Cote n° 160 · pages 1–22 · Lecture modernisée · Schémas [en] groupes : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Dérivateurs » (157-1 à 160) est daté 1990-[1991]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–22

Le fil du dossier, et l'ordre des feuillets

Le dossier n'est pas un texte suivi, et il ne se lit pas comme tel. Il y a un centre, et autour de lui deux appendices et deux chantiers.

1–22

Les stations

• Page 1 — un lemme d'algébrisation le long d'un fermé, isolé. Il ne se rattache à rien d'autre du dossier, et la moitié de sa prose est perdue. On le donne pour ce qu'il est.
• Pages 2 à 6 — le cœur. Construction de l'application \(a \mapsto \operatorname{Ker} f_a\), et démonstration qu'elle est bijective : surjectivité sur un corps algébriquement clos, monomorphie par déformation aux nombres duaux, propreté par le critère valuatif, description du lieu étale, calcul de l'espace tangent de Zariski à l'origine pour \(n = 1\), puis l'énoncé du théorème au-dessus d'une base quelconque.
• Pages 7 à 12 — la conséquence combinatoire. Le déterminant de Moore et sa factorisation, la règle de Cramer qui donne les coefficients, la divisibilité \(\Delta_i = A_i \Delta_n\), et le théorème de Dickson sur les invariants de \(GL(n, \mathbb{F}_p)\), avec sa variante pour \(SL(n, \mathbb{F}_p)\).
• Pages 13 à 16 — la même chose au-dessus d'une base, en termes de faisceaux. Se termine sur un tableau à deux colonnes dont la seconde reste ouverte.
• Page 18 — une esquisse séparée : descente d'un sous-groupe de \(\mathbb{G}_a\) le long d'un pincement. Inachevée. La page 17 est blanche.
• Pages 19 à 22 — du calcul. Deux feuillets au crayon, puis deux à l'encre, sur le cas \(n = 2\) ; la page 22 rejoint la page 18.

Ce qui fait l'unité du dossier n'est pas l'ordre des feuillets mais un objet : le polynôme additif dont les racines sont exactement un \(\mathbb{F}_p\)-sous-espace donné. Il est construit abstraitement aux pages 2 à 6, écrit comme un quotient de déterminants aux pages 7 à 9, rendu intrinsèque aux pages 13 à 16, et calculé à la main pour \(n = 2\) aux pages 19 à 22. Les quatre stations sont quatre présentations du même objet.

1–22

Conventions, valables pour tout le dossier

On écrit \(\mathbb{A}^n\) l'espace affine de dimension \(n\) sur \(\mathbb{F}_p\), là où les feuillets écrivent \(\mathbb{E}^n\), et \(\mathbb{G}_m \times \mathbb{A}^{n-1}\) l'ouvert où la première coordonnée est inversible, là où ils écrivent \(\mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1}\).

Pour \(a = (a_0, \dots, a_{n-1})\) à coefficients dans un anneau \(R\) de caractéristique \(p\), on pose \[ f_a(x) = x^{p^n} + a_{n-1}x^{p^{n-1}} + \dots + a_1 x^p + a_0 x , \] endomorphisme du groupe \(\mathbb{G}_{a,R}\), fini localement libre de degré \(p^n\) puisque le polynôme est unitaire de degré \(p^n\). Son noyau \(\operatorname{Ker} f_a\) est donc un sous-schéma en groupes fini localement libre de rang \(p^n\).¹

\(F\) désigne le Frobenius, \(\alpha_{p^r} = \operatorname{Ker}(F^r)\) le noyau de sa \(r\)-ième itérée, de rang \(p^r\) et à un seul point. Il ne faut pas le confondre avec \(\alpha_p^r\), qui est un produit de \(r\) copies de \(\alpha_p\) et n'est pas isomorphe à \(\alpha_{p^r}\) dès que \(r \geqslant 2\) ; le dossier utilise partout le premier.

\(X_n\) désigne, à partir de la page 2 et jusqu'à la fin, le schéma des sous-groupes finis localement libres de rang \(p^n\) de \(\mathbb{G}_a\). Mais sur la page 1, et seulement là, la même lettre indicée désigne les voisinages infinitésimaux d'un fermé. Les deux objets n'ont rien de commun, et pour éviter qu'on lise le second comme le premier on note ici \(X^{(m)}\) le \(m\)-ième voisinage infinitésimal de la page 1.

Enfin, on suit la convention de EGA : pour \(E\) localement libre, \(V(E) = \operatorname{Spec} \underline{\operatorname{Sym}}(E)\), de sorte qu'une section de \(V(E)\) au-dessus de \(S\) est un homomorphisme \(E \to \mathcal{O}_S\), c'est-à-dire une section du dual \(\check{E}\). C'est aussi ce que font les pages 13 et 14, qui parlent de sections de \(\check{E}\) et de points de \(V(E)\) sans jamais les distinguer.²

1–22

Ce que le contenu montre, et ce qu'il ne date pas

Il faut le dire ici plutôt que de le taire. Le dossier appartient, dans l'inventaire de Montpellier, à un groupe intitulé « Dérivateurs » et daté 1990-[1991]. Rien sur ces vingt-deux pages ne relève des dérivateurs, ni des catégories dérivées, ni de l'algèbre homotopique. Ce qui s'y trouve est de la théorie des schémas en groupes finis en caractéristique \(p\) : polynômes additifs, \(\alpha_p\), Verschiebung, critère valuatif, Main Theorem de Zariski, invariants de Dickson, complétion formelle le long d'un fermé. Le lemme de la page 1 est écrit dans le vocabulaire de EGA III et IV ; les pages 2 à 16 sont, mot pour mot, le genre de matériau que SGA 3 organise.

Ce constat est solide en ceci qu'il est vérifiable : il suffit de lire la transcription. Il faut être exact sur sa portée, qui est étroite. Il dit ce que les feuillets traitent ; il ne dit pas quand ils ont été écrits. Un mathématicien revient sur un sujet ancien quand il lui plaît, et un dossier d'archives est une chemise de papier, groupée par les archivistes selon la place qu'elle occupait, non selon ce qu'elle contient. Un contenu de 1960 ne prouve pas une écriture de 1960.

À côté de ce constat, l'un des deux transcripteurs porte une observation d'une autre espèce : une main rapide et droite, au stylo-plume, avec les abréviations et la notation des années EGA. C'est une observation paléographique, et elle est fragile — elle a été faite sur un fac-similé numérique, où l'encre, la pression, le papier et le format ne se jugent pas. Elle demanderait l'œil d'un humain sur les feuillets eux-mêmes. Le même transcripteur note qu'aucune des vingt-deux pages ne porte de date, d'en-tête ni de verso réutilisé qui trancherait la question.

