Cote n° 161-1, pages 1–19

Cote n° 161-1 · batch 1 · pages 1–19 · Transcription · Catégories : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration

1Titre porté au crayon sur l'onglet de la chemise : « Catégories ». chemise du dossier

Foncteurs adjoints (pages 3 à 7)

3En tête, à droite : « Foncteurs adjoints [demander Schanuel] ».

Soit \[ E \underset{v}{\overset{u}{\rightleftarrows}} F, \qquad i : \mathrm{id}_E \to vu, \quad j : uv \to \mathrm{id}_F, \] un couple de foncteurs adjoints.

a) Soit $E'$ une sous-catégorie pleine de $E$. Notons que pour $X, Y \in \mathrm{Ob}\,E'$, l'application \[ \mathrm{Hom}_{E'}(X,Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{F}(uX, uY) \quad (\simeq \mathrm{Hom}(X, vuY)) \] sous le premier membre, le manuscrit rappelle $\mathrm{Hom}_{E'}(X,Y) = \mathrm{Hom}_{E}(X,Y)$ se déduit de l'application $i(Y) : Y \to vu(Y)$ au moyen de $\mathrm{Hom}(X, i(Y))$. Donc pour que ce soit bijectif (resp. injectif) pour $\forall X, Y \in \mathrm{Ob}\,E'$ — i.e. $u|E'$ pl. fidèle (resp. fidèle) — il suffit que $\forall Y \in \mathrm{Ob}\,E'$, $i(Y) : Y \to vu(Y)$ soit un isomorphisme (resp. un mono). C'est aussi nécessaire si on sait que $vu(E') \subset \overline{E}'$. la parenthèse qui suivait est raturée au point d'être illisible ; la ligne porte plusieurs corrections superposées On trouve donc

(1) $u|E'$ pl. fidèle et $vu(E') \subset \overline{E}'$ $\iff$ $\forall Y \in \mathrm{Ob}\,E'$, $i(Y) : Y \xrightarrow{\ \sim\ } vu(Y)$.

donner un exemple montrant que cette condition n'est pas surabondante, avec $E'$ réduit à un élément

b) Soit $F'$ une sous-catégorie pleine de $F$. Notons que pour $P, Q \in \mathrm{Ob}\,F'$, l'application \[ \mathrm{Hom}_{F'}(P,Q) \longrightarrow \mathrm{Hom}(vP, vQ) \quad (\simeq \mathrm{Hom}(uvP, Q)) \] même rappel en dessous : $\mathrm{Hom}_{F'}(P,Q) = \mathrm{Hom}_F(P,Q)$ se déduit des $j(P) : uv(P) \to P$ par $\mathrm{Hom}(j(P), Q)$. Donc pour que $v|F'$ soit fidèle (resp. pl. fidèle), il suffit que $\forall P \in \mathrm{Ob}\,F'$, $j(P)$ soit un épi. (resp. un isom). Donc on a de même :

(2) $v|F'$ pl. fidèle et $uv(F') \subset \overline{F}'$ $\iff$ $\forall P \in \mathrm{Ob}\,F'$, $j(P) : uv(P) \xrightarrow{\ \sim\ } P$.

suit une reprise de (2), encadrée d'un long trait et biffée, qui précisait « strictement pleine $\subset E$ » et « strictement pleines »

c) L'ensemble des $E'$ [strictement pleines] satisfaisant (1), et des $F'$ [strictement pleines] satisfaisant (2), est en correspondance biunivoque, en posant \[ \alpha(E') = \text{image essentielle de } u|E' = \overline{u(E')}, \qquad \beta(F') = \text{image essentielle de } v|F' = \overline{v(F')}. \] « strictement pleines » est chaque fois une correction interlinéaire de la main de l'auteur

Si $E'$ et $F'$ sont des sous-catégories str. pleines de $E$ resp. $F$, les conditions suivantes sont équivalentes :

$E'$ satisfait (1), $F'$ satisfait (2), et $E'$ et $F'$ se correspondent comme ci-dessus ;
$u(E') \subset F'$, $v(F') \subset E'$, et $u'$ et $v'$ pl. fidèles ;
—— et $u'$ est une équivalence ;
—— et $v'$ est une équivalence ;
—— et $u'$ et $v'$ pl. fid.

en marge droite, une sixième condition esquissée reprend (1) et (2) : « ……, et $\forall Y \in \mathrm{Ob}\,E'$, $i(Y)$… ; $\forall P \in \mathrm{Ob}\,F'$, $j(P) : uv(P) \to$… » — la fin rognée par le bord de la page

