Fonds Grothendieck, cote n° 161-1, pages 1–19

Titre porté au crayon sur l'onglet de la chemise : « Catégories ». chemise du dossier

Foncteurs adjoints (pages 3 à 7)

En tête, à droite : « Foncteurs adjoints [demander Schanuel] ».

Soit E \underset{v}{\overset{u}{\rightleftarrows}} F, \qquad i : \mathrm{id}_E \to vu, \quad j : uv \to \mathrm{id}_F, un couple de foncteurs adjoints.

a) Soit E' une sous-catégorie pleine de E. Notons que pour X, Y \in \mathrm{Ob}\,E', l'application \mathrm{Hom}_{E'}(X,Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{F}(uX, uY) \quad (\simeq \mathrm{Hom}(X, vuY)) sous le premier membre, le manuscrit rappelle \mathrm{Hom}_{E'}(X,Y) = \mathrm{Hom}_{E}(X,Y) se déduit de l'application i(Y) : Y \to vu(Y) au moyen de \mathrm{Hom}(X, i(Y)). Donc pour que ce soit bijectif (resp. injectif) pour \forall X, Y \in \mathrm{Ob}\,E' — i.e. u|E' pl. fidèle (resp. fidèle) — il suffit que \forall Y \in \mathrm{Ob}\,E', i(Y) : Y \to vu(Y) soit un isomorphisme (resp. un mono). C'est aussi nécessaire si on sait que vu(E') \subset \overline{E}'. la parenthèse qui suivait est raturée au point d'être illisible ; la ligne porte plusieurs corrections superposées On trouve donc

(1) u|E' pl. fidèle et vu(E') \subset \overline{E}' \iff \forall Y \in \mathrm{Ob}\,E', i(Y) : Y \xrightarrow{\ \sim\ } vu(Y).

donner un exemple montrant que cette condition n'est pas surabondante, avec E' réduit à un élément

b) Soit F' une sous-catégorie pleine de F. Notons que pour P, Q \in \mathrm{Ob}\,F', l'application \mathrm{Hom}_{F'}(P,Q) \longrightarrow \mathrm{Hom}(vP, vQ) \quad (\simeq \mathrm{Hom}(uvP, Q)) même rappel en dessous : \mathrm{Hom}_{F'}(P,Q) = \mathrm{Hom}_F(P,Q) se déduit des j(P) : uv(P) \to P par \mathrm{Hom}(j(P), Q). Donc pour que v|F' soit fidèle (resp. pl. fidèle), il suffit que \forall P \in \mathrm{Ob}\,F', j(P) soit un épi. (resp. un isom). Donc on a de même :

(2) v|F' pl. fidèle et uv(F') \subset \overline{F}' \iff \forall P \in \mathrm{Ob}\,F', j(P) : uv(P) \xrightarrow{\ \sim\ } P.

suit une reprise de (2), encadrée d'un long trait et biffée, qui précisait « strictement pleine \subset E » et « strictement pleines »

c) L'ensemble des E' strictement pleines satisfaisant (1), et des F' strictement pleines satisfaisant (2), est en correspondance biunivoque, en posant \alpha(E') = \text{image essentielle de } u|E' = \overline{u(E')}, \qquad \beta(F') = \text{image essentielle de } v|F' = \overline{v(F')}. « strictement pleines » est chaque fois une correction interlinéaire de la main de l'auteur

Si E' et F' sont des sous-catégories str. pleines de E resp. F, les conditions suivantes sont équivalentes :

E' satisfait (1), F' satisfait (2), et E' et F' se correspondent comme ci-dessus ; u(E') \subset F', v(F') \subset E', et u' et v' pl. fidèles ; —— et u' est une équivalence ; —— et v' est une équivalence ; —— et u' et v' pl. fid.

en marge droite, une sixième condition esquissée reprend (1) et (2) : « ……, et \forall Y \in \mathrm{Ob}\,E', i(Y)… ; \forall P \in \mathrm{Ob}\,F', j(P) : uv(P) \to… » — la fin rognée par le bord de la page

d) ~~Passons maintenant~~ Soit E_0 la sous-catégorie str. pleine de E formée des Y \in \mathrm{Ob}\,E tels que i(Y) : Y \xrightarrow{\ \sim\ } vu(Y). C'est donc la plus grande des sous-catégories pleines E' de E satisfaisant (1), et si E' est une sous-catégorie pleine de E, elle satisfait (1) ssi E' \subset E_0. On définit de même la sous-catégorie str. pleine F_0 de F formée des P \in \mathrm{Ob}\,F tels que j(P) : uv(P) \xrightarrow{\ \sim\ } P, une sous-catégorie pleine F' de F satisfaisant (2) ssi F' \subset F_0. Ceci posé, on a F_0 = \overline{u(E_0)}, \qquad E_0 = \overline{v(F_0)} (i.e. F_0 = image ess. de u|E_0, E_0 = image ess. de v|F_0) et u et v induisent sur E_0 et F_0 des équivalences inverses l'une de l'autre.

