un $\Delta$-foncteur $C \to C'$ vers une $C'$ satisfaisant les mêmes hypothèses induit $T(C) \to T(C')$ de même.

La preuve est celle qu'on attend : une limite de type $\delta$ de foncteurs $R \to C$ se calcule dans $\underline{\mathrm{Hom}}(R, C)$ argument par argument, et le foncteur limite commute aux limites de type $d'$ (toujours) et aux limites inductives de type $d''$ (par b)), donc reste un $\Delta$-foncteur. Conséquences : pour $J$ petite, $\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(J, C)$ est dans $\Delta$ et \[ \boxed{\ T_{R}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(J, C)\bigr) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}\bigl(J, T_{R}(C)\bigr)\ } ; \] en particulier, si $(\mathrm{Ens}) \in \mathrm{Ob}\,\Delta$, avec $J^{\circ}$ : \[ T_{R}(\widehat{J}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(J^{\circ}, T_{R}(\mathrm{Ens})). \] Si $C \to C'$ est un $\Delta$-foncteur pleinement fidèle (resp. fidèle), $T(C) \to T(C')$ l'est aussi ; et si $T \to T'$ est associé à $R' \to R$ « $\Delta$-générateur » — la sous-catégorie pleine de $R$ dans $\Delta$ engendrée par l'image de $R'$ est $R$ —, alors le carré

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\begin{tikzcd}
T(C) \arrow[r, hook] \arrow[d] & T(C') \arrow[d] \\
T'(C) \arrow[r, hook] & T'(C')
\end{tikzcd}

est 2-cartésien : une $T$-structure sur $C'$ dont la $T'$-structure sous-jacente provient de $C$ provient de $C$.⁶²

67–68

Théories définies par limites projectives : $R^{\circ} \subset S \subset \widehat{R^{\circ}}$

Le point (4), $d'' = \emptyset$ — les structures définies seulement par des limites projectives —, réunit les « faits particuliers » qui gouverneront la suite du dossier. Dans ce cas :

$1^{\circ}$) les $T(C)$ ont toutes les limites projectives que $C$ a, et tous les foncteurs $T(C) \to T(C')$, $T(C) \to T'(C)$, $T(C) \to C$ y commutent ;

$2^{\circ}$) $C \to \widehat{C}$ est un $\Delta$-foncteur, donc, si $(\mathrm{Ens}) \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ et $T = T_{R}$, \[ T_{R}(C) \longrightarrow T_{R}(\widehat{C}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(C^{\circ}, S), \qquad S = T_{R}(\mathrm{Ens}), \] est pleinement fidèle et identifie $T_{R}(C)$ à la sous-catégorie pleine des $\varphi : C^{\circ} \to S$ tels que, pour toute construction $r \in R$ et le foncteur $\tilde{r} : S \to (\mathrm{Ens})$ qu'elle définit, $\tilde{r} \circ \varphi : C^{\circ} \to (\mathrm{Ens})$ soit représentable ; et il suffit de l'exiger pour une famille $(r_{i})$ qui $\Delta$-engendre $R$, i.e. le carré

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
T(C) \arrow[r] \arrow[d] & \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(C^{\circ}, S) \arrow[d, "\varphi \mapsto (\tilde{r}_{i} \circ \varphi)"] \\
C^{I} \arrow[r] & \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(C^{\circ}, (\mathrm{Ens}))^{I}
\end{tikzcd}

est 2-cartésien. Donc $T$ est connu, à équivalence près, quand on connaît $S$ et les $\tilde{r}_{i} : S \to (\mathrm{Ens})$, ou, de façon plus intrinsèque, l'image de $R$ dans $\underline{\mathrm{Hom}}(S, \mathrm{Ens}) = \widehat{S^{\circ}}$.⁶³

$3^{\circ}$) $S \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, \mathrm{Ens}) \subset \widehat{R^{\circ}}$, et cette sous-catégorie contient $R^{\circ}$, parce que les foncteurs représentables covariants $\mathrm{Hom} (r, -)$ commutent aux limites projectives : \[ \boxed{\ R^{\circ} \xrightarrow{\ \partial\ } S\ }, \qquad \tilde{r} = \mathrm{Hom}_{S}(\partial r, -) : S \to (\mathrm{Ens}), \] le foncteur associé à la construction $r$ étant celui que $\partial r$ représente dans $S$. Ainsi $R$ est connu quand on connaît $S$ et l'image de $R$ dans $\widehat{S^{\circ}}$, car $R \to \widehat{S^{\circ}}$ est le composé de deux foncteurs pleinement fidèles $R \xrightarrow{ \partial^{\circ}} S^{\circ} \to \widehat{S^{\circ}}$. La sous-catégorie pleine $\Sigma \approx R^{\circ}$ de $S$ se décrit intrinsèquement : elle est formée des $\varphi \in \mathrm{Ob}\,S$ tels que, pour tout $C \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ et tout $\xi \in T(C)$ définissant $\tilde\xi : C^{\circ} \to S$, le foncteur $x \mapsto \mathrm{Hom}_{S}(\varphi, \tilde\xi(x))$ soit représentable ; $\Sigma$ est stable dans $S$ par limites inductives de type $d'$, et il y a une équivalence explicite $\Sigma^{\circ} \simeq R$.⁶⁴

69–80

Exemples : les théories définies par des limites (pages 69 à 80)

69–69

Trois cas triviaux

(1) $d' = d'' = \emptyset$, $\Delta = \mathrm{Cat}$ : les problèmes 1 et 2 ont des solutions évidentes, les théories algébriques sont exactement les théories représentées par des petites catégories, et les $I \to R$ basiques sont les applications surjectives sur les objets. (2) Avec une condition d'exactitude, par exemple $\Delta$ = les groupoïdes : le problème 1 est le groupoïde fondamental d'une catégorie (rendre toutes les flèches inversibles), le problème 2 est trivial, et le reste comme en (1) ; la condition s'écrit avec $\rho = [a \xrightarrow{u} b]$, « on rend $u$ inversible ». (3) $\Delta$ = les catégories (pré)ordonnées : $\rho = [a \rightrightarrows b]$, « on rend $u$ égal à $v$ ».⁶⁵

70–73

Toutes les limites projectives : $\Delta_{1}$

Le cas $d'$ = tous les petits diagrammes, $d'' = \emptyset$, sans condition d'exactitude ; notons $\Delta_{1}$ cette 2-catégorie.⁶⁶

Problème 1. Pour $I$ petite et $C \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{1}$, \[ \underline{\mathrm{Hom}}(I, C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(I^{\circ}, C^{\circ})^{\circ} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta_{1}^{\circ}} (\widehat{I^{\circ}}, C^{\circ})^{\circ} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{ \Delta_{1}}(\widehat{I^{\circ}}{}^{\circ}, C), \] donc la $\Delta_{1}$-enveloppe de $I$ est $\widetilde{I} = \widehat{I^{\circ}}{}^{\circ}$, l'opposé d'un topos de préfaisceaux, et $I \to \widetilde{I}$ fait des objets de $I$ une famille cogénératrice.⁶⁷

Problème 2. $C \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{1}$, $\Sigma \subset \mathrm{Fl} \,C$ petit : rendre inversibles les flèches de $\Sigma$ dans $\Delta_{1}$. On peut supposer que $\Sigma$ contient les isomorphismes, est stable par composition, et vérifie « $vu \in \Sigma$, $v \in \Sigma \Rightarrow u \in \Sigma$ » ; alors $\Sigma$ admet un calcul de fractions, les limites projectives de $C$ existent dans $C\Sigma^{-1}$ et $C \to C\Sigma^{-1}$ y commute, pourvu qu'on suppose aussi $\Sigma$ stable par produits infinis de morphismes, ce qui règle les produits ; reste à vérifier que $C\Sigma^{-1}$ est une $\mathcal{U}$-catégorie. Si $I$ est cogénératrice par monomorphismes stricts dans $C$, elle l'est encore dans $C\Sigma^{-1}$ ; et la limite inductive $R$ dans $\Delta_{1}$ d'un pseudo-système filtrant $(R_{\alpha})$ à cogénérateurs $I \to R_{\alpha}$ admet encore $I$ pour cogénérateur, parce que $R$ s'obtient de $\varinjlim^{\mathrm{Cat}} R_{\alpha}$ en rendant inversibles des flèches — « mais attention : le fait d'être strictement cogénérateur n'est pas transitif ».

Théorème. Les théories algébriques pour $\Delta_{1}$ sont celles qui sont 2-représentables par des $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{1}$ admettant une petite famille strictement cogénératrice. Pour que $\rho : I \to R$ soit basique, il faut et suffit que ses images soient strictement $\Delta_{1}$-cogénératrices.

La nécessité est claire par ce qui précède ; pour la suffisance, soit $I'$ la sous-catégorie pleine de $R$ d'objets $\rho(I)$ : $T_{\widetilde{I}'}$ est algébrique de base $I$, et $\widetilde{I}' \to R$ est surjectif sur les objets (essentiellement) et sur les Hom, de sorte que $R$ se déduit de $\widetilde{I}'$ en rendant inversibles certaines flèches. Les Remarques : (1) la construction se fait en quatre étapes, objets de base, flèches, égalités, inversibilités, et 3^o–4^o se condensent en une catégorie de fractions ; (2) les quotients $R'$ de $R$ dans $\Delta_{1}$ par inversion de flèches correspondent bijectivement aux ensembles $\Sigma$ de flèches stables par composition, par changement de base, contenant les isomorphismes, et stables par produits quelconques ; (3) si $R$ a une petite famille cogénératrice, alors \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta_{1}}(R, \mathrm{Ens}) \simeq R^{\circ} : \] les foncteurs $R \to (\mathrm{Ens})$ commutant aux limites sont les représentables ; donc, pour $T = T_{R}$ et $S = T(\mathrm{Ens})$, on a $R = S^{\circ}$.⁶⁸

Corollaire. Le 2-foncteur $T \mapsto T(\mathrm{Ens})$ est une 2-équivalence entre les théories définissables par limites projectives quelconques, sans axiome d'exactitude, et les $\mathcal{U}$-catégories $S$ possédant les petites limites projectives et une petite famille d'objets génératrice par épimorphismes stricts, i.e. telle que $S \to \widehat{I^{\circ}}$ soit conservatif. La donnée d'une base de $T$ équivaut à celle d'une famille cogénératrice de $S$. Pour tout $C \in \mathrm{Ob}\, \Delta_{1}$, \[ T(C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta_{1}}(S^{\circ}, C), \] les foncteurs $S^{\circ} \to C$ continus s'interprétant comme les foncteurs $S^{\circ} \times C^{\circ} \to (\mathrm{Ens})$ représentables en chaque argument, ou comme les foncteurs $C^{\circ} \to S$ tels que pour tout $Y \in S$ le composé avec $\mathrm{Hom}_{S}(Y, -)$ soit représentable.⁶⁹

(5) Un foncteur $\varphi : R \to R'$ entre catégories complètes dont la source a une petite famille cogénératrice est un $\Delta_{1}$-foncteur si et seulement s'il admet un adjoint à gauche $\psi$ ; il est un « plongement », i.e. correspond à une sous-théorie pleine $T' = T_{R'} \subset T = T_{R}$, si et seulement si $\psi$ est pleinement fidèle. En termes de $S = R^{\circ}$ et $S' = R'^{\circ}$ : les sous-théories pleines de $T$ correspondent aux sous-catégories pleines $S' \subset S$, complètes, dont le foncteur d'inclusion $i = \varphi^{\circ}$ admet un adjoint à gauche $j = \psi^{\circ}$, \[ \mathrm{Hom}_{S}(x, i(y')) \simeq \mathrm{Hom}_{S'}(jx, y') ; \] ce sont les sous-catégories réflexives, et elles sont nécessairement stables par limites projectives dans $S$.⁷⁰ Le passage $S' \to S$ « structure libre définie par une $S$-structure » n'a pas d'analogue pour $C$ quelconque : en général on ne peut définir de foncteur $T(C) \to T'(C)$ redonnant $j$ pour $C = \mathrm{Ens}$, sauf si $C$ est un topos et si $T$, $T'$ sont définies par limites finies. Enfin (N.B., page 73) : la 2-catégorie des théories algébriques pour $\Delta_{1}$ est 2-équivalente à celle des catégories $S$ possédant les petites limites projectives et une petite sous-catégorie strictement génératrice, avec pour morphismes les foncteurs commutant aux limites projectives, un morphisme $T' \to T$ correspondant au foncteur d'oubli $T'(\mathrm{Ens}) \to T(\mathrm{Ens})$.⁷¹

74–76

Limites de type $d'$ : enveloppes et théorème

Le cas $d'$ quelconque, $d'' = \emptyset$, sans condition d'exactitude ; $d'_{0}$ = tous les diagrammes finis, $d'_{1}$ = tous les petits diagrammes, et $\Delta \supset \Delta_{0} \supset \Delta_{1}$ les 2-catégories correspondantes.⁷²

Problème 1. La $\Delta$-enveloppe $\rho_{\Delta}(I)$ d'une petite catégorie $I$ : soit $\overline{I} = \widehat{I^{\circ}}{}^{\circ}$ sa $\Delta_{1}$-enveloppe, dans laquelle $I$ se plonge pleinement fidèlement, et $\widetilde{I}$ la plus petite sous-catégorie strictement pleine de $\overline{I}$ contenant $I$ et stable par limites projectives de type $d'$. Alors $\widetilde{I}$ est la $\Delta$-enveloppe. Il faut pour cela le problème 1', ou problème auxiliaire : pour $C \in \mathrm{Ob}\, \Delta$, le foncteur canonique de $C$ dans sa $\Delta \to \Delta_{1}$ enveloppe $\rho(C)$ est pleinement fidèle. Or \[ \rho(C) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(C, \mathrm{Ens})^{\circ} = T_{C}(\mathrm{Ens})^{\circ}, \] le foncteur $C \to \rho(C)$ associant à tout objet le foncteur covariant qu'il représente — d'où la pleine fidélité, par Yoneda — et l'on vérifie la propriété universelle par $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta_{1}}(\rho(C), D) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(C, D)$. Alors les foncteurs $I \to C$ correspondent aux $\Delta_{1}$-foncteurs $\overline{\psi} : \overline{I} \to \rho(C)$ envoyant $I$ dans l'image essentielle de $C$, qui envoient $\widetilde{I}$ dans $C$, d'où la restriction $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(\widetilde{I}, C) \to \underline{\mathrm{Hom}} (I, C)$ et son inverse.⁷³

Problème 2. Pour $C \in \Delta$ et $\Sigma$ un ensemble de flèches (et de couples de flèches à égaliser), soit $\rho(C, \Sigma)$ la $\Delta_{1}$-catégorie de fractions de $\rho(C)$ définie par $\Sigma$, et $C'$ la plus petite $\Delta$-sous-catégorie strictement pleine de $\rho(C, \Sigma)$ contenant l'image de $C$, i.e. contenant $C\Sigma^{-1}$ ; alors $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\Sigma}(C, D) \simeq \underline{\mathrm{Hom}} _{\Delta}(C', D)$, la pleine fidélité de la restriction résultant de ce que $C'$ se déduit de $C\Sigma^{-1}$ en ajoutant transfiniment des limites de type $d'$. N.B. : dans les deux cas la catégorie résultante se déduit de $I$ (resp. $C\Sigma^{-1}$) en rajoutant des limites de type $d'$, d'où :

Théorème. Les théories algébriques de type $\Delta$ sont celles qui sont 2-représentées par des $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ ayant une petite sous-catégorie $d'$-génératrice, i.e. telle que $R$ soit la réunion d'une suite transfinie de sous-catégories strictement pleines déduites l'une de l'autre en rajoutant des limites de type $d'$. Un foncteur $I \to R$, $I$ discret, est basique si et seulement s'il est $d'$-cogénérateur.