En conséquence : cette lecture ne conclut aucune date. La ligne de datation portée en tête est celle des archivistes, reprise verbatim des deux transcriptions, et elle y reste. Ce qui est offert ici est la description de ce que les feuillets montrent, pour que quelqu'un qui pourra les manipuler sache quoi regarder.

1–1

Un lemme d'algébrisation isolé (page 1)

Le feuillet est seul de son espèce dans le dossier, et il est très abîmé : la moitié de sa prose manque, la démonstration s'arrête au milieu d'une phrase, et une parenthèse ouverte au point 2) n'est jamais fermée. On donne ce qui se tient.

Soient \(f : X' \to X\) un morphisme de type fini entre schémas noethériens,³ \(V' \subset X'\) l'ouvert des points où \(f\) est étale, \(Z \subset X\) une partie fermée, \(\hat{X}\) le complété formel de \(X\) le long de \(Z\), et \(X^{(m)}\) le \(m\)-ième voisinage infinitésimal de \(Z\) dans \(X\). On se donne une section formelle \(q = (q_m)\) de \(X'\) au-dessus de \(\hat{X}\), c'est-à-dire une famille compatible de sections de \(X' \times_X X^{(m)}\) au-dessus de \(X^{(m)}\), et on note \(Z'\) l'image de la section au niveau réduit, de sorte que \(f\) induise \(Z' \xrightarrow{\ \sim\ } Z\).

La page pose alors une question de densité schématique et énumère trois conditions dont elle dit qu'elles sont liées :

• \(q_m^{-1}(V')\) est schématiquement dense dans \(X^{(m)}\) ;
• \(X'\) est l'adhérence schématique de la famille des \(q_m(X^{(m)})\) ;
• la famille des \(V'\) vus dans les \(X^{(m)}\) est schématiquement dense dans \(X'\), ce que la marge résume en « i.e. en un \(\hat{V'}\) ».

Le cas retenu est celui où \(Z \subset V'\), c'est-à-dire où \(f\) est étale aux points de \(Z\) : il existe alors un ouvert \(U' \subset V'\) contenant \(Z'\) tel que \(U' \times_X Z \xrightarrow{\ \sim\ } Z' \xrightarrow{\ \sim\ } Z\). La démonstration esquissée scinde la troisième condition en deux, une de densité schématique de \(V'\) dans \(X'\) et une de densité de \(\hat{V'}\) dans \(U'\), et s'interrompt là.⁴

2–6

Les sous-groupes finis de \(\mathbb{G}_a\) et l'application \(\varphi_n\) (pages 2 à 6)

Le but est l'application \[ \varphi_n : \mathbb{A}^n \longrightarrow X_n, \qquad a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \longmapsto \operatorname{Ker} f_a , \] et l'affirmation qu'elle est un isomorphisme. Les pages 2 à 5 la démontrent par morceaux : elle est surjective, elle est un monomorphisme, elle est propre ; d'où un isomorphisme sur \(X_{n,\mathrm{réd}}\). La page 5 pose alors la question de la réduction de \(X_n\), et la page 6 énonce le théorème complet.⁵

2–2

Surjectivité (page 2)

Il suffit de voir que \(\mathbb{A}^n(k) \to X_n(k)\) est surjective pour \(k\) algébriquement clos. Soit donc \(H \subset \mathbb{G}_{a,k}\) fini de rang \(p^n\). Sa composante neutre \(H^0\) est un sous-schéma fini connexe de \(\mathbb{A}^1_k\) concentré à l'origine, donc de la forme \(\operatorname{Spec} k[x]/(x^{p^r})\), c'est-à-dire \(\alpha_{p^r} = \operatorname{Ker}(F^r)\) ; le quotient \(H/H^0\) est étale, tué par \(p\), donc \((\mathbb{Z}/p)^s\) avec \(r + s = n\), et sur \(k\) parfait la suite connexe-étale est scindée : \[ H \;\simeq\; \alpha_{p^r} \times (\mathbb{Z}/p)^s_k , \qquad r + s = n . \] ⁶

Soient \(\xi_1, \dots, \xi_s\) une base de \(H(k)\) sur \(\mathbb{F}_p\). Le sous-groupe constant qu'ils engendrent est le lieu des zéros du polynôme \[ f_\alpha(x) = \prod_{\lambda \in \mathbb{F}_p^s} \Bigl(x - \sum_{i=1}^{s} \lambda_i \xi_i\Bigr), \] qui est additif précisément parce que son ensemble de racines est un \(\mathbb{F}_p\)-sous-espace, et séparable de degré \(p^s\).⁷ On pose alors \[ f = F^r \circ f_\alpha , \qquad f(x) = x^{p^{r+s}} + \alpha_{s-1}^{p^r} x^{p^{r+s-1}} + \dots + \alpha_0^{p^r} x^{p^r} , \] d'où \[ \operatorname{Ker} f = f_\alpha^{-1}(\alpha_{p^r}) \;\supset\; H(k)_k \cdot \alpha_{p^r} = H , \] et les deux membres étant de rang \(p^{r+s} = p^n\), l'inclusion est une égalité. Donc \(H = \operatorname{Ker} f\) avec \(f\) additif unitaire de degré \(p^n\), c'est-à-dire \(H = \varphi_n(a)\) pour un \(a \in k^n\).⁸

2–3

Monomorphie, par déformation (pages 2 et 3)

Soient \(k\) une \(\mathbb{F}_p\)-algèbre et \(a, b\) avec \(\operatorname{Ker} f_a = \operatorname{Ker} f_b\). En notant \(H\) ce noyau commun, \(f_a\) et \(f_b\) se factorisent tous deux par \(\mathbb{G}_{a,k}/H\), et comme ils y induisent des isomorphismes sur leur image on obtient \(f_b = u \circ f_a\) avec \(u \in \operatorname{Aut}(\mathbb{G}_{a,k})\). Tout revient donc à :

Lemme. Si \(u \in \operatorname{Aut}(\mathbb{G}_{a,k})\) est tel que \(u \circ f_a\) soit encore de la forme \(f_b\), alors \(u = \operatorname{id}\).