e) Pour que l'on ait v(F) \subset E_0, il faut et il suffit que pour \forall P \in \mathrm{Ob}\,F, on ait v(P) \xrightarrow{\ i(v(P))\ } vuv(P) \quad \text{(isomorphisme)} (v(j(P)) sera alors l'inverse ??).

En un mot, il faut et il suffit que v se factorise en F \xrightarrow{v_1} E_1 \xrightarrow{\alpha} E, avec \alpha pl. fidèle, v_1 passage à cat. des fractions. [NB nécessairement v_1 aura un adjoint à g., sav. u_1 = u|E_1, mais pas néc. \alpha]

Dans ce cas, E_0 est l'image essentielle de v, et l'inclusion F_0 \subset F admet un adjoint à droite, savoir u_0 \circ (v \text{ astreint à } E_0), noté v' : la phrase est surchargée de ratures ; la lecture « F_0 \subset F … à droite » est celle qu'impose le calcul entre crochets ci-dessous. Une première rédaction du calcul, barrée de grands traits obliques, occupe le milieu de la page

[En effet, on a, pour Q_0 \in \mathrm{Ob}\,F_0, P \in \mathrm{Ob}\,F : \mathrm{Hom}_F(Q_0, P) \simeq \mathrm{Hom}_F(u_0 v_0 Q_0, P) \quad \text{(car } u_0 v_0 \simeq \mathrm{id}\text{)} \simeq \mathrm{Hom}_E(v_0 Q_0, vP) = \mathrm{Hom}_{E_0}(v_0 Q_0, v'P) \simeq \mathrm{Hom}_{F_0}(u_0 v_0 Q_0, u_0 v' P) \quad \text{($u_0$ pl. fid.)} \simeq \mathrm{Hom}_{F_0}(Q_0, u_0 v' P) \quad \text{(} u_0 v_0 \simeq \mathrm{id} \text{).]}

Croquis en marge gauche, redessinés :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] E \arrow[r, "u"] \arrow[d] & F \arrow[d] \arrow[dl, "v'"'] \\ E_0 \arrow[r, bend left=18, "u_0"] & F_0 \arrow[l, bend left=18, "v_0"] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] E \arrow[r, "u"] \arrow[d] \arrow[dr] & F \arrow[d] \arrow[dl] \\ E_0 & F_0 \end{tikzcd}

sur le premier croquis, u_0 et v_0 portent chacun une marque \approx — les équivalences quasi-inverses ; le second est griffonné, les quatre flèches descendantes s'y croisent

suit, entre crochets et presque entièrement biffé, un passage qui pose la question : si \alpha v_1 a un adjoint à g., avec \alpha pl. fid. et v_1 passage à cat. des fractions, « est-il vrai que \alpha admette adj. à g. ? » — le calcul qui l'accompagnait est barré

Disons donc : pour que l'on ait u(E) \subset F_0, il faut et il suffit que l'on ait pour \forall X \in \mathrm{Ob}\,E : uvu(X) \xrightarrow{\ j(u(X))\ } u(X) \quad \text{(isomorphisme)}, et alors F_0 est l'image ess. de E par

u. Dans ce cas, l'inclusion E_0 \subset E admet un adjoint à gauche, savoir v_0 \circ (u \text{ astreint à } F_0), noté u' : \mathrm{Hom}_E(Y, X_0) \simeq \mathrm{Hom}_E(Y, v_0 u_0 X_0) = \mathrm{Hom}_E(Y, v u_0 X_0) \simeq \mathrm{Hom}_F(uY, u_0 X_0) = \mathrm{Hom}_{F_0}(u'Y, u_0 X_0) \simeq \mathrm{Hom}_{E_0}(v_0 u' Y, v_0 u_0 X_0) = \mathrm{Hom}_{E_0}(v_0 u' Y, X_0). \qquad \text{cqfd} sous les signes du calcul : « v_0 u_0 \simeq \mathrm{id} », « adjonction », « v_0 pl. fid. », « v_0 u_0 \simeq \mathrm{id} » ; sous le premier membre : Y \in \mathrm{Ob}\,E, X_0 \in \mathrm{Ob}\,E_0

f) Conditions équivalentes :