La page 76 ramène le second énoncé au premier comme pour $\Delta_{1}$ : $I' \subset R$ la sous-catégorie pleine d'objets $I$, $T_{R} \to T_{\widetilde{I}'}$ pleinement fidèle, et si $d'$ satisfait aux conditions de stabilité on trouve un $\Delta$-foncteur pleinement fidèle et essentiellement surjectif $\widetilde{I}'\Sigma^{-1} \to R$, d'où le Corollaire principal : on peut construire les théories algébriques pour $\Delta$ en trois pas, comme pour $\Delta_{1}$ : une catégorie $I'$ ayant $I$ pour ensemble d'objets (pas $1^{\circ}$ et $2^{\circ}$), et une catégorie de fractions de $\widetilde{I}'$ (pas $3^{\circ}$), la conclusion valant par exemple si $d'$ est formé de diagrammes discrets stable par sous-diagrammes, ou de tous les diagrammes finis ; pour un $d'$ général « il semble qu'il faille une construction récurrente transfinie ». Question : si $d'$ est petit, une $R$ à petite sous-catégorie $d'$-cogénératrice est petite.⁷⁴

77–78

Limites finies : $R$, $T$, $S$, $\Sigma$ se déterminent mutuellement

Le cas $d'$ = les diagrammes finis, $d'' = \emptyset$, sans condition d'exactitude, est celui de la page 17 et il est ici résolu complètement. Comme $d'$ est petit, les $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{0}$ qui représentent des théories algébriques sont les catégories essentiellement petites à limites finies. Étant donnés

$T$ une théorie algébrique pour $\Delta_{0}$ ; \\ $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{0}$ qui la représente ; \\ $S = T(\mathrm{Ens}) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(R, \mathrm{Ens})$ ; \\ $\Sigma \subset S$ la sous-catégorie pleine des structures représentables,

tout se détermine mutuellement : \[\begin{align*} R \ \text{donne}\quad & T = T_{R} : C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(R, C), \quad S = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(R, \mathrm{Ens}), \quad \Sigma \simeq R^{\circ} \subset S ; \\ \Sigma \ \text{donne}\quad & R = \Sigma^{\circ}, \quad T : C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(\Sigma^{\circ}, C), \quad S = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(\Sigma^{\circ}, \mathrm{Ens}) \supset \Sigma ; \end{align*}\] et $S$ se déduit de $\Sigma$ par le

Lemme. Le foncteur d'inclusion $\Sigma \to S$ induit une équivalence $\mathrm{Ind}(\Sigma) \xrightarrow{\ \approx\ } S$.

En effet $\Sigma \to S$ est universel pour les foncteurs exacts à gauche $\Sigma \to D$ vers une $D$ à limites inductives filtrantes ; or $\mathrm{Ind} (\Sigma)$ a les limites filtrantes et les limites projectives finies, $\Sigma \to \mathrm{Ind}(\Sigma)$ y commute (SGA 4 I 8.9.5), et les foncteurs exacts $\Sigma \to D$ correspondent aux foncteurs $\mathrm{Ind}(\Sigma) \to D$ commutant aux limites filtrantes et aux limites finies — la nécessité est triviale, et pour la suffisance $\mathrm{Ind}(\Sigma) \to \mathrm{Ind}(D) \to D$ est exact (SGA 4 I 8.9.8).

Corollaire. Pour $X \in S$, on a $X \in \Sigma$ si et seulement si $\mathrm{Hom}_{S}(X, -)$ commute aux limites inductives filtrantes.

Nécessaire par construction des Hom dans $\mathrm{Ind}$ ; suffisant parce que $X = \varinjlim X_{i}$ avec $X_{i} \in \Sigma$, filtrante, et que l'identité de $X$ se factorise alors par un $X_{i}$, de sorte que $X$ est un facteur direct de $X_{i}$, donc dans $\Sigma$, qui est stable par noyaux.⁷⁵

Donc $\Sigma$ se reconstitue à partir de $S$ comme la sous-catégorie pleine des objets « de présentation finie » : \[\begin{align*} S \ \text{donne}\quad & \Sigma = S_{\mathrm{pf}} \subset S, \quad R = \Sigma^{\circ}, \quad T : C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(S_{\mathrm{pf}}{}^{\circ}, C) ; \\ T \ \text{donne}\quad & S = T(\mathrm{Ens}), \quad \Sigma = T(\mathrm{Ens})_{\mathrm{pf}}, \quad R = \Sigma^{\circ}. \end{align*}\]

Corollaire. Pour qu'une $\Delta_{1}$-théorie $T$ (par limites projectives quelconques) provienne d'une théorie définissable par limites finies, il faut et suffit que $S = T(\mathrm{Ens})$ soit strictement engendrée par la sous-catégorie pleine de ses objets de présentation finie, ou encore que $S \to \widehat{\Sigma}$ soit pleinement fidèle ; alors $\Sigma^{\circ}$ est la catégorie classifiante de la théorie sur $\Delta_{0}$ qui donne naissance à $T$.

Corollaire. Le 2-foncteur de restriction des théories algébriques sur $\Delta_{0}$ aux théories sur $\Delta_{1}$ est pleinement fidèle, et son image essentielle est formée des morphismes $T_{1} \to T'_{1}$ tels que $S = T(\mathrm{Ens}) \to S' = T'(\mathrm{Ens})$ transforme objets de présentation finie en objets de présentation finie — « on pourrait les appeler les morphismes de présentation finie, ou cohérents, de théories ».⁷⁶

Question (page 78) : pour $d'$ = les diagrammes finis discrets (produits finis), $R$ petite à produits finis, $\Sigma = R^{\circ} \subset S = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{prod}}(R, \mathrm{Ens})$ ; on a $\Sigma \subset S_{\mathrm{pf}} = \Sigma_{0}$ et $S_{\mathrm{pf}} \simeq \rho_{\Delta,\Delta_{0}}(\Sigma)$, et la question de retrouver $S$ à partir de $\Sigma$ se ramène à celle d'une catégorie $\Sigma_{0} \in \Delta_{0}$ munie d'une sous-catégorie pleine $\Sigma$ stable par sommes finies.⁷⁷

80–80

La liste des cas à traiter

Le feuillet 80 dresse la liste des 2-catégories $\Delta$ pour lesquelles le programme devrait être mené : (1) limites finies, foncteurs exacts ; (1') limites de type $d'$ ; (1'') préordres à inf finis ; (2) limites finies et colimites finies, foncteurs exacts ; (2') prétopos ; (2'') catégories semi-additives ; (2''') additives ; (2'''') abéliennes ; (3) $(\mathrm{Cat}_{d})$ avec $(d', d'')$ petits ; (4) limites finies et limites filtrantes exactes ; (4'') préordres à inf finis, sup quelconques distributifs ; (4') limites finies, colimites quelconques, sommes disjointes universelles, limites filtrantes exactes ; (5) limites et colimites quelconques ; (5') topos ; (6') topos essentiels ($\simeq \widehat{C}$, ayant assez de points essentiels) avec les morphismes essentiels. « Je m'attends à des ennuis (de sortie de l'Univers) avec (6) et (6') ».⁷⁸

81–87

L'adjonction entre théories et catégories, et les constructions explicites (pages 81 à 87)

81–83

$\sigma \dashv \rho$

Soit $\text{Thé}_{\Delta}$ la 2-catégorie des théories sur $\Delta$ — les catégories 2-cofibrées sur $\Delta$, i.e. les pseudo-foncteurs $T : \Delta \to \mathrm{Cat}$ — et $\tau$ la théorie identique, $\tau(C) = C$. Deux 2-foncteurs : \[ \sigma : \Delta \to \text{Thé}_{\Delta}, \quad \sigma(R) = \underline{\mathrm{Hom}} _{\Delta}(R, -) ; \qquad \rho : \text{Thé}_{\Delta} \to \Delta, \quad \rho(T) = B_{T} = \underline{\mathrm{Hom}} (T, \tau), \] $B_{T}$ étant la catégorie des constructions de $T$ : un objet en est une façon de fabriquer, fonctoriellement en $C$ et en la structure, un objet de $C$ à partir d'une $T$-structure sur $C$. On a $\underline{\mathrm{Hom}}(\sigma(R), T) \simeq T(R)$ (Yoneda pour les 2-foncteurs), en particulier $\rho\sigma(R) = \underline{\mathrm{Hom}}(\sigma (R), \tau) \simeq \tau(R) = R$ : $\sigma$ est 2-pleinement fidèle. La question est de savoir quand \[ \underline{\mathrm{Hom}}(\sigma(R), T) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}} _{\Delta}(\rho(T), R) = \sigma(\rho(T))(R) \] est une équivalence : pour tout $R$ si et seulement si $T$ est 2-représentable par $\rho(T)$. Le morphisme d'unité $T \to \sigma\rho(T)$ est l'objet universel, et l'on demande si l'on peut décrire un objet canonique de $T(\rho(T))$, i.e. la $T$-structure universelle sur la catégorie des constructions.⁷⁹

La page 82 énonce les deux propriétés de $\Delta$ dont tout dépend : (1) pour $I$ petite, $C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(I, C)$ est 2-représentable par la $\Delta$-enveloppe $\widetilde{I}$ — l'inclusion $\Delta \to \mathrm{Cat}$ a un 2-adjoint à gauche — ; (2) pour $J \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ et $\Sigma \subset \mathrm{Fl}(J)$ petit, $C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(J, C ; \Sigma)$ est 2-représentable par $J\Sigma^{-1}$. Conséquence : les 2-limites inductives existent dans $\Delta$. Pour un pseudo-foncteur $i \mapsto A_{i}$, soit $D = \varinjlim A_{i}$ dans $\mathrm{Cat}$ ; alors $\underline{\mathrm{Hom}}_{ \mathrm{Cat}}(D, C) \simeq \varprojlim \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}} (A_{i}, C)$, et la 2-limite dans $\Delta$ est le sous-2-foncteur des $\tilde{u} : \widetilde{D} \to C$ tels que chaque $\tilde{u} \circ \tilde\alpha_{i}$ soit un $\Delta$-foncteur, condition qui s'exprime en rendant inversibles certaines flèches $\Sigma$ de $\widetilde{D}$ — du moins si les $\Delta$-foncteurs sont définis par commutation à des limites qui existent dans toutes les catégories de $\Delta$ ; et il faut que $\Sigma$ soit petit, ce qui n'est garanti que si $d'$, $d''$ sont petits, sinon il faut travailler avec des sous-catégories génératrices petites.⁸⁰

83–85

Les constructions explicites $B'_{T}$

Puisque $B_{T}$ n'est pas visiblement petite, on définit pas à pas une catégorie $B'_{T}$ de constructions explicites pour toute théorie algébrique $T$ — la construction accompagnant la définition récurrente des théories algébriques —, et l'on montre en même temps que $B'_{T} \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ et que $B'_{T}$ représente $T$ lorsque $T$ est représentable.

a)Structure vide sur $I$ objets : la théorie $\tau^{I}$, $\tau^{I}(C) = C^{I}$, représentée par la $\Delta$-enveloppe $\widetilde{I}$ de la catégorie discrète $I$ ; $B'_{\tau^{I}} = \widetilde{I}$, que l'on explicite en prenant les limites de type $d$ à partir des objets $i$ et les nouvelles flèches que les axiomes d'exactitude imposent.
b)Ajouter des axiomes : un ensemble $\Sigma$ de flèches de $B'_{T}$ à rendre inversibles ; $B'_{T'} = B'_{T}\Sigma^{-1}$ dans $\Delta$. Si $T$ est représentée par $R$ et $B'_{T} \simeq R$, alors $T'$ est représentée par $B'_{T'}$ ; et si $T \to \tau^{I}$ est fidèle, $T' \to T \to \tau^{I}$ aussi.⁸¹
c)Ajouter des flèches : un ensemble $H$ muni de $s, b : H \to \mathrm{Ob}\,B'_{T}$ ; $T'(C)$ est la catégorie des $x \in T(C)$ munis d'une famille $\varphi(h) : s(h)(x) \to b(h)(x)$, $h \in H$. Alors $B'_{T'}$ s'obtient de $B'_{T}$ en ajoutant librement les flèches $H$ (une catégorie qui n'est pas dans $\Delta$), en prenant la $\Delta$-enveloppe $B'^{0}_{T'}$, puis en rendant inversibles les flèches qui expriment que $B'_{T} \to B'^{0}_{T'}$ est un $\Delta$-foncteur. Si $T$ est représentée par $R \simeq B'_{T}$, $T'$ l'est par $B'_{T'}$ ; $T' \to T$ est fidèle.
d)Composer des structures : $T = \prod T_{\alpha}$ est algébrique et $B'_{T}$ est la 2-somme des $B'_{T_{\alpha}}$ dans $\Delta$ ; d') à objets de base fixés, le produit 2-fibré $T'(C) = \prod^{(2)}_{\alpha, C^{I}} T_{\alpha}(C)$ des $T_{\alpha}$ au-dessus de $\tau^{I}$, avec pour $B'_{T'}$ la somme amalgamée des $B'_{T_{\alpha}}$ sous $\widetilde{I}$ ; d'') limites projectives de théories, « il suffirait de le postuler pour une catégorie d'indices bien ordonnée ».

Remarque 1 : on ne rencontre ainsi que des théories représentées par des $B_{T} = R$ munis d'une famille génératrice « fidèle » $I \to \mathrm{Ob} \,R$, i.e. telle que $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, C) \to C^{I}$ soit fidèle pour tout $C$.

86–87

Réciproque : d'une catégorie à générateurs à une théorie

Remarque 2. Soit réciproquement $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ avec des $\Delta$-générateurs $I \to \mathrm{Ob}\,R$.

$1^{\circ}$) $R$ petite. On prend $I = \mathrm{Ob}\,R$, $T_{0} = \tau^{I}$, $R_{0} = \widetilde{I}$ ; puis $H = \mathrm{Fl}(R)$ envoyé dans $\mathrm{Ob}\, R_{0} \times \mathrm{Ob}\,R_{0}$, d'où $T_{1}$, $R_{1}$ ; puis on exprime que la composition de $R$ devient celle de $R_{1}$, i.e. que l'application « préfoncteur » $R \to R_{1}$ est un foncteur, d'où $T_{2}$, $R_{2} = \widetilde{R}$ avec $T_{2}(C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}} (R, C)$ ; enfin on exprime que $R \to R_{2}$ est un $\Delta$-foncteur en rendant inversibles certaines flèches de $R_{2}$, d'où $T_{3}$ et $R_{3} = R$. « On a appliqué une fois a), une fois c), deux fois b), et pas du tout d). »

$2^{\circ}$) $R$ quelconque avec $I \to \mathrm{Ob}\,R$ générateurs. Soit $\rho_{0}$ la sous-catégorie pleine engendrée par $I$, de sorte que $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, C) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}} (\rho_{0}, C) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(\tilde\rho_{0}, C)$ est fidèle ; on considère $R_{0} = \tilde\rho_{0} \to R$, les flèches $\Sigma$ qui deviennent inversibles, $R_{1} = R_{0}\Sigma^{-1}$, et on construit une suite transfinie $R_{\alpha} \to R$ dans $\Delta$ dont toutes les théories $\sigma(R_{\alpha})$ sont algébriques, le passage aux ordinaux limites se faisant par d) ou d').

$4^{\circ}$) Précisément (page 87) : pour $R \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ et $u : I \to R$ un ensemble générateur, i.e. tel que $\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta} (R, C) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(\widetilde{I}, C)$ soit fidèle pour tout $C$, on pose $R_{0} = \widetilde{I}$ avec $u_{0} : \widetilde{I} \to R$ prolongeant $u$, $\Sigma_{\alpha}$ = les flèches de $R_{\alpha}$ qui deviennent inversibles dans $R$, $R_{\alpha+1} = R_{\alpha} \Sigma_{\alpha}^{-1}$ au sens de $\Delta$, et $R_{\lim} = \varinjlim_{\Delta} R_{\alpha}$ ; alors, pour $\alpha$ assez grand dans l'univers, $R_{\alpha} \xrightarrow{\sim} R$. Aux ordinaux limites on veut que $R_{\alpha} \to R$ soit conservatif ; si les $\Delta$-foncteurs commutent aux noyaux et conoyaux, les $R_{\alpha} \to R$ sont fidèles et les $R_{\alpha}$ sont des sous-catégories ; pour tout cardinal $c$, si $\alpha$ est plus élevé que $c$, $R_{\alpha}$ est stable sous les limites de types $\delta' \in d'$, $\delta'' \in d''$ de cardinal $\leqslant c$ ; « donc si $d'$ et $d''$ sont petits » — la phrase reste inachevée, et la marge dit ce qu'elle concluait : la construction aboutit et $R$ est algébrique.⁸²

89–91

Les dictionnaires (pages 89 à 91)

89–89

$\lambda$ fini : ce que $S$ retient de $R$

Un demi-feuillet fixe, pour $\lambda$ un ensemble de diagrammes finis et $R \in \mathrm{Cat}_{\lambda}$, les inclusions \[ \Sigma = R^{\circ} \subset S = \underline{\mathrm{Hom}}_{\lambda}(R, \mathrm{Ens}) \subset \widehat{R^{\circ}} = \widehat{\Sigma} \] et les propriétés de $S$ : a) $S$ a les limites inductives quelconques ; b) $S$ est « engendrée » par ses objets de type fini — ceux dont $\mathrm{Hom}(X, -)$ commute aux limites filtrantes —, i.e. $S \to \widehat{S_{0}}$ est conservatif, ou même pleinement fidèle, $S_{0}$ étant la sous-catégorie pleine de ces objets ; c) $\Sigma \subset S_{0}$ et $\Sigma$ engendre $S_{0}$ par limites inductives finies, et $S$ par limites inductives quelconques ; d) plus précisément $S_{0}$ est l'enveloppe de la $\lambda$-catégorie $\Sigma$ sous les colimites finies, et $S$ l'enveloppe de $S_{0}$ sous les colimites quelconques.⁸³ Le titre qui suit, « 9. Relation avec analyseurs de Lazard », n'a pas de texte.