Si \(k\) est réduit, c'est immédiat : \(\operatorname{Aut}(\mathbb{G}_{a,k})\) se réduit alors aux homothéties \(k^*\), et \(u \circ f_a = c_0 f_a\) ne peut être unitaire que si \(c_0 = 1\).⁹

Le cas général se ramène, \(k\) étant supposé noethérien, à une suite d'extensions de carré nul.¹⁰ Soit donc \(J \subset k\) un idéal avec \(J^2 = 0\), \(k_0 = k/J\), et supposons \(u_0 = \operatorname{id}\) sur \(\mathbb{G}_{a,k_0}\). Alors \[ u(x) = c_0 x + c_1 x^p + c_2 x^{p^2} + \dots + c_N x^{p^N}, \qquad c_0 \in 1 + J, \quad c_i \in J \ (i \geqslant 1) , \] et en développant \[ u \circ f_a(x) = \sum_{j=0}^{N} c_j \Bigl(x^{p^{n+j}} + a_{n-1}^{p^j} x^{p^{n+j-1}} + \dots + a_0^{p^j} x^{p^j}\Bigr). \] Le coefficient de \(x^{p^{n+N}}\) vaut \(c_N\) ; comme \(u \circ f_a = f_b\) est de degré \(p^n\), il est nul, donc \(c_N = 0\). Le coefficient de \(x^{p^{n+N-1}}\) vaut alors \(c_{N-1}\), nul de même, et de proche en proche \(c_1 = \dots = c_N = 0\). Il reste \(u(x) = c_0 x\), et \(c_0 = 1\) parce que \(f_b\) est unitaire.¹¹

3–4

Propreté, par le critère valuatif (pages 3 et 4)

Lemme. Soient \(S = \operatorname{Spec} V\) un trait sur \(\mathbb{F}_p\), de point générique \(\eta\) et de corps des fractions \(K\), et \(H \subset \mathbb{G}_{a,S}\) fini plat de rang \(p^n\) sur \(S\). Si \(H_\eta = \operatorname{Ker} f_{a_\eta}\) avec \(a_\eta \in K^n\), alors \(a_\eta \in V^n\), et \(H = \operatorname{Ker} f_{a_\eta}\) sur \(S\) tout entier.

Démonstration. Supposons \(a_\eta \notin V^n\) et posons \(\nu = -\inf_i \operatorname{val}(a_i) > 0\), \(\pi\) une uniformisante, \(b_i = \pi^\nu a_i\) : tous les \(b_i\) sont dans \(V\) et l'un d'eux est une unité. Soit \[ f(x) = \pi^\nu x^{p^n} + b_{n-1}x^{p^{n-1}} + \dots + b_1 x^p + b_0 x , \qquad f : \mathbb{G}_{a,S} \to \mathbb{G}_{a,S} . \] Sur la fibre générique \(f_\eta = \pi^\nu f_{a_\eta}\) et \(\pi^\nu\) est inversible, donc \(\operatorname{Ker} f_\eta = H_\eta\). Le morphisme \(f\) est plat, parce qu'il l'est fibre à fibre : sur la fibre spéciale \(f_s\) n'est pas nul, un des \(b_{i,s}\) étant non nul. Par suite \(\operatorname{Ker} f = f^{-1}(0)\) est plat sur \(S\), de fibre générique \(H_\eta\) ; c'est donc l'adhérence schématique de \(H_\eta\) dans \(\mathbb{G}_{a,S}\), c'est-à-dire \(H\) lui-même. La fibre spéciale \(\operatorname{Ker} f_s\) devrait donc être de rang \(p^n\). Or \(\pi^\nu\) s'annule sur la fibre spéciale, de sorte que \[ f_s(x) = b_{m,s} x^{p^m} + \dots , \qquad m = \max\{\, i \leqslant n-1 \;:\; b_{i,s} \neq 0 \,\} , \] et \(\operatorname{Ker} f_s\) est de rang \(p^m\) avec \(m \leqslant n - 1\). Contradiction.¹²

Une fois ce lemme acquis, \(\varphi_n\) est propre par le critère valuatif, et un monomorphisme propre est une immersion fermée. Comme elle est de plus surjective, elle induit \[ \mathbb{A}^n \xrightarrow{\ \sim\ } X_{n,\mathrm{réd}} . \]

4–5

Le lieu étale (pages 4 et 5)

Soit \(X_n^{\text{ét}} \subset X_n\) l'ouvert des sous-groupes étales sur la base. Alors \(\varphi_n\) induit \[ \mathbb{G}_m \times \mathbb{A}^{n-1} \xrightarrow{\ \sim\ } X_n^{\text{ét}} , \] l'ouvert de gauche étant celui des \((a_0, \dots, a_{n-1})\) à \(a_0\) inversible. La raison est d'une ligne : \(f_a'(x) = a_0\), donc \(f_a\) est étale — et son noyau aussi — exactement quand \(a_0\) est inversible.¹³

5–6

\(X_n\) est-il réduit ? L'espace tangent à l'origine pour \(n = 1\) (pages 5 et 6)

La page pose la question sous cette forme : \(X_n\) est-il réduit, c'est-à-dire \(\varphi_n\) est-elle une immersion fermée dans les deux sens ?¹⁴

Elle traite \(n = 1\) au point \(0\), ce qui revient à montrer que l'espace tangent de Zariski de \(X_1\) en \(0\) est de dimension \(1\) — il est a priori de dimension au moins \(1\). Il faut donc décrire les points de \(X_1\) à valeurs dans les nombres duaux \(k = \mathbb{F}_p[J]/J^2\) qui se réduisent sur \(0\), c'est-à-dire les sous-groupes plats \(H \subset \mathbb{G}_{a,k}\) tels que \(H_0 = \alpha_p\).

Le calcul de la page procède ainsi. Posons \(G = \mathbb{G}_{a,k}\), \(G_0 = \mathbb{G}_{a,\mathbb{F}_p}\), \(K = G/H\) et \(K_0 = G_0/H_0\). Le quotient \(K\) est une extension de \(K_0\) par \(J K_0\), et l'obstruction à la scinder — donc la donnée de \(H\) au-dessus de \(H_0\) — est mesurée par un homomorphisme \[ u : H_0 \longrightarrow J K_0 . \] Ici \(H_0 = \alpha_p \subset G_0 = \mathbb{G}_a\) et \(K_0 \simeq J K_0 \simeq \mathbb{G}_a\), de sorte que l'extension est triviale et que l'espace tangent cherché est \[ T_0 X_1 \;=\; \operatorname{Hom}_{\mathbb{F}_p\text{-gr}}(\alpha_p, \mathbb{G}_a) . \] Or tout homomorphisme de \(\alpha_p\) dans \(\mathbb{G}_a\) est tué par le Frobenius au but, donc se factorise par \(\alpha_p\), et \(\operatorname{End}(\alpha_p) = \mathbb{F}_p \cdot \operatorname{id}\) sur \(\mathbb{F}_p\) : l'espace tangent est de dimension \(1\), et \(X_1\) est lisse en \(0\).¹⁵

6–6

Le théorème (page 6)

Théorème. Soit \(S\) un schéma de caractéristique \(p\). Pour tout sous-schéma en groupes \(H \subset \mathbb{G}_{a,S}\) fini localement libre de rang \(p^n\), il existe un unique \(a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)^n\) tel que \(H = \operatorname{Ker} f_a\). Autrement dit \(\varphi_n : \mathbb{A}^n \xrightarrow{\ \sim\ } X_n\). De plus \(H\) est étale sur \(S\) si et seulement si \(a_0 \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S^*)\).

