Cote n° 161-1 · batch 1 · pages 1–19 · Lecture modernisée · Catégories : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

3–3

La partie fixe d'une adjonction (pages 3 à 5)

Soit un couple de foncteurs adjoints \[ E \underset{v}{\overset{u}{\rightleftarrows}} F, \qquad \eta : \mathrm{id}_E \to vu, \quad \varepsilon : uv \to \mathrm{id}_F, \] \(u\) adjoint à gauche de \(v\).¹

3–3

Restriction aux sous-catégories pleines

Pour une sous-catégorie pleine \(E' \subset E\) et \(X, Y \in E'\), l'application composée \[ \mathrm{Hom}_E(X, Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_F(uX, uY) \simeq \mathrm{Hom}_E(X, vuY) \] n'est autre que \(\mathrm{Hom}(X, \eta_Y)\). Il en résulte aussitôt : si \(\eta_Y\) est un isomorphisme (resp. un monomorphisme) pour tout \(Y \in E'\), alors \(u|E'\) est pleinement fidèle (resp. fidèle). En notant \(\overline{E}'\) la clôture de \(E'\) par isomorphie, on a l'équivalence \[ \text{(1)} \quad u|E' \text{ pl. fidèle et } vu(E') \subset \overline{E}' \iff \forall\, Y \in E',\ \eta_Y : Y \xrightarrow{\ \sim\ } vu(Y), \] et, dualement, pour \(F' \subset F\) pleine : \[ \text{(2)} \quad v|F' \text{ pl. fidèle et } uv(F') \subset \overline{F}' \iff \forall\, P \in F',\ \varepsilon_P : uv(P) \xrightarrow{\ \sim\ } P. \] Le manuscrit se demande en marge si la seconde condition de (1) est vraiment nécessaire — « donner un exemple montrant que cette condition n'est pas surabondante, avec \(E'\) réduit à un élément ». Elle l'est : la pleine fidélité de \(u|E'\) ne force pas \(vu\) à ramener \(E'\) dans \(\overline{E}'\).

Les sous-catégories strictement pleines \(E'\) vérifiant (1) et \(F'\) vérifiant (2) se correspondent bijectivement par image essentielle, \(\alpha(E') = \overline{u(E')}\) et \(\beta(F') = \overline{v(F')}\), et pour un couple \((E', F')\) se correspondant, les foncteurs induits \(u' : E' \to F'\) et \(v' : F' \to E'\) sont des équivalences quasi-inverses.

4–4

Les points fixes

Posons \[ E_0 = \{\, Y \in E \mid \eta_Y \text{ iso} \,\}, \qquad F_0 = \{\, P \in F \mid \varepsilon_P \text{ iso} \,\}, \] sous-catégories strictement pleines : la plus grande \(E'\) vérifiant (1), la plus grande \(F'\) vérifiant (2). Alors \[ F_0 = \overline{u(E_0)}, \qquad E_0 = \overline{v(F_0)}, \] et \(u\), \(v\) induisent des équivalences quasi-inverses \(E_0 \simeq F_0\).²

5–6

Adjonctions idempotentes

La page 5 dresse la liste des conditions équivalentes suivantes — on dit aujourd'hui que l'adjonction est idempotente lorsqu'elles sont remplies :

1. \(\mathrm{Im}\, v \subset E_0\), et de même \(\mathrm{Im}\, u \subset F_0\) ;
2. \(\eta v : v \xrightarrow{\ \sim\ } vuv\), et de même \(\varepsilon u : uvu \xrightarrow{\ \sim\ } u\) ;³
3. \(\mathrm{Im}\, v \subset E_0\) et l'inclusion \(E_0 \subset E\) admet un adjoint à gauche ; de même \(\mathrm{Im}\, u \subset F_0\) et l'inclusion \(F_0 \subset F\) admet un adjoint à droite ;
4. \(u\) se factorise en \(E \xrightarrow{u_1} F_1 \xrightarrow{\beta} F\) avec \(\beta\) pleinement fidèle et \(u_1\) une localisation, et \(v\) se factorise dualement.⁴

Sous ces conditions, l'inclusion \(F_0 \subset F\) admet pour adjoint à droite \(u_0 \circ v'\) (\(v' : F \to E_0\) la corestriction de \(v\)), et l'inclusion \(E_0 \subset E\) admet pour adjoint à gauche \(v_0 \circ u'\) (\(u' : E \to F_0\) la corestriction de \(u\)) : \(E_0\) est réflexive dans \(E\), \(F_0\) coréflexive dans \(F\). Les deux petits calculs de Hom du manuscrit sont exactement les preuves modernes. Et la structure complète se reconstruit : la donnée d'une adjonction idempotente \((u, v)\) entre \(E\) et \(F\) équivaut à la donnée