90–91

$\lambda$ quelconque, puis $\lambda = (\lambda_{1}, \emptyset)$

Le Dictionnaire pour $\lambda$ quelconque met en regard les types (théories) et les $\lambda$-catégories qui les représentent :

un type $T_{\lambda}$ $\longleftrightarrow$ une $\lambda$-catégorie $R$ admettant une petite famille $\lambda$-génératrice ; un morphisme de types $T_{\lambda} \to T'_{\lambda}$ $\longleftrightarrow$ un $\lambda$-foncteur $R' \to R$ ;
un morphisme pleinement fidèle (sous-théorie pleine $T' \subset T$) $\longleftrightarrow$ un $\lambda$-foncteur de localisation $R \to R'$ par rapport à un ensemble de flèches de $R$ stable par composition et par $\lambda$-limites ;
un morphisme fidèle $T' \to T$ (« structure plus riche ») $\longleftrightarrow$ un $\lambda$-foncteur $f : R \to R'$ qui $\lambda$-engendre $R'$ (« épimorphisme ? ») ;
un $\lambda$-type avec famille d'objets de base $(E_{i})_{i \in I}$ $\longleftrightarrow$ une $\lambda$-catégorie $R$ avec $I \to \mathrm{Ob}\,R$ qui $\lambda$-engendre $R$ ;
une limite projective de $\lambda$-théories $\longleftrightarrow$ une limite inductive de $\lambda$-catégories.

Le Dictionnaire pour $\lambda = (\lambda_{1}, \emptyset)$ — limites projectives seulement — a cinq colonnes, et c'est le résumé le plus dense du dossier ; nous le donnons ligne par ligne, avec pour colonnes le type $T$, la $\lambda$-catégorie $R$, la $\lambda^{\circ}$-catégorie $S$, la catégorie $\tau$ des modèles ensemblistes, et le topos $B$.

Les objets. $T$ un $\lambda$-type, $T(C) = \underline{\mathrm{Hom}}_{ \lambda}(R, C) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\lambda^{\circ}}(S^{\circ}, C)$, égal à la sous-catégorie pleine de $\underline{\mathrm{Hom}}(C^{\circ}, \tau)$ des foncteurs $u$ tels que les $\mathrm{Hom}(x, u(-))$, $x \in \mathrm{Ob}\,S$, soient représentables, et à $\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{top}}(C, B)^{\circ}$ si $C$ est un topos. $R$ une $\lambda$-catégorie à petite famille $\lambda$-génératrice ; $R = S^{\circ} = \mathrm{Pt\,ess}(B)$, la catégorie des points essentiels du topos $B$. $S = R^{\circ}$, $\lambda^{\circ}$-catégorie à petite famille $\lambda^{\circ}$-génératrice. $\tau$ une catégorie à limites filtrantes (et limites projectives quelconques) munie d'une sous-catégorie génératrice $S$ pour les foncteurs conservatifs, stable par $\lambda^{\circ}$-limites, formée d'objets de présentation finie ; $\tau = \underline{\mathrm{Hom}}_{\lambda}(R, \mathrm{Ens}) = T(\mathrm{Ens})$, $= \mathrm{Ind} (S)$ si $\lambda_{1}$ est tous les diagrammes finis ; $\tau = \mathrm{Pt} (B)$, $S = \mathrm{Pt\,ess}(B)$. $B$ un topos ayant suffisamment de points essentiels et dont la catégorie des points essentiels est stable par limites ; $B = \widehat{R} = \underline{\mathrm{Hom}}(S, \mathrm{Ens})$, le topos classifiant de $T$.⁸⁴

Les morphismes. Un morphisme $T' \to T$ $\longleftrightarrow$ un $\lambda$-foncteur $R \to R'$ $\longleftrightarrow$ un $\lambda^{\circ}$-foncteur $S \to S'$ $\longleftrightarrow$ un foncteur $\tau \to \tau'$ commutant aux limites inductives quelconques et envoyant $S$ dans $S'$ (ou son adjoint à droite $\tau' \to \tau$) $\longleftrightarrow$ un morphisme de topos $B' \to B$ dont l'image inverse transforme objets ponctuels (représentables) en objets ponctuels, déduit par localisation de $B$ par rapport à un ensemble de flèches de $R \subset B$.

Pleinement fidèle $T' \to T$ $\longleftrightarrow$ localisation $R \to R'$ $\longleftrightarrow$ localisation $S \to S'$ $\longleftrightarrow$ $\tau' \to \tau$ pleinement fidèle $\longleftrightarrow$ $B' \to B$ un plongement, i.e. $f_{*}$ pleinement fidèle.

Sous-théorie pleine $\longleftrightarrow$ ensemble $M$ de flèches de $R$ stable par composition et par $\lambda$-limites $\longleftrightarrow$ ensemble de flèches de $S$ stable par composition et $\lambda^{\circ}$-limites $\longleftrightarrow$ sous-catégorie pleine $\tau'$ de $\tau$ stable par limites projectives, formée des $X$ tels que $\mathrm{Hom}(u, X)$ soit bijectif pour les $u$ que les objets de $\tau'$ rendent bijectifs $\longleftrightarrow$ sous-topos $B'$ de $B$ dont le plongement $f$ a une image inverse préservant les objets ponctuels.⁸⁵

Fidèle $T' \to T$ $\longleftrightarrow$ $R \to R'$ $\lambda$-engendre $R'$ $\longleftrightarrow$ $S \to S'$ $\lambda^{\circ}$-engendre $S'$ $\longleftrightarrow$ $\tau' \to \tau$ fidèle $\longleftrightarrow$ $f^{*} : B \to B'$ fidèle.

Limites projectives de $\lambda$-types $\longleftrightarrow$ limites inductives de $\lambda$-catégories $\longleftrightarrow$ limites inductives de $\lambda^{\circ}$-catégories $\longleftrightarrow$ limites projectives des $\tau_{i}$ $\longleftrightarrow$ limites projectives des topos.⁸⁶ \pagerange{92}{95}

Le corps universel (pages 92 à 95)

Un brouillon rapide, sur deux colonnes, prend l'exemple qui met la distinction « limites projectives / limites inductives » à l'épreuve. Soit $T$ l'espèce de structure « anneau » et $T^{\circ}$ celle de « corps ». La seconde n'est pas définissable par limites projectives : la catégorie des corps n'est pas stable par produits. Les sous-types pleins d'un type définissable par limites projectives le sont encore, et sont donnés par une sous-catégorie pleine $\tau'$ de $\tau = T(\mathrm{Ens})$ décrite par orthogonalité — $C \in \tau'$ si et seulement si, pour tout homomorphisme $A \to B$ que les objets de $\tau'$ rendent bijectif, $\mathrm{Hom}(B, C) \to \mathrm{Hom}(A, C)$ est bijectif ; mais « corps » n'est pas un sous-type plein de « anneau ».⁸⁷ Peut-on définir le sous-objet $A^{*}$ des éléments inversibles d'un anneau $A$ par limites projectives et inductives ? Oui : dans $R = (\mathrm{Ann})^{\circ} = (\mathrm{Sch\,aff})$, l'anneau universel est l'objet $\mathbb{Z}[t]$, et $A^{*}$ correspond au sous-objet $\mathbb{Z}[t, t^{-1}] = \mathbb{Z}[x,y]/ (xy - 1)$, qui est une limite projective finie. Pour $A$ un objet anneau d'une catégorie à limites finies, on a donc un morphisme $e \sqcup A^{*} \to A$ — la section nulle et l'inclusion des inversibles —, et on dira que $A$ est un corps si ce morphisme est un isomorphisme.

Plaçons-nous dans le topos universel $\widehat{R}$, avec l'objet anneau $O = \mathrm{Sp}(\mathbb{Z}[t])$. Il faut rendre inversible la flèche $\varphi : e \sqcup O^{*} \to O$ — qui n'est pas une flèche de $R$, mais de $\widehat{R}$ — ; elle se factorise

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\begin{tikzcd}
e \sqcup O^{*} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, "j"'] & O \\
D \arrow[ur, "i"'] &
\end{tikzcd}

où $i : D \to O$ est dans $R$, et rendre $\varphi$ inversible revient à rendre $i$ et $j$ inversibles. On rend d'abord inversibles les morphismes $i$ (qui sont dans $R$) : $R'$ est la catégorie de fractions de $R$ correspondante, et $\widehat{R'}$ classifie les pseudo-corps. Il faut ensuite rendre $e \sqcup O^{*} \to O$ un monomorphisme, i.e. $e \cap O^{*}$ vide, ce qui rend le préfaisceau $\varepsilon$ ($\varepsilon(X) = \{e\}$ si $X = \emptyset$, vide sinon) égal à $\emptyset$. On trouve : si $C$ est une catégorie à limites projectives finies et limites inductives quelconques, les corps dans $C$ correspondent aux foncteurs $F : R' \to C$ exacts à gauche et commutant aux sommes ; la catégorie $C$ universelle pour cela est la catégorie des faisceaux sur $R'$ pour la topologie de Zariski — c'est un topos —, et le corps universel est le faisceau structural sur ce topos.⁸⁸

La page 95 pose ensuite, pour les anneaux intègres, la question du sous-type $O' \subset O$ des éléments « qui opèrent régulièrement sur $O$ » (les non-diviseurs de zéro), avec $O' \supset O^{*}$ : est-il définissable par limites projectives et inductives ? Dans le cas universel, $O'(X)$ est l'ensemble des $f \in A = O(X)$ qui sont réguliers après toute extension $A \to A'$, ce qui force $f \notin M$ pour tout idéal maximal $M$, donc $O' = O^{*}$ ; et sur $\widehat{R}$ l'anneau universel est localement un corps, donc $O'_{p} = O^{*}_{p}$, i.e. $A' = A^{*}$.⁸⁹

97–106

$\lambda$-types : la copie au net (pages 97 à 106)

Dix feuillets paginés de ① à ⑩, d'une écriture posée, sont l'état le plus achevé du dossier : la définition des théories relatives à un couple de types de limites, la représentabilité, la définition récurrente des théories algébriques, et, pour les théories définies par limites projectives, la reconstruction de la théorie à partir de ses modèles. Les alinéas sont numérotés [1] à [8] et les formules (1.1) à (8.2.17) ; nous gardons ces numéros.

97–97

[1] $\lambda$-catégories et $\lambda$-types

Soit $\lambda = (\overleftarrow{\lambda}, \overrightarrow{\lambda})$ un couple d'ensembles de diagrammes de l'univers fixé $\mathcal{U}$ (1.1). La 2-catégorie $(\mathrm{Cat}_{\lambda})$ (1.2) a pour objets les $\lambda$-catégories — celles qui ont les limites projectives de type $\overleftarrow{\lambda}$ et les limites inductives de type $\overrightarrow{\lambda}$ —, pour 1-flèches les $\lambda$-foncteurs, qui y commutent, et pour 2-flèches les transformations naturelles ; ainsi $\mathrm{Cat}_{\lambda} \hookrightarrow \mathrm{Cat}$ est pleinement fidèle sur les 2-flèches. Un $\lambda$-type $T$ est une espèce de structure qui, à toute $\lambda$-catégorie $C$, associe la catégorie $T(C)$ des structures de type $T$ dans $C$, fonctoriellement en $C$ : une catégorie cofibrée $T_{\lambda}$ sur $\mathrm{Cat}_{\lambda}$ (1.3). Les morphismes sont ceux des catégories cofibrées, \[\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\lambda}(T, T') = \mathrm{Hom}_{\mathrm{cofib}/(\mathrm{Cat}_{ \lambda})}(T_{\lambda}, T'_{\lambda}), \tag{1.4} \end{equation}\] et les $\lambda$-types forment une 2-catégorie $(\lambda\text{-types}) \hookrightarrow \text{2-Cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda})$ (1.5), 2-pleinement fidèle.⁹⁰

97–98

[2] Objets de base ; $\lambda$-$I$-types

Si $T$ est « une structure sur $I$ objets de base », on introduit le type $\tau^{I}$ de la structure vide sur $I$ objets, $\tau^{I}(C) = C^{I}$ (2.1), et le foncteur canonique « système des objets de base » \[\begin{equation} b^{C,T}_{\lambda} : T_{\lambda}(C) \longrightarrow C^{I}, \tag{2.2} \end{equation}\] fidèle, définissant pour $C$ variable un morphisme fidèle $b^{T}_{\lambda} : T_{\lambda} \to \tau^{I}$ (2.3).⁹¹ Pour $T$, $T'$ deux types relatifs à $I$, on pose \[\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\lambda}(I ; T, T') = \text{catégorie des couples } (u, \alpha), \tag{2.4} \end{equation}\] $u : T_{\lambda} \to T'_{\lambda}$ un morphisme et $\alpha$ un isomorphisme $b^{T'} \circ u \simeq b^{T}$ :

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\begin{tikzcd}
T_{\lambda} \arrow[rr, "u"] \arrow[dr, "b^{T}_{\lambda}"'] & & T'_{\lambda} \arrow[dl, "b^{T'}_{\lambda}"] \\
& \tau^{I} &
\end{tikzcd}

d'où la 2-catégorie $(\lambda\text{-}I\text{-types}) \hookrightarrow \text{2-Cofib}(\mathrm{Cat}_{\lambda})/\tau^{I}$ (2.5) et le 2-foncteur d'oubli $(\lambda\text{-}I\text{-types}) \to (\lambda\text{-types})$ (2.6), qui est fidèle.

98–99

[3] Constructions ; [4] représentabilité

Si $I$ est réduit à un point, $\tau^{I} = \tau$, $\tau(C) = C$ (3.1), et l'on pose \[\begin{equation} R^{\lambda}_{T} = \mathrm{Hom}_{\lambda}(T, \tau), \tag{3.2} \end{equation}\] la catégorie des $\lambda$-constructions pour $T$. On ne sait pas a priori si c'est une $\mathcal{U}$-catégorie ; mais c'est une $\lambda$-catégorie, les $\lambda$-limites s'y calculant « argument par argument », et pour toute $C$ et tout $\xi \in T(C)$ le foncteur d'évaluation \[\begin{equation} \xi^{\lambda} : R^{\lambda}_{T} \longrightarrow C, \qquad \rho \mapsto \rho(\xi), \tag{3.3} \end{equation}\] est un $\lambda$-foncteur ; on a donc un accouplement $R^{\lambda}_{T} \times T(C) \to C$ (3.4), i.e. un $\lambda$-foncteur $R^{\lambda}_{T} \to \underline{ \mathrm{Hom}}(T(C), C)$ (3.5). Si $T$ est donné avec $I$, on a de plus $I \to \mathrm{Ob}\,R^{\lambda}_{T}$, fonctoriel en $T$ (3.6) : chaque objet de base est une construction.⁹²

Définition. $T$ est $\lambda$-représentable si la catégorie cofibrée $T_{\lambda}$ est 2-représentable ; l'objet $R_{T}$ qui la représente est la catégorie $\lambda$-modelante de $T$ : \[\begin{equation} T(C) \cong \mathrm{Hom}_{\lambda}(R_{T}, C) \tag{4.1} \end{equation}\] via une $T$-structure $\lambda$-universelle $\xi^{\lambda}_{T} \in T(R_{T})$ (4.2).⁹³

$R_{T}$ est défini à équivalence près, unique à isomorphisme unique près, et pour toute catégorie cofibrée $\mathcal{F}$ sur $\mathrm{Cat}_{\lambda}$, \[\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\mathrm{cofib}}(T_{\lambda}, \mathcal{F}) \cong \mathcal{F}(R_{T}) \tag{4.3} \end{equation}\] (Yoneda) ; d'où $\mathrm{Hom}_{\lambda}(T, T') \cong T'(R_{T})$ (4.4), et pour $T' = \tau$ : \[\begin{equation} R^{\lambda}_{T} = \mathrm{Hom}_{\lambda}(T, \tau) \cong \tau(R_{T}) = R_{T}. \tag{4.5} \end{equation}\] Donc, pour un type représentable, la catégorie des constructions est la catégorie modelante, et c'est une $\mathcal{U}$-catégorie. Pour $C = (\mathrm{Ens})$ : \[\begin{equation} T(\mathrm{Ens}) \cong \mathrm{Hom}_{\lambda}(R^{\lambda}_{T}, \mathrm{Ens}). \tag{4.6} \end{equation}\]

99–101

[5] Les règles de formation, et les questions

On veut caractériser les catégories cofibrées sur $\mathrm{Cat}_{\lambda}$ (munies d'un morphisme dans $\tau^{I}$) qui proviennent de « théories de types de structures », i.e. donner une définition de $(\lambda\text{-types})$ autre que (1.5). On introduit $S^{\lambda}_{T,I} \subset R^{\lambda}_{T}$, la sous-catégorie pleine engendrée par les objets de base sous les $\lambda$-limites, et les règles :

a)(structure vide) $\tau^{I} \in \mathrm{Ob}(\lambda\text{-}I\text{-types})$ pour $I \in \mathcal{U}$ ;
b)(ajouter des axiomes) si $T$ est un $\lambda$-$I$-type et $A \subset \mathrm{Fl}(S^{\lambda}_{T,I})$, la sous-catégorie cofibrée pleine $T'_{A}$ des $\xi \in T(C)$ tels que $\xi^{\lambda}$ (3.3) transforme les flèches de $A$ en isomorphismes est un $\lambda$-$I$-type ;
c)(ajouter des données) si $T$ est un $\lambda$-$I$-type et $\alpha : B \to \mathrm{Ob}\,S^{\lambda}_{T,I} \times \mathrm{Ob}\,S^{\lambda}_{T,I}$, la catégorie cofibrée $T_{B,\alpha}$ des couples $(\xi, (u_{\beta})_{\beta \in B})$, $\xi \in T(C)$ et $u_{\beta} \in \mathrm{Hom}_{C}(\rho(\xi), \sigma(\xi))$ pour $\alpha(\beta) = (\rho, \sigma)$, est un $\lambda$-$I$-type ;
d)(composition) si $(T_{j})_{j \in J}$ est une petite famille de $\lambda$-$I$-types, le produit 2-fibré des $T_{j}(C)$ sur $C^{I}$ est un $\lambda$-$I$-type.