L'énoncé est vrai.¹⁶

7–12

Le déterminant de Moore et les invariants de Dickson (pages 7 à 12)

Le théorème une fois là, la question devient : quel \(a\) ? Sur un corps, un sous-groupe étale de rang \(p^n\) est le \(\mathbb{F}_p\)-espace engendré par \(n\) éléments indépendants, et il s'agit de calculer \(a\) à partir d'eux. La réponse fait apparaître un déterminant, et le déterminant fait apparaître, sans qu'on l'ait cherchée, toute la théorie des invariants du groupe linéaire sur \(\mathbb{F}_p\).

7–7

La factorisation du déterminant de Moore (page 7)

Lemme. Dans \(\mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]\), \[ \Delta_n(X_1, \dots, X_n) \;=\; \det\bigl(X_j^{p^{i-1}}\bigr)_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \;=\; \prod_{j=0}^{n-1} \ \prod_{\alpha \in \mathbb{F}_p^{\,j}} \Bigl(X_{j+1} + \sum_{i=1}^{j} \alpha_i X_i\Bigr). \]

L'argument de la page est de divisibilité et de degré. Chaque facteur \(P_\lambda = X_{j+1} + \sum \alpha_i X_i\) est irréductible, ils sont deux à deux non associés, et chacun annule le déterminant — deux colonnes deviennent liées —, donc le produit \(P\) divise le déterminant \(Q\). Les degrés coïncident : \[ \deg P \;=\; 1 + p + \dots + p^{n-1} \;=\; \frac{p^n - 1}{p - 1} \;=\; \operatorname{card} \mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{F}_p) , \] donc \(Q = c P\) avec \(c \in \mathbb{F}_p^*\). La page s'arrête sur « reste à déterminer \(c\) » ; avec la normalisation ci-dessus, où chaque facteur est unitaire en sa variable de plus grand indice, on a \(c = 1\).^{17 18}

Corollaire. Pour \(k\) un corps de caractéristique \(p\) et \(\xi \in k^n\), on a \(\Delta_n(\xi) = 0\) si et seulement si \(\xi_1, \dots, \xi_n\) sont linéairement dépendants sur \(\mathbb{F}_p\). Par suite l'ouvert \(U_n \subset \mathbb{A}^n\) où \(GL(n, \mathbb{F}_p)\) opère librement est \(U_n = \mathbb{A}^n_{\Delta_n}\).

8–8

Cramer (page 8)

Cherchons \(a\) tel que \(f_a(\xi_i) = 0\) pour \(1 \leqslant i \leqslant n\). C'est un système de \(n\) équations linéaires en \(a_0, \dots, a_{n-1}\), de seconds membres \(-\xi_i^{p^n}\) et de déterminant \(\pm\Delta_n(\xi)\). Si \(\Delta_n(\xi)\) est inversible — c'est-à-dire, par le corollaire précédent, si les \(\xi_i\) engendrent un sous-groupe étale de rang \(p^n\) — il y a une solution et une seule, et Cramer la donne comme un quotient de deux déterminants : celui du bas est \(\Delta_n\), celui du haut est \(\Delta_j\), obtenu en remplaçant dans la matrice de Moore la ligne des \(\xi_i^{p^j}\) par la ligne des \(\xi_i^{p^n}\).

La façon propre de fixer les signes une fois pour toutes est de poser \[ D(T) \;=\; \det\begin{pmatrix} X_1 & \cdots & X_n & T \\ X_1^p & \cdots & X_n^p & T^p \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ X_1^{p^n} & \cdots & X_n^{p^n} & T^{p^n} \end{pmatrix} \;=\; \sum_{j=0}^{n} \Delta_j(X)\, T^{p^j} , \] le développement se faisant selon la dernière colonne, de sorte que le coefficient de \(T^{p^n}\) soit exactement le déterminant de Moore \(\Delta_n(X)\) et que \(\Delta_j(X)\) soit, au signe \((-1)^{n+j}\) près, le mineur obtenu en supprimant la ligne des \(X_i^{p^j}\).¹⁹

9–9

Les \(A_i\), et pourquoi ce sont des polynômes (page 9)

Prenons \(k = \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]\) et \(\xi_i = X_i\) : puisque \(D(X_i) = 0\) (deux colonnes égales), \[ \Delta_n X_i^{p^n} + \Delta_{n-1} X_i^{p^{n-1}} + \dots + \Delta_0 X_i = 0 \qquad (1 \leqslant i \leqslant n) . \] La page affirme ensuite que les \(\Delta_i\) sont divisibles par \(\Delta_n\) et pose \(\Delta_i = A_i \Delta_n\). La raison, qu'elle ne donne pas, est lisible sur la factorisation du lemme de la page 7 appliquée à \(n+1\) variables : \[ D(T) \;=\; \Delta_n(X) \prod_{\lambda \in \mathbb{F}_p^n} \Bigl(T - \sum_{i=1}^n \lambda_i X_i\Bigr) , \] de sorte que \(D(T)/\Delta_n\) est un polynôme unitaire en \(T\), additif, de degré \(p^n\), dont les coefficients sont les \(A_i\).²⁰

En particulier, pour \(j = 0\), le mineur est \(\det(X_j^{p^i})_{1 \leqslant i \leqslant n}\), c'est-à-dire \(\Delta_n^p\), d'où \[ \Delta_0 \;=\; (-1)^n\, \Delta_n^{\,p} , \qquad\text{donc}\qquad A_0 \;=\; (-1)^n\, \Delta_n^{\,p-1} . \] ²¹

Corollaire. \(X_i^{p^n} + A_{n-1}X_i^{p^{n-1}} + \dots + A_0 X_i = 0\) pour \(1 \leqslant i \leqslant n\), et les \(A_i\) sont caractérisés par cette relation.

Corollaire. Sur un corps \(k\) de caractéristique \(p\), on a \(\Delta_n(\xi) \neq 0\) — c'est-à-dire \(\xi_1, \dots, \xi_n\) linéairement indépendants sur \(\mathbb{F}_p\) — si et seulement si \(\Delta_0(\xi) \neq 0\). C'est immédiat sur \(\Delta_0 = (-1)^n \Delta_n^p\).