4d) Passons maintenant Soit $E_0$ la sous-catégorie str. pleine de $E$ formée des $Y \in \mathrm{Ob}\,E$ tels que $i(Y) : Y \xrightarrow{\ \sim\ } vu(Y)$. C'est donc la plus grande des sous-catégories pleines $E'$ de $E$ satisfaisant (1), et si $E'$ est une sous-catégorie pleine de $E$, elle satisfait (1) ssi $E' \subset E_0$. On définit de même la sous-catégorie str. pleine $F_0$ de $F$ formée des $P \in \mathrm{Ob}\,F$ tels que $j(P) : uv(P) \xrightarrow{\ \sim\ } P$, une sous-catégorie pleine $F'$ de $F$ satisfaisant (2) ssi $F' \subset F_0$. Ceci posé, on a \[ F_0 = \overline{u(E_0)}, \qquad E_0 = \overline{v(F_0)} \] (i.e. $F_0 =$ image ess. de $u|E_0$, $E_0 =$ image ess. de $v|F_0$) et $u$ et $v$ induisent sur $E_0$ et $F_0$ des équivalences inverses l'une de l'autre.

e) Pour que l'on ait $v(F) \subset E_0$, il faut et il suffit que pour $\forall P \in \mathrm{Ob}\,F$, on ait \[ v(P) \xrightarrow{\ i(v(P))\ } vuv(P) \quad \text{(isomorphisme)} \] ($v(j(P))$ sera alors l'inverse ??).

En un mot, il faut et il suffit que $v$ se factorise en $F \xrightarrow{v_1} E_1 \xrightarrow{\alpha} E$, avec $\alpha$ pl. fidèle, $v_1$ passage à cat. des fractions. [NB nécessairement $v_1$ aura un adjoint à g., sav. $u_1 = u|E_1$, mais pas néc. $\alpha$]

Dans ce cas, $E_0$ est l'image essentielle de $v$, et l'inclusion $F_0 \subset F$ admet un adjoint à droite, savoir $u_0 \circ (v \text{ astreint à } E_0)$, noté $v'$ : la phrase est surchargée de ratures ; la lecture « $F_0 \subset F$ … à droite » est celle qu'impose le calcul entre crochets ci-dessous. Une première rédaction du calcul, barrée de grands traits obliques, occupe le milieu de la page

[En effet, on a, pour $Q_0 \in \mathrm{Ob}\,F_0$, $P \in \mathrm{Ob}\,F$ : \[ \mathrm{Hom}_F(Q_0, P) \simeq \mathrm{Hom}_F(u_0 v_0 Q_0, P) \quad \text{(car } u_0 v_0 \simeq \mathrm{id}\text{)} \] \[ \simeq \mathrm{Hom}_E(v_0 Q_0, vP) = \mathrm{Hom}_{E_0}(v_0 Q_0, v'P) \simeq \mathrm{Hom}_{F_0}(u_0 v_0 Q_0, u_0 v' P) \quad \text{($u_0$ pl. fid.)} \] \[ \simeq \mathrm{Hom}_{F_0}(Q_0, u_0 v' P) \quad \text{(} u_0 v_0 \simeq \mathrm{id} \text{).]} \]

Croquis en marge gauche, redessinés :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
E \arrow[r, "u"] \arrow[d] & F \arrow[d] \arrow[dl, "v'"'] \\
E_0 \arrow[r, bend left=18, "u_0"] & F_0 \arrow[l, bend left=18, "v_0"]
\end{tikzcd}

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
E \arrow[r, "u"] \arrow[d] \arrow[dr] & F \arrow[d] \arrow[dl] \\
E_0 & F_0
\end{tikzcd}

sur le premier croquis, $u_0$ et $v_0$ portent chacun une marque $\approx$ — les équivalences quasi-inverses ; le second est griffonné, les quatre flèches descendantes s'y croisent

suit, entre crochets et presque entièrement biffé, un passage qui pose la question : si $\alpha v_1$ a un adjoint à g., avec $\alpha$ pl. fid. et $v_1$ passage à cat. des fractions, « est-il vrai que $\alpha$ admette adj. à g. ? » — le calcul qui l'accompagnait est barré

Disons donc : pour que l'on ait $u(E) \subset F_0$, il faut et il suffit que l'on ait pour $\forall X \in \mathrm{Ob}\,E$ : \[ uvu(X) \xrightarrow{\ j(u(X))\ } u(X) \quad \text{(isomorphisme)}, \] et alors $F_0$ est l'image ess. de $E$ par

5$u$. Dans ce cas, l'inclusion $E_0 \subset E$ admet un adjoint à gauche, savoir $v_0 \circ (u \text{ astreint à } F_0)$, noté $u'$ : \[ \mathrm{Hom}_E(Y, X_0) \simeq \mathrm{Hom}_E(Y, v_0 u_0 X_0) = \mathrm{Hom}_E(Y, v u_0 X_0) \simeq \mathrm{Hom}_F(uY, u_0 X_0) \] \[ = \mathrm{Hom}_{F_0}(u'Y, u_0 X_0) \simeq \mathrm{Hom}_{E_0}(v_0 u' Y, v_0 u_0 X_0) = \mathrm{Hom}_{E_0}(v_0 u' Y, X_0). \qquad \text{cqfd} \] sous les signes du calcul : « $v_0 u_0 \simeq \mathrm{id}$ », « adjonction », « $v_0$ pl. fid. », « $v_0 u_0 \simeq \mathrm{id}$ » ; sous le premier membre : $Y \in \mathrm{Ob}\,E$, $X_0 \in \mathrm{Ob}\,E_0$

f) Conditions équivalentes :