Un N.B. demande s'il faut aussi une règle d'égalisation de couples de flèches.

Définition 5.1. La 2-catégorie des $\lambda$-$I$-types est la plus petite sous-2-catégorie 2-pleine de $\text{2-Cofib}(\mathrm{Cat}_{ \lambda})/\tau^{I}$ stable par les opérations a) b) c) d). On peut en donner une construction transfinie.⁹⁴

Question 5.1. Les $\lambda$-$I$-types sont-ils exactement les catégories cofibrées $\lambda$-représentables par un $R^{\lambda}_{T} \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}$ muni d'un $I \to \mathrm{Ob}\,R^{\lambda}_{T}$ tel que $\mathrm{Ob}\,R$ soit la plus petite partie stable par les $\lambda$-limites et contenant $I$ ?

Le paragraphe 5.4 décompose la question en quatre problèmes de constructions universelles dans $\mathrm{Cat}_{\lambda}$, chacun avec une question de $\lambda$-engendrement :

a')$\tau^{I}$ est-il représentable par une $\lambda$-catégorie libre $R_{I}$ sur $I$ objets, $\lambda$-engendrée par l'image de $I$ ?
b')pour $R \in \mathrm{Cat}_{\lambda}$ et $A \subset \mathrm{Fl}\,R$, existe-t-il $R_{A}$ universelle rendant inversibles les flèches de $A$, et est-elle $\lambda$-engendrée par l'image de $R$ ?
c')pour $\alpha : B \to \mathrm{Ob}\,R \times \mathrm{Ob}\,R$, existe-t-il $R_{B,\alpha}$ universelle munie de $i : R \to R_{B,\alpha}$ et de flèches indexées par $B$ entre les $i(\rho)$, $i(\sigma)$, et est-elle $\lambda$-engendrée par l'image de $i$ ?
d')pour une petite famille $(R_{j})$ munie de $I \to \mathrm{Ob}\, R_{j}$, existe-t-il une somme amalgamée $R$ sous $I$ dans $\mathrm{Cat}_{ \lambda}$, avec un système transitif d'isomorphismes entre les images de $I$, $\lambda$-engendrée par la réunion des images des $R_{j}$ ?

Les existences sont acquises par le théorème d'enveloppe des pages 3 et 27, et seuls les $\lambda$-engendrements sont en question — c'est l'« essentiel » de 5.4.⁹⁵ Le paragraphe 5.5 propose un critère de $\lambda$-engendrement par fidélité : si $S \subset \mathrm{Ob}\,R$ est tel que, pour toute $\lambda$-catégorie $R'$ et tous $\lambda$-foncteurs $F, G : R \to R'$, $\mathrm{Hom}(F, G) \to \prod_{s \in S} \mathrm{Hom}(F(s), G(s))$ soit injectif, $R$ est-elle $\lambda$-engendrée par $S$ ? La réciproque est évidente.⁹⁶ Les paragraphes 5.6 et 5.7 posent la réciproque de la question 5.1 : si $R$ est $\lambda$-engendrée par $I$, la catégorie cofibrée qu'elle définit, munie de $T \to \tau^{I}$, est-elle un $\lambda$-$I$-type ? Et, $I$ omis, un $\lambda$-type est un $\lambda$-$I$-type pour $I$ et $\varphi$ convenables, i.e. une catégorie cofibrée $\lambda$-représentable par un $R$ dont les objets admettent une petite partie $\lambda$-génératrice « en un sens convenable à dégager ».

102–103

[6] $\lambda$ variable ; [7] dualité

Pour $\lambda \subset \lambda'$ (plus de limites exigées), on a un 2-foncteur de restriction \[\begin{equation} \eta_{\lambda\lambda'} : (\lambda\text{-types}) \longrightarrow (\lambda'\text{-types}), \qquad \eta(T_{\lambda})(C) = T_{\lambda}(C) \ \text{pour } C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda'} \subset \mathrm{Ob}\, \mathrm{Cat}_{\lambda}, \tag{6.1} \end{equation}\] qui correspond, sur les catégories modelantes, à l'enveloppe $\mathrm{Cat}_{\lambda} \to \mathrm{Cat}_{\lambda'}$ (6.2), la « $\lambda'$-catégorie enveloppe ». Exemples : pour $\lambda$ = limites projectives finies et $\lambda'$ = limites projectives quelconques, l'enveloppe est $C \mapsto \mathrm{Pro}(C)$ ; pour les limites inductives, $C \mapsto \mathrm{Ind}(C)$. Il faudrait des conditions sous lesquelles (6.1) est pleinement fidèle : $\mathrm{Hom}_{\lambda}(T_{1}, T_{2}) \to \mathrm{Hom}_{\lambda'}(T_{1}, T_{2})$ est-il une équivalence ? « Sans doute faux » en général, « mais pleinement fidèle si $\overrightarrow{\lambda} = \emptyset$ ».⁹⁷

Dualité. L'opposé d'un type $\lambda$ échange $\overleftarrow{\lambda}$ et $\overrightarrow{\lambda}$ ; à tout $\lambda$-type $T$ on associe le $\lambda^{\circ}$-type $T^{\circ}$, \[\begin{equation} T^{\circ}(C) = T(C^{\circ})^{\circ}, \tag{7.1} \end{equation}\] i.e. $T^{\circ}_{\lambda^{\circ}} \cong (T_{\lambda})^{\circ}$ composé avec le passage à l'opposé $\mathrm{Cat}_{\lambda^{\circ}} \simeq \mathrm{Cat}_{ \lambda}$ ; d'où des 2-équivalences $(\lambda\text{-types}) \cong (\lambda^{\circ}\text{-types})$ (7.3), de même avec $I$ (7.4), compatibles avec $C \mapsto C^{\circ}$ sur les catégories modelantes (7.6).⁹⁸

103–104

[8] Structures définies par limites projectives : limites, pleine fidélité, carrés 2-cartésiens

On suppose désormais $\overrightarrow{\lambda} = \emptyset$, et $T$ désigne un $\lambda$-type.

8.1. Pour toute $\lambda$-catégorie $C$, les limites projectives de type $\lambda$ existent dans $T(C)$, et plus généralement les limites projectives de tout type $d$ qui existent dans $C$ ; les foncteurs construction $T(C) \to C$ y commutent. Écrire $T(C) \cong \mathrm{Hom}_{\lambda}(R_{T}, C)$ ; les limites de type $d$ de foncteurs $R_{T} \to C$ se calculent argument par argument dans $\mathrm{Hom}(R_{T}, C)$, et les $\lambda$-foncteurs y sont stables parce que les limites commutent aux limites. 8.1.1. Plus généralement, pour $\lambda$ quelconque : si $C$ admet les limites projectives de type $d$ et si celles-ci commutent dans $C$ aux limites inductives de type $\overrightarrow{\lambda}$, alors $T(C)$ admet les limites projectives de type $d$, calculées argument par argument, et toute construction $\rho : T(C) \to C$ y commute ; de même $T(C) \to T(C')$ pour $C \to C'$ commutant à ces limites, et $T(C) \to T'(C)$ pour $T \to T'$. C'est la proposition de la page 65, au net.

8.2. Pour tout $\lambda$-type $T$ et tout $\lambda$-foncteur pleinement fidèle (resp. fidèle) $i : C \to C'$ (8.2.1), $T(i) : T(C) \to T(C')$ (8.2.2) est pleinement fidèle (resp. fidèle). Si de plus $T$ est muni d'une base fidèle $b : T \to \tau^{I}$, i.e. si $R = R^{\lambda}_{T}$ est muni de $\varphi : I \to \mathrm{Ob}\,R$ qui le $\lambda$-engendre, alors, dans le cas pleinement fidèle, le carré

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\begin{tikzcd}
T(C) \arrow[r] \arrow[d] & T(C') \arrow[d] \\
C^{I} \arrow[r, hook] & C'^{I}
\end{tikzcd}

(8.2.3) est 2-cartésien. En termes de $R$ : la sous-catégorie pleine $\mathrm{Hom}_{\lambda}(R, C)$ de $\mathrm{Hom}_{\lambda}(R, C')$ est formée des $\xi : R \to C'$ tels que $\xi(\varphi(i)) \in C$ pour tout $i \in I$ — car $I$ $\lambda$-engendre $R$ et $\xi$ commute aux $\lambda$-limites, donc envoie tout $R$ dans l'image essentielle de $C$, qui est stable par ces limites. « En termes imagés » : pour une famille $(E_{i})$ d'objets de $C$, il revient au même de se donner dessus une structure d'espèce $T$ dans $C$ ou sur leurs images dans $C'$.

Appliquons ceci au plongement de Yoneda $i : C \hookrightarrow \widehat{C}$ (8.2.4), qui est un $\lambda$-foncteur puisque $\overrightarrow{\lambda} = \emptyset$ : le carré

LaTeX source

\begin{tikzcd}
T(C) \arrow[r] \arrow[d] & T(\widehat{C}) \arrow[d] \\
C^{I} \arrow[r] & \widehat{C}^{I}
\end{tikzcd}

(8.2.5) est 2-cartésien. Puis, le foncteur contravariant canonique de $\widehat{C}$ dans $\mathrm{Hom}(\widehat{C}, \mathrm{Ens})$ restreint à $C$ donne $C^{\circ} \to \mathrm{Hom}_{\lambda}(\widehat{C}, \mathrm{Ens})$, $X \mapsto (F \mapsto F(X))$ (8.2.6), à valeurs dans les foncteurs commutant à tout type « petit » de limites ; d'où, en composant avec $\mathrm{Hom}_{ \lambda}(\widehat{C}, \mathrm{Ens}) \to \mathrm{Hom}(T(\widehat{C}), T(\mathrm{Ens}))$, un foncteur canonique $C^{\circ} \to \mathrm{Hom}(T(\widehat{C}), T(\mathrm{Ens}))$ (8.2.7), ou, ce qui revient au même, \[\begin{equation} \alpha : T(\widehat{C}) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathrm{Hom}(C^{\circ}, S_{T}), \qquad S_{T} = T(\mathrm{Ens}). \tag{8.2.8} \end{equation}\] Le foncteur $\alpha$ est toujours une équivalence : $\mathrm{Hom}_{ \lambda}(R, \widehat{C}) \cong \mathrm{Hom}(R \times C^{\circ}, \mathrm{Ens}) \cong \mathrm{Hom}(C^{\circ}, \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, \mathrm{Ens}))$, les limites de type $\lambda$ dans $\widehat{C}$ se calculant argument par argument (formule encadrée en marge de la page 105).⁹⁹ Si $T$ a un ensemble $I$ d'objets de base, on a un carré commutatif (8.2.9)

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
T(\widehat{C}) \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, "b_{\widehat{C}}"'] & \mathrm{Hom}(C^{\circ}, S_{T}) \arrow[d, "{\mathrm{Hom}(C^{\circ},\, b_{\mathrm{Ens}})}"] \\
\widehat{C}^{I} \arrow[r, "\cong"'] & \mathrm{Hom}(C^{\circ}, \mathrm{Ens})^{I}
\end{tikzcd}

et par (8.2.5) le carré

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
T(C) \arrow[r, hook] \arrow[d, "b_{C}"'] & \mathrm{Hom}(C^{\circ}, S_{T}) \arrow[d, "{\varphi \mapsto (\beta_{i} \circ \varphi)_{i \in I}}"] \\
C^{I} \arrow[r, hook] & \widehat{C}^{I}
\end{tikzcd}

(8.2.10) est 2-cartésien, $\beta_{i} = b_{i,\mathrm{Ens}} : S_{T} \to \mathrm{Ens}$ étant les foncteurs « $i$-ème objet de base ». En termes imagés : se donner une structure d'espèce $T$ sur $(E_{i}) \in C^{I}$ revient à se donner, fonctoriellement en $Z \in \mathrm{Ob}\,C$, une structure d'espèce $T$ sur la famille d'ensembles $(\mathrm{Hom}(Z, E_{i}))_{i \in I}$.¹⁰⁰ Donc, lorsque $\alpha$ est une équivalence, $T(C)$ est connu à équivalence près quand on connaît \[\begin{equation} S = S_{T} = T(\mathrm{Ens}) \quad \text{avec les foncteurs} \quad \beta_{i} : S_{T} \to \mathrm{Ens}, \tag{8.2.11} \end{equation}\] comme la sous-catégorie pleine de $\mathrm{Hom}(C^{\circ}, S_{T})$ des $\varphi$ tels que les $\beta_{i} \circ \varphi$ soient représentables.

105–106

8.2.12 : reconstruire $R$ à partir de $S$

Intrinsèquement, c'est la sous-catégorie pleine des $\varphi : C^{\circ} \to S_{T}$ tels que $\beta_{\mathrm{Ens}} \circ \varphi$ soit représentable pour toute construction $\beta \in R^{\lambda}_{T}$. Le foncteur \[\begin{equation} \beta \longmapsto \beta_{\mathrm{Ens}} : R = R^{\lambda}_{T} \longrightarrow \mathrm{Hom}(S_{T}, \mathrm{Ens}) = \widehat{S^{\circ}_{T}} \tag{8.2.13} \end{equation}\] est le foncteur évident $R \to \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}_{\lambda}(R, \mathrm{Ens}), \mathrm{Ens})$ (8.2.14). Or $S = \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, \mathrm{Ens})$, sous-catégorie pleine de $\widehat{R^{\circ}}$, contient $R^{\circ}$, identifié aux foncteurs représentables de $R$ dans $\mathrm{Ens}$, qui commutent aux limites : \[\begin{equation} R^{\circ} \subset S \subset \widehat{R^{\circ}}, \tag{8.2.15} \end{equation}\] et l'accouplement $\pi : R \times S \to \mathrm{Ens}$ est \[\begin{equation} \pi(c, \xi) = \xi(c) = \mathrm{Hom}_{\widehat{R^{\circ}}}(c, \xi) = \mathrm{Hom}_{S}(c, \xi), \tag{8.2.16} \end{equation}\] de sorte que (8.2.13) est le composé de deux foncteurs pleinement fidèles \[\begin{equation} R \hookrightarrow S^{\circ} \hookrightarrow \widehat{S^{\circ}} = \mathrm{Hom}(S, \mathrm{Ens}), \tag{8.2.17} \end{equation}\] le premier étant (8.2.15), le second Yoneda ; donc (8.2.13) est pleinement fidèle. Ainsi $R$ est connu, à équivalence près, quand on connaît $S$ et l'image de $R$ dans $\widehat{S^{\circ}}$.