9–11

Le théorème de Dickson (pages 9 à 11)

Soit \(\Gamma_n = GL(n, \mathbb{F}_p)\), opérant sur \(\mathbb{A}^n\) par changement de base à coefficients dans \(\mathbb{F}_p\), et \(Q_n = \mathbb{A}^n/\Gamma_n = \operatorname{Spec} A_n\) avec \(A_n = \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]^{\Gamma_n}\). Les \(A_i\) étant invariants, le morphisme \[ A_* : \mathbb{A}^n \longrightarrow \mathbb{A}^n, \qquad \xi \longmapsto (A_0(\xi), \dots, A_{n-1}(\xi)) \] se factorise par \(Q_n\).

Théorème. \(Q_n \to \mathbb{A}^n\) est un isomorphisme, c'est-à-dire \[ \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]^{GL(n, \mathbb{F}_p)} \;=\; \mathbb{F}_p[A_0, \dots, A_{n-1}] , \] algèbre de polynômes sur les \(n\) générateurs \(A_i\), homogènes de degrés \(p^n - p^i\).²²

Démonstration. \(A_*\) envoie \(U_n = \mathbb{A}^n_{\Delta_n}\) sur l'ouvert \(\mathbb{G}_m \times \mathbb{A}^{n-1}\) — c'est le corollaire \(A_0 = (-1)^n \Delta_n^{p-1}\) — et y est bijectif sur les orbites, donc \(Q_n \to \mathbb{A}^n\) est birationnel. \(Q_n\) est intègre, \(\mathbb{A}^n\) est normal ; il suffit donc, par le Main Theorem de Zariski, de voir que \(Q_n \to \mathbb{A}^n\) est quasi-fini et surjectif, et pour cela que sur un corps algébriquement clos \(k\) l'application \(A_* : k^n \to k^n\) est surjective à fibres finies.

Fibres finies. Les fibres sont exactement les orbites de \(\Gamma_n\), qui sont finies. La page en tire au passage, indépendamment du Main Theorem, que \(Q_n \to \mathbb{A}^n\) est surjectif, radiciel et birationnel.

Surjectivité. Soit \(a \in k^n\). Si \(a = 0\), c'est l'image de \(0\). Sinon soit \(r\) le premier indice avec \(a_r \neq 0\). Le cas \(r = 0\) est celui du sous-groupe étale : \(\operatorname{Ker} f_a\) est alors étale de rang \(p^n\), et sur \(k\) algébriquement clos ses points forment un \(\mathbb{F}_p\)-espace de dimension \(n\) ; une base \(\xi\) de cet espace vérifie \(A_j(\xi) = a_j\) pour tout \(j\), puisque \(D_\xi(T)/\Delta_n(\xi)\) est le polynôme unitaire additif de lieu de zéros \(\mathbb{F}_p\xi\), c'est-à-dire \(f_a\). Le cas général s'y ramène par le

Lemme. \[ A_0(X_1, \dots, X_{n-1}, 0) = 0, \qquad A_i(X_1, \dots, X_{n-1}, 0) = A_{i-1}(X_1, \dots, X_{n-1})^{\,p} \quad (1 \leqslant i \leqslant n) , \] et plus généralement \[ A_\alpha(X_1, \dots, X_{n-s}, 0, \dots, 0) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leqslant \alpha < s, \\[2pt] A_{\alpha - s}(X_1, \dots, X_{n-s})^{\,p^s} & \text{si } s \leqslant \alpha \leqslant n . \end{cases} \] ²³

Avec ce lemme, on relève \((a_r, \dots, a_{n-1})\) par un \(\xi'\) à \(n - r\) variables — cas \(r = 0\) en \(n - r\) variables, après extraction des racines \(p^r\)-ièmes — puis on complète par \(r\) zéros.

11–12

La variante \(SL\) (pages 11 et 12)

Puisque \(\Delta_n(u \cdot X) = \det(u)\, \Delta_n(X)\), le déterminant de Moore est invariant sous \(S\Gamma_n = SL(n, \mathbb{F}_p)\), et

Corollaire. \(\mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]^{SL(n, \mathbb{F}_p)} = \mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n]\), avec \(\Gamma_n/S\Gamma_n \xrightarrow[\ \det\ ]{\ \sim\ } \mathbb{F}_p^*\) opérant trivialement sur \(A_1, \dots, A_{n-1}\) et par homothéties sur \(\Delta_n\).²⁴

Démonstration. Le carré \[ \begin{array}{ccc} \mathbb{A}^n/S\Gamma_n & \longrightarrow & \mathbb{A}^n \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb{A}^n/\Gamma_n & \xrightarrow{\ \sim\ } & \mathbb{A}^n \end{array} \] a pour flèche de droite celle définie par l'inclusion \(\mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n^{p-1}] \subset \mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n]\). Les deux flèches verticales sont des revêtements de groupe \(\mathbb{F}_p^*\) identifiant le but au quotient de la source ; la flèche du haut est compatible aux deux actions, donc génériquement bijective et birationnelle, donc un isomorphisme puisque \(\mathbb{A}^n\) est normal.

13–16

La version relative : modules à Frobenius inversible (pages 13 à 16)

Sur une base quelconque, il n'y a plus de « \(n\) éléments indépendants » à écrire en ligne. Ce qui les remplace est un faisceau, et toute la construction des pages 7 à 12 se transpose — c'est le contenu de ces quatre pages.

13–13

Structures spéciales linéaires et racines \((p-1)\)-ièmes (page 13)

Corollaire. Soit \(M \subset \mathbb{G}_{a,S}\) fini localement libre de rang \(p^n\), d'où \(a\) avec \(M = \operatorname{Ker} f_a\) ; supposons \(a_0\) inversible, c'est-à-dire \(M\) étale. Alors l'ensemble des structures \(\mathbb{F}_p\)-spéciales linéaires de \(M\) — les trivialisations de \(\Lambda^n_{\mathbb{F}_p} M\) — est en correspondance biunivoque avec l'ensemble des racines \((p-1)\)-ièmes de \(a_0\). Plus précisément \((\Lambda^n_{\mathbb{F}_p} M)^*\) s'identifie au torseur, sous \(\mu_{p-1,S} \simeq (\mathbb{F}_p^*)_S\), de l'image réciproque de \(a_0\) par \(\mathbb{G}_m \xrightarrow{\ x \mapsto x^{p-1}\ } \mathbb{G}_m\).

C'est la traduction exacte de \(A_0 = (-1)^n \Delta_n^{p-1}\) : une racine \((p-1)\)-ième de \(a_0\) est, au signe près, une valeur de \(\Delta_n\), c'est-à-dire un générateur de la puissance extérieure maximale, c'est-à-dire une trivialisation.