$\mathrm{Im}\,v \subset E_0$ et 1') $\mathrm{Im}\,u \subset F_0$ ;
$v \xrightarrow{\ \sim\ } vuv$ et 2') $uvu \xrightarrow{\ \sim\ } u$ ;
$\mathrm{Im}\,v \subset E_0$ et l'inclusion $E_0 \subset E$ admet un adjoint à g. 3) s'ouvre sur une ligne entièrement biffée : « …se factorise en un composé… » ; 3) et sa symétrique sont précédées d'un crochet au crayon — 3') $\mathrm{Im}\,u \subset F_0$ et l'inclusion $F_0 \subset F$ admet un adjoint à dr. ;
$u$ se factorise en $E \xrightarrow{u_1} F_1 \xrightarrow{\beta} F$, avec $\beta$ pleinement fidèle, $u_1$ passage à catégorie des fractions, et $\beta$ et $u_1$ ayant des adjoints à droite la seconde ligne de 4) est barrée d'un long trait qui traverse aussi sa correction interlinéaire ; en marge gauche : « à revoir pour simplifier » — 4') $v$ se factorise en $F \xrightarrow{v_1} E_1 \xrightarrow{\alpha} E$, avec $\alpha$ pl. fidèle, $v_1$ passage à cat. des fractions, [$v_1$ et $\alpha$ admettent un adj. à g.].

5) De plus, la donnée d'un couple de foncteurs adjoints $(u,v)$ entre des catégories $E$, $F$, satisfaisant les conditions [équivalentes] 1) à 4), équivaut à : la donnée d'une sous-cat. str. pleine $E_0$ de $E$ telle que $\alpha : E_0 \subset E$ admette un adjoint à g. $\alpha'$, d'une sous-cat. str. pleine $F_0$ de $F$ telle que $\beta : F_0 \subset F$ admette un adjoint à droite $\beta'$, et d'une équivalence entre $E_0$ et $F_0$ \[ E_0 \underset{v_0}{\overset{u_0}{\rightleftarrows}} F_0, \] en posant $u = \beta u_0 \alpha'$, $v = \alpha v_0 \beta'$, les données d'adjonction étant évidentes.

6En tête : $E \underset{v}{\overset{u}{\rightleftarrows}} F$.

a) $E$ catégorie ponctuelle, $v$ l'unique foncteur $F \to E$. Il a un adjoint à g. ssi $F$ a un objet initial, et alors $u(P) = \emptyset_F$. Alors $u$ est pl. fidèle.

b) $F$ catégorie ponctuelle, $u$ l'unique foncteur $E \to F$. Alors l'adjoint à droite $v$ existe ssi $E$ a un objet final, $v(P) = e_E$. Alors $v$ est pl. fidèle.

En marge gauche, le dispositif : $\alpha : E_1 \to E$ pl. fidèle, et son adjoint à gauche $\alpha'$ :

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\begin{tikzcd}[row sep=small]
E \arrow[d, bend right=25, "\alpha'"'] \\
E_1 \arrow[u, bend right=25, "\alpha"']
\end{tikzcd}

On suppose que $\alpha$ admet un adjoint à gauche $\alpha'$, d'où couple $\alpha', \alpha$ ; qui fait de sorte que $\alpha'$ est un passage à une catégorie des fractions. Considérons alors un autre foncteur pl. fidèle $E_1 \xrightarrow{\beta} F$, et supposons que $u = \beta\alpha'$ :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
E \arrow[rr, "u"] \arrow[dr, "\alpha'"'] & & F \\
& E_1 \arrow[ur, "\beta"'] &
\end{tikzcd}

ait un adjoint à gauche droite (cela exige de toutes façons, […] $\alpha'$, qu'existe un adjoint à droite ; ici le fait que $\alpha$ pl. fidèle équivaut à : $\alpha'$ passage à cat. des fractions !). Est-il vrai alors que $\beta$ ait un adjoint à droite ? On peut supposer que $\mathrm{Ob}\,F = \mathrm{Ob}\,E_1 \cup \{a\}$ ; il est donné alors par deux foncteurs \[ \varphi : E_1 \to (\mathrm{Ens}), \qquad \psi : E_1^{\circ} \to (\mathrm{Ens}), \qquad \text{savoir} \] \[ \varphi(X) = \mathrm{Hom}(a, \beta X), \qquad \psi(X) = \mathrm{Hom}(\beta X, a), \] et un morphisme bifonctoriel \[ \varphi(X) \times \psi(Y) \longrightarrow \mathrm{Hom}(Y, X). \] devant le premier membre, un début de formule est biffé ; une parenthèse interlinéaire au-dessus de $\mathrm{Hom}(Y,X)$ reste illisible