• d'une sous-catégorie strictement pleine réflexive \(E_0 \subset E\) (adjoint à gauche \(\alpha'\) de l'inclusion \(\alpha\)),
• d'une sous-catégorie strictement pleine coréflexive \(F_0 \subset F\) (adjoint à droite \(\beta'\) de l'inclusion \(\beta\)),
• d'une équivalence \(E_0 \underset{v_0}{\overset{u_0}{\rightleftarrows}} F_0\),

en posant \(u = \beta u_0 \alpha'\) et \(v = \alpha v_0 \beta'\).

Deux exemples dégénérés ouvrent la page 6 : si \(E\) est ponctuelle, \(v\) est l'unique foncteur \(F \to E\), son adjoint à gauche existe si et seulement si \(F\) a un objet initial, et cet adjoint (qui pointe l'objet initial) est pleinement fidèle ; dualement avec un objet final.

6–7

Localisations et objets locaux (pages 6 et 7)

Soit \(\alpha : E_1 \to E\) pleinement fidèle admettant un adjoint à gauche \(\alpha'\) — une sous-catégorie réflexive, autrement dit — de sorte que \(\alpha'\) est une localisation : \(E_1 \simeq E[\Sigma^{-1}]\), où \(\Sigma\) est la classe des flèches que \(\alpha'\) inverse. Grothendieck pose alors une question de descente d'adjoints : si \(\beta : E_1 \to F\) est pleinement fidèle et si \(u = \beta\alpha'\) admet un adjoint à droite, \(\beta\) en admet-il un ?

Il la réduit, en supposant \(\mathrm{Ob}\,F = \mathrm{Ob}\,E_1 \cup \{a\}\), à une question de représentabilité pure : un foncteur \(\psi : E_1^{\circ} \to \mathrm{Ens}\) tel que \(\psi \circ \alpha'\) soit représentable est-il représentable ? Comme les foncteurs sur \(E_1^{\circ}\) s'identifient aux foncteurs sur \(E^{\circ}\) qui inversent \(\Sigma\), cela devient une question de reconnaissance : si \(\xi \in E\) est tel que \(\mathrm{Hom}_E(-, \xi)\) transforme les flèches de \(\Sigma\) en bijections — un objet \(\Sigma\)-local, dirait-on aujourd'hui — existe-t-il \(\xi_1 \in E_1\) avec \[ \mathrm{Hom}_E(X, \xi) \simeq \mathrm{Hom}_{E_1}(\alpha' X, \xi_1) \quad (\simeq \mathrm{Hom}_E(X, \alpha\,\xi_1)) \] fonctoriellement en \(X\) — autrement dit, \(\xi\) est-il dans l'image essentielle de \(\alpha\) ? La page vérifie que \[ (f : X \to Y) \in \Sigma \iff \mathrm{Hom}_E(Y, \alpha Z_1) \simeq \mathrm{Hom}_E(X, \alpha Z_1) \ \text{ pour tout } Z_1 \in E_1, \] et conclut : « Or c'est vrai sauf erreur… ». C'est vrai, en effet, et c'est aujourd'hui un lemme fondamental de la théorie des localisations réflexives : l'image essentielle d'une sous-catégorie réflexive est exactement la sous-catégorie des objets locaux pour les flèches inversées par le réflecteur.⁵

9–9

Le produit tensoriel sans parenthèses (pages 9 et 10)

Le manuscrit écrit « \(\otimes\)-catégorie AUC » — associative, unitaire, commutative — pour ce qu'on appelle aujourd'hui une catégorie monoïdale symétrique.⁶