\mathrm{Im}\,v \subset E_0 et 1') \mathrm{Im}\,u \subset F_0 ; v \xrightarrow{\ \sim\ } vuv et 2') uvu \xrightarrow{\ \sim\ } u ; \mathrm{Im}\,v \subset E_0 et l'inclusion E_0 \subset E admet un adjoint à g. 3) s'ouvre sur une ligne entièrement biffée : « …se factorise en un composé… » ; 3) et sa symétrique sont précédées d'un crochet au crayon — 3') \mathrm{Im}\,u \subset F_0 et l'inclusion F_0 \subset F admet un adjoint à dr. ; u se factorise en E \xrightarrow{u_1} F_1 \xrightarrow{\beta} F, avec \beta pleinement fidèle, u_1 passage à catégorie des fractions, et \beta et u_1 ayant des adjoints à droite la seconde ligne de 4) est barrée d'un long trait qui traverse aussi sa correction interlinéaire ; en marge gauche : « à revoir pour simplifier » — 4') v se factorise en F \xrightarrow{v_1} E_1 \xrightarrow{\alpha} E, avec \alpha pl. fidèle, v_1 passage à cat. des fractions, [v_1 et \alpha admettent un adj. à g.].

5) De plus, la donnée d'un couple de foncteurs adjoints (u,v) entre des catégories E, F, satisfaisant les conditions équivalentes 1) à 4), équivaut à : la donnée d'une sous-cat. str. pleine E_0 de E telle que \alpha : E_0 \subset E admette un adjoint à g. \alpha', d'une sous-cat. str. pleine F_0 de F telle que \beta : F_0 \subset F admette un adjoint à droite \beta', et d'une équivalence entre E_0 et F_0 E_0 \underset{v_0}{\overset{u_0}{\rightleftarrows}} F_0, en posant u = \beta u_0 \alpha', v = \alpha v_0 \beta', les données d'adjonction étant évidentes.

En tête : E \underset{v}{\overset{u}{\rightleftarrows}} F.

a) E catégorie ponctuelle, v l'unique foncteur F \to E. Il a un adjoint à g. ssi F a un objet initial, et alors u(P) = \emptyset_F. Alors u est pl. fidèle.

b) F catégorie ponctuelle, u l'unique foncteur E \to F. Alors l'adjoint à droite v existe ssi E a un objet final, v(P) = e_E. Alors v est pl. fidèle.

En marge gauche, le dispositif : \alpha : E_1 \to E pl. fidèle, et son adjoint à gauche \alpha' :

\begin{tikzcd}[row sep=small] E \arrow[d, bend right=25, "\alpha'"'] \\ E_1 \arrow[u, bend right=25, "\alpha"'] \end{tikzcd}

On suppose que \alpha admet un adjoint à gauche \alpha', d'où couple \alpha', \alpha ; ~~qui fait~~ de sorte que \alpha' est un passage à une catégorie des fractions. Considérons alors un autre foncteur pl. fidèle E_1 \xrightarrow{\beta} F, et supposons que u = \beta\alpha' :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] E \arrow[rr, "u"] \arrow[dr, "\alpha'"'] & & F \\ & E_1 \arrow[ur, "\beta"'] & \end{tikzcd}

ait un adjoint à ~~gauche~~ droite (cela exige de toutes façons, \alpha', qu'existe un adjoint à droite ; ici le fait que \alpha pl. fidèle équivaut à : \alpha' passage à cat. des fractions !). Est-il vrai alors que \beta ait un adjoint à droite ? On peut supposer que \mathrm{Ob}\,F = \mathrm{Ob}\,E_1 \cup \{a\} ; il est donné alors par deux foncteurs \varphi : E_1 \to (\mathrm{Ens}), \qquad \psi : E_1^{\circ} \to (\mathrm{Ens}), \qquad \text{savoir} \varphi(X) = \mathrm{Hom}(a, \beta X), \qquad \psi(X) = \mathrm{Hom}(\beta X, a), et un morphisme bifonctoriel \varphi(X) \times \psi(Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}(Y, X). devant le premier membre, un début de formule est biffé ; une parenthèse interlinéaire au-dessus de \mathrm{Hom}(Y,X) reste illisible