Dire que $\beta$ a un adjoint à droite signifie que le foncteur contravariant $\psi$ est représentable. Prenant $\varphi(X) = \emptyset$ pour tout $X$, la donnée du morphisme bifonctoriel devient triviale. Exprimons que $\beta\alpha'$ a un adjoint à droite, i.e. que le foncteur sur $E$ \[ X \mapsto \mathrm{Hom}_F(\beta\alpha'(X), a) = \psi(\alpha'(X)) \] est représentable. Donc la question devient simplement : un foncteur $\psi : E_1^{\circ} \to (\mathrm{Ens})$ tel que $\psi \circ \alpha'$ soit rep., est-il représentable ? Identifions Identifiant les $\psi$ aux foncteurs sur $E^{\circ}$ qui transforment les éléments de $\Sigma$ en bij., on trouve : soit $\xi \in \mathrm{Ob}\,E$ tel que le foncteur qu'il représente sur $E$, $X \mapsto \mathrm{Hom}_E(X,\xi)$, transforme les $u \in \Sigma$ bijections en bijections. Alors est-il vrai que $\exists\, \xi_1 \in E_1$

$\Sigma$ apparaît ici sans définition : c'est la classe des flèches que $\alpha'$ inverse, comme l'explicite la page suivante

7tel qu'on ait un isom fonctoriel en $X$ \[ \mathrm{Hom}_E(X, \xi) \simeq \mathrm{Hom}_{E_1}(\alpha' X, \xi_1) \quad (\simeq \mathrm{Hom}_E(X, \alpha\,\xi_1)), \] en d'autres termes a-t-on $\xi \in \mathrm{Ob}\,\overline{E}_1$ (image essentielle de $\alpha$) ?

Or quelle est la relation entre $\Sigma$ et $E_1$ ? \[ (u : X \to Y) \in \Sigma \iff \alpha'(X) \simeq \alpha'(Y) \iff \mathrm{Hom}_{E_1}(\alpha'(Y), Z_1) \simeq \mathrm{Hom}_{E_1}(\alpha'(X), Z_1) \ \ \text{pour } \forall\, Z_1 \in \mathrm{Ob}\,E_1 \] au premier membre, « un isom » est biffé et remplacé en interligne par « $\alpha'(X) \simeq \alpha'(Y)$ », qui est la lecture donnée ici \[ \iff \mathrm{Hom}_{E_1}(Y, \alpha Z_1) \simeq \mathrm{Hom}_{E_1}(X, \alpha Z_1) \quad \text{pour } \forall\, Z_1 \in \mathrm{Ob}\,E_1. \] au second membre, le manuscrit répète l'indice $E_1$ là où la lecture $E$ s'impose — $\alpha Z_1$ est un objet de $E$

Donc la question est si on récupère bien $\overline{E}_1$ comme sous-catégorie str. pleine de $E$ comme la sous-catégorie str. pleine $\Phi(\Sigma) \subset E$ formée des $\xi$ tels que $\mathrm{Hom}(Y, \xi) \simeq \mathrm{Hom}(X, \xi)$ pour $\forall\, u : X \to Y$ dans $\Sigma$. Or c'est vrai sauf erreur…

Produit tensoriel et familles finies (pages 9 à 12)

9Soit $A$ une $\otimes$-catégorie commutative. une seconde ligne, entièrement biffée, lisait : « une $\otimes$-catégorie AUC dont tous les objets inversibles » ; le mot « Définition » qui ouvrait le paragraphe suivant est biffé aussi

Soit $\Phi(A)$ la catégorie des familles finies d'objets de $A$, un morphisme de $(I, (L_i)_{i \in I})$ dans $(J, (M_j)_{j \in J})$ étant un couple $(\tau, (\varphi_i)_{i \in I})$ d'une bijection $\tau : I \xrightarrow{\ \sim\ } J$ et d'isom. $\varphi_i : L_i \xrightarrow{\ \sim\ } M_{\tau(i)}$. On introduit sur $\Phi(A)$ une $\otimes$-structure en posant \[ (I, (L_i)_{i\in I}) \otimes (J, (M_j)_{j\in J}) = (I \sqcup J,\ (L_i;\ M_j)) \ \ldots \] une structure d'additivité associativité, provenant de l'associativité dans l'opération $I \sqcup J$, une structure unité par la famille vide, étant aussi l'objet unité, une structure de commutativité par la commutativité de $I \sqcup J$. (NB. pour ces définitions, la $\otimes$-structure de $C$ n'a pas encore servi.)

suit une phrase encombrée de ratures : « On va trouver un $\otimes$-foncteur AUC $\pi : \Phi(C) \to C$ tel que (la restriction de $\pi$ aux… » — abandonnée au profit du corollaire ci-dessous ; en marge droite, une note griffonnée : « $\Phi_n(C) = $ … »

On a un foncteur canonique \[ \Phi(A) \longrightarrow (\text{Ens finis, avec isom comme morphismes}) \] (foncteur transportable …) ; on désigne par $\Phi_n(A)$ l'image inverse de la sous-catégorie des ensembles de cardinal $n$ ($n$ entier $\geq 0$). On a donc \[ \Phi(A) = \coprod_n \Phi_n(A), \qquad \Phi_0(A) = \{e\}, \quad \Phi_1(A) \simeq A. \]

1) Soit $C$ une catégorie munie d'un produit tensoriel $\otimes$ AUC. Considérons le foncteur « restriction à $\Phi_1(A)$ » : \[ \underline{\mathrm{Hom}}^{\otimes \mathrm{AUC}}(\Phi(A), C) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(A, C). \]

Proposition. C'est une équivalence de catégories.