Pour résumer. Si $T$ est un $\lambda$-type avec $\overrightarrow{\lambda} = \emptyset$, alors $S = T(\mathrm{Ens})$ est muni d'une sous-catégorie pleine $\Sigma \subset S$, formée des $\varphi \in \mathrm{Ob}\,S$ tels que pour toute $\lambda$-catégorie $C$ et tout $\xi \in T(C)$, définissant $\tilde\xi : C^{\circ} \to S$, $x \mapsto \mathrm{Hom}(x, \xi)$, le foncteur composé $x \mapsto \mathrm{Hom}_{S}(\varphi, \tilde\xi(x))$ soit représentable ; $\Sigma$ est stable dans $S$ par limites inductives de type $\lambda$, parce que $C$ est stable dans $\widehat{C}$ par limites projectives ; et pour toute $C$ on a des $\lambda$-foncteurs $\Sigma^{\circ} \to \underline{\mathrm{Hom}}(T(C), C)$ et $T(C) \to \mathrm{Hom}_{\lambda}( \Sigma^{\circ}, C)$. La phrase suivante — « on voit alors que l'on trouve ainsi une … » — s'arrête là, et la copie au net avec elle.¹⁰¹

108–111

Topos classifiant, structure universelle, topos modulaire (pages 108 à 111)

108–109

L'image inverse de la structure universelle

Un feuillet au crayon reprend, pour les théories à limites finies, la question de la page 17 depuis le topos. Soit $C$ une catégorie essentiellement petite à limites projectives finies, $T$ l'espèce de structures que $C$ définit, $\widehat{C} = B_{T} = B$ le topos classifiant, $O_{B}$ la structure universelle dans $B$ — le foncteur d'inclusion $C \to \widehat{C}$, vu comme objet de $T(B) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{lex}}(C, B)$ —, et $E$ un topos. Une $T$-structure $O_{E} \in T(E) \simeq \mathrm{Hom}_{ \mathrm{lex}}(C, E)$, $O_{E} = f_{0}$, correspond à un morphisme de topos $f : E \to B_{T}$, et \[ O_{E} \simeq f^{*}(O_{B}), \qquad f_{0} = f^{*} \mid C. \] Pour $U \in \mathrm{Ob}\,E$ et $X \in \mathrm{Ob}\,B$, on définit une application \[\begin{equation} \mathrm{Hom}_{E}(U, f^{*}X) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{T(\mathrm{Ens})} (O_{B}(X), O_{E}(U)), \tag{1} \end{equation}\] où $O_{E}(U) \in T(\mathrm{Ens})$ est l'image de $O_{E}$ par le foncteur exact à gauche $Z \mapsto \mathrm{Hom}_{E}(U, Z)$, et $O_{B}(X)$ de même dans $\widehat{C}$ : on a $\mathrm{Hom}_{E}(U, f^{*}X) \to \mathrm{Hom}(O_{E}(f^{*}X), O_{E}(U)) \to \mathrm{Hom}(O_{B}(X), O_{E}(U))$, la seconde flèche par le morphisme $O_{B}(X) \to O_{E}(f^{*}X)$ de $T(\mathrm{Ens})$ ; ici $T(\mathrm{Ens}) = \mathrm{Ind}(C^{\circ})$. Pour $X \in \mathrm{Ob}\,C$, (1) est une bijection : le second membre est $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Ind}(C^{\circ})}(X, O_{E}(U))$, et \[\begin{gather*} O_{B}(X) = \mathrm{Hom}_{C}(X, -), \qquad O_{E}(U) = \bigl(Y \mapsto \mathrm{Hom}_{E}(U, f_{0}(Y))\bigr), \\ \mathrm{Hom}(O_{B}(X), O_{E}(U)) = O_{E}(U)(X) = \mathrm{Hom}_{E}(U, f_{0}(X)), \end{gather*}\] par Yoneda, ce qui est bien $\mathrm{Hom}_{E}(U, f^{*}X)$.¹⁰²

On en profite pour calculer $f^{*}(\mathcal{F})$ pour $\mathcal{F}$ un champ sur $B$. Il revient au même de se donner $\mathcal{F}$ ou sa restriction à $C$, une catégorie fibrée sur $C$ (avec des données de descente que la page laisse en blanc). Si $B' \subset B$ est un sous-topos, correspondant à une topologie $\tau$ sur $C$ et à une sous-espèce $T'$ de $T$, et si $O_{E}$ est de cette espèce, i.e. $f$ se factorise par $B'$, i.e. $f_{0}$ est continu pour $\tau$, alors un champ $\mathcal{F}'$ sur $B'$ est un champ $\mathcal{F}_{0}$ sur $B$ satisfaisant une condition relative à $\tau$, et $f'^{*}(\mathcal{F}')$ se calcule en termes de $f_{0}$ et $\mathcal{F}'$. On commence par prolonger $\mathcal{F}_{0}$, catégorie fibrée sur $C$, à $\mathrm{Pro}(C) \simeq T(\mathrm{Ens})^{\circ}$ ; alors $\mathcal{F}_{0}(O_{E}(U))$ est défini, covariant en l'objet $O_{E}(U) \in T(\mathrm{Ens})$ ; pour $U$ variable, $U \mapsto \mathcal{F}_{0}(O_{E}(U))$ est une catégorie fibrée sur $E$, image inverse de $\mathcal{F}_{0}$ par $O_{E} : E^{\circ} \to T(\mathrm{Ens}) \cong \mathrm{Pro}(C)^{\circ}$, et $f^{*} (\mathcal{F})$ est le champ associé.¹⁰³

111–111

Topos modulaire pour des structures sur objets d'un topos fixé

Un feuillet quadrillé, sous le titre « Topos modulaire pour des structures algébriques sur objets variés d'un topos fixé $X$ », pose le problème relatif. On se donne des objets $E_{i} \in X$, $i \in I$, et une espèce de structure $T$ de topos classifiant $B$ muni de ses objets de base $b_{i} \in B$. On s'intéresse, pour tout topos $X'$ sur $X$, aux structures d'espèce $T$ dans $X'$ — les morphismes $f : X' \to B$ — dont les objets de base sont les images inverses $E'_{i}$ des $E_{i}$ : $f^{*}(b_{i}) \simeq E'_{i}$. La catégorie de ces objets pour $X'$ fixé, $X' \to X$ et $X' \to B$ variables, est le produit 2-fibré de $\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X', X)$ et $\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X', B)$ au-dessus de $\underline{ \mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X', B_{I})$ ; le topos modulaire cherché est donc le produit 2-fibré $B \times_{B_{I}} X$ dans la 2-catégorie des topos,

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\begin{tikzcd}
B \arrow[dr, "b"'] & & X \arrow[dl, "(E_{i})"] \\
& B_{I} = \widehat{(\mathrm{Ens}_{f})^{\circ}}{}^{I} &
\end{tikzcd}

$B_{I}$ étant le classifiant de $I$ objets, « on n'a pas encore prouvé que cela marche ».¹⁰⁴ Dans le cas où $T$ est définie par limites finies, de catégorie modelante $R$ avec $B = \widehat{R}$ et $I \to \mathrm{Ob}\,R$, on s'intéresse aux foncteurs exacts à gauche $R \to X'$ transformant les $r_{i}$ en les $E'_{i}$ ; soit $\mathcal{S}$ le champ sur $X$ des structures $(X', (E'_{i}), f : R \to X')$ avec $f(r_{i}) \simeq E'_{i}$, et $\underline{I} _{X}$ le champ dont c'est la fibre — la page s'arrête sur cette définition, avec en marge, barré, « champ en catégories associé aux catégories … ».¹⁰⁵