Dire que \beta a un adjoint à droite signifie que le foncteur contravariant \psi est représentable. Prenant \varphi(X) = \emptyset pour tout X, la donnée du morphisme bifonctoriel devient triviale. Exprimons que \beta\alpha' a un adjoint à droite, i.e. que le foncteur sur E X \mapsto \mathrm{Hom}_F(\beta\alpha'(X), a) = \psi(\alpha'(X)) est représentable. Donc la question devient simplement : un foncteur \psi : E_1^{\circ} \to (\mathrm{Ens}) tel que \psi \circ \alpha' soit rep., est-il représentable ? ~~Identifions~~ Identifiant les \psi aux foncteurs sur E^{\circ} qui transforment les éléments de \Sigma en bij., on trouve : soit \xi \in \mathrm{Ob}\,E tel que le foncteur qu'il représente sur E, X \mapsto \mathrm{Hom}_E(X,\xi), transforme les u \in \Sigma ~~bijections~~ en bijections. Alors est-il vrai que \exists\, \xi_1 \in E_1

\Sigma apparaît ici sans définition : c'est la classe des flèches que \alpha' inverse, comme l'explicite la page suivante

tel qu'on ait un isom fonctoriel en X \mathrm{Hom}_E(X, \xi) \simeq \mathrm{Hom}_{E_1}(\alpha' X, \xi_1) \quad (\simeq \mathrm{Hom}_E(X, \alpha\,\xi_1)), en d'autres termes a-t-on \xi \in \mathrm{Ob}\,\overline{E}_1 (image essentielle de \alpha) ?

Or quelle est la relation entre \Sigma et E_1 ? (u : X \to Y) \in \Sigma \iff \alpha'(X) \simeq \alpha'(Y) \iff \mathrm{Hom}_{E_1}(\alpha'(Y), Z_1) \simeq \mathrm{Hom}_{E_1}(\alpha'(X), Z_1) \ \ \text{pour } \forall\, Z_1 \in \mathrm{Ob}\,E_1 au premier membre, ~~« un isom »~~ est biffé et remplacé en interligne par « \alpha'(X) \simeq \alpha'(Y) », qui est la lecture donnée ici \iff \mathrm{Hom}_{E_1}(Y, \alpha Z_1) \simeq \mathrm{Hom}_{E_1}(X, \alpha Z_1) \quad \text{pour } \forall\, Z_1 \in \mathrm{Ob}\,E_1. au second membre, le manuscrit répète l'indice E_1 là où la lecture E s'impose — \alpha Z_1 est un objet de E

Donc la question est si on récupère bien \overline{E}_1 comme sous-catégorie str. pleine de E comme la sous-catégorie str. ~~pleine~~ \Phi(\Sigma) \subset E formée des \xi tels que \mathrm{Hom}(Y, \xi) \simeq \mathrm{Hom}(X, \xi) pour \forall\, u : X \to Y dans \Sigma. Or c'est vrai sauf erreur…

Produit tensoriel et familles finies (pages 9 à 12)

Soit A une ~~\otimes-~~catégorie ~~commutative~~. une seconde ligne, entièrement biffée, lisait : « une \otimes-catégorie AUC dont tous les objets inversibles » ; le mot « Définition » qui ouvrait le paragraphe suivant est biffé aussi

Soit \Phi(A) la catégorie des familles finies d'objets de A, un morphisme de (I, (L_i)_{i \in I}) dans (J, (M_j)_{j \in J}) étant un couple (\tau, (\varphi_i)_{i \in I}) d'une bijection \tau : I \xrightarrow{\ \sim\ } J et d'isom. \varphi_i : L_i \xrightarrow{\ \sim\ } M_{\tau(i)}. On introduit sur \Phi(A) une \otimes-structure en posant (I, (L_i)_{i\in I}) \otimes (J, (M_j)_{j\in J}) = (I \sqcup J,\ (L_i;\ M_j)) \ \ldots une structure d'~~additivité~~ associativité, provenant de l'associativité dans l'opération I \sqcup J, une structure unité par la famille vide, étant aussi l'objet unité, une structure de commutativité par la commutativité de I \sqcup J. (NB. pour ces définitions, la \otimes-structure de C n'a pas encore servi.)

suit une phrase encombrée de ratures : « On va trouver un \otimes-foncteur AUC \pi : \Phi(C) \to C tel que (la restriction de \pi aux… » — abandonnée au profit du corollaire ci-dessous ; en marge droite, une note griffonnée : « \Phi_n(C) = … »

On a un foncteur canonique \Phi(A) \longrightarrow (\text{Ens finis, avec isom comme morphismes}) (foncteur transportable …) ; on désigne par \Phi_n(A) l'image inverse de la sous-catégorie des ensembles de cardinal n (n entier \geq 0). On a donc \Phi(A) = \coprod_n \Phi_n(A), \qquad \Phi_0(A) = \{e\}, \quad \Phi_1(A) \simeq A.