Dém. ….

Corollaire. Soit $C$ une $\otimes$-catégorie AUC. Il y a, à isom unique près, un et un seul $\otimes$-foncteur AUC \[ \pi : \Phi(C) \longrightarrow C, \qquad \pi = (\pi_n), \]

10muni d'un isom. rendant commutatif le diagramme qui suivait — $\Phi_1(C) \rightrightarrows C$, comparant $\pi_1$ au foncteur canonique — est recouvert de gribouillis

Définition. Si $(I, (L_i)_{i\in I})$ est une famille finie d'objets de $C$, $\pi((L_i))$ est appelé le produit $\otimes$ de la famille dans $C$.

Il y a une vérification : si on se donne une cat. et une opération $\otimes$, alors la donnée d'une structure AUC sur celle-ci est équivalente à la donnée d'un foncteur $\pi : \Phi(C) \to C$, et d'un isom. $\pi(X \otimes Y) \simeq \pi(X) \otimes \pi(Y)$, en associant à la structure d'associativité qui sur $\Phi_1(C)$ soit « l'identité », et qui rende commutatif de plus le diagramme

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\Phi_2(C) \arrow[r, "\pi\vert\Phi_2"] & C \\
C \times C \arrow[u] \arrow[ur, "\otimes"'] &
\end{tikzcd}

NB Dans $\Phi(C)$ lui-même : si $(\xi_j)_{j\in J}$ est une famille finie d'objets de $\Phi(C)$, $\xi_j = (I_j, (L_{ji})_{i \in I_j})$, alors $\pi((\xi_j)_{j\in J})$ est \[ \Bigl(\coprod_{j\in J} I_j,\ (L_{ji})_{j\in J,\ i\in I_j}\Bigr) \] (avec abus de notation).

Revenons : la $\otimes$-cat $C$ AUC. Soit $I$ un ensemble à deux éléments, $(L_i)_{i\in I}$ une famille d'objets de $C$ indexée par $I$. Il y a deux ordres totaux sur $I$, et si les deux éléments de $I$ sont notés $a$, $b$, ces deux façons de regarder le produit, suivant l'ordre total choisi, sont $L_a \otimes L_b$ et $L_b \otimes L_a$ ; on passe de l'une à l'autre par l'isom de symétrie. Cela offre deux données si $L_a = L_b = L$ la fin de la phrase, raturée, évoque $\varepsilon(L)$ et l'automorphisme d'ordre 2 de $L \otimes L$ ; elle se poursuit à la page 12 — la page 11 porte une construction intercalée

11Construction. Soit $\Phi^{c}(C)$ la catégorie formée des familles couples $(\xi, \gamma)$, où $\xi \in \mathrm{Ob}\,\Phi(C)$, $\xi = (I, (L_i)_{i\in I})$ (les $L_i \in \mathrm{Ob}\,C$), et où $\gamma$ est formé :

d'un ensemble $\gamma'$ (qui peut être vide) de parties de $I$, qui sont chacune de cardinal 2 et deux à deux disjointes ;
pour $\forall\, J \in \gamma'$, d'un hom de \[ \pi(\xi|J) \longrightarrow \mathbf{1}_C \] (où $\pi(\xi|J) = L_{j'} \otimes L_{j''}$ si $J = \{j', j''\}$) [qui soit un accouplement parfait, i.e. une dualité].

en marge gauche, en oblique, une définition en partie illisible : « $U^{\gamma'} = \bigcup$… »

Les homs (quitte à des isoms) de $\Phi^c(C)$ clairs. On trouve des foncteurs \[ \mathrm{inc},\ \mathrm{res} : \Phi^{c}(C) \longrightarrow \Phi(C) \] (oubli des indices contractés). $\Phi^{c}(C)$ est aussi une $\otimes$-catégorie ass. comm. unitaire ; et res est un $\otimes$-foncteur AUC. Ceci dit, on trouve un hom canonique \[ \Pi \circ \mathrm{inc} \xrightarrow{\ c\ } \Pi \circ \mathrm{res} \] (contraction) de $\otimes$-foncteurs AUC de $\Phi^{c}(C)$ dans $C$.

12donc il n'y a pas d'isom canonique entre $L \otimes L$ et le produit de la famille constante sur $I$ de valeur $L$ : il faut, pour choisir un tel isom, choisir un ordre total sur $I$. C'est que, si $I$ est de cardinal $\geq 2$, il y a a priori […] possibles entre $\pi((L_i)_{i\in I})$ et $L^{\otimes 2}$. l'exposant se lit « 2 » là où l'on attendrait « $n$ » ; le milieu de la phrase est raturé

Mais si $L$ est inversible, la symétrie de $L \otimes L$ s'identifie à un élément $\varepsilon(L)$ du groupe $\mathrm{Aut}(\mathbf{1}_C)$, d'ordre 2, et le passage d'un isom. de $\Pi L$ avec $L^{\otimes n}$ à un autre, via une permutation $\sigma$ de $[1, n]$, se fait par $\varepsilon(L)^{\mathrm{sign}(\sigma)}$. Il n'y a aucune ambiguïté pour le choix dans le seul cas des catégories de Picard [tout objet inversible, les $\varepsilon(L) = 1$].

Inverse d'un élément $L$ inversible : c'est un $L'$ muni d'un isom \[ L \otimes L' \simeq \mathbf{1}, \] d'où aussi, en appliquant la symétrie, un autre isom \[ L' \otimes L \simeq \mathbf{1}, \] donc les relations entre $L$ et $L'$ sont symétriques ; on convient de dire que $(L, L')$ (sans ordre fixé) est un couple d'inverses si on se donne un isom \[ \Pi(L, L') \simeq \mathbf{1}. \] en marge gauche, une note en oblique, en partie illisible

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
L \otimes L' \arrow[r, "\varphi_{L,L'}"] \arrow[d, "s_{L,L'}"'] & \mathbf{1} \\
L' \otimes L \arrow[ur, "\varphi_{L',L}"'] &
\end{tikzcd}

\[ \varphi_{L,L'} \otimes \mathrm{id}_L \simeq \mathrm{id}_L \otimes \psi_{L',L} \ :\ L \otimes L' \otimes L \xrightarrow{\ \sim\ } L, \qquad \psi_{L',L} : L' \otimes L \simeq \mathbf{1}. \]

Relations entre $\varphi_{L',L}$ et $\psi_{L',L}$ ?

Comme \[ \varphi_{L,L'} \otimes \mathrm{id}_L\ :\ L \otimes L' \otimes L \to L, \] \[ \mathrm{id}_L \otimes \varphi_{L',L} = \mathrm{id}_L \otimes (\varphi_{L,L'} \circ s_{L',L}) \ :\ L \otimes L' \otimes L \to L. \]

Pour $q : M \to \mathbf{1}$ :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
L \otimes M \arrow[r, "s_{L,M}"] \arrow[d, "L \otimes q"'] &
M \otimes L \arrow[d, "q \otimes L"] \\
L \otimes \mathbf{1} \arrow[r, "s_{L,\mathbf{1}}"'] & \mathbf{1} \otimes L
\end{tikzcd}

sous le carré, les deux coins inférieurs sont reliés à $L$ par des isoms ; à droite, trois colonnes de symboles $L\ L'\ L$ esquissent, à la manière de ficelles, les deux contractions de $L \otimes L' \otimes L$ et la permutation qui les échange, au facteur $\varepsilon$ près

Théories et constructions (page 13)

13page numérotée « 2 » de la main de l'auteur — la page 1 n'est pas dans la chemise ; la page entière est barrée d'un long trait oblique

On a donc \[ \underline{\mathrm{Hom}}(I; T, T') \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(T, T') \] \[ \Big\downarrow \qquad \Big\downarrow \] \[ \Bigl[\ \underline{\mathrm{Hom}}_0(I; T, T') \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_0(T, T')\ \Bigr] \quad (\text{resp. } \varprojlim) \] à droite du crochet, une précision en petit, rognée par la marge : « où $T$, $T'$ sont dé… »

Les théories à lims forment une 2-catégorie, soit $\mathcal{T}$ (resp. $\mathcal{T}_0$), et quand $I$ est fixé, via les $I$-morphismes de théories, une 2-catégorie $\mathcal{T}^{(I)}$ (resp. $\mathcal{T}_0^{(I)}$), et un diagramme de foncteurs de 2-catégories

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathcal{T} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{T}^{(I)} \arrow[d] \\
\mathcal{T}_0 \arrow[r] & \mathcal{T}_0^{(I)}
\end{tikzcd}

la ligne qui suivait — « Enfin, si on considère les théories qui sont définies par… », avec l'interligne « (resp. constructions infinies) » — est biffée

Constructions pour une cat théorie $T$ : c'est par définition un hom dans la théorie $\dot{\imath}$ correspondant à un ens. de base sans structure, donc $\dot{\imath}_C = C$ ; donc c'est un. foncteur de la cat. 2-fibrée sur (Cat lim finies) (resp. (Cat lim)) : \[ T \longrightarrow \dot{\imath}. \]

Ces constructions forment donc une catégorie $\Gamma^{T} = \underline{\mathrm{Hom}}(T, \dot{\imath})$ (resp. $\Gamma_0^{T} = \underline{\mathrm{Hom}}_0(T, \dot{\imath})$), qui a des lims finies (resp. des lims) et qui est munie de \[ \Gamma^{T} \times T \longrightarrow \dot{\imath} \qquad (\text{resp. } \Gamma_0^{T} \times T \to \dot{\imath}_0). \]

$C \in$ (Cat lim finies) (resp. $\in$ Cat lim) et, pour $\forall\, \xi \in T(C)$, le foncteur \[ u \mapsto u(\xi), \qquad \Gamma^{T} \longrightarrow C \quad (\text{resp. } \Gamma_0^{T} \to C), \] commutant aux lims précédentes (resp. quelc.).

Prolongement aux préfaisceaux et exactitude (page 15)

15Question. $C$ petite catégorie. $\varphi : C \to \mathrm{Ens}$ foncteur exact à droite [$C$ stable par lim finies]. Alors $\overline{\varphi} : \widehat{C}^{\circ} \to \mathrm{Ens}$, qui prolonge $\varphi$ et commute aux petites lims (donné aussi par $\overline{\varphi}(\psi) = \mathrm{Hom}(\psi, \varphi)$, $\psi \in \mathrm{Ob}\,\underline{\mathrm{Hom}}(C, \mathrm{Ens})$), est-il exact à droite, i.e. $\psi \mapsto \mathrm{Hom}(\psi, \varphi)$ transforme-t-il lims projectives finies en lims inductives ?

En marge gauche : $\overline{C} = \widehat{C}^{\circ} = \underline{\mathrm{Hom}}(C, \mathrm{Ens})^{\circ}$, et le triangle

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\overline{C} \arrow[dr, "\overline{\varphi}"] & \\
C \arrow[u] \arrow[r, "\varphi"'] & \mathrm{Ens}
\end{tikzcd}

NB Par l'hyp. sur $\varphi$, c'est le cas pour les lims finies qui proviennent de $C$. [NB l'inclusion $C \to \overline{C}$ commute aux lims — finies ou non —.]

une ligne biffée introduisait le cas « $C$ additive abélienne » ; elle s'interrompt sur « pour $\varphi = $ », et l'application $\psi \mapsto \mathrm{Hom}(\psi, \varphi)$, « est-il exact à g. », $\underline{\mathrm{Hom}}(C, \mathrm{Ens}) \to (\mathrm{Ens})$ — passage raturé, lecture d'ensemble incertaine

$\mathrm{Hom}(\psi \times \psi_0, \varphi)$ Il faudrait que $\varphi$ transforme mono en [en] épi, i.e. que $\varphi$ soit « injectif » :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\psi \arrow[r] \arrow[dr] & \psi' \arrow[d, "\exists"] \\
& \varphi
\end{tikzcd}

Cela indique (prenons $\psi = \varphi$, $\psi' = \varphi \sqcup \rho$) que pour $\forall\, \rho : C \to \mathrm{Ens}$, on a $\underline{\mathrm{Hom}}(\rho, \varphi) \neq \emptyset$.

En marge gauche, le triangle correspondant :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\varphi \arrow[r] \arrow[dr] & \varphi \sqcup \psi \arrow[d, "\exists"] \\
& \varphi
\end{tikzcd}

C'est vrai si Mais c'est toujours faux sauf si $C$ vide : car si on prend pour $\rho$ un foncteur constant de valeur $x$ non vide, on a $\mathrm{Hom}(\rho, \varphi) = \emptyset$, car \[ \mathrm{Hom}_{\mathrm{Ens}}(\rho(c), \varphi(c)) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Ens}}(x, \emptyset) = \emptyset\ ! \] la lecture des arguments des deux membres est incertaine — le manuscrit porte quelque chose comme $\rho(\psi_c)$, $\varphi(\psi_c)$

Question. Soient $C$ petite catégorie avec lims finies, $E$ catégorie avec lims finies et petites lims inductives, $\varphi : C \to E$ un foncteur exact à gauche, $\overline{\varphi} : \widehat{C} \to E$ son prolongement canonique (commutant aux petites lims inductives). Sous quelles conditions d'exactitude sur $E$ peut-on dire que $\overline{\varphi}$ est aussi exact à g ? [NB si $E = (\mathrm{Ens})^{\circ}$, ça n'ira jamais, je crois !]

On sait que c'est OK si $E$ est un topos. Réciproque ?

Supposons que $\varphi$ soit strictement générateur, Alors il faut que alors $E \to \widehat{C}$ [est] pl. fidèle et $\overline{\varphi} : \widehat{C} \to E$ en est un adjoint à g. Il suffit que $E$ soit un topos. Donc si $\overline{\varphi}$ est exact à g, $E$ est un topos.