Notes

Le manuscrit écrit « la catégorie des catégories ayant des $\lim$ de type $d$, avec foncteurs y commutant ». Que $\Delta$ soit une 2-catégorie et non une catégorie est constant dans tout le dossier — toutes les propriétés universelles y sont énoncées « à équivalence près » — et nous le disons d'emblée. ↩
Ehresmann introduit les esquisses en 1966–1968 ; la notion est dans l'air à la date que l'inventaire propose pour ces feuillets, et rien ici ne la cite. Le mot « enveloppe » est celui du manuscrit, et nous le gardons partout. ↩
La petitesse est essentielle et elle tient à ce que $d$ est un ensemble de types : la construction s'arrête à un ordinal $\omega$ dont le cardinal majore les cardinaux des catégories d'indices en jeu. Si l'on admettait tous les petits diagrammes, la conclusion serait fausse : la complétion libre d'une petite catégorie par toutes les petites limites projectives n'est pas petite (celle de la catégorie ponctuelle par les produits quelconques est $(\mathrm{Ens})^{\circ}$). Le manuscrit y revient page 76 : « supposons $d'$ petit, alors une $R$ admettant une petite sous-catégorie $d'$-cogénératrice est petite ». Dans l'exemple des pages 70 à 73, où toutes les limites sont admises, l'enveloppe est $\widehat{I^{\circ}}{}^{\circ}$ et n'est pas petite ; voir ci-dessous. ↩
« Pb 1 » et « Pb 2 » reviennent pages 17, 19, 20, 69 à 75. Le problème 1 est l'adjonction $\mathrm{Cat} \rightleftarrows \Delta$ de la page 82 ; le problème 2 est la représentabilité du 2-foncteur $C \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(J, C; \Sigma)$ de la même page. ↩
La forme générale en est donnée par Kelly, A unified treatment of transfinite constructions (1980) ; la construction ici est celle-là, pour un cas particulier, écrite une douzaine d'années plus tôt. ↩
La page 5 dit de $(*)$ : « cela résulte aisément de a) et c) et de la grandeur de $\omega$ », avec en marge « détailler la démonstration ». L'argument attendu : un diagramme de type $\Theta$ dans $C_{\omega}$ ne fait intervenir que $\mathrm{card}\,\mathrm{Fl}\,\Theta < \pi$ flèches, donc provient d'un $C_{j}$, $j < \omega$, et son cône limite y a été ajouté au pas suivant ; la même remarque de « grandeur » est refaite, complètement cette fois, page 29. Nous ne la redonnons pas ici. ↩
Les indices sont ceux du manuscrit : la page 5 fait porter $\rho_{2}$ et $\rho_{3}$ sur $\delta''$ alors que $a'_{1}$, $a'_{2}$ concernent $d'$ (la page 4 écrit d'ailleurs $d'_{i}$). Il y a une hésitation de notation entre « prime » et « seconde » d'un feuillet à l'autre, sans conséquence : les trois opérations $\rho$ traitent les cônes projectifs et les trois $\sigma$, « définies de façon analogue », les cônes inductifs. ↩
La page 6 laisse la condition $a_{2}$) en blanc ; nous la remplissons par la troisième composante d'une équivalence, qui est ce que les propriétés $a_{2}$) de la page 7 (existence d'un $u'$ avec $\tau_{i} \circ u \simeq u' \circ \varphi$) construisent. Pour $a_{1}$) la page écrit « bijectifs », biffé en « injectifs », et nous suivons la correction. Ainsi $f^{1}$ impose la fidélité, $f^{0}$ et $f^{1}$ ensemble la pleine fidélité, les trois l'équivalence — c'est le découpage que la Remarque de la page 13 nomme a), b), c). ↩
Ce second théorème donne, à titre d'exemple, les enveloppes dans les 2-catégories de catégories avec conditions d'exactitude — celles où l'on demande que certaines limites en commutent à d'autres. Le cas emblématique est celui des topos : les conditions de Giraud sont des conditions de ce type, et c'est ainsi que la page 17 lira « $\Delta$ = bons topos ». La page 9 s'arrête sur « il reste donc à faire la construction de $K(C, \delta)$ » : cette construction n'est pas écrite, ni ici ni dans la reprise des pages 26 à 31, qui ne fait que l'énumérer (propriétés $e_{0}$), $e_{1}$), $e_{2}$)). ↩
Le manuscrit demande, page 12, que les foncteurs identiques soient dans $\Sigma_{\rho}$, ce qui impose de se restreindre aux $C$ où tout $\Theta \to C$ $\delta$-exact est $\lambda$-exact — c'est pourquoi les objets sont contraints par $\sigma$ et les flèches par $\rho$ séparément. La Remarque de la page 13 demande si la sous-2-catégorie $\Delta_{0} \subset \Delta$ définie par la fidélité, la pleine fidélité ou l'équivalence de $\varphi^{*}$ est « distinguée » ; la question est laissée ouverte, et la page 14 ne fait que redresser les données (a), (b), (c) avec lesquelles la reprise de la page 26 travaillera. ↩
Les esquisses « mixtes » — existence de limites par $\sigma$, exactitude et existence conditionnelle par $\rho$ — sont exactement les esquisses de la littérature ultérieure, et la 2-catégorie $\Delta_{\sigma,\rho}$ est celle des catégories qui les « réalisent ». La condition (B) dit que les catégories d'où partent les conditions d'exactitude sont elles-mêmes soumises aux conditions d'existence ; sans elle les propriétés $e_{0}$)–$e_{2}$) ne se propageraient pas. ↩
La page 30 se termine par « cqfd », mais deux renvois notés (*) et (**) restaient à écrire ; la page 31 écrit (**), le dédoublement, et commence (*), la définition du foncteur $\delta$-préexact, qui s'arrête après trois lignes. La reprise est donc complète pour tout ce qui concerne l'ordinal $\omega$ et laisse à l'état d'énoncé, comme la première version, l'opération $K$ elle-même. L'existence de $K$ n'est pas en doute — les six opérations des pages 5–6 et leurs analogues pour $e_{0}$)–$e_{2}$) la fournissent — mais elle n'est écrite nulle part dans le dossier. ↩
Le manuscrit écrit « $\Delta$ = bons topos (conditions $\supset$ b) c) de Giraud), foncteurs commutant aux $\varprojlim$ et exacts à g. ». Le mot « bon » signale que la condition de taille de Giraud — l'existence d'une petite famille génératrice — n'est pas demandée : $\Delta$ contient des catégories qui ne sont pas des topos de Grothendieck, et c'est précisément ce qui donne son contenu au Théorème 4) ci-dessous. Nous appellerons « topos » un topos de Grothendieck et « objet de $\Delta$ » un bon topos. ↩
Diaconescu, Change of base for toposes with generators (1975), postérieur à la fourchette de l'inventaire ; le cas des préfaisceaux sur une catégorie à limites finies est dans SGA 4 IV 4.9.4. L'énoncé « $\widehat{C}$ est la $\Delta_{0} \to \Delta$-enveloppe de $C$ », qui fait de Diaconescu un cas particulier du théorème d'enveloppe, est la façon propre au dossier de le voir. Le passage à l'opposé dans $\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{top}} (E, \widehat{C})^{\circ}$ est une convention : un morphisme de topos $f \to g$ est une transformation $f^{*} \to g^{*}$, ou $g^{*} \to f^{*}$ selon l'auteur, et le manuscrit prend la seconde. ↩
Ce sont les « sous-topos $R'$ comme catégories de fractions » de SGA 4 IV 9 ; le renvoi à I 9.1.1 est celui du manuscrit. La page 18 ajoute qu'un sous-topos donné se décrit toujours par un petit ensemble $\Sigma$ : on prend $C \subset R$ petite génératrice et les familles couvrantes de $C$ pour $T'$. ↩
« Algébrique » n'est pas défini sur ces feuillets ; le sens, constant dans le dossier (pages 62–63, 71, 84–87), est constructible : une théorie est algébrique si elle s'obtient à partir de la structure vide sur des objets de base par une suite, éventuellement transfinie, de trois opérations — ajouter des flèches, imposer des égalités, imposer des conditions d'exactitude —, ce qui est exactement la présentation d'une théorie géométrique par des axiomes. « Basique » signifie que la donnée d'une $T$-structure sur $E$ détermine fidèlement la famille de ses objets de base, i.e. que $T_{R}(E) \to E^{I}$ est fidèle (page 86, Remarque 1). Le théorème 4 a) est ainsi l'énoncé « tout topos de Grothendieck est le topos classifiant d'une théorie géométrique, et réciproquement », qui sera publié par Joyal et Wraith puis Makkai et Reyes (1977) ; le manuscrit le sait par construction, puisque « topos » y signifie « objet de $\Delta$ à petit générateur ». La condition b) est dans le même esprit : un générateur strict donne les sortes et les opérations. ↩
Pour $I$ réduit à un point, $\widehat{J_{0}}$ est le topos des foncteurs sur les ensembles finis, le classifiant d'un objet (object classifier). « Ensembles $I$-multisimpliciaux » est le nom du manuscrit, avec un $\omega$ ajouté au-dessus : les objets de $J_{0}$ sont les produits finis d'objets de base, et un préfaisceau sur $J_{0}$ est une famille d'ensembles multi-indexée. ↩
C'est l'existence des produits fibrés de topos, SGA 4 IV 8.2 ; le manuscrit dit « cette construction est $\pm$ connue, redonnons-en une autre ». La sienne, par la somme amalgamée des sous-catégories génératrices puis passage au sous-topos, est celle que l'on donne aujourd'hui en logique catégorique : le produit fibré de topos classifiants classifie la « somme amalgamée » des théories. Il note en passant que si $T_{0} \to S_{0}$ est surjectif sur les objets alors $R \to R \amalg_{T} S$ a une image génératrice. ↩
Le mot « analyseur » est celui de Lazard (Lois de groupes et analyseurs, 1955) ; il revient dans le titre de la page 89, « Relation avec analyseurs de Lazard », qui reste sans texte. Un analyseur est, en substance, une théorie algébrique présentée par ses opérations $n$-aires ; la catégorie $J_{1}$ des produits finis d'objets de base avec les flèches de $R$ est exactement la théorie de Lawvere de la structure, et c'est le rapprochement que le dossier fait sans le nom de Lawvere, dont la thèse date de 1963. ↩
Le manuscrit écrit $\underline{\mathrm{Pt}} (R)^{\circ} \simeq \underline{\mathrm{Fib}}(R)$ ; l'opposé est la même convention de sens des 2-flèches que ci-dessus, et $\underline{\mathrm{Fib}}$, les foncteurs fibres, est un autre nom des points. ↩
Le manuscrit écrit « $C$ = catégorie opposée aux ens. finis, donc $R$ = ens. semi-simpliciaux », avec une note marginale « pts à les $\Delta_{n}$ » ; les deux descriptions ne coïncident pas (les ensembles simpliciaux sont les préfaisceaux sur les ordinaux finis, dont les points ne sont pas les ensembles), et tout ce qui suit sur la page — les points « de p. f. » $\mathbb{N}$, les sous-topos décrits par la structure $X$ — est vrai du classifiant d'un objet et faux des ensembles simpliciaux. Nous lisons donc $C = (\mathrm{Ens}_{f})^{\circ}$, comme la page l'écrit, et nous rattachons « $\Delta_{0}$, $\Delta_{1}$ » aux ensembles à $0$ et $1$ éléments. ↩
Ces six sous-topos sont corrects, mais ils ne sont pas tous les sous-topos de $R$, et le « en résumé : 6 sous-topos » de la page 24 ne doit pas être lu comme une classification. Les sous-topos du classifiant d'un objet correspondent aux théories géométriques quotients de la théorie d'un objet, et la condition « $X$ a au plus $n$ éléments », qui s'écrit $\top \vdash \bigvee_{i<j} x_{i} = x_{j}$ pour $n+1$ variables, est géométrique : elle définit pour chaque $n$ un sous-topos dont les points sont les ensembles de cardinal $\leqslant n$, et qui n'est pas dans la liste. Le feuillet restreint sa recherche, comme le dit son titre, aux sous-topos ouverts et à leurs fermés complémentaires, et aux intersections de ceux-ci ; pour ceux-là la liste est plausible. La mention « $V$ n'est ni ouvert ni … » est la sienne, illisible ensuite. ↩
Le mot du manuscrit est tripleable, terme de l'époque (une « triple » est une monade), et les trois noms sont peu nets. Le critère de Beck date de 1967 ; Linton, Some aspects of equational categories (1966), Barr, Coequalizers and free triples (1970). Le second point du critère, laissé illisible, est nécessairement celui-là. C'est le seul endroit du dossier où le nom de Lawvere est écrit, et il désigne la notion que les pages 18–22 et 84–87 construisent sous le nom d'analyseur. ↩
Le manuscrit hésite sur la définition : « $f$ conservatif $\Leftarrow$ (déf) $f^{*}$ fidèle ($=$ conservatif) — les deux ». Pour un foncteur exact à gauche entre topos, fidèle et conservatif sont équivalents, ce qui justifie le « $=$ ». Il écrit ensuite $\mathrm{CoAlg} (B, \pi) = B_{\pi}$, « $B \to B_{\pi}$ conservatif » (le mot « fidèle » biffé), et « $B_{\pi} \xrightarrow{\simeq} B$ (th) » : la source de l'équivalence doit être $B'$ et non $B$, comme le croquis, qui place $B_{\pi}$ entre $B$ et $B'$, le montre ; nous avons corrigé. C'est le théorème de descente pour les morphismes surjectifs de topos, qui sera énoncé sous cette forme par Joyal et Tierney (1984) ; l'adjonction $\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Ens}}(f^{*}X, Y) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{G}(X, f_{*}Y)$ avec $f_{*}(Y) = \underline{\mathrm{Hom}}(G, Y)$, notée au bas du feuillet, est l'exemple du point canonique $(\mathrm{Ens}) \to BG$ du topos des $G$-ensembles, dont l'image inverse est le foncteur d'oubli : les coalgèbres de la comonade $Y \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}(G, Y)$ sur les ensembles sont les $G$-ensembles, et c'est le cas le plus simple du théorème. ↩
C'est le cas $C = R$ de l'équivalence $T_{0}(E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{top}}(E, \widehat{C})^{\circ}$ de la page 17. La formule $T(\mathrm{Ens}) = \mathrm{Ind}(C^{\circ})$ est écrite, à l'encre bleue, page 108 ; celle du cahier est $\tau = \mathrm{Ind}(S)$ (page 90). L'objet « anneau universel » est $A = \mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}[t]$, que la page 93 note $O = E'_{\mathbb{Z}} = \mathrm{Sp} (\mathbb{Z}[t])$. ↩
C'est le mécanisme général : le topos des faisceaux sur $(R, J)$ classifie les foncteurs exacts à gauche $J$-continus $R \to \varepsilon$ (Diaconescu). Lorsque $R$ est l'opposé des anneaux de présentation finie, un tel foncteur est un anneau $A$ et la continuité dit exactement que $X'(A) \to X(A)$ est surjectif pour $X' \to X$ couvrant. Chaque ligne du cahier est donc une définition de la topologie par la propriété, et l'énoncé $X_{P} \simeq \widetilde{R} _{\mathrm{top}\,P}$ y est tautologique ; le contenu est dans l'identification de la topologie à une topologie connue, ou du sous-topos à un topos de préfaisceaux. ↩
Le feuillet dessine aussi une flèche de « spectre compact » vers « anneau réduit », que la transcription rend dans ce sens ; l'implication est fausse (un anneau local artinien non réduit a un spectre réduit à un point), et nous ne la reportons pas. Le second réseau du feuillet, illisible, redistribue les mêmes noms avec quelques autres : spectre connexe, spectre irréductible, intègre normal, régulier, ultra local, complet. ↩
C'est le théorème de Hakim, Topos annelés et schémas relatifs (1972) : le gros topos de Zariski classifie les anneaux locaux. La date de l'inventaire ne permet pas de dire si le cahier lui est antérieur ; il ne cite personne. La formulation par le recouvrement $\{U_{f}, U_{1-f}\}$ du cas universel est celle qui rend l'énoncé évident : l'axiome des anneaux locaux dit précisément que $f$ ou $1-f$ est inversible localement. ↩
Anneaux strictement henséliens ; c'est aussi dans Hakim, et c'est le théorème que Wraith reprendra (Generic Galois theory of local rings, 1979). Le cas universel donné — les revêtements étales standards définis par un polynôme unitaire et sa dérivée — est exactement le « étale local » de SGA 1. ↩
Elle a une réponse positive, comme tout topos cohérent (Deligne, SGA 4 VI 9) — le topos fppf sur $R$ est cohérent, ses recouvrements étant finis. Mais la description des points comme « anneaux ultralocaux » ne les identifie à aucune classe classique : un corps algébriquement clos est ultralocal (article 15), un anneau strictement hensélien ne l'est pas en général. ↩
L'égalité $X_{\mathrm{red}} \simeq \widehat{R_{\mathrm{red}}}$ est le fait que « réduit » est une théorie cartésienne (l'axiome $x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0$ est une implication entre équations, sans disjonction ni existentiel), dont le classifiant est donc un topos de préfaisceaux, sur l'opposé des anneaux réduits de présentation finie. Que $R_{\mathrm{red}}$ ait des limites finies — non induites par $R$ : le produit fibré de deux schémas réduits n'est pas réduit — vient de ce que $X \mapsto X_{\mathrm{red}}$ est adjoint à droite de l'inclusion. Le N.B. de la page 38 s'en inquiète (« $X_{\mathrm{red}}$ peut être …, ce qui se voit sur $R_{\mathrm{red}}$ … des lim. finies ») ; c'est bien la remarque à faire. ↩
Ici une disjonction apparaît, et le classifiant n'est plus un topos de préfaisceaux : « intègre » est une théorie cohérente. La topologie décrite est la traduction de la disjonction : recouvrir $\mathrm{Spec}\,A$ par les $V(x)$ et $V(y)$ lorsque $xy = 0$. ↩
Un schéma affine de type fini sur $\mathbb{Z}$ est noethérien et n'a qu'un nombre fini de composantes irréductibles ; la non-quasi-compacité vient des recouvrements par des familles infinies $(X_{i})$ dont chaque composante ne rencontre qu'un nombre fini. La remarque est juste et elle est importante : l'énoncé « irréductible », $\forall f, g\ (fg \text{ nilpotent} \Rightarrow f \text{ nilpotent} \vee g \text{ nilpotent})$, est géométrique mais non cohérent, à cause de la disjonction infinie cachée dans « nilpotent ». ↩
La page 42 écrit les équations de $D_{n}$ sans l'exposant $n$, qui est pourtant ce qui distingue $D_{n}$ de $D_{1}$ ; la ligne suivante, qui fait couvrir $A$ par les $D_{n}$, exige la puissance, et nous l'avons rétablie. ↩
Les articles 9) et 10) portent les numéros du cahier ; la numérotation y est reprise deux fois (le 12) de la page 41 devient le 13) de la page 42). « Spectre compact » signifie spectre de dimension zéro, i.e. anneau dont tout premier est maximal ; la condition donnée est la caractérisation par les idempotents, et la « quantification sur $n$ » (le $f^{n}$ nilpotent) est ce qui rend la théorie non cohérente, comme en 8). ↩
Le cahier écrit « $A^{*} \amalg A$ », avec pour seconde flèche $0_{A}$ ; la page 94 écrit $e \sqcup O^{*} \to O$, qui est ce que le sens exige, et nous suivons la page 94. L'axiome $\forall x\ (x = 0 \vee \exists y\ xy = 1)$ est cohérent ; avec « $0 \neq 1$ » c'est la théorie géométrique des corps, dont le classifiant est le topos des faisceaux sur les anneaux de présentation finie pour la topologie engendrée par les recouvrements $\{\mathrm{Spec}\,A_{f}, \mathrm{Spec}\,A/f\} \to \mathrm{Spec}\,A$ — c'est ce que « sections sur chaque fibre » veut dire. Les pages 92 à 95 y reviennent longuement. ↩
Un pseudo-corps est un anneau absolument plat, ou régulier au sens de von Neumann : tout $x$ s'écrit $x = x^{2}y$. La condition $A \simeq A_{f} \times A/fA$ pour tout $f$ en est une caractérisation, et l'unicité de l'idempotent en fait une théorie cartésienne, d'où le classifiant en préfaisceaux $\widehat{R_{\mathrm{cons}}}$. La catégorie $R_{\mathrm{cons}}$ est vraisemblablement l'opposée de celle des anneaux absolument plats de présentation finie ; l'« anneau absolument plat universel » $T(A)$ associé à un anneau $A$, dont le spectre est $\mathrm{Spec}\,A$ muni de la topologie constructible, est l'objet de la thèse de J.-P. Olivier (Montpellier, 1970–71), et le nom « cons » y renvoie. Le cahier ne cite pas Olivier. ↩
Le classifiant des corps algébriquement clos est un exemple classique de la logique catégorique (Makkai–Reyes 1977, Johnstone) ; sa description comme faisceaux sur les anneaux absolument plats de présentation finie pour les familles finies surjectives est, à la lettre près, celle qui y est donnée. ↩
$\mathbb{Z} \to \Lambda$ épimorphique signifie que $\Lambda$ est un quotient d'un localisé de $\mathbb{Z}$, i.e. $\mathbb{Z}/n$, $\mathbb{Z} [1/n]$, $\mathbb{Q}$ ou leurs produits finis ; c'est ce que le cahier nomme « mono $S \to e_{R}$ dans $\mathrm{Pro}\,R$ ». L'unicité de la structure de $\Lambda$-algèbre est un cas particulier du fait qu'un épimorphisme d'anneaux $\mathbb{Z} \to \Lambda$ rend $\Lambda \otimes_{ \mathbb{Z}} \Lambda \to \Lambda$ bijectif. ↩
Le passage à la clôture parfaite $X \mapsto X_{\mathrm{parf}}$ est adjoint à l'inclusion des schémas parfaits, comme la réduction en 6) ; « parfait » est cartésien ($\forall x\, \exists! y\ y^{p} = x$), d'où le classifiant en préfaisceaux. Le N.B. « parfait $\Rightarrow$ réduit » est immédiat : Frobenius étant injectif, $x^{p} = 0$ entraîne $x = 0$. ↩
La théorie « $A$ a une caractéristique » s'écrit $\top \vdash \bigvee_{p} (p = 0) \vee \bigwedge_{n} (n \text{ inversible})$ ; la conjonction infinie n'est pas géométrique, et c'est ce que le cahier constate en disant que l'intersection $\bigcap_{n}$ ne donne pas de condition ouverte. Le sous-topos $\sup(V, W)$ existe néanmoins, comme borne supérieure de deux sous-topos, et $X_{\mathrm{car}}$ est ce sup ; la question est de le décrire. ↩
C'est le recollement de topos le long d'un ouvert commun, i.e. la construction du topos classifiant d'une théorie « locale » à partir de ceux de ses deux branches ; les pages 47–48 sont de brouillon et l'énoncé ci-dessus est notre mise en forme de ce que la page 48 conclut. Le point délicat, que le cahier voit, est que $W = X_{\mathbb{Q}}$ n'est pas ouvert dans $B$ mais que $V \wedge W$ (le lieu où $p = 0$ et $p$ inversible, i.e. l'anneau nul) l'est. ↩
Cette dernière identification est énoncée sans démonstration, et elle demande une précaution que le cahier ne prend pas : les schémas de type fini sur $\mathbb{Q}$ ne sont pas dans $R$ (ils sont dans $\mathrm{Pro}\,R$, comme $X_{\mathbb{Q}} = \bigcap_{n} X_{\mathbb{Z}[1/n]}$ le dit page 44). La catégorie $R_{\mathrm{car}}$ n'a pas d'objet final — $\mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_{p}$ et $\mathrm{Spec}\, \mathbb{Q}$ n'ont pas de produit non vide — et ses foncteurs plats vers les ensembles sont les anneaux de caractéristique $p$ ou $0$, l'anneau nul excepté, ce qui est bien la description voulue des points ; que $\widehat{R_{\mathrm{car}}}$ soit le sous-topos $\sup(V, W)$ de $\widehat{R}$ est plausible et non établi ici. ↩
« Connexe » ($e^{2} = e \Rightarrow e = 0 \vee e = 1$, avec $0 \neq 1$) est cohérent, et « au plus $n$ composantes » aussi ($\bigvee_{i} e_{i} = 0$ pour $n+1$ idempotents orthogonaux) ; ces théories ont donc des topos classifiants, sous-topos de $\widehat{R}$ (Makkai–Reyes). Ce que la page 50 voit juste est la différence entre la théorie avec la décomposition pour structure — dont le classifiant est le produit fibré de $n$ copies du classifiant des anneaux connexes, muni de son action de $\mathfrak{S}_{n}$ — et la théorie qui l'affirme seulement par un existentiel, dont le classifiant est le quotient de la première par $\mathfrak{S}_{n}$. Le « pseudo-torseur des choix » qu'elle décrit est le lien entre les deux. ↩
Le théorème de Deligne (SGA 4 VI 9, 1972) dit qu'un topos cohérent a assez de points ; il règle tous les articles cohérents, et les intersections finies de sous-topos cohérents d'un topos cohérent, qui sont cohérentes. Il ne règle pas 8), 10) et 20), qui ne le sont pas, et pour lesquels la question reste, sur ces pages, ouverte. Elle l'est toujours en général : un topos non cohérent peut n'avoir aucun point. ↩
En termes d'aujourd'hui, une propriété typique est une propriété géométrique : exprimable par une formule de logique géométrique (conjonctions finies, disjonctions quelconques, existentiels), qui sont exactement celles que préservent les images inverses des morphismes de topos. La stabilité par limites filtrantes en est la trace sur les points. ↩
C'est le critère de platitude par les relations linéaires (Bourbaki, Lazard), et il est bien géométrique. ↩
Le manuscrit écrit $X_{\mathrm{mod}} = \widehat{\mathrm{Mod}^{\circ}_{\mathrm{pf}}}$ pour le classifiant des couples (anneau, module), qui est une théorie cartésienne ; la fin de la phrase est nôtre. Les feuillets sont une liste de questions et n'affirment rien de plus que ce qui est reporté ici. ↩
Ces notions sont celles que Gabriel et Ulmer publient en 1971 (Lokal präsentierbare Kategorien) sous le nom de catégories localement présentables, et que Makkai et Paré généraliseront en 1989 (catégories accessibles). Le relevé n'utilise que SGA 4 ; la terminologie de l'exposé I — « accessible » pour ce que Gabriel–Ulmer appellent présentable — est conservée ici, et le dernier corollaire des pages 60–61 est, mot pour mot, la caractérisation de Gabriel–Ulmer. ↩
Ce dernier énoncé — stabilité de l'accessibilité par limites projectives — sera le théorème central de Makkai–Paré ; le b) de la page 54, sur les limites inductives, est marqué « à vérifier ». Le théorème d'adjonction (« $f$ admet un adjoint à gauche ssi il commute aux limites et est accessible ») est la forme que prend, dans ce cadre, le théorème du foncteur adjoint, et c'est celle que les pages 58 et 72 utiliseront. ↩
L'argument est le bon, et le fait est vrai : une catégorie accessible complète est localement présentable, et $(\mathrm{Ens})$ ne peut être à la fois localement présentable et co-localement présentable sans être un ensemble préordonné (Gabriel–Ulmer). Le manuscrit l'obtient directement. ↩
Un foncteur strictement générateur est ce qu'on appelle aujourd'hui un foncteur dense ; $\hat\varphi$ est son nerf, $\bar\varphi$ sa réalisation. Le point h) est la version « site » : un topos muni d'une petite sous-catégorie dense stable par limites finies est un sous-topos du topos des préfaisceaux sur elle, avec pour inclusion le nerf et pour réflecteur exact à gauche la réalisation. Toutes ces équivalences sont correctes ; e) demande la stricte épimorphicité universelle pour la réciproque, ce que la page 55 précise. ↩
L'assertion de représentabilité est vraie, mais pour une raison qui n'est pas sur la page : une catégorie cocomplète à petite sous-catégorie dense est totale (Street–Walters 1978, Kelly 1986), et une catégorie totale est « compacte » au sens d'Isbell, i.e. y représente tout foncteur $E^{\circ} \to (\mathrm{Ens})$ transformant les colimites en limites. La page l'énonce entre crochets, comme un fait connu. ↩