N.B. Se donner sur \(S\) un faisceau en \(\mathbb{F}_p\)-espaces vectoriels de rang \(n\), fini étale, équivaut à se donner un faisceau \(E\) localement libre de rang \(n\) et un isomorphisme \[ u : E^{(p)} \xrightarrow{\ \sim\ } E , \qquad E^{(p)} = F_S^* E , \] la traduction étant \(E = M \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S\) dans un sens, et \(M = \operatorname{Ker}\bigl(V(E) \xrightarrow{\ \operatorname{id} - u \circ F_E\ } V(E)\bigr)\) dans l'autre.²⁵

Se donner un homomorphisme \(\varphi : M \to \mathbb{G}_a\) équivaut à se donner un homomorphisme \(\mathcal{O}\)-linéaire \(E \to \mathcal{O}_S\), c'est-à-dire une section \(\xi\) de \(\check{E}\) ; et \(\check{E}\) porte la structure duale \(\check{u} : \check{E}^{(p)} \to \check{E}\).

14–15

Le déterminant de Moore d'un faisceau (pages 14 et 15)

Pour \(\xi\) section de \(\check{E}\), on pose \[ \xi^{(p)} \;=\; \check{u}\bigl(\xi^{(F)}\bigr) , \] puis \(\xi^{(p^i)}\) par itération ; ces sections correspondent aux composés de \(\varphi : M \to \mathbb{G}_a\) avec les itérées du Frobenius de \(\mathbb{G}_a\). On forme alors \[ \Delta_n^E(\xi) \;=\; \xi \wedge \xi^{(p)} \wedge \dots \wedge \xi^{(p^{n-1})} \;\in\; \Gamma\bigl(\Lambda^n \check{E}\bigr) , \] soit une application polynomiale, homogène de degré \(\frac{p^n - 1}{p - 1}\), \[ \Delta_n^E : V(E) \longrightarrow V\bigl(\Lambda^n E\bigr) . \] L'image réciproque de la section nulle est un diviseur de Cartier relatif ; son complémentaire \(V(E)^0\) est un ouvert schématiquement dense. Sur lui, \(\xi, \xi^{(p)}, \dots, \xi^{(p^{n-1})}\) forment une base de \(\check{E}\), et l'on peut écrire \[ \xi^{(p^n)} + A^E_{n-1}(\xi)\,\xi^{(p^{n-1})} + \dots + A^E_0(\xi)\,\xi = 0 , \] ce qui définit des fonctions \(A^E_i \in \Gamma(V(E)^0, \mathcal{O})\) uniquement déterminées. Comme dans le cas absolu, elles s'étendent à \(V(E)\) tout entier — les \(A_i\) sont des polynômes, pas seulement des fractions —, et l'on a encore \[ A^E_0 \;=\; (\pm 1)\,\bigl(\Delta_n^E\bigr)^{p-1} . \] Cette dernière égalité a un sens parce que \((\Lambda^n \check{E})^{\otimes (p-1)} \simeq \mathcal{O}_S\) : en effet \((\Lambda^n \check{E})^{\otimes p} \simeq \Lambda^n(\check{E}^{(p)}) \xrightarrow{\ \Lambda^n \check{u}\ } \Lambda^n \check{E}\).²⁶

15–16

La matrice compagnon, et le tableau qui reste ouvert (pages 15 et 16)

Si \(\xi\) est une section de \(V(E)^0\), les \(\xi^{(p^i)}\) pour \(0 \leqslant i \leqslant n-1\) forment une base de \(\check{E}\), qui s'identifie ainsi à \(\mathcal{O}_S^n\) ; en notant \(e_i = \xi^{(p^i)}\) on a \[ e_0^{(p)} = e_1, \quad e_1^{(p)} = e_2, \quad \dots, \quad e_{n-2}^{(p)} = e_{n-1}, \qquad e_{n-1}^{(p)} = -\bigl(a_0 e_0 + a_1 e_1 + \dots + a_{n-1} e_{n-1}\bigr), \] c'est-à-dire que \(\check{u}\) s'écrit, dans cette base, par la matrice compagnon \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & & \vdots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix} . \] ²⁷

Le feuillet s'achève sur un tableau à deux colonnes, chacune de trois étages reliés par des flèches montantes, les colonnes étant reliées par des inclusions de gauche à droite.

La colonne de gauche est le cas étale, et ses trois étages sont équivalents :

• les \((a_0, \dots, a_{n-1})\) à \(a_0\) inversible ;
• les sous-groupes finis étales de \(\mathbb{G}_{a,S}\) de rang \(p^n\) ;
• les couples formés d'un \(E\) localement libre de rang \(n\) avec \(\check{E}^{(p)} \simeq \check{E}\), et d'une section \(\xi\) de \(\check{E}\) telle que \(\xi, \xi^{(p)}, \dots, \xi^{(p^{n-1})}\) soit une base.

La colonne de droite est le cas général, et c'est là que le feuillet s'arrête :

• les \((a_0, \dots, a_{n-1})\) quelconques ;²⁸
• les sous-groupes finis localement libres de rang \(p^n\) de \(\mathbb{G}_{a,S}\) ;
• les couples formés d'un \(F\) localement libre de rang \(n\) avec une flèche \(F^{(p)} \to F\) non nécessairement inversible, et d'une section \(\xi\) de \(F\) telle que \(\xi, \xi^{(p)}, \dots, \xi^{(p^{n-1})}\) soit une base.

La flèche montante du troisième étage vers le deuxième, dans la colonne de droite, porte un point d'interrogation, et une accolade court du bas vers le haut de la colonne, annotée « trivial ? ». C'est le seul endroit du dossier où l'auteur marque explicitement qu'il ne conclut pas.²⁹

18–18

Descente le long d'un pincement (page 18)

La page 17 est blanche. La page 18 ouvre un sujet neuf et ne le referme pas.

On part d'un schéma \(X'\) et de deux points \(a, b\) de \(X'\) ; \(X\) est obtenu en les identifiant — la marge dit « déduit de \(X'\) en pinçant \(a\) et \(b\) ».³⁰ La question est celle de la descente : si \(H' \subset \mathbb{G}_{a,X'}\) est un sous-groupe fini localement libre dont les fibres en \(a\) et en \(b\) coïncident, \(H'_a = H'_b\), descend-il en un \(H \subset \mathbb{G}_{a,X}\) ?