1) Soit C une catégorie munie d'un produit tensoriel \otimes AUC. Considérons le foncteur « restriction à \Phi_1(A) » : \underline{\mathrm{Hom}}^{\otimes \mathrm{AUC}}(\Phi(A), C) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(A, C).

Proposition. C'est une équivalence de catégories.

Dém. ….

Corollaire. Soit C une \otimes-catégorie AUC. Il y a, à isom unique près, un et un seul \otimes-foncteur AUC \pi : \Phi(C) \longrightarrow C, \qquad \pi = (\pi_n),

muni d'un isom. rendant commutatif le diagramme qui suivait — \Phi_1(C) \rightrightarrows C, comparant \pi_1 au foncteur canonique — est recouvert de gribouillis

Définition. Si (I, (L_i)_{i\in I}) est une famille finie d'objets de C, \pi((L_i)) est appelé le produit \otimes de la famille dans C.

Il y a une vérification : si on se donne une cat. et une opération \otimes, alors la donnée d'une structure AUC sur celle-ci est équivalente à la donnée d'un foncteur \pi : \Phi(C) \to C, ~~et d'un isom. \pi(X \otimes Y) \simeq \pi(X) \otimes \pi(Y), en associant à la structure d'associativité~~ qui sur \Phi_1(C) soit « l'identité », et qui rende commutatif de plus le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \Phi_2(C) \arrow[r, "\pi\vert\Phi_2"] & C \\ C \times C \arrow[u] \arrow[ur, "\otimes"'] & \end{tikzcd}

NB Dans \Phi(C) lui-même : si (\xi_j)_{j\in J} est une famille finie d'objets de \Phi(C), \xi_j = (I_j, (L_{ji})_{i \in I_j}), alors \pi((\xi_j)_{j\in J}) est \Bigl(\coprod_{j\in J} I_j,\ (L_{ji})_{j\in J,\ i\in I_j}\Bigr) (avec abus de notation).

Revenons : la \otimes-cat C AUC. Soit I un ensemble à deux éléments, (L_i)_{i\in I} une famille d'objets de C indexée par I. Il y a deux ordres totaux sur I, et si les deux éléments de I sont notés a, b, ces deux façons de regarder le produit, suivant l'ordre total choisi, sont L_a \otimes L_b et L_b \otimes L_a ; on passe de l'une à l'autre par l'isom de symétrie. Cela offre deux données si L_a = L_b = L la fin de la phrase, raturée, évoque \varepsilon(L) et l'automorphisme d'ordre 2 de L \otimes L ; elle se poursuit à la page 12 — la page 11 porte une construction intercalée

Construction. Soit \Phi^{c}(C) la catégorie formée des ~~familles~~ couples (\xi, \gamma), où \xi \in \mathrm{Ob}\,\Phi(C), \xi = (I, (L_i)_{i\in I}) (les L_i \in \mathrm{Ob}\,C), et où \gamma est formé :

d'un ensemble \gamma' (qui peut être vide) de parties de I, qui sont chacune de cardinal 2 et deux à deux disjointes ; pour \forall\, J \in \gamma', d'un hom de \pi(\xi|J) \longrightarrow \mathbf{1}_C (où \pi(\xi|J) = L_{j'} \otimes L_{j''} si J = \{j', j''\}) [qui soit un accouplement parfait, i.e. une dualité].

en marge gauche, en oblique, une définition en partie illisible : « U^{\gamma'} = \bigcup… »

Les homs (quitte à des isoms) de \Phi^c(C) clairs. On trouve des foncteurs \mathrm{inc},\ \mathrm{res} : \Phi^{c}(C) \longrightarrow \Phi(C) (oubli des indices contractés). \Phi^{c}(C) est aussi une \otimes-catégorie ass. comm. unitaire ; et res est un \otimes-foncteur AUC. Ceci dit, on trouve un hom canonique \Pi \circ \mathrm{inc} \xrightarrow{\ c\ } \Pi \circ \mathrm{res} (contraction) de \otimes-foncteurs AUC de \Phi^{c}(C) dans C.

donc il n'y a pas d'isom canonique entre L \otimes L et le produit de la famille constante sur I de valeur L : il faut, pour choisir un tel isom, choisir un ordre total sur I. C'est que, si I est de cardinal \geq 2, il y a a priori possibles entre \pi((L_i)_{i\in I}) et L^{\otimes 2}. l'exposant se lit « 2 » là où l'on attendrait « n » ; le milieu de la phrase est raturé

Mais si L est inversible, la symétrie de L \otimes L s'identifie à un élément \varepsilon(L) du groupe \mathrm{Aut}(\mathbf{1}_C), d'ordre 2, et le passage d'un isom. de \Pi L avec L^{\otimes n} à un autre, via une permutation \sigma de [1, n], se fait par \varepsilon(L)^{\mathrm{sign}(\sigma)}. Il n'y a aucune ambiguïté pour le choix dans le seul cas des catégories de Picard [tout objet inversible, les \varepsilon(L) = 1].