Prolongement le long d'une sous-catégorie génératrice (pages 17 et 19)

17En tête, le dispositif : $C \subset E$, « sous-catégorie pleine [strictement génératrice] » de « catégorie [avec petites limites inductives] » ; $F$ « catégorie avec petites limites inductives ». \[ \underline{\mathrm{Hom}}(C, F) \underset{\beta}{\overset{\alpha}{\rightleftarrows}} \underline{\mathrm{Hom}}(E, F) \] \[ \alpha(\varphi)(X) = \varinjlim_{Y \in C/X} \varphi(Y), \qquad \beta(\psi)(Y) = \psi(Y), \quad \text{i.e. } \beta(\psi) = \psi | C = \psi \circ i. \] \[ \beta\alpha(\varphi)(Y) = \alpha(\varphi)(Y) = \varinjlim_{Z \in C/Y} \varphi(Z) = \varphi(Y), \quad \text{i.e. } \beta\alpha(\varphi) \simeq \varphi, \quad \beta\alpha \simeq \mathrm{id}_{\underline{\mathrm{Hom}}(C,F)}. \] \[ \alpha\beta(\psi)(X) = \varinjlim_{Y \in C/X} \beta\psi(Y) = \varinjlim_{Y \in C/X} \psi(Y) \longrightarrow \psi(X), \quad \text{i.e. } \alpha\beta \to \mathrm{id}_{\underline{\mathrm{Hom}}(E,F)}. \] \[ \mathrm{Hom}(\alpha\varphi, \psi) \simeq \mathrm{Hom}(\varphi, \beta\psi). \]

En fait, $\alpha = i^{F}_{!}$. Donc $i$ étant pl. fidèle, $i_{!}$ l'est.

Supposons maintenant que [$E$ soit aussi stable par petites lims], $C$ strictement génératrice, et voyons à quelle condition $\alpha(\varphi)$ commute à icelles. Comme $\beta\alpha(\varphi) = \alpha(\varphi)|C = \varphi$, il est évidemment nécessaire que l'on ait :

(*) Pour $\forall$ système inductif $(Y_i)$ dans $C$ dont la limite inductive dans $E$ est soit $Y \in \mathrm{Ob}\,C$ [a fortiori sa lim dans $C$ est $Y$], on a \[ \varphi(Y) \xleftarrow{\ \sim\ } \varinjlim \varphi(Y_i). \]

Soit $\underline{\mathrm{Hom}}'(C, F)$ la sous-catégorie pleine de $\underline{\mathrm{Hom}}(C, F)$ formée des $\varphi$ satisfaisant (*), et $\underline{\mathrm{Hom}}'(E, F)$ la sous-catégorie pleine de $\underline{\mathrm{Hom}}(E, F)$ formée des $\psi$

19commutant aux petites lims. Donc $\beta$ induit \[ \beta' : \underline{\mathrm{Hom}}'(E, F) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}'(C, F). \] On a, pour $\psi$ dans $\underline{\mathrm{Hom}}'$, \[ \alpha\beta(\psi)(X) = \varinjlim_{Y \in C/X} \psi(Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \psi(X) \quad \text{car } X = \varinjlim_{Y \in C/X} Y,\ C \] étant str. gén. Donc on trouve que \[ \beta' : \underline{\mathrm{Hom}}'(E, F) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}'(C, F) \] est pleinement fidèle. (c'est une équivalence ssi ess. surj.) Il s'agit de voir si $\alpha$ envoie bien $\underline{\mathrm{Hom}}'(C, F)$ dans $\underline{\mathrm{Hom}}'(E, F)$. Or soit $(Y_i)$ un syst. inductif dans $E$, ayant dans $E$ une limite inductive $Y$, et pour chaque $i$ un système inductif $(Y_{ij})$ dans $C$, filtré sur $I$, tel que les syst. inductifs ($i$ fixé) des $Y_{ij}$ aient pour limites les $Y_i$ et que le système inductif correspondant soit $(Y_i)$. On a donc \[ \varinjlim_i \alpha\varphi(Y_i) = \varinjlim_i \bigl(\varinjlim_j \varphi(Y_{ij})\bigr) = \varinjlim_{ij} \varphi(Y_{ij}), \] le premier terme est surchargé ; la fin de la ligne, griffonnée puis rognée par la marge, comparait ce terme à $\varphi(Y)$. Les deux lignes qui introduisent le système double $(Y_{ij})$ sont elles-mêmes très raturées et la comparaison est l'hom dont il s'agit de prouver que c'est un isom. Donc on est ramené à prouver ceci :

Lemme. Si $\varphi \in \underline{\mathrm{Hom}}'(C, F)$, alors pour tout $\forall$ système inductif $(Y_i)$ dans $C$ ayant une limite inductive $Y$ dans $E$, on a \[ \varinjlim \varphi(Y_i) \xrightarrow{\ \sim\ } \beta\varphi(Y). \] le manuscrit porte bien $\beta\varphi(Y)$ ; on attendrait $\alpha\varphi(Y)$, seul défini pour $Y \in E$

Il faut donc comparer les limites pour $\varphi$ des [deux] systèmes inductifs $(Y_i)$ et $C/Y \to C$. Évidemment on a : $I \to C/Y$, cela est-il cofinal ? C'est vrai en tout cas si pour $\forall$ diagramme fini dans $C$, la lim dans $E$ existe et est dans $C$. un point d'interrogation isolé en marge gauche face à ces deux dernières lignes