Le feuillet met en place l'obstruction plutôt que de répondre. Soit \(\varphi\) un homomorphisme de \(\mathbb{G}_{a,X}\) s'annulant sur \(H\), et \(N'\) l'adhérence schématique dans \(\mathbb{G}_{a,X'}\) du noyau de sa version relevée, de sorte que \[ N' \subset H' \subset \mathbb{G}_{a,X'} , \qquad \mathbb{G}_{a,X'}/N' \longrightarrow \mathbb{G}_{a,X'}/H' \quad \text{étale} . \] Et il pose la situation qui l'intéresse : \[ H'(a) = H'(b) \qquad\text{mais}\qquad N'(a) \neq N'(b) . \] Autrement dit, la donnée de recollement peut valoir pour \(H'\) sans valoir pour le sous-groupe distingué \(N'\) qu'on en a tiré : ce qui descend ne descend pas avec sa filtration. Suivent deux suites exactes, \[ 0 \to N' \to \mathbb{G}_{a,X'} \xrightarrow{\ f_{\alpha'}\ } \mathbb{G}_{a,X'} \to 0 , \qquad 0 \to K' \to \mathbb{G}_{a,X'} \xrightarrow{\ f_{\beta'}\ } \mathbb{G}_{a,X'} \to 0 , \] et des flèches \(u_\lambda\), \(u_{\lambda'}\) vers \(\mathbb{G}_{a,X}\) annotées « hom. Verschiebung », destinées à comparer les deux. L'argument qui devait les comparer n'est pas écrit.³¹

19–22

Le cas \(n = 2\), calculé à la main (pages 19 à 22)

Les quatre derniers feuillets sont du calcul, sans une phrase de rédaction suivie. Ils ne répètent pas les pages précédentes : ils en font tourner la machinerie sur le plus petit cas non trivial, et la page 22 revient à la page 18 avec un exemple.

19–20

Les brouillons au crayon (pages 19 et 20)

La page 19 réécrit le polynôme \(X^{p^n} + A_1 X^{p^{n-1}} + \dots + A_{n-1}X\), les \(A_i\) y étant indexés en sens inverse de celui des pages 9 à 15.³² Un bloc écrit dans le sens de la hauteur occupe la marge gauche et reprend, au crayon, le calcul d'espace tangent des pages 5 et 6 — \(H_0\), \(K_0 = \mathbb{G}_0/H_0\), \(\operatorname{Hom}(\alpha_{p^r}, \mathbb{G}_a)\), \(F^r = 0\). Il est en grande partie illisible et n'ajoute rien qu'on puisse établir.³³

Suivent les relations de la matrice compagnon dans l'indexation renversée, et un \(M\) localement libre de type fini avec \(M^{(p)} \xrightarrow{\ \sim\ } M\) : c'est le module à Frobenius inversible des pages 13 à 15, rejoué au crayon.

La page 20 essaie des coefficients pour \(n = 2\), écrit le déterminant de Moore sous forme transposée, redonne le degré \(\frac{p^n-1}{p-1}\) et le produit sur les formes linéaires — avec le même \(\mathbb{P}^n\) pour \(\mathbb{P}^{n-1}\) qu'à la page 7. Deux lignes y méritent d'être relevées : \[ \frac{(X^p Y - Y^p X)^p}{X^p Y - Y^p X} = (X^p Y - Y^p X)^{p-1}, \qquad \text{annoté } (X \wedge Y) , \] qui est exactement \(A_0 = \pm\Delta_2^{p-1}\) avec, dans la marge, la lecture extérieure des pages 13 à 15 ; et \[ \left(\frac{X}{Y}\right)^{p^2} = \frac{X}{Y} , \] c'est-à-dire que le rapport de deux éléments d'une base est fixé par le carré du Frobenius.³⁴

21–21

Élimination à partir de deux racines (page 21)

Le feuillet part de \(X^{p^2} + aX^p + bX\) et de deux racines \(\alpha\), \(\beta\) : \[ \alpha^{p^2} + a\alpha^p + b\alpha = 0 , \qquad \beta^{p^2} + a\beta^p + b\beta = 0 . \] En multipliant la première par \(\beta\), la seconde par \(\alpha\) et en retranchant, le terme en \(b\) disparaît et \[ a\bigl(\alpha^p\beta - \beta^p\alpha\bigr) = -\bigl(\alpha^{p^2}\beta - \beta^{p^2}\alpha\bigr) , \qquad\text{d'où}\qquad a = -\,\frac{\alpha^{p^2}\beta - \beta^{p^2}\alpha} {\alpha^p\beta - \beta^p\alpha} . \] De même, en multipliant par \(\beta^p\) et \(\alpha^p\), \[ b = \frac{\alpha^{p^2}\beta^p - \beta^{p^2}\alpha^p} {\alpha^p\beta - \beta^p\alpha} . \] ³⁵

La colonne de droite recommence autrement, en utilisant \(\alpha^p - \beta^p = (\alpha - \beta)^p\) : \[ a(\alpha^p - \beta^p) = -(\alpha^{p^2} - \beta^{p^2}) , \qquad\text{d'où}\qquad a = -(\alpha - \beta)^{p^2 - p} . \] ³⁶

De là, les trois lignes suivantes, qui sont exactes entre elles : \[ b\alpha = -\alpha^{p^2} + \alpha^p(\alpha - \beta)^{p^2 - p} , \] \[ (\alpha - \beta)^p\, b\alpha = \beta^p\alpha^{p^2} - \alpha^p\beta^{p^2} = \alpha^p\beta^p\bigl(\alpha^{p^2 - p} - \beta^{p^2 - p}\bigr) , \] \[ b\alpha = \Bigl(\frac{\alpha\beta}{\alpha - \beta}\Bigr)^{p} \bigl(\alpha^{p^2 - p} - \beta^{p^2 - p}\bigr) . \] ³⁷

Le feuillet dégage ensuite le polynôme obtenu en chassant les dénominateurs et, après un détour par une version où les coefficients portent un facteur \(\lambda\) et sont nommés \(r\), \(s\), \(t\), il finit par écrire : \[ \bigl(f^p g - g^p f\bigr) X^{p^2} - \bigl(f^{p^2} g - g^{p^2} f\bigr) X^{p} + \bigl(f^{p^2} g^{p} - g^{p^2} f^{p}\bigr) X . \] C'est, au signe près, le déterminant de Moore de \((f, g, X)\) : \[ \det\begin{pmatrix} f & g & X \\ f^p & g^p & X^p \\ f^{p^2} & g^{p^2} & X^{p^2}\end{pmatrix} , \] c'est-à-dire le \(D(T)\) de la page 8 pour \(n = 2\), dont les racines sont exactement \(\mathbb{F}_p f + \mathbb{F}_p g\). La dernière ligne du feuillet rejoint donc la page 7, et c'est ce qui donne leur sens aux deux feuillets de calcul : ils refont à la main, sur deux éléments, la construction que les pages 7 à 16 mènent en général.³⁸

22–22

Le feuillet écrit des deux bouts (page 22)

La page 22 est écrite des deux bouts : le tiers supérieur à l'endroit, les deux tiers inférieurs tête-bêche, séparés par un long trait au crayon, le bloc renversé se lisant depuis le pied du feuillet. Ce n'est pas un défaut de numérisation mais la mise en page de l'auteur, et elle fixe l'ordre de lecture ; sous son trait, le bloc renversé est lui-même en deux colonnes.

Le bloc à l'endroit construit l'exemple que la page 18 appelait. On y prend deux fonctions \(f\), \(g\) sur \(X'\) avec \[ f(a) = 0, \quad g(a) = 1, \qquad f(b) = 1, \quad g(b) = 0 , \] donc non constantes et linéairement indépendantes sur \(\mathbb{F}_p\). À chacune est associé \(H_f, H_g \subset \mathbb{G}_a\), et on pose \(H = H_f \times H_g\). Le point est alors : \[ H_a \simeq \alpha_p \times \mathbb{Z}/p , \qquad H_b \simeq \mathbb{Z}/p \times \alpha_p . \] Les deux fibres sont abstraitement isomorphes, mais les deux facteurs se croisent entre \(a\) et \(b\) : l'isomorphisme existe, la décomposition ne se recolle pas. C'est exactement ce que la page 18 avait besoin de produire — un \(H'\) dont la donnée de recollement vaut, et dont les sous-groupes distingués ne la respectent pas.

Le feuillet se donne ensuite \(\lambda\) non constante avec \(\lambda(a) = \lambda(b) = 0\) — c'est-à-dire une fonction qui, elle, descend au pincement.

Le bloc renversé travaille l'opérateur qui fabrique \(H_f\). On y lit, en regard l'une de l'autre, les deux écritures \[ \Bigl(\frac{\lambda}{f}\Bigr)^{p} - \frac{\lambda}{f} \qquad\text{et}\qquad \lambda^p - f^{p-1}\lambda , \] qui diffèrent du facteur \(f^p\). Le second membre est le polynôme additif \(\wp_f(\lambda) = \lambda^p - f^{p-1}\lambda\), dont le lieu de zéros est exactement la droite \(\mathbb{F}_p f\) : c'est un Artin–Schreier tordu par \(f\), et c'est le cas \(n = 1\) de la construction de la page 7, puisque \(D(T)/\Delta_1 = T^p - f^{p-1}T\).

Le feuillet compose alors deux opérateurs de cette espèce : \[ r\bigl(\wp_f \lambda\bigr)^{p} - r^{p}\bigl(\wp_f \lambda\bigr) , \qquad r = g^p - f^{p-1}g = \wp_f(g) , \] c'est-à-dire \(r \cdot \wp_r(\wp_f(\lambda))\). Le lieu de zéros de ce composé est \(\mathbb{F}_p f + \mathbb{F}_p g\) : c'est, à un scalaire près, le polynôme de degré \(p^2\) que la dernière ligne de la page 21 avait écrit comme un déterminant.³⁹ La ligne suivante, \[ \left(\frac{\bigl(\frac{\lambda}{f}\bigr)^p - \frac{\lambda}{f}} {r}\right)^{\nu} = (\quad) , \] amorce visiblement l'itération suivante — on renormalise par \(r\) avant de réappliquer l'opérateur — mais l'exposant est un seul signe, lu \(\nu\), et le second membre est une parenthèse laissée vide. On n'en tire rien.

La suite du bloc renversé reprend la situation à deux points sous une forme un peu plus riche : \(H = H_1 \times H_2 \times K\) avec \(H_{1a} \simeq H_{2b} \simeq \alpha_p\) — le croisement des facteurs, de nouveau —, puis \(f(a) = 0\), \(g(b) = 0\), \(f(b) = \alpha\), \(g(a) = \beta\) avec \(\alpha, \beta\) indépendants sur \(\mathbb{F}_p\), et la fibre \[ \alpha_p + \mathbb{F}_p\alpha + \mathbb{F}_p\beta \subset \mathbb{G}_a , \] de rang \(p^3\). La colonne de gauche écrit alors la donnée de recollement elle-même : \[ i_a(H'_a) = i_b(H'_b) = \alpha_p + \mathbb{F}_p\alpha + \mathbb{F}_p\beta , \] c'est-à-dire que les deux fibres coïncident comme sous-groupes de \(\mathbb{G}_a\), ce qui est précisément la condition de descente de la page 18 ; et le \(H \subset \mathbb{G}_{a,X}\) correspondant a la même fibre. La colonne de droite ajoute une troisième fonction \(h\), avec \(h(a), h(b) \in \mathbb{F}_p\alpha + \mathbb{F}_p\beta\), \(h(a) \notin \mathbb{F}_p\beta\) et \(h(b) \notin \mathbb{F}_p\alpha\) — par exemple \(h(a) = \alpha\), \(h(b) = \beta\) —, ce qui est la façon de rendre le croisement inévitable.

Le feuillet finit sur un diagramme où \(H \hookrightarrow \mathbb{G}_a \xrightarrow{\ f\ } \mathbb{G}_a\) est complété par une flèche \(u\) et une flèche verticale qui porte un point d'interrogation, puis sur \(\mathbb{G}_{a,X'}/H_1 \times H_2\) et, au crayon fin, sur \(\lambda \mapsto (\lambda/f)^p - (\lambda/f)\). C'est le second et dernier point d'interrogation du dossier ; le premier était sur la colonne droite du tableau de la page 16.⁴⁰

Ce que le dossier annonce et n'établit pas

Il vaut la peine de les rassembler, parce qu'aucun n'est dû à l'état du papier :

• La réduction de \(X_n\). Le théorème de la page 6 est énoncé dans sa généralité ; ce que les pages 2 à 5 démontrent est l'isomorphisme sur \(X_{n,\mathrm{réd}}\), et la question de la réduction, explicitement posée à la page 5, n'est traitée qu'au cas \(n = 1\) et au seul point \(0\).
• La constante \(c\) de la factorisation du déterminant de Moore : « reste à déterminer \(c\) », page 7, et elle n'est pas déterminée. Elle vaut \(1\) pour la normalisation que la page adopte.
• L'ouverture de \(X_n^{\text{ét}}\), portée « à justifier » en marge de la page 4.
• La colonne de droite du tableau de la page 16, avec son point d'interrogation et son « trivial ? ».
• La descente de la page 18, dont la mise en place est écrite et l'argument non.
• L'itération de la page 22, qui s'arrête sur une parenthèse vide.

Et une dernière chose, qui n'est pas une lacune mais un fait : le lemme de la page 1 n'a de rapport avec rien d'autre dans le dossier. Ni sa question — la densité schématique d'une section formelle le long d'un fermé — ni son vocabulaire ne reparaissent aux vingt et une pages suivantes. C'est un feuillet qui s'est trouvé là.