Que $(\mathrm{Ens})^{\circ}$ ne soit pas accessible est acquis (page 55). Qu'elle satisfasse a), i.e. que $(\mathrm{Ens})$ ait une petite sous-catégorie codense, dépend de considérations de théorie des ensembles (existence de cardinaux mesurables) que la page ne soulève pas ; le contre-exemple est donc conditionnel, et la question, sous la forme « a) implique-t-il accessible ? », a une réponse négative que ce contre-exemple ne suffit pas à établir. ↩
C'est le produit tensoriel de théories, et sa commutativité ; la première conséquence est le théorème d'existence des foncteurs « libres » entre catégories d'algèbres (Gabriel–Ulmer, et déjà Freyd 1964 par le théorème du foncteur adjoint). Le point b) des exemples — $T(\mathrm{Ens})$ est accessible pour $T$ définie par petites limites — est l'énoncé qui fait de toute catégorie de modèles d'une esquisse à limites une catégorie localement présentable. ↩
Ce sont, exactement, les catégories localement présentables de Gabriel et Ulmer, et l'énoncé est leur théorème de caractérisation ; la démonstration de la page 61 (tout objet $\pi$-accessible est facteur direct d'une $\varinjlim_{I} Y_{i}$ de cardinal $\leqslant \pi$, puis $F^{\pi} = E_{\pi}$ par SGA 4 I 9.9) est celle qui deviendra standard. La dernière phrase, sur le nom, dit que l'exposé I de SGA 4 avait pris « accessible » pour une notion plus faible ; la terminologie moderne a suivi le manuscrit sans le savoir, en réservant « accessible » au cas non cocomplet (Makkai–Paré) et « localement présentable » à celui-ci. ↩
La définition précise — une théorie est une catégorie 2-cofibrée sur $\Delta$ — est donnée page 83 ; nous l'utilisons dès ici. Dans toute la suite « $R$ représente $T$ » signifie cela, et « la catégorie classifiante » de $T$ désigne $R$, ce que la page 78 nomme ainsi et la page 111 « catégorie modulaire ». ↩
Les trois opérations sont celles de toute présentation d'une théorie : sortes (les objets de $I$), opérations (les flèches ajoutées), axiomes (égalités et inversibilités, ces dernières codant les conditions d'exactitude par le dédoublement de la page 31). L'énoncé 1) « en une fois » sera établi pour $\Delta$ à limites de type $d'$ petit aux pages 74 à 76 (le « Cor Main ») ; l'énoncé 2) est la définition que les pages 81 à 87 adopteront. ↩
La page écrit le membre de gauche sans $T$ ; la formule complète est celle de la page 65, encadrée. La question de caractériser intrinsèquement les 2-foncteurs représentables est celle que la théorie des esquisses résout par la notion d'accessibilité du foncteur ; le manuscrit ne dispose que de la commutation aux 2-limites, qui ne suffit pas en effet. ↩
C'est la forme d) de la typologie des pages 10 à 14, désormais attribuée : Schanuel, dont l'idée d'imposer la bijectivité de $\mathrm{Hom}(\sigma, -) \to \mathrm{Hom}(\rho, -)$ est la notion d'orthogonalité de la théorie ultérieure (Freyd–Kelly 1972). C'est la seule attribution d'idée du dossier, avec Lazard et Lawvere. ↩
La page 64 ne comporte que le diagramme, son cube, et la ligne « 2-foncteur d'où $\Delta'$-enveloppe, défini ainsi : $\Delta' \to \Delta$, $\rho_{\Delta',\Delta}$ ». Ici $\Delta \subset \Delta'$ signifie que $\Delta$ exige plus de limites que $\Delta'$, comme $\Delta_{1} \subset \Delta_{0}$ page 74. Le contenu de la question — quand la restriction est-elle pleinement fidèle, quelle est son image — est donné aux pages 77 et 78 pour $\Delta_{1} \subset \Delta_{0}$ et repris page 102 ($\lambda$-variable). ↩
Le cas particulier annoncé page 66 — $T' = \tau^{I}$, la structure vide sur $I$ objets — n'est pas écrit ; c'est le carré (8.2.3) de la page 104, et la raison en est donnée là : un $\Delta$-foncteur $R \to C'$ dont les valeurs sur une famille $\Delta$-génératrice sont dans $C$ est à valeurs dans $C$, puisque $C \subset C'$ est stable par les limites en jeu. La proposition sur les limites dans $T(C)$ est la remarque, aujourd'hui banale, que la catégorie des modèles d'une théorie à limites dans $C$ a les limites que $C$ a, calculées sur les objets sous-jacents ; la condition b) est ce qui la rend vraie pour une théorie à limites inductives aussi. ↩
C'est le théorème par lequel une théorie à limites projectives est déterminée par sa catégorie de modèles ensemblistes $S$ : un modèle dans $C$ est un foncteur $C^{\circ} \to S$ « représentable en chaque construction ». La version pour les limites finies est la dualité de Gabriel–Ulmer, et c'est la forme que la page 72 lui donnera ; celle-ci, pour $d'$ quelconque, ne demande que le plongement de Yoneda et l'échange des limites. ↩
Que $R^{\circ} \subset \Sigma$ est clair : pour $\varphi = \partial r$, $\mathrm{Hom}_{S}(\partial r, \tilde\xi(x)) = \tilde\xi(x)(r) = \mathrm{Hom}_{C}(x, \xi(r))$ est représenté par $\xi(r)$. L'inclusion inverse est affirmée sans démonstration, et le point $4^{\circ}$), qui l'abordait, s'arrête page 68 après trois lignes barrées. Pour $d'$ = les diagrammes finis, la page 77 la démontrera par une autre voie : $\Sigma$ est alors la sous-catégorie des objets de présentation finie de $S$. La page 106 reprendra la description mot pour mot. La stabilité de $\Sigma$ par limites inductives de type $d'$ vient de ce que $R$ a les limites projectives de type $d'$ et que $\partial$ les transforme en limites inductives de $S$ — ce qui se vérifie sur les Hom : $\mathrm{Hom}_{S}(\partial(\varprojlim r_{i}), F) = F(\varprojlim r_{i}) = \varprojlim F(r_{i})$ puisque $F$ commute aux limites. ↩
Les deux exemples montrent que « condition d'exactitude » couvre, dans le vocabulaire du dossier, toute condition de la forme « $\mathrm{Hom}(\sigma, C) \to \mathrm{Hom}(\rho, C)$ est une équivalence » ; les groupoïdes et les préordres sont les deux cas extrêmes. ↩
La page 70 écrit « $d''$ = tous les petits diagrammes, $d'' = \emptyset$ », lapsus pour $d'$ ; la page 74 nomme $\Delta_{1}$ cette 2-catégorie, et nous adoptons ce nom dès ici. Les objets de $\Delta_{1}$ sont les catégories complètes, ses flèches les foncteurs continus. ↩
C'est la propriété universelle du topos de préfaisceaux $\widehat{I^{\circ}}$ comme complétion libre de $I^{\circ}$ par les petites limites inductives, dualisée. L'enveloppe n'est pas petite, et c'est la raison de la restriction « $d$ petit » du théorème des pages 3 et 27. ↩
C'est le théorème du foncteur adjoint spécial, qui demande, outre la complétude et la petite famille cogénératrice, que $R$ soit bien puissante (que les sous-objets d'un objet forment un ensemble) — hypothèse que la page ne mentionne pas et sans laquelle l'énoncé est faux. Elle est satisfaite dans tous les cas que le dossier considère : $R = S^{\circ}$ avec $S$ localement présentable ou $S$ un topos. La remarque (2) est correcte telle quelle, et c'est la description des localisations d'une catégorie complète par ses « classes de flèches saturées ». ↩
La page écrit « $S$ avec $\varprojlim$ quelc. » ; mais $S = R^{\circ}$ est l'opposée d'une catégorie complète, donc $S$ est cocomplète, et c'est la remarque (4) de la page 72 qui le dit aussitôt (« $R$ a aussi des $\varinjlim$ quelconques »). Les deux se concilient : $S = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta_{1}}(R, \mathrm{Ens})$ a les limites projectives calculées argument par argument, et les limites inductives de $R$. « Génératrice par épimorphismes stricts » est la condition duale de « cogénératrice par monomorphismes stricts » du théorème ; avec la bonne puissance implicite, ce corollaire est le dictionnaire de la page 90 pour $\lambda$ = toutes les limites. Un exemple non trivial de telle $S$ : les espaces compacts, opposée des $C^{*}$-algèbres commutatives, qui n'est pas localement présentable — signe que ce cas $\Delta_{1}$ déborde le cadre des esquisses petites. ↩
La page 73 écrit « admettant des $\varprojlim$ quelconques (mais pas nécessairement stables par lesdites) » ; c'est inexact : le foncteur d'inclusion $i$, adjoint à droite, commute à toutes les limites projectives, de sorte que la limite dans $S'$ d'un diagramme de $S'$ est aussi sa limite dans $S$. Une sous-catégorie pleine réflexive est toujours stable par limites. Nous avons corrigé. La contravariance est celle du foncteur $R \mapsto T_{R}$ : à $\varphi : R \to R'$ correspond $T_{R'} \to T_{R}$, et $\varphi^{\circ} : S \to S'$ est le foncteur « structure libre » tandis que $\psi^{\circ} : S' \to S$ est le foncteur d'oubli. ↩
« Mais, en renversant les flèches pour les morphismes ? », demande la page. La réponse est non : à $T' \to T$ correspond $S' \to S$ dans le même sens, le foncteur d'oubli. La 2-équivalence est covariante sur ces morphismes et c'est $R \mapsto T_{R}$ qui est contravariant. ↩
Ordre des inclusions : plus il y a de limites exigées, moins il y a de catégories. $\Delta_{0}$ est ainsi la 2-catégorie des catégories à limites finies de la page 17. ↩
La démonstration est celle des « complétions libres par une classe de limites » : plonger dans la complétion par toutes les limites et prendre la clôture. Elle est correcte sous la réserve, que la page fait, que $\widetilde{I}$ soit stable par les limites de type $d'$ ; la page 74 signale que si $d'$ n'est pas stable par sous-diagrammes il faut prendre la clôture « transfiniment au besoin ». L'identification $\rho(C) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(C, \mathrm{Ens})^{\circ}$ demande, comme en (3) ci-dessus, que $\rho(C)$ soit une $\mathcal{U}$-catégorie, ce qui est le cas pour $C$ petite. ↩
C'est l'énoncé « toute théorie à limites de type $d'$ se présente en un pas par une esquisse » pour $d'$ petit, i.e. l'équivalence entre théories constructibles et esquisses petites, et la réponse à la question de la page 62. La Question finale répond à la note de la page 3 sur la petitesse : si $d'$ est petit, la clôture transfinie d'une petite catégorie sous les limites de type $d'$ est petite, par le même argument d'ordinal $\omega$. ↩
« Donc stable (c'est un noyau) » : un facteur direct est le coégalisateur de l'identité et de l'idempotent, et $\Sigma = R^{\circ}$ a les limites inductives finies parce que $R$ a les limites finies. Une catégorie à coégalisateurs est karoubienne ; il n'y a donc pas ici d'écart entre $R^{\circ}$ et son enveloppe karoubienne, contrairement à ce qui se produirait pour une esquisse à produits finis seulement (page 78, Question). L'ensemble lemme + corollaire est la dualité de Gabriel–Ulmer (1971) : les petites catégories à limites finies correspondent, par $R \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(R, \mathrm{Ens})$ et $S \mapsto (S_{\mathrm{pf}})^{\circ}$, aux catégories localement finiment présentables. Les renvois marginaux — SGA 4 I 8.7.5, 8.9.5, 8.7.3, 8.9.8, 8.7.8 — disent d'où le manuscrit tire chaque pas. ↩
Ces deux corollaires sont la réponse à la Question de la page 23 : une théorie est « à limites finies » si et seulement si ses modèles ensemblistes forment une catégorie localement finiment présentable ; et un morphisme entre théories à limites finies est un foncteur d'oubli entre catégories LFP qui préserve la présentation finie, i.e. dont l'adjoint à gauche envoie $\Sigma$ dans $\Sigma'$ — ce que le dictionnaire de la page 90 écrira « foncteurs $\tau \to \tau'$ commutant aux $\varinjlim$ quelconques et envoyant $S$ dans $S'$ ». « Cohérent » est le bon mot : dans le vocabulaire des topos, un morphisme de topos classifiants est cohérent lorsqu'il préserve les objets de présentation finie, et c'est ici le même énoncé. Le manuscrit écrit « $\mathbf{1}$-fidèle », dont le sens dans le dossier (page 97 : $\mathrm{Cat} _{\lambda} \hookrightarrow \mathrm{Cat}$ est 1-fidèle) est « pleinement fidèle sur les 1-flèches, et sur les 2-flèches » ; nous disons pleinement fidèle. ↩
C'est le cas des théories de Lawvere, où $S$ est la catégorie des algèbres, $\Sigma$ celle des algèbres libres de type fini, et $S_{\mathrm{pf}}$ celle des algèbres de présentation finie, qui est la clôture de $\Sigma$ par coégalisateurs. La question est celle de reconnaître, dans $S_{\mathrm{pf}}$, les objets libres ; elle n'a pas de réponse intrinsèque en général (une catégorie LFP peut être la catégorie des algèbres de plusieurs théories de Lawvere non équivalentes), et la page la laisse ouverte. ↩
La liste est le programme de la logique catégorique des années qui suivent : (1) théories cartésiennes, (2) régulières, (2') cohérentes, (4') géométriques et leurs classifiants (5'), (2'')–(2'''') les théories additives. Les cas (4) et (4') sont ceux où les « catégories accessibles » des pages 54 à 61 interviennent ; (6') est le cas des topos de préfaisceaux, i.e. des théories à limites finies, et l'« ennui » prévu est celui de la page 84 : la catégorie des constructions $B_{T}$ n'est pas visiblement une $\mathcal{U}$-catégorie. ↩
C'est l'adjonction, aujourd'hui classique, entre une théorie et sa « catégorie syntaxique » : pour une théorie représentable, $B_{T} = R$ et la structure universelle est l'identité de $R$, vue comme objet de $T(R) = \underline{\mathrm{Hom}}_{ \Delta}(R, R)$. Le manuscrit ajoute que $\rho(T) \in \mathrm{Ob}\,\Delta$ lorsque $\Delta$ est défini par des propriétés d'exactitude, puisque les limites dans $\underline{\mathrm{Hom}}(T, \tau)$ se calculent argument par argument, mais qu'il n'est pas clair que $B_{T}$ soit une $\mathcal{U}$-catégorie — c'est le « grain de sel » de la page 84, et la raison d'être des constructions explicites qui suivent. ↩
« Construction des 2-limites dans $(\mathrm{Cat})$ : faite dans SGA 4 VI en prenant la catégorie totale de la 2-catégorie cofibrée et en rendant inversibles les morphismes cartésiens » — le renvoi est à SGA 4 VI 6. ↩
La marge demande de « préciser aussi les axiomes du type flèches rendues égales », qui ne résultent pas des inversions si $d' = d'' = \emptyset$ ; dans le cas général une égalité $u = v$ s'impose en rendant inversible la flèche de l'égalisateur, comme le dédoublement de la page 31 le fait pour les cônes. ↩
C'est le théorème 4 a) de la page 18, généralisé de « bons topos » à un $\Delta$ quelconque à types petits : un objet de $\Delta$ à petite famille génératrice est la catégorie classifiante d'une théorie algébrique, et la démonstration est la construction transfinie de la page 62. Les deux marges — « je ne sais s'il est 2-fidèle ?? pleinement fidèle », « on doit pouvoir prouver … fidèle … si non grand … » — sont sur le point qui manque : la conservativité aux ordinaux limites. Dans le cas des théories à limites finies elle est automatique et la conclusion est le théorème de la page 75. ↩
Pour $\lambda$ = tous les diagrammes finis, c'est la page 77 : $S_{0} = \Sigma$, $S = \mathrm{Ind} (\Sigma)$. Pour $\lambda$ plus petit (produits finis, par exemple), $\Sigma \subsetneq S_{0}$ et d) est la description de $S$ comme $\mathrm{Ind}$ de la clôture de $\Sigma$ par colimites finies, ce qui est correct, avec la réserve que « objets de type fini » devrait ici se lire « de présentation finie » — le manuscrit emploie l'un pour l'autre. ↩
Un point essentiel d'un topos $B$ est un point $p$ dont l'image inverse $p^{*}$ a un adjoint à gauche $p_{!}$ ; pour $B = \widehat{R}$, les points sont les foncteurs plats $R \to \mathrm{Ens}$ (ici les $\lambda$-foncteurs, i.e. $\tau$), et les points essentiels sont les points représentables $\mathrm{Hom}(r, -)$, qui forment la sous-catégorie $\Sigma = R^{\circ} \subset S = \tau$ de la page 89 ; c'est elle que les colonnes $R$ et $S$ nomment, l'une $R$ et l'autre $R^{\circ}$, à la convention près sur le sens des 2-flèches, qui porte les « $\circ$ » de $\mathrm{Pt}(B)^{\circ}$ et $\mathrm{Pt\,ess}(B)^{\circ}$. Nous les omettons, et nous lisons partout « la catégorie des points essentiels est $\Sigma$, opposée de $R$ ». La colonne $\tau$ décrit une catégorie localement présentable par sa sous-catégorie dense de présentables, et « $\tau = \mathrm{Pt}(B)$ » est le théorème de Diaconescu vu depuis les modèles. ↩
C'est le Problème 2 de la page 17 dans toutes ses colonnes, et, colonne $\tau$, la description des sous-catégories réflexives par orthogonalité : $\tau'$ est l'ensemble des objets orthogonaux à une classe de flèches, ce qui est la forme moderne des « axiomes ». ↩
Le dictionnaire ne démontre rien ; il enregistre les pages 62 à 78 sous forme de table, et il est correct dans toutes ses cases à deux réserves près : la colonne $\tau$ de la ligne « fidèle » porte un « (ou plutôt ??) » qui est le sien, et la ligne « limites projectives des $\tau_{i}$ » n'est vraie, comme il le note, que « si $\lambda_{1}$ = tous les diagrammes finis », i.e. quand la limite des catégories LFP est LFP, ce qui est un théorème (Makkai–Paré) et non une évidence. ↩
Le début de la page 92 est le plus abîmé du dossier ; la ligne sur les « pseudo-corps » et l'homomorphisme $\mathbb{Z}[H] \to \mathbb{Z}[t, t^{-1}] \times \mathbb{Z}$, dont la moitié est illisible, prépare ce qui suit : le plus petit sous-type plein de « anneau » contenant les corps est celui des anneaux réduits (page 41, article 11), et la sous-catégorie pleine des pseudo-corps est l'orthogonale décrite ici. Nous ne reconstruisons pas la ligne. ↩
C'est la description du topos classifiant des corps, qui n'est pas un topos de préfaisceaux : la disjonction « $x = 0$ ou $x$ inversible » se traduit en demandant que $\mathrm{Spec}\,A$ soit recouvert par $V(f)$ et $D(f)$ pour tout $f$, ce qui est la topologie de la page 41 (article 11, « sections sur chaque fibre »), et la condition « $0 \neq 1$ » en demandant que le schéma vide soit couvert par la famille vide. Le manuscrit passe par les pseudo-corps (rendre $D \to O$ inversible, i.e. $A \simeq A_{f} \times A/f$ pour tout $f$), ce qui est correct : un corps est un anneau absolument plat local, ou, comme la page 41 le dit, « pseudo-corps local ». Le mot « Zariski » pour la topologie sur $R'$ est le sien ; sur la catégorie $R'$ des schémas absolument plats les recouvrements de Zariski sont les recouvrements $\{V(f), D(f)\}$, et c'est bien ce qu'il faut. « Le corps universel est le faisceau structural » : l'anneau générique du topos classifiant est un corps au sens interne, énoncé qui est aujourd'hui le premier exemple de la théorie (Johnstone, Wraith). ↩
La conclusion est exacte pour la raison qu'il indique : un élément régulier universellement — après tout changement de base — est inversible, car son image dans le corps résiduel d'un idéal maximal doit être non nulle. Le sous-type des non-diviseurs de zéro tout court n'est pas géométrique (il n'est pas stable par changement de base), et c'est la réponse à la question posée. ↩
$\mathrm{Cat}_{\lambda}$ est la $\Delta$ des pages précédentes avec $d = \lambda$, et $T_{\lambda}$ est la « théorie sur $\Delta$ » de la page 83 ; la copie au net remplace $\Delta$ par $\mathrm{Cat}_{\lambda}$ et « théorie » par « type » — nous suivons la copie dans cette section et renvoyons, pour les mêmes objets, aux pages 62 à 87 par leurs numéros. Le « 1-fidèle » de (1.5) et de « $\mathrm{Cat}_{ \lambda} \hookrightarrow \mathrm{Cat}$ » désigne un 2-foncteur pleinement fidèle sur les 2-flèches (une sous-2-catégorie « 2-pleine », mais non pleine sur les 1-flèches) ; cette lecture est celle que les usages ultérieurs — « 2-fidèle » pour la 2-catégorie des $\lambda$-types dans les cofibrées, page 97 — imposent. ↩
« Foncteur 0-fidèle » dans le manuscrit : fidèle sur les 1-flèches, sans rien demander des objets. Que la structure détermine fidèlement les objets de base est ce que « objets de base » veut dire ; c'est la Remarque 1 de la page 86. ↩
Le manuscrit numérote (3.5) deux formules, la seconde étant notre (3.6) ; nous renumérotons. La catégorie des constructions est ce que la page 81 note $B_{T}$ ; une construction est un « terme » de la théorie, un moyen de fabriquer un objet de $C$ à partir de toute $T$-structure sur $C$, et $\xi^{\lambda}$ est son évaluation. La marge gauche de la page 98 annonce des formules (3.7) et (3.8) — le foncteur $T(C) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\lambda}(R^{\lambda}_{T}, C)$ transposé de (3.4) — qui sont celles de [4]. ↩
Le manuscrit écrit « catégorie $\lambda$-modelaire » ; la page 111 dira « topos modulaire » et « catégorie modulaire ». Nous disons modelante ici et topos classifiant plus loin, en signalant chaque fois le mot du manuscrit ; c'est la catégorie que la littérature appelle syntaxique ou classifiante. ↩
C'est la définition « par présentation » des théories : sortes, opérations, axiomes, produits fibrés ; b) code les axiomes par l'inversibilité d'une flèche entre constructions, ce qui, avec le dédoublement des sommets (page 31), couvre les égalités et les conditions d'exactitude — la question du N.B. a donc une réponse positive, que la page 84 avait déjà donnée en marge. L'ensemble a)–d) est ce que la théorie des esquisses formalise en une fois : un $\lambda$-$I$-type est une esquisse petite à limites de types $\lambda$, et ses modèles dans $C$ sont $T(C)$. ↩
Ce sont, dans l'ordre, les problèmes 1, 2, « ajouter des flèches » et « composition » des pages 82–85 ; la question de l'engendrement est celle de savoir si la clôture transfinie sous les $\lambda$-limites de l'image de $I$ est toute la catégorie construite, ce qui est vrai par construction lorsque $\lambda$ est petit (page 76, Question). ↩
La réponse est négative en général : « $S$ détecte les 2-flèches » est strictement plus faible que « $S$ engendre par $\lambda$-limites » — la première propriété ne voit pas les facteurs directs, par exemple —, et 5.6 en tire la conséquence qu'il faut « peut-être renforcer la notion de sous-catégorie $\lambda$-engendrée, en tenant compte des flèches, pas seulement des objets ». ↩
Pour $\lambda = $ limites finies, $\lambda' = $ toutes les limites, c'est le second corollaire de la page 78 : pleinement fidèle, d'image les morphismes cohérents. La réserve « $\overrightarrow{\lambda} = \emptyset$ » est justifiée : dès qu'il y a des limites inductives dans $\lambda$, l'enveloppe $\mathrm{Cat}_{\lambda} \to \mathrm{Cat}_{\lambda'}$ ne conserve plus les catégories modelantes « à générateurs près », et la restriction perd des morphismes. Le manuscrit nomme les $\lambda'$-catégories enveloppes « analysantes », mot que nous lisons sous réserve. ↩
C'est pourquoi tout ce qui suit sur $\overrightarrow{\lambda} = \emptyset$ vaut aussi pour $\overleftarrow{\lambda} = \emptyset$, « bien sûr, on a un énoncé dual pour les $\varinjlim$ » (page 104). La numérotation saute (7.2) et (7.5), biffés sur la page. ↩
Le manuscrit fait précéder l'assertion de deux hypothèses de taille — « l'hypothèse « $\widehat{C}$ une $\mathcal{U}$-catégorie » est essentielle » (marge de la page 104), « pour tout $C$ tel que $\widehat{C}$ soit une $\mathcal{U}$-catégorie » (page 105) —, et d'un alinéa biffé qui les discutait ; elles sont satisfaites pour $C$ essentiellement petite, ce que nous supposons. L'équivalence (8.2.8) est la formule $T_{R}(\widehat{J}) \simeq \mathrm{Hom}(J^{\circ}, T_{R}(\mathrm{Ens}))$ de la page 65. ↩
C'est la « définition par les points » d'une structure algébrique dans une catégorie : un groupe dans $C$ est un objet $G$ avec une structure de groupe sur chaque $\mathrm{Hom}(Z, G)$, naturelle en $Z$. L'énoncé (8.2.10) dit exactement quand une telle donnée provient de $C$ : quand les objets sous-jacents sont représentables ; et sa forme générale, pour toute théorie à limites projectives, est ce que la page 67 avait déjà établi. Le manuscrit écrit l'indice « $i \in Z$ » au lieu de « $i \in I$ » dans la première famille. ↩
Le manuscrit écrit « tout $\xi \in C_{\lambda}$ » là où le sens exige $\xi \in T(C)$, ce que la page 68 écrit ; nous avons rétabli. Ce que la phrase interrompue allait dire est la page 68 : une équivalence $\Sigma^{\circ} \simeq R$, i.e. la catégorie modelante se retrouve dans les modèles ensemblistes comme la sous-catégorie des objets « représentables en toute construction ». Pour $\lambda$ = limites finies c'est $\Sigma = S_{\mathrm{pf}}$ et la dualité de Gabriel–Ulmer (page 77) ; en général $R^{\circ} \subset \Sigma$ est clair (page 68, note) et l'égalité est ce que la copie n'a pas eu le temps d'écrire. La stabilité de $\Sigma$ par limites inductives de type $\lambda$ est celle de la page 68, avec la même démonstration. ↩
C'est la description explicite de l'image inverse par un morphisme de topos vers un topos de préfaisceaux : $f^{*}(X)$ pour $X$ représentable est $f_{0}(X)$, et pour $X$ quelconque une limite inductive de tels. L'énoncé « Prouver que si $X \in \mathrm{Ob}\,C$, l'application précédente est une bijection » est posé, et la ligne qui suit le prouve. La formule $T(\mathrm{Ens}) = \mathrm{Ind}(C^{\circ})$, ajoutée à l'encre bleue, et $\mathrm{Pro}(C) \simeq T(\mathrm{Ens})^{\circ}$ plus bas, sont le cas des limites finies de (8.2.15) et de la page 77. ↩
Le feuillet est au crayon, très pâle, et la moitié des mots de liaison est perdue ; ce paragraphe est la reconstruction de son argument, et il est correct : l'image inverse d'un champ sur un topos de préfaisceaux se calcule en prolongeant sa restriction à $C$ aux pro-objets (par limites projectives, ce que « covariant en l'objet de $T(\mathrm{Ens})$ » désigne), en composant avec le foncteur $U \mapsto O_{E}(U)$, et en prenant le champ associé. C'est le cas $\mathrm{Cat}$-valué de (8.2.10). ↩
Cela marche : les produits fibrés de topos existent (page 21, SGA 4 IV 8.2), et $B \times_{B_{I}} X$ classifie exactement les $T$-structures sur $X'$ dont les objets de base sont les $E'_{i}$ — c'est l'exemple type de ce que le produit fibré de classifiants classifie. Le mot « modulaire » du titre, et « catégorie modulaire » à la ligne suivante, est celui que la page 98 écrit « modelaire » : le topos des modèles. ↩
Le programme est celui des topos modulaires — au sens de : topos des modules d'une structure — relatifs à une base, qui est la forme que prendra, chez Hakim, la construction des schémas relatifs à un topos annelé, et, en logique catégorique, la notion de topos classifiant relatif. Le dossier s'arrête au moment où la question est posée dans les bons termes. ↩