Inverse d'un élément L inversible : c'est un L' muni d'un isom L \otimes L' \simeq \mathbf{1}, d'où aussi, en appliquant la symétrie, un autre isom L' \otimes L \simeq \mathbf{1}, donc les relations entre L et L' sont symétriques ; on convient de dire que (L, L') (sans ordre fixé) est un couple d'inverses si on se donne un isom \Pi(L, L') \simeq \mathbf{1}. en marge gauche, une note en oblique, en partie illisible

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] L \otimes L' \arrow[r, "\varphi_{L,L'}"] \arrow[d, "s_{L,L'}"'] & \mathbf{1} \\ L' \otimes L \arrow[ur, "\varphi_{L',L}"'] & \end{tikzcd}

\varphi_{L,L'} \otimes \mathrm{id}_L \simeq \mathrm{id}_L \otimes \psi_{L',L} \ :\ L \otimes L' \otimes L \xrightarrow{\ \sim\ } L, \qquad \psi_{L',L} : L' \otimes L \simeq \mathbf{1}.

Relations entre \varphi_{L',L} et \psi_{L',L} ?

Comme \varphi_{L,L'} \otimes \mathrm{id}_L\ :\ L \otimes L' \otimes L \to L, \mathrm{id}_L \otimes \varphi_{L',L} = \mathrm{id}_L \otimes (\varphi_{L,L'} \circ s_{L',L}) \ :\ L \otimes L' \otimes L \to L.

Pour q : M \to \mathbf{1} :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] L \otimes M \arrow[r, "s_{L,M}"] \arrow[d, "L \otimes q"'] & M \otimes L \arrow[d, "q \otimes L"] \\ L \otimes \mathbf{1} \arrow[r, "s_{L,\mathbf{1}}"'] & \mathbf{1} \otimes L \end{tikzcd}

sous le carré, les deux coins inférieurs sont reliés à L par des isoms ; à droite, trois colonnes de symboles L\ L'\ L esquissent, à la manière de ficelles, les deux contractions de L \otimes L' \otimes L et la permutation qui les échange, au facteur \varepsilon près

Théories et constructions (page 13)

page numérotée « 2 » de la main de l'auteur — la page 1 n'est pas dans la chemise ; la page entière est barrée d'un long trait oblique

On a donc \underline{\mathrm{Hom}}(I; T, T') \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(T, T') \Big\downarrow \qquad \Big\downarrow \Bigl[\ \underline{\mathrm{Hom}}_0(I; T, T') \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_0(T, T')\ \Bigr] \quad (\text{resp. } \varprojlim) à droite du crochet, une précision en petit, rognée par la marge : « où T, T' sont dé… »

Les théories à lims forment une 2-catégorie, soit \mathcal{T} (resp. \mathcal{T}_0), et quand I est fixé, via les I-morphismes de théories, une 2-catégorie \mathcal{T}^{(I)} (resp. \mathcal{T}_0^{(I)}), et un diagramme de foncteurs de 2-catégories

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathcal{T} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{T}^{(I)} \arrow[d] \\ \mathcal{T}_0 \arrow[r] & \mathcal{T}_0^{(I)} \end{tikzcd}

la ligne qui suivait — « Enfin, si on considère les théories qui sont définies par… », avec l'interligne « (resp. constructions infinies) » — est biffée

Constructions pour une ~~cat~~ théorie T : c'est par définition un hom dans la théorie \dot{\imath} correspondant à un ens. de base sans structure, donc \dot{\imath}_C = C ; donc c'est un. foncteur de la cat. 2-fibrée sur (Cat lim finies) (resp. (Cat lim)) : T \longrightarrow \dot{\imath}.

Ces constructions forment donc une catégorie \Gamma^{T} = \underline{\mathrm{Hom}}(T, \dot{\imath}) (resp. \Gamma_0^{T} = \underline{\mathrm{Hom}}_0(T, \dot{\imath})), qui a des lims finies (resp. des lims) et qui est munie de \Gamma^{T} \times T \longrightarrow \dot{\imath} \qquad (\text{resp. } \Gamma_0^{T} \times T \to \dot{\imath}_0).

C \in (Cat lim finies) (resp. \in Cat lim) et, pour \forall\, \xi \in T(C), le foncteur u \mapsto u(\xi), \qquad \Gamma^{T} \longrightarrow C \quad (\text{resp. } \Gamma_0^{T} \to C), commutant aux lims précédentes (resp. quelc.).

Prolongement aux préfaisceaux et exactitude (page 15)

Question. C petite catégorie. \varphi : C \to \mathrm{Ens} foncteur exact à droite [C stable par lim finies]. Alors \overline{\varphi} : \widehat{C}^{\circ} \to \mathrm{Ens}, qui prolonge \varphi et commute aux petites lims (donné aussi par \overline{\varphi}(\psi) = \mathrm{Hom}(\psi, \varphi), \psi \in \mathrm{Ob}\,\underline{\mathrm{Hom}}(C, \mathrm{Ens})), est-il exact à droite, i.e. \psi \mapsto \mathrm{Hom}(\psi, \varphi) transforme-t-il lims projectives finies en lims inductives ?

En marge gauche : \overline{C} = \widehat{C}^{\circ} = \underline{\mathrm{Hom}}(C, \mathrm{Ens})^{\circ}, et le triangle

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \overline{C} \arrow[dr, "\overline{\varphi}"] & \\ C \arrow[u] \arrow[r, "\varphi"'] & \mathrm{Ens} \end{tikzcd}

NB Par l'hyp. sur \varphi, c'est le cas pour les lims finies qui proviennent de C. [NB l'inclusion C \to \overline{C} commute aux lims — finies ou non —.]

une ligne biffée introduisait le cas « C ~~additive~~ abélienne » ; elle s'interrompt sur « pour \varphi = », et l'application \psi \mapsto \mathrm{Hom}(\psi, \varphi), « est-il exact à g. », \underline{\mathrm{Hom}}(C, \mathrm{Ens}) \to (\mathrm{Ens}) — passage raturé, lecture d'ensemble incertaine

~~\mathrm{Hom}(\psi \times \psi_0, \varphi)~~ Il faudrait que \varphi transforme mono en en épi, i.e. que \varphi soit « injectif » :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \psi \arrow[r] \arrow[dr] & \psi' \arrow[d, "\exists"] \\ & \varphi \end{tikzcd}

Cela indique (prenons \psi = \varphi, \psi' = \varphi \sqcup \rho) que pour \forall\, \rho : C \to \mathrm{Ens}, on a \underline{\mathrm{Hom}}(\rho, \varphi) \neq \emptyset.

En marge gauche, le triangle correspondant :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \varphi \arrow[r] \arrow[dr] & \varphi \sqcup \psi \arrow[d, "\exists"] \\ & \varphi \end{tikzcd}

~~C'est vrai si~~ Mais c'est toujours faux ~~sauf si C vide~~ : car si on prend pour \rho un foncteur constant de valeur x non vide, on a \mathrm{Hom}(\rho, \varphi) = \emptyset, car \mathrm{Hom}_{\mathrm{Ens}}(\rho(c), \varphi(c)) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Ens}}(x, \emptyset) = \emptyset\ ! la lecture des arguments des deux membres est incertaine — le manuscrit porte quelque chose comme \rho(\psi_c), \varphi(\psi_c)

Question. Soient C petite catégorie avec lims finies, E catégorie avec lims finies et petites lims inductives, \varphi : C \to E un foncteur exact à gauche, \overline{\varphi} : \widehat{C} \to E son prolongement canonique (commutant aux petites lims inductives). Sous quelles conditions d'exactitude sur E peut-on dire que \overline{\varphi} est aussi exact à g ? [NB si E = (\mathrm{Ens})^{\circ}, ça n'ira jamais, je crois !]

On sait que c'est OK si E est un topos. Réciproque ?

Supposons que \varphi soit strictement générateur, ~~Alors il faut que~~ alors E \to \widehat{C} est pl. fidèle et \overline{\varphi} : \widehat{C} \to E en est un adjoint à g. ~~Il suffit que E soit un topos.~~ Donc si \overline{\varphi} est exact à g, E est un topos.

Prolongement le long d'une sous-catégorie génératrice (pages 17 et 19)

En tête, le dispositif : C \subset E, « sous-catégorie pleine [strictement génératrice] » de « catégorie [avec petites limites inductives] » ; F « catégorie avec petites limites inductives ». \underline{\mathrm{Hom}}(C, F) \underset{\beta}{\overset{\alpha}{\rightleftarrows}} \underline{\mathrm{Hom}}(E, F) \alpha(\varphi)(X) = \varinjlim_{Y \in C/X} \varphi(Y), \qquad \beta(\psi)(Y) = \psi(Y), \quad \text{i.e. } \beta(\psi) = \psi | C = \psi \circ i. \beta\alpha(\varphi)(Y) = \alpha(\varphi)(Y) = \varinjlim_{Z \in C/Y} \varphi(Z) = \varphi(Y), \quad \text{i.e. } \beta\alpha(\varphi) \simeq \varphi, \quad \beta\alpha \simeq \mathrm{id}_{\underline{\mathrm{Hom}}(C,F)}. \alpha\beta(\psi)(X) = \varinjlim_{Y \in C/X} \beta\psi(Y) = \varinjlim_{Y \in C/X} \psi(Y) \longrightarrow \psi(X), \quad \text{i.e. } \alpha\beta \to \mathrm{id}_{\underline{\mathrm{Hom}}(E,F)}. \mathrm{Hom}(\alpha\varphi, \psi) \simeq \mathrm{Hom}(\varphi, \beta\psi).

En fait, \alpha = i^{F}_{!}. Donc i étant pl. fidèle, i_{!} l'est.

Supposons maintenant que [E soit aussi stable par petites lims], C strictement génératrice, et voyons à quelle condition \alpha(\varphi) commute à icelles. Comme \beta\alpha(\varphi) = \alpha(\varphi)|C = \varphi, il est évidemment nécessaire que l'on ait :

(*) Pour \forall système inductif (Y_i) dans C dont la limite inductive dans E ~~est~~ soit Y \in \mathrm{Ob}\,C [a fortiori sa lim dans C est Y], on a \varphi(Y) \xleftarrow{\ \sim\ } \varinjlim \varphi(Y_i).

Soit \underline{\mathrm{Hom}}'(C, F) la sous-catégorie pleine de \underline{\mathrm{Hom}}(C, F) formée des \varphi satisfaisant (*), et \underline{\mathrm{Hom}}'(E, F) la sous-catégorie pleine de \underline{\mathrm{Hom}}(E, F) formée des \psi

commutant aux petites lims. Donc \beta induit \beta' : \underline{\mathrm{Hom}}'(E, F) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}'(C, F). On a, pour \psi dans \underline{\mathrm{Hom}}', \alpha\beta(\psi)(X) = \varinjlim_{Y \in C/X} \psi(Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \psi(X) \quad \text{car } X = \varinjlim_{Y \in C/X} Y,\ C étant str. gén. Donc on trouve que \beta' : \underline{\mathrm{Hom}}'(E, F) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}'(C, F) est pleinement fidèle. (c'est une équivalence ssi ess. surj.) Il s'agit de voir si \alpha envoie bien \underline{\mathrm{Hom}}'(C, F) dans \underline{\mathrm{Hom}}'(E, F). Or soit (Y_i) un syst. inductif dans E, ayant dans E une limite inductive Y, et pour chaque i un système inductif (Y_{ij}) dans C, ~~filtré sur I~~, tel que les syst. inductifs (i fixé) des Y_{ij} aient pour limites les Y_i et que le système inductif correspondant soit (Y_i). On a donc \varinjlim_i \alpha\varphi(Y_i) = \varinjlim_i \bigl(\varinjlim_j \varphi(Y_{ij})\bigr) = \varinjlim_{ij} \varphi(Y_{ij}), le premier terme est surchargé ; la fin de la ligne, griffonnée puis rognée par la marge, comparait ce terme à \varphi(Y). Les deux lignes qui introduisent le système double (Y_{ij}) sont elles-mêmes très raturées et la comparaison est l'hom dont il s'agit de prouver que c'est un isom. Donc on est ramené à prouver ceci :

Lemme. Si \varphi \in \underline{\mathrm{Hom}}'(C, F), alors pour tout \forall système inductif (Y_i) dans C ayant une limite inductive Y dans E, on a \varinjlim \varphi(Y_i) \xrightarrow{\ \sim\ } \beta\varphi(Y). le manuscrit porte bien \beta\varphi(Y) ; on attendrait \alpha\varphi(Y), seul défini pour Y \in E

Il faut donc comparer les limites pour \varphi des deux systèmes inductifs (Y_i) et C/Y \to C. Évidemment on a : I \to C/Y, cela est-il cofinal ? C'est vrai en tout cas si pour \forall diagramme fini dans C, la lim dans E existe et est dans C. un point d'interrogation isolé en marge gauche face à ces deux dernières lignes