9–9

La catégorie des familles finies

Pour une catégorie \(A\), soit \(\Phi(A)\) la catégorie des familles finies d'objets de \(A\) : un objet est un couple \((I, (L_i)_{i \in I})\), \(I\) ensemble fini ; un morphisme \((I, (L_i)) \to (J, (M_j))\) est un couple d'une bijection \(\tau : I \xrightarrow{\sim} J\) et d'isomorphismes \(\varphi_i : L_i \xrightarrow{\sim} M_{\tau(i)}\).⁷ La réunion disjointe des familles, \[ (I, (L_i)) \otimes (J, (M_j)) = (I \sqcup J,\ (L_i;\ M_j)), \] fait de \(\Phi(A)\) une catégorie monoïdale symétrique : associativité par celle de \(\sqcup\), unité la famille vide, symétrie par l'échange des deux cofacteurs — et tout cela sans utiliser la moindre structure sur \(A\), comme le note le manuscrit. Le cardinal découpe \(\Phi(A)\) en tranches, \[ \Phi(A) = \coprod_{n \geq 0} \Phi_n(A), \qquad \Phi_0(A) = \{e\}, \quad \Phi_1(A) \simeq A. \]

Propriété universelle (la Proposition de la page 9) : pour toute catégorie monoïdale symétrique \(C\), la restriction à \(\Phi_1(A) \simeq A\) \[ \underline{\mathrm{Hom}}^{\otimes}(\Phi(A), C) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(A, C) \] est une équivalence de catégories — \(\Phi(A)\) est libre. La démonstration est laissée en quatre points de suspension (« Dém. …. »).

9–10

Produits non parenthésés

Le corollaire est le vrai but : pour toute catégorie monoïdale symétrique \(C\), il existe, à isomorphisme unique près, un unique foncteur monoïdal symétrique \[ \pi : \Phi(C) \longrightarrow C \] qui vaut l'identité sur \(\Phi_1(C)\). Pour une famille finie \((I, (L_i))\), l'objet \(\pi((L_i))\) est le produit tensoriel de la famille — défini sans choisir d'ordre ni de parenthésage. Réciproquement, la donnée d'un tel \(\pi\), identité sur \(\Phi_1(C)\) et rendant commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\Phi_2(C) \arrow[r, "\pi\vert\Phi_2"] & C \\
C \times C \arrow[u] \arrow[ur, "\otimes"'] &
\end{tikzcd}

équivaut à la donnée d'une structure monoïdale symétrique sur \(C\) prolongeant \(\otimes\) : c'est la présentation non biaisée des catégories monoïdales, et l'équivalence des deux présentations est précisément un théorème de cohérence.⁸

Contractions, inverses et le signe (pages 11 et 12)

11–11

Familles à couples contractés

La page 11 enrichit \(\Phi(C)\) : soit \(\Phi^{c}(C)\) la catégorie des couples \((\xi, \gamma)\) où \(\xi = (I, (L_i))\) est une famille finie et où \(\gamma\) consiste en un ensemble \(\gamma'\) (éventuellement vide) de paires disjointes \(J = \{j', j''\} \subset I\), munies chacune d'un accouplement parfait \[ L_{j'} \otimes L_{j''} \longrightarrow \mathbf{1}_C \] — une dualité. Deux foncteurs d'oubli \(\mathrm{inc}, \mathrm{res} : \Phi^{c}(C) \to \Phi(C)\) gardent respectivement toute la famille et la seule partie non contractée, et il existe un morphisme canonique de foncteurs monoïdaux symétriques \[ c\ :\ \pi \circ \mathrm{inc} \longrightarrow \pi \circ \mathrm{res}, \] la contraction : évaluer chaque paire appariée contre son accouplement, comme on contracte un indice haut contre un indice bas en calcul tensoriel. C'est, en substance, le calcul graphique des catégories monoïdales à duaux — évaluations et « ficelles » comprises, la page 12 en dessine.

12–12

Objets inversibles et le signe \(\varepsilon(L)\)

Pour deux objets \(L_a\), \(L_b\), les deux produits \(L_a \otimes L_b\) et \(L_b \otimes L_a\) se correspondent par la symétrie ; mais si \(L_a = L_b = L\), la symétrie devient un automorphisme de \(L \otimes L\), d'ordre 2, et il n'y a pas d'isomorphisme canonique entre \(L \otimes L\) et le produit non ordonné \(\pi(L, L)\) de la famille à deux éléments : en choisir un, c'est choisir un ordre total sur l'ensemble d'indices.⁹

Si \(L\) est inversible, l'obstruction se mesure : la symétrie de \(L \otimes L\) s'identifie à un élément \[ \varepsilon(L) \in \mathrm{Aut}(\mathbf{1}_C), \qquad \varepsilon(L)^2 = 1, \] et le passage d'une identification \(\pi(L,\dots,L) \simeq L^{\otimes n}\) à une autre, via une permutation \(\sigma\), se fait par \(\varepsilon(L)^{\mathrm{sign}(\sigma)}\). L'ambiguïté disparaît exactement quand tous les \(\varepsilon(L)\) valent \(1\) : les catégories de Picard du manuscrit — tout objet inversible, tous les signes triviaux.¹⁰

Enfin, l'inverse d'un objet inversible \(L\) : un \(L'\) muni d'un isomorphisme \(L \otimes L' \simeq \mathbf{1}\) — d'où, par la symétrie, un isomorphisme \(L' \otimes L \simeq \mathbf{1}\) ; la relation est symétrique et le couple \((L, L')\) peut se donner sans ordre, par un isomorphisme \(\pi(L, L') \simeq \mathbf{1}\) sur le produit non ordonné. La page 12 compare alors deux trivialisations de \(L' \otimes L\) : celle obtenue de \(\varphi_{L,L'} : L \otimes L' \simeq \mathbf{1}\) en composant avec la symétrie, \(\varphi_{L',L} = \varphi_{L,L'} \circ s_{L',L}\), et celle, \(\psi_{L',L}\), définie par l'identité triangulaire \[ \varphi_{L,L'} \otimes \mathrm{id}_L = \mathrm{id}_L \otimes \psi_{L',L} \ :\ L \otimes L' \otimes L \longrightarrow L. \] « Relations entre \(\varphi_{L',L}\) et \(\psi_{L',L}\) ? » demande la page, qui s'interrompt sur le carré de naturalité de la symétrie et trois colonnes de ficelles. La réponse — qu'il a visiblement en main — est que les deux diffèrent précisément du facteur \(\varepsilon(L)\) : c'est la version « inverses » du signe du paragraphe précédent.

13–13

Théories et leurs constructions (page 13)

Une page isolée — la page 2 d'une note dont la première page n'est pas dans la chemise, barré d'un grand trait oblique — travaille sur des théories au sens catégorique : une théorie \(T\) est une catégorie à limites finies (resp. à limites quelconques), un modèle de \(T\) dans une catégorie \(C\) à limites finies est un foncteur \(T \to C\) exact à gauche, et \(T(C)\) désigne la catégorie des modèles.¹¹ Les théories forment une 2-catégorie \(\mathcal{T}\) (resp. \(\mathcal{T}_0\)), et, un ensemble \(I\) étant fixé, les \(I\)-morphismes de théories en forment une autre, \(\mathcal{T}^{(I)}\), avec un carré évident de 2-foncteurs les comparant.

La notion mise en avant est celle de construction pour une théorie \(T\) : un morphisme de théories \[ T \longrightarrow \dot{\imath}, \] où \(\dot{\imath}\) est la théorie de l'« ensemble de base sans structure », celle dont les modèles dans \(C\) redonnent \(C\) : \(\dot{\imath}_C = C\). Les constructions forment une catégorie \[ \Gamma^{T} = \underline{\mathrm{Hom}}(T, \dot{\imath}), \] qui a des limites finies (resp. des limites), munie d'une évaluation \(\Gamma^{T} \times T \to \dot{\imath}\) : pour tout modèle \(\xi \in T(C)\), le foncteur \(w \mapsto w(\xi)\), de \(\Gamma^{T}\) vers \(C\), commute aux limites en question. En langage d'aujourd'hui : \(\Gamma^{T}\) est la catégorie des opérations naturelles sur les modèles de \(T\) — ce que toute structure de type \(T\) sait fabriquer, uniformément en la structure — et l'évaluation est le premier pas vers l'adjonction structure–sémantique.¹²

Prolongements : préfaisceaux, densité, topos (pages 15, 17, 19)

15–15

Une fausse piste réfutée (page 15)

Première question : \(C\) petite à limites finies, \(\varphi : C \to \mathrm{Ens}\) exact à droite ; le prolongement \(\overline{\varphi}(\psi) = \mathrm{Hom}(\psi, \varphi)\) aux préfaisceaux est-il encore exact à droite — transforme-t-il les limites projectives finies de préfaisceaux en limites inductives d'ensembles ? Il faudrait pour cela, note la page, que \(\varphi\) soit un objet injectif : que tout morphisme \(\psi \to \varphi\) s'étende le long de tout monomorphisme \(\psi \to \psi'\). En prenant \(\psi = \varphi\) et \(\psi' = \varphi \sqcup \rho\), cela forcerait \(\mathrm{Hom}(\rho, \varphi) \neq \emptyset\) pour tout \(\rho\). « Mais c'est toujours faux » : prendre pour \(\rho\) un foncteur constant de valeur non vide et un \(\varphi\) à valeur vide quelque part — \(\mathrm{Hom}(x, \emptyset) = \emptyset\). Deux lignes, et la question est close.

15–15

Le prolongement de Kan et la reconnaissance des topos

Seconde question, celle qui porte : \(C\) petite à limites finies, \(E\) à limites finies et petites colimites, \(\varphi : C \to E\) exact à gauche, et \(\overline{\varphi} : \widehat{C} \to E\) le prolongement commutant aux petites colimites — l'extension de Kan à gauche de \(\varphi\) le long du plongement de Yoneda. Sous quelles conditions sur \(E\) le prolongement \(\overline{\varphi}\) est-il encore exact à gauche ? « On sait que c'est OK si \(E\) est un topos.¹³ Réciproque ? »

Et la réciproque est aussitôt esquissée : supposons \(\varphi\) strictement générateur — l'image de \(C\) engendre \(E\) par colimites, de façon dense. Alors le foncteur \(E \to \widehat{C}\), \(X \mapsto \mathrm{Hom}(\varphi(-), X)\), est pleinement fidèle et \(\overline{\varphi}\) en est l'adjoint à gauche : \(E\) est une localisation réflexive de \(\widehat{C}\). Donc si \(\overline{\varphi}\) est exact à gauche, \(E\) est une localisation exacte à gauche d'une catégorie de préfaisceaux — « \(E\) est un topos ». C'est, énoncé sur une demi-page, le théorème de reconnaissance de Giraud.¹⁴

17–19

Densité : le calcul complet (pages 17 et 19)

Les deux derniers pages font le calcul général qui sous-tend tout cela. Soient \(C \subset E\) une sous-catégorie pleine strictement génératrice — dense, dit-on aujourd'hui : tout \(X \in E\) est colimite canonique \(X = \varinjlim_{Y \in C/X} Y\) — et \(F\) une catégorie à petites colimites. L'extension de Kan et la restriction \[ \underline{\mathrm{Hom}}(C, F) \underset{\beta}{\overset{\alpha}{\rightleftarrows}} \underline{\mathrm{Hom}}(E, F), \qquad \alpha(\varphi)(X) = \varinjlim_{Y \in C/X} \varphi(Y), \quad \beta(\psi) = \psi|C, \] forment une adjonction, \(\mathrm{Hom}(\alpha\varphi, \psi) \simeq \mathrm{Hom}(\varphi, \beta\psi)\), avec \(\beta\alpha \simeq \mathrm{id}\) : \(\alpha = i_!\) est pleinement fidèle, comme \(i\).¹⁵

Quand \(\psi\) commute aux petites colimites, on a \(\alpha\beta(\psi) \simeq \psi\) puisque \(X = \varinjlim_{C/X} Y\). Notant \(\underline{\mathrm{Hom}}'(E, F)\) les foncteurs commutant aux petites colimites, et \(\underline{\mathrm{Hom}}'(C, F)\) les \(\varphi\) vérifiant la condition de compatibilité

(*) pour tout système inductif \((Y_i)\) de \(C\) dont la colimite dans \(E\) appartient encore à \(C\), \(\varphi\) envoie cette colimite sur \(\varinjlim \varphi(Y_i)\),

la restriction induit un foncteur pleinement fidèle \[ \beta' : \underline{\mathrm{Hom}}'(E, F) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}'(C, F), \] et la question est de savoir si c'est une équivalence — c'est-à-dire si \(\alpha\) envoie \(\underline{\mathrm{Hom}}'(C, F)\) dans \(\underline{\mathrm{Hom}}'(E, F)\). Par un système inductif double, tout se ramène au

Lemme. Si \(\varphi\) vérifie (*), alors pour tout système inductif \((Y_i)\) dans \(C\) ayant une colimite \(Y\) dans \(E\), le morphisme canonique \(\varinjlim \varphi(Y_i) \to \alpha\varphi(Y)\) est un isomorphisme.¹⁶

Cela revient à comparer les colimites de \(\varphi\) sur les deux systèmes \((Y_i)\) et \(C/Y \to C\), donc à la cofinalité du foncteur \(I \to C/Y\). « Cela est-il cofinal ? C'est vrai en tout cas si pour tout diagramme fini dans \(C\), la colimite dans \(E\) existe et est dans \(C\). » Un point d'interrogation en marge ferme le dossier — la question de cofinalité, en général, reste ouverte sur ces pages.