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le théorème de la \(\Delta\)-enveloppe (pages 3 à 15, reprise pages 26 à 31)

Le cadre

L'énoncé

La construction transfinie

Conditions d'exactitude : la 2-catégorie \(\Delta_{f}\)

Une typologie des conditions d'exactitude

La reprise générale : \(\Delta_{\sigma,\rho}\) (pages 26 à 31)

Théories algébriques et topos classifiants (pages 17 à 24)

Le topos enveloppe d'une catégorie à limites finies

Le théorème : théories algébriques et topos

Produits 2-fibrés de topos et passage à la limite

Deux feuillets d'exemples : le topos d'un objet

Deux feuilles de travail : théories de Lawvere, monades, descente (pages 33 et 34)

Le cahier des axiomes d'anneaux et de leurs topos classifiants (pages 36 à 50)

Le dispositif

Sous-topos ouverts du classifiant

La liste

Caractéristique, et le recollement de deux sous-topos

La question des points

Propriétés typiques (pages 51 et 52)

Catégories accessibles (pages 54 à 61)

Le relevé

Accessibilité et générateurs

Foncteurs strictement générateurs

Cocomplète à générateur dense : la question de l'accessibilité

Le lemme sur \(\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})\), et la caractérisation

Compléments : théories sur \(\Delta\), et le passage aux préfaisceaux (pages 62 à 68)

Caractériser les familles d'objets de base

Conditions intrinsèques, conditions à la Schanuel, changement de \(\Delta\)

Limites dans \(T(C)\), et le carré 2-cartésien

Théories définies par limites projectives : \(R^{\circ} \subset S \subset \widehat{R^{\circ}}\)

Exemples : les théories définies par des limites (pages 69 à 80)

Trois cas triviaux

Toutes les limites projectives : \(\Delta_{1}\)

Limites de type \(d'\) : enveloppes et théorème

Limites finies : \(R\), \(T\), \(S\), \(\Sigma\) se déterminent mutuellement

La liste des cas à traiter

L'adjonction entre théories et catégories, et les constructions explicites (pages 81 à 87)

\(\sigma \dashv \rho\)

Les constructions explicites \(B'_{T}\)

Réciproque : d'une catégorie à générateurs à une théorie

Les dictionnaires (pages 89 à 91)

\(\lambda\) fini : ce que \(S\) retient de \(R\)

\(\lambda\) quelconque, puis \(\lambda = (\lambda_{1}, \emptyset)\)

Le corps universel (pages 92 à 95)

\(\lambda\)-types : la copie au net (pages 97 à 106)

[1] \(\lambda\)-catégories et \(\lambda\)-types

[2] Objets de base ; \(\lambda\)-\(I\)-types

[3] Constructions ; [4] représentabilité

[5] Les règles de formation, et les questions

[6] \(\lambda\) variable ; [7] dualité

[8] Structures définies par limites projectives : limites, pleine fidélité, carrés 2-cartésiens

8.2.12 : reconstruire \(R\) à partir de \(S\)

Topos classifiant, structure universelle, topos modulaire (pages 108 à 111)

L'image inverse de la structure universelle

Topos modulaire pour des structures sur objets d'un topos fixé